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0100

Dados os seguintes conjuntos:

• \(A=\{ x \in \mathbb{N}, \, x < 4 \}\),
• \(B=\{ x \in \mathbb{Z}, \, 2x + 3 = 7 \}\) e
• \(C=\{ x \in \mathbb{R}, \, x^{2} - 5x + 6 = 0 \}\)

As afirmações abaixo, são todas verdadeiras, então, justifique-as.

• \(A\cup B=A\)
• \(A-B=\{ 0,1,3 \}\)
• \((B\cap C)\subset A\)

0100 - Solução

Fazendo os cálculos necessários e encontrando os elementos dos respectivos conjuntos, vamos enumerá-los a fim de facilitar a justificativa das questões:

Se \(A=\{ x \in \mathbb{N}, \, x < 4 \}\), então \(A=\{0;1;2;3\}\);

Se \(2x + 3 = 7\) com \(x\in \mathbb{Z}\) teremos \(x=2\), então \(B=\{2\}\);

Se \(x^{2} - 5x + 6 = 0\) com \(x\in \mathbb{R}\), vamos resolver essa equação, utilizando a fórmula quadrática (ou fórmula de Bhaskara), assumindo que \(a=1\); \(b=-5\) e \(c=6\):

\(x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\rightarrow x=\dfrac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^{2}-4\times 1\times 6}}{2\times 1} \rightarrow x=\dfrac{5\pm \sqrt{25-24}}{2}\rightarrow x=\dfrac{5\pm 1}{2}\), encontrando os valores de \(x=2\) ou \(x=3\). Assim, \(C=\{2;3\}\).

Enumerados os conjuntos \(A\), \(B\) e \(C\), vamos às justificativas:

\(\begin{array}{ll} a) & A\cup B=A\rightarrow \{0;1;2;3\}\cup \{2\}= A\\ b) & A-B=\{ 0,1,3 \}\rightarrow \{0;1;2;3\} - \{2\}= \{0;1;3\}\\ c) & (B\cap C)\subset A\rightarrow (B\cap C) = \{2\}\cap \{2;3\}= \{2\}\,\,\text{e}\,\,\{2\}\subset \{0;1;2;3\} \end{array}\)

0099

Depois de n dias de férias, um estudante observa que:

• choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;
• quando chove de manhã não chove à tarde;
• houve 5 tardes sem chuva;
• houve 6 manhãs sem chuva.

Determine, justificando sua resposta, o valor de n.

0099 - Resposta

\(n=9\) (nove)

0099 - Solução

Utilizando os diagramas de Venn para as situações manhãs e tardes e, situações dentro das situações, ou seja, manhãs sem chuva, manhãs com chuva, tardes sem chuva e tardes com chuva:

E, a partir dos dados fornecidos e a análise do diagrama acima, podemos deduzir que \(x+y=7\). A lógica da questão está em observar que em um dia ou em vários dias completo(s), o número de manhãs é igual ao número de tardes, o que nos leva a \(M=T\).

\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrl} x & + & y & = & 7 & & & \\ 6 & + & x & = & 5 & + & y & \leftarrow \text{Organizando}\ldots \end{array} \right.\)

\(\left\{\begin{array}{rcrcrcl} x & + & \cancel{y} & = & 7 & &\\ x & - & \cancel{y} & = & -1 & (+) & \leftarrow \text{Somando as duas equações, termo a termo}\ldots \end{array} \right.\)

\(2x=6\rightarrow\boxed{x=3}\)

Substituindo o valor \(x=3\) em qualquer das equações originais, por exemplo, na 1ª equação:

\(3+y=7\rightarrow y=4\)

Como deduzimos anteriormente: \(n=6+x\rightarrow n=6+3\rightarrow n=9\)

Ainda, e para reforçar nossa resolução: \(n=5+y\rightarrow n=5+4\rightarrow n=9\)

0098

Dados os conjuntos:

• \(A=\{ x\in \mathbb{N}\,|\, x \,\mathrm{\acute{e}\, \acute{i}mpar} \}\)
• \(B=\{ x\in \mathbb{Z}\,|\, -2<x\leq9 \}\)
• \(C=\{ x\in \mathbb{R}\,|\, x\geq5 \}\)

Calcule, justificando sua resposta, o produto dos elementos que formam \((A\cap B)-C.\)

0098 - Resposta

O produto dos elementos é 3(três).

