Página01¶

0025¶

A idade de Rodrigo daqui a 4 anos multiplicada pela idade que tinha há 7 anos é igual a 5 vezes a sua idade atual aumentada de 5. Obtenha a idade atual de Rodrigo.

0025 - Resposta

A idade atual de Rodrigo é 11(onze) anos.

0025 - Solução

$\underbrace{(x+4)\cdot (x - 7)}=5x+5\to$

$x^2-3x-28=\underbrace{5x+5}_{\leftarrow}\to$

$\underbrace{x^2-3x-28-5x-5=0}_{\text{...agrupando...}}\to$

$\underbrace{x^2-8x-33=0}_{Bhaskara}\to$

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to$

$x=\dfrac{-(-8)\pm\sqrt{(-8)^2-4\times 1\times (-33)}}{2\times 1}$

$x_{1}=\dfrac{8-14}{2}\to \cancel{x_{1}=-3}\quad$ Não serve, pois não há idade negativa

$\text{ou}$

$x_{2}=\dfrac{8+14}{2}\to\boxed{x_{2}=11}\checkmark$

Portanto, a idade atual(x) de Rodrigo é 11(onze) anos.

Obs: A "prova real" é feita substituindo-se no texto, o resultado encontrado, no caso, 11(onze). Analise e veja que a idade confere com os dados da questão.

0024¶

Para construir uma ponte sobre um rio, foram fincadas no solo duas estacas, "A" e "B", uma de cada lado do rio, como indicado na figura. Uma terceira estaca, "C", foi fincada a $4$m de "B", na mesma margem do rio, de tal modo que $\overline{BC}$ formasse com $\overline{AB}$ um ângulo reto e que $\overline{AC}$ formasse com $\overline{BC}$ um ângulo de $60^{\circ}$. Obtenha o comprimento da ponte, em metros, representado na figura pela distância entre as estacas "A" e "B".

0024 - Resposta

$x=\overline{AB}=4\sqrt{3}\,\,\text{m}$

0024 - Solução

$\text{tg}\,(60^{\circ})=\underbrace{\sqrt{3}=\dfrac{x}{4}}_{\text{...resolvendo...}}\to$

$\sqrt{3}=\dfrac{x}{4}\to\boxed{x=\overline{AB}=4\sqrt{3}\,\,\text{m}}\checkmark$

0023¶

Uma indústria produz mensalmente "$x$" lotes de um produto. O valor mensal resultante da venda deste produto é $V(x) = 3x^2 – 12x$ e o custo mensal da produção é dado por $C(x) = 5x^2 – 40 x – 40$. Sabendo que o lucro[$L(x)$] é obtido pela diferença entre o valor resultante das vendas e o custo da produção, responda:
a) qual o lucro obtido com a venda de 5 lotes?
b) E de 6 lotes?
c) E de 7 lotes?
d) Qual o número de lotes mensais que essa indústria deve vender para ter o lucro máximo?

0023 - Respostas

a) $L(5)=130$

b) $L(6)=136$

c) $L(7)=138$

d) 7 lotes mensais

0023 - Soluções

Inicialmente, vamos estabelecer, de acordo com o enunciado, a fórmula para o lucro:

$L(x)=V(x)-C(x)\to$

$L(x)=3x^2-12x-(5x^2-40x-40)\to$

$L(x)=3x^2-12x-5x^2+40x+40\to$

$\boxed{L(x)=-2x^2+28x+40}\checkmark$

$\Rrightarrow$ a) Para $x=5$ :

$L(5)=-2\cdot 5^2+28\cdot 5+40\to$

$L(5)=-50+140+40\to$

$\boxed{L(5)=130}\checkmark$

$\Rrightarrow$ b) Para $x=6$ :

$L(6)=-2\cdot 6^2+28\cdot 6+40\to$

$L(6)=-72+168+40\to$

$\boxed{L(6)=136}\checkmark$

$\Rrightarrow$ c) Para $x=7$ :

$L(7)=-2\cdot 7^2+28\cdot 7+40\to$

$L(7)=-98+196+40\to$

$\boxed{L(7)=138}\checkmark$

$\Rrightarrow$ d) "$x$", para lucro máximo:

Observe que a equação do lucro é uma função quadrática, cujo gráfico tem a concavidade votada para baixo e, portanto, possui um valor de máximo na coordenada $x$ do seu vértice, isto é, $x_{v}$, o qual pode ser obtido pela razão:

$x_{v}=-\dfrac{b}{2a}\to x_{v}=-\dfrac{28}{2\cdot(-2)}\to\boxed{x=7\,\,\text{lotes mensais}}\checkmark$

0022¶

As torneiras $X$, $Y$, $Z$ enchem, individualmente, um tanque vazio em 12, 8 e 16 horas, respectivamente. O tanque está vazio e a torneira $X$ é aberta. Depois de uma hora abre-se a torneira $Y$ e, decorrida mais uma hora, abre-se a torneira $Z$. Assim sendo, aproximadamente em quanto tempo$(T)$, após a abertura da torneira $X$, o tanque estará cheio?

0022 - Resposta

$T\approx 4\text{h}\;37\,\text{min}$

0022 - Solução

$\Rrightarrow$ 1. Vamos obter os valores fracionados em 1h:

Torneira $X$ preenche $\dfrac{1}{12}$ do volume total do tanque;

Torneira $Y$ preenche $\dfrac{1}{8}$ do volume total do tanque;

Torneira $Z$ preenche $\dfrac{1}{16}$ do volume total do tanque;

As três torneiras preenchem, juntas:

$\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}=\dfrac{13}{48}$ do volume total do tanque.

$\Rrightarrow$ 2. Vamos examinar o preenchimento do tanque, hora a hora:

Após 1h, apenas a torneira $X$, portanto, $\dfrac{1}{12}$ do volume total foi preenchido;

Após 2h, torneira $X=\dfrac{2}{12}$ mais a torneira $Y=\dfrac{1}{8}$, isto é:

$\dfrac{2}{12}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{7}{24}$ ou $\dfrac{14}{48}$ do volume total foi preenchido.

