Parte01¶
Introdução¶
Ao resolvermos uma equação do 2° grau, o método mais conhecido é através da fórmula quadrática, ou fórrmula de Bhaskara. Vamos analisar a resolução da equação \(x^2-4x+5=0\), no universo dos números reais:
\(x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\times 1\times 5}}{2\times 1}\to \ldots \to x=\dfrac{4\pm\sqrt{-4}}{2}\)
Como o discriminante tem valor negativo \(-4\), a equação não tem solução real.
Durante muito tempo, os matemáticos também estiveram diante desse problema, pois havia a necessidade de um conjunto numérico cujos valores ao quadrado, resultassem um valor negativo, para que houvesse, assim, a possibilidade de se encontrar alguma solução.
Muitos matemáticos buscaram soluções e, durante o século XVI, os italianos Gerônimo Cardano (1501-1576) e Raphael Bombelli (1526-1573) foram os que mais se destacaram nessas pesquisas. Entretanto, o reconhecimento de números com essa natureza somente ganhou impulso, quando Gauss (1777-1855) conseguiu uma interpretação geométrica acerca dos números, que viriam a ser conhecidos como complexos, cujo conjunto é o maior de todos, pois inclui os números reais.
Para se chegar a esses números complexos, o caminho mais simples é através da adoção das operações entre pares ordenados. Essas operações têm maior complexidade, uma vez que as demonstrações são realizadas por operações vetoriais. A fim de simplificar nossa tarefa, vamos utilizar algumas definições, para que não sejam necessárias tais demonstrações.
Operações com pares ordenados¶
\(\boldsymbol{\Rrightarrow}\)Das Operações
No conjunto dos números reais\((\mathbb{R})\), consideremos o produto cartesiano \(\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times\mathbb{R}\):
onde \(\mathbb{R}^2\) é o conjunto dos pares ordenados \((x;\,y)\), com "\(x\)" e "\(y\)" números reais.
Tomando dois pares ordenados genéricos, \((a;\,b)\) e \((c;\,d)\), podemos definir:
a) Igualdade: Dois pares ordenados são iguais se, e somente se, apresentarem os primeiros termos e os segundos termos iguais; em símbolos:
b) Adição: A soma de dois pares ordenados é um novo par ordenado onde o primeiro e o segundo termos são, respectivamente, a soma dos primeiros e a soma dos segundos termos dos pares dados; em símbolos:
c) Multiplicação: O produto de dois pares ordenados é um novo par ordenado onde o primeiro termo é a diferença entre o produto dos primeiros termos e o produto dos segundos termos dos pares dados e onde o segundo termo é a soma dos produtos do primeiro termo de cada par dado pelo segundo termo do outro; em símbolos:
\(\boldsymbol{\Rrightarrow}\)Do Conjunto dos Números Complexos
O conjunto dos números complexos\((\mathbb{C})\) é aquele formado pelos pares ordenados de números reais para os quais definem-se a igualdade, a adição e a multiplicação. Comumente, utiliza-se o símbolo "\(z\)" para cada elemento, ou par ordenado \((x;\,y)\in\mathbb{C}\); assim:
\(\boldsymbol{\Rrightarrow}\)Alguns Exemplos Práticos
1º) Dados \(z_{1}=(3;\,2)\) e \(z_{2}=(1;\,0)\), obtenha \(z_{1}+z_{2};\quad z_{1}\cdot z_{2};\quad z_{1}^2\quad\) e \(\quad z_{2}^2\).
Soluções:
\(z_{1}+z_{2}= (3;\,2)+(1,\,0)=(3+1;\,2+0)=(4;\,2)\,\checkmark\)
\(z_{1}\cdot z_{2}=(3;\,2)\cdot (1;\,0)=(3\cdot 1-2\cdot 0;\,\,3\cdot 0+2\cdot 1)=(3;\,2)\,\checkmark\)
\(z_{1}^2=z_{1}\cdot z_{1}=(3;\,2)\cdot(3;\,2)=(3\cdot 3-2\cdot 2;\,3\cdot 2+2\cdot 3)=(5;\,12)\,\checkmark\)
\(z_{2}^2=z_{2}\cdot z_{2}=(1;\,0)\cdot(1;\,0)=(1\cdot 1-0\cdot 0;\,1\cdot 0+0\cdot 1)=(1;\,0)\,\checkmark\)
2º) Dados \(z_{1}=(2;\,3)\,\,\,\) e \(\,\,\,z_{2}=(4;\,5)\), calcular \(z=(x;\,y)\), sendo \(z_{2}+z=z_{1}\).
Solução:
\(z_{2}+z=z_{1}\Rightarrow(4;\,5)+(x;\,y)=(2;\,3)\Rightarrow(4+x;\,\,5+y)=(2;\,3)\Rightarrow\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{rcrcr}4&+&x&=&2\\5&+&y&=&3\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{rcr}x&=&-2\\y&=&-2\end{array}\right.\)
Portanto \(\boxed{z=(-2;\,-2)}\,\checkmark\)
3º) Dados \(z_{1}=(2;\,-2)\,\,\,\) e \(\,\,\,z_{2}=(3;\,4)\), calcular \(z=(x;\,y)\), sendo \(z_{1}\cdot z=z_{2}\).
Solução:
\(\left.\begin{array}{ll}z_{1}\cdot z=z_{2}&\Rightarrow(2;\,-2)\cdot(x;\,y)=(3;\,4)\Rightarrow\\&\Rightarrow[2\cdot x-(-2)\cdot y;\,\,2\cdot y+(-2)\cdot x]=(3;\,4)\Rightarrow\\&\Rightarrow(2x+2y;\,\,2y-2x)=(3;\,4)\Rightarrow\end{array}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{rcrcl}\cancel{2x}&+&2y&=&3\\-\cancel{2x}&+&2y&=&4\,\,(+)\end{array}\right.\Rightarrow\)
\(\Rightarrow 4y=7\to\boxed{y=\dfrac{7}{4}}\,\checkmark\)
Aplicando \(y=\dfrac{7}{4}\) à primeira equação, teremos:
\(2x+\cancel{2}\cdot\dfrac{7}{\cancel{4}}=3\to 2x+\dfrac{7}{2}=3\to 2x=\dfrac{6}{2}-\dfrac{7}{2}\to 2x=-\dfrac{1}{2}\to\boxed{x=-\dfrac{1}{4}}\,\checkmark\)
Portanto \(\boxed{z=\left(-\dfrac{1}{4};\,\,\dfrac{7}{4}\right)}\,\checkmark\)
4º) Nos números naturais, são definidas duas operações fundamentais: adição e multiplicação, portanto os naturais são fechados para essas operações e possuem as seguintes propriedades:
a) Sabendo que \((x+y,\,x-y)=(7,\,-1)\), obtenha os valores de \(x\) e \(y\).
\(\left\{
\begin{array}{rcrcr}
x & + & \cancel{y} & = & 7 \\
x & - & \cancel{y} & = & -1 \\
\hline 2x & & & = & 6
\end{array}
\right.\)
De \(2x=6\to \boxed{x=3}\). Substituindo-se \(x=3\) na primeira equação, teremos:
\(3+y=7\to\boxed{y=4}\). Portanto, o par ordenado resultante será: \((3,\,4)\)
b) \((-3,\,4)+(5,\,6)=(-3+5,\,4+6)=(2,\,10)\)
c) \((0,\,2)\cdot (-4,\,7)=[\cancel{0\cdot(-4)}-2\cdot 7,\,\cancel{0\cdot 7}+2\cdot(-4)]=(-14,\,-8)\)
d) \((3,\,0)+(4,\,0)=(3+4,\,0+0)=(7,0)\)
e) \((3,\,0)\times (4,\,0)=(3\cdot 4-\cancel{0\cdot 0},\,\cancel{3\cdot 0}+\cancel{0\cdot 4})=(12,0)\)
Observando os exemplos "\(d\)" e "\(e\)", podemos concluir que o par ordenado da forma \((x,\,0)\) será sempre o número real \(x\), ou seja: \(\boxed{x=(x,\,0),\,\text{para todo x real}}\)
Vamos observar, especificamente, o produto do par ordenado \((0,\,1)\) por ele mesmo:
\((0,\,1)\times (0,\,1)=(0\cdot 0-1\cdot 1,\,0\cdot 1+1\cdot 0)=(0-1,\,0+0)=(-1,0)=-1\)
Chamando o par ordenado \((0,\,1)\) de unidade imaginária, representada por \(i\), teremos que o produto da unidade imaginária por ela mesma, de acordo com o afirmado anteriormente, será:
\(i\times i=i^2=-1\), apenas destacando, portanto: \(\boxed{i^2=-1}\) ou ainda \(\boxed{i=\sqrt{-1}}\)
Finalmente, utilizando as operações com pares ordenados, concluímos que há um valor numérico "cujo quadrado é igual a um número negativo".
\(\boldsymbol{\Rrightarrow}\)Das Propriedades da Adição
Teorema
As seguintes propriedades são válidas para a operação de adição no conjunto dos números complexos\((\mathbb{C})\):
- 1️⃣Associativa
- 2️⃣Comutativa
- 3️⃣Elemento Neutro
- 4️⃣Elemento Simétrico
Demonstrações
Para as demonstrações, vamos adotar os seguintes números complexos genéricos:
- \(z_{1}=(a;\,b)\,\,a,\,b\in\mathbb{R}\);
- \(z_{2}=(c;\,d)\,\,c,\,d\in\mathbb{R}\);
- \(z_{3}=(e;\,f)\,\,e,\,f\in\mathbb{R}\).
1️⃣Associativa \(\Rightarrow\) \(\underbrace{(z_{1}+z_{2})+z_{3}}_{I}=\underbrace{z_{1}+(z_{2}+z_{3})}_{II},\,\forall z_{1};\,z_{2};\,z_{3}\,\in\mathbb{C}\)
\(\overbrace{(z_{1}+z_{2})+z_{3}}^{I}=[(a;\,b)+(c;\,d)]+(e;\,f)=(a+c;\,b+d)+(e;\,f)=\)
\(=[(a+c)+e;\,(b+d)+f]=[a+(c+e);\,b+(d+f)]=\)
\(=(a,b)+(c+e;\,d+f)=(a;\,b)+[(c;\,d)+(e;\,f)]=\overbrace{z_{1}+(z_{2}+z_{3})}^{II}\)
2️⃣Comutativa