Parte12¶
Números Racionais¶
Definição¶
O conjunto dos números racionais, cujo símbolo é \(\mathbb{Q}\)1, é aquele formado por todos os números que podem ser escritos na forma de uma fração \(\dfrac{p}{q}\), onde \(p\in\mathbb{Z}\,\) e \(\,q\in\mathbb{Z^{*}}\). Simbolicamente,
No conjunto \(\mathbb{Q}\), distinguem-se vários subconjuntos notáveis:
\(\mathbb{Q}^{*}\) Números racionais, exceto o zero
\(\mathbb{Q}_{+}\) Números racionais não negativos
\(\mathbb{Q}_{+}^{*}\) Números racionais (estritamente) positivos
\(\mathbb{Q}_{-}\) Números racionais não positivos
\(\mathbb{Q}_{-}^{*}\) Números racionais (estritamente) negativos
Supondo como existentes os números racionais a seguir, podemos adotar as seguintes definições:
- Igualdade: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Longleftrightarrow a.d = b.c;\,\,\{b;\,d\}\in\mathbb{Q}^{*}\)
- Adição: \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad\,+\,bc}{bd};\,\,\{b;\,d\}\in\mathbb{Q}^{*}\)
- Multiplicação: \(\dfrac{a}{b}\,.\,\dfrac{c}{d}= \dfrac{ac}{bd};\,\,\{b;\,d\}\in\mathbb{Q}^{*}\)
Propriedades¶
Nos números racionais são definidas as quatro operações fundamentais: adição, subtração, multiplicação e divisão, portanto os racionais são fechados para essas operações e possuem as propriedades:
- Associativa em relação à adição
\(\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}\right)+\dfrac{e}{f}=\dfrac{a}{b}+\left(\dfrac{c}{d}+\dfrac{e}{f}\right);\quad\forall \,\, a,c,e\in \mathbb{Z}\quad \text{e}\quad b,d,f\in\mathbb{Z^{*}}\) - Associativa em relação à multiplicação
\(\left(\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}\right)\times\dfrac{e}{f}=\dfrac{a}{b}\times\left(\dfrac{c}{d}\times\dfrac{e}{f}\right);\quad\forall \,\, a,c,e\in\mathbb{Z}\quad \text{e}\quad b,d,f\in\mathbb{Z^{*}}\) - Comutativa em relação à adição
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{c}{d}+\dfrac{a}{b};\quad\forall \,\, a,c\in \mathbb{Z}\quad \text{e}\quad b,d\in\mathbb{Z^{*}}\) - Comutativa em relação à multiplicação
\(\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{c}{d}\times\dfrac{a}{b};\quad\forall \,\, a,c\in \mathbb{Z}\quad \text{e}\quad b,d\in\mathbb{Z^{*}}\) - Elemento Neutro em relação à adição
\(\dfrac{a}{b}\,\,+0=\dfrac{a}{b};\quad\forall \,\, a\in \mathbb{Z}\quad \text{e}\quad b\in \mathbb{Z^{*}}\) - Elemento neutro em relação à multiplicação
\(\dfrac{a}{b}\,\,. \,\,1=\dfrac{a}{b};\quad\forall \,\, a\in \mathbb{Z}\quad \text{e}\quad b\in \mathbb{Z^{*}}\) - Distributiva da multiplicação em relação à adição
\(\dfrac{a}{b}\times\left(\dfrac{c}{d}+\dfrac{e}{f}\right)=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}+\dfrac{a}{b}\times\dfrac{e}{f};\quad\forall \,\, a,c,e\in \mathbb{Z}\quad \text{e}\quad b,d,f\in \mathbb{Z^{*}}\) - Simétrico(ou oposto) em relação à adição
\(\dfrac{a}{b}\,\,+\left( -\dfrac{a}{b} \right)\,\,=0;\quad\forall \,\, a\in \mathbb{Z}\quad \text{e}\quad b\in \mathbb{Z^{*}}\)
Essa propriedade define a operação subtração, onde \(\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\,\,+\left( -\dfrac{a}{b} \right);\,\, \forall \,\, a\in \mathbb{Z}\quad \text{e}\quad b\in \mathbb{Z^{*}}\) - Inverso em relação à multiplicação
