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Parte05

Plano de Argand-Gauss

Como já foi visto, todo número complexo pode ser escrito na forma algébrica \(z=a+bi\), onde \(a\in\mathbb{R}\) e \(b\in\mathbb{R^*}\). Além disso, os valores "a" e "b" representam o par ordenado \((a,\,b)\) que pode ser representado num plano. Aprofundando, vamos analisar uma importante interpretação geométrica(ou forma trigonométrica ou forma polar) desse par ordenado, a partir do plano de Argand-Gauss.

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Na representação acima, o ponto "P" é o afixo ou imagem geométrica do número complexo "\(z=a+bi\)". Veja que o eixo horizontal, nomeado de "\(Re(z)\)", representa a parte real de "\(z\)", ou seja, a coordenada "\(a\)", assim como o eixo vertical, nomeado de "\(Im(z)\)", representa a parte imaginária de "\(z\)", ou seja, a coordenada "\(b\)".

Os números complexos da forma \((a, 0)\), com "\(a\)" real, representam números reais e suas imagens estão localizadas no eixo horizontal "\(Re(z)\)". Os números complexos da forma \((0, b)\), com "\(b\)" real, exceto o zero, representam números imaginários puros, e suas imagens estão localizadas no eixo vertical "\(Im(z)\)".

Além disso, todo número complexo \(z=a+bi\), representa o ponto \(z=(a,b)\), cuja imagem está no ponto "\(P\)" e cujo conjugado \(\overline{z}=a-bi\) que representa o ponto \(\overline{z}=(a,\,-b)\) e tem sua imagem em "\(P'\)", é simétrico do ponto "\(P\)", em relação ao eixo horizontal "\(Re(z)\)".

Exercícios resolvidos

1.Represente geometricamente os números complexos:

\(\begin{array}{llllll} a) z_{1}=2+3i & b) z_{2}=-i+1 & c) z_{3}=2-2i & d) z_{4}=-2+i & e) z_{5}=-1 & f) z_{6}=2i \end{array}\)

Solução:

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2.Observando um plano de Argand-Gauss, obtenha o afixo de cada número complexo:

\(\begin{array}{llllll} a) z_{1}=-3i & b) z_{2}=6 & c) z_{3}=-1-i & d) z_{4}=-i-2 & e) z_{5}=-\dfrac{3}{4}+i & f) z_{6}=2-3i \end{array}\)

Solução: Dos afixos, vamos obter suas coordenadas:

\(\begin{array}{llllll} a) (0;\,-3) & b) (6;\,0) & c) (-1;\,-1) & d) (-2;\,-1) & e) \left( -\dfrac{3}{4};\,1\right) & f) (2;\,-3) \end{array}\)

Módulo

O módulo de um número complexo "\(z\)" (simbolizado por "\(|z|\)" ou pela letra grega "\(\rho\)") é a distância entre seu afixo (ou sua imagem) e a origem do plano de Argand-Gauss. O módulo é obtido pela fórmula da distância entre esses pontos que, simplificada, será:

\(\boxed{|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)

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Propriedades do módulo

Algumas propriedades envolvendo o módulo\((|z|\,\,\text{ou}\,\,\rho)\) de um número complexo \(z\):

  • \(|z|\geq0;\,\,\forall z\in \mathbb{C}\)
  • \(z\cdot\overline{z}=|z|^2\)
  • \(|z_{1}\cdot z_{2}|=|z_{1}|\cdot |z_{2}|;\,\,\forall z_{1}\) e \(z_{2}\in\mathbb{C}\)
  • \(\left|\dfrac{z_{1}}{z_{2}}\right|=\dfrac{|z_{1}|}{|z_{2}|};\,\,\forall z_{1}\) e \(z_{2}\in\mathbb{C}\)

