Página02¶
0050¶
Use regras de derivação para calcular a derivada das seguintes funções:
a) \(f(x)=\sqrt{5}+2x+3x^6\)
b) \(g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt[5]{2x}+\sqrt{7}\)
c) \(h(t)=(t^2-2t+1)(1-3t^{-5})\)
d) \(f(r)=\dfrac{1+3r^2}{r^2-r}\)
0050 - Soluções
a) \(f'(x)=2+18x^5\)
b) Vamos (re)escrever \(g(x)=x^{-1/2}+\sqrt[5]{2}x^{1/5}+\sqrt{7}\); assim:
\(g'(x)=-\dfrac{1}{2}x^{-3/2}+\dfrac{\sqrt[5]{2}}{5}x^{-4/5}\to\)
\(g'(x)=-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt[5]{2}}{5}\cdot\dfrac{1}{\sqrt[5]{x^4}}\)
c) \(h'(t)=(2t-2)(1-3t^{-5})+(t^2-2t+1)(15t^{-6})\to\)
\(h'(t)=2t-2+9t^{-4}-24t^{-5}+ 15t^{-6}\)
d) \(f'(r)=\dfrac{6r(r^2-r)-(1+3r^2)(2r-1)}{(r^2-r)^2}\to\)
\(f'(r)=\dfrac{(r+1)\cdot\left(r-\dfrac{1}{3}\right)}{r^2(r-1)^2}\)
0049¶
Se \(f(x)=\dfrac{4+x}{5-x}\), encontre a derivada de \(f\), usando a definição, e determine o domínio de \(f'\).
0049 - Solução
Por definição
\(\begin{array}{rcl} f'(a) & = & \displaystyle{\lim_{x\to a}\dfrac{\left(\dfrac{4+x}{5-x}-\dfrac{4+a}{5-a}\right)}{x-a}}=\\\\ & = & \displaystyle{\lim_{x\to a}\dfrac{(4+x)(5-a)-(4+a)(5-x)}{(x-a)(5-x)(5-a)}}=\\\\ & = & \displaystyle{\lim_{x\to a}\dfrac{(20-ax+5x-4a)-(20-ax+5a-4x)}{(x-a)(5-x)(5-a)}}=\\\\ & = & \displaystyle{\lim_{x\to a}\dfrac{9(x-a)}{(x-a)(5-x)(5-a)}}=\\\\ f'(a) & = & \displaystyle{\dfrac{9}{(5-a)^2}\,,\,\,a\neq 5}. \end{array}\)
Dessa forma, \(Dom\,f'=\mathbb{R}-\{5\}\).
0048¶
Se \(f(x)=x^{(2/3)}\), encontre a derivada de \(f\), usando a definição, e determine o domínio de \(f'\).
0048 - Solução
Por definição \(\displaystyle{f'(a)=\lim_{x\to a}\dfrac{x^{2/3}-a^{2/3}}{x-a}}\). Fazendo a substituição \(x^{2/3}=t\) e \(a^{2/3}=b\), teremos
\(\begin{array}{rcl} f'(a) & = & \displaystyle{\lim_{t\to b}\dfrac{t-b}{t^{3/2}-b^{3/2}}}=\\\\ & = & \displaystyle{\lim_{t\to b}\dfrac{t-b}{t^{3/2}-b^{3/2}}\cdot\dfrac{\left(t^{3/2}+b^{3/2}\right)}{\left(t^{3/2}+b^{3/2}\right)}}=\\\\ & = & \displaystyle{\lim_{t\to b}\dfrac{(t-b)\cdot\left(t^{3/2}+b^{3/2}\right)}{\left(t^3-b^3\right)}}=\\\\ & = & \displaystyle{\lim_{t\to b}\dfrac{(t-b)\cdot\left(t^{3/2}+b^{3/2}\right)}{\left(t-b\right)(t^2+bt+b^2)}}=\\\\ & = & \displaystyle{\lim_{t\to b}\dfrac{\left(t^{3/2}+b^{3/2}\right)}{(t^2+bt+b^2)}}=\\\\ & = & \dfrac{2b^{3/2}}{3b^2}=\dfrac{2}{3}b^{-1/2}=\dfrac{2}{3}\left(a^{2/3}\right)^{-1/2}=\\\\ f'(a) & = & \dfrac{2}{3}a^{-1/3},\,\,a\neq 0. \end{array}\)
Dessa forma, \(Dom\,f'=\mathbb{R}-\{0\}\).
0047¶
Encontre a equação da reta tangente à curva \(y=f(x)\) no ponto \(P\), sendo a função \(\,f\,\) dada por:
a) \(f(x)=\dfrac{1}{x};\,\,P=\left(\dfrac{1}{2},2\right)\)
b) \(f(x)=2x^2+x+2;\,\,P=(-1,3)\)
0047 - Soluções
a) Considere a reta secante passando por
\(P\left(\dfrac{1}{2},2\right)\,\) e \(\,Q\left(\dfrac{1}{2}+k,\,\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{2}+k\right)}\right)=Q\left(\dfrac{1+2k}{2},\,\dfrac{2}{1+2k}\right)\),
com \(k\) suficientemente pequeno. A equação da reta secante por \(P\) e \(Q\) é dada por
\(y-2=\dfrac{\left(\dfrac{2}{1+2k}\right)-2}{\dfrac{1+2k}{2}-\dfrac{1}{2}}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\to\boxed{y-2=\dfrac{-4}{1+2k}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)}\)
Quando \(k\) tende a \(0\)(zero), o ponto \(Q\) se aproxima de \(P\), e a reta secante de equação \(y-2=\dfrac{-4}{1+2k}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\) se aproxima da reta de equação \(y-2=-4\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\). Assim, a reta de equação \(y=-4x+4\) é a reta tangente à curva \(y=\dfrac{1}{x}\) no ponto \(P=\left(\dfrac{1}{2},2\right)\).
b) Considere a reta secando passando por
\(\boxed{P(-1,3)}\) e
\(Q(-1+k,\,2(-1+k)^2+(-1+k)+2)=Q(-1+k,\,2(1-2k+k^2)+k+1)=\boxed{Q(-1+k,\,2k^2-3k+3)}\)
com \(k\) suficientemente pequeno. A equação da reta secante por \(P\) e \(Q\) é dada por
\(y-3=\dfrac{\left(2k^2-3k+3\right)-3}{-1+k-(-1)}\cdot(x-(-1))\to\boxed{y-3=(2k-3)(x+1)}\)
Quando \(k\) tende a \(0\)(zero), o ponto \(Q\) se aproxima de \(P\), e a reta secante de equação \(y-3=(2k-3)(x+1)\) se aproxima da reta de equação \(y-3=-3(x+1)\). Assim, a reta de equação \(y=-3x\) é a reta tangente à curva \(y=2x^2+x+2\) no ponto \(P(-1,3)\).
0046¶
Encontre a reta tangente à curva \(y=x^3\) nos pontos onde \(x=0\,\,\) e \(\,\,x=-1\).
0046 - Soluções
\(\Rrightarrow\) Para \(x=0:\) Considere a reta secante passando pelos pontos \((0,0)\) e \((k,k^3)\) com \(k\) suficientemente pequeno. A equação dessa reta secante é dada por \(y-0=\dfrac{k^3-0}{k-0}\cdot(x-0)\). Quando \(k\) se aproxima de \(0\)(zero), o ponto \((k,k^3)\) se aproxima de \((0,0)\) e a reta secante de equação \(y=k^2x\) tende à reta de equação \(y=0\). Assim, temos que a reta de equação \(y=0\) é a reta tangente à curva \(y=x^3\) no ponto \((0,0)\).
\(\Rrightarrow\) Para \(x=-1:\) Considere a reata secante passando por
\(P(-1,-1)\,\,\text{e}\,\,Q(-1+k,\,(-1+k)^3)=\)
com \(k\) suficientemente pequeno. A equação da reta secante por \(P\) e \(Q\) é dada por
\(y-(-1)=\dfrac{\left(-1+3k-3k^2+k^3\right)-(-1)}{-1+b-(-1)}\cdot(x-(-1))\to\boxed{y+1=(3-3k+k^2)(x+1)}\)
Quando \(k\) tende a \(0\)(zero), o ponto \(Q\) se aproxima de \(P\), e a reta secante de equação \(y+1=(3-3k+k^2)(x+1)\) se aproxima da reta de equação \(y+1=3(x+1)\). Assim, a reta de equação \(y=3x+2\) é a reta tangente à curva \(y=x^3\) no ponto \((-1,-1)\).
0045¶
Considerando a relação \(R\) de \(A=\{2,3,5\}\) em \(B=\{4,5,6,8\}\) definida por
\(R=\{(x;y)\in A\times B\,|\,\text{x é divisor de y}\}\)
a) Determine a relação \(R\);
b) Represente-a por flechas;
c) Represente-a no plano cartesiano.
0045 - Soluções
a) \(R=\{(2;4),(2;6),(2;8),(3;6),(5;5)\}\)
b) Vide imagem:
.png)
c) Vide imagem:
.png)
0044¶
Considerando os conjuntos \(A=\{-3;-2;-1;0;1;2;3\}\) e \(B=\{0;1;2;3;4\}\):
a) Determine os pares ordenados das seguintes relações:
\(R_{1}=\{(x,y)\in A\times B\,\,|\,\,y=x^2-1\}\)
\(R_{2}=\{(x,y)\in A^2\,\,|\,\,y=x^2\}\)
b) Calcule o domínio e a imagem de \(R_{1}\) e \(R_{2}\).
0044 - Soluções
a) \(y=x^2-1\)
Para \(x=-2\to y=4-1\to y=3\,\checkmark\)
Para \(x=-1\to y=1-1\to y=0\,\checkmark\)
Para \(x=0\to y=0-1\to y=-1\notin B\)
Para \(x=1\to y=1-1\to y=0\,\checkmark\)
Portanto, \(R_{1}=\{(-2;3),(-1;0),(1,0)\}\,\checkmark\)
b) Domínios e Imagens:
\(D(R_{1})=\{-2,-1,1\}\) e \(Im(R_{1})=\{0,3\}\,\checkmark\)
\(D(R_{2})=\{-1,0,1\}\) e \(Im(R_{2})=\{0,1\}\,\checkmark\)
0043¶
Use a equação racional \(\dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{x^{2}+2x} = \dfrac{3}{x+2}\) para responder às perguntas.
Parte 1: Uma vez que a equação não está mais na forma de uma equação racional, qual método pode ser usado para resolver a equação?
Parte 2: Qual é / Quais são a solução para a equação racional?
Selecione uma resposta para a Parte 1 e selecione todas as respostas que se aplicam à Parte 2.
- PARTE1
- A: A equação resultante é uma equação quadrática, onde b = 0; pode ser resolvido isolando a variável e obtendo a raiz quadrada de cada lado.
- B: A equação resultante é uma equação quadrática, que pode ser resolvida por fatoração.
- C: A equação resultante é uma equação quadrática, que não pode ser resolvida por fatoração; pode ser resolvido pela fórmula quadrática.
- D: A equação resultante é uma equação linear, que pode ser resolvida usando as operações inversas e as propriedades da igualdade.
- PARTE2
- A: 3
- B: −3
- C: −97
- D: −9
- E: 9
0043 - Respostas
PARTE 1: Alterantiva D
PARTE 2: Alternativa D
0043 - Soluções
\(\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{x^{2}+2x}=\dfrac{3}{x+2}\to\)
\(\dfrac{4(x+2)+1=3x}{x(x+2)}\to\)
Para \(x\neq 0\,\,\) e \(\,\,x\neq-2\) podemos "eliminar" o denominador; assim, vamos resolver a equação resultante, do tipo linear, apenas no numerador:
\(4(x+2)+1=3x\to 4x-3x=-1-8\to\boxed{x=-9}\checkmark\)
0042¶
Qual o valor da ordenada do ponto \(A(3;\,y)\) sabendo que todos os pontos estão alinhados , o ponto \(B\) é o encontro dos eixos na origem e o ponto é \(C(3;\,3)\).
