Página05¶

0125¶

Determine a parte real, isto é, \(Re(z)\), e a parte imaginária, isto é, \(Im(z)\), dos seguintes números complexos na forma algébrica:

\(\begin{array}{rclrclrcl} a) z_{1} & = & 2 + 3i & b) z_{2} & = & -11i + 5 & c) z_{3} & = -i\sqrt{2} + \sqrt{5} &\\ &&&&&\\ d) z_{4} & = & 0 & e) z_{5} & = & 0 + 0i & f) z_{6} & = \sqrt{7} - i\sqrt[5]{243} &\\ &&&&&\\ g) z_{7} & = & 12i-41i & h) z_{8} & = & 7+\sqrt{11} & i) z_{9} & = 7i + i\sqrt{11} &\\ &&&&&\\ j) z_{10} & = & \dfrac{1}{5}-\dfrac{4}{3}i & k) z_{11} & = & \dfrac{6+9i\sqrt{5}}{3} & l) z_{12} & = -\dfrac{2i-27}{3} & \end{array}\)

0125 - Soluções

Estando todos os números complexos em sua forma algébrica, a parte real será sempre o valor que NÃO estiver acompanhado da unidade imaginária, independente da posição que estiver; já a parte imaginária será sempre o valor que estiver acompanhado da unidade imaginária, independente da posição que estiver. Entretanto, os números complexos não vêm assim, "prontos", isto é, visualmente esclarecedor, como, por exemplo no item "a", onde é visível que a parte real é 2(dois) e que a parte imaginária é 3(três). Fazendo essa ressalva, portanto, basta-nos determinar a parte real e a parte imaginária, mesmo que tenhamos, primeiramente, a tarefa de tornar os números, digamos, "mais visíveis"; assim:

\(\begin{array}{lcl} a) z_{1} & = & 2 + 3i\to Re(z)=2\,\,e\,\,Im(z)=3 \\ & & \\ b) z_{2} & = & -11i + 5\to Re(z)=5\,\,e\,\,Im(z)=-11 \\ & & \\ c) z_{3} & = & -i\sqrt{2} + \sqrt{5}\to Re(z)=\sqrt{5}\,\,e\,\,Im(z)=-\sqrt{2} \\ & & \\ d) z_{4} & = & 0\to Re(z)=0\,\,e\,\,Im(z)=0 \\ & & \\ e) z_{5} & = & 0 + 0i\to Re(z)=0\,\,e\,\,Im(z)=0 \\ & & \\ f) z_{6} & = & \sqrt{7} - i\sqrt[5]{243}=\sqrt{7}-3i\to Re(z)=\sqrt{7}\,\,e\,\,Im(z)=-3 \\ & & \\ g) z_{7} & = & 12i-41i=-29i\to Re(z)=0\,\,e\,\,Im(z)=-29 \\ & & \\ h) z_{8} & = & 7+\sqrt{11}\to Re(z)=7+\sqrt{11}\,\,e\,\,Im(z)=0 \\ & & \\ i) z_{9} & = & 7i + i\sqrt{11}=i(7+\sqrt{11})\to Re(z)=0\,\,e\,\,Im(z)=7+\sqrt{11} \\ & & \\ j) z_{10} & = & \dfrac{1}{5}-\dfrac{4}{3}i\to Re(z)=\dfrac{1}{5}\,\,e\,\,Im(z)=-\dfrac{4}{3} \\ & & \\ k) z_{11} & = & \dfrac{6-9i\sqrt{5}}{3}=\dfrac{\cancel{6}}{\cancel{3}}-\dfrac{\cancel{9}i\sqrt{5}}{\cancel{3}}=2-3i\sqrt{5}\to Re(z)=2\,\,e\,\,Im(z)=-3\sqrt{5} \\ & & \\ l) z_{12} & = & -\dfrac{2i-27}{3}=-\dfrac{2i}{3}+\dfrac{\cancel{27}}{\cancel{3}}=-\dfrac{2i}{3}+9\to Re(z)=9\,\,e\,\,Im(z)=-\dfrac{2}{3} \end{array}\)

0124¶

Uma amostra de 100 caixas de pílulas anticoncepcionais fabricadas pela Nascebem S.A. foi enviada para a fiscalização sanitária. No teste de qualidade, 60 foram aprovadas e 40 reprovadas por conterem pílulas de farinha. No teste de quantidade, 74 foram aprovadas e 26 reprovadas, por conterem um número menor de pílulas que o especificado. O resultado dos dois testes mostrou que 14 caixas foram reprovadas em ambos os testes. Determine:

Quantas caixas foram aprovadas nos dois testes?
Quantas caixas foram aprovadas em um único teste?
Quantas caixas aprovadas em pelo menos um teste?