Demonstrando as propriedades do módulo

  • Seja \(z=a+bi\) onde \(a\) e \(b\in\mathbb{R}\). Assim: \(a^2\geq 0\) e \(b^2\geq 0;\)
    \(\forall a;\,b\in\mathbb{R}\Rightarrow a^2+b^2\geq 0\) e dessa forma \(\sqrt{a^2+b^2}\geq 0\,\,\therefore |z|\geq 0\)
  • \(z\cdot\overline{z}=(a+bi)\cdot(a-bi)=a^2+b^2=\Big(\sqrt{a^2+b^2}\Big)^2=|z|^2\)
  • \((z_{1}\cdot z_{2})\cdot\left(\overline{z_{1}\cdot z_{2}}\right)=\left|z_{1}\cdot z_{2}\right|^2\therefore (z_{1}\cdot\overline{z_{1}})\cdot(z_{2}\cdot\overline{z_{2}})=|z_{1}\cdot z_{2}|^2\therefore\)
    \(|z_{1}|^2\cdot|z_{2}|^2=|z_{1}\cdot z_{2}|^2\Rightarrow |z_{1}|\cdot|z_{2}|=|z_{1}\cdot z_{2}|\)
  • \(\left|\dfrac{z_{1}}{z_{2}}\right|=\left|z_{1}\cdot\dfrac{1}{z_{2}}\right|=\dfrac{|z_{1}|}{|z_{2}|}=|z_{1}|\cdot\left|\dfrac{1}{z_{2}}\right|\)

Observação:Matematicamente, norma é uma função que, a cada vetor de um espaço vetorial, associa-se um número real não negativo. No caso dos números complexos, norma é:

\(\boxed{||z||=N(z)=a^2+b^2}\)

Exercícios resolvidos

1.Calcule o módulo dos seguintes números complexos:

\(\begin{array}{llllll} a) z_{1}=-i & b) z_{2}=-16 & c) z_{3}=-2-3i & d) z_{4}=-2i+5 & e) z_{5}=-\dfrac{7}{4}+3i & f) z_{6}=4-5i \end{array}\)

Solução:

a) \(z_{1}=-i\to |z_{1}|=\sqrt{0^{2}+(-1)^{2}}\to \boxed{|z_{1}|=1}\)

b) \(z_{2}=-16\to |z_{2}|=\sqrt{(-16)^{2}+0^{2}}\to \boxed{|z_{2}|=16}\)

c) \(z_{3}=-2-3i\to |z_{3}|=\sqrt{(-2)^{2}+(-3)^{2}}\to \boxed{|z_{3}|=\sqrt{13}}\)

d) \(z_{4}=-2i+5\to |z_{4}|=\sqrt{5^{2}+(-2)^{2}}\to \boxed{|z_{4}|=\sqrt{29}}\)

e) \(z_{5}=-\dfrac{7}{4}+3i\to |z_{5}|=\sqrt{\left( -\dfrac{7}{4} \right)^{2}+3^{2}}\to \boxed{|z_{5}|=\dfrac{\sqrt{193}}{4}}\)

f) \(z_{6}=4-5i\to |z_{6}|=\sqrt{4^{2}+(-5)^{2}}\to\boxed{|z_{6}|=\sqrt{41}}\)

2.Geometricamente, o que é o módulo unitário, isto é, \(|z|=1\) ?

Solução: Por definição, módulo é a distância do afixo de um número complexo \(z\) até o origem do plano de Argand-Gauss. Por isso, \(|z|=1\) representa todos os números complexos cujo módulo é 1(um), assim, unindo todos esses pontos(afixos), teremos uma circunferência de raio unitário e centro na origem.

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Argumento Principal

Argumento de um número complexo \(z\) é o ângulo(\(\theta\)) formado pelo segmento indicativo do módulo(\(|z|\)) desse número complexo e o eixo horizontal(\(Re(z)\)), tomado no sentido anti-horário. Observe a imagem a seguir:

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Cada número complexo possui infinitos argumentos, dependendo do número de voltas dada por esse ângulo, sempre em múltiplos de \(2\pi\) rad ou, se preferir, múltiplos de \(360^0\), que são os indicativos de voltas inteiras percorridas.

