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0075

Dados os conjuntos $A=\{ x \in \mathbb{Z} \,|\, 0\leq x \leq 12\}$, $B=\{1;3;5;7;9;11\}$ e $C=\{0;2;4;6;8;10;12\}$, determine:

• $A\cap B$
• $A\cap C$
• $A\cap B\cup C$
• $A-(B-C)$
• $\complement ^{B}_{A}$
• $\complement ^{C}_{A}$

0075 - Soluções

Reescrevendo o conjunto $A=\{ 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12\};$ e tendo $B=\{1;3;5;7;9;11\}$ e $C=\{0;2;4;6;8;10;12\}$, determinamos:

$\begin{array}{ll} \bullet & A\cap B = B,\,\,\text{pois todos os elementos de}\,\,B\,\,\text{também pertencem a}\,\,A,\,\,\text{ou ainda}\,\, B\subset A.\\ \bullet & A\cap C = C,\,\,\text{pois todos os elementos de}\,\,C\,\,\text{também pertencem a}\,\,A,\,\,\text{ou ainda}\,\, C\subset A.\\ \bullet & A\cap B\cup C = A;\,\,\text{vimos que}\,\,A\cap B = B\,\,\text{e, simples observação},\,\, B\cup C = A.\\ \bullet & A-(B-C) = C;\,\,\text{veja que}\,\,B-C = B,\,\,\text{pois}\,\,B\cap C = \varnothing;\,\,\text{assim}\,\,A-B = C.\\ \bullet & \complement ^{B}_{A} = A-B = C,\,\,\text{visualmente observável}.\\ \bullet & \complement ^{C}_{A} = A-C = B,\,\,\text{visualmente observável}. \end{array}$

0074

Dados os conjuntos $A=\{0;3;6;9;12;15;18;21;24;27;30\}$ e $B=\{0;5;10;15;20;25;30\}$, classifique como verdadeira ou falsa cada afirmação abaixo, sempre justificando sua resposta:

• $A$ é subconjunto de $B$.
• $B$ é subconjunto de $A$.
• $A$ e $B$ são disjuntos.
• A interseção não é vazia.
• $A-B=\varnothing.$
• $B-A=\varnothing.$

0074 - Soluções

Cada afirmação refere-se direta ou indiretamente a conceitos teóricos básicos, mas de conhecimento necessário:

$\begin{array}{ll} \bullet & \text{Falsa, pois}\,\,A\not \subset B,\,\,\text{isto é, há elementos de}\,\,A\,\,\text{que não pertencem a}\,\,B.\\ \bullet & \text{Falsa, pois}\,\,B\not \subset A,\,\,\text{isto é, há elementos de}\,\,B\,\,\text{que não pertencem a}\,\,A.\\ \bullet & \text{Falsa, pois}\,\,A\cap B \neq \varnothing.\,\,\text{Lembre-se, disjuntos, são conjuntos cuja interseção é}\\ & \text{um conjunto vazio, isto é},\,\,A\cap B = \varnothing.\\ \bullet & \text{Verdadeira, pois}\,\,A\cap B = \{ 0; 15; 30 \}.\\ \bullet & \text{Falsa, pois}\,\,A-B = \{ 3; 6; 9; 12; 18; 21; 24; 27 \},\,\,\text{isto é},\,\,A-B\neq \varnothing.\\ \bullet & \text{Falsa, pois}\,\,B-A = \{ 5; 10; 20; 25 \},\,\,\text{isto é},\,\,B-A\neq \varnothing. \end{array}$

0073

Se $A=\{1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$ e $B=\{1;3;5;7;9\}$, determine:

• $A\cup B$
• $A\cap B$
• $A-B$
• $B-A$
• $\complement^{A}_{B}$
• $\complement_{A}^{B}$

0073 - Soluções

Visualização e compreensão da simbologia aplicada aos conjuntos:

$\begin{array}{ll} \bullet & A\cup B = A \\ \bullet & A\cap B = B \\ \bullet & A-B = \{ 2; 4; 6; 8 \} \\ \bullet & B-A = \varnothing \\ \bullet & \complement^{A}_{B} = B-A = \varnothing\\ \bullet & \complement_{A}^{B} = A-B = \{ 2; 4; 6; 8 \} \end{array}$

0072

Enumere os elementos dos seguintes conjuntos:

• $A = \{ x\,|\,x \text{ é primo, positivo e menor que 23} \}$
• $B = \{ x\,|\,x \text{ é um polo geográfico} \}$
• $C = \{ x\,|\,x \text{ é múltiplo positivo de 3 e menor que 45} \}$
• $D = \{ x\,|\,x \text{ é divisor positivo de 45} \}$
• $E = \{ x\,|\,x \text{ é ímpar maior que 9}\}$
• $F = \{ x\,|\,x \text{ é primo, positivo e menor que 2} \}$

0072 - Soluções

Utilizando a enumeração como forma de descrição desses conjuntos:

$\begin{array}{ll} \bullet & A = \{ 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19 \}\\ \bullet & B = \{ \text{norte; sul} \}\\ \bullet & C = \{ 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; 36; 39; 42 \}\\ \bullet & D = \{ 1; 3; 5; 9; 15; 45 \}\\ \bullet & E = \{ 11; 13; 15; \ldots \}\\ \bullet & F = \{ \}\,\,\text{ou}\,\, \varnothing \end{array}$

0071

Duas questões:

a) Demonstre que os pontos $A(7;\,5),\,B(2;\,3),\,C(6;\,-7)$ são os vértices de um triângulo retângulo.

b) Encontre a área desse triângulo retângulo.

0071 - Solução

a) Encontrando os valores de cada lado:

$AB=\sqrt{(7-2)^2+(5-3)^2}\to\,AB=\sqrt{29}$

$BC=\sqrt{(2-6)^2+(3+7)^2}\to\,BC=\sqrt{116}$

$AC=\sqrt{(7-6)^2+(5+7)^2}\to\,AC=\sqrt{145}$

Por Pitágoras, $(AB)^2+(BC)^2=(AC)^2\to 29+116=145$, assim $\Delta ABC$ é retângulo.

---

b) A área de qualquer triângulo$(A_{\Delta})$ é obtida pela metade do produto da base pela altura, ou seja:

$A_{\Delta}=\dfrac{1}{2}\cdot(AB)\cdot(BC)=\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{29}\cdot\sqrt{116}\to\boxed{A_{\Delta}=29}$

0070

Demonstre que os pontos $A(3;\,8),\,B(-11;\,3),\,C(-8;\,-2)$ são os vértices de um triângulo isósceles.

0070 - Solução

Primeiramente, devemos verificar se os pontos dados determinam um triângulo, através das três condições de existência; assim:

$\Rrightarrow|\overline{AB}-\overline{BC}|<\overline{AC}<\overline{AB}+\overline{BC}\to$

$|\sqrt{221}-\sqrt{34}|<\sqrt{221}<\sqrt{221}+\sqrt{34}\to\boxed{9,03<14,86<20,69}\,\checkmark$

$\Rrightarrow|\overline{BC}-\overline{AC}|<\overline{AB}<\overline{BC}+\overline{AC}\to$

$|\sqrt{34}-\sqrt{221}|<\sqrt{221}<\sqrt{34}+\sqrt{221}\to\boxed{9,03<14,86<20,69}\,\checkmark$

$\Rrightarrow|\overline{AB}-\overline{AC}|<\overline{BC}<\overline{AB}+\overline{AC}\to$

$|\sqrt{221}-\sqrt{221}|<\sqrt{34}<\sqrt{221}+\sqrt{221}\to\boxed{0<5,83<29,73}\,\checkmark$

Entendida a existência de tal triângulo, vamos ao que se pede:

$\overline{AB}=\sqrt{(3+11)^2+(8-3)^2}\to \overline{AB}=\sqrt{221}$

$\overline{BC}=\sqrt{(-11+8)^2+(3+2)^2}\to\overline{BC}=\sqrt{34}$

$\overline{AC}=\sqrt{(3+8)^2+(8+2)^2}\to\overline{AC}=\sqrt{221}$

Como $\overline{AB}=\overline{AC}$, o triângulo é isósceles.

0069

Encontre a distância$(d)$ entre os pontos:

a) $(-2;\,3)$ e $(5;\,1)$

b) $(6;\,-1)$ e $(-4;\,-3)$

0069 - Soluções

a) $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2}=\sqrt{(5+2)^2+(1-3)^2}=\sqrt{49+4}\to\boxed{d=\sqrt{53}}$

b) $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2}=\sqrt{(-4-6)^2+(-3+1)^2}=\sqrt{104}\to\boxed{d=2\sqrt{26}}$

0068

Um trabalho pode ser feito em duas horas pelo primeiro funcionário, em três horas pelo segundo funcionário e em seis horas pelo terceiro funcionário. Em quanto tempo esse mesmo trabalho pode ser feito pelos três funcionários juntos?