0098 - Solução

Vamos enumerar os elementos dos conjuntos dados:

\(A=\{1;3;5;\ldots\}\)

\(B=\{-1;0;\ldots;8;9\}\)

\(C=[5;+\infty[\)

Veja que o conjunto \(C\) é composto de valores reais, portanto, de difícil enumeração, então, optamos por caracterizá-lo através de um intervalo real. Vamos à questão que pede o produto dos elementos de \((A\cap B)-C\).

É imediato e visual que \(A\cap B=\{1;3;5;7;9\}\) e que \((A\cap B)-C=\{1;3\}\), portanto, teremos o produto dos elementos \(1\times 3= \boxed{3}\)✔

0097

Considere três conjuntos \(A\), \(B\) e \(C\), tais que: \(n(A)=28\), \(n(B)=21\), \(n(C)=20\), \(n(A\cap B)=8\), \(n(B\cap C)=9\), \(n(A\cap C)=4\) e \(n(A\cap B\cap C)=3\). Determine, justificando sua resposta, o valor de \(n((A\cup B)\cap C)\).

0097 - Solução

Vamos visualizar todos os dados fornecidos através dos diagramas de Venn:

E, a partir desses dados, é visual a solução de \(n((A\cup B)\cap C)=1+3+6=10\) elementos.

0096

Dado o conjunto \(P=\{ \{0\}, 0, \varnothing,\{\varnothing\} \}\), considere as afirmativas:

• \(\{0\}\in P\)
• \(\{0\}\subset P\)
• \(\varnothing \in P\)

Se todas as afirmativas são verdadeiras, então, justifique-as.

0096 - Solução

Vamos às justificativas:

\(\begin{array}{lll} a) & \{0\}\in P & \rightarrow\,\,\text{O conjunto unitário}\,\,\{0\}\,\,\text{é um elemento de}\,\,P.\\ b) & \{0\}\subset P & \rightarrow\,\,\text{O elemento 0, tomado como conjunto}\,\,\{0\},\,\,\text{é um subconjunto de}\,\,P.\\ c) & \varnothing \in P & \rightarrow\,\,\text{O conjunto vazio, ou}\,\,\varnothing,\,\,\text{ou}\,\,\{ \},\,\,\text{é um elemento de}\,\,P. \end{array}\)

0095

Considere os seguintes subconjuntos de números naturais:

• \(\mathbb{N}=\{ 0,1,2,3,4 \ldots \}\)
• \(P=\{x \in \mathbb{N}\,|\,6 \leq x \leq 20 \}\)
• \(A=\{x \in P\,|\,x \,\, \mathrm{\acute{e}\,\, par} \}\)
• \(B=\{x \in P\,|\,x \,\, \mathrm{\acute{e}\,\, divisor \,\, de \,\, 48} \}\)
• \(C=\{x \in P\,|\,x \,\, \mathrm{\acute{e}\,\, m\acute{u}ltiplo \,\, de \,\, 5} \}\)

Determine, justificando sua resposta, o número de elementos de \((A-B)\cap C\).

0095 - Solução

Os conjuntos \(A\), \(B\) e \(C\) são subconjuntos \(P\) que, por sua vez, é um subconjunto dos números naturais. Inicialmente, vamos enumerar os conjuntos \(P\), \(A\), \(B\) e \(C\):

\(\begin{array}{lcl} P & = & \{6;7;8;9;10;11;12;13;14;15;16;17;18;19;20\}\\ A & = & \{6;8;10;12;14;16;18;20\}\\ B & = & \{6;8;12;16\}\\ C & = & \{10;15;20\} \end{array}\)

Se \(A-B = \{ 10;14;18;20 \}\); \(C=\{10;15;20 \}\) e \(\{ 10;14;18;20 \}\cap \{10;15;20 \}=\{10;20\}\), então a resposta final é um conjunto com 2(dois) elementos.

0094

Um engenheiro, ao fazer o levantamento do quadro de pessoal de uma fábrica, obteve os seguintes dados:

• 28% dos funcionários são mulheres;
• um sexto dos homens são menores de idade;
• 85% dos funcionários são maiores de idade.

Determine, justificando sua resposta, a porcentagem dos menores de idade que são mulheres.

