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Iniciando a soma para verificar a formação de algum padrão:

• \(2!(2) + 3!(6) + 4!(24)+5!(120)\ldots\);

• Observe que a partir de \(5!(120), 6!(720)\), todos os números formados terminarão em zero, pois se fatorarmos sempre haverá um ou mais termos iguais a "2" e "5", e que multiplicados entre sí, nos dará "10" ou múltiplos de "10".

• Para a resolução, portanto, vamos pegar o somatório dos valores dos fatoriais:

• \(2!(2) + 3!(6) + 4!(24)+5!(120)=2+6+24+120=15\mathbf{2}\).

• Assim, o algarismo das unidades será igual a 2(dois).

Método da Bisseção com o Teorema de Bolzano

Enunciado

Considere a equação:

\(\sf{f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 1 = 0}\)

Pelo Teorema de Bolzano, há pelo menos uma raiz real no intervalo aberto \((0, 1)\). Use o método da bisseção com duas iterações para estimar essa raiz.

01.Verificação pelo Teorema de Bolzano

A função é polinomial e, portanto, contínua em todo \(\mathbb{R}\). Avaliamos nos extremos:

\(\sf{f(0) = 1 > 0 \to f(1) = -1 < 0 \to f(0) \cdot f(1) = -1 < 0}\)

Logo, existe ao menos uma raiz real em \((0,1)\), conforme garante o Teorema de Bolzano.

02.Aplicação do Método da Bisseção

Iteração01

• Intervalo: \([0, 1]\)

• Ponto médio:

\(m_1 = \dfrac{0 + 1}{2} = 0{,}5\)

• Avaliação:

\(f(0{,}5) = 3(0{,}5)^3 - 5(0{,}5)^2 + 1 = 0{,}125 > 0\)

Como \(f(0) > 0\) e \(f(0{,}5) > 0\), a raiz está entre \(0{,}5\) e \(1\).

Novo intervalo: \([0{,}5,\ 1]\)

Iteração02

• Intervalo: \([0{,}5,\ 1]\)

• Ponto médio:

\(m_2 = \dfrac{0{,}5 + 1}{2} = 0{,}75\)

• Avaliação:

\(f(0{,}75) = 3(0{,}75)^3 - 5(0{,}75)^2 + 1 = -0{,}546875 < 0\)

Agora temos \(f(0{,}5) > 0\) e \(f(0{,}75) < 0\,\Rightarrow\) mudança de sinal.

Novo intervalo: \([0{,}5,\ 0{,}75]\)

Estimativa após 2 iterações

A estimativa da raiz é: \(\sf{\boxed{0{,}625}}\)

Resumo das Iterações

Comentário Final

O método da bisseção é eficiente e seguro, pois garante convergência sob as hipóteses do Teorema de Bolzano. Cada iteração reduz o comprimento do intervalo pela metade, aproximando-nos rapidamente da raiz real desejada.

I.Demonstração da constante \(e\)

A constante \(e\) pode ser definida como o limite da sequência:

Demonstrando que esta definição equivale à série infinita:

Expansão Binomial

Expandimos \(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\) utilizando o Teorema Binomial:

Substituímos o coeficiente binomial:

e obtemos:

Simplificação do Termo Geral

Para cada termo do somatório:

Dividindo os fatores \(n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)\) por \(n^k\), temos:

Quando \(n\to\infty\), todos os fatores \(\dfrac{n-j}{n}\to 1\), e o termo geral tende a \(\dfrac{1}{k!}\)

Limite da Soma

Quando \(n\to\infty\), o somatório \(\displaystyle{\sum_{k=0}^{n}}\) se aproxima de uma soma infinita:

Assim, mostramos que:

II.Demonstração da Identidade de Euler

A identidade de Euler é dada por

A função exponencial natural \(e^z\), para um número complexo \(z = x + i y\), pode ser definida pela seguinte série de potências:

Substituímos \(z = i\pi\), onde \(i\) é a unidade imaginária (\(i^2 = -1\)):

Separando os termos de \(n\) em pares e ímpares, lembrando que \(i^n\) segue um ciclo periódico \(\left(i^0 = 1,\,\, i^1 = i, \,\, i^2 = -1, \,\, i^3 = -i, \,\, i^4 = 1\ldots\right)\), temos:

Os dois somatórios acima correspondem às expansões das séries de Taylor para o cosseno e o seno, respectivamente:

Substituindo:

Sabemos que \(\cos(\pi) = -1\quad\) e \(\quad\sin(\pi) = 0\). Assim:

Portanto, temos:

III.Números Complexos e Constante \(e\)

Vamos deduzir para você a forma trigonométrica dos números complexos, partindo da forma algébrica \(\sf{z=a+bi}\), e chegando à representação que utiliza a constante e. Essa forma utiliza a Fórmula de Euler para expressar os números complexos, que relaciona funções trigonométricas com a exponencial complexa.