0124 - Soluções

Nessa questão, em específico, os diagramas de Venn podem ser substituídos por um quadro distributivo para melhor visualização e análise dos dados:

Do quadro acima podemos obter mais alguns dados:

1) Reprovadas em ambos os testes, pelo quadro: \(40 - y = 14\rightarrow y=26\)

2) A QUANTIDADE (REPROVADA) é: \(60-x+40-y=26\rightarrow x+y=74\) e, como \(y=26\), \(x=48\)

Agora de posse desses dados e os demais já fornecidos no texto, podemos responder às questões:

a) quantas caixas foram aprovadas nos dois testes? \(x=48\) caixas

b) quantas caixas foram aprovadas em um único teste? \(60-x+y\rightarrow 60-48+26=\) 38 caixas

c) quantas caixas aprovadas em pelo menos um teste? \(x+60-x+y\rightarrow 60+26=\) 86 caixas

0123¶

Considere os conjuntos representados abaixo:

Represente, enumerando seus elementos, os conjuntos:

\(A\), \(B\) e \(C\)
\((A\cap B)-C\)
\((A\cup B)\cap C\)
\((A\cup C)-A\)
\((B\cap C)\cup A\)

0123 - Soluções

Visuais, bastando tomar os valores respectivos e completar as soluções das questões:

\(\begin{array}{lll} a) & A, B\,\,\text{e}\,\,C & \rightarrow A=19;\,B=13;\,C=20\\ b) & (A\cap B)-C & =\,03\\ c) & (A\cup B)\cap C & =\,14\\ d) & (A\cup C)-A & =\,08\\ e) & (B\cap C)\cup A & =\,21 \end{array}\)

0122¶

As marcas de cerveja mais consumidas em um bar, num certo dia, foram \(A\), \(B\) e \(C\). Os garçons constataram que o consumo se deu de acordo com a tabela a seguir:

Quantos beberam cerveja no bar, nesse dia?
Dentre os consumidores de A, B e C, quantos beberam apenas duas dessas cervejas?
Quantos não consumiram a cerveja C?
Quantos não consumiram a marca B nem a marca C?

0122 - Soluções

Primeiramente vamos analisar todos os dados colocados nos diagramas de Venn:

Com a visualização de todos os dados, fica simples e visual, a solução das questões:

\(\begin{array}{ll} a) & \text{Quantos beberam cerveja no bar, nesse dia?}\\ & 65+45+55+25+15+5+35+20=265\\ b) & \text{Dentre os consumidores de A, B e C, quantos beberam apenas duas dessas cervejas?}\\ & 45+5+25=75\\ c) & \text{Quantos não consumiram a cerveja C?}\\ & 65+45+55=165\\ d) & \text{Quantos não consumiram a marca B nem a marca C?}\\ & \text{São aqueles que consomem apenas a marca A, ou seja,}\,\, 65 \end{array}\)

0121¶

Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das seguintes afirmações:

\(\mathbb{Z}_{+}\cup \mathbb{Z}=\mathbb{Z}\)
\(\mathbb{N}^{*}\subset \mathbb{N}\)
\(\mathbb{Z}\cup \mathbb{Q}=\mathbb{R}\)
\(\mathbb{Z}_{-}\cap \mathbb{N}={0}\)
\(\mathbb{Z}\cap \mathbb{Q}\neq \varnothing\)

0121 - Soluções

As soluções são meramente teóricas, uma vez que envolvem apenas o conhecimento das definições e dos conteúdos dos conjuntos ora apontados. Assim:

\(\begin{array}{lll} \text{(V)} & \mathbb{Z}_{+}\cup \mathbb{Z}=\mathbb{Z} & \text{Definição de Conjunto (e subconjunto) dos Números Inteiros}\\ \text{(V)} & \mathbb{N}^{*}\subset \mathbb{N} & \text{Definição de Conjunto (e subconjunto) dos Números Naturais}\\ \text{(F)} & \mathbb{Z}\cup \mathbb{Q}=\mathbb{R} & \text{Falta o Conjunto dos Números Irracionais}\\ \text{(V)} & \mathbb{Z}_{-}\cap \mathbb{N}={0} & \text{Conhecimento do conteúdo dos Conjuntos citados}\\ \text{(V)} & \mathbb{Z}\cap \mathbb{Q}\neq \varnothing & \text{Correto, pois o resultado é o conjunto}\,\,\mathbb{Z} \end{array}\)

0120¶

Complete as sentenças a seguir, de forma que elas se tornem verdadeiras:

\(\{ \_\_,\_\_,5,4 \}\cup \{ \_\_,7,2,\_\_ \} = \{ 1,\_\_,\_\_,\_\_,6,\_\_ \}\)
\(\{ 2,9,\_\_ \}\cup \{ \_\_,\_\_,\_\_,7 \} = \{ \_\_,4,5,\_\_,9,10,90 \}\)

0120 - Soluções

Questão visual, apenas com o acréscimo dos valores faltantes, assim:

\(\begin{array}{l} \bullet\,\,\{ 7,6,5,4 \}\cup \{ 7,7,2,1 \} = \{ 1,2,4,5,6,7 \}\\ \bullet\,\,\{ 2,9,10 \}\cup \{ 90,5,4,7 \} = \{ 2,4,5,7,9,10,90 \} \end{array}\)

0119¶

Construa um conjunto \(A\) e um conjunto \(B\), sabendo-se que \(A\) tem apenas 2 elementos, que \(B\) tem pelo menos 3 elementos e que \((A\cup B)\subset C\), sendo \(C=\{ 1,3,4,8,16,24,40 \}\).

0119 - Solução

Esta é uma questão, digamos, multi solucionável, ou seja, há muitos conjuntos que se encaixam como solução. Veja que a questão é: "um conjunto \(A\) e um conjunto \(B\)", portanto, há outros... Visto isso, sendo \(n(A)=2\), \(n(B)=3\) e \(C=\{ 1,3,4,8,16,24,40 \}\), basta criarmos \(A\) e \(B\), desde que se coloquem dentro das condições da questão, por exemplo, \(A=\{1;3\}\) e \(B=\{3;24;40\}\).

0118¶

Os conjuntos a seguir estão apresentados por uma propriedade característica de seus elementos. Por favor, enumere-os:

\(A=\{ a\in \mathbb{Z}\,\,|\,\,a\geq 2016 \}\)
\(B=\{ b\in \mathbb{Z}\,\,|\,\,b\leq 12 \}\)
\(C=\{ c\in \mathbb{Z}\,\,|\,\,-7\leq c < 1 \}\)
\(D=\{ d\in \mathbb{Z}^{*}\,\,|\,\,d\leq 5 \}\)

0118 - Soluções

Vamos diretamente às questões pois os conjuntos, todos de números inteiros, são pequenos e de simples enumeração:

\(\begin{array}{ll} a) & A=\{2016;2017;2018;\ldots \} \\ b) & B=\{\ldots;-2;-1;0;1;\ldots;10;11;12 \}\\ c) & C=\{-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0 \} \\ d) & D=\{\ldots;-2;-1;1;2;3;4;5 \} \end{array}\)

0117¶

Se um conjunto \(B\) tem 512 subconjuntos, calcule o valor de \(n(B)\).

0117 - Resposta

\(n(B)=9\)

0117 - Solução

Lembrando que o número de subconjuntos de um conjunto é dado pela expressão \(2^{n}\), onde \(n\) é o número de elementos desse conjunto, podemos calcular \(n\) para o conjunto \(B\) dado; assim: \(P(B)=512\rightarrow 2^{n}=512 \rightarrow 2^{n}=2^{9}\rightarrow n=9\), portanto o conjunto \(B\) possui 9 elementos.