0094 - Solução

Utilizando os diagramas de Venn para as situações homens e mulheres e, situações dentro das situações, ou seja, homens maiores de idade, homens menores de idade, mulheres maiores de idade e mulheres menores de idade:

E, a partir dos dados fornecidos, é que surgiram os demais, seja por simples dedução, seja por simples cálculos, a saber:

\(\begin{array}{ll} a) & \text{Se 28\% dos funcionários são mulheres, deduz-se que 72\% dos funcionários são homens;}\\ b) & \text{Se 1/6 dos homens são menores de idade, calcula-se que 1/6 de 72\% é igual a 12\% de}\\ & \text{homens menores de idade e, ainda, que os restantes 60\% são de homens maiores de idade;} \\ c) & \text{Se 85\% dos funcionários são maiores de idade, deduz-se que 15\% dos funcionários são}\\ & \text{menores de idade, e, tendo 12\% de homens menores, teremos 3\% de mulheres menores de}\\ & \text{idade; e, ainda, que 25\% das mulheres são maiores de idade.} \end{array}\)

Agora, muita atenção à questão: a porcentagem dos menores de idade que são mulheres.

Perceba: Apenas dentro do grupo dos menores de idade(15%), qual porcentagem são mulheres, ou seja, o que 3% significam dentro de 15%?

Ora, em termos de grandeza, 3 é \(\dfrac{1}{5}\) de 15 e, em termos de porcentagem, \(\dfrac{1}{5}\) significa 20% e, portanto, a resposta final é 20%.

0093

Numa classe de 30 alunos, 16 alunos gostam de Matemática e 20 de História. O número de alunos desta classe, que gostam de Matemática e de História é, no mínimo, 6(seis). Por quê?

0093 - Solução

Mesmo já sabendo, vamos determinar como se chegou a 6(seis), resolvendo a questão através do diagrama de Venn:

Equacionando: \(16-x+x+20-x=30\rightarrow x=6,\) no mínimo, como afirmado. Mas, por quê?

Veja, se \(x>6\), pode haver aqueles alunos que não gostam nem de Matemática nem de História.

Vamos dar alguns exemplos dessa situação, aumentando o valor de "\(x\)" até o máximo possível:

Se \(x=7\rightarrow\) 9 gostam de Matemática, 7 gostam de ambas, 13 gostam de História e 1 não gosta de qualquer uma;

Se \(x=8\rightarrow\) 8 gostam de Matemática, 8 gostam de ambas, 12 gostam de História e 2 não gostam de qualquer uma, sendo essa a situação limite; veja abaixo para \(x=9\), o que aconteceria:

Se \(x=9\rightarrow\) 7 gostam de Matemática, 9 gostam de ambas, 11 gostam de História e 3 não gostam de qualquer uma. Do ponto de vista matemático, tudo bem, pois os cálculos conferem, mas, do ponto de vista real, como poderíamos ter, ao mesmo tempo, 7 alunos que gostam de Matemática e 9 alunos que gostam de Matemática e de História, o que é impossível.

Agora, veja um único exemplo para \(x<6\), por exemplo, \(x=5\):

Se \(x=5\rightarrow\) 11 gostam de Matemática, 5 gostam de ambas, 15 gostam de História, o que daria um total de 31, o que é impossível, uma vez que só temos 30 alunos.

0092

Em uma empresa, 60% dos funcionários leem a revista \(A\), 80% leem a revista \(B\), e todo funcionário é leitor de pelo menos uma dessas revistas. Calcule, justificando sua resposta, o percentual de funcionários que leem as duas revistas.

0092 - Solução

Vamos chamar de "\(x\)" o percentual de funcionários que leem as duas revistas. Foram omitidos os sinais de porcentagem para facilitar os cálculos. Além disso, devemos ressaltar e dar ênfase ao fato de que todos os funcionários somam 100%, valor que será importante no cálculo. Vamos ao Diagrama de Venn:

Equacionando: \(60-x+x+80-x=100\rightarrow x = 40\%\) dos funcionários leem ambas.

0091

Foi realizada uma pesquisa para avaliar o consumo de três produtos designados por \(A,\) \(B\) e \(C\). Todas as pessoas consultadas responderam à pesquisa e os resultados estão indicados no quadro a seguir:

Observação: O consumidor de dois produtos está incluído também como consumidor de cada um desses dois produtos. Com base nesses dados, calcule o número total de pessoas consultadas.

0091 - Solução

Vamos chamar de "\(n\)" o número total de pessoas consultadas. Veja os resultados do quadro acima, através dos diagramas de Venn:

Equacionando, teremos: \(n=15+6+25+4+5+11+5\rightarrow n = 71\) pessoas consultadas.

