Página06¶

0150¶

Duas questões:

a) Provar que \((1+i)^2=2i\)

b) Colocar na forma algébrica o número: \(z=\dfrac{(1+i)^{80}-(1+i)^{82}}{i^{96}}\)

0150 - Soluções

Resolvendo:

a) A fim de provar, devemos apenas efetuar este produto, da mesma forma que resolveríamos um produto notável, assim:

\((1+i)^2=2i\to 1^2+2.1.i+i^2=2i\to \cancel{1-1}+2i=2i\,\,\)c.q.d

b) Vamos resolver, efetuando os produtos notáveis que surgirão a partir das expressões (re)escritas, assim:

\(z=\dfrac{(1+i)^{80}-(1+i)^{82}}{i^{96}}\to z=\dfrac{[(1+i)^{2}]^{40}-[(1+i)^2]^{41}}{(\cancel{i^{4}}^{\,1})^{24}}\to\)

\(z=\dfrac{(2i)^{40}-(2i)^{41}}{1^{24}}\to z=\dfrac{2^{40}-i.2^{41}}{1}=\boxed{2^{40}-i.2^{41}}\)

0149¶

Calcular:

a) \((3+2i)^2\)

b) \((5-i)^2\)

c) \((1+i)^3\)

0149 - Soluções

Calculando:

a) \((3+2i)^2=3^2+2.3.2i+(2i)^2=9+12i-4=\boxed{5+12i}\)

b) \((5-i)^2=5^2-2.5.i-1=\boxed{24-10i}\)

c) \((1+i)^3=1^3+3.1.i+3.1.i^2+i^3=1+3i-3-i=\boxed{-2+2i}\)

0148¶

Efetuar:

a) \((2-3i)(1+5i)\)

b) \((1+2i)(2+i)\)

c) \((4-3i)(5-i)(1+i)\)

d) \((7+2i)(7-2i)\)

0148 - Soluções

Efetuando as operações indicadas:

a) \((2-3i)(1+5i)=2.1+2.5i-3i.1+3i.5i=2+10i-3i+15=\boxed{17+7i}\)

b) \((1+2i)(2+i)=(1.2+1.i+2i.2-1)=\boxed{1+5i}\)

c) \((7+2i)(7-2i)=7^2-(2i)^2=49+4=\boxed{53}\)

d) \((4-3i)(5-i)(1+i)=[4.5+4.(-i)-3i.5+(-3i)(-i)](1+i)=(17-19i)(1+i)\)

0147¶

Efetuar:

a) \((3+2i)+(2-5i)\)

b) \((1+i)+(1-i)-2i\)

c) \((5-2i)-(2+8i)\)

d) \((6+7i)-(4+2i)+(1-10i)\)

0147 - Soluções

Efetuando as operações indicadas:

a) \((3+2i)+(2-5i)=(3+2)+(2-5)i=\boxed{5-3i}\)

b) \((1+i)+(1-i)-2i=(1+1)+\cancel{(1-1)i}-2i=\boxed{2-2i}\)

c) \((5-2i)-(2+8i)=(5-2)+(-2+8)i=\boxed{3+6i}\)

d) \((6+7i)-(4+2i)+(1-10i)=(6-4+1)+(7-2-10)i=\boxed{3-5i}\)

0146¶

Efetuar as operações indicadas:

a) \((6+7i)(1+i)\)

b) \((5+4i)(1-i)+(2+i)i\)

c) \((1+2i)^2-(3+4i)^2\)

0146 - Soluções

Efetuando as operações indicadas:

a) \((6+7i)(1+i)=6+7i+6i-7=\boxed{-1+13i}\)

b) \((5+4i)(1-i)+(2+i)i=5+4i-5i-4i^2+2i+i^2=5+4i-5i+4+2i-1=\boxed{8+i}\)

c) \((1+2i)^2-(3+4i)^2=1+4i-4-(9+24i-16)=-3+4i+7-24i=\boxed{4-20i}\)

0145¶

Efetue:

\(\begin{array}{ll} a) (7+i)+(3-4i) & b) (13-2i)+(-5+6i) \\&\\ c) (9-i)-(8-i) & d) (3+2i)-(6+13i) \\&&\\ e) (-2+\sqrt{-8})+(5-\sqrt{-50}) & f) (8+\sqrt{-18})-(4+3i\sqrt{2}) \\&&\\ g) 13i-(14-7i) & h) 25+(-10+11i)+15i\\&&\\ i) -\left(\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{2}i\right)+\left(\dfrac{5}{3}+\dfrac{11}{3}i\right) & j) (1,6+3,2i)+(-5,8+4,3i)\\&&\\ k) (1+i)(3-2i) & l) (7-2i)(3-5i)\\&&\\ m) 12i(1-9i) & n) -8i(9+4i)\\&&\\ o) (\sqrt{14}+i\sqrt{10})(\sqrt{14}-i\sqrt{10}) & p) (\sqrt{3}+i\sqrt{15})(\sqrt{3}-i\sqrt{15})\\&&\\ q) (6+7i)^2 & r) (5-4i)^2\\&&\\ s) (2+3i)^2+(2-3i)^2 & t) (1-2i)^2-(1-2i)^2\\&&\\ u) [(1+i)^2-(1-i)^2]^5 \end{array}\)

0145 - Soluções

Efetuando, item a item:

\(\begin{array}{ll} a) & (7+i)+(3-4i)=(7+3)+i(1-4)=\boxed{10-3i}\\ &\\ b) & (13-2i)+(-5+6i)=(13-5)+i(-2+6)=\boxed{8+4i}\\ &\\ c) & (9-i)-(8-i)=(9-8)+i\cancel{(-1+1)}=\boxed{1}\\ &\\ d) & (3+2i)-(6+13i)=(3-6)+i(2+13)=\boxed{-3+15i}\\ &\\ e) & (-2+\sqrt{-8})+(5-\sqrt{-50})=(-2+5)+i(2\sqrt{2}-5\sqrt{2})=\boxed{3-3i\sqrt{2}}\\ &\\ f) & (8+\sqrt{-18})-(4+3i\sqrt{2})=(8-4)+\cancel{(3i\sqrt{2}-3i\sqrt{2})}=\boxed{4}\\ &\\ g) & 13i-(14-7i)=-14+(13i+7i)=\boxed{-14+20i}\\ &\\ h) & 25+(-10+11i)+15i=(25-10)+(11i+15i)=\boxed{15+26i}\\ &\\ i) & -\left(\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{2}i\right)+\left(\dfrac{5}{3}+\dfrac{11}{3}i\right)=\left( -\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{3} \right)+\left( -\dfrac{5}{2}+\dfrac{11}{3} \right)i=\boxed{\dfrac{1}{6}+\dfrac{7}{6}i}\\ &\\ j) & (1,6+3,2i)+(-5,8+4,3i)=\boxed{-4,2+7,5i}\\ &\\ k) & (1+i)(3-2i)=1.3-1.2i+3i-2i^2=3-2i+3i+2=\boxed{5+i}\\ &\\ l) & (7-2i)(3-5i)=7.3-7.5i-2i.3+2.5i^2=21-35i-6i-10=\boxed{11-41i}\\ &\\ m) & 12i(1-9i)=12i.1-12i.9i=12i-108i^2=\boxed{108+12i}\\ &\\ n) & -8i(9+4i)=-72i-32i^2=\boxed{32-72i}\\ &\\ o) & (\sqrt{14}+i\sqrt{10})(\sqrt{14}-i\sqrt{10})=(\sqrt{14})^2-(i\sqrt{15})^2=14-10i^2=14+10=\boxed{24}\\ &\\ p) & (\sqrt{3}+i\sqrt{15})(\sqrt{3}-i\sqrt{15})=(\sqrt{3})^2-(i\sqrt{15})^2=3+15=\boxed{18}\\ &\\ q) & (6+7i)^2=6^2+2.6.7i+(7i)^2=36+84i-49=\boxed{-13+84i}\\ &\\ r) & (5-4i)^2=5^2-2.5.4i+(4i)^2=25-40i-16=\boxed{9-40i}\\ &\\ s) & (2+3i)^2+(2-3i)^2=(-5+\cancel{12i})+(-5-\cancel{12i})=\boxed{-10}\\ &\\ t) & (1-2i)^2-(1+2i)^2=(-3-4i)-(-3+4i)=\boxed{-8i}\\ &\\ u) & [(1+i)^2-(1-i)^2]^5=[2i-(-2i)]^5=(4i)^5=4^5\times i^5=2^{10}\times \cancel{i^4}^{\,1}.i=\boxed{1024i} \end{array}\)

0144¶

Escreva os números complexos na sua forma algébrica:

\(\begin{array}{lclclcl} a) 8+\sqrt{-25} && b) 5+\sqrt{-36} && c) 2-\sqrt{-7} && d) 1+\sqrt{-8}\\\\ e) \sqrt{-80} && f) \sqrt{-4} && g) 14 && h) 75\\\\ i) -10i+i^2 && j) -4i^2+2i && k) \sqrt{-0,09} && l) \sqrt{-0,0049} \end{array}\)

0144 - Solução

Resolvendo, item a item:

\(\begin{array}{llll} a) & 8+\sqrt{-25}=\boxed{8+5i} & b) & 5+\sqrt{-36}=\boxed{5+6i} \\ & & & \\ c) & 2-\sqrt{-7}=\boxed{2-i\sqrt{7}} & d) & 1+\sqrt{-8}=\boxed{1+2i\sqrt{2}}\\ & & & \\ e) & \sqrt{-80}=\boxed{4i\sqrt{5}} & f) & \sqrt{-4}=\boxed{2i} \\ & & & \\ g) & 14=\boxed{14} & h) & 75=\boxed{75} \\ & & & \\ i) & -10i+i^2=\boxed{-1-10i} & j) & -4i^2+2i=\boxed{4+2i} \\ & & & \\ k) & \sqrt{-0,09}=\boxed{\dfrac{3i}{10}} & l) & \sqrt{-0,0049}=\boxed{0,07i} \end{array}\)

0143¶

Um outdoor medido 1,70m de altura por 4,30m de largura foi pintado de azul com margens brancas. A largura das margens superior e inferior é 40cm e a das margens laterais é 60cm, conforme a imagem ilustrativa abaixo.

Qual a área pintada de branco?