0116¶

Dado o conjunto \(A=\left\{ x\in \mathbb{N}\,\,|\,\, 2 < x < 40;\,\,\, x\,\, \mathrm{\acute{e}\,\, m\acute{u}ltiplo\,\,de\,\,3} \right\}\). Se o número de elementos de \(A\) é dado por \(n(A)\), calcule o valor da expressão \(\sqrt{[n(A)]^{2}-25}\)

0116 - Resposta

12

0116 - Solução

O conjunto \(A\) é pequeno se quisermos enumerá-los, portanto, é uma forma ainda simples de obter o número de elementos que ele possui. Agora, imagine que você tivesse um conjunto com muitos elementos... como poderíamos obter o número de elementos que ele possui? Para esses casos, temos que utilizar outros meios. O nosso conjunto \(A\) refere-se aos múltiplos de 3... então podemos enxergar o conjunto \(A\) como uma sequência de números formando uma progressão aritmética; assim: \(A=\{3;6;9;\ldots;39\}\) com o primeiro termo \(a_{1}=3\), a razão \(r=3\) e o termo geral \(a_{n}=39\). Sabemos que \(a_{n}=a_{1}+(n-1).r\), então \(39=3+(n-1).3\rightarrow n=13\). Indo à questão:

\(\sqrt{[n(A)]^{2}-25}\rightarrow \sqrt{13^{2}-25}= \sqrt{169-25}= \sqrt{144}= 12\)(resposta final).

0115¶

Classifique em verdadeiro(V) ou falso(F):

\(\mathbb{Z} \not\subset \mathbb{R}\)
\(\mathbb{Z}_{+} \subset \mathbb{R}^{*}\)
\(\mathbb{Z}_{+} \cap \mathbb{R}_{-} = \varnothing\)
\(\mathbb{R}^{*}_{+} \cup \mathbb{R}^{*}_{-} = \mathbb{R}^{*}\)

0115 - Solução

Vamos às classificações:

\(\begin{array}{lllllll} \text{(F)} & \mathbb{Z} & \not\subset & \mathbb{R} & & & \text{Definições} \\ \text{(F)} & \mathbb{Z}_{+} & \subset & \mathbb{R}^{*} & & & \text{Falta o zero} \\ \text{(F)} & \mathbb{Z}_{+} & \cap & \mathbb{R}_{-} & = & \varnothing & \text{Correto é}\,\,\{0\}\\ \text{(V)} & \mathbb{R}^{*}_{+} & \cup & \mathbb{R}^{*}_{-} & = & \mathbb{R}^{*} & \text{Perfeito} \end{array}\)

0114¶

Represente numa reta numerada os seguintes conjuntos:

\(A=\left\{ x\in \mathrm{R}\,|\, x \geq -\dfrac{13}{21} \right\}\)
\(B=\{ x\in \mathrm{R}\,|\, 12 \leq x \leq 25 \}\)

0114 - Solução

Solução diretamente gráfica:

0113¶

Dados os conjuntos \(A\) e \(B\), de tal forma que \(n(A)=4\) e \(n(B)=3\). Qual o valor máximo de \(\left[ n\left( A\cup B \right) \right]^{n(A\cap B)}\)?

0113 - Solução

Inicialmente, devemos perceber que o valor máximo da expressão seria quando a base \(n(A\cup B)\) fosse máxima e o expoente \(n(A\cap B)\) também fosse máximo, ou seja \(n(A\cup B)=7\), para todos os elementos de \(A\) e \(B\) distintos e \(n(A\cap B)=3\), para todos os elementos de \(B\) serem elementos de \(A\), ficando a expressão resultante \(7^3=343\). Entretanto, seriam duas situações distintas a serem utilizadas na mesma expressão matemática, o que é impossível. Isto posto, vamos analisar as situações possíveis:

Todos os elementos de \(A\) e \(B\) distintos: \(n(A\cup B)=7\) e \(n(A\cap B)=0\), ou seja: \(\left[ n\left( A\cup B \right) \right]^{n(A\cap B)}=7^0=1\);
Um dos elementos de \(B\) ser elemento de \(A\): \(n(A\cup B)=6\) e \(n(A\cap B)=1\), ou seja: \(\left[ n\left( A\cup B \right) \right]^{n(A\cap B)}=6^1=6\);
Dois dos elementos de \(B\) serem elementos de \(A\): \(n(A\cup B)=5\) e \(n(A\cap B)=2\), ou seja: \(\left[ n\left( A\cup B \right) \right]^{n(A\cap B)}=5^2=25\);
Todos os elementos de \(B\) serem elementos de \(A\): \(n(A\cup B)=4\) e \(n(A\cap B)=3\), ou seja: \(\left[ n\left( A\cup B \right) \right]^{n(A\cap B)}=4^3=64\)

Portanto, o valor máximo da expressão \(\left[ n\left( A\cup B \right) \right]^{n(A\cap B)}\) será \(\boldsymbol{64}\)(sessenta e quatro).

