Parte03¶
Simetria¶
Gráficos de equações podem ter simetria em relação aos eixos coordenados(abscissas ou ordenadas) ou em relação à origem do sistema cartesiano.
Simetria em relação aos eixos¶
\(\rightarrow\)Simetria em relação ao eixo das abscissas significa que a parte do gráfico da equação que está acima do eixo das abscissas coincide com a parte do gráfico da equação que está abaixo do eixo das abscissas.
\(\rightarrow\)Simetria em relação ao eixo das ordenadas significa que a parte do gráfico da equação que está à direita do eixo das ordenadas coincide com a parte do gráfico da equação que está à esquerda do eixo das ordenadas.
Simetria em relação à origem¶
\(\rightarrow\)Simetria em relação à origem para equações em quadrantes ímpares significa que a parte do gráfico que está no primeiro quadrante coincide inversamente com a parte do gráfico que está no terceiro quadrante.
\(\rightarrow\)Simetria em relação à origem para equações em quadrantes pares significa que a parte do gráfico que está no segundo quadrante coincide inversamente com a parte do gráfico que está no quarto quadrante.
Testes para simetria¶
Testes Gráficos para Simetria
-
Um gráfico é simétrico em relação ao eixo das abscissas se, tomado o ponto \((x;\,y)\) do gráfico, o ponto \((x;\,-y)\) também pertence ao gráfico.
-
Um gráfico é simétrico em relação ao eixo das ordenadas se, tomado o ponto \((x;\,y)\) do gráfico, o ponto \((-x;\,y)\) também pertence ao gráfico.
-
Um gráfico é simétrico em relação à origem do sistema cartesiano se, tomado o ponto \((x;\,y)\) do gráfico, o ponto \((-x;\,-y)\) também pertence ao gráfico.
Testes Algébricos para Simetria
-
Um gráfico é simétrico em relação ao eixo das abscissas quando, a substituição de \(y\) por \(-y\), produz uma equação equivalente(\(^*\)).
-
Um gráfico é simétrico em relação ao eixo das ordenadas quando, a substituição de \(x\) por \(-x\), produz uma equação equivalente.
-
Um gráfico é simétrico em relação à origem do sistema cartesiano quando, as substituições de \(x\) por \(-x\) e \(y\) por \(-y\), produzem uma equação equivalente.
(\(^*\)) Equações equivalentes são aqueles que possuem as mesmas soluções algébricas ou os mesmos pontos solução.
Importante
Conhecer e entender a simetria de um gráfico antes de tentar esboçá-lo é útil, pois precisamos apenas da metade dos pontos solução para esboçá-lo.
Exemplo01: Testes para Simetria
a) Teste \(y=3x^3\) para simetria em relação aos eixos coordenados e à origem do sistema cartesiano.
a.1) Teste para o eixo das abscissas:
\(\begin{array}{rcrl} y & = & 3x^3\rightarrow & \text{Equação original;}\\ -y & = & 3x^3\rightarrow & \text{Substituindo y por -y não resulta uma equação equivalente.} \end{array}\)
a.2) Teste para o eixo das ordenadas:
\(\begin{array}{rcrl} y & = & 3x^3\rightarrow & \text{Equação original;}\\ y & = & 3(-x)^3\rightarrow & \text{Substituindo x por -x;}\\ y & = & -3x^3\rightarrow & \text{Simplificando, não resulta uma equação equivalente.} \end{array}\)
a.3) Teste para a origem do sistema cartesiano:
\(\begin{array}{rcrl} y & = & 3x^3\rightarrow & \text{Equação original;}\\ -y & = & 3(-x)^3\rightarrow & \text{Substituindo y por -y e x por -x;}\\ y & = & 3x^3\rightarrow & \text{Simplificando, resulta numa equação equivalente.} \end{array}\)
a.4) Observe o gráfico da equação \(y=3x^3\):
.png)
b) Teste \(x-2y^2=1\) para simetria em relação aos eixos coordenados e à origem do sistema cartesiano.
a.1) Teste para o eixo das abscissas:
\(\begin{array}{rcrl} 1 & = & x-2y^2\rightarrow & \text{Equação original;}\\ 1 & = & x-2(-y)^2\rightarrow & \text{Substituindo y por -y;}\\ 1 & = & x-2y^2\rightarrow & \text{Simplificando, resulta numa equação equivalente.} \end{array}\)
a.2) Teste para o eixo das ordenadas:
\(\begin{array}{rcrl} 1 & = & x-2y^2\rightarrow & \text{Equação original;}\\ 1 & = & -x-2y^2\rightarrow & \text{Substituindo x por -x não resulta uma equação equivalente.} \end{array}\)
a.3) Teste para a origem do sistema cartesiano:
\(\begin{array}{rcrl} 1 & = & x-2y^2\rightarrow & \text{Equação original;}\\ 1 & = & -x-2(-y)^2\rightarrow & \text{Substituindo y por -y e x por -x;}\\ 1 & = & -x-2y^2\rightarrow & \text{Simplificando, não resulta em uma equação equivalente.} \end{array}\)
a.4) Observe o gráfico da equação \(x-2y^2=1\):
.png)
Exemplo02: Usando Simetria para Esboçar Gráfico
Utilize a simetria para esboçar o gráfico da equação \(-x+y^2=3\)
Dos três testes algébricos possíveis, essa equação apenas se define simétrica em relação ao eixo das abscissas, pois:
\(\begin{array}{rcrl} 3 & = & -x+y^2\rightarrow & \text{Equação original;}\\ 3 & = & -x+(-y)^2\rightarrow & \text{Substituindo y por -y;}\\ 3 & = & -x+y^2\rightarrow & \text{Simplificando, resulta numa equação equivalente.} \end{array}\)
Observe o gráfico abaixo, com alguns pontos solução que evidenciam a simetria dessa equação:
.png)
Exemplo03: Esboce o gráfico da equação \(y=|2x-4|\)
Essa equação falha nos três testes possíveis de simetria, consequentemente, seu gráfico não é simétrico em relação aos eixos e em relação à origem. As barras determinam que os valores de \(y\) podem ser apenas não negativos, por isso, vamos determinar valores de \(x\) simétricos entre si, a fim de obter a simetria em relação ao eixo de simetria que passa pelo ponto \((2;\,0)\) e tem equação \(x=2\). Dois processos:
1º) Construção da tabela
\(\begin{array}{lccccc} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ y=|2x-4| & 4 & 2 & 0 & 2 & 4 \\ (x;\,y) & (0;\,4) & (1;\,2) & (2;\,0) & (3;\,2) & (4;\,4) \end{array}\)
2º) Construção do gráfico, utilizando os valores da tabela:
.png)