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Parte03

Operações na forma algébrica

Identidade aditiva

A identidade aditiva de um conjunto, que suporta a operação de adição, é um elemento que adicionado a qualquer elemento desse conjunto, produz este mesmo elemento. Uma das mais conhecidas identidades aditivas é o número 0, também chamado de elemento neutro da adição.

Inverso aditivo

É o valor numérico que adicionado a outro número, resulta o elemento neutro da adição, ou seja, resulta no número 0(zero). Dessa forma, por exemplo, -4 é o inverso aditivo de +4, pois a soma de ambos é igual a zero. Inversamente, +4 é o inverso aditivo de -4, pois a soma de ambos é igual a zero. Quando tomados aos pares, por exemplo, -4 e 4, teremos pares de conjugados de inversos aditivos.

Igualdade

Dois números complexos genéricos, na forma algébrica \(z_{1}=a+bi\) e \(z_{2}=c+di\) serão iguais, ou seja, \(z_{1}=z_{2}\) se, e somente se \(a=c\) e \(b=d\). Veja que o raciocínio utilizado é o mesmo da igualdade de pares ordenados, pois, como vimos anteriormente, podemos indicar os números complexos na forma algébrica, por pares ordenados, aqui, \(z_{1}=(a,b)\) e \(z_{2}=(c,d)\).

Adição e Subtração

Para adicionarmos(ou subtrairmos) dois números complexos na forma algébrica, devemos operar, separadamente: a parte real com a parte real e; a parte imaginária com a parte imaginária. Assim: para dois números complexos genéricos \(z_{1}=a+bi\) e \(z_{2}=c+di\), ambos na forma algébrica, a soma ou a diferença são definidas, simbolicamente:

\(\begin{array}{ll} \text{Soma:} & (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\\ & \\ \text{Diferença:} & (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i \end{array}\)

Exercícios resolvidos

Efetue:

\(\begin{array}{rll} a) (3+11i)+(11-3i)= & 3+11i+11-3i & \leftarrow \text{Removendo os parênteses}\\ z_{1}+z_{2}= & \underbrace{(3+11)}_{\text{Re}} + \underbrace{(11-3)}_{\text{Im}}i & \leftarrow \text{Agrupando as partes}\\ z_{1}+z_{2}= & 14-8i & \leftarrow \text{Finalizando} \end{array}\)

\(\begin{array}{rll} b) (-5+8i)-(-2-7i)= & -5+8i+2+7i & \leftarrow \text{Removendo os parênteses}\\ z_{1}+z_{2}= & \underbrace{(-5+2)}_{\text{Re}} + \underbrace{(8+7)}_{\text{Im}}i & \leftarrow \text{Agrupando as partes}\\ z_{1}+z_{2}= & -3+15i & \leftarrow \text{Finalizando} \end{array}\)

\(\begin{array}{rll} c) (2-3i)-(-12+20i)-(\sqrt{3}-i\sqrt{2})+(4-9i) & = &\\ (2+12-\sqrt{3}+4)+(-3-20+\sqrt{2}-9)i & = &\\ (18-\sqrt{3})-(32-\sqrt{2})i & \leftarrow &\text{Finalizando} \end{array}\)

Observação: Veja que podemos operar com muitos números complexos ao mesmo tempo, bastando tomarmos o cuidado de agrupar as partes reais(de todos) e, depois, as partes imaginárias(também de todos). Como aconteceu no último exercício, quando necessário, podemos também "deixar indicados" alguns termos, principalmente, se formos garantir uma maior precisão do resultado.

Multiplicação

Muitas propriedades adotadas com os números reais, também são válidas com os números complexos, por exemplo:

  • Propriedades associativas da adição e da multiplicação;
  • Propriedades comutativas da adição e da multiplicação;
  • Propriedade distributiva da multiplicação, em relação à adição.

Vamos observar as propriedades acima citadas e como elas são utilizadas na multiplicação de dois números complexos genéricos, na forma algébrica:

\(\begin{array}{rll} (a+bi)(c+di)= & a(c+di)+bi(c+di) & \leftarrow \text{Propriedade Distributiva}\\ = & ac+(ad)i+(bc)i+(bd)\cancel{i^2}^{\,\,(-1)} & \leftarrow \text{Propriedade Distributiva}\\ = & ac-bd+(ad)i+(bc)i & \leftarrow \text{Propriedade Comutativa}\\ = & (ac-bd)+(ad+bc)i & \leftarrow \text{Propriedade Associativa} \end{array}\)

Assim, para dois(ou mais) números complexos na forma algébrica, efetua-se a multiplicação(produto) entre eles, operando-se "todos por todos", tomando-se o cuidado de observar que \(i^2=-1\).