$\Rrightarrow$ 3. A partir desse momento, tendo preenchidos $\dfrac{14}{48}$ do volume total, faltam ainda:

Volume Total, isto é, $\dfrac{48}{48}$, menos o que já foi preenchido, isto é, $\dfrac{14}{48}$, ou seja:

$\dfrac{48}{48}-\dfrac{14}{48}=\dfrac{34}{48}$ do volume total a ser preenchido.

$\Rrightarrow$ 4. Assim, vamos completar o tempo$(t)$ do preenchimento dos $\dfrac{34}{48}$ do volume do tanque, a uma razão de $\dfrac{13}{48}$ (as três torneiras juntas) do volume, por hora, isto é:

$t=\dfrac{\frac{34}{\cancel{48}}}{\frac{13}{\cancel{48}}}\to t=\dfrac{34}{13}\to t\approx 2,615384615\to t\approx 2\text{h}\;37\,\text{min}$

$\Rrightarrow$ 5. Finalmente, o tempo total$(T)$, será a soma das duas primeiras horas mais as $2\text{h}\;37\,\text{min}$, aproximadamente, ou seja:

$\boxed{T\approx 4\text{h}\;37\,\text{min}}\checkmark$

0021¶

Resolva, em $\mathbb{R}$, os sistemas lineares, aplicando a regra de Cramer:
a) $\left\{\begin{array}{rcrcrcrl} 3x & + & 2y & + & 3z & = & 0\\\\ x & + & y & + & z & = & 1\\\\ -2x & - & 3y & + & 3z & = & -5 \end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{rcrcrc} 3x & - & 5y & = & -14&\\\\ -2x & - & 8y & = & -2& \end{array}\right.$

c) $\left\{\begin{array}{rcrcrc} -2x & - & 3y & = & -9&\\\\ x & + & 4y & = & 12& \end{array}\right.$

0021 - Respostas

a) $S=\left\{\left(-2;\,3;\,0\right)\right\}$

b) $S=\left\{\left(-3;\,1\right)\right\}$

c) $S=\left\{\left(0;\,3\right)\right\}$

0021 - Soluções

a) $\left\{\begin{array}{rcrcrcrl} 3x & + & 2y & + & 3z & = & 0\\\\ x & + & y & + & z & = & 1\\\\ -2x & - & 3y & + & 3z & = & -5 \end{array}\right.$

$D=\left|\begin{array}{rrr}3&2&3\\1&1&1\\-2&-3&3\end{array}\right|\to\boxed{D=5}$

$D_{x}=\left|\begin{array}{rrr}0&2&3\\1&1&1\\-5&-3&3\end{array}\right|\to\boxed{D_{x}=-10}$

$D_{y}=\left|\begin{array}{rrr}3&0&3\\1&1&1\\-2&-5&3\end{array}\right|\to\boxed{D_{y}=15}$

$D_{z}=\left|\begin{array}{rrr}3&2&0\\1&1&1\\-2&-3&-5\end{array}\right|\to\boxed{D_{z}=0}$

$x=\dfrac{D_{x}}{D}\to x=-\dfrac{10}{5}\to\boxed{x=-2}$

$y=\dfrac{D_{y}}{D}\to y=\dfrac{15}{5}\to\boxed{y=3}$

$z=\dfrac{D_{z}}{D}\to z=\dfrac{0}{5}\to\boxed{z=0}$

A solução$(S)$ final, será a terna ordenada:

$\boxed{S=\left\{\left(-2;\,3;\,0\right)\right\}}\checkmark$

b) $\left\{\begin{array}{rcrcrc} 3x & - & 5y & = & -14&\\\\ -2x & - & 8y & = & -2& \end{array}\right.$

$D=\left|\begin{array}{rr}3 & -5\\-2 & -8\end{array}\right|\to\boxed{D=-34}$

$D_{x}=\left|\begin{array}{rr}-14 & -5\\-2 & -8\end{array}\right|\to\boxed{D_{x}=102}$

$D_{y}=\left|\begin{array}{rr}3 & -14\\-2 & -2\end{array}\right|\to\boxed{D_{y}=-34}$

$x=\dfrac{D_{x}}{D}\to x=-\dfrac{102}{34}\to\boxed{x=-3}$

$y=\dfrac{D_{y}}{D}\to y=\dfrac{34}{34}\to\boxed{y=1}$

A solução$(S)$ final, será o par ordenado:

$\boxed{S=\left\{\left(-3;\,1\right)\right\}}\checkmark$

c) $\left\{\begin{array}{rcrcrc} -2x & - & 3y & = & -9&\\\\ x & + & 4y & = & 12& \end{array}\right.$

$D=\left|\begin{array}{rr}-2 & -3\\1 & 4\end{array}\right|\to\boxed{D=-5}$

$D_{x}=\left|\begin{array}{rr}-9 & -3\\12 & 4\end{array}\right|\to\boxed{D_{x}=0}$

$D_{y}=\left|\begin{array}{rr}-2 & -9\\1 & 12\end{array}\right|\to\boxed{D_{y}=-15}$

$x=\dfrac{D_{x}}{D}\to\boxed{x=0}$

$y=\dfrac{D_{y}}{D}\to\boxed{y=3}$

A solução$(S)$ final, será o par ordenado:

$\boxed{S=\left\{\left(0;\,3\right)\right\}}\checkmark$

0020¶

Resolva, em $\mathbb{R}$, os sistemas lineares, aplicando a regra de Cramer:
a) $\left\{\begin{array}{rcrcrl} 3x & - & y & = & 5&\\\\ 2x & + & y & = & 1& \end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{rcrcrcrl} x & - & 2y & + & 3z & = & 1\\\\ 2x & + & y & - & z & = & 0\\\\ -x & + & 3y& - & 2z & = &-3 \end{array}\right.$

0020 - Respostas

a) $S=\left\{\left(\dfrac{6}{5};\,-\dfrac{7}{5}\right)\right\}$

b) $S=\left\{\left(\dfrac{1}{3};\,-\dfrac{4}{3};\,-\dfrac{2}{3}\right)\right\}$

0020 - Soluções

a) $\left\{\begin{array}{rcrcrl} 3x & - & y & = & 5&\\\\ 2x & + & y & = & 1& \end{array}\right.$