0090

Numa universidade com \(n\) alunos, 80 estudam Física, 90 Biologia, 55 Química, 32 Biologia e Física, 23 Química e Física, 16 Biologia e Química e 8 estudam nas três faculdades, quantos alunos estão matriculados na universidade?

0090 - Solução

Vamos chamar de "\(n\)" o número total de alunos matriculados na uviversidade. A mais eficiente e eficaz saída é através dos diagramas de Venn; veja:

Equacionando, teremos: \(n=33+24+50+15+8+8+24\rightarrow n=162\) alunos.

0089

Dado o conjunto \(A=\{x\in \mathbb{Z}_{-}\,|\,-2\leq x\leq 2021 \}\). Determine todos os subconjuntos.

0089 - Solução

A enumeração do conjunto \(A\) levando-se em consideração o conjunto universo \(\mathbb{Z}_{-}\), é: \(A=\{-2;-1;0\}\), ou seja, um conjunto com 3(três) elementos. Se o número de subconjuntos do conjunto \(A\) é dado por \(n(A)=2^{n}\) onde \(n\) é o número de elementos, ou seja, 3(três), teremos: \(n(A)=2^{3}\rightarrow n(A)=8\) subconjuntos. Assim, o conjunto de todos os subconjuntos de \(A\) ou \(P(A)\), é:

\(P(A)= \left\{ \varnothing;\{-2\};\{-1\};\{0\};\{-2;-1\};\{-2;0\};\{-1;0\};\{-2;-1;0\} \right\}\).

0088

Dados os conjuntos \(A =\{x\in \mathbb{N}\,|\,-6<x\leq18\}\) e \(B =\{x\in \mathbb{Z}\,|\,-6<x\leq16\}\). Determine \(A-B\) e \(B-A\).

0088 - Soluções

Se você já sabe trabalhar com intervalos numéricos, sinta-se à vontade; entretanto, por se tratar de valores naturais e/ou inteiros, também é simples a resolução por visualização:

\(A-B = \{17;18\}\) e

\(B-A = \{-5;-4;-3;-2;-1\}\).

0087

De um total de 1000 pessoas, 700 gostam de futebol, 200 de basquete e 150 gostam dos dois. Quantos não gostam nem de futebol, nem de basquete?

0087 - Soluções

Vamos por partes:

\(\begin{array}{ll} 1) & \text{Não gostam nem de futebol, nem de basquete}:\,\,\text{"x"}\\ 2) & \text{Gostam apenas de futebol}:\,\,700 - 150(\text{que gostam de ambos}) = 550\\ 3) & \text{Gostam apenas de basquete}:\,\,200 - 150(\text{que gostam de ambos}) = 50\\ 4) & \text{Gostam de ambos}:\,\,150\\ 5) & \text{Total de pessoas}:\,\,1000\\ 6) & \text{Equacionando}:\,\,1000 = x + 550 + 50 + 150\rightarrow x = 250\,\,\text{pessoas} \end{array}\)

0086

Dados os seguintes conjuntos \(A = \{-2016;2016;2017;2018\}\), \(B = \{-2016;0;2016;2017\}\) e \(C = \{0;2017;2018;2019\}\),

determine:
a) \(A\cup B\)	b) \(A\cap B\)	c) \(A - B\)	d) \(B - A\)
e) \(A\cup C\)	f) \(A\cap C\)	g) \(A - C\)	h) \(C - A\)
i) \(B\cup C\)	j) \(B\cap C\)	k) \(B - C\)	l) \(C - B\)
m) \(A\cap B\cap C\)	n) \((A\cup B) - C\)	o) \((A\cap B) - C\)	p) \((B\cup C) - A\)
q) \((B\cap C) - A\)	r) \((A\cup C) - B\)	s) \((A\cap C) - B\)	t) \(A-(B\cap C)\)

