Parte11¶

Números Inteiros¶

Definição¶

A constante evolução de outras ciências, como a física e a química e o uso de números negativos para determinar certas medidas e propriedades de elementos químicos, levou aos matemáticos a necessidade da criação de um novo conjunto numérico, mais amplo e que solucionasse essas questões. A própria matemática exigia conjuntos mais amplos de números, pois também era uma ciência em constante evolução. Veja um exemplo: tome um número natural "\(a\)", diferente de zero. O simétrico de "\(a\)" não existe no conjunto dos números naturais, pois \(-a\notin \mathbb{N}\). A subtração \((-)\) não era uma operação válida nos naturais. Por essa e outras questões, criou-se o conjunto \(\mathbb{Z}\)¹, formado pelos números inteiros, isto é:

\(\mathbb{Z}=\{\ldots,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,\ldots \}\)

No conjunto \(\mathbb{Z}\), distinguem-se vários subconjuntos notáveis:

\(\mathbb{Z}^{*}=\{\ldots,-3,-2,-1,1,2,3,\ldots \}\) - Números inteiros, exceto o zero

\(\mathbb{Z}_{+}=\{0,1,2,3,4,5,\ldots \}\) - Números inteiros não negativos

\(\mathbb{Z}_{+}^{*}=\{1,2,3,4,5,\ldots \}\) - Números inteiros (estritamente) positivos

\(\mathbb{Z}_{-}=\{\ldots,-5,-4,-3,-2,-1,0 \}\) - Números inteiros não positivos

\(\mathbb{Z}_{-}^{*}=\{\ldots,-5,-4,-3,-2,-1 \}\) - Números inteiros (estritamente) negativos

Propriedades¶

Nos números inteiros, são definidas três operações fundamentais: adição, subtração e multiplicação, portanto os inteiros são fechados para essas operações e possuem as propriedades:

Associativa em relação à adição
\((a+b)+c=a+(b+c);\quad\forall \,\, a,b,c\in \mathbb{Z}\)
Associativa em relação à multiplicação
\((ab)c=a(bc);\quad\forall \,\, a,b,c\in \mathbb{Z}\)
Comutativa em relação à adição
\(a+b=b+a;\quad\forall \,\, a,b\in \mathbb{Z}\)
Comutativa em relação à multiplicação
\(ab=ba;\quad\forall \,\, a,b\in \mathbb{Z}\)
Elemento neutro em relação à adição
\(a\,\,+\,\,0=a;\quad\forall a\in \mathbb{Z}\)
Elemento neutro em relação à multiplicação
\(a\,\,. \,\,1=a;\quad\forall a\in \mathbb{Z}\)
Distributiva da multiplicação em relação à adição
\(a(b+c)=ab+ac;\quad\forall a,b,c\in \mathbb{Z}\)
Simétrico ou oposto em relação à adição
\(a\,+\,(-a)=0;\) pois \(\forall a\in \mathbb{Z},\,\,\exists \,\, (-a)\in \mathbb{Z}\); e,
com essa propriedade, define-se a operação subtração,
onde \(a-b=a+(-b);\,\,\forall \,\, a,b\in \mathbb{Z}\)

Conceito de divisor¶

Dados \(D,q,r\in \mathbb{Z};\,\, d\in \mathbb{Z^{*}}\) e nomeando "\(D\)" como dividendo, "\(d\)" como divisor, "\(q\)" como quociente e "\(r\)" como resto, podemos montar o algoritmo da divisão de números inteiros:

\(D=d.q+r,\,\, \text{com}\,\,0\leq r < d\)

Ainda de acordo com esse algoritmo, quando \(r=0\), \(d\) é divisor de \(D\), ou \(D\) é múltiplo de \(d\), ou \(D\) é divisível por \(d\). Portanto, o conceito de divisor é: um número inteiro \(d\) é divisor de um número inteiro \(D\), ou \(d\,|\,D\), se existir um número inteiro \(q\) de forma que \(q.d=D\), simbolicamente²

\(d\,|\,D \Longleftrightarrow \exists \, q\in \mathbb{Z}\,|\, q.d=D\)

Exemplos:

\(3\,|\,15\) pois \(5\times 3=15\)
\(6\,|-42\) pois \(-7\times 6=-42\)
\(-4\,|\,36\) pois \(-9\times -4=36\)
\(-5\,|-55\) pois \(11\times -5=-55\)
\(14\,|\,0\) pois \(0\times 14=0\)
\(0\,|\,0\) pois \(x\times 0=0;\,\,\forall x\in \mathbb{Z}\)

Em relação ao último exemplo\(\ldots\) por isso é que, ao trabalharmos com equações de valores inteiros, no caso, e chegarmos à situação: \(0\,.\,x=0\rightarrow x=\dfrac{0}{0}\), dizemos que o resultado é indeterminado e, portanto, a solução será todos os valores inteiros, ou seja, \(\forall x\in \mathbb{Z}\).