0143 - Solução

A área branca(\(A_{b}\)) será assim calculada:

\(A_{b}=(4,30\text{m}\times 1,70\text{m})-(3,10\text{m}\times 0,90\text{m})\to\)

\(A_{b}=7,31\text{m}^2-2,79\text{m}^2\to\)

\(\boxed{\boldsymbol{A_{b}=4,52\text{m}^2}}\)

0142¶

Encontre os valores "\(x\)", "\(y\)" e "\(z\)"

se \(\left\{\begin{array}{lcr}(x-4)(y-4)&=&16\\(y-6)(z-6)&=&36\\(z-8)(x-8)&=&64\end{array}\right.\)

0142 - Solução

Solução, por etapas:

(I) A partir da terceira linha, vamos isolar(o que der) em função de "y":

\([z-8]=[(z-6)-2]\to\)

\([z-8]=\dfrac{36}{(y-6)}-2\to\)

\([z-8]=\dfrac{36-2(y-6)}{(y-6)}\to\)

\(\boxed{[z-8]=\dfrac{48-2y}{y-6}}\)

e

\([x-8]=[(x-4)-4]\to\)

\([x-8]=\dfrac{16}{y-4}-4\to\)

\([x-8]=\dfrac{16-4(y-4)}{y-4}\to\)

\(\boxed{[x-8]=\dfrac{32-4y}{y-4}}\)

(II) Aplicando os resultados obtidos à terceira linha, teremos:

\(\dfrac{48-2y}{y-6}\cdot\dfrac{32-4y}{y-4}=64\)

Para \(y\neq 6\,\,\) e \(\,\,y\neq 4\), teremos:

\(2\cdot(24-y)\cdot 4\cdot(8-y)=64\cdot(y-6)\cdot(y-4)\)

\(\cancel{8}\cdot(y^2-32y+192)=\cancel{64}\cdot(y^2-10y+24)\to\)

\(y^2-32y+\cancel{192}=8y^2-80y+\cancel{192}\to\)

\(\boxed{7y^2-48y=0}\Rrightarrow \boxed{y=0}\checkmark\quad\) ou \(\quad\boxed{y=\dfrac{48}{7}}\checkmark\)

(III) Aplicando os valores de "\(y\)" encontrados, ambos válidos,

vamos obter os respectivos valores de "\(x\)" e de "\(z\)"; assim:

\(\Rrightarrow\)Para \(\boxed{y=0}\)

Aplicado-o à equação \(x-8=\dfrac{32-4y}{y-4}\)

\(x-8=\dfrac{32-4\cdot 0}{0-4}\to x-8=-8\to\boxed{x=0}\)

Aplicando-o à equação \(z-8=\dfrac{48-2y}{y-6}\)

\(z-8=\dfrac{48-2\cdot 0}{0-6}\to z-8=-8\to\boxed{z=0}\)

Aqui, a primeira terna final de solução: \(\boldsymbol{(0;\,0;\,0)}\checkmark\)

\(\Rrightarrow\)Para \(\boxed{y=\dfrac{48}{7}}\)

Aplicado-o à equação \(x-8=\dfrac{32-4y}{y-4}\)

\(x-8=\dfrac{32-4\cdot\frac{48}{7}}{\frac{48}{7}-4}\to x-8=\dfrac{\frac{32}{\cancel{7}}}{\frac{20}{\cancel{7}}}\to\)

\(x-8=\dfrac{8}{5}\to\boxed{x=\dfrac{48}{5}}\)

Aplicando-o à equação \(z-8=\dfrac{48-2y}{y-6}\)

\(z-8=\dfrac{48-2\cdot\frac{48}{7}}{\frac{48}{7}-6}\to z-8=\dfrac{\frac{240}{\cancel{7}}}{\frac{6}{\cancel{7}}}\to\)

\(z-8=40\to\boxed{z=48}\)

Aqui, a segunda terna final de solução:\(\boldsymbol{\left(\dfrac{48}{5};\,\dfrac{48}{7};\,48\right)}\checkmark\)

0141¶

Resolva a equação trigonométrica

\(\cos\,(2x) = \text{sen}\,\left(\dfrac{\pi}{4} - x\right)\,\,\) para \(\,\,x\in[-\pi,\pi]\)

0141 - Solução

Por etapas, teremos:

(I) Desenvolvendo ambos os lados e utilizando propriedades trigonométricas, teremos:

Lado Esquerdo:

\(\cos\,(2x)=\cos^2x-\text{sen}^2\,x\)

\(\cos\,(2x)=[\cos (x)+\text{sen}\,(x)]\times [\cos (x)-\text{sen}\,(x)]\)

Lado Direito:

\(\text{sen}\,\left(\dfrac{\pi}{4} - x\right)=\text{sen}\,\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\times\cos(x)-\text{sen}\,(x)\times\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\to\)

\(\text{sen}\,\left(\dfrac{\pi}{4} - x\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times\cos(x)-\text{sen}\,(x)\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}\to\)

\(\text{sen}\,\left(\dfrac{\pi}{4} - x\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times[\cos(x)-\text{sen}\,(x)]\)

(II) Igualando os lados, obteremos uma equação semelhante e mais simplificada:

\([\cos (x)+\text{sen}\,(x)]\times [\cos (x)-\text{sen}\,(x)]=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times[\cos(x)-\text{sen}\,(x)]\)

Para \(\cos(x)\neq\text{sen}\,(x)\), faremos:

\([\cos (x)+\text{sen}\,(x)]\times\cancel{[\cos (x)-\text{sen}\,(x)]}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times\cancel{[\cos(x)-\text{sen}\,(x)]}\)

Assim:

\(\cos (x)+\text{sen}\,(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

Elevando ambos os lados ao quadrado:

\([\cos (x)+\text{sen}\,(x)]^2=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\to\)

\(\underbrace{\cos^2(x)+\text{sen}^2\,(x)}_{1}+2\cdot\text{sen}\,(x)\cdot\cos(x)=\dfrac{1}{2}\to\)

\(\underbrace{2\cdot\text{sen}\,(x)\cdot\cos(x)}=-\dfrac{1}{2}\to\)

\(\boxed{\text{sen}\,(2x)=-\dfrac{1}{2}}\)

(III) Do ciclo trigonométrico, para \(\boxed{x\in[-\pi;\,\pi]}\)

\(2x=-\dfrac{\pi}{6}\to\boxed{x=-\dfrac{\pi}{12}}\checkmark\quad\) 1ª Solução Final

\(2x=-\dfrac{5\pi}{6}\to\boxed{x=-\dfrac{5\pi}{12}}\checkmark\quad\) 2ª Solução Final

0140¶

Dada a matriz \(A=\left[\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right]\) e a função \(f\), definida no conjunto das matrizes \(2\times 2\) por \(f(X)=X^2-2X\), obtenha \(f(A)\).

