Parte02

Forma Algébrica

Tomando um número complexo genérico \((a,\,b)\), com \(a\in \mathbb{R}\) e \(b\in\mathbb{R}\), teremos:

\(\begin{array}{rl}z=(a,\,b)=&(a,\,0)+(0,\,b)\\=&a,\,0)+\underbrace{(b\cdot 0-0\cdot 1,\,b\cdot 1+0\cdot 0)}_{(0,\,b)^{(*)}}\\=&\underbrace{(a,\,0)}_{a}+\underbrace{(b,\,0)}_{b}\cdot\underbrace{(0,\,1)}_{i}\\(a,\,b)=&a+bi\\&\\\text{ou seja:}&\text{A forma algébrica é}\,\, \boxed{z=a+bi} \end{array}\)

(*)Apenas esclarecendo que \(\boxed{(0,\,b)=(b,\,0)\times (0,\,1)}\)

Exemplos de números complexos na forma algébrica:

\(\begin{array}{lcllcllcl} a) (1,\,4) & = & 1+4i & b) \left(3,\,\sqrt{7}\right) & = & 3+i\sqrt{7} & c) (0,\,-2) & = & -2i \\ d) (2,\,2) & = & 2+2i & e) (0,\,0) & = & 0 & f) (-2,\,1) & = & -2+i\\ g) (2,\,0) & = & 2 & h) (1,\,0) & = & 1 & i) (-3,\,0) & = & -3 \\ j) (0,\,2) & = & 2i & k) (0,\,1) & = & i & l) (0,\,-3) & = & -3i \end{array}\)

Nomenclatura

Para todo \(z=a+bi\), com \(a\in\mathbb{R}\) e \(b\in\mathbb{R}\), "\(a\)" é chamado de parte real,
isto é: \(\boxed{Re(z)=a}\)

Para todo \(z=a+bi\), com \(a\in\mathbb{R}\) e \(b\in\mathbb{R}\), "\(b\)" é chamado de parte imaginária,
isto é: \(\boxed{Im(z)=b}\)

Duas consequências

Quando a parte imaginária for igual a zero, isto é, \(Im(z)=0\), \(z\) será um número real:

\(z_{1}=0;\quad z_{2}=1;\quad z_{3}=\dfrac{\sqrt[3]{7}}{2}\)

Quando a parte real for igual a zero, isto é, \(Re(z)=0\), \(z\) será um número imaginário puro:

\(z_{4}=i;\quad z_{5}=-3i;\quad z_{6}=\dfrac{i}{2}\)

Exercícios resolvidos

1. Obtenha "\(m\)", para que o número complexo \(z=(2m^{2}-8)+(m+2)i\) seja imaginário puro:

Para que seja imaginário puro, devemos ter a parte real de \(z\) igual a zero, isto é:

\(2m^{2}-8=0\to 2m^2=8\to m^2=4\to \xcancel{m=-2}\)(*) ou \(\boxed{m=2}\)

(*)Entretanto, se tomássemos \(m=-2\), zeraríamos tanto a parte real, quanto a parte imaginária, portanto, a solução final será apenas \(\boxed{m=2}\)

2. Resolva a equação \(x^{4}-256=0\) (*)

Fatorando o parte esquerda dessa equação, teremos:

\(x^{4}-256=0\to (x^2-16)\cdot (x^2+16)=0\to (x-4)\cdot (x+4)\cdot(x^2+16)=0\)\

Daí:

\((x-4)=0\to \boxed{x=4}\) 1ª solução, real;

\((x+4)=0\to \boxed{x=-4}\) 2ª solução, real;

\((x^{2}+16)=0\to x^{2}=-16\to x=\pm\sqrt{-16}\to x=\underbrace{\pm\sqrt{16}}_{\pm 4}\times \underbrace{\sqrt{-1}}_{i}\to\)

\(\boxed{x=-4i}\) 3ª solução, imaginário puro;

ou

\(\boxed{x=4i}\) 4ª solução, imaginário puro.

Portanto, a solução final(\(S\)) será: \(\boxed{S=\{ -4i,\, 4i,\, -4,\, 4 \}}\)

(*) Observe que na questão, não há qualquer referência ao conjunto universo a ser adotado. Nesses casos, adote, sempre, o maior conjunto que se conhece. Como já conhecemos o conjunto dos números complexos \((\mathbb{C})\), é este que foi adotado.