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Até breve com mais exercícios!!
0876¶
Resolva, em \(\sf{\mathbb{R}}\), a seguinte inequação logarítmica
\(\sf{\log_{2}(x^2-3x+1) < 0}\)
0876 - Resposta
\(\sf{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,0<x<\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\,\,\textsf{ou}\,\,\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}<x<3\right\}}\)
0876 - Solução
Primeiramente, vamos obter a condição de existência:
\(\sf{x^2-3x+1>0}\)
Resolvendo-se a inequação quadrática, teremos como solução o intervalo:
\(\sf{x\in\mathbb{R}\,|\,x<\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\,\,\textsf{ou}\,\,x>\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\,\,(I)}\)
Observe o gráfico abaixo:
.png)
Agora, passando à resolução algébrica da inequação, teremos:
\(\sf{\log_{2}(x^2-3x+1) < \log_{2}{1}}\to\)
\(\sf{x^2-3x+1<1\to x^2-3x<0}\to\)
Resolvendo a inequação quadrática, teremos como solução o intervalo:
\(\sf{x\in\mathbb{R}\,|\,0<x<3\,\,(II)}\)
Observe o gráfico abaixo:
.png)
Portanto, a solução\(\sf{(S)}\) final será a intersecção \(\sf{(I)\cap(II)}\):
\(\sf{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,0<x<\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\,\,\textsf{ou}\,\,\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}<x<3\right\}}\)