0112¶

Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de três marcas \(A\), \(B\) e \(C\) de um determinado produto apresentou os seguintes resultados:

\(A\,\to\,48%\)
\(A\,\mathrm{e}\,B\,\to\,18%\)
\(B\,\to\,45%\)
\(B\,\mathrm{e}\,C\,\to\,25%\)
\(C\,\to\,50%\)
\(A\,\mathrm{e}\,C\,\to\,15%\)
Nenhuma das 3 marcas \(\to\,5%\)

Pergunta-se:

Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem as três marcas \(A\), \(B\) e \(C\)?
Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem uma, e apenas uma, das três marcas?

0112 - Respostas

a) \(10\%\)

b) \(57\%\)

0112 - Soluções

Primeiramente vamos utilizar os diagramas de Venn para melhor visualização dos resultados (temporariamente, foram ocultados os símbolos "%") e chamando de "\(x\)" o valor dos entrevistados que consomem as três marcas:

Vamos às questões:

a) \(48-x-18+x-15+x+18-x+15-x+x+25-x+45-x-\)

\(-18+x-25+x+50-x-15+x-25+x+5=100\,\,(\text{todos em}\%)\rightarrow\)

\(\rightarrow x=10\%\) dos entrevistados consomem as três marcas.

b) Consomem APENAS:

"\(A\)"\(\,\rightarrow A=48-x-18+x-15+x=\,\, 15+x=\,\, 15+10\) ou \(A=25\%\);

"\(B\)"\(\,\rightarrow B=45-x-18+x-25+x\rightarrow 2+x \rightarrow 2+10\) ou \(B=12\%\);

"\(C\)"\(\,\rightarrow C=50-x-15+x-25+x=\,\, 10+x=\,\, 10+10\) ou \(C=20\%\);

Consomem apenas uma das marcas: \(A+B+C=25+12+20=57\%\) dos entrevistados.

0111¶

Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das seguintes afirmações:

\(\mathbb{N}\subset \mathbb{Q}_{+}\)
\(\dfrac{3}{5}\in \mathbb{Q}_+\)
\(\mathbb{N}\cup \mathbb{Q}_{+}^{*}= \mathbb{Q}_{+}\)
\(\mathbb{Q}_{+}\supset \mathbb{N}^{*}\)
\(\dfrac{8}{4}\subset \mathbb{N}\)

0111 - Soluções

Todos os itens são verdadeiros e a solução é meramente teórica, bastando lembrarmos das definições de cada conjunto numérico. A única exceção é a afirmação "\(e\)" que é falsa; acompanhe:

e) \(\dfrac{8}{4}\subset \mathbb{N}\) é uma afirmação falsa pois \(\dfrac{8}{4}\) ou \(2\) é um ELEMENTO e não um subconjunto, portanto, o correto seria \(\dfrac{8}{4}\in \mathbb{N}\) ou \(2\in \mathbb{N}\).

0110¶

Obtenha as raízes da equação \(x^{4}-5x^{2}-6=0\), para cada conjunto universo a seguir:

\(U=\mathbb{N}\)
\(U=\mathbb{Z}\)
\(U=\mathbb{Q}\)
\(U=\mathbb{I}\)
\(U=\mathbb{R}\)
\(U=\mathbb{C}\)

0110 - Soluções

Típica equação biquadrada, pode ser resolvida com o auxílio de incógnitas auxiliares. No caso, utilizaremos: \(x^{4}=k^{2}\) e \(x^{2}=k\), então teremos a equação quadrática \(k^{2}-5k-6=0\), que resolvida terá \(k=-1\) ou \(k=6\). Passemos à resolução da equação original (em "\(x\)"):

Se \(k=-1\), então \(x^{2}=-1\rightarrow x=-i\) ou \(x=i\);

Se \(k=6\), então \(x^{2}=6\rightarrow x=-\sqrt{6}\) ou \(x=\sqrt{6}\).

