Parte07

Interseção de Conjuntos

Definição

Dados dois conjuntos quaisquer \(A\) e \(B\), define-se interseção o conjunto \(A \cap B\) como aquele formado pelos elementos que pertençam a \(A\) e que pertençam \(B\), isto é, que pertençam aos dois conjuntos simultaneamente:

\(A \cap B = \left\{ x \,|\, x \in A \quad \wedge \quad x \in B \right\}\)

Exemplos:

1. Se \(A=\{x\,|\,x\in\mathbb{N}\}\quad \text{e}\quad B=\{x\,|\,x\in\mathbb{Z_{-}}\}\) então \(A\cap B=\{0\}\)
2. Se \(A=\varnothing\) e \(B=\{\}\) então \(A\cap B=\varnothing\)
3. Se \(A=\{x\,|\,x\in\mathbb{R_{+}^{*}}\}\quad \text{e}\quad B=\{x\,|\,x\in\mathbb{C}\}\) então \(A\cap B=\mathbb{R_{+}^{*}}\)

Propriedades

1. \(A \cap \varnothing = \varnothing\)
2. \(A \cap U = A\) (elemento neutro)
3. \(A \cap A = A\) (idempotente)
4. \(A \cap B = B \cap A\) (comutativa)
5. \(A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C\) (associativa)

Conjuntos Disjuntos

Dados dois conjuntos quaisquer \(A\) e \(B\), denominam-se como conjuntos disjuntos se não tiverem um único elemento comum, ou seja, \(A\) e \(B\) serão disjuntos se \(A \cap B = \varnothing.\)

Propriedades de União e Interseção

Dados três conjuntos quaisquer \(A\), \(B\) e \(C\), são válidas as propriedades a seguir, decorrentes da interrelação da união e da interseção entre conjuntos:

1. \(A \cup (A\cap B) = A\)
2. \(A \cap (A\cup B) = A\)
3. \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A\cup C)\) (distributiva da união em relação à interseção)
4. \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A\cap C)\) (distributiva da interseção em relação à união)