Parte01

Relações

Dados dois conjuntos não vazios, \(A\) e \(B\), definimos relação \(\mathbb{R}\) de \(A\) em \(B\) qualquer subconjunto do produto cartesiano\((^1)\) \(A\,\times\,B\).

Ex: Dados os conjuntos \(A=\{1;\,2;\,3\}\) e \(B=\{2;\,4;\,6\}\) e a relação \(R=\{(x,y)\in\,A\,\times\,B\;\;\wedge\;\; y=2x\}\). O conjunto \(R\) será:

• Representado pelo conjunto:

\[\boldsymbol{R=\{(1;\,2),\,(2;\,4),\,(3;\,6)\}}\]

• Representado pelo diagrama de Euler-Venn:

• Representado no plano cartesiano:

\(^1\)Produto Cartesiano?

Dados dois conjuntos não vazios, \(A\) e \(B\), definimos produto cartesiano (denota por \(A\,\times\, B\)), o conjunto de todos os pares ordenados\((^2)\) \((x,\,y)\) onde o primeiro termo pertence ao conjunto \(A\) e o segundo termo pertence ao conjunto \(B\). Em símbolos:

\[\displaystyle\boldsymbol{A\times B=\left\{(x,y)\mid x\in A\;\wedge\;y\in B\right\}}\]

Ex: Dados os conjuntos \(A=\{1;\,2;\,3\}\) e \(B=\{2;\,4;\,6\}\), vamos obter o conjunto \(A\,\times\, B\):

\[\displaystyle\boldsymbol{A\,\times\, B=\left\{(1;\,2),\,(1;\,4),\,(1;\,6),\,(2;\,2),\,(2;\,4),\,(2;\,6),\,(3;\,2),\,(3;\,4),\,(3;\,6)\right\}}\]

Importante: \(\boldsymbol{A\times B\;\neq\;B\times A}\), sendo que essa igualdade apenas ocorre em casos específicos.

\(^2\)Par Ordenado?

É o par de elementos \((x;\,y)\) onde o primeiro elemento, "\(x\)", indica a coordenada do eixo das abscissas(ou eixo \(x\)) e o segundo elemento, "\(y\)", indica a coordenada do eixo das ordenadas(ou eixo \(y\)) do plano cartesiano. Cada par ordenado indica um ponto deste plano e ainda: como este plano cartesiano é formado por infinitos números reais, teremos infinitos pares ordenados e consequentemente infinitos pontos.