Parte10¶
Conjuntos Numéricos¶
Introdução¶
Conjuntos numéricos são aqueles formados por números que possuem características semelhantes. Assim, podemos estudar as propriedades e operações básicas entre seus elementos. Há, nesse contexto, os seguintes conjuntos numéricos: números naturais, números inteiros, números racionais, números irracionais, números reais e números complexos. Ao iniciar pelo mais simples e que parte da necessidade de se contar objetos, temos os números naturais. A partir dele, os demais conjuntos numéricos foram sendo ampliados, conforme a necessidade de aprofundamento dos estudos matemáticos e, especificamente, numéricos.
Importante: Quando operamos com números de um determinado conjunto numérico, e o resultado pertence ao mesmo conjunto numérico, dizemos que este conjunto é fechado para essas operações.
Números Naturais - Definição¶
A necessidade em se contar unidades, fez com que o homem idealizasse os números naturais. Assim, define-se o conjunto dos números naturais, cujo símbolo é \(\mathbb{N}\), como aquele formado por todos os números inteiros e não negativos, isto é:
\(\mathbb{N}=\{ 0,1,2,3,4,5,\ldots\}\)
No conjunto \(\mathbb{N}\), distingue-se um único subconjunto notável:
\(\mathbb{N}^{*}=\{1,2,3,4,5,\ldots\}\) - Números naturais, exceto o zero
Propriedades¶
Nos números naturais, são definidas duas operações fundamentais: adição e multiplicação, portanto os naturais são fechados para essas operações e possuem as seguintes propriedades:
- Associativa em relação à adição
\((a+b)+c=a+(b+c);\quad\) \(\forall \,\, a,b,c\in \mathbb{N}\) - Associativa em relação à multiplicação
\((ab)c=a(bc);\quad\) \(\forall \,\, a,b,c\in \mathbb{N}\) - Comutativa em relação à adição
\(a+b=b+a;\quad\) \(\forall \,\, a,b\in \mathbb{N}\) - Comutativa em relação à multiplicação
\(ab=ba;\quad\) \(\forall \,\, a,b\in \mathbb{N}\) - Elemento neutro em relação à adição
\(a\,\,+\,\,0=a;\quad\) \(\forall a\in \mathbb{N}\) - Elemento neutro em relação à multiplicação
\(a\,\,. \,\,1=a;\quad\) \(\forall a\in \mathbb{N}\) - Distributiva da multiplicação em relação à adição
\(a(b+c)=ab+ac;\quad\) \(\forall a,b,c\in \mathbb{N}\)