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Parte04

Equações Quadráticas

A raiz quadrada de um número "\(x\)", isto é, \(\sqrt{x}\), é um número único e não negativo que, quando multiplicado por si próprio, se iguala a "\(x\)".

Todo número real não negativo possui uma única raiz quadrada não negativa, chamada de raiz quadrada principal, à qual é denotada pelo símbolo \(\displaystyle{\sqrt {x}}\). Por exemplo, 3 é a raiz quadrada de 9, ou seja, \(\displaystyle {\sqrt {9}}=3\), pois \(\displaystyle 3^{2}=3\times 3=9\), e 3 é um número real não negativo.

Podemos, por exemplo, escrever \(\sqrt{-3}\), desdobrando-a como \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{-1}\), obtendo-se \(i\sqrt{3}\). Neste caso, \(i\sqrt{3}\) é a raiz quadrada principal de \(-3\).

Sendo "\(a\)" um número real positivo, a raiz quadrada principal de "\(-a\)" será definida por:

\(\boxed{\sqrt{-a}=i\sqrt{a}}\)

Neste ponto, podemos retornar ao primeiro exemplo de equação quadrática, ainda no tópico "Introdução" e resolvê-la através da fórmula quadrática, encontrando as soluções de \(x^2-4x+5=0\):

\(\begin{array}{rl} x = & \dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4\times 1\times 5}}{2\times 1}=\dfrac{4\pm \sqrt{16-20}}{2}\rightarrow\\ x = & \dfrac{4\pm \sqrt{-4}}{2}=\dfrac{4\pm 2i}{2}=\dfrac{\cancel{2}(2\pm i)}{\cancel{2}}\quad \therefore\,\,\boxed{x_{1}=2-i}\,\, ou\,\, \boxed{x_{2}=2+i} \end{array}\)

Observação: Toda equação polinomial com uma variável e com os coeficientes reais, tendo uma raiz complexa, o conjugado dessa raiz, também será, obrigatoriamente, raiz da equação.

ATENÇÃO

A definição de raiz quadrada principal utiliza a regra

\(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}\)

para \(a>0\) e \(b<0\).

Entretanto, essa regra não é válida se ambos \(a\) e \(b\) são negativos. Veja:

\(\begin{array}{rl} \sqrt{-7}.\sqrt{-7}= & \sqrt{7(-1)}.\sqrt{7(-1)}\\ = & i\sqrt{7}.i\sqrt{7}\\ = & i^2\sqrt{49}\\ = & (-1).7\\ = & -7 \end{array}\)

enquanto \(\boxed{\sqrt{(-7)(-7)}=\sqrt{49}=7}\)

Portanto, para evitar problemas com as raízes quadradas de números negativos, não se esqueça de converter os números para a forma \(\sqrt{-a}=i\sqrt{a}\), antes de realizar as multiplicações.

\(\Rrightarrow\)Na prática:

  • 01.Obtendo \(\left(\sqrt{-7}\right)^2\):

\(\begin{array}{rl} \sqrt{-7}.\sqrt{-7}= & \sqrt{7(-1)}.\sqrt{7(-1)}\\ = & i\sqrt{7}.i\sqrt{7}\\ = & i^2\sqrt{49}\\ = & (-1).7\\ = & -7 \end{array}\)


  • 02.Obtendo \(\sqrt{\left(-7\right)^2}\):

\(\sqrt{(-7)(-7)}=\sqrt{49}=7\)


  • 03.Obtendo \(\sqrt{-7^2}\):

\(\sqrt{-7^2}=\sqrt{-49}=\underbrace{\sqrt{-1}}_{i}\cdot\sqrt{49}=7i\)


  • 04.Obtendo \(\left(\sqrt{7}\right)^2\)ou \(\sqrt{7^2}\)

\(\left(\sqrt{7}\right)^2=\sqrt{7^2}=\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{7\cdot 7}=\sqrt{49}=7\)

Visto que as bases(\(7\)) são maiores que zero, podemos utilizar a propriedade dos radicais:

Para todos "a" e "b" reais não negativos e "n" natural maior ou igual a \(2\), vale a igualdade:

\[\boxed{\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\,\,\,\text{para}\,\,\,a>0\,\,\text{e}\,\,b>0}\]