Finalmente, vamos às soluções:

\(\begin{array}{ll} a)\,\,U=\mathbb{N} & \rightarrow S=\{\}\,\,\text{ou}\,\,\varnothing\\ b)\,\,U=\mathbb{Z} & \rightarrow S=\{\}\,\,\text{ou}\,\,\varnothing\\ c)\,\,U=\mathbb{Q} & \rightarrow S=\{\}\,\,\text{ou}\,\,\varnothing\\ d)\,\,U=\mathbb{I} & \rightarrow S=\{-\sqrt{6};\,\sqrt{6}\}\\ e)\,\,U=\mathbb{R} & \rightarrow S=\{-\sqrt{6};\,\sqrt{6}\}\\ f)\,\,U=\mathbb{C} & \rightarrow S=\{-\sqrt{6};\,\sqrt{6};\,-i;\,i\} \end{array}\)

0109¶

Se \(A=\{ -2,3,m,8,15 \}\) e \(B=\{ 3,5,n,10,13 \}\) são subconjuntos de \(\mathbb{Z}\) (números inteiros), e \(A\cap B= \{ 3,8,10 \}\), determine, justificando sua resposta, os valores de \(m\) e \(n\).

0109 - Resposta

\(m=10\) e \(n=8\).

0109 - Solução

Como os elementos de ambos os conjuntos já se encontram devidamente ordenados, a solução é meramente visual, mas, se preferir, podemos analisar a partir do conjunto \(A\cap B= \{ 3,8,10 \}\) fornecido.

É visível que o elemento 3 pertence tanto ao conjunto \(A\) quanto ao conjunto \(B\). O elemento 8 deve pertencer obrigatoriamente ao conjunto \(B\), portanto \(n=8\). O elemento 10 deve pertencer obrigatoriamente ao conjunto \(A\), portanto \(m=10\).

0108¶

Numa escola de 5000 alunos, 3000 estudam Física, 1900 estudam Matemática e 1200 estudam ambas as matérias. Determine, justificando sua resposta, o número de alunos:

que estudam apenas Física;
que estudam apenas Matemática;
que estudam Física ou Matemática;
que não estudam nem Física, nem Matemática.

0108 - Soluções

Utilizando os diagramas de Venn:

Vamos às questões:

\(\begin{array}{ll} a) & \text{que estudam apenas Física:}\,\,1800\,\,\text{alunos. (Direto do Diagrama)}\\ b) & \text{que estudam apenas Matemática:}\,\,700\,\,\text{alunos. (Direto do Diagrama)}\\ c) & \text{que estudam Física ou Matemática:}\,\,\rightarrow\,\,\text{calculando}\ldots\,\,1800 + 700 = 2500\,\,\text{alunos}\\ d) & \text{que não estudam nem Física, nem Matemática:}\,\,\rightarrow\,\,\text{calculando}\ldots\\ & n + 700 + 1200 + 1800 = 5000 \rightarrow n = 1300\,\,\text{alunos} \end{array}\)

0107¶

Numa indústria, 1200 operários trabalham de manhã, 1300 trabalham à tarde, 800 trabalham à noite, 600 trabalham de manhã e tarde, 500 trabalham de manhã e à noite, 400 trabalham à tarde e à noite e 200 trabalham nos três períodos. Calcule, justificando sua resposta, o numero de operários que trabalham apenas de manhã.

