Parte07

Operações

Potenciação

Dado um número complexo \(z\) em sua forma algébrica \(z=a+bi\). Calcular a potência \(z^{n}\), \(n\in\mathbb{N}\) e \(z\in\mathbb{C}\) seria bem trabalhoso, pois teríamos que desenvolver a potência \((a+bi)^{n}\) utilizando o binômio de Newton. Por isso, executamos a potenciação de números complexos em sua forma trigonométrica, como uma extensão da operação de multiplicação, ou seja:

Dado o número complexo \(z=|z|(\text{cos}\,\theta+i\cdot\text{sen}\,\theta)\) e lembrando que \(z^{n}=\underbrace{z\cdot z\cdot z\cdot\ldots z}_{"n"\,\,\text{vezes}}\), poderemos utilizar o produto de números complexos, na sua forma trigonométrica, assim:

\(z^{n}=\underbrace{\rho\cdot\rho\cdot\rho\cdot\ldots\rho}_{"n"\,\,\text{vezes}}\cdot\Big[ \text{cos}\,(\underbrace{\theta+\theta+\theta+\ldots+\theta}_{"n"\,\,\text{vezes}})+i\cdot\text{sen}\,(\underbrace{\theta+\theta+\theta+\ldots+\theta}_{``n"\,\,\text{vezes}})\Big]\)

Dessa forma, chegamos à 1ª Fórmula de Moivre(Potenciação):

\[\boxed{z^{n}=\rho^{n}\Big[\text{cos}\,(n\cdot\theta)+i\cdot\text{sen}\,(n\cdot\theta)\Big]}\]

Exercício resolvido

Dado \(z=-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Calcule o valor de \(z^{16}\).

Solução(por passos):

1º)Passamos para a forma trigonométrica; assim:

Para \(z=-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\): \(|z|=\rho=1\) e \(\theta=\dfrac{4\pi}{3}\)

Logo \(z=1\left(\text{cos}\,\dfrac{4\pi}{3}+i\cdot\text{sen}\,\dfrac{4\pi}{3}\right)\) ou \(z=1\cdot\text{cis}\dfrac{4\pi}{3}\)

2º)Efetuamos a potencição; assim:

\(z^{16}=1^{16}\left(\text{cos}\,\dfrac{16\cdot 4\pi}{3}+i\cdot\text{sen}\,\dfrac{16\cdot 4\pi}{3}\right)\to\boxed{z^{16}=1\left(\text{cos}\,\dfrac{4\pi}{3}+i\cdot\text{sen}\,\dfrac{4\pi}{3}\right)}^{(*)}\)

(*)Observe que o arco \(\dfrac{64\pi}{3}\) rad, resultado de \(\left(\dfrac{16\cdot 4\pi}{3}\right)\) rad, está na 11ª volta e corresponde ao arco de primeira volta \(\dfrac{4\pi}{3}\) rad.

Radiciação

Vamos obter as raízes n-ésimas de um número complexo, isto é, \(\sqrt[n]{z}\), pela 2ª Fórmula de Moivre:

\[\boxed{\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{\rho}\cdot\left[\text{cos}\left(\dfrac{\theta}{n}+\dfrac{2k\pi}{n}\right)+i\cdot\text{sen}\left(\dfrac{\theta}{n}+\dfrac{2k\pi}{n}\right)\right];\,\text{com}\,\,0\leq k\leq (n-1);\,\,k\in\mathbb{Z}}\]

Observações:

• Todo e qualquer número complexo \(z\), não nulo, admite "\(n\)" raízes n-ésimas distintas, que possuem o mesmo módulo \(\sqrt[n]{\rho}\) e cujos argumentos formam uma progressão aritmética com o primeiro termo \(a_{1}=\dfrac{\theta}{n}\) e com a razão \(R=\dfrac{2\pi}{n}\).

• Os pontos obtidos (ou afixos) formam os vértices de um polígono regular com \(n\) lados que está inscrito em uma circunferência de raio \(r=\sqrt[n]{\rho}\).

Exercícios resolvidos

1.[UNICAMP] Calcule todas as raízes da equação \(x^6-7x^3-8=0\).

Solução}: Observe que o conjunto universo não foi citado, por isso, devemos utilizar o maior que conhecemos, ou seja, \(U=\mathbb{C}\). Inicialmente, vamos utilizar as incógnitas auxiliares: \(x^6=t^2\) e \(x^3=t\); posteriormente, a fórmula quadrática então, retornaremos às incógnitas originais; assim:

\(t^2-7t-8=0\to\) Fórmula Quadrática \(\to\)

\(\to t=\dfrac{2\pm\sqrt{7^2-4\cdot 1\cdot (-8)}}{2\cdot 1}\to t=\dfrac{7\pm9}{2}\to \boxed{t_{1}=-1}\) e \(\boxed{t_{2}=8}\)

\((I)\) Se \(x^3=t\), então \(x^3=-1\). Vamos encontrar as raízes cúbicas\((n=3)\) de \(z=-1\):

Módulo: \(\rho=\sqrt{(-1)^2+0^2}\to\boxed{\rho=1}\)

Argumento principal \(\theta=\pi\), pois:

sen\(\,\theta=\dfrac{0}{1}\to\) sen\(\,\theta=0\)

cos\(\,\theta=\dfrac{-1}{1}\to\) cos\(\,\theta=-1\)

Assim, se \(\boxed{\rho=1}\), \(\boxed{\theta = \pi}\) então \(\boxed{z=-1}\) ou \(\boxed{z=1(\text{cos}\,\pi+i\cdot\text{sen}\,\pi)}\)