0068 - Solução

Em uma única hora:

O primeiro funcionário completa metade$\left(\dfrac{1}{2}\right)$ do trabalho;

O segundo funcionário completa um terço$\left(\dfrac{1}{3}\right)$ do trabalho e;

O terceiro funcionário completa um sexto$\left(\dfrac{1}{6}\right)$ do trabalho.

Assim, nesta única hora, os três funcionários, completam:

$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{3+2+1}{6}=1$, ou seja, 100% do trabalho.

0067

Um fazendeiro cria galinhas e coelhos. Num dado momento, esses animais somam um total de cinquenta cabçeas e cento e quarenta pés. Obtenha a razão entre o número de coelhos e o número de galinhas.

0067 - Solução

Vamos chamar de "g" o número de galinhas e de "c" o número de coelhos. Cada galinha possui dois pés, portanto, "2g" nos fornece o número total de pés de galinha e, cada coelho possui quatro pés, portanto "4c" nos fornece o número total de pés de coelhos. Dessa forma podemos montar um sistema de equações em função do número de galinhas(g) e do número de coelhos©:

$\left\{\begin{array}{rcrcr}g & + & c & = & 50\\\\2g & + & 4c & = & 140\end{array}\right.$

Isolando "g" na primeira equação teremos $g=50-c$. Substituindo $g=50-c$ na segunda equação, teremos:

$2(50-c)+4c=140\to 100-2c+4c=140\to 2c=40\to\boxed{c=20\,\text{coelhos}}$

Substituindo $c=20$ na equação $g=50-c$, teremos:

$g=50-20\to\boxed{g=30\,\text{galinhas}}$

Portanto, a razão pedida será: $\boxed{\dfrac{c}{g}=\dfrac{2}{3}}\,\,\checkmark$

0066

Numa fábrica, cinco máquinas de igual capacidade de produção, levam cinco dias para produzir cinco peças, operando cinco horas por dia. Quantas peças seriam produzidas por dez máquinas iguais às primeiras, trabalhando dez horas por dia, durante dez dias?

0066 - Solução

Diante dessas várias grandezas, vamos propor o seguinte esquema:

$\begin{array}{ccccccc}\text{Peças} && \text{Dias} && \text{Máquinas} && \text{Horas por dia}\end{array}$

$\,\,\left\uparrow\begin{array}{c}5\\\\x\end{array}\right.\,\,\,\quad\quad\left\uparrow\begin{array}{c}5\\\\10\end{array}\right.\,\,\quad\left\uparrow\begin{array}{c}5\\\\10\end{array}\right.\quad\quad\quad\quad\left\uparrow\begin{array}{c}5\\\\10\end{array}\right.$

Tomamos todas as razões na mesma forma, pois são grandezas diretamente proporcionais; posteriormente, resolvemos a equação surgente; assim:

$\dfrac{5}{x}=\dfrac{5}{10}\cdot\dfrac{5}{10}\cdot\dfrac{5}{10}\to\dfrac{5}{x}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\to\dfrac{5}{x}=\dfrac{1}{8}\to\boxed{x=40\,\text{peças}}$

0065

Num escritório de contabilidade trabalham 40 funcionários dando atendimento ao público. a razão entre o número de homens e o número de mulheres, nessa ordem, é de 2 para 3. Obtenha o número de homens e o número de mulheres que dão atendimento ao público.

0065 - Solução

Vamos chamar de "h" o número de homens e de "m" o número de mulheres, chegando à proporção $\dfrac{h}{m}=\dfrac{2}{3}\,(I)$. Além disso, sabemos que $h+m=40(II)$. De $(I)$ e $(II)$, formamos o sistema:

$\left\{\begin{array}{rcrcr}&&\dfrac{h}{m} & = & \dfrac{2}{3}\\\\h & + & m & = & 40\end{array}\right.$

Da primeira equação, obtemos $h=\dfrac{2m}{3}$ e da segunda, obtemos $h=40-m$. Assim:

$\dfrac{2m}{3}=40-m\to 2m=120-3m\to 5m=120\to\boxed{m=24}$

Substituindo $m=24$ na segunda equação: $h+24=40\to\boxed{h=16}$

Portanto, teremos 24 mulheres e 16 homens, responsáveis pelo antendimento ao público.