\(\dfrac{a}{b}\,\,\times \dfrac{b}{a}=1;\quad\forall \,\,\, \dfrac{a}{b},\dfrac{b}{a}\in \mathbb{Q^{*}},\quad\dfrac{a}{b}\neq0\) e \(\dfrac{b}{a}\neq0\)
Observações:
- Todo número decimal que puder ser escrito sob a forma de uma fração, nas condições de existência, anteriormente apresentadas, são classificados como números racionais. Entretanto, devemos observar duas situações:
- Há decimais que indicam, em sua fração geratriz, uma divisão exata. Esses decimais possuem uma quantidade finita de algarismos e, portanto, são números racionais; exemplos:
\(0,33=\dfrac{33}{100};\quad -2,387=-\dfrac{2387}{1000};\quad 0,04=\dfrac{1}{25}\) - Há decimais que possuem uma quantidade infinita de algarismos, mas, que se repetem de forma periódica. Esses números também podem ser escritos sob a forma de uma fração, nas condições de existência, anteriormente apresentadas. Essas frações são conhecidas como "frações geratrizes". Nesse caso, também estaremos diante de números racionais; exemplos:
\(1,333\dots=1,\overline{3}=\dfrac{4}{3};\quad -0,285714285714\dots=-0,\overline{285714}=-\dfrac{2}{7}\)
Esses decimais são chamados de "dízimas periódicas".
- Há decimais que indicam, em sua fração geratriz, uma divisão exata. Esses decimais possuem uma quantidade finita de algarismos e, portanto, são números racionais; exemplos:
- Há que se ter um cuidado especial com alguns números decimais que, embora possuam uma quantidade infinita de algarismos, NÃO se repetem de forma periódica. Esses decimais são conhecidos como "dízimas não periódicas" e, atenção, NÃO podem ser colocados sob a forma de uma fração, nas condições de existência, anteriormente apresentadas e, portanto, NÃO possuem fração geratriz. Esses serão, como veremos à seguir, os números irracionais.
Irracionais¶
O conjunto dos números irracionais, cujo símbolo é \(\mathbb{I}\), é aquele formado por todos os números que não podem ser escritos na forma de uma fração, nos moldes dos números racionais. É, portanto, um conjunto à parte, em separado, e não um conjunto maior que os anteriores como vinha acontecendo até então. Não é incorreto haver subconjuntos notáveis como \(\mathbb{I}_{+}\) ou \(\mathbb{I}_{-}\), entretanto, seus elementos são de difícil enumeração. Além disso, observe que o elemento zero não pertence a esse conjunto.
Exemplos:
- \(\sqrt{2}=\,\,\,\,\,\,1,41421356237309504880\ldots\)
- \(\pi=\,\,\,\,\,\,3,14159265358979323846\ldots\)
- \(-\sqrt{5}=\,-2,23606797749978969641\ldots\)
- \(-e=\,-2,71828182845904523536\ldots\)
- \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\,\,\,\,\,\,0,86602540378443864676\ldots\)
- \(\dfrac{3}{\sqrt{5}}=\,\,\,\,\,\,1,34164078649987381784\ldots\)
-
Na fração \(\dfrac{p}{q}\), \(p\) é chamado numerador e \(q\) é chamado denominador. Se \(p\) e \(q\) são primos entre si, ou seja, se \(MDC(p;q)=\{1\}\), a fração \(\dfrac{p}{q}\) é irredutível. Por exemplo: \(\dfrac{2}{3}\); \(\dfrac{7}{5}\) e \(\dfrac{5}{11}\) são irredutíveis mas \(\dfrac{8}{12}\) não é. ↩