Parte09

Complementar

Definição

Dado um conjunto \(B\), subconjunto de um conjunto \(A,\) isto é \(B \subset A\). Define-se o complementar de \(B\) em relação a \(A\), isto é \(\complement^{B}_{A}\), o conjunto de elementos que faltam para \(B\), ser \(A\), isto é, \(A - B\), ou:

\(\complement^{B}_{A}=A-B\)

OBS: Dados o conjunto \(A\) e o conjunto universo \(U\), é imediato que \(A \subset U\). Nesse caso, o complementar de \(A\) em relação a \(U\) será:

\(\complement^{A}_{U}=U-A=\overline{A}\)

Exemplos:

1. Se \(A=\{ 1,2,3,4,5 \}\quad\text{e}\quad B=\{ 3,4,5 \}\), então: \(\complement^{B}_{A}=A-B=\{ 1,2 \}\)
2. Se \(A=B=\{ 1,2,3,4 \}\), então: \(\complement^{B}_{A}=A-B=\varnothing\)
3. Se \(A=\{ 1,2,3,4 \}\quad\text{e}\quad B=\{\}\), então: \(\complement^{B}_{A}=A-B=\{ 1,2,3,4 \}=A\)

Propriedades

1. Teoremas de De Morgan:
   • \(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\)
   • \(\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}\)
2. \(A \subset B \Leftrightarrow \overline{B} \subset \overline{A}\)
3. • Se \(x \in A \Rightarrow x \notin \overline{A}\)
   • Se \(x \in \overline{A} \Rightarrow x \notin A\)
4. \(\complement^{B}_{A}\cap B = \varnothing\,\,\text{e}\,\,\complement^{B}_{A}\cup B = A\)
5. \(\complement^{A}_{A} = \varnothing\,\,\text{e}\,\,\complement^{\varnothing}_{A} = A\)
6. \(\overline{\varnothing} = U\)
7. \(\overline{U} = \varnothing\)
8. \(\overline{\overline{A}}= A\)