A fim de facilitar nosso estudo, vamos considerar o argumento principal, que é aquele visível na primeira volta positiva, ou seja, quando \(\theta\in[0;\,2\pi[\) ou, se preferir, \(\theta\in[0;\,360^0[\).

Estabelecido \(\theta\) tal que \(0\leq\theta<2\pi\), podemos observar duas relações trigonométricas:

\(\left\{\begin{array}{rcrcr} \text{sen}(\theta) & = & \dfrac{b}{|z|} & \text{ou} & \dfrac{b}{\rho}\\ & & & & \\ \text{cos}(\theta) & = & \dfrac{a}{|z|} & \text{ou} & \dfrac{a}{\rho} \end{array}\right.\)

Os demais argumentos podem ser obtidos através do acréscimo(ou decréscimo) de voltas inteiras, através de expressões gerais:

\(\left\{\begin{array}{rcr} \text{sen}(\theta) & = & \text{sen}(\theta+2k\pi),\,\,k\in\mathbb{Z}\\ & & \\ \text{cos}(\theta) & = & \text{cos}(\theta+2k\pi),\,\,k\in\mathbb{Z} \end{array} \right.\)

Exercício resolvido

Obtenha o argumento principal do número complexo \(z=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{i}{2}\).

Solução:

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  • O afixo de \(z\) é: \(\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2};\,\dfrac{1}{2} \right)\)
  • O módulo de \(z\) é: \((\rho)^2=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\to \rho=1\)
  • O argumento de \(z\) é: \(\left\{\begin{array}{rcrcr} \text{sen}(\theta) & = & \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1} & = & \dfrac{1}{2}\\ & & \\ \text{cos}(\theta) & = & \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{1}& = & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{array}\right.\Rightarrow \theta=\dfrac{\pi}{6}\) ou \(\theta=30^o\)

Representação geométrica (ou forma polar)

Dado um número complexo na sua forma algébrica \(z=a+bi\), com \(bi\neq0\). Pelo seu argumento(\(\theta\)) principal, tomemos \(a\) e \(b\):

\(\left\{\begin{array}{rcrcr} \text{sen}(\theta) & = & \dfrac{b}{\rho} & \Rightarrow & \boxed{b=\rho\cdot\text{sen}(\theta)}\\ & & & & \\ \text{cos}(\theta) & = & \dfrac{a}{\rho} & \Rightarrow & \boxed{a=\rho\cdot\text{cos}(\theta)} \end{array}\right.\)

Substituindo os valores obtidos de \(a\) e \(b\) na forma algébrica, teremos a forma trigonométrica ou forma polar ou representação geométrica desse número complexo:

\(z=a+bi\to z=\rho\cdot\text{cos}\,\theta+i\cdot\rho\cdot\text{sen}\,\theta\to \boxed{\boxed{z=\rho(\text{cos}\,\theta+i\text{sen}\,\theta)}}\)

Exercício resolvido

Escreva o número complexo \(z=\sqrt{3}-i\) na sua forma trigonométrica.

Solução(por passos):

1º)Destacando o afixo de \(z\): \((\sqrt{3};\,-1)\)

2º)Calculando o módulo(\(\rho\)) de \(z\): \(\rho=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}\to \boxed{\rho=2}\)

3º)Determinando o argumento(\(\theta\)) principal de \(z\):

\(\left\{\begin{array}{rcr} \text{sen}(\theta) & = & -\dfrac{1}{2} \\ & & \\ \text{cos}(\theta) & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{array}\right.\Rightarrow \boxed{\theta=\dfrac{11\pi}{6}\,\,\text{ou}\,\,\theta=330^o}\)

4º)Escrevendo a forma trigonométrica de \(z\):

\(\boxed{z=2\left(\text{cos}\,\dfrac{11\pi}{6}+i\cdot\text{sen}\dfrac{11\pi}{6}\right)}\) ou \(\boxed{z=2\left(\text{cos}\,\,330^o+i\cdot\text{sen}\,\,330^o\right)}\)