0086 - Soluções

\(\begin{array}{lll} a) & A\cup B & = \{-2016;0;2016;2017;2018\}\\ b) & A\cap B & = \{-2016;2016;2017\}\\ c) & A - B & = \{2018\}\\ d) & B - A & = \{0\}\\ e) & A\cup C & = \{-2016;0;2016;2017;2018;2019\}\\ f) &A\cap C & = \{2017;2018\}\\ g) & A - C & = \{-2016;2016\}\\ h) & C - A & = \{0;2019\}\\ i) & B\cup C & = \{-2016;0;2016;2017;2018;2019\}\\ j) & B\cap C & = \{0;2017\}\\ k) & B - C & = \{-2016;2016\}\\ l) & C - B & = \{2018;2019\}\\ m) & A\cap B\cap C & = \{2017\}\\ n) & (A\cup B) - C & = \{-2016;2016\}\\ o) & (A\cap B) - C & = \{-2016;2016\}\\ p) & (B\cup C) - A & = \{0;2019\}\\ q) & (B\cap C) - A & = \{0\}\\ r) & (A\cup C) - B & = \{2018;2019\}\\ s) & (A\cap C) - B & = \{2018\}\\ t) & A-(B\cap C) & = A-\{0;2017\} = \{-2016;2016;2018\} \end{array}\)

0085

Dados os conjuntos \(A = \{ a;b;c;d \}\), \(B = \{ b;c;d;e \}\) e \(C = \{ a;c;f \}\), determine:

\(\left[ (A-B)\cup (B-C)\cup (A\cap B) \right] \, \cap \, \left[ (A\cap C)\cup (B\cap A\cap C) \right]\)

0085 - Solução

\([ \underbrace{(A-B)}_{\{a\}}\cup \underbrace{(B-C)}_{\{b;d;e\}}\cup \underbrace{(A\cap B)}_{\{b;c;d\}} ] \, \cap \, [ \underbrace{(A\cap C)}_{\{a;c\}}\cup \underbrace{(B\cap A\cap C)}_{\{c\}} ]\rightarrow\)

\(\left[ \{a\}\cup \{b;d;e\}\cup \{b;c;d\} \right]\,\,\cap \,\,\left[ \{a;c\}\cup \{c\} \right] \rightarrow \{a;b;c;d;e\}\cap \{a;c\} = \{a;c\}\)

0084

Dados \(A=\{ x\in \mathbb{Z}\,|\,x\leq 5 \}\) e \(B=\{ x\in \mathbb{Z}\,|\,5<x\leq 15 \}\), determine:

• \(A\cup B\)
• \(A\cap B\)
• \(A-B\)
• \(B-A\)

0084 - Soluções

\(\begin{array}{ll} a) & A\cup B = \{ x\in \mathbb{Z}\,\,|\,\,x\leq 15 \} \\ b) & A\cap B = \varnothing \\ c) & A-B = A \\ d) & B-A = B \end{array}\)

0083

Utilizando seus conhecimentos de união, interseção e diferença de conjuntos, determine um conjunto que representa a parte hachurada do diagrama abaixo:

0083 - Solução

A solução é visual: \(A-(B\cup C)\).

0082

Utilizando seus conhecimentos de união, interseção e diferença de conjuntos, determine um conjunto que representa a parte hachurada do diagrama abaixo:

0082 - Solução

A solução é visual: \((A\cap B)-C\).

0081

Dados os conjuntos \(A=\{7;8;9\}\), \(B=\{8;9;10\}\) e \(C=\{7;9;10;11\}\), determine o conjunto \((A-C)\cup (C-B)\cup (A\cap B\cap C)\).

0081 - Solução

\(\underbrace{(A-C)}_{\{8\}}\cup \underbrace{(C-B)}_{\{7;11\}}\cup \underbrace{(A\cap B\cap C)}_{\{9\}} \rightarrow \{8\}\cup \{7;11\}\cup \{9\} = \{7;8;9;11\}\).

0080

Dados \(A = \{5;6;7;\{5\}\}\) e \(B = \{5;6;\{7\}\}\), determine:

• \(A\cup B\)
• \(A\cap B\)
• \(A-B\)
• \(B-A\)

0080 - Soluções

\(\begin{array}{ll} a)\,\,A\cup B = \{ 5; \{5\}; 6; 7; \{7\} \}\\ b)\,\,A\cap B = \{ 5; 6 \}\\ c)\,\,A-B = \{ \{5\}; 7 \}\\ d)\,\,B-A = \{ \{7\} \} \end{array}\)

0079

Sobre o conjunto \(A = \left\lbrace \varnothing;2;3;\{2\};\{2;3\};4\right\rbrace\),

afirma-se:
a) \(\varnothing \in A\)	b) \(\varnothing \subset A\)	c) \(\{\} \in A\)	d) \(\{\} \subset A\)
e) \(2 \in A\)	f) \(\{2\} \in A\)	g) \(\{2\} \subset A\)	h) \(\{ \varnothing;2 \} \subset A\)
i) \(3 \in A\)	j) \(\{3\} \notin A\)	k) \(\{3\} \subset A\)	l) \(\{ \varnothing;3 \} \subset A\)
m) \(\{2;3;4\} \notin A\)	n) \(\{2;3;4\} \subset A\)	o) \(\{2;3\} \in A\)	p) \(\{2;3\} \subset A\)

Se todas as afirmações acima são verdadeiras, então, justifique-as.