0140 - Solução

Por etapas, teremos:

1º) Fazendo \(X^2=A^2\) ou \(X\cdot X=A\cdot A\), assim:

\(A\cdot A=\left[\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right]\to\)

\(A\cdot A=\left[\begin{array}{ccc}1\cdot 1+1\cdot 1&&1\cdot 1+1\cdot 1\\1\cdot 1+1\cdot 1&&1\cdot 1+1\cdot 1\end{array}\right]\to\)

\(A\cdot A=A^2=\left[\begin{array}{cc}2&2\\2&2\end{array}\right]\)

2º) Fazendo \(2X=2A\), ou seja:

\(2\times\left[\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right]\to 2A=\left[\begin{array}{cc}2&2\\2&2\end{array}\right]\)

3º) Obtendo \(f(A)=A^2-2A\), ou seja:

\(f(A)=\left[\begin{array}{cc}2&2\\2&2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}2&2\\2&2\end{array}\right]\therefore \boxed{f(A)=0}\checkmark\)

0139¶

Sendo a \(f(4)=2\) e \(f(4)=4a+b\), então \(4a+b=2\). Considerando ainda

que \(f(3)=3a+ b\) e \(f(5)= 5a+b\), obtenha a função da soma das funções.

0139 - Solução

Reescrevendo \(f(3)=-a+\underbrace{4a+b}_{2}\to f(3)=-a+2\)

Reescrevendo \(f(5)=a+\underbrace{4a+b}_{2}\to f(5)=a+2\)

Escrevendo a função soma das funções, teremos:

\(f(3)+f(5)=-\cancel{a}+2+\cancel{a}+2\to \boxed{f(3)+f(5)=4}\checkmark\)

0138¶

Use a equação racional \(\dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{x^{2}+2x} = \dfrac{3}{x+2}\) para responder às perguntas.

Parte 1: Uma vez que a equação não está mais na forma de uma equação racional, qual método pode ser usado para resolver a equação?

Parte 2: Qual é a solução para a equação racional?

Selecione uma resposta para a Parte 1 e selecione todas as respostas que se aplicam à Parte 2.

PARTE1
- A: A equação resultante é uma equação quadrática, onde b = 0; pode ser resolvido isolando a variável e obtendo a raiz quadrada de cada lado.
- B: A equação resultante é uma equação quadrática, que pode ser resolvida por fatoração.
- C: A equação resultante é uma equação quadrática, que não pode ser resolvida por fatoração; pode ser resolvido pela fórmula quadrática.
- D: A equação resultante é uma equação linear, que pode ser resolvida usando as operações inversas e as propriedades da igualdade.
PARTE2
- A: 3
- B: −3
- C: −97
- D: −9
- E: 9

0138 - Soluções

\(\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{x^{2}+2x}=\dfrac{3}{x+2}\to\)

\(\dfrac{4(x+2)+1=3x}{x(x+2)}\to\)

Para \(x\neq 0\,\,\) e \(\,\,x\neq-2\) podemos eliminar o denominador; assim, vamos resolver a equação resultante, do tipo linear, apenas do numerador:

\(4(x+2)+1=3x\to 4x-3x=-1-8\to\boxed{x=-9}\checkmark\)

Respondendo:

Na PARTE 1, a alternativa correta é a "D".

Na PARTE 2, a alternativa correta é a "D".

0137¶

Obtenha o gráfico da função exponencial \(f(x)=3^x\).

0137 - Solução

0136¶

Qual o valor da ordenada do ponto \(A(3;\,y)\) sabendo que todos os pontos estão alinhados , o ponto \(B\) é o encontro dos eixos na origem e o ponto é \(C(3;\,3)\).

0136 - Solução

Questão meramente interpretativa, portanto, desnecessário qualquer cálculo, senão vejamos:

a) O ponto \(B\) é a origem do sistema cartesiano, portanto, \(B(0;\,0)\)

b) Como os três pontos estão alinhados e \(C(3;\,3)\), a bissetriz dos quadrantes ímpar(\(y=x\)) é a reta que contêm esses pontos;

c) Dessa forma o ponto \(A\) pode ser unicamente \(A(3;\,3)\), portanto, \(y=3\).

0135¶

Em um mapa turístico do Brasil, de escala \(1:18000000\), a distância entre a cidade T e a cidade P mede 2cm. Obtenha a distância entre as duas cidades, em quilômetros.

0135 - Solução

De acordo com o texto, cada cm no mapa corresponde a 18.000.000 cm de distância real; logo, \(2cm\) correspondem a \(36.000.000cm\) de distância real. Agora, basta-nos converter esses \(cm\) para \(km\), ou seja:

\(36.000.000cm\to 360.000m\to\boxed{360km}\checkmark\)

0134¶

Resolva, em \(\mathbb{R}\), a equação:

\(\left|\begin{array}{ccc}2 & 2 & 3\\2 & 4 & x\\3 & 1 & 2\end{array}\right|=0\)

0134 - Solução

\(\left|\begin{array}{ccc}2 & 2 & 3\\2 & 4 & x\\3 & 1 & 2\end{array}\right|=0\to\)

\((2\times 4\times 2)+(2\times 1\times 3)+(3\times x\times 2)\)