Dado um número inteiro \(x\) qualquer, podemos indicar por \(D(x)\) o conjunto de seus divisores inteiros e por \(M(x)\) o conjunto de seus múltiplos inteiros.

Exemplos:

\(D(3)=\{-3;-1;1;3\}\) e \(M( 3)=\{\ldots;-9;-6;-3;0;3;6;9;\ldots\}\)
\(D(-6)=\{-6;-3;-2;-1;1;2;3;6\}\) e \(M(-6)=\{\ldots;-18;-12;-6;0;6;12;18;\ldots\}\)
\(D(0)=\mathbb{Z}\) e \(M( 0)=\{0\}\)

Conceito de números primos¶

Dado um número inteiro \(p\), tal que: \(p\neq 0\), \(p\neq 1\) e \(p\neq -1\). Esse número inteiro \(p\) será primo se, e somente se, o conjunto \(D(p)\) de seus divisores for \(D(p)=\{-p;-1;1;p\}\). Portanto, o conjunto dos números inteiros e primos \(P\) é:

\(P=\{\ldots;-11;-7;-5;-3;-2;2;3;5;7;11;\ldots\}\)

Observação Importante: Todos os números inteiros que não forem primos, serão compostos, isto é, formados por fatores primos, daí o termo utilizado para números compostos: "decomposição em fatores primos".

Como todos os números compostos podem ser decompostos em fatores primos, podemos estabelecer algumas comparações entre esses números e a partir daí a obtenção, tanto do MMC(mínimo múltiplo comum), quanto do MDC(máximo divisor comum), entre esses números inteiros.

Mínimo múltiplo comum¶

Dados \(a,b\in \mathbb{Z_{+}^{*}}\). Seja \(M(a)\) o conjunto dos múltiplos positivos de \(a\) e \(M(b)\) o conjunto dos múltiplos positivos de \(b\). O mínimo múltiplo comum (MMC) entre esses números inteiros são os fatores comuns e não comuns tomados da decomposição de \(a\) e \(b\) em seus fatores primos positivos, ou, como nos exemplos a seguir, a obtenção visual, no caso de números pequenos:

Determine o MMC entre \(6\) e \(9\):
\(M(6)=\{6;12;18;\ldots\}\)
\(M(9)=\{9;18;27;\ldots\}\)
\(MMC(6;9)=\{18\}\)
Determine o MMC entre \(4\) e \(6\):
\(M(4)=\{4;8;12;16;\ldots\}\)
\(M(6)=\{6;12;18;\ldots\}\)
\(MMC(4;6)=\{12\}\)
Determine o MMC entre \(6\) e \(14\):
\(M(6)=\{6;12;18;24;30;36;42;48;\ldots\}\)
\(M(14)=\{14;28;42;56;\ldots\}\)
\(MMC(4;6)=\{42\}\)

Máximo divisor comum¶

Dados \(a,b\in \mathbb{Z_{+}^{*}}\). Seja \(D(a)\) o conjunto dos divisores positivos de \(a\) e \(D(b)\) o conjunto dos divisores positivos de \(b\). O máximo divisor comum (MDC) entre esses números inteiros são os fatores comuns tomados da decomposição de \(a\) e \(b\) em seus fatores primos positivos, ou, como nos exemplos a seguir, a obtenção visual, no caso de números pequenos:

Determine o MDC entre \(6\) e \(9\):
\(D(6)=\{1;2;3;6\}\)
\(D(9)=\{1;3;9\}\)
\(MDC(6;9)=\{3\}\)
Determine o MDC entre \(4\) e \(6\):
\(D(4)=\{1;2;4\}\)
\(D(6)=\{1;2;3;6\}\)
\(MDC(4;6)=\{2\}\)
Determine o MDC entre \(6\) e \(14\):
\(D(6)=\{1;2;3;6\}\)
\(D(14)=\{1;2;7;14\}\)
\(MDC(6;14)=\{2\}\)

Observação: Quando todos os números forem primos, o MDC entre eles será sempre 1(um).

O símbolo \(\mathbb{Z}\) vem da palavra alemã zahl, que significa número. ↩
O símbolo "\(\,|\,\)" significa "é divisor de", por exemplo: \(2\,|\,16\); mas também pode significar "tal que", por exemplo: \(x\,|\,x\in \mathbb{Z}\). Já o símbolo "\(\,\nmid\,\)" significa "não é divisor de", por exemplo: \(7\,\nmid \,17\), isto é, 7 não é divisor de 17. ↩