0079 - Soluções

Vamos às justificativas:

\(\begin{array}{ll} a) \varnothing \in A & \rightarrow\,\,\text{O conjunto vazio, ou}\,\,\varnothing,\,\,\text{ou}\,\,\{ \},\,\,\text{é um elemento de}\,\,A.\\ b) \varnothing \subset A & \rightarrow\,\,\text{Propriedade:}\,\,\varnothing \subset A; \forall A.\quad\boldsymbol{(^*)}\\ c) \{\} \in A & \rightarrow\,\,\text{O conjunto vazio, ou}\,\,\{ \},\,\,\text{ou}\,\,\varnothing\,\,\text{é um elemento de}\,\,A.\\ d) \{\} \subset A & \rightarrow\,\,\text{Propriedade:}\,\,\{ \} \subset A; \forall A.\quad\boldsymbol{(^*)}\\ e) 2 \in A & \rightarrow\,\,\text{O número 2 é um elemento de}\,\,A.\\ f) \{2\} \in A & \rightarrow\,\,\text{O conjunto}\,\,\{2\}\,\,\text{é um elemento de}\,\,A.\\ g) \{2\} \subset A & \rightarrow\,\,\text{O número 2, tomado como o conjunto}\,\,\{2\},\,\,\text{é um subconjunto de}\,\,A.\\ h) \{ \varnothing;2 \} \subset A & \rightarrow\,\,\text{Os elementos}\,\,\varnothing\,\,\text{e 2, tomados como o conjunto}\,\,\{ \varnothing;2 \},\,\,\text{é um subconjunto de}\,\,A.\\ i) 3 \in A & \rightarrow\,\,\text{O número 3 é um elemento de}\,\,A.\\ j) \{3\} \notin A & \rightarrow\,\,\text{Não há um conjunto}\,\,\{3\}\,\,\text{que possa ser tomado como elemento de}\,\,A.\\ k) \{3\} \subset A & \rightarrow\,\,\text{O número 3, tomado como o conjunto}\,\,\{3\},\,\,\text{é um subconjunto de}\,\,A.\\ l) \{ \varnothing;3 \} \subset A & \rightarrow\,\,\text{Os elementos}\,\,\varnothing\,\,\text{e 3, tomados como o conjunto}\,\,\{ \varnothing;3 \},\,\,\text{é um subconjunto de}\,\,A.\\ m) \{2;3;4\} \notin A & \rightarrow\,\,\text{Não há um conjunto}\,\,\{2;3;4\}\,\,\text{que possa ser tomado como elemento de}\,\,A.\\ n) \{2;3;4\} \subset A & \rightarrow\,\,\text{Os elementos 2, 3 e 4, tomados como o conjunto}\,\,\{2;3;4\},\,\,\text{é um}\\ & \quad\,\,\,\,\text{subconjunto de}\,\,A.\\ o) \{2;3\} \in A & \rightarrow\,\,\text{O conjunto}\,\,\{2;3\}\,\,\text{é um elemento de}\,\,A.\\ p) \{2;3\} \subset A & \rightarrow\,\,\text{Os elementos 2 e 3, tomados como o conjunto}\,\,\{2;3\},\,\,\text{é um subconjunto de}\,\,A. \end{array}\)

(*) Demonstra-se essa propriedade pelo método da redução ao absurdo:

\(\bullet\)Hipótese: \(\varnothing\), ou \(\{ \}\), é o conjunto vazio e \(A\) é um conjunto qualquer.

\(\bullet\)Tese: \(\varnothing \subset A\).

\(\bullet\)Demonstração: Se \(\varnothing \not\subset A\) (negação da tese), então, existe pelo menos um \(x \in \varnothing\) tal que \(x \notin A\). Essa afirmação de que \(x \in \varnothing\) é um absurdo, pois o conjunto \(\varnothing\) não possui elementos. Logo, se a negação da tese é falsa, então a tese \(\varnothing \subset A\) é verdadeira. Portanto, é válida a propriedade \(\varnothing \subset A; \forall A\).