0064

Certo dia, no escritório "A", das 125 pessoas que ali trabalham, 25 faltaram. No escritório "B", onde trabalham 140 pessoas, a porcentagem de faltantes foi a mesma do escritório "A". Sendo assim, quantas pessoas foram trabalhar nos dois escritórios?

0064 - Solução

$\Rrightarrow$ Escritório "A":

$\left\uparrow\begin{array}{ccc}125\, && 100\%\\&&\\25\, && x\%\end{array}\right\uparrow$

Como as duas grandezas são diretamente proporcionais, tomamos as razões na mesma forma, resolvendo a equação surgente, isto é:

$\dfrac{125}{25}=\dfrac{100}{x}\to\dfrac{5}{1}=\dfrac{100}{x}\to\boxed{x=20\%}$

Portanto, tivemos 100 pessoas que compareceram ao trabalho no escritório "A".

$\Rrightarrow$ Escritório "B":

Se a porcentagem de faltantes foi a mesma do escritório "A", isto é, $20\%$, teremos:

$\left\uparrow\begin{array}{ccc}140\, && 100\%\\&&\\y\, && 25\%\end{array}\right\uparrow$

Como as duas grandezas são diretamente proporcionais, tomamos as razões na mesma forma, resolvendo a equação surgente, isto é:

$\dfrac{140}{y}=\dfrac{100}{25}\to\dfrac{140}{y}=4\to\boxed{y=35}$

Portanto, tivemos 35 pessoas ausentes e, consequentemente, 105 pessoas que compareceram.

Somando as presenças dos dois escritórios, teremos $100+105=\boldsymbol{205}$ pessoas.

0063

Um funcionário tem um lote de documentos para protocolar. Se já executou um quinto de sua tarefa, obtenha a razão entre o número de documentos já protocolados e o número restante.

0063 - Solução

A razão é a divisão tomada na ordem em que foram apresentadas as informações. Sendo um quinto protocolados, restam ainda quatro quintos. Assim, a razão(R), nesta ordem, será

$R=\dfrac{\frac{1}{5}}{\frac{4}{5}}\to R=\dfrac{5}{20}\to\boxed{\boldsymbol{R=\dfrac{1}{4}}}$

0062

Trabalhando 8(oito) horas por dia, os 2.500(dois mil e quinhentos) operários de uma empresa automobilística produzem 500(quinhentos) veículos em 30(trinta) dias. Quantos dias serão necessários para que 1.200(um mil e duzentos) operários produzam 450(quatrocentos e cincoenta) veículos, trabalhando 10(dez) horas por dia?

0062 - Solução

Observe o esquema:

$\begin{array}{ccccccc}\text{Horas por Dia} && \text{Operários} && \text{Veículos} && \text{Dias}\end{array}$

$\,\,\left\downarrow\begin{array}{c}8\\\\10\end{array}\right.\quad\quad\quad\quad\quad\left\downarrow\begin{array}{c}2.500\\\\1.200\end{array}\right.\quad\quad\quad\left\uparrow\begin{array}{c}500\\\\450\end{array}\right.\quad\quad\,\,\,\left\uparrow\begin{array}{c}30\\\\x\end{array}\right.$

Tomamos, na mesma forma, as grandezas diretamente proporcionais e, na forma invertida, as grandezas inversamente proporcionais; posteriormente, resolvemos a equação surgente; assim:

$\dfrac{30}{x}=\dfrac{10}{8}\cdot\dfrac{1200}{2500}\cdot\dfrac{500}{450}$

Como se trata de multiplicações e/ou divisões fracionárias, podemos simplificar numeradores por denominadores, até obtermos frações irredutíveis; assim:

$\dfrac{30}{x}=\dfrac{30}{45}\to\boxed{\boldsymbol{x=45}\,\textbf{dias}}$

0061

Se $\frac{2}{3}$(dois terços) de uma obra foram realizados em 5(cinco) dias por 8(oito) operários trabalhando 6(seis) horas por dia. O restante da obra será feito, agora com 6(seis) operários, trabalhando 10(dez) horas por dia, em quantos dias?

