Parte04¶
Equações Quadráticas¶
A raiz quadrada de um número "\(x\)", isto é, \(\sqrt{x}\), é um número único e não negativo que, quando multiplicado por si próprio, se iguala a "\(x\)".
Todo número real não negativo possui uma única raiz quadrada não negativa, chamada de raiz quadrada principal, à qual é denotada pelo símbolo \(\displaystyle{\sqrt {x}}\). Por exemplo, 3 é a raiz quadrada de 9, ou seja, \(\displaystyle {\sqrt {9}}=3\), pois \(\displaystyle 3^{2}=3\times 3=9\), e 3 é um número real não negativo.
Podemos, por exemplo, escrever \(\sqrt{-3}\), desdobrando-a como \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{-1}\), obtendo-se \(i\sqrt{3}\). Neste caso, \(i\sqrt{3}\) é a raiz quadrada principal de \(-3\).
Sendo "\(a\)" um número real positivo, a raiz quadrada principal de "\(-a\)" será definida por:
\(\boxed{\sqrt{-a}=i\sqrt{a}}\)
Neste ponto, podemos retornar ao primeiro exemplo de equação quadrática, ainda no tópico "Introdução" e resolvê-la através da fórmula quadrática, encontrando as soluções de \(x^2-4x+5=0\):
\(\begin{array}{rl} x = & \dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4\times 1\times 5}}{2\times 1}=\dfrac{4\pm \sqrt{16-20}}{2}\rightarrow\\ x = & \dfrac{4\pm \sqrt{-4}}{2}=\dfrac{4\pm 2i}{2}=\dfrac{\cancel{2}(2\pm i)}{\cancel{2}}\quad \therefore\,\,\boxed{x_{1}=2-i}\,\, ou\,\, \boxed{x_{2}=2+i} \end{array}\)
Observação: Toda equação polinomial com uma variável e com os coeficientes reais, tendo uma raiz complexa, o conjugado dessa raiz, também será, obrigatoriamente, raiz da equação.
ATENÇÃO¶
A definição de raiz quadrada principal utiliza a regra
\(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}\)
para \(a>0\) e \(b<0\).
Entretanto, essa regra não é válida se ambos \(a\) e \(b\) são negativos. Veja:
\(\begin{array}{rl} \sqrt{-7}.\sqrt{-7}= & \sqrt{7(-1)}.\sqrt{7(-1)}\\ = & i\sqrt{7}.i\sqrt{7}\\ = & i^2\sqrt{49}\\ = & (-1).7\\ = & -7 \end{array}\)
enquanto \(\boxed{\sqrt{(-7)(-7)}=\sqrt{49}=7}\)
Portanto, para evitar problemas com as raízes quadradas de números negativos, não se esqueça de converter os números para a forma \(\sqrt{-a}=i\sqrt{a}\), antes de realizar as multiplicações.
\(\Rrightarrow\)Na prática:
- 01.Obtendo \(\left(\sqrt{-7}\right)^2\):
\(\begin{array}{rl} \sqrt{-7}.\sqrt{-7}= & \sqrt{7(-1)}.\sqrt{7(-1)}\\ = & i\sqrt{7}.i\sqrt{7}\\ = & i^2\sqrt{49}\\ = & (-1).7\\ = & -7 \end{array}\)
- 02.Obtendo \(\sqrt{\left(-7\right)^2}\):
\(\sqrt{(-7)(-7)}=\sqrt{49}=7\)
- 03.Obtendo \(\sqrt{-7^2}\):
\(\sqrt{-7^2}=\sqrt{-49}=\underbrace{\sqrt{-1}}_{i}\cdot\sqrt{49}=7i\)
- 04.Obtendo \(\left(\sqrt{7}\right)^2\)ou \(\sqrt{7^2}\)
\(\left(\sqrt{7}\right)^2=\sqrt{7^2}=\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{7\cdot 7}=\sqrt{49}=7\)
Visto que as bases(\(7\)) são maiores que zero, podemos utilizar a propriedade dos radicais:
Para todos "a" e "b" reais não negativos e "n" natural maior ou igual a \(2\), vale a igualdade: