Parte05

Subconjuntos

Definição

Afirma-se que um conjunto \(A\) é subconjunto de um conjunto \(B\) se, e somente se, todo elemento do conjunto \(A\) pertencer também ao conjunto \(B\). Ainda, se \(A\) é subconjunto de \(B\), então \(A\) está contido em \(B\) \((A \subset B)\). Simbolicamente, a definição será:

\(A \subset B \Longleftrightarrow \left\{ \forall x \in A \Longrightarrow x \in B \right\}\)

Exemplos:

1. Se \(A = \{ a, e, i, o, u \}\), então \(\left\{ n, \tilde{a}, o,\,\, e, s, t, \acute{a},\,\, c, o, n, t, i, d, o \right\} \not\subset A\)
   OBS:\(\,\,\not\subset\) significa "não está contido"; sendo a negação de \(\subset\)
2. Se \(A \subset B\), então \(B \supset A\), onde \(\supset\) significa "contém";
3. Se \(A = \{ a, e, i, o, u \}\), então \(\left\{ a, e, i, o, u \right\} \subset A\)
4. Se \(A = \{ a, e, i, o, u \}\), então \(\left\{a,e\right\}\subset A\)
5. \(\{x \, | \, 5x - 4 = 1 \} \subset \{x \, | \, x \in \mathbb{Z}\}\)

Propriedades da inclusão

1. \(\varnothing \subset A; \,\, \forall A\)
2. \(B \subset U\) (U = Conjunto Universo)
3. \(D \subset D\) (reflexiva)
4. \(\left(E \subset F \quad \mathrm{e} \quad F \subset{G} \right) \Longrightarrow \left(E \subset G \right)\) (transitiva)
5. \(\left(A \subset B \quad \mathrm{e} \quad B \subset{A} \right) \Longleftrightarrow \left(A = B \right)\) (antissimétrica ou conjuntos iguais)

Conjunto das partes

Dado um conjunto \(A\), denomina-se conjunto das partes de \(A\) ou conjunto potência de \(A\) o conjunto formado por todos os subconjuntos de \(A\). Esse conjunto será representado por \(P(A)\). Sendo \(A\) um conjunto finito, com \(n\) elementos, o número de elementos do conjunto \(P(A)\) será \(2^{n}\). Exemplos:

1. Se \(A=\{4,5,6\}, \,\,\mathrm{ent\tilde{a}o}\,\, n=3\). O conjunto \(P(A)\) terá \(2^{3}=8\) elementos e será formado por: \(P(A) = \left\{ \varnothing;\,\{4\};\,\{5\};\,\{6\};\,\{4,5\};\,\{4,6\};\,\{5,6\};\,\{4,5,6\} \right\}\)
2. Se \(B=\{4,5\}, \,\,\mathrm{ent\tilde{a}o}\,\, n=2\). O conjunto \(P(B)\) terá \(2^{2}=4\) elementos e será formado por: \(P(B) = \left\{ \varnothing;\,\{4\};\,\{5\};\,\{4,5\}; \right\}\)
3. Se \(C=\{4\}, \,\,\mathrm{ent\tilde{a}o}\,\, n=1\). O conjunto \(P(C)\) terá \(2^{1}=2\) elementos e será formado por: \(P(C) = \left\{ \varnothing;\,\{4\} \right\}\)
4. Se \(D=\{ \}, \,\,\mathrm{ent\tilde{a}o}\,\, n=0\). O conjunto \(P(D)\) terá \(2^{0}=1\) único elemento e será formado por: \(P(D) = \{ \{\} \}\,\, \text{ou}\,\,\{ \varnothing \}\)
5. Todas as afirmações abaixo são verdadeiras. Se \(E = \left\lbrace \varnothing;8;9;\{8\};\{8;9\};10\right\rbrace\), então:

então:
a) \(\varnothing \in E\)	b) \(\varnothing \subset E\)	c) \(\{\} \in E\)	d) \(\{\} \subset E\)
e) \(8 \in E\)	f) \(\{8\} \in E\)	g) \(\{8\} \subset E\)	h) \(\{ \varnothing;8 \} \subset E\)
i) \(9 \in E\)	j) \(\{9\} \notin E\)	k) \(\{9\} \subset E\)	l) \(\{ \varnothing;9 \} \subset E\)
m) \(\{8;9;10\} \notin E\)	n) \(\{8;9;10\} \subset E\)	o) \(\{8;9\} \in E\)	p) \(\{8;9\} \subset E\)