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Parte04

Conjuntos Notáveis

Conjunto Universo

Para tratarmos de um certo assunto de Matemática, deveremos sempre admitir a existência de um conjunto universo \(\mathbb{U}\) ao qual pertençam todos os elementos utilizados nesse assunto tratado. Logicamente, \(\forall x,\,\, x\, \in \mathbb{U}\). Pelo exemplo a seguir, é nítida a importância e a necessidade da identificação do conjunto universo como fator determinante na resolução de questões matemáticas. Acompanhe:

Resolva a equação \(x^2 - \dfrac{36}{25} = 0\) sabendo que o conjunto universo é \(\mathbb{U}=\mathbb{R}\).

\(x^2 - \dfrac{36}{25} = 0 \Rightarrow \left(x + \dfrac{6}{5}\right) . \left(x - \dfrac{6}{5}\right) = 0 \rightarrow\) \(x + \dfrac{6}{5} = 0\) ou \(x - \dfrac{6}{5} = 0 \rightarrow\)

\(\rightarrow x = - \dfrac{6}{5}\) ou \(x = \dfrac{6}{5}\quad \therefore\quad S = \left\lbrace - \dfrac{6}{5} \quad ; \quad \dfrac{6}{5} \right\rbrace\)

OBS: Se o conjunto universo fosse outro, por exemplo, \(\mathbb{U}=\mathbb{Z}\), não teríamos valores de \(x\), logo, \(S = \varnothing \).

Conjunto Unitário

Chama-se conjunto unitário aquele que possui um único elemento ou, mais tecnicamente, aquele no qual um único elemento satisfaz a propriedade característica. Exemplos:

  1. Se \(A = \{x \in \mathbb{Z} \, | \, 7 < x < 9\}\), então \(A=\{8\}\)
  2. Se \(B = \{x \in \mathbb{N} \, | \,x \, é\,\, par\,\, e\,\, x\,\, é\,\, primo\}\), então \(B=\{2\}\)
  3. Se \(C = \{x \in \mathbb{Z_{+}} \, | \, x - 9 = 1 \}\) então \(C=\{10\}\)
  4. Se \(D = \left\{x \in \mathbb{Q_{-}} \, | \, x^{2} - \dfrac{16}{25} = 0 \right\}\) então \(D = \left\{ -\dfrac{4}{5} \right\}\)
  5. Se \(E = \{x \in \mathbb{R} \, | \, 5x - 4 = 1 \}\) então \(E=\{1\}\)

Conjunto Vazio

Chama-se conjunto vazio aquele que não possui elemento algum, ou, mais tecnicamente, aquele no qual nenhum elemento satisfaz a sua propriedade característica. Logicamente, \(\forall x, \, x \notin\) vazio. Indica-se o conjunto vazio por \(\varnothing\) ou \(\{\,\}\). Exemplos:

  1. Se \(A = \{x \in \mathbb{R_{-}} \, | \, 1 < x < 2018\}\), então \(A=\{\,\}\)
  2. Se \(B = \{x \in \mathbb{N^{*}} \, | \,x\,\,é\,\, ímpar\,\, e\,\,x \,\,\, é\,\, par\}\), então \(B=\varnothing\)
  3. Se \(C = \{x \in \mathbb{Z_{+}} \, | \, x + 11 = 1 \}\) então \(C=\{\,\}\)
  4. Se \(D = \left\{x \in \mathbb{Z_{-}} \, | \, x^{2} - \dfrac{16}{25} = 0 \right\}\) então \(D=\varnothing\)
  5. Se \(E = \{x \in \mathbb{Q_{-}} \, | \, 5x - 4 = 1 \}\) então \(E=\{\,\}\)