0042 - Resposta
\(y=3\)
0042 - Solução
Questão meramente interpretativa, portanto, desnecessário qualquer cálculo, senão vejamos:
a) O ponto \(B\) é a origem do sistema cartesiano, portanto, \(B(0;\,0)\)
b) Como os três pontos estão alinhados e \(C(3;\,3)\) a bissetriz dos quadrantes ímpar(\(y=x\)) é a reta que contêm esses pontos;
c) Dessa forma o ponto \(A\) pode ser unicamente \(A(3;\,3)\), portanto, \(y=3\).
0041¶
Construir o gráfico da função exponencial \(f(x)=3^x\).
0041 - Solução
0040¶
Em um mapa turístico do Brasil, de escala \(1:18000000\), a distância entre a cidade T e a cidade P mede 2cm. A distância entre as duas cidades, em quilômetros, segundo essa escala é:
a) \(240km\quad\) b) \(280km\quad\) c) \(360km\quad\) d) \(380km\quad\) e) \(420km\)
0040 - Resposta
c)\(\,360\,\text{km}\)
0040 - Solução
De acordo com o texto, cada cm no mapa corresponde a 18.000.000 cm de distância real; logo, \(2cm\) correspondem a \(36.000.000cm\) de distância real. Agora, basta-nos converter esses \(cm\) para \(km\):
\(36.000.000cm\to 360.000m\to\boxed{360km}\checkmark\)
0039¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a equação:
\(\left|\begin{array}{ccc}x & 3 & 5\\x+1 & 2 & 1\\3 & 2 & 4\end{array}\right|=0\)
0039 - Resposta
\(x=\dfrac{23}{4}\)
0039 - Solução
\(\left|\begin{array}{ccc}x & 3 & 5\\x+1 & 2 & 1\\3 & 2 & 4\end{array}\right|=0\to\)
\([x\times 2\times 4]+[(x+1)\times 2\times 5]+[3\times 1\times 3]\)
\(-[5\times 2\times 3]-[3\times(x+1)\times 4]-[x\times 2\times 1]=0\to\)
\(8x+10x+10+9-30-12x-12-2x=0\to\)
\(4x-23=0\to\boxed{x=\dfrac{23}{4}}\checkmark\)
0038¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a equação:
\(\left|\begin{array}{ccc}2 & 2 & 3\\2 & 4 & x\\3 & 1 & 2\end{array}\right|=0\)
0038 - Resposta
\(x=\dfrac{11}{2}\)
0038 - Solução
\(\left|\begin{array}{ccc}2 & 2 & 3\\2 & 4 & x\\3 & 1 & 2\end{array}\right|=0\to\)
\((2\times 4\times 2)+(2\times 1\times 3)+(3\times x\times 2)\)
\(-(3\times 4\times 3)-(2\times 2\times 2)-(2\times 1\times x)=0\to\)
\(16+6+6x-36-8-2x=0\to 4x-22=0\to\boxed{x=\dfrac{11}{2}}\checkmark\)
0037¶
Obtenha o gráfico da função \(f(x)=\sqrt{x+4}\)
0037 - Solução
Observe que o domínio dessa função é \(x\geqslant-4\). Isto posto, vamos ao gráfico:
0036¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a inequação:
\(\dfrac{3x+2}{4}-\dfrac{2(2x-3)}{3}\leqslant\dfrac{5x}{3}\)
0036 - Resposta
\(x\geqslant\dfrac{10}{9}\)
0036 - Solução
\(\dfrac{3(3x+2)-8(2x-3)\leqslant 20x}{\cancel{12}}\to\)
\(9x+6-16x+24\leqslant 20x\to\)
\(9x-16x-20x\leqslant -6-24\to\)
\(-27x\leqslant -30\to 27x\geqslant 30\to\)
\(x\geqslant\dfrac{30}{27}\to\boxed{x\geqslant\dfrac{10}{9}}\checkmark\)
0035¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), as seguintes equações:
a) \(2(7 + 5x) = 9x - 4\)
b) \(y - 7,2 =1,8 - 1,4 (6+y)\)
c) \(\dfrac{3x}{4} + 4 = 3(x-1)+ \dfrac{5}{2}\)
d) \(2,6 - 5y = 8\left(\dfrac{3y}{2}-0,1\right)\)
0035 - Respostas
a) \(x=-18\)
b) \(y=0,25\)
c) \(x=2\)
d) \(x=0,2\)
0035 - Soluções
a) \(2(7 + 5x) = 9x - 4\to\)
\(14+10x=9x-4\to\)
\(\boxed{x=-18}\checkmark\)
b) \(y - 7,2 =1,8 - 1,4 (6+y)\to\)
\(y+1,4y=1,8+7,2-8,4\to\)
\(2,4y=0,6\to\boxed{y=0,25}\checkmark\)
c) \(\dfrac{3x}{4} + 4 = 3(x-1)+ \dfrac{5}{2}\to\)
\(\dfrac{3x}{4}-3x = -3+ \dfrac{5}{2}-4\to\)
\(-\dfrac{9x}{4}=-\dfrac{9}{2}\to\boxed{x=2}\checkmark\)
d) \(2,6 - 5y = 8\left(\dfrac{3y}{2}-0,1\right)\to\)
\(-5y-12y = -0,8-2,6\to\)
\(-17y=-3,4\to\boxed{x=0,2}\checkmark\)
0034¶
Determine o valor de "\(a\)" para que os sistemas sejam possíveis e determinados (SPD)
a) \(\left\{\begin{array}{rcrcrc} ax & - & 2y & = & -1&\\\\ x & - & y & = & 2& \end{array}\right.\)
b) \(\left\{\begin{array}{rcrcrc} x & + & 5y & = & 20&\\\\ ax & - & 2y & = & 9& \end{array}\right.\)
0034 - Respostas
a) \(\forall\,a\in\mathbb{R}-\{2\}\)
b) \(\forall\,a\in\mathbb{R}-\left\{-\dfrac{2}{5}\right\}\)
0034 - Soluções
Vamos utilizar o escalonamento, para ambos os sistemas lineares, a fim de diminuir o número de incógnitas por linha de equação e, assim, estabelecer o valor de "\(a\)":
a)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} ax & - & 2y & = & -1&\\\\ x & - & y & = & 2& (2L_{2}-L_{1}) \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} (2-a)x & & & = & 5&\leftarrow\\\\ x & - & y & = & 2& \end{array}\right.\)
Tomando a primeira equação, analisaremos:
\((2-a)x=5\to x=\dfrac{5}{2-a}\)
concluindo que o sistema será possível e determinado para \(\forall\,a\in\mathbb{R}-\{2\}\)
b)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} x & + & 5y & = & 20&\\\\ ax & - & 2y & = & 9& \left(\dfrac{5L_{2}}{2}+L_{1}\right) \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} \left(\dfrac{5a}{2}+1\right)x & & & = & \dfrac{85}{2}&\leftarrow\\\\ ax & - & 2y & = & 9& \end{array}\right.\)
Tomando a primeira equação, analisaremos:
\(\left(\dfrac{5a}{2}+1\right)x=\dfrac{85}{2}\to\)
\(\left(\dfrac{5a+2}{2}\right)x=\dfrac{85}{2}\to x=\dfrac{85}{5a+2}\)
concluindo que o sistema será possível e determinado para \(\forall\,a\in\mathbb{R}-\left\{-\dfrac{2}{5}\right\}\)
0033¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a equação \(24-3(y-1)=8-2(y-2)\).
0033 - Resposta
\(y=15\)
0033 - Solução
Essa é uma equação do primeiro grau e será resolvida, isolando-se a incógnita "\(y\)":
\(24-3(y-1)=8-2(y-2)\to\)
\(24-3y+3=8-2y+4\to\)
\(-3y+2y=8+4-3-24\to\)
\(-y=-15\to\boxed{y=15}\checkmark\)
0032¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a equação irracional \(\sqrt{x+3}=9-x\).
