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Página06

0150

Duas questões:

a) Provar que (1+i)2=2i(1+i)^2=2i

b) Colocar na forma algébrica o número: z=(1+i)80(1+i)82i96z=\dfrac{(1+i)^{80}-(1+i)^{82}}{i^{96}}

0150 - Soluções

professorlopes

Resolvendo:

a) A fim de provar, devemos apenas efetuar este produto, da mesma forma que resolveríamos um produto notável, assim:

(1+i)2=2i12+2.1.i+i2=2i11+2i=2i  (1+i)^2=2i\to 1^2+2.1.i+i^2=2i\to \cancel{1-1}+2i=2i\,\,c.q.d

b) Vamos resolver, efetuando os produtos notáveis que surgirão a partir das expressões (re)escritas, assim:

z=(1+i)80(1+i)82i96z=[(1+i)2]40[(1+i)2]41(i41)24z=\dfrac{(1+i)^{80}-(1+i)^{82}}{i^{96}}\to z=\dfrac{[(1+i)^{2}]^{40}-[(1+i)^2]^{41}}{(\cancel{i^{4}}^{\,1})^{24}}\to

z=(2i)40(2i)41124z=240i.2411=240i.241z=\dfrac{(2i)^{40}-(2i)^{41}}{1^{24}}\to z=\dfrac{2^{40}-i.2^{41}}{1}=\boxed{2^{40}-i.2^{41}}

0149

Calcular:

a) (3+2i)2(3+2i)^2

b) (5i)2(5-i)^2

c) (1+i)3(1+i)^3

0149 - Soluções

professorlopes

Calculando:

a) (3+2i)2=32+2.3.2i+(2i)2=9+12i4=5+12i(3+2i)^2=3^2+2.3.2i+(2i)^2=9+12i-4=\boxed{5+12i}

b) (5i)2=522.5.i1=2410i(5-i)^2=5^2-2.5.i-1=\boxed{24-10i}

c) (1+i)3=13+3.1.i+3.1.i2+i3=1+3i3i=2+2i(1+i)^3=1^3+3.1.i+3.1.i^2+i^3=1+3i-3-i=\boxed{-2+2i}

0148

Efetuar:

a) (23i)(1+5i)(2-3i)(1+5i)

b) (1+2i)(2+i)(1+2i)(2+i)

c) (43i)(5i)(1+i)(4-3i)(5-i)(1+i)

d) (7+2i)(72i)(7+2i)(7-2i)

0148 - Soluções

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Efetuando as operações indicadas:

a) (23i)(1+5i)=2.1+2.5i3i.1+3i.5i=2+10i3i+15=17+7i(2-3i)(1+5i)=2.1+2.5i-3i.1+3i.5i=2+10i-3i+15=\boxed{17+7i}

b) (1+2i)(2+i)=(1.2+1.i+2i.21)=1+5i(1+2i)(2+i)=(1.2+1.i+2i.2-1)=\boxed{1+5i}

c) (7+2i)(72i)=72(2i)2=49+4=53(7+2i)(7-2i)=7^2-(2i)^2=49+4=\boxed{53}

d) (43i)(5i)(1+i)=[4.5+4.(i)3i.5+(3i)(i)](1+i)=(1719i)(1+i)(4-3i)(5-i)(1+i)=[4.5+4.(-i)-3i.5+(-3i)(-i)](1+i)=(17-19i)(1+i)

0147

Efetuar:

a) (3+2i)+(25i)(3+2i)+(2-5i)

b) (1+i)+(1i)2i(1+i)+(1-i)-2i

c) (52i)(2+8i)(5-2i)-(2+8i)

d) (6+7i)(4+2i)+(110i)(6+7i)-(4+2i)+(1-10i)

0147 - Soluções

professorlopes

Efetuando as operações indicadas:

a) (3+2i)+(25i)=(3+2)+(25)i=53i(3+2i)+(2-5i)=(3+2)+(2-5)i=\boxed{5-3i}

b) (1+i)+(1i)2i=(1+1)+(11)i2i=22i(1+i)+(1-i)-2i=(1+1)+\cancel{(1-1)i}-2i=\boxed{2-2i}

c) (52i)(2+8i)=(52)+(2+8)i=3+6i(5-2i)-(2+8i)=(5-2)+(-2+8)i=\boxed{3+6i}

d) (6+7i)(4+2i)+(110i)=(64+1)+(7210)i=35i(6+7i)-(4+2i)+(1-10i)=(6-4+1)+(7-2-10)i=\boxed{3-5i}