0061 - Solução

$\left\downarrow\begin{array}{c}\frac{2}{3}\,\text{da obra}\\\\\frac{1}{3}\,\text{da obra}\end{array}\right.\left\downarrow\begin{array}{c}5\,\text{dias}\\\\x\end{array}\right.\left\uparrow\begin{array}{c}8\,\text{operários}\\\\6\,\text{operários}\end{array}\right.\left\uparrow\begin{array}{c}6\,\text{h/d}\\\\10\,\text{h/d}\end{array}\right.$

Tomamos, na mesma forma, as grandezas diretamente proporcionais e, na forma invertida, as grandezas inversamente proporcionais; posteriormente, resolvemos a equação surgente; assim:

$\dfrac{5}{x}=\dfrac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}\cdot\dfrac{6}{8}\cdot\dfrac{10}{6}$

Como se trata de multiplicações e/ou divisões fracionárias, podemos simplificar numeradores por denominadores, até obtermos frações irredutíveis; assim:

$\dfrac{5}{x}=\dfrac{5}{2}\Rightarrow 5x=10\to\boxed{x=2\,\text{dias}}$

0060

Se 12 operários fazem 72m de muro em um dia, quantos metros farão 20 operários em um dia?

0060 - Solução

Observe o esquema:

$\left\uparrow\begin{array}{ccc}12\,\text{operários} && 72m\\&&\\20\,\text{operários} && x\end{array}\right\uparrow$

Como as duas grandezas são diretamente proporcionais, tomamos as razões na mesma forma, resolvendo a equação surgente, isto é:

$\dfrac{12}{20}=\dfrac{72}{x}\to 12\cdot x=20\cdot 72\to x=\dfrac{20\cdot 72}{12}\to\boxed{x=120\,\text{m}}$

0059

A função $f(x)=x^3-9x$ é crescente para $x<-\sqrt{3}$. Se "$g$" é a função inversa de "$f$" neste invervalo, encontre $g'(0)$.

0059 - Solução

As raízes da equação $x^3-9x=0$ são $-3,\,0\,\text{e}\,3$. Como hipótese $g$ é a função inversa de $f$ para $x<-\sqrt{3}$, segue que $f(-3)=0\Leftrightarrow g(0)=-3$. Como $f'(x)=3x^2-9$, $f'(-3)=18$. Por definição de inversa, $(g\circ\,f)(x)=x$ em $\forall\,x\in(-\infty,\,-\sqrt{3}]$ e pela regra da cadeia, temos $g'(f(x))\cdot f'(x)=1$, ou seja, $g'(0)=g'(f(-3))=\dfrac{1}{f'(-3)}=\dfrac{1}{18}$.

0058

Otenha a derivada da função $f(x)=\text{arctg}\,x$

0058 - Solução

Dada a função $f(x)=\text{arctg}\,x$, vamos encontrar sua derivada $f'(x)$. A função $x=\text{tg}\,y$ é injetora em $\left(-\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{\pi}{2}\right)$ e, portanto, possui inversa $f:(-\infty,\,+\infty)\to\left(-\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{\pi}{2}\right)$ dada por $f(x)=\text{arctg}\,x$.

Assim, para qualquer $x\in\mathbb{R}$, teremos $\dfrac{d}{dx}f(x)=\dfrac{1}{\dfrac{d}{dy}\text{tg}\,y}=\dfrac{1}{\sec^2y}$.

Mas, $\sec^2y=1+\text{tg}^2y=1+x^2$. Portanto, $f'(x)=\dfrac{1}{\sec^2y}=\dfrac{1}{1+x^2}\,,\,x\in\mathbb{R}$

0057

Obtenha a derivada da função $f(x)=\arccos x$

0057 - Solução

Dada a função $f(x)=\arccos x$, vamos encontrar a derivada $f'(x)$. A função $x=\cos y$ é injetora em $[0,\,\pi]$ e, portanto, possui inversa $f:[-1,\,1]\to[0,\,\pi]$ dada por $f(x)=\arccos x$. Assim, para qualquer $x\in(-1,\,1)$ teremos:

$\dfrac{d}{dx}f(x)=\dfrac{1}{\dfrac{d}{dy}\cos y}=-\dfrac{1}{\text{sen} y}$

Da Identidade Fundamental da Trigonometria, segue que $\text{sen}^2y=1-\cos^2y=1-x^2$. Como $y\in[0,\,\pi]$, teremos que $\text{sen}y\geqslant 0$. Logo, $\text{sen}\,y=\sqrt{1-x^2}$. Assim:

$\boxed{f'(x)=-\dfrac{1}{\text{sen}\,y}=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}},\,x\in(-1,\,1)}$

0056

Obtenha a derivada da função $f(x)=\text{sen}\left(\dfrac{2x}{x^4-4x}\right)$

0056 - Solução

$f'(x)=\cos\left(\dfrac{2x}{x^4-4x}\right)\left(\dfrac{2(x^4-4x)-2x(4x^3-4)}{(x^4-4x)^2}\right)\to$

$\boxed{f'(x)=-\dfrac{6x^4}{(x^4-4x)^2}\cdot\cos\left(\dfrac{2x}{x^4-4x}\right)}$

0055

Obtenha a derivada da função $f(x)=\dfrac{(x^2+4)^{5/3}}{(x^3+1)^{3/5}}$

0055 - Solução

$f'(x)=\dfrac{\dfrac{5}{3}(x^2+4)^{2/3}(2x)(x^3+1)^{3/5}-(x^2+4)^{5/3}\cdot\dfrac{3}{5}(x^3+1)^{-2/5}(3x)}{(x^3+1)^{6/5}}\to$

$f'(x)=\dfrac{\dfrac{10}{3}x(x^2+4)^{2/3}(x^3+1)^{3/5}-\dfrac{9}{5}x(x^2+4)^{5/3}(x^3+1)^{-2/5}}{(x^3+1)^{6/5}}\to$

$f'(x)=\dfrac{\dfrac{x}{15}(x^2+4)^{2/3}(x^3+1)^{3/5}\left(50-27\dfrac{x^2+4}{x^3+1}\right)}{(x^3+1)^{6/5}}\to$

$\boxed{f'(x)=\dfrac{x(x^2+4)^{2/3}(x^3+1)^{3/5}(50x^3-27x^2-58)}{15(x^3+1)^{11/5}}}$

0054

Obtenha a derivada da função $f(x)=\text{sen}^7\left(\cos\left((2x+1)^{10}\right)\right)$

0054 - Solução

$f'(x)=7\text{sen}^6\left(\cos\left(2x+1)^{10}\right)\right)\left(-\text{sen}(2x+1)^{10}\right)\left(10(2x+1)^9\right)\cdot 2\to$

$\boxed{f'(x)=-140(2x+1)^9\left(\text{sen}(2x+1)^{10}\right)\cdot\text{sen}^6\left(\cos\left((2x+1)^{10}\right)\right)}$

0053

Obtenha a derivada da função $f(x)=\dfrac{(x+\text{sen}\,x)^{20}}{\cos^{10}x}$

0053 - Solução

$f'(x)=\dfrac{20(x+\text{sen}\,x)^{19}(1+\cos x)\cdot\cos^{10}x-(x+\text{sen}\,x)^{20}(10\cos^9x)(-\text{sen}\,x)}{\cos^{20}x}\to$

$\boxed{f'(x)=\dfrac{10(x+\text{sen}\,x)^{19}\cdot\cos^9x(2\cdot\cos x+2\cos^2x+x\cdot\text{sen}\,x+\text{sen}^2x)}{\cos^{20}x}}$

0052

Calcule a derivada das funções definidas a seguir:

$\begin{array}{ll} a)\,\,f(x)=\sqrt[3]{(x^2+1)^2} & b)\,\,f(x)=\cos^2(1-x^2)\\\\ c)\,\,f(x)=\cos(1-x^2)^2 & d)\,\,f(x)=\text{tg}^3x+\text{tg}\,x^3\\\\ e)\,\,f(x)=-\dfrac{\text{sen}^2x}{x} & f)\,\,f(x)=(2x^6+5x^3)^{3/5}\\\\ g)\,\,f(x)=(3x-x^{-1})\cos\,2x & h)\,\,f(x)=\text{tg}(5x^2-x) \end{array}$

0052 - Soluções

a) $f(x)=(x^2+1)^{2/3}$, então $f'(x)=\dfrac{2}{3}(x^2+1)^{-1/3}(2x)\to\boxed{f'(x)=\dfrac{4}{3}x(x^2-1)^{-1/3}}$