0032 - Respostas
\(x=6\quad\) ou \(\quad x=13\)
0032 - Solução
\(\Rrightarrow\) Por ser uma equação irracional, devemos analisar a condição de existência do radicando, assim:
C.E: \(x+3\geqslant 0\to\boxed{x\geqslant-3}\checkmark\)
\(\Rrightarrow\) A fim de resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado e resolver a equação surgente:
\(\left(\sqrt{x+3}\right)^2=(9-x)^2\to\)
\(x+3=81-18x+x^2\to\)
\(x^2-19x+78=0\)
Utilizando a fórmula quadrática, teremos:
\(x=\dfrac{19\pm\sqrt{19-4\times 1\times 78}}{2\times 1}\to\)
\(x=\dfrac{19\pm\sqrt{361-312}}{2}\)
\(x=\dfrac{19\pm\sqrt{49}}{2}\to x=\dfrac{19\pm 7}{2}\to\)
\(x_{1}=\dfrac{19-7}{2}\to\boxed{x_{1}=6}\checkmark\quad\) Solução válida, de acordo com a C.E.
ou
\(x_{2}=\dfrac{19+7}{2}\to\boxed{x_{2}=13}\checkmark\quad\) Solução válida, de acordo com a C.E.
0031¶
Determine o conjunto solução das equações:
a) \(\left|\begin{array}{rr}3 & x\\2 & 2\end{array}\right|=0\)
b) \(\left|\begin{array}{rrr}1 & x & 1\\-2 & -4 & 2\\4 & 8 & 3\end{array}\right|=0\)
0031 - Respostas
a) \(x=3\)
b) \(x=2\)
0031 - Soluções
a) \(3\cdot 2-(x\cdot 2)=0\to 6-2x=0\to 2x=6\to\boxed{x=3}\checkmark\)
b) \(1\cdot(-4)\cdot 3-2\cdot 8\cdot 1+4\cdot 2\cdot x-[1\cdot(-4)\cdot 4+x\cdot(-2)\cdot 3+1\cdot 8\cdot 2]=0\)
\(-12-16+8x+16+6x-16=0\to 14x=28\to\boxed{x=2}\checkmark\)
0030¶
Determine as equações do sistema de equaçao matricial abaixo. A seguir, resolva e classifique o sistema linear surgente:
\(\left[\begin{array}{rr}2 & 1\\1 & -3\end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{r} x\\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} 9\\-13\end{array}\right]\)
0030 - Resposta
O sistema linear é possível e determinado (SPD) e sua solução única é: \(S=\left\{(2;\,5)\right\}\)
0030 - Solução
\(\Rrightarrow\) Primeiramente, vamos montar o sistema linear, decorrente dessa operação matricial:
\(\left\{\begin{array}{rcrcr}2x & + & y & = & 9\\x & - & 3y & = & -13\end{array}\right.\)
\(\Rrightarrow\) Agora, vamos resolver esse sistema linear através do método da adição:
\(\left\{\begin{array}{rcrcr}2x&+&y&=&9&(\times\,3)\\x&-&3y&=&-13\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcr}6x & + &\cancel{3y} & = & 27&\\x & - &\cancel{3y} & = & -13&\,(+)\end{array}\right.\)
Somando as duas equações, termo a termo, teremos:
\(7x=14\to\boxed{x=2}\checkmark\)
Substituindo \(x=2\) na primeira equação original, teremos:
\(2\cdot 2+y=9\to\boxed{y=5}\checkmark\)
Portanto, a solução\((S)\) final, será o par ordenado:
\(\boxed{S=\left\{(2;\,5)\right\}}\checkmark\)
\(\Rrightarrow\) Finalmente, como pudémos obter uma única solução, classificamos esse sistema linear como Sistema Possível e Determinado (SPD).
0029¶
Obtenha o valor de "\(m\)" na equação \(\dfrac{(m+4)!}{(m+2)!}=20\).