\(-(3\times 4\times 3)-(2\times 2\times 2)-(2\times 1\times x)=0\to\)

\(16+6+6x-36-8-2x=0\to 4x-22=0\to\boxed{x=\dfrac{11}{2}}\checkmark\)

0133¶

Resolva, em \(\mathbb{R}\), a equação:

\(\left|\begin{array}{ccc}x & 3 & 5\\x+1 & 2 & 1\\3 & 2 & 4\end{array}\right|=0\)

0133 - Solução

\(\left|\begin{array}{ccc}x & 3 & 5\\x+1 & 2 & 1\\3 & 2 & 4\end{array}\right|=0\to\)

\([x\times 2\times 4]+[(x+1)\times 2\times 5]+[3\times 1\times 3]\)

\(-[5\times 2\times 3]-[3\times(x+1)\times 4]-[x\times 2\times 1]=0\to\)

\(8x+10x+10+9-30-12x-12-2x=0\to\)

\(4x-23=0\to\boxed{x=\dfrac{23}{4}}\checkmark\)

0132¶

Encontre os valores reais de \(a\) e \(b\), que tornam verdadeiras, as seguintes afirmações:

a) \(a+bi=-12+7i\)

b) \(a+bi=13+4i\)

c) \((a-1)+(b+3)i=5+8i\)

d) \((a+6)+2bi=6-5i\)

0132 - Soluções

A fim de encontrar os valores reais de \(a\) e \(b\), vamos igualar as partes reais com as partes reais e as partes imaginárias com as partes imaginárias:

a) \(a+bi=-12+7i\to\boxed{a=-12}\) e \(\boxed{b=7}\)

b) \(a+bi=13+4i\to\boxed{a=13}\) e \(\boxed{b=4}\)

c) \((a-1)+(b+3)i=5+8i\) Veja que teremos um sistema com duas equações, o qual será resolvido:

\(\left\{\begin{array}{rcrcr} a & - & 1 & = & 5 \to\boxed{a=6}\\ b & + & 3 & = & 8 \to\boxed{b=5} \end{array}\right.\)

d) \((a+6)+2bi=6-5i\) Idêntico ao item anterior, aqui também teremos um sistema com duas equações, o qual será resolvido:

\(\left\{\begin{array}{rcrcrl} a & + & 6 & = & 6 &\to\boxed{a=0}\\ 2b & & & = & -5 &\to \boxed{b=-\dfrac{5}{2}} \end{array}\right.\)

0131¶

Resolva as equações quadráticas:

a) \(3x^2-2x+5=0\)

b) \(8x^2+14x+9=0\)

0131 - Soluções

Resolveremos cada equação utilizando a fórmula quadrática Bhaskara:

a) \(3x^2-2x+5=0\to \quad\underrightarrow{Bhaskara}\quad x=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\times 3\times 5}}{2\times 3}\)

\(x=\dfrac{2\pm\sqrt{4-60}}{6}\to x=\dfrac{2\pm\sqrt{-56}}{6}\to x=\dfrac{2\pm2i\sqrt{14}}{6} x=\dfrac{\cancel{2}(1\pm i\sqrt{14})}{\cancel{6}}\)

\(x=\dfrac{1\pm i\sqrt{14}}{3}\to\boxed{x_{1}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{i\sqrt{14}}{3}}\quad\text{ou}\quad\boxed{x_{2}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{i\sqrt{14}}{3}}\)

b) \(8x^2+14x+9=0\to \quad\underrightarrow{Bhaskara}\quad x=\dfrac{-14\pm \sqrt{14^2-4\times 8\times 9}}{2\times 8}\)

\(x=\dfrac{-14\pm\sqrt{196-288}}{16}\to x=\dfrac{-14\pm\sqrt{-92}}{16}\to x=\dfrac{-14\pm2i\sqrt{23}}{16} x=\dfrac{\cancel{2}(-7\pm i\sqrt{23})}{\cancel{16}}\)

\(x=\dfrac{-7\pm i\sqrt{23}}{8}\to\boxed{x_{1}=-\dfrac{7}{8}-\dfrac{i\sqrt{23}}{8}}\quad\text{ou}\quad\boxed{x_{2}=-\dfrac{7}{8}+\dfrac{i\sqrt{23}}{8}}\)

0130¶

Efetue as seguintes operações:

a) \((2-4i)(3+7i)\)

b) \((4-5i)(-4-5i)\)

c) \((3-5i)^2\)

d) \((7+2i)^2\)

e) \((3-5i)^3\)

f) \((7+2i)^3\)

g) \((2-11i)^4\)

h) \((1+3i)^4\)

i) \((1+i)^2\)

j) \((1-i)^2\)

0130 - Soluções

Resolvendo cada item:

a) \((2-4i)(3+7i)=2.3+2.7i-4i.3-4i.7i=6+14i-12i+28=\boxed{34+2i}\)

b) \((4-5i)(-4-5i)=-(4+5i)(4-5i)=-(16+25)=\boxed{41}\)

c) \((3-5i)^2=(3-5i)(3-5i)=9-15i-15i-25=\boxed{-16-30i}\) ou \(\boxed{-2(8+15i)}\)

d) \((7+2i)^2=7^2+2.7.2i+(2i)^2=49+28i-4=\boxed{45+28i}\)

e) \((3-5i)^3=(3-5i)^2.(3-5i)=(-16-30i)(3-5i)=\)