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b) $f'(x)=2\cos(1-x^2)(-\text{sen}(1-x^2))(-2x)\to\boxed{f'(x)=-4x\cos(1-x^2)\text{sen}(1-x^2)}$

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c) $f'(x)=-\text{sen}(1-x^2)^2(2(1-x^2)(-2x))\to\boxed{f'(x)=4x(1-x^2)\text{sen}(1-x^2)^2}$

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d) De acordo com o item "a" do exercício anterior, $\boxed{f'(x)=3\text{tg}^2x\cdot\sec^2x+3x^2\cdot\sec^2x^3}$

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e) $f'(x)=-\dfrac{2x\cdot\text{sen}\,x\cdot\cos x-\text{sen}^2x}{x^2}\to\boxed{f'(x)=\dfrac{\text{sen}\,x(\text{sen}\,x-2x\cdot\cos x)}{x^2}}$

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f) $f'(x)=\dfrac{3}{5}(2x^6+5x^3)^{-2/5}(12x^5+15x^2)\to\boxed{f'(x)=\dfrac{9}{5}\dfrac{(4x^5+5x^2)}{(2x^6+5x^3)^{2/5}}}$

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g) $f'(x)=(3+x^{-2})\cdot\cos 2x+(3x-x^{-1})\cdot(-\text{sen}\,2x)\cdot 2\to\boxed{f'(x)=(3+x^{-2})\cdot\cos 2x-2(3x-x^{-1})\cdot\text{sen}\,2x}$

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h) De acordo com o item "a" do exercício anterior, $\boxed{f'(x)=(10x-1)\cdot\sec^2(5x^2-x)}$

0051

Utilizando as regras de derivação, calcule $y'$, onde

$\begin{array}{llll} a)\,\,y=\text{tg}\,x & b)\,\,y=\text{cotg}\,x & c)\,\,y=\sec\,x & d)\,\,y=\text{cossec}\,x\\ &&&\\ e)\,\,y=\dfrac{\text{sen}\,x}{2x} & f)\,\,y=x^2\cdot \text{cos}\,x & g)\,\,y=\text{sen}^2\,x & \end{array}$

0051 - Soluções

a) $y=\text{tg}\,x=\dfrac{\text{sen}\,x}{\cos\,x}$, então, $y'=\dfrac{\cos\,x\cdot\cos\,x-\text{sen}\,x(-\text{sen}\,x)}{\cos^2\,x}=\dfrac{1}{\cos^2\,x}\to\boxed{y'=\sec^2\,x}$

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b) $y=\text{cotg}\,x=\dfrac{\cos x}{\text{sen}\,x}$, então, $y'=\dfrac{-(\text{sen}\,x)\cdot\text{sen}\,x-\cos x(\cos x)}{\text{sen}^2x}=-\dfrac{1}{\text{sen}^2x} \to\boxed{y'=-\text{cossec}^2x}$

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c) $y=\sec x=\dfrac{1}{\text{sen}\,x}$, então, $y'=\dfrac{-(-\text{sen}\,x)}{\cos^2x}=\dfrac{\text{sen}\,x}{\cos x}\cdot\dfrac{1}{\cos x}\to\boxed{y'=\text{tg}\, x\cdot\sec x}$

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d) $y=\text{cossec}\,x=\dfrac{1}{\text{sen}\,x}$, então, $y'=\dfrac{-\cos x}{\text{sen}^2x}=-\dfrac{\cos x}{\text{sen}\,x}\cdot\dfrac{1}{\text{sen}\,x}\to\boxed{y'=-\text{cotg}\,x\cdot\text{cossec}\,x}$

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e) $y=\dfrac{2x\cdot\cos x-2\text{sen}\,x}{(2x)^2}\to\boxed{y'=\dfrac{x\cdot\cos x-\text{sen}\,x}{2x^2}}$

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f) $y=2x\cdot\cos x+x^2(-\text{sen}\,x)\to\boxed{y'=2x\cdot\cos x-x^2\cdot\text{sen}\,x}$

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g) $y=\text{sen}\,x\cdot\text{sen}\,x$, então, $y'=\cos x\cdot\text{sen}\,x+\text{sen}\,x\cdot\cos x\to\boxed{y'=2\text{sen}\,x\cdot\cos x}$