Partindo da forma algébrica \(z = a + bi\)

1. Representação no plano complexo

Um número complexo \(z = a + bi\) pode ser representado como um ponto no plano complexo (Plano de Argand-Gauss), onde:

• \(a = Re(z)\) parte real,

• \(b = Im(z)\) parte imaginária

No plano complexo, z também pode ser expresso em coordenadas polares:

onde:

• \(r=|z|=\sqrt{a²+b²}\) (módulo do número complexo)

• \(\theta=arg(z)tg^{-1}\left(\dfrac{b}{a}\right)\) (argumento de z, ou ângulo formado com o eixo real positivo)

• Ligação com a Fórmula de Euler

A fórmula de Euler afirma que:

Isso significa que podemos substituir \(\cos \theta + i sen\, \theta\) por \(e^{i\theta}\). Assim, a fórmula trigonométrica \(z = r{\cos \theta + i sen\, \theta}\) pode ser reescrita como

Deduzindo o formado completo

1.Cálculo do módulo \(r\)

O módulo de \(z\) é dado por:

2.Cálculo do argumento \(\theta\)

O argumento é obtido como:

ajustado para o quadrante correto.

3.Substituindo na forma trigonométrica

Substituímos os valores de \(r\) e \(\theta\) na forma exponencial:

Aqui, \(r\) é o comprimento do vetor no plano complexo (o módulo), e \(e^{i\theta}\) encapsula as informações angulares (as funções trigonométricas).

Resumo Final

A forma trigonométrica \(z = r(cos \theta + i sen \theta)\) pode ser reescrita como:

onde:

\(r=|z|=\sqrt{a²+b²}\,,\)

\(\theta=arg(z)=tg^{-1}\left(\dfrac{b}{a}\right)\)

Apesar do termo, encontrar a taxa média de variação de uma função, significa apenas observar o andamento da imagem dessa função num determinado intervalo de domínio, no caso, desde o valor mínimo, \(\sf{x_1=2}\), até o valor máximo, \(\sf{x_2=5}\); posteriormente, devemos dividir o resultado pelo intervalo de variação do domínio, em outras palavras, devemos obter \(\sf{\dfrac{\Delta\,y}{\Delta x}}\) assim:

Para \(\sf{x_1=2}\to \sf{f(2)=2^2-2.2+8}\to \sf{f(2)=8}\)

Para \(\sf{x_2=5}\to \sf{f(5)=5^2-2.5+8}\to \sf{f(5)=23}\)

Aplicando as variações, teremos:

\(\sf{\dfrac{\Delta\,y}{\Delta x}=\dfrac{23-8}{5-2}=\dfrac{15}{3}=5}\,\,\checkmark\)

A distância(D) entre dois pontos genéricos \(\sf{A(x_A;\,y_A)}\) e \(\sf{B(x_B;\,y_B)}\) é dada por:

Aplicando os devidos valores à fórmula, teremos:

Estabelecer o domínio de uma função é verificar se há(ou não) valores de "x" que tornem essa função impossível matematicamente. Assim, como temos uma raiz quadrada, todo seu radicando deve ser igual ou maior que zero; assim:

\(\sf{2x+10\geqslant 0}\to\boxed{x\geqslant-5}\).

Portanto, o domínio(D) será dado pelo conjunto:

\(\sf{D=\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,x\geqslant -5\right\}}\)

(a) Substitua a fórmula para \(\sf{T(t)}\) na fórmula para \(\sf{N(T)}\) e simplifique-a:

Portanto,

(b) Para obter o tempo quando a contagem de bactérias atinge \(\sf{6752}\), defina \(\sf{N = 6752}\) e resolva a equação em função de "t":

O segundo tempo é negativo e pode ser descartado. Portanto, depois de aproximadamente 3,38h, a contagem de bactérias atinjirá 6752.

Uma função é dita injetora quando cada elemento do conjunto imagem corresponde a apenas um único elemento do conjunto domínio, ou seja, não há dois elementos diferentes no domínio que resultem o mesmo valor na imagem. Se ocorrer que dois(ou mais) valores do domínio resultem o mesmo valor na imagem, essa função é classificada como não injetora(não injetiva). Observe o gráfio abaixo:

Escolhendo dois valores de domínio, no caso, \(\sf{x=2}\) e \(\sf{x=4}\), podemos obter os valores numéricos(imagens) gerados; assim:

Para \(\sf{x=2\to y=5(2-3)^2+4\to y = 9}\)

Para \(\sf{x=4\to y=5(4-3)^2+4\to y = 9}\)

Podemos deduzir que a função \(\sf{y=5(x-3)^2+4}\) não é injetora.(*)

(*)Observações:

• Além desses dois valores de domínio, há outros infinitos pares que poderiam ser utilizados como exemplo a fim de demonstrar a não injeção;
• Embora essa função não possa ser classificada como injetora, ela continua sendo, como se percebe pelo gráfico, uma função quadrática, com todas as propriedades a ela pertinentes. A injeção(ou não) pode ser entendida apenas como, digamos, uma subclassificação funcional.

A partir do gráfico abaixo, faremos todas as resoluções gráficas, como opção aos cálculos matemáticos que chegariam às mesmas soluções:

a) A altura máxima atingida pela bola está no \(\sf{h_v=\dfrac{45}{2}=22,5}\)m.

b) Essa altura é atingida no ponto médio entre as raízes dessa função, ou seja, o ponto médio entre A(0,0) e B(4,0), então o ponto será no \(\sf{t_v=2}\)s.

c) A bola toca o solo, ao final de seu movimento, ou seja, em \(\sf{t=4}\)s.

a) Lei dos Cossenos:

\(\quad 5^2=12^2+13^2-2\cdot 12\cdot 13\cdot\cos(\hat{A})\to 312\cos(\hat{A})=288\to\)

\(\quad \cos(\hat{A})=\dfrac{288}{312}\to\boxed{\hat{A}=\arccos\left(\dfrac{12}{13}\right)\approx 22,62^\circ}\,\,\checkmark\)

b) Lei dos Cossenos: \(\quad 12^2=5^2+13^2-2\cdot 5\cdot 13\cdot\cos(\hat{B})\to 130\cos(\hat{B})=50\to\)

\(\quad \cos(\hat{B})=\dfrac{5}{13}\to\boxed{\hat{B}=\arccos\left(\dfrac{5}{13}\right)\approx 67,38^\circ}\,\,\checkmark\)

c) Sim, o \(\Delta ABC\) é retângulo pois nele, é válido o Teorema de Pitágoras:

\(\quad\,\,13^2= 5^2+12^2\to 169=169\,\,\checkmark\)

a) sen\((30^\circ)=\dfrac{1}{2}\quad\) Pré-requisito

b) Lei dos Cossenos:

Vamos utilizar a fórmula quadrática para

\(\overline{AB}^2-10\sqrt{3}\overline{AB}+36=0\to\overline{AB}=\dfrac{10\sqrt{3}\pm\sqrt{(10\sqrt{3})^2-4\times 1\times 36}}{2\times 1}\to\)

\(\to \overline{AB}=5\sqrt{3}\pm\sqrt{3}\cdot\sqrt{13}\to\boxed{\overline{AB}=\sqrt{3}(5+\sqrt{13})}\,\,\checkmark\)

c) \(\dfrac{10}{\text{sen}(\hat{B})}=\dfrac{8}{\text{sen}(30^\circ)}\to\dfrac{10}{\text{sen}(\hat{B})}=\dfrac{8}{\frac12}\to\text{sen}(\hat{B})=\dfrac{5}{8}\to\boxed{\hat{B}=\text{arcsen}\left(\dfrac{5}{8}\right)\approx 38,68^\circ}\,\,\checkmark\)

a) Para encontrar o vértice da parábola, utilizamos a fórmula: \(\sf{x_v = \dfrac{-b}{2a}}\), onde \(a = 2\) e \(b = -4\).

Substituindo os valores, temos:

Substituímos \(x_v = 1\) na função para encontrar o valor de: [ \sf{y_v=f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 \to y_v = -1} ]

Logo, o vértice é o ponto \(V(1, -1)\).

b) Agora, para as raízes de \(f(x) = 0\), utilizamos a fórmula de Bhaskara:

Com \(a = 2\), \(b = -4\) e \(c = 1\), temos:

Logo, as raízes são:

c) Por fim, o valor mínimo da função ocorre no \(y_v\):

a) The first branch is defined for all \( x \leq 0 \), and the second for \( x > 0 \). Therefore:

The first branch gives values \( f(x) = x + 2 \leq 2 \), and the second gives \( \sqrt{x + 1} > 1 \). Hence:

b) The graph is:

"

c) Suppose \( f(a) = f(b) \). If \( a \leq 0 \) and \( b > 0 \), we would have: \(a + 2 = \sqrt{b + 1}\)

But the range of \( a + 2 \) is \( (-\infty, 2] \) and the range of \( \sqrt{b + 1} \) is \( (1, \infty) \), so they only intersect at \( f(0) = 2 \) and \( f(3) = \sqrt{4} = 2 \). Therefore, \( f(0) = f(3) \), but \( 0 \neq 3 \), so f is not injective.