\(-16.3-16(-5i)-30i.3-30i(-5i)=-48+80i-90i-150=\boxed{-198-10i}\) ou \(\boxed{-2(99+5i)}\)

f) \((7+2i)^3=7^3+3.7^2.2i+3.7.(2i)^2+(2i)^3=343+294i-84-8i=\boxed{259+286i}\)

g) \((2-i)^4=[(2-i)^2]^2=(4-4i-1)^2=(3-4i)^2=9-24i-16=\boxed{-7-24i}\)

h) \((1+3i)^4=(1+6i-9)^2=(-8+6i)^2=[-2(4-3i)]^2=4(16-24i-9)=\boxed{4(7-24i)}\)

i) \((1+i)^2=1+2i-1=\boxed{2i}\)

j) \((1-i)^2=1-2i-1=\boxed{-2i}\)

0129¶

Efetue as seguintes operações:

a) \((8+7i)+(4-5i)\)

b) \((3-4i)-(-5+7i)\)

c) \(-3i+(12i-\sqrt[3]{7})-(-\sqrt{7}-i\sqrt[3]{7})\)

d) \((5-3i)-(3+5i)+(8+13i)\)

0129 - Soluções

Resolvendo cada item:

a) \((8+7i)+(4-5i)=8+7i+4-5i=\boxed{12+2i}\)

b) \((3-4i)-(-5+7i)=3-4i+5-7i=\boxed{8-11i}\)

c) \(-3i+(12i-\sqrt[3]{7})-(-\sqrt{7}-i\sqrt[3]{7})=-3i+12i-\sqrt[3]{7}+\sqrt{7}+i\sqrt[3]{7}=\boxed{(\sqrt{7}-\sqrt[3]{7})+i(9+\sqrt[3]{7})}\)

d) \((5-3i)-(3+5i)+(8+13i)=5-3i-3-5i+8+13i=\boxed{10+5i}\,\,\text{ou}\,\,\boxed{5(2+i)}\)

0128¶

Para cada número complexo \(z\), responda as seguintes questões:

Escreva \(z\) na forma algébrica;
Determine \(k\in\mathbb{R}\) para que tenhamos \((Re)\geq 0\);
Determine \(k\in\mathbb{R}\) para que tenhamos \((Re)<0\);
Determine \(k\in\mathbb{R}\) para que \(z\) seja imaginário puro;
Determine \(k\in\mathbb{R}\) para que \(z\) seja real.

a) \(z=(k-3,\,3-k)\)

b) \(z=(4-k,\,3k-2)\)

c) \(z=(k^2-k+1,\,k-1)\)

d) \(z=(k^{3}-729,\,3k-81)\)

e) \(z=(k^{4},\,k^{3})\)

0128 - Soluções

Resolvendo cada item:

a) Para \(z=(k-3,\,3-k)\):

\(z\), na forma algébrica: \(\boxed{z=(k-3)+(3-k)i}\)

\(k\in\mathbb{R}\) e \((Re)\geq 0\): \(k-3\geq 0\to \boxed{k\geq 3}\)

\(k\in\mathbb{R}\) e \((Re)<0\): \(k-3<0\to \boxed{k<3}\)

\(k\in\mathbb{R}\) e \(z\) imaginário puro; para isso devemos ter: \(Re(z)=0\), isto é: \(k-3=0\to \boxed{k=3}\)

\(k\in\mathbb{R}\) e \(z\) real; para isso devemos ter: \(Im(z)=0\), isto é: \(3-k=0\to\boxed{k=3}\)

Neste caso, quando \(k=3\), tanto a parte real quanto a parte imaginária serão, ambas, iguais a zero, o que resultará o número complexo \(z=0\) que é, como sabemos,um número real.

b) Para \(z=(4-k,\,3k-2)\):

\(z\), na forma algébrica: \(\boxed{z=(4-k)+(3k-2)i}\)

\(k\in\mathbb{R}\) e \((Re)\geq 0\): \(4-k\geq 0\to \boxed{k\leq4}\)

\(k\in\mathbb{R}\) e \((Re)<0\): \(4-k<0\to \boxed{k>4}\)

\(k\in\mathbb{R}\) e \(z\) imaginário puro; para isso devemos ter: \(Re(z)=0\), isto é: \(4-k=0\to \boxed{k=4}\)

\(k\in\mathbb{R}\) e \(z\) real; para isso devemos ter: \(Im(z)=0\), isto é: \(3k-2=0\to \boxed{k=\dfrac{2}{3}}\)

c) Para \(z=(k^2-k+1,\,k-1)\): \(z\), na forma algébrica: \(\boxed{z=(k^2-k+1)+(k-1)i}\)

\(k\in\mathbb{R}\) e \((Re)\geq 0\): \(k^2-k+1\geq 0\)

Primeiramente, vamos resolver, por Bhaskara a equação:\(k^2-k+1=0\to\)

\(x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\times 1\times 1}}{2\times 1}\to x=\dfrac{1\pm \sqrt{-3}}{2},\) que, por ter \(\Delta <0\), sua parábola, com a concavidade para cima não terá raízes reais em \(k\) e portanto, quaisquer que sejam esses valores de \(k\) reais, a parte real de \(z\) será positiva.

\(k\in\mathbb{R}\) e \((Re)<0\): \(k^2-k+1<0\to\) Utilizando a resolução anterior, teremos que a parte real de \(z\) nunca será negativa.

\(k\in\mathbb{R}\) e \(z\) imaginário puro; para isso devemos ter: \(Re(z)=0\), isto é: \(k^2-k+1=0\). Isto nunca ocorrerá, pois, como já vimos anteriormente, a equação em questão não possui raízes reais.