Exercícios resolvidos

Efetue os seguintes produtos:

a) \(5(-3+2i)=\underbrace{5(-3)+5(2i)}=\boxed{-15+10i}\)

b) \((2-3i)(4+7i)= \underbrace{2.4+2.7i-3i.4-3i.7i}= \underbrace{8+14i-12i+21}= \boxed{29+2i}\)

c) \((2-i)(4+3i)=\underbrace{2.4+2.3i)-i.4-i.3i)}=\underbrace{8+6i-4i+3}= \boxed{ 11+2i}\)

d) \((a+bi)(a-bi)=a^2-\cancel{abi}+\cancel{abi}+b^2.i^2=\boxed{a^2+b^2}\)

e) \((3-4i)(3+4i)=9+16=\boxed{25}\)

f) \((a+bi)^2=(a+bi)(a+bi)=a^2+abi+abi+b^2.i^2=\boxed{a^2+2abi-b^2}\)

g) \((4+3i)^2=(4+3i)(4+3i)=16+24i-9=\boxed{7+24i}\)

Conjugado do número complexo

Dado um número complexo genérico, na forma algébrica, \(z=a+bi\). Este mesmo número pode ser indicado como um par ordenado, ou seja, \(z=(a,b)\). O conjugado de um par ordenado é o par ordenado oposto a ele, em relação ao eixo das abscissas, isto é, eixo "\(x\)". Assim, o conjugado de \(z\), indicado por \(\overline{z}\) será o par ordenado \((a,-b)\). Portanto, poderemos simbolizar assim:

\(\boxed{z=a+bi\Rightarrow \overline{z}=a-bi}\)

Uma observação que se faz necessária - e útil - refere-se ao produto \(z\times \overline{z}\), pois, toda vez que assim procedermos, o valor final será, necessariamente, um valor real, isto é, desprovido de parte imaginária. O conhecimento deste fato, muito nos auxiliará no processo de divisão de números complexos, na forma algébrica. Vamos tomar alguns exemplos numéricos:

a) \((1+i)(1-i)=1^2-i^2=1+1=2\)

b) \((2-3i)(2+3i)=2^2-(3i)^2=4+9=13\)

c) \((3+6i)(3-6i)=3^2-(6i)^2=9+36=45\)

d) \((4-3i)(4+3i)=4^2-(3i)^2=16+9=25\)

Divisão de números complexos

Para escrevermos o quociente de dois números complexos na forma algébrica, garantido que o denominador seja diferente de zero, devemos multiplicar ambos, numerador e denominador, pelo conjugado do denominador. Isto nos garantirá, como já vimos, que o denominador será sempre um número real, desprovido de parte imaginária. Somente neste momento é que dividiremos, efetivamente, os números complexos dados.

Tomando dois números complexos genéricos, na forma algébrica, \(z_{1}=a+bi\) e \(z_{2}=c+di\) e, sendo \(\overline{z}_{2}=c-di\), vamos obter o quociente \(\dfrac{z_{1}}{z_{2}}\):

\(\boxed{\dfrac{z_{1}}{z_{2}}=\dfrac{a+bi}{c+di}=\dfrac{a+bi}{c+di}\times\dfrac{(c-di)}{(c-di)}=\dfrac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}}\)

Exercícios resolvidos

Efetue:

a) \(\dfrac{2+3i}{4-2i}=\dfrac{2+3i}{4-2i}\times \dfrac{4+2i}{4+2i}=\dfrac{8+4i+12i+6i^2}{16-4i^2}=\dfrac{2+16i}{20}=\)

\(=\underbrace{\dfrac{2}{20}+\dfrac{16}{20}i}_{(*)}=\boxed{\dfrac{1}{10}+\dfrac{4}{5}i}\)

(*)Observe que apenas nesta passagem do exercício é que efetivamente ocorre a divisão, tanto na parte real, onde \(\dfrac{2}{20}=\dfrac{1}{10}\), quanto na parte imaginária, onde \(\dfrac{16}{20}=\dfrac{4}{5}\).

b) \(\dfrac{(2+i)}{(2-i)}=\dfrac{(2+i)}{(2-i)}\times \dfrac{(2+i)}{(2+i)}=\dfrac{3+4i}{5}=\boxed{\dfrac{3}{5}+\dfrac{4}{5}i}\)