Para que duas retas sejam paralelas, seus coeficientes angulares devem ser iguais. Como as funções são afins, o coeficiente angular é o número que multiplica \(x\).

• O coeficiente angular de \(g(x)\) é \(3\).

• O coeficiente angular de \(f(x)\) é \((a - 2)\).

Logo, pela condição de paralelismo:

Agora que conhecemos \(a\), substituímos na função \(f\):

Sabemos que o ponto \(P(1,4)\) pertence ao gráfico de \(f\), então:

The function is undefined for \( x = \pm1 \), thus:

Let's study the behavior of the function. Rewriting:

The term \( \dfrac{2x^2}{1 - x^2} \) tends to \( +\infty \) as \( x \to \pm1 \), and tends to 0 as \( x \to 0 \). The function is always increasing in \( x \in (-1, 0) \cup (0, 1) \) and decreasing for \( x < -1 \) or \( x > 1 \).

After a detailed analysis, we find that the image is:

The function is symmetric with respect to the y-axis:

Hence, \( f \) is not injective.

The image has a gap \( (-1, 1) \), hence not all real values are attained. Thus, \( f \) is not surjective.

Pelo Teorema da Altura, temos:

A demonstração baseia-se na semelhança dos triângulos formados pela altura, que estabelece as relações:

Portanto,

a) O que se pode afirmar sobre as medidas dos ângulos \(\sf{\angle\,AD'D}\,\,\) e \(\,\,\sf{\angle\,E'F'Q}\)? Justifique sua resposta.

Resposta:

• Os ângulos AD'D e E'F'Q são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida.

Justificativa:

• Retas paralelas: As retas r, s, t, u e v são paralelas entre si.

• Segmentos transversais: Os segmentos D'P, E'Q e F'R são transversais a essas retas paralelas.

• Ângulos correspondentes: Quando retas paralelas são cortadas por transversais, os ângulos correspondentes são congruentes. Os ângulos AD'D e E'F'Q são ângulos correspondentes formados pelas transversais D'P e F'R com as retas paralelas s e u, respectivamente.

Conclusão: - Portanto, como os ângulos AD'D e E'F'Q são ângulos correspondentes formados por retas paralelas cortadas por transversais, eles possuem a mesma medida.

b) Os triângulos \(\sf{ADD'}\) e \(\sf{E'QF}\) são congruentes? Em caso afirmativo, indique o caso que garante a congruência. Em caso negativo, justifique sua resposta.

Resposta:

• Sim, os triângulos ADD' e E'QF são congruentes. Caso de congruência: O caso de congruência que garante a congruência dos triângulos ADD' e E'QF é o caso LAL (Lado-Ângulo-Lado).

Justificativa:

• AD = EF: O enunciado afirma que os segmentos AD e EF têm medidas iguais.

• Ângulo AD'D = Ângulo E'F'Q: Já demonstramos no item "a" que os ângulos AD'D e E'F'Q são congruentes.

• DD' = F'Q: As retas s e u são paralelas, e os segmentos DD' e F'Q são perpendiculares a essas retas. Portanto, DD' e F'Q são paralelos e congruentes.

Conclusão:

• Como os triângulos ADD' e E'QF possuem dois lados e o ângulo entre eles respectivamente congruentes, eles são congruentes pelo caso LAL.

c) Os segmentos \(\sf{\overline{AD}}\) e \(\sf{\overline{EF}}\) têm medidas iguais. O que se pode afirmar sobre os segmentos \(\sf{\overline{AD'}}\) e \(\sf{\overline{E'F'}}\)?**

Resposta:

• Os segmentos AD' e E'F' têm medidas iguais.

Justificativa:

• Congruência dos triângulos: Demonstramos no item "b" que os triângulos ADD' e E'QF são congruentes.

• Lados correspondentes: Em triângulos congruentes, os lados correspondentes são congruentes. Os segmentos AD' e E'F' são lados correspondentes dos triângulos congruentes ADD' e E'QF.

Conclusão:

• Portanto, como os triângulos ADD' e E'QF são congruentes, os segmentos AD' e E'F' têm a mesma medida.