$D=\left|\begin{array}{rr}3 & -1\\2 & 1\end{array}\right|\to\boxed{D=5}$

$D_{x}=\left|\begin{array}{rr}5 & -1\\1 & 1\end{array}\right|\to\boxed{D_{x}=6}$

$D_{y}=\left|\begin{array}{rr}3 & 5\\2 & 1\end{array}\right|\to\boxed{D_{y}=-7}$

$x=\dfrac{D_{x}}{D}\to\boxed{x=\dfrac{6}{5}}$

$y=\dfrac{D_{y}}{D}\to\boxed{y=-\dfrac{7}{5}}$

A solução$(S)$ final, será o par ordenado:

$\boxed{S=\left\{\left(\dfrac{6}{5};\,-\dfrac{7}{5}\right)\right\}}\checkmark$

b) $\left\{\begin{array}{rcrcrcrl} x & - & 2y & + & 3z & = & 1\\\\ 2x & + & y & - & z & = & 0\\\\ -x & + & 3y& - & 2z & = &-3 \end{array}\right.$

$D=\left|\begin{array}{rrr}1&-2&3\\2&1&-1\\-1&3&-2\end{array}\right|\to\boxed{D=12}$

$D_{x}=\left|\begin{array}{rrr}1&-2&3\\0&1&-1\\-3&3&-2\end{array}\right|\to\boxed{D_{x}=4}$

$D_{y}=\left|\begin{array}{rrr}1&1&3\\2&0&-1\\-1&-3&-2\end{array}\right|\to\boxed{D_{y}=-16}$

$D_{z}=\left|\begin{array}{rrr}1&-2&1\\2&1&0\\-1&3&-3\end{array}\right|\to\boxed{D_{z}=-8}$

$x=\dfrac{D_{x}}{D}\to\boxed{x=\dfrac{1}{3}}$

$y=\dfrac{D_{y}}{D}\to\boxed{y=-\dfrac{4}{3}}$

$z=\dfrac{D_{z}}{D}\to\boxed{z=-\dfrac{2}{3}}$

A solução$(S)$ final, será a terna ordenada:

$\boxed{S=\left\{\left(\dfrac{1}{3};\,-\dfrac{4}{3};\,-\dfrac{2}{3}\right)\right\}}\checkmark$

0019¶

Dado um triângulo retângulo ABC com:
$\to$ Ângulo reto em $\hat{C}$;
$\to$ Hipotenusa $\overline{AB}=x+4$;
$\to$ Cateto $\overline{AC}=x-4$;
$\to$ Cateto $\overline{BC} = x$;
$\to$ Ângulo $\beta$, vértice em $\hat{B}$.

Calcule o valor de $x$. Posteriormente, calcule sen$\beta$, cos$\beta$ e tg$\beta$.

0019 - Respostas

$x=0$ ou $x=16$; sen$\beta=\dfrac{3}{5}$, cos$\beta=\dfrac{4}{5}$ e tg$\beta=\dfrac{3}{4}$

0019 - Soluções

Aplicando o Teorema de Pitágoras aos valores dados:

$(x+4)^2=(x)^2+(x-4)^2\to$

$x^2+8x+16=x^2+x^2-8x+16\to$

$x^2-16x=0\to$ Vamos resolver essa equação:

$x^2-16x=0\to x(x-16)=0\to$ Duas Possibilidades:

$\cancel{\boxed{x=0}}$ ou $\boxed{x=16}$

Geometricamente, não poderemos ter um triângulo com cateto igual a "zero", portanto, o único valor para "x" é 16.

Aplicando esse valor às medidas do triângulo retângulo ABC, teremos:

$\to$ Hipotenusa $\overline{AB}=20$;
$\to$ Cateto $\overline{AC}=12$;
$\to$ Cateto $\overline{BC} = 16$;
$\to$ Ângulo $\beta$, vértice em $\hat{B}$

Assim, para o ângulo "$\beta$", teremos:

sen$\beta=\dfrac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5}\,\,\checkmark$

cos$\beta=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AB}}=\dfrac{16}{20}=\dfrac{4}{5}\,\,\checkmark$

tg$\beta=\dfrac{\overline{AC}}{\overline{BC}}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}\,\,\checkmark$

0018¶

Determine o valor de $\dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$,

sendo $\sqrt{x}-\sqrt{y}=\sqrt{3}\quad$ e $\quad x-y=8$.

0018 - Resposta

$\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x-y}=\dfrac{\sqrt{3}}{8}$

0018 - Solução

Inicialmente, vamos racionalizar o denominador da fração dada:

$\dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\cdot\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x-y}$

Agora, vamos substituir numerador e denominador pelos valores dados:

$\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x-y}=\dfrac{\sqrt{3}}{8}\,\,\checkmark$ (resposta final)

0017¶

Resolva, em $\mathbb{R}$, os sistemas(não lineares) de equações:

a) $\left\{\begin{array}{rcrcrl}x & + & y & = & 12\\x^2 & - & 5y & = & 66\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{rcrcrl}x & + & 2y & = & 5\\3x & + & y^2 & = & 7\end{array}\right.$

0017 - Respostas

a) $S=\left\{(9;\,3),\,(-14;\,26)\right\}$

b) $S=\left\{(1;\,2),\,(-3;\,4)\right\}$

0017 - Soluções

a) $\left\{\begin{array}{rcrcrl}x & + & y & = & 12 & \to x=12-y\\x^2 & - & 5y & = & 66\end{array}\right.$

Aplicando $x=12-y$ à segunda equação, teremos:

$(12-y)^2-5y-66=0\to 144-24y+y^2-5y-66=0\to$

$y^2-29y+78=0\to$ (Fórmula Quadrática)

$y=\dfrac{29\pm\sqrt{529}}{2}\to y=\dfrac{29\pm 23}{2}\to$

$y_{1}=\dfrac{29-23}{2}\to\boxed{y_{1}=3}\checkmark\,\,$ e $\,\, x_{1}=12-3\to\boxed{x_{1}=9}\checkmark$