Raízes cúbicas, para \(\boxed{z=1(\text{cos}\,\pi+i\cdot\text{sen}\,\pi)}\) com \(k\in\mathbb{Z}\) e \(0\leq k\leq 2\):

Primeira raiz cúbica\((z_{1})\):

\(k=0\to \sqrt[3]{1}\cdot\left[\text{cos}\left(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2.0\pi}{3}\right)+i\cdot\text{sen}\left(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2.0\pi}{3}\right)\right]\to\)

\(\boxed{z_{1}=1\cdot\left[\text{cos}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+i\cdot\text{sen}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right]}\) ou \(\boxed{z_{1}=\dfrac{1}{2}+i\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\)

Segunda raiz cúbica\((z_{2})\):

\(k=1\to \sqrt[3]{1}\cdot\left[\text{cos}\left(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2.1\pi}{3}\right)+i\cdot\text{sen}\left(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2.1\pi}{3}\right)\right]\)

\(\boxed{z_{2}=1\cdot\left[\text{cos}\left(\pi\right)+i\cdot\text{sen}\left(\pi\right)\right]}\) ou \(\boxed{z_{2}=-1}\)

Terceira raiz cúbica\((z_{3})\):

\(k=2\to \sqrt[3]{1}\cdot\left[\text{cos}\left(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2.2\pi}{3}\right)+i\cdot\text{sen}\left(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2.2\pi}{3}\right)\right]\)

\(\boxed{z_{3}=1\cdot\left[\text{cos}\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)+i\cdot\text{sen}\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)\right]}\) ou \(\boxed{z_{3}=\dfrac{1}{2}-i\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\)

Portanto os afixos \(\left(\dfrac{\pi}{3};\,\pi;\,\dfrac{5\pi}{3}\right)\) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão \(R=\dfrac{2\pi}{3}\) e, se unirmos esses três afixos, teremos um triângulo equilátero, inscrito em uma circunferência de raio \(r=1\) com centro na origem do plano de Argand-Gauss.

\((II)\) Se \(x^3=t\), então \(x^3=8\). Vamos encontrar as raízes cúbicas\((n=3)\) de \(z=8\):

Módulo: \(\rho=\sqrt{8^2+0^2}\to\boxed{\rho=8}\)

Argumento principal \(\theta=0\), pois:

sen\(\,\theta=\dfrac{0}{8}\to\) sen\(\,\theta=0\)

cos\(\,\theta=\dfrac{8}{8}\to\) cos\(\,\theta=1\)

Assim, se \(\boxed{\rho=8}\), \(\boxed{\theta = 0}\) então \(\boxed{z=8}\) ou \(\boxed{z=8(\text{cos}\,0+i\cdot\text{sen}\,0)}\)

Raízes cúbicas, para \(\boxed{z=8(\text{cos}\,0+i\cdot\text{sen}\,0)}\) com \(k\in\mathbb{Z}\) e \(0\leq k\leq 2\):

Primeira raiz cúbica\((z_{1})\):

\(k=0\to \sqrt[3]{8}\cdot\left[\text{cos}\left(\dfrac{0}{3}+\dfrac{2.0\pi}{3}\right)+i\cdot\text{sen}\left(\dfrac{0}{3}+\dfrac{2.0\pi}{3}\right)\right]\to\)

\(\boxed{z_{1}=2\cdot\left(\text{cos}\,0+i\cdot\text{sen}\,0\right)}\) ou \(\boxed{z_{1}=2}\)

Segunda raiz cúbica\((z_{2})\):

\(k=1\to \sqrt[3]{8}\cdot\left[\text{cos}\left(\dfrac{0}{3}+\dfrac{2.1\pi}{3}\right)+i\cdot\text{sen}\left(\dfrac{0}{3}+\dfrac{2.1\pi}{3}\right)\right]\)

\(\boxed{z_{2}=2\cdot\left[\text{cos}\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+i\cdot\text{sen}\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\right]}\) ou \(\boxed{z_{2}=-1+i\cdot\sqrt{3}}\)

Terceira raiz cúbica\((z_{3})\):

\(k=2\to \sqrt[3]{8}\cdot\left[\text{cos}\left(\dfrac{0}{3}+\dfrac{2.2\pi}{3}\right)+i\cdot\text{sen}\left(\dfrac{0}{3}+\dfrac{2.2\pi}{3}\right)\right]\)

\(\boxed{z_{3}=2\cdot\left[\text{cos}\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)+i\cdot\text{sen}\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)\right]}\) ou \(\boxed{z_{3}=-1-i\sqrt{3}}\)

Portanto os afixos \(\left(0;\,\dfrac{2\pi}{3};\,\dfrac{4\pi}{3}\right)\) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão \(R=\dfrac{2\pi}{3}\) e, se unirmos esses três afixos, teremos um triângulo equilátero, inscrito em uma circunferência de raio \(r=2\) com centro na origem do plano de Argand-Gauss.

2.Represente o conjunto \(A=\left\{ z\in\mathbb{C}/\,|z-1-i|=2 \right\}\)

Solução: Sendo \(z=a+bi\) com \(a\in\mathbb{R}\) e \(b\in\mathbb{R}^{*}\), então

\(|a+bi-1-i|=2\to|(a-1)+i(b-1)|=2\to\sqrt{(a-1)^2+(b-1)^2}=2\to\)

\(\boxed{(a-1)^2+(b-1)^2=(2)^2}\) que representa uma circunferência de centro

\(C(1;\,1)\) e raio \(r=2\), cuja imagem está representada a seguir: