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Até breve com mais exercícios!!

0877¶

Na figura abaixo, foram traçados os segmentos \(\sf{\overline{D'P};\,\overline{E'Q};\,\overline{F'R}}\). Nessa figura, observe os \(\sf{\Delta\,ADD'}\,\,\) e \(\,\,\sf{\Delta\,E'QF'}\).

a) O que se pode afirmar sobre as medidas dos ângulos \(\sf{\angle\,AD'D}\,\,\) e \(\,\,\sf{\angle\,E'F'Q\,?}\) Justifique sua resposta.

b) Os triângulos \(\sf{ADD'}\) e \(\sf{E'QF}\) são congruentes? Em caso afirmativo, indique o caso que garante a congruência. Em caso negativo, justifique sua resposta.

c) Os segmentos \(\sf{\overline{AD}}\) e \(\sf{\overline{EF}}\) têm medidas iguais. O que se pode afirmar sobre os segmentos \(\sf{\overline{AD'}}\) e \(\sf{\overline{E'F'}}\,?\)

0877 - Soluções

a) O que se pode afirmar sobre as medidas dos ângulos \(\sf{\angle\,AD'D}\,\,\) e \(\,\,\sf{\angle\,E'F'Q}\)? Justifique sua resposta.

Resposta:

Os ângulos AD'D e E'F'Q são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida.

Justificativa:

Retas paralelas: As retas r, s, t, u e v são paralelas entre si.
Segmentos transversais: Os segmentos D'P, E'Q e F'R são transversais a essas retas paralelas.
Ângulos correspondentes: Quando retas paralelas são cortadas por transversais, os ângulos correspondentes são congruentes. Os ângulos AD'D e E'F'Q são ângulos correspondentes formados pelas transversais D'P e F'R com as retas paralelas s e u, respectivamente.

Conclusão: - Portanto, como os ângulos AD'D e E'F'Q são ângulos correspondentes formados por retas paralelas cortadas por transversais, eles possuem a mesma medida.

b) Os triângulos \(\sf{ADD'}\) e \(\sf{E'QF}\) são congruentes? Em caso afirmativo, indique o caso que garante a congruência. Em caso negativo, justifique sua resposta.

Resposta:

Sim, os triângulos ADD' e E'QF são congruentes. Caso de congruência: O caso de congruência que garante a congruência dos triângulos ADD' e E'QF é o caso LAL (Lado-Ângulo-Lado).

Justificativa:

AD = EF: O enunciado afirma que os segmentos AD e EF têm medidas iguais.
Ângulo AD'D = Ângulo E'F'Q: Já demonstramos no item "a" que os ângulos AD'D e E'F'Q são congruentes.
DD' = F'Q: As retas s e u são paralelas, e os segmentos DD' e F'Q são perpendiculares a essas retas. Portanto, DD' e F'Q são paralelos e congruentes.

Conclusão:

Como os triângulos ADD' e E'QF possuem dois lados e o ângulo entre eles respectivamente congruentes, eles são congruentes pelo caso LAL.

c) Os segmentos \(\sf{\overline{AD}}\) e \(\sf{\overline{EF}}\) têm medidas iguais. O que se pode afirmar sobre os segmentos \(\sf{\overline{AD'}}\) e \(\sf{\overline{E'F'}}\)?

Resposta:

Os segmentos AD' e E'F' têm medidas iguais.

Justificativa:

Congruência dos triângulos: Demonstramos no item "b" que os triângulos ADD' e E'QF são congruentes.
Lados correspondentes: Em triângulos congruentes, os lados correspondentes são congruentes. Os segmentos AD' e E'F' são lados correspondentes dos triângulos congruentes ADD' e E'QF.

Conclusão:

Portanto, como os triângulos ADD' e E'QF são congruentes, os segmentos AD' e E'F' têm a mesma medida.

0876¶

Resolva, em \(\sf{\mathbb{R}}\), a seguinte inequação logarítmica

\(\sf{\log_{2}(x^2-3x+1) < 0}\)

0876 - Resposta

\(\sf{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,0<x<\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\,\,\textsf{ou}\,\,\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}<x<3\right\}}\)

0876 - Solução

Primeiramente, vamos obter a condição de existência:

\(\sf{x^2-3x+1>0}\)

Resolvendo-se a inequação quadrática, teremos como solução o intervalo:

\(\sf{x\in\mathbb{R}\,|\,x<\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\,\,\textsf{ou}\,\,x>\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\,\,(I)}\)

Observe o gráfico abaixo:

Agora, passando à resolução algébrica da inequação, teremos:

\(\sf{\log_{2}(x^2-3x+1) < \log_{2}{1}}\to\)

\(\sf{x^2-3x+1<1\to x^2-3x<0}\to\)

Resolvendo a inequação quadrática, teremos como solução o intervalo:

\(\sf{x\in\mathbb{R}\,|\,0<x<3\,\,(II)}\)

Observe o gráfico abaixo:

Portanto, a solução\(\sf{(S)}\) final será a intersecção \(\sf{(I)\cap(II)}\):

\(\sf{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,0<x<\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\,\,\textsf{ou}\,\,\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}<x<3\right\}}\)