Parte08

Diferença de Conjuntos

Definição

Dados dois conjuntos quaisquer \(A\) e \(B\), define-se diferença o conjunto \(A - B\) como aquele formado pelos elementos que pertençam a \(A\) e não pertençam \(B\), isto é:

\(A - B = \left\{ x \,|\, x \in A \quad \wedge \quad x \notin B \right\}\)

Exemplos:

1. Se \(A=\{x\,|\,x\in\mathbb{N}\}\) e \(B=\{x\,|\,x\in\mathbb{Z_{-}}\}\) então \(A - B=\mathbb{N^{*}}\)
2. Se \(A=\{x\,|\,x\in\mathbb{Z}\}\) e \(B=\{x\,|\,x\in\mathbb{N^{*}}\}\) então \(A - B=\mathbb{Z_{-}}\)
3. Se \(A=\{x\,|\,x\in\mathbb{Z}\}\) e \(B=\{x\,|\,x\in\mathbb{N^{*}}\}\) então \(B - A=\varnothing\)

Veja, por 2 e 3, que não existe propriedade comutativa da diferença, ou seja \(A - B \neq B - A\). Pode ocorrer? Sim, mas será mera coincidência, dependendo dos conjuntos criados e/ou escolhidos à observação.

Propriedades

1. Sendo \(A \cap B = \varnothing\), tem-se que: \(A-B=A,\,\,\forall A,\,\,\forall B\)
2. Sendo \(B \subset A\), tem-se que: \(B-A=\varnothing,\,\,\forall A,\,\,\forall B\)
3. Sendo \(A \neq B\), tem-se que: \(A-B\neq B-A,\,\,\forall A,\,\,\forall B\)
4. Sendo \(A = B\), tem-se que: \(A-B=\varnothing\) e \(B-A=\varnothing,\,\,\forall A,\,\,\forall B\)

Diferença Simétrica

Dados dois conjuntos quaisquer \(A\) e \(B\), denomina-se diferença simétrica de \(A\) com \(B\) (\(A\,\Delta B\)) um terceiro conjunto que possui elementos que pertençam apenas ao conjunto \(A\) ou apenas ao conjunto \(B\), tal que:

\(A \, \Delta \, B = (A - B) \cup (B - A)\)