$y_{2}=\dfrac{29+23}{2}\to\boxed{y_{2}=26}\checkmark\,\,$ e $\,\,x_{1}=12-26\to\boxed{x_{2}=-14}\checkmark$

Portanto, a solução$(S)$ final, terá os pares ordenados:

$\boxed{S=\left\{(9;\,3),\,(-14;\,26)\right\}}\checkmark$

b) $\left\{\begin{array}{rcrcrl}x & + & 2y & = & 5 & \to x=5-2y\\3x & + & y^2 & = & 7\end{array}\right.$

Aplicando $x=5-2y$ à segunda equação, teremos:

$3(5-2y)+y^2=7\to 15-6y+y^2-7=0\to$

$y^2-6y+8=0\to$ (Fórmula Quadrática)

$y=\dfrac{6\pm\sqrt{4}}{2}\to y=\dfrac{6\pm 2}{2}\to$

$y_{1}=\dfrac{6-2}{2}\to\boxed{y_{1}=2}\checkmark\,\,$ e $\,\,x_{1}=5-4\to\boxed{x_{1}=1}\checkmark$

$y_{2}=\dfrac{6+2}{2}\to\boxed{y_{2}=4}\checkmark\,\,$ e $\,\,x_{2}=5-8\to\boxed{x_{2}=-3}\checkmark$

Portanto, a solução$(S)$ final, terá os pares ordenados:

$\boxed{S=\left\{(1;\,2),\,(-3;\,4)\right\}}\checkmark$

0016¶

Sejam o ponto $P(2;\, 1)$ e o ponto $Q$, de abscissa $4$, localizado no 1º quadrante. Se a distância de $Q$ a $P$ é igual à distância de $Q$ ao eixo das abscissas, então obtenha o ponto $Q$.

0016 - Resposta

$Q\left(4;\,\dfrac{5}{2}\right)$

0016 - Solução

Do texto, podemos obter as seguintes informações:

$P(2;\,1)$;

$Q(4;\,y_{Q})$, com $y_{Q}>0$, pois $Q\in\,1^{\circ}\,\text{quadrante}$;

$R(4;\,0)$ é o ponto no eixo das abscissas;

$d_{PQ}=d_{QR}$.

Com os dados obtidos, podemos aplicar à última equação; assim:

$d_{PQ}=d_{QR}\to \sqrt{(4-2)^2+(y_{Q}-1)^2}=\sqrt{(4-4)^2+y_{Q}^2}\to$

$4+\cancel{y_{Q}^2}-2y_{Q}+1=\cancel{y_{Q}^2}\to$

$2y_{Q}=4\to\boxed{y_{Q}=\dfrac{5}{2}}$

Portanto $\boxed{Q\left(4;\,\dfrac{5}{2}\right)}\checkmark$

0015¶

As medidas $x$ e $y$ de dois ângulos adjacentes estão na razão de $2$ para $3$. Sabendo que as bissetrizes desses ângulos determinam um ângulo de $40^{\circ}$, calcule os valores de $x$ e $y$.

0015 - Respostas

$x=32^{\circ}\quad$ e $\quad y=48^{\circ}$

0015 - Soluções

Do texto, podemos montar retirar duas informações:

$\dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{3}\to \boxed{3x=2y}$ (I)

$\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{2}=40\to\boxed{x+y=80}$ (II)

Com (I) e (II), podemos montar(e resolver) um sistema de duas equações em função de "$x$" e "$y$":

$\left\{\begin{array}{rcrcrl}3x & & & = & 2y &\\x & + & y & = & 80 &\end{array}\right.\to$

Isolando $x=\dfrac{2y}{3}$ na primeira equação, podemos aplicá-lo na segunda equação:

$\dfrac{2y}{3}+y=80\to 2y+3y=240\to 5y=240\to\boxed{y=48^{\circ}}\checkmark$

Aplicando $y=48$ na equação $x=\dfrac{2y}{3}$, teremos:

$x=\dfrac{2\cdot 48}{3}\to\boxed{x=32^{\circ}}\checkmark$

Observação: Nesse tipo de questão, o erro é impossível, uma vez que podemos substituir, no texto original da questão, os valores encontrados e, assim, obtermos a "prova real".

0014¶

Obtenha, em $\mathbb{R}$, o conjunto-solução da equação $|x-1|+|x-2|=3$.

0014 - Resposta

$S=\left\{0;\,3\right\}$

0014 - Solução

$\Rrightarrow$Vamos utilizar a definição de módulo, a fim de resolver essa equação modular:

$|x-1|=\left\{\begin{array}{rcr}x-1 & \text{se} & x-1\geqslant 0\to x\geqslant 1\\-x+1 & \text{se} & x-1<0\to x<1 \end{array}\right.$

e

$|x-2|=\left\{\begin{array}{rcr}x-2 & \text{se} & x-2\geqslant 0\to x\geqslant 2\\-x+2 & \text{se} & x-2<0\to x<2 \end{array}\right.$

$\Rrightarrow$Quatro possibilidades a serem analisadas, uma a uma:

I. Se $x\geqslant 1\,\,$ e $\,\,x\geqslant 2$, isto é, para $\boxed{x\geqslant 2}$

$x-1+x-2=3\to 2x=6\to\boxed{x=3}\checkmark$

II. Se $x\geqslant 1\,\,$ e $x<2$, isto é, para $\boxed{1\leqslant x<2}$

$x-1+(-x+2)=3\to 0x=2\to\,\boxed{\not\exists\,x\in\mathbb{R}}\checkmark$

III. Se $x<1\,\,$ e $\,\,x\geqslant2$, isto é, não há essa possibilidade.$\checkmark$

IV. Se $x<1\,\,$ e $\,\,x<2$, isto é, para $\boxed{x<1}$

$-x+1+(-x+2)=3\to-2x=0\to\boxed{x=0}\checkmark$

$\Rrightarrow$Portanto, a solução$(S)$ final, será o conjunto:

$\boxed{S=\left\{0;\,3\right\}}$

0013¶

Resolva pelo método da adição:

a) $\left\{\begin{array}{rcrcrl}3x & + & y & = & 3 &\\9x & - & 2y & = & 1 &\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{rcrcrl}x & + & y & = & 5 &\\-2x & + & y & = & -2 &\end{array}\right.$

0013 - Respostas

a) $S=\left\{\left(\dfrac{7}{15};\,\dfrac{24}{15}\right)\right\}$

b) $S=\left\{\left(\dfrac{7}{3};\,\dfrac{8}{3}\right)\right\}$

0013 - Soluções

a) $\left\{\begin{array}{rcrcrl}3x & + & y & = & 3 &(\times 2)\\9x & - & 2y & = & 1 &\end{array}\right.\to$

$\left\{\begin{array}{rcrcrl}6x & + & \cancel{2y} & = & 6 &\\9x & - & \cancel{2y} & = & 1 & (+)\end{array}\right.$

$15x=7\to\boxed{x=\dfrac{7}{15}}\checkmark$

Substituindo $x=\dfrac{7}{15}$ na primeira equação, teremos:

$3\cdot\dfrac{7}{15}+y=3\to \dfrac{21}{15}+y=\dfrac{45}{15}\to\boxed{y=\dfrac{24}{15}}\checkmark$

Portanto, a solução$(S)$ final, será o par ordenado:

$\boxed{S=\left\{\left(\dfrac{7}{15};\,\dfrac{24}{15}\right)\right\}}\checkmark$

b) $\left\{\begin{array}{rcrcrl}x & + & y & = & 5 &\\-2x & + & y & = & -2 &[\times(-1)]\end{array}\right.\to$

$\left\{\begin{array}{rcrcrl}x & + & \cancel{y} & = & 5 &\\2x & - & \cancel{y} & = & 2 &(+)\end{array}\right.$

$3x=7\to\boxed{x=\dfrac{7}{3}}\checkmark$

Substituindo $x=\dfrac{7}{3}$ na primeira equação, teremos:

$\dfrac{7}{3}+y=\dfrac{15}{3}\to\boxed{y=\dfrac{8}{3}}\checkmark$

Portanto, a solução$(S)$ final, será o par ordenado:

$\boxed{S=\left\{\left(\dfrac{7}{3};\,\dfrac{8}{3}\right)\right\}}\checkmark$

0012¶

Obtenha o conjunto solução de $(x-2)^2<2x-1$, para $\mathbb{U}=\mathbb{R}$.

0012 - Resposta

$S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,1<x<5\right\}$

0012 - Solução

$(x-2)^2<2x-1\to x^2-4x+4-2x+1<0\to$

$x^2-6x+5<0\to(x+5)(x+1)<0$

Veja o gráfico abaixo, com a situação ilustrada:

Portanto, a solução$(S)$ final, será o intervalo:

$\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,1<x<5\right\}}\checkmark$

0011¶

Resolver a inequação $2\cdot\text{cos}\,x-1<0$ sabendo-se que $0\leqslant x\leqslant 360^{\circ}$, isto é, vamos trabalhar apenas na primeira volta positiva do ciclo trigonométrico.

0011 - Resposta

$S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,60^{\circ}<x<300^{\circ}\right\}$

0011 - Solução

Professor Lopes:

Vamos resolver essa inequação trigonométrica, basicamente,

através do entendimento gráfico, assim:

$2\cdot\text{cos}\,x-1<0\to\boxed{\text{cos}\,x<\dfrac{1}{2}}$

Observe o ciclo trigonométrico com a situação ilustrada:

Portanto, a solução$(S)$ final será o conjunto:

$S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,60^{\circ}<x<300^{\circ}\right\}$

0010¶

Disserte sobre o tema "Números reais e seus axiomas"¹.

0010 - Dissertação

Números Reais - Axiomas¶

Leis de Fechamento¶

A soma $a+b$ e o produto $a\cdot b$ são números reais únicos.

Leis de Comutatividade¶

$a+b=b+a$ : a ordem das parcelas não altera a soma.

$a\cdot b=b\cdot a$ : a ordem dos fatores não altera o produto.

Leis Associativas¶

$a+(b+c)=(a+b)+c$ : o agrupamento é desnecessário em adições repetidas, uma vez que as adições de ambos os lados podem ser escritos simplesmente como $a+b+c$.

$a(bc)=(ab)c$ : o agrupamento é desnecessário em multiplicações repetidas, uma vez que as multiplicações de ambos os lados podem ser escritos simplesmente como $abc$.

Leis Distributivas¶

$a(b+c)=ab+ac=(a+b)c=ac+bc$ : a multiplicação é distributiva em relação à adição.

Leis de Identidade¶

Existe um único número 0(zero) com a propriedade de que $0+a=a+0=a$.

Existe um única número 1(um) com a propriedade de que $1\cdot a=a\cdot 1=a$.

Leis de Inverso¶

Para qualquer número real $a$, existe um número real $-a$, tal que $a+(-a)=(-a)+a=0$ e onde $-a$ é chamado de inverso aditivo ou negativo de $a$.

Para qualquer número real $a$, diferente de zero, existe um número real $a^{-1}$, tal que $a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=1$ e onde $a^{-1}$ é chamado de inverso multiplicativo ou recíproco de $a$.

Leis de Fator Zero¶

Para cada número real $a$, $a\cdot 0=0$.

Se $ab=0$, então $a=0$ ou $b=0$.

Leis de Negativos¶

$-(-a)=a$
$(-a)(-b)=ab$
$-ab=(-a)b=a(-b)=-(-a)(-b)$\\
$(-1)a=-a$

Subtração e Divisão¶

Definição de Subtração: $a-b=a+(-b)$

Definição de divisão: $\dfrac{a}{b}=a\div b=a\cdot b^{-1}$. Desse modo, $b^{-1}=1\cdot b^{-1}=1\div b=\dfrac{1}{b}$.

Observação: Porque 0(zero) não admite inverso multiplicativo, $a\div 0$ não é definido.

Leis para Quocientes¶

$-\dfrac{a}{b}=\dfrac{-a}{b}=\dfrac{a}{-b}=-\dfrac{-a}{-b}$
$\dfrac{-a}{-b}=\dfrac{a}{b}$
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ se, e somente se, $a\cdot d=b\cdot c$
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{ka}{kb}$, para qualquer $k\in\mathbb{R}^{*}$
(Princípio Fundamental de Frações)

Propriedades de Ordem¶

Para quaisquer números reais positivos, isto é, pertencentes ao conjunto $\mathbb{R}^{+}$, subconjunto dos números reais, há as seguintes propriedades:

Se $a$ e $b$ pertencem à $\mathbb{R}^{+}$, então $a+b$ e $ab$ também pertencem.
Para cada número real $a$, ou $a$ pertence à $\mathbb{R}^{+}$, ou $a$ é zero, ou $-a$ pertence à $\mathbb{R}^{+}$.

Observações:

Se $a$ pertence à $\mathbb{R}^{+}$, $a$ é chamado de positivo; se $-a$ pertence à $\mathbb{R}^{+}$, $a$ é chamado de negativo.
O número $a$ é menor que $b$, notação $a<b$, se $b-a$ é positivo. Logo, $b$ é maior que $a$, notação $b>a$.
Se $a$ é menor ou igual a $b$, notamos por $a\leqslant b$. Logo, $b$ é maior ou igual a $a$, e notamos por $b\geqslant a$.

O que se segue pode ser deduzido através da definições acima:

$a>0$ se, e somente se, $a$ é positivo.
Se $a\neq 0$, então $a^2>0$.
Se $a<b$, então $a+c<b+c$.
Se $a<b$, então $\left\{\begin{array}{lcl}ac<bc & \text{se} & c>0\\ac>bc & \text{se} & c<0\end{array}\right.$
Para qualquer $a\in\mathbb{R}$, ou $a>0$, ou $a=0$, ou $a<0$.
Se $a<b$ e $b<c$, então $a<c$.

Valor Absoluto(ou Módulo) de um Número Real¶

O valor absoluto de um número real $a$, representado por $|a|$, é definido como:

\[|a|=\left\{\begin{array}{rcl}a & \text{se} & a\geqslant 0\\-a & \text{se} & a<0\end{array}\right.\]

Ordem de Operações¶

Em expressões envolvendo combinações de operações, a seguinte ordem deve ser observada:

Primeiramente, execute operações entre símbolos agrupados. Se os símbolos agrupados estão dentro de outro agrupamento de símbolos, proceda a partir dos agrupamentos mais internos para os mais externos.
Calcule expoentes antes de multiplicações e divisões, a não ser que o agrupamento de símbolos indique o contrário.
Calcule multiplicações e divisões, da esquerda para a direita, antes de calcular adições e subtrações (também da esquerda para direita), a não ser que os símbolos de operações indiquem o contrário.

0009¶

Enumere os elementos dos seguintes conjuntos:

$A = \{ x\,|\,x \text{ é primo, positivo e menor que 23} \}$
$B = \{ x\,|\,x \text{ é um polo geográfico} \}$
$C = \{ x\,|\,x \text{ é múltiplo positivo de 3 e menor que 45} \}$
$D = \{ x\,|\,x \text{ é divisor positivo de 45} \}$
$E = \{ x\,|\,x \text{ é ímpar maior que 9}\}$
$F = \{ x\,|\,x \text{ é primo, positivo e menor que 2} \}$

0009 - Soluções

Utilizando a enumeração como forma de descrição desses conjuntos:

$\begin{array}{ll} \bullet & A = \{ 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19 \}\\ \bullet & B = \{ \text{norte; sul} \}\\ \bullet & C = \{ 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; 36; 39; 42 \}\\ \bullet & D = \{ 1; 3; 5; 9; 15; 45 \}\\ \bullet & E = \{ 11; 13; 15; \ldots \}\\ \bullet & F = \{ \}\,\,\text{ou}\,\, \varnothing \end{array}$

0008¶

Esboce o gráfico da função real $f(x)=\dfrac{1}{2+x^2}-\dfrac{1}{6}$

0008 - Solução

Esboçando o gráfico, teremos:

Equações Lineares em Duas Variáveis

Relacionando duas variáveis($x$ e $y$) em uma equação linear(cujo gráfico é uma reta não vertical) teremos a relação $y=mx+b$, onde a constante real $m$ indica a inclinação² da reta e a constante real $b$ indica o ponto onde essa reta toca(ou corta) o eixo das ordenadas, isto é, $(0;\,b)$.

Devemos observar como se indica uma reta vertical. Esta não pode ser escrita na forma $y=mx+b$ pois sua inclinação($m$) tem valor indefinido, pois o ângulo tomado é de $90^{\circ}$ e sua tangente não existe. Assim, adotamos a equação $x=a;\,\forall a\in\mathbb{R}$. Observe a imagem da equação $x=3$, a seguir:

0007¶

Esboce o gráfico das seguintes equações lineares:

a. $y=3x-2$

b. $y=3$

c. $y=-x+1$

0007 - Soluções

Apesar dos gráficos estarem prontos, a forma mais simples de se contrui-los e lembrarmos que toda reta é definida por dois pontos distintos. Assim, cada gráfico terá dois pontos tomados aleatoriamente indicados. Vamos aos gráficos:

a. Observe que a reta é crescente, pois o valor da inclinação é positivo, isto é, igual a $3$. Além disso, esse gráfico corta o eixo das ordenadas em $(0;\,-2)$, veja:

b. Observe que a reta é constante, pois o valor da inclinação é nulo, isto é, igual a $0$(zero). Além disso, esse gráfico corta o eixo das ordenadas em $(0;\,3)$, veja:

c. Observe que a reta é crescente, pois o valor da inclinação é negativo, isto é, igual a $-1$. Além disso, esse gráfico corta o eixo das ordenadas em $(0;\,1)$, veja:

0006¶

Cíntia, Paulo e Paula leram a seguinte informação numa revista

Conhece-se, há mais de um século, uma fórmula para expressar o peso ideal do corpo humano adulto em função da altura:

$P=(a-100)-\left(\dfrac{a-150}{k}\right)$

em que $P$ é o peso, em quilogramas; $a$ é a altura, em centímetros; $k=4$ para homens, e $k=2$, para mulheres.

