Parte06

União de Conjuntos

Definição

Dados dois conjuntos quaisquer \(A\) e \(B\), define-se união o conjunto \(A \cup B\) como aquele formado pelos elementos que pertençam a \(A\) ou que pertençam \(B\), isto é, que pertençam a pelo menos um deles:

\(A \cup B = \left\{ x \,|\, x \in A \quad \vee \quad x \in B \right\}\)

Exemplos:

1. Se \(A=\{x\,|\,x\in\mathbb{N}\}\quad \text{e}\quad B=\{x\,|\,x\in\mathbb{Z_{-}}\}\) então \(A\cup B=\mathbb{Z}\)
2. Se \(A=\varnothing\) e \(B=\{\}\) então \(A\cup B=\varnothing\)
3. Se \(A=\{x\,|\,x\in\mathbb{R_{+}^{*}}\}\quad \text{e}\quad B=\varnothing\) então \(A\cup B=\mathbb{R_{+}^{*}}\)

Propriedades

1. \(A \cup \varnothing = A\) (elemento neutro)
2. \(A \cup A = A\) (idempotente)
3. \(A \cup B = B \cup A\) (comutativa)
4. \(A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C\) (associativa)

Número de elementos da união de dois conjuntos

Dados dois conjuntos quaisquer \(A\) e \(B\), podemos indicar o número de elementos de \(A\) por \(n(A)\) e o número de elementos de \(B\) por \(n(B)\). O número de elementos da união desses conjuntos será indicado por \(n(A\cup B)\), de tal forma que:

\(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B),\)

onde \(n(A\cap B)\) é o número de elementos da interseção desses conjuntos, assunto que abordaremos a seguir.