0107 - Solução

Depois de utilizados os diagramas de Venn, a solução é meramente visual e direta: 300 operários trabalham apenas de manhã; acompanhe:

0106¶

Dados os conjuntos \(A=\{ 12,13,14,15,19 \}\), \(B=\{ 12,13,17,18,20 \}\) e \(C=\{ 12,13,14 \}\). Descreva, por meio da enumeração dos elementos, cada um dos

seguintes subconjuntos:
a) \(A\cup B\)	b) \(A\cap B\)	c) \(A - B\)	d) \(B - A\)
e) \(A\cup C\)	f) \(A\cap C\)	g) \(A - C\)	h) \(C - A\)
i) \(B\cup C\)	j) \(B\cap C\)	k) \(B - C\)	l) \(C - B\)
m) \(A\cap B\cap C\)	n) \((A\cup B) - C\)	o) \((A\cap B) - C\)	p) \((B\cup C) - A\)
q) \((B\cap C) - A\)	r) \((A\cup C) - B\)	s) \((A\cap C) - B\)	t) \(A-(B\cap C)\)

0106 - Soluções

Vamos às enumerações:

\(\begin{array}{lll} a) & A\cup B & = \{12;13;14;15;17;18;19;20\}\\ b) & A\cap B & = \{12;13\}\\ c) & A - B & = \{14;15;19\}\\ d) & B - A & = \{17;18;20\}\\ e) & A\cup C & = \{12;13;14;15;19\}\,\,\text{ou}\,\,A\\ f) & A\cap C & = \{12;13;14\}\\ g) & A - C & = \{15;19\}\\ h) & C - A & = \{\}\,\,\text{ou}\,\,\varnothing\\ i) & B\cup C & = \{12;13;14;17;18;20\}\\ j) & B\cap C & = \{12;13\}\\ k) & B - C & = \{17;18;20\}\\ l) & C - B & = \{14\}\\ m) & A\cap B\cap C & = \{12;13\}\\ n) & (A\cup B) - C & = \{15;17;18;19;20\}\\ o) & (A\cap B) - C & = \{\}\\ p) & (B\cup C) - A & = \{17;18;20\}\\ q) & (B\cap C) - A & = \{\}\\ r) & (A\cup C) - B & = \{14;15;19\}\\ s) & (A\cap C) - B & = \{14\}\\ t) & A-(B\cap C) & = \{14;15;19\} \end{array}\)

0105¶

Numa escola de 720 alunos, onde as únicas disciplinas são Matemática e Português, 480 alunos estudam Matemática e 360 alunos estudam Português. Calcule, justificando sua resposta, o número de alunos que estudam Matemática e Português.

0105 - Resposta

120(cento e vinte) é o número de alunos que estuam Matemática e Português.

0105 - Solução

Chamando de "\(x\)" o número de alunos que estudam Matemática e Português, vamos utilizar o diagrama de Venn:

Equacionando: \(480-x+x+360-x=720\rightarrow x=120\) \((^*)\)

\((^*)\) Supondo que todos os alunos estudem pelo menos uma das disciplinas, informação que não foi exposta na questão.

0104¶

Dados os conjuntos

\(A=\left\{ x\in \mathbb{N}\,|\, \dfrac{24}{x} = n; \, n\in \mathbb{N} \right\}\) e
\(B=\{ x\in \mathbb{N}\,|\, 3x + 4 < 2x + 9 \}\),

determine, justificando sua resposta, os conjuntos resultantes de:

\(A\cup B\)
\(A\cap B\)
\(A - B\)
d) \(B - A\)

0104 - Soluções

Enumerando os conjuntos

\(\begin{array}{ll} A & =\{1;2;3;4;6;8;12;24\}\,\,\text{e}\\ B & =\{0;1;2;3;4\} \end{array}\)

Assim, vamos aos conjuntos resultantes:

\(\begin{array}{lll} a) & A\cup B & =\{0;1;2;3;4;6;8;12;24\}\\ b) & A\cap B & =\{1;2;3;4\}\\ c) & A - B & =\{6;8;12;24\}\\ d) & B - A & =\{0\} \end{array}\)

0103¶

Dados os conjuntos \(A=\{ x \in \mathbb{R}\,|\, -3\leq x < 6 \}\), \(B=\{ x \in \mathbb{R}\,|\, 2\leq x < 8 \}\) e \(C=\{ x \in \mathbb{R}\,|\, -8 < x < 5 \}\). Descreva, por meio de uma propriedade característica, cada um dos

seguintes subconjuntos:
a) \(A\cup B\)	b) \(A\cap B\)	c) \(A - B\)	d) \(B - A\)
e) \(A\cup C\)	f) \(A\cap C\)	g) \(A - C\)	h) \(C - A\)
i) \(B\cup C\)	j) \(B\cap C\)	k) \(B - C\)	l) \(C - B\)
m) \(A\cap B\cap C\)	n) \((A\cup B) - C\)	o) \((A\cap B) - C\)	p) \((B\cup C) - A\)
q) \((B\cap C) - A\)	r) \((A\cup C) - B\)	s) \((A\cap C) - B\)	t) \(A-(B\cap C)\)