Pergunta-se:

a. Cíntia, que pesa 54Kg, fez rapidamente as contas com $k=2$ e constatou que, segundo a fórmula, estava três quilogramas abaixo do seu peso ideal. Calcule a altura de Cíntia.

b. Paulo e Paula têm a mesma altura e ficaram felizes em saber que estavam ambos exatamente com seu peso ideal, segundo a informação da revista. Sabendo que Paulo pesa dois quilogramas a mais do que Paula, determine o peso de cada um deles.

0006 - Respostas

a. 164cm ou 1,64m

b. Paulo tem 56Kg e Paula tem 54Kg

0006 - Soluções

Vamos às resoluções:

a. Tendo o peso ideal $P=54+3\to P=57$ e a constante $k=2$, faremos:

$57=(a-100)-\left(\dfrac{a-150}{2}\right)\to$

$114=2a-200-a+150\to a=164$ cm ou $1,64$ m

b. Vamos adotar $P_{x}$ como o peso ideal de Paula e $P_{y}$ como o peso ideal de Paulo. Pelo texto,$P_{x}+2=P_{y}$. Além disso, vamos adotar a altura $a$ pois é a mesma para ambos. Vamos montar a fórmula com esses dados:

Para Paula: $P_{x}=(a-100)-\left(\dfrac{a-150}{2}\right)\ldots$ Isolando "$a$":

$2P_{x}=2a-200-a+150\to\boxed{a=2P_{x}+50}$

Para Paulo: $P_{y}=(a-100)-\left(\dfrac{a-150}{4}\right)\ldots$ Isolando "$a$":

$4P_{y}=4a-400-a+150\to 3a=4P_{y}+250\to\boxed{a=\dfrac{4P_{y}+250}{3}}$

Como as alturas são iguais a "$a$", teremos:

$2P_{x}+50=\dfrac{4P_{y}+250}{3}\to 6P_{x}+150=4P_{y}+250\to$

$6P_{x}-4P_{y}=100\,(\div 2)\to\boxed{3P_{x}-2P_{y}=50}\,\,(I)$ e $\boxed{P_{x}-P_{y}=-2}\,(II)$

Vamos montar(e resolver) um sistema linear em função de $P_{x}$ e $P_{y}$:

$\left\{\begin{array}{rcrcrcl}3P_{x} & - & 2P_{y} & = &50 &\\P_{x} & - & P_{y} & = & -2 &\leftarrow\,[\times (-2)] \end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rcrcrcl}3P_{x} & - & 2P_{y} & = &50 &\\-2P_{x} & + & 2P_{y} & = & 4 &\end{array}\right.$

Somando as duas equações, termo a termo:

$P_{x}=54$ Portanto, Paula tem 54 kg e Paulo tem 56 Kg.

Prova Real

Como as alturas são iguais, vamos substituir os valores encontrados acima, nas respectivas equações, a fim de verificar se as alturas são exatamente iguais:

Para Paula: $a=2P_{x}+50\to a=2\cdot 54+50\to\boxed{a=158\,cm}$

Para Paulo: $a=\dfrac{4P_{y}+250}{3}\to a=\dfrac{4\cdot 56+250}{3}\to\boxed{a=158\,cm}$

0005¶

O lucro $L$(em reais) de um estabelecimento comercial pode ser estimado pela lei $L(x)=-x^2+75x+q$, sendo $x$ o número de unidades vendidas e $q$ uma constante real. Sabendo que o lucro se anula quando são vendidas 15 peças, determine:

a. O valor de $q$;

b. O lucro obtido na venda de 20(vinte) peças

0005 - Respostas

a. $q=-900$

b. R$ $200,00$

0005 - Soluções

Vamos às resoluções:

a. Dado que $L(15)=0$, teremos:

$0=-(15)^2+75\cdot 15+q\to q=-1125+225\to\boxed{q=-900}\checkmark$

b. Para $x=20$, teremos:

$L(20)=-(20)^2+75\cdot 20-900\to L(20)=-400+1500-900\to\boxed{L(20)=200}\checkmark$

0004¶

a. Obtenha o inverso de $0,5\overline{4}$

b. Obtenha o inverso de $-1,\overline{2}$

0004 - Respostas

a. $\dfrac{90}{49}$

b. $-\dfrac{9}{11}$

0004 - Soluções

Vamos às resoluções:

a. Chamando $0,5\overline{4}$ de $x$, e tomando:

$10x=5,\overline{4}\,\,(I)\,\,$ e $\,\,100x=54,\overline{4}\,\,(II)$

Faremos a subtração $(II)-(I)$:

$\begin{array}{rcrl}100x & = & 54,\overline{4} &\\10x & = & 5,\overline{4} & (-)\\ 90x & = & 49 & \rightarrow \boxed{x=\dfrac{49}{90}\checkmark}\end{array}$

Assim, o inverso de $\dfrac{49}{90}\,\,$ é $\,\,\boxed{\dfrac{90}{49}}\checkmark$

b. Tomemos $y=-1,\overline{2}\,\,(I)$, e $10y=-12,\overline{2}\,\,(II)$

Faremos a subtração $(II)-(I)$:

$\begin{array}{rcrl}10y & = & -12,\overline{2} &\\y & = & -1,\overline{2} & (-)\\9y & = & -11 & \rightarrow \boxed{x=-\dfrac{11}{9}}\checkmark\end{array}$

Assim, o inverso de $-\dfrac{11}{9}\,\,$ é $\,\,\boxed{-\dfrac{9}{11}}\checkmark$