\(k\in\mathbb{R}\) e \(z\) real; para isso devemos ter: \(Im(z)=0\), isto é: \(k-1=0\to \boxed{k=1}\)

d) Para \(z=(k^{3}-729,\,3k-81)\):

\(z\) na forma algébrica: \(\boxed{z=(k^{3}-729)+(3k-81)i}\)

\(k\in\mathbb{R}\) e \((Re)\geq 0\): \(k^{3}-729\geq 0\to\) Primeiramente, devemos observar que \(f(k)=k^{3}-729\) é uma equação cúbica e que possui raiz única para \(k^{3}-729=0\to \boxed{k=9}\)\Assim, para quaisquer valores reais de \(k\), maiores, ou iguais a 9, a parte real de \(z\) será positiva ou igual a zero.

\(k\in\mathbb{R}\) e \((Re)<0\): Aproveitando a resolução anterior, teremos que a parte real de \(z\) será, explicitamente negativa, para valores reais de \(k\), menores que 9.

\(k\in\mathbb{R}\) e \(z\) imaginário puro: \(k^{3}-729=0\to \boxed{k=9}\)

\(k\in\mathbb{R}\) e \(z\) real; para isso devemos ter a parte imaginária de \(z\), igual a zero, isto é:\\(3k-81=0\to \boxed{k=27}\)

e) Para \(z=(k^{4},\,k^{3})\):

\(z\) na forma algébrica: \(\boxed{z=k^{4}+ik^{3}}\)

\(k\in\mathbb{R}\) e \((Re)\geq 0\): \(k^{4}\geq 0\to \forall\,k\in\mathbb{R}\)

\(k\in\mathbb{R}\) e \((Re)<0\): Não há valores reais de \(k\).

\(k\in\mathbb{R}\) e \(z\) imaginário puro: \(k^{4}=0\to \boxed{k=0}\) entretanto, sendo \(k=0\), a parte imaginária também fica zerada. Portanto, não há valores reais de \(k\).

\(k\in\mathbb{R}\) e \(z\) seja real; para isso devemos ter a parte imaginária de \(z\), igual a zero, isto é: \(k^{3}=0\to \boxed{k=0}\)

Neste caso, quando \(k=0\), tanto a parte real quanto a parte imaginária serão, ambas, iguais a zero, o que resultará o número complexo \(z=0\) que é, como sabemos,um número real.

0127¶

Resolva as seguintes equações:

a) \(x^{2}+12=0\)

b) \(x^{2}-8x+41=0\)

c) \(2x(x-2)=-3\)

d) \((x-2)(x+2)=-20\)

e) \(x^{4}-5x^{2}+6=0\)

f) \(2x^{4}-3=x^{2}\)

g) \(x^{4}-2x^{3}+4x^{2}-8x=0\)

h) \(\dfrac{x^{2}+2}{x-i}=0\)

0127 - Soluções

Importante observar que, quaisquer que sejam as equações a serem resolvidos, os métodos serão exatamente os mesmos até agora utilizados, com o cuidado de calcularmos as soluções imaginárias, quando houver, uma vez que, não sendo citado o conjunto universo, devemos adotar o maior conjunto numérico conhecido, isto é \(\mathbb{U}=\mathbb{C}\). Assim, vamos resolver item a item:

a) \(x^{2}+12=0\to x^{2}=-12\to x^{2}=-1\times 2^{2}\times 3\to\)

\(x=\pm (\underbrace{\sqrt{-1}}_{i}\cdot\underbrace{\sqrt{2^{2}}}_{2}\cdot\underbrace{\sqrt3{}}_{\sqrt{3}})\to\boxed{x=-2i\sqrt{3}}\) ou \(\boxed{x=2i\sqrt{3}}\)

b) \(x^{2}-8x+41=0\quad\underrightarrow{Bhaskara}\quad x=\dfrac{-(8)\pm\sqrt{(-8)^{2}-4\times 1\times 41}}{2\times 1}\to\)

\(x=\dfrac{8\pm\sqrt{64-164}}{2}\to x=\dfrac{8\pm\sqrt{-100}}{2}\to x=\dfrac{8\pm 10i}{2}\\x_{1}=\dfrac{8-10i}{2}\to x_{1}=\dfrac{\cancel{2}(4-5i)}{\cancel{2}}\to\boxed{x_{1}=4-5i}\)

\(x_{2}=\dfrac{8+10i}{2}\to x_{2}=\dfrac{\cancel{2}(4+5i)}{\cancel{2}}\to\boxed{x_{2}=4+5i}\)

c) \(2x(x-2)=-3\to 2x^{2}-4x+3=0\quad\underrightarrow{Bhaskara}\quad x=\dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4\times 2\times 3}}{2\times 2}\to\)

\(x=\dfrac{4\pm \sqrt{16-24}}{4}\to x=\dfrac{4\pm\sqrt{-8}}{4}\to x=\dfrac{4\pm2i\sqrt{2}}{4}\)

\(x_{1}=\dfrac{4-2i\sqrt{2}}{4}\to x_{1}=\dfrac{\cancel{2}(2-i\sqrt{2})}{\cancel{4}^{\,2}}\to\boxed{x_{1}=\dfrac{2-i\sqrt{2}}{2}}\,\,\text{ou}\,\,\boxed{x_{1}=1-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\)

\(x_{2}=\dfrac{4+2i\sqrt{2}}{4}\to x_{2}=\dfrac{\cancel{2}(2+i\sqrt{2})}{\cancel{4}^{\,2}}\to\boxed{x_{1}=\dfrac{2+i\sqrt{2}}{2}}\,\,\text{ou}\,\,\boxed{x_{1}=1+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\)

d) \(\underbrace{(x-2)(x+2)}_{x^{2}-4}=-20\to x^{2}-4=-20\to x^{2}=-16\to \boxed{x=-4i}\) ou \(\boxed{x=4i}\)

e) \(x^{4}-5x^{2}+6=0\) Utilizando as incógnitas auxiliares \(\boxed{x^{4}=k^{2}}\) e \(\boxed{x^{2}=k}\):

