Parte04¶
Circunferências¶
Assim como já reconhecemos que o gráfico de uma equação do segundo grau da forma \(y=ax^2+bx+c\) é uma parábola, também a equação de uma circunferência não será difícil de reconhecer. Considere a circunferência\((\lambda)\) abaixo. Um ponto \(P(x;\,y)\) pertence a \(\lambda\) se, e somente se, sua distância ao centro \(C(a;\,b)\) é igual ao raio\((r)\).
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Utilizando a fórmula de distância\((r)\) entre os pontos \(P(x;\,y)\) e \(C(a;\,b)\), teremos:
\(\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r\to\)
\(\left(\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}\right)^2=\to\)
\((r)^2\to (x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
Assim, a forma reduzida da equação de uma circunferência "\(\lambda\)" de centro \(C(a;\,b)\) e raio \(r\) é:
onde \(P(x;\,y)\) é um ponto genérico que pertence a \(\lambda\).
Exemplo01: Obtendo a Equação Reduzida da Circunferência
a) Dado um ponto \(P(3;\,4)\), pertencente à circunferência \(\lambda\), de centro \(C(-1;\,2)\), obtenha a equação reduzida de \(\lambda\).
Vamos encontrar o valor do raio \(r\):
\(r=\sqrt{[3-(-1)]^2+(4-2)^2}\to r=\sqrt{16+4}\to \boxed{r=\sqrt{20}}\)
Para um ponto genérico \(P(x;\,y)\), pertencente a \(\lambda\); de centro \(C(-1;\,2)\) e raio \(r=\sqrt{20}\), teremos a equação reduzida de \(\lambda\):
b) Dado um ponto \(P(1;\,-2)\), pertencente à circunferência \(\lambda\), de centro \(C(-3;\,-5)\), obtenha a equação reduzida de \(\lambda\).
Vamos encontrar o valor do raio \(r\):
\(r=\sqrt{[1-(-3)]^2+[-2-(-5)]^2}\to r=\sqrt{16+9}\to \boxed{r=5}\)
Para um ponto genérico \(P(x;\,y)\), pertencente a \(\lambda\); de centro \(C(-3;\,-5)\) e raio \(r=5\), teremos a equação reduzida de \(\lambda\):