0003¶

Seja $f$ uma função que tem a propriedade $f(m\cdot x)=m\cdot f(x)+1$, para todo $x\in\mathbb{R}$ e onde $m\in\mathbb{R}^{*}$. Sendo $f(0)=-\dfrac{1}{2}$, obtenha:

a. O valor de $m$

b. Os valores de $f(9)$ e $f(81)$, sabendo que $f(3)=2$

0003 - Respostas

a. $m=3$

b. $f(9)=7\quad$ e $\quad f(81)=67$

0003 - Soluções

Vamos às resoluções:

a. Para $x=0\rightarrow f(m\cdot 0)=\underbrace{m\cdot f(0)+1=-\dfrac{1}{2}}\to$

$m\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{3}{2}\to\boxed{m=3}\checkmark$

b. Vamos por etapas:

Para $x=3\rightarrow f(3\cdot 3)=3\cdot f(3)+1\to f(9)=3\cdot 2+1\to\boxed{f(9)=7}\checkmark$

Para $x=9\rightarrow f(3\cdot 9)=3\cdot f(9)+1\to f(27)=3\cdot 7+1\to\boxed{f(27)=22}$

Para $x=27\rightarrow f(3\cdot 27)=3\cdot f(27)+1\to f(81)=3\cdot 22+1\to\boxed{f(81)=67}\checkmark$

0002¶

Determine todas as soluções da equação $\text{sen}^6x+\text{cos}^6x=\dfrac{7}{12}$

0002 - Resposta

$x=\dfrac{1}{2}\cdot\text{arcsen}\left(\pm\dfrac{\sqrt{5}}{3}\right)+k\pi,\,k\,\in\,\mathbb{Z}$

0002 - Solução

Por hipótese, usando $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, tem-se:

$\text{sen}^6x+\text{cos}^6x=(\text{sen}^2+\text{cos}^2)(\text{sen}^4x-\text{sen}^2x\,\text{cos}^2x+\text{cos}^4x)=$

$=(\text{sen}^2x+cos^2x)^2-3\text{sen}^2x\,\text{cos}^2x=1-\dfrac{3}{4}\,\text{sen}^22x$

Logo,

$\text{sen}^6x+\text{cos}^6x=\dfrac{7}{12}\Rightarrow 1-\dfrac{3}{4}\,\text{sen}^22x=\dfrac{7}{12}\Rightarrow\text{sen}^22x=\dfrac{5}{9}\Leftrightarrow\text{sen}2x=\pm\dfrac{\sqrt{5}}{3}$

Assim:

$2x=\text{arcsen}\left(\pm\dfrac{\sqrt{5}}{3}\right)+2k\pi$

Portanto: $\boxed{x=\dfrac{1}{2}\cdot\text{arcsen}\left(\pm\dfrac{\sqrt{5}}{3}\right)+k\pi,\,k\,\in\,\mathbb{Z}}$

0001¶

Observe que esse espaço é democrático e não possui línguas-padrão, por isso a escolha da nossa primeira questão veio de um excelente ebook dos autores, Carl Stitz, Ph.D. e Jeff Zeager, Ph.D., chamado "Precalculus - Version 4 - $\epsilon$" encontrado livre e gratuitamente aqui. Vamos a ela:

The cost, in dollars, to produce "x" PortaBoy³ game systems for a local retailer is given by $C(x)=80x+150\,\,\text{for}\,\,x\geqslant 0$.

Find intercept $C(0)$ and $C(5)$ and use these to graphy $y=C(x)$.
Explain the significance of the restriction on the domain, $x\geqslant 0$.
Interpret the slope of $y=C(x)$ geometrically and as a rate of change.
How many PortaBoy can be produced for $15,000?

0001 - Solutions

Stitz-Zeager:

1.$\Rrightarrow$To find $C(0)$, we substitute $0$ for $x$ in the formula $C(x)$ and obtain: $C(0)=80(0)+150=150$. Given that $x$ represents the number of PortaBoys produced and $C(x)$ represents the cost to produce said PortaBoys, $C(0)=150$ means it costs $150 even if we don’t produce any PortaBoys at all. At first, this may not seem realistic, but that $150 is often called the fixed or start-up cost of the venture. Things like re-tooling equipment, leasing space, or any other 'up front' costs get lumped into the fixed cost. To find $C(5)$, we substitute 5 for x in the formula $C(x):\,C(5)=80(5)+150 = 550$. This means it costs $550 to produce 5 PortaBoys for the local retailer. These two computations give us two points on the graph: $(0,\,C(0))$ and $(5,\,C(5))$. Along with the domain restriction $x ≥ 0$, we get:

2.$\Rrightarrow$In this context, $x$ represents the number of PortaBoys produced. It makes no sense to produce a negative quantity of game systems, so $x\geqslant 0$.

3.$\Rrightarrow$The cost function $C(x)=80x+150$ is in slope-intercept form so we recognize the slope as the coefficient of $x$, $m=80$. With $m>0$, the function $C$ is always increasing. This means that it costs more money to make more game systems. To interpret the slope as a rate of change, we note that the output, $C(x)$, is the cost in dollars, while the input, $x$, is the number of PortaBoys produced:

$m=80=\dfrac{80}{1}=\dfrac{\Delta[C(x)]}{\Delta x}=\dfrac{\$80}{1\,\text{PortaBoy produced}}$

Hence, the cost to produce PortaBoys is increasing at a rate of $\$80$ per PortaBoy produced. This is often called the variable cost for the venture.

4.$\Rrightarrow$To find how many PortaBoys can be produced for $15,000, we solve $C(x)=15000$, which means $80x+150=15000$. This yields $x=185.625$. We can produce only a whole number amount of PortaBoys so we are left with two options: produce 185 or 186 PortaBoys. Given that $C(185)=14950$ and $C(186)=15030$, we would be over budget if we produced 186 PortaBoys. Hence, we can produce 185 PortaBoys for $15,000 (with $50 to spare).

Axiomas são verdades inquestionáveis universalmente válidas, muitas vezes utilizadas como princípios na construção de uma teoria ou como base para uma argumentação. ↩
Trigonometricamente, a inclinação da reta é o valor da tangente do ângulo de inclinação dessa reta com o eixo das abscissas, tomado(esse ângulo) no sentido anti-horário. ↩
The similarity of this name to PortaJohn is deliberate. ↩