Parte01¶

Um pouco de história¶

Georg Cantor¶

Georg Ferdinand Ludwing Phillip Cantor¹ nasceu na Rússia em 1845, na cidade de São Petersburgo; filho do comerciante dinamarquês, George Waldemar Cantor, e da musicista russa, Maria Anna Böhm. Em 1856 sua família mudou-se para a Alemanha, passando aí a maior parte de sua vida. Por seus pais serem cristãos de ascendência judia, Cantor logo se interessou pelos conceitos de continuidade e infinito tanto em Teologia como em Matemática, por isso concentrou seus estudos em Filosofia, Física e Matemática. Estudou no Instituto Federal de Tecnologia de Zurique. Doutorou-se na Universidade de Berlim em 1867 com a tese sobre Teoria dos Números. Doutorou-se na Universidade de Berlim em 1867 com a tese sobre Teoria dos Números.

Em 1874, Cantor publicou seu mais revolucionário artigo - que até seus editores hesitaram em aceitar - no qual havia reconhecido a propriedade fundamental dos conjuntos infinitos e percebeu que nem todos eram iguais, passando a construir uma hierarquia destes conjuntos conforme suas potências (tamanhos). Mostrou que o conjunto dos quadrados perfeitos tem a mesma potência que o dos inteiros positivos pois podem ser postos em correspondência biunívoca; provou que o conjunto de todas as frações é contável ou enumerável e que a potência do conjunto dos pontos de um segmento de reta unitário é igual à potência do conjunto dos pontos de um quadrado de lado unitário. Alguns destes resultados eram tão paradoxais que o próprio Cantor, certa vez escrevendo ao seu amigo, e também matemático, Dedekind, disse: "Eu vejo isso, mas não acredito", e pediu ao seu amigo que verificasse a demonstração. Seus incríveis resultados levaram ao estabelecimento da Teoria dos Conjuntos como uma disciplina matemática completamente desenvolvida.

Pitágoras¶

Pitágoras² viveu há 2500 anos e não deixou obras escritas. O que se sabe de sua biografia e de suas ideias é uma mistura de lenda e história real. A lenda começa antes mesmo de Pitágoras nascer: por volta de 580 a.C., a sacerdotisa do deus Apolo disse a um casal que vivia na ilha de Samos, no mar Egeu: ``Tereis um filho de grande beleza e extraordinária inteligência; será um dos homens mais sábios de todos os tempos.'' No mesmo ano, o casal teve um filho. Era Pitágoras. Lenda ou não lenda, a inteligência do jovem Pitágoras assombrava os doutos das melhores escolas de Samos: não conseguiam responder as perguntas do moço de 16 anos. Nessas condições, só havia uma coisa a fazer: despachá-lo a Mileto, para que estudasse com Tales - o maior sábio da época, provavelmente o primeiro grego a se dedicar cientificamente aos números.

Adulto, Pitágoras resolveu ampliar seus interesses. E começou a somar, além dos números, ideias sobre a ciência e a religião de outros povos. "Tudo são números", dizia. Pitágoras imaginava os números como pontos, que determinam formas. E o Universo, o que é, senão um conjunto de átomos, cuja disposição dá forma à matéria? De qualquer modo, Pitágoras não se contentava em dizer frases; demonstrou que era necessário provar e verificar geometricamente um enunciado matemático, ou seja, expressá-lo como teorema. E formulou vários, além daquele mais conhecido. Por exemplo: a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a soma de dois ângulos retos (a+b+c=180°); a superfície de um quadrado é igual a multiplicação de um lado por si mesmo. Donde a expressão "elevar ao quadrado": (2 x 2 = 2²); o volume de um cubo é igual à sua aresta multiplicada três vezes por si mesma: (2 x 2 x 2 = 2³), o que originou a expressão "elevar ao cubo". Dizia a seus alunos: "Honra os deuses sobre todas as coisas. Honra teu pai e tua mãe. Acostuma-te a dominar a fome, o sono, a preguiça e a cólera".