Parte01

Gráficos de Equações

Com frequência, a relação entre duas grandezas é expressa como uma equação em duas variáveis. Por exemplo, \(y=4-5x\) é uma equação de variáveis \(x\) e \(y\). Um par ordenado \((a;\,b)\) é uma solução ou ponto solução de uma equação em \(x\) e \(y\) quando a substituição de \(x=a\) e \(y=b\) resultar em uma declaração verdadeira. Por exemplo, o par ordenado \((1;\,-1)\) é solução da equação \(y=4-5x\), pois \(-1=4-5\cdot 1\) é uma declaração verdadeira. O gráfico de uma equação é o conjunto de todos os pontos que são solução dessa equação.

Exemplo01: Determinando Pontos Solução

Determine quais dos pontos a seguir, são soluções da equação \(y=2x-3\):

a) \((0;\,-3)\to -3=2\cdot 0-3\to -3=-3\ldots\) é solução

b) \((-1;\,-5)\to -5=2\cdot(-1)-3\to-5=-5\ldots\) é solução

c) \((2;\,0)\to 0=2\cdot 2-3\to 0\neq 1\ldots\) não é solução

d) \((1;\,2)\to 2=2\cdot 1-3\to 2\neq -2\ldots\) não é solução

e) \((2;\,1)\to 1=2\cdot 2-3\to 1=1\ldots\) é solução

Método de Plotagem de Pontos de Gráficos

1. Isole uma das variáveis, se possível;

2. Construa uma tabela de valores(\(^*\)) exibindo vários pontos solução;

3. Coloque esses pontos em um sistema coordenado retangular (Cartesiano);

4. Ligue esses pontos através de uma linha contínua.

(\(^*\))Importante: Utilize valores negativos, o zero e valores positivos quando construir sua tabela, assim você terá um gráfico mais detalhado e com valores resultantes próximos à origem do sistema cartesiano.

Exemplo02: Esboçando o Gráfico de uma Equação

Esboçe o gráfico da equação \(y=2x-3\)

1. Veja que a equação já tem a variável \(y\) isolada.

2. Vamos construir a tabela de valores que exibam vários pontos solução:

\(\begin{array}{rrr} x & y=2x-3 & (x;\,y) \\ -2 & -7 & (-2;\,-7)\\ -1 & -5 & (-1;\,-5)\\ 0 & -3 & (0;\,-3) \\ 1 & -1 & (1;\,-1) \\ 2 & 1 & (2;\,1) \end{array}\)

3. Vamos colocar esses pontos no sistema cartesiano e ligá-los:

Exemplo03: Esboçando o Gráfico de uma Equação}

Esboce o gráfico da equação \(y=x^2-3\)

1. A equação já tem a variável \(y\) isolada.

2. Construindo a tabela de pontos solução:

\(\begin{array}{lrrrrr} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ y=x^2-3 & 1 & -2 & -3 & -2 & 1 \\ (x;\,y) & (-2;\,1) & (-1;\,-2) & (0;\,-3) & (1;\,-2) & (2;\,1) \\ \end{array}\)

3. Colocando e ligando esses pontos solução no plano cartesiano:

Observação

É importante que saibamos, ao visualizar uma equação, o formato básico de seu gráfico. Aprendemos que a equação linear do Exemplo02 tem a equação \(y=mx+b\) e seu gráfico é uma reta. Da mesma forma, aprendemos que a equação quadrática do Exemplo03 tem a equação \(y=ax^2+bx+c\) e seu gráfico é uma parábola.

É válido salientar que, com a experiência, vamos perceber que não há a necessidade de obter muitos pontos solução a fim de construirmos os respectivos gráficos, desde que já conheçamos a equação apresentada. No Exemplo02, como se trata de uma reta, basta-nos obter 2(dois) pontos distintos. No Exemplo03, como se trata de uma parábola, é mais complexo, entretanto, se soubermos obter pontos específicos, tais como: vértice, zero(s) etc., além do eixo de simetria e da concavidade (para cima ou para baixo), já facilitaria a construção gráfica.