0078

Dados \(A = \{-3;-2;-1;0;1;2;3\}\) e \(B = \{-1;0;1;2;3;4;5\}\), determine \(A\Delta B\).

0078 - Solução

\(A\Delta B = (A-B)\cup (B-A)\) é a diferença simétrica entre os conjuntos \(A\) e \(B\). Assim:

Se \(A-B=\{ -3; -2; \}\) e \(B-A=\{ 4; 5 \}\), então \(A\Delta B= \{ -3; -2; 4; 5 \}\).

0077

Dados \(A\cap B=\{1;2\}\), \(B\cap C=\{2;3\}\), \(A\cup B=\{1;2;3;4\}\) e \(B\cup C =\{1;2;3;5\}\), obtenha:

• \(A\)
• \(B\)
• \(C\)
• \(A\cup C\)
• \(A\cap C\)
• \(A\cup B\cap C\)

0077 - Soluções

Utilizando os diagramas de Venn, vamos às soluções:

\(\begin{array}{ll} \bullet & A = \{ 1; 2; 4 \} \\ \bullet & B = \{ 1; 2; 3 \} \\ \bullet & C = \{ 2; 3; 5 \} \\ \bullet & A\cup C = \{ 1; 2; 3; 4; 5 \} \\ \bullet & A\cap C = \{ 2 \} \\ \bullet & A\cup B\cap C \rightarrow \underbrace{\{ 1; 2; 3; 4 \}}_{A\cup B}\cap \{ 2; 3; 5 \} = \{ 2; 3 \} \end{array}\)

0076

Dado o conjunto universo \(U = \mathbb{Z}\), e os conjuntos \(A = \{ x \in \mathbb{Z_{+}}\, | \, 18 -3x < 0 \}\) e \(B = \{ x \in \mathbb{Z_{+}}\, | \, 9x+10>10x-10 \}\), determine:

• \(A\cup B\)
• \(A\cap B\)
• \(A-B\)
• \(B-A\)
• \(\overline{A}\)
• \(\overline{B}\)

0076 - Soluções

Temos que identificar e enumerar os elementos dos conjuntos \(A\) e \(B\) e, para isso, vamos resolver as inequações, respeitando os respectivos conjuntos universo.

Em \(A\), temos \(18 - 3x < 0 \rightarrow -3x < -18\,\, \times(-1) \rightarrow 3x > 18 \rightarrow x > 6,\) e conjunto universo \(\mathbb{Z_{+}}\); assim \(A = \{ 7; 8; 9; 10; \ldots \}\);

Em \(B\), temos \(9x+10>10x-10 \rightarrow -x > -20\,\, \times(-1) \rightarrow x < 20,\) e conjunto universo \(\mathbb{Z_{+}}\); assim \(B = \{ 0; 1; 2;\ldots; 19 \}\).

Portanto, vamos às resoluções:

\(\begin{array}{ll} \bullet & A\cup B = \{ 1; 2; 3;\ldots \}\,\,\text{ou}\,\,\mathbb{Z_{+}} \\ \bullet & A\cap B = \{ 7; 8; 9; \ldots; 19 \}\,\,\text{ou}\,\,\{ x\in \mathbb{Z_{+}}\,|\,7\leq x \leq 19 \} \\ \bullet & A-B = \{ 20; 21; \ldots \}\,\,\text{ou}\,\,\{ x\in \mathbb{Z_{+}}\,|\,x \geq 20 \} \\ \bullet & B-A = \{ 1; 2; \ldots; 6 \}\,\,\text{ou}\,\,\{ x\in \mathbb{Z_{+}}\,|\,1\leq x \leq 6 \} \\ \bullet & \overline{A} = \complement^{A}_{U} = U-A = \{ \ldots;-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 \}\,\,\text{ou}\,\,\{ x\in \mathbb{Z}\,|\,x \leq 6 \} \\ \bullet & \overline{B} = \complement^{B}_{U} = U-B = \{ \ldots; -2; -1 \}\cup \{ 20; 21;\ldots \}\,\,\text{ou}\,\,\{ x\in \mathbb{Z}\,|\,x\leq -1\,\, \text{ou}\,\, x \geq 20 \} \end{array}\)