0103 - Soluções

Todos os conjuntos apresentados estão contidos nos números reais e os valores são, portanto, de difícil enumeração. Nesses casos, o mais visível e mais simples é a descrição desses conjuntos através de retas e intervalos reais:

Vamos às resoluções:

\(\begin{array}{ll} a) & A\cup B & = \{x \in \mathbb{R}\,\,|\,\,-3\leq x < 8\}\\ b) & A\cap B & = \{x \in \mathbb{R}\,\,|\,\,2\leq x < 6\}\\ c) & A - B & = \{x \in \mathbb{R}\,\,|\,\,-3\leq x < 2\}\\ d) & B - A & = \{x \in \mathbb{R}\,\,|\,\,6\leq x < 8\}\\ e) & A\cup C & = \{x \in \mathbb{R}\,\,|\,\,-8 < x < 6\}\\ f) & A\cap C & = \{x \in \mathbb{R}\,\,|\,\,-3\leq x < 5\}\\ g) & A - C & = \{x \in \mathbb{R}\,\,|\,\,5\leq x < 6\}\\ h) & C - A & = \{x \in \mathbb{R}\,\,|\,\,-8 < x < -3\}\\ i) & B\cup C & = \{x \in \mathbb{R}\,\,|\,\,-8 < x < 8\}\\ j) & B\cap C & = \{x \in \mathbb{R}\,\,|\,\,2\leq x < 5\}\\ k) & B - C & = \{x \in \mathbb{R}\,\,|\,\,5\leq x < 8\}\\ l) & C - B & = \{x \in \mathbb{R}\,\,|\,\,-8 < x < 2\}\\ m) & A\cap B\cap C & = \{x \in \mathbb{R}\,\,|\,\,2\leq x < 5\}\\ n) & (A\cup B) - C & = \{x \in \mathbb{R}\,\,|\,\,5\leq x < 8\}\\ o) & (A\cap B) - C & = \{x \in \mathbb{R}\,\,|\,\,5\leq x < 6\}\\ p) & (B\cup C) - A & = \{x \in \mathbb{R}\,\,|\,\,-8 < x < -3\}\,\,\text{ou}\,\,\{x \in \mathbb{R}\,\,|\,\,6\leq x < 8\}\\ q) & (B\cap C) - A & = \{\}\,\,\text{ou}\,\,\varnothing\\ r) & (A\cup C) - B & = \{x \in \mathbb{R}\,\,|\,\,-8 < x < -2\}\\ s) & (A\cap C) - B & = \{x \in \mathbb{R}\,\,|\,\,-3\leq x < -2\}\\ t) & A-(B\cap C) & = \{x \in \mathbb{R}\,\,|\,\,-3\leq x < -2\}\,\,\text{ou}\,\,\{x \in \mathbb{R}\,\,|\,\,5\leq x < 6\} \end{array}\)

0102¶

Descreva, por meio de uma propriedade característica, cada um dos seguintes subconjuntos de \(\mathbb{R}\).

0102 - Soluções

Simples e direto:

\(\begin{array}{ll} a) & \{ x\in \mathbb{R}\,\,|\,\, -3 < x \leq 0 \}\\ b) & \{ x\in \mathbb{R}\,\,|\,\, 7 \leq x \leq 10 \} \end{array}\)

0101¶

Na figura adiante estão representados geometricamente os números reais \(0\), \(x\), \(y\) e \(1\). Marque na figura, aproximadamente, a posição do número \(x\cdot y\).

0101 - Solução

Podemos utilizar valores numéricos para \(x\) e \(y\), desde que obedecidas suas posições na reta. Assim, por exemplo, podemos tomar \(x=0,3\) e \(y=0,8\). Então \(x\times y = 0,3\times 0,8 = 0,24\) que é um valor entre \(0\) e \(x\), sendo esta a resposta final.