\(k^{2}-5k+6=0\quad\underrightarrow{Bhaskara}\quad k=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\times 1\times 6}}{2\times 1}\to\)

\(k=\dfrac{5\pm\sqrt{25-24}}{2}\to k=\dfrac{5\pm 1}{2}\to\boxed{k=2}\) ou \(\boxed{k=3}\)

Agora, devemos retornar às incógnitas principais:

Para \(\boxed{k=2}\) \(x^{2}=2\to\boxed{x=-\sqrt{2}}\) ou \(\boxed{x=\sqrt{2}}\)

Para \(\boxed{k=3}\) \(x^{2}=3\to \boxed{x=-\sqrt{3}}\) ou \(\boxed{x=\sqrt{3}}\)

f) \(2x^{4}-3=x^{2}\to 2x^{4}-x^{2}-3=0\) Utilizando as incógnitas auxiliares \(\boxed{x^{4}=k^{2}}\) e \(\boxed{x^{2}=k}\):

\(2k^{2}-k-3=0\quad\underrightarrow{Bhaskara}\quad k=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\times 2\times (-3)}}{2\times 2}\to\)

\(k=\dfrac{1\pm\sqrt{1+24}}{4}\to k=\dfrac{1\pm 5}{4}\to\boxed{k=-1}\) ou \(\boxed{k=\dfrac{3}{2}}\)

Agora, devemos retornar às incógnitas principais:

Para \(\boxed{k=-1}\) \(x^{2}=-1\to\boxed{x=-i}\) ou \(\boxed{x=i}\)

Para \(\boxed{k=\dfrac{3}{2}}\) \(x^{2}=\dfrac{3}{2}\to\boxed{x=-\dfrac{\sqrt{6}}{2}}\) ou \(\boxed{x=\dfrac{\sqrt{6}}{2}}\)

g) \(x^{4}-2x^{3}+4x^{2}-8x=0\to (x^{4}+4x^{2})+(-2x^{3}-8x)=0\to\)

\(x^{2}(x^{2}+4)-2x(x^{2}+4)=0\to (x^{2}+4)\cdot (x^{2}-2x)=0\to x\cdot(x-2)\cdot(x^{2}+4)=0\)

Daí: \(\boxed{x=0}\) ou \(x-2=0\to \boxed{x=2}\) ou \(x^{2}+4=0\to\boxed{x=-2i}\) ou \(\boxed{x=2i}\)

h) \(\dfrac{x^{2}+2}{x-i}=0\) Algumas considerações:

1)Impondo a condição de existência no denominador: \(x-i\neq 0\to\boxed{x\neq i}\)

2)Para zerar a fração, basta que o numerador seja igual a zero, assim:

\(x^{2}+2=0\to \boxed{x=-i\sqrt{2}}\) ou \(\boxed{x=i\sqrt{2}}\)

0126¶

Calcule o valor de \(k,\,k\in\mathbb{R}\), em cada item abaixo, para que:

a) \(z=(4-k)+(k^{2}-16)i\) seja real;

b) \(z=(2k^{3}-54)+(k-3)i\) seja imaginário puro;

c) \(z=(k^{2}-4)+(8-2k^{2})i\) seja imaginário puro;

d) \(z=(3k-18)-6i\) seja real;

e) \(z=(3k-18)-(2k-12)i\) seja real.

0126 - Soluções

Resolvendo, item a item:

a) Para que \(z=(4-k)+(k^{2}-16)i\) seja real, a parte imaginária deve ser zero, isto é, \(k^{2}-16=0\to k^{2}=16\to k=-4\) ou \(k=4\). Entretanto, se tomarmos \(k=4\), anularemos também a parte real. Portanto, o único possível será \(k=-4\).

b) Para que \(z=(2k^{3}-54)+(k-3)i\) seja imaginário puro, a parte real deve ser zero, isto é, \(2k^{3}-54=0\to 2k^{3}=54\to k^{3}=27\to k=3\). Entretanto, se tomarmos \(k=3\), anularemos também a parte imaginária. Portanto, não há valor real de \(k\) que satisfaça o enunciado.

c) Para que \(z=(k^{2}-4)+(8-2k^{2})i\) seja imaginário puro, a parte real deve ser zero, isto é, \(k^{2}-4=0\to k^{2}=4\to k=-2\) ou \(k=2\). Entretanto, se tomarmos qualquer dos valores encontrados para \(k\), anularemos também a parte imaginária. Portanto, não há valor real de \(k\) que satisfaça o enunciado.

d) Para que \(z=(3k-18)-6i\) seja real, a parte imaginária deveria ser igual a zero, entretanto, como a parte imaginária independe do valor de \(k\), é impossível zerá-la e, portanto, não há valor real de \(k\) que satisfaça o enunciado.

e) Para que \(z=(3k-18)-(2k-12)i\) seja real, a parte imaginária deve ser igual a zero, isto é, \(-(2k-12)=0\to -2k+12=0\to -2k=-12(-1)\to 2k=12\to k=6\). Este valor é válido como solução única desse item. O que poderia causar alguma dúvida, seria o fato de, ao substituirmos \(k=6\), na parte real, ela também seria nula, mas, lembremos que \(z=0\) é o mesmo que \(z=(0,\,0)\) e, portanto, real. Agora, se a questão fosse para que "seja imaginário puro", aí sim, não teríamos valor de \(k\) real que satisfizesse o enunciado.