0029 - Resposta
\(m=1\)
0029 - Solução
A fim de resolver essa equação fatorial, vamos expandir o numerador até o termo \((m+2)!\) então, vamos simplificá-lo com o denominador, também \((m+2)!\) e, dessa forma, chegaremos a uma equação (já sem os fatoriais) em função de "\(m\)". A partir daí, basta resolvermos essa equação, sem nos esquecermos das condições de existência; assim:
\(\dfrac{(m+4)\cdot(m+3)\cdot\cancel{(m+2)!}}{\cancel{(m+2)!}}=20\to\)
\(\underbrace{(m+4)\cdot(m+3)}_{\text{...desenvolvendo...}}=20\to\)
\(m^2+7m+12=\underbrace{20}_{\leftarrow}\to\)
\(m^2+7m+12-20=0\to\)
\(m^2+7m-8=0\to\,\,Bhaskara\,\,\to\)
\(m=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to\)
\(m=\dfrac{-7\pm\sqrt{7^2-4\times 1\times(-8)}}{2\times 1}\to\)
\(m=\dfrac{-7\pm\sqrt{49+32}}{2}\to m=\dfrac{-7\pm9}{2}\to\)
\(m_{1}=\dfrac{-7-9}{2}\to\boxed{\cancel{m_{1}=-8}}\) (*) Não serve!!
ou
\(m_{2}=\dfrac{-7+9}{2}\to\boxed{m_{2}=1}\checkmark\)
(*) Não nos serve pois, da definição de fatorial, retiramos a seguinte parte: "...fatorial de um número inteiro m não negativo, é indicado por m!...". Observe que fatoriais somente existem para valores INTEIROS e NÃO NEGATIVOS, por isso, o resultado de m=-8, não será considerado, sendo válido apenas o valor de m=1, sendo essa é a resposta final.
0028¶
Uma mulher tem 54 anos, e sua filha, 12. Há quanto tempo a idade da mãe foi igual ao quadrado da idade da filha?
0028 - Resposta
O fato ocorreu há 5(cinco) anos.
0028 - Solução
Vamos adotar "há quanto tempo" como "x", equacionar o texto, resolvê-la e encontrar o que se pede; assim:
\(54-x=(12-x)^2\to\)
\(54-x=144-24x+x^2\to\)
\(x^2-23x+90=0\to\,\,Bhaskara\to\)
\(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to\)
\(x=\dfrac{-(-23)\pm\sqrt{(-23)^2-4\times 1\times 90}}{2\times 1}\to\)
\(x=\dfrac{23\pm\sqrt{529-360}}{2}\to\)
\(x=\dfrac{23\pm\sqrt{169}}{2}\to x=\dfrac{23\pm13}{2}\to\)
\(x_{1}=\dfrac{23-13}{2}\to\boxed{x_{1}=5}\checkmark\)
ou
\(x_{2}=\dfrac{23+13}{2}\to\boxed{\cancel{x_{2}=18}}\leftarrow\) Não serve, pois há 18 anos, a filha teria \(-6\) anos, o que é impossível!!
Portanto, o fato ocorreu há 5 anos.
0027¶
A metade da minha idade mais \(\frac{4}{5}\) da minha idade é igual a \(52\) anos. Qual é a minha idade?
0027 - Resposta
Minha idade é 40(quarenta) anos.
0027 - Solução
Vamos adotar "x" como "minha idade", equacionar o texto, resolver a equação que surgir e encontrar o que se pede; assim:
\(\dfrac{x}{2}+\dfrac{4x}{5}=52\to\dfrac{5x+8x=520}{\cancel{10}}\to\)
\(13x=520\to x=\dfrac{520}{13}\to\boxed{x=40}\checkmark\)
0026¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a equação: \(2x^2=12+x^2+x\).
0026 - Resposta
\(x=-3\quad\) ou \(\quad x=4\)
0026 - Solução
\(2x^2=\underbrace{12+x^2+x}_{\leftarrow}\to\)
\(\underbrace{2x^2-12-x^2-x}_{\text{...agrupando...}}=0\to\)
\(\underbrace{x^2-x-12=0}_{Bhaskara}\to\)
\(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to\)
\(x=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\times 1\times (-12)}}{2\times 1}\to\)
\(x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+48}}{2}\to\)
\(x=\dfrac{1\pm\sqrt{49}}{2}\to x=\dfrac{1\pm 7}{2}\to\)
\(x_{1}=\dfrac{1-7}{2}\to\boxed{x_{1}=-3}\checkmark\)
ou
\(x_{2}=\dfrac{1+7}{2}\to\boxed{x_{2}=4}\checkmark\)