0146

Efetuar as operações indicadas:

a) (6+7i)(1+i)(6+7i)(1+i)

b) (5+4i)(1i)+(2+i)i(5+4i)(1-i)+(2+i)i

c) (1+2i)2(3+4i)2(1+2i)^2-(3+4i)^2

0146 - Soluções

professorlopes

Efetuando as operações indicadas:

a) (6+7i)(1+i)=6+7i+6i7=1+13i(6+7i)(1+i)=6+7i+6i-7=\boxed{-1+13i}

b) (5+4i)(1i)+(2+i)i=5+4i5i4i2+2i+i2=5+4i5i+4+2i1=8+i(5+4i)(1-i)+(2+i)i=5+4i-5i-4i^2+2i+i^2=5+4i-5i+4+2i-1=\boxed{8+i}

c) (1+2i)2(3+4i)2=1+4i4(9+24i16)=3+4i+724i=420i(1+2i)^2-(3+4i)^2=1+4i-4-(9+24i-16)=-3+4i+7-24i=\boxed{4-20i}

0145

Efetue:

a)(7+i)+(34i)b)(132i)+(5+6i)c)(9i)(8i)d)(3+2i)(6+13i)e)(2+8)+(550)f)(8+18)(4+3i2)g)13i(147i)h)25+(10+11i)+15ii)(32+52i)+(53+113i)j)(1,6+3,2i)+(5,8+4,3i)k)(1+i)(32i)l)(72i)(35i)m)12i(19i)n)8i(9+4i)o)(14+i10)(14i10)p)(3+i15)(3i15)q)(6+7i)2r)(54i)2s)(2+3i)2+(23i)2t)(12i)2(12i)2u)[(1+i)2(1i)2]5\begin{array}{ll} a) (7+i)+(3-4i) & b) (13-2i)+(-5+6i) \\&\\ c) (9-i)-(8-i) & d) (3+2i)-(6+13i) \\&&\\ e) (-2+\sqrt{-8})+(5-\sqrt{-50}) & f) (8+\sqrt{-18})-(4+3i\sqrt{2}) \\&&\\ g) 13i-(14-7i) & h) 25+(-10+11i)+15i\\&&\\ i) -\left(\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{2}i\right)+\left(\dfrac{5}{3}+\dfrac{11}{3}i\right) & j) (1,6+3,2i)+(-5,8+4,3i)\\&&\\ k) (1+i)(3-2i) & l) (7-2i)(3-5i)\\&&\\ m) 12i(1-9i) & n) -8i(9+4i)\\&&\\ o) (\sqrt{14}+i\sqrt{10})(\sqrt{14}-i\sqrt{10}) & p) (\sqrt{3}+i\sqrt{15})(\sqrt{3}-i\sqrt{15})\\&&\\ q) (6+7i)^2 & r) (5-4i)^2\\&&\\ s) (2+3i)^2+(2-3i)^2 & t) (1-2i)^2-(1-2i)^2\\&&\\ u) [(1+i)^2-(1-i)^2]^5 \end{array}

0145 - Soluções

professorlopes

Efetuando, item a item:

a)(7+i)+(34i)=(7+3)+i(14)=103ib)(132i)+(5+6i)=(135)+i(2+6)=8+4ic)(9i)(8i)=(98)+i(1+1)=1d)(3+2i)(6+13i)=(36)+i(2+13)=3+15ie)(2+8)+(550)=(2+5)+i(2252)=33i2f)(8+18)(4+3i2)=(84)+(3i23i2)=4g)13i(147i)=14+(13i+7i)=14+20ih)25+(10+11i)+15i=(2510)+(11i+15i)=15+26ii)(32+52i)+(53+113i)=(32+53)+(52+113)i=16+76ij)(1,6+3,2i)+(5,8+4,3i)=4,2+7,5ik)(1+i)(32i)=1.31.2i+3i2i2=32i+3i+2=5+il)(72i)(35i)=7.37.5i2i.3+2.5i2=2135i6i10=1141im)12i(19i)=12i.112i.9i=12i108i2=108+12in)8i(9+4i)=72i32i2=3272io)(14+i10)(14i10)=(14)2(i15)2=1410i2=14+10=24p)(3+i15)(3i15)=(3)2(i15)2=3+15=18q)(6+7i)2=62+2.6.7i+(7i)2=36+84i49=13+84ir)(54i)2=522.5.4i+(4i)2=2540i16=940is)(2+3i)2+(23i)2=(5+12i)+(512i)=10t)(12i)2(1+2i)2=(34i)(3+4i)=8iu)[(1+i)2(1i)2]5=[2i(2i)]5=(4i)5=45×i5=210×i41.i=1024i\begin{array}{ll} a) & (7+i)+(3-4i)=(7+3)+i(1-4)=\boxed{10-3i}\\ &\\ b) & (13-2i)+(-5+6i)=(13-5)+i(-2+6)=\boxed{8+4i}\\ &\\ c) & (9-i)-(8-i)=(9-8)+i\cancel{(-1+1)}=\boxed{1}\\ &\\ d) & (3+2i)-(6+13i)=(3-6)+i(2+13)=\boxed{-3+15i}\\ &\\ e) & (-2+\sqrt{-8})+(5-\sqrt{-50})=(-2+5)+i(2\sqrt{2}-5\sqrt{2})=\boxed{3-3i\sqrt{2}}\\ &\\ f) & (8+\sqrt{-18})-(4+3i\sqrt{2})=(8-4)+\cancel{(3i\sqrt{2}-3i\sqrt{2})}=\boxed{4}\\ &\\ g) & 13i-(14-7i)=-14+(13i+7i)=\boxed{-14+20i}\\ &\\ h) & 25+(-10+11i)+15i=(25-10)+(11i+15i)=\boxed{15+26i}\\ &\\ i) & -\left(\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{2}i\right)+\left(\dfrac{5}{3}+\dfrac{11}{3}i\right)=\left( -\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{3} \right)+\left( -\dfrac{5}{2}+\dfrac{11}{3} \right)i=\boxed{\dfrac{1}{6}+\dfrac{7}{6}i}\\ &\\ j) & (1,6+3,2i)+(-5,8+4,3i)=\boxed{-4,2+7,5i}\\ &\\ k) & (1+i)(3-2i)=1.3-1.2i+3i-2i^2=3-2i+3i+2=\boxed{5+i}\\ &\\ l) & (7-2i)(3-5i)=7.3-7.5i-2i.3+2.5i^2=21-35i-6i-10=\boxed{11-41i}\\ &\\ m) & 12i(1-9i)=12i.1-12i.9i=12i-108i^2=\boxed{108+12i}\\ &\\ n) & -8i(9+4i)=-72i-32i^2=\boxed{32-72i}\\ &\\ o) & (\sqrt{14}+i\sqrt{10})(\sqrt{14}-i\sqrt{10})=(\sqrt{14})^2-(i\sqrt{15})^2=14-10i^2=14+10=\boxed{24}\\ &\\ p) & (\sqrt{3}+i\sqrt{15})(\sqrt{3}-i\sqrt{15})=(\sqrt{3})^2-(i\sqrt{15})^2=3+15=\boxed{18}\\ &\\ q) & (6+7i)^2=6^2+2.6.7i+(7i)^2=36+84i-49=\boxed{-13+84i}\\ &\\ r) & (5-4i)^2=5^2-2.5.4i+(4i)^2=25-40i-16=\boxed{9-40i}\\ &\\ s) & (2+3i)^2+(2-3i)^2=(-5+\cancel{12i})+(-5-\cancel{12i})=\boxed{-10}\\ &\\ t) & (1-2i)^2-(1+2i)^2=(-3-4i)-(-3+4i)=\boxed{-8i}\\ &\\ u) & [(1+i)^2-(1-i)^2]^5=[2i-(-2i)]^5=(4i)^5=4^5\times i^5=2^{10}\times \cancel{i^4}^{\,1}.i=\boxed{1024i} \end{array}

0144

Escreva os números complexos na sua forma algébrica:

a)8+25b)5+36c)27d)1+8e)80f)4g)14h)75i)10i+i2j)4i2+2ik)0,09l)0,0049\begin{array}{lclclcl} a) 8+\sqrt{-25} && b) 5+\sqrt{-36} && c) 2-\sqrt{-7} && d) 1+\sqrt{-8}\\\\ e) \sqrt{-80} && f) \sqrt{-4} && g) 14 && h) 75\\\\ i) -10i+i^2 && j) -4i^2+2i && k) \sqrt{-0,09} && l) \sqrt{-0,0049} \end{array}

0144 - Solução

professorlopes

Resolvendo, item a item:

a)8+25=8+5ib)5+36=5+6ic)27=2i7d)1+8=1+2i2e)80=4i5f)4=2ig)14=14h)75=75i)10i+i2=110ij)4i2+2i=4+2ik)0,09=3i10l)0,0049=0,07i\begin{array}{llll} a) & 8+\sqrt{-25}=\boxed{8+5i} & b) & 5+\sqrt{-36}=\boxed{5+6i} \\ & & & \\ c) & 2-\sqrt{-7}=\boxed{2-i\sqrt{7}} & d) & 1+\sqrt{-8}=\boxed{1+2i\sqrt{2}}\\ & & & \\ e) & \sqrt{-80}=\boxed{4i\sqrt{5}} & f) & \sqrt{-4}=\boxed{2i} \\ & & & \\ g) & 14=\boxed{14} & h) & 75=\boxed{75} \\ & & & \\ i) & -10i+i^2=\boxed{-1-10i} & j) & -4i^2+2i=\boxed{4+2i} \\ & & & \\ k) & \sqrt{-0,09}=\boxed{\dfrac{3i}{10}} & l) & \sqrt{-0,0049}=\boxed{0,07i} \end{array}

0143

Um outdoor medido 1,70m de altura por 4,30m de largura foi pintado de azul com margens brancas. A largura das margens superior e inferior é 40cm e a das margens laterais é 60cm, conforme a imagem ilustrativa abaixo.

Qual a área pintada de branco?

q0143

0143 - Solução

professorlopes

A área branca(AbA_{b}) será assim calculada:

Ab=(4,30m×1,70m)(3,10m×0,90m)A_{b}=(4,30\text{m}\times 1,70\text{m})-(3,10\text{m}\times 0,90\text{m})\to

Ab=7,31m22,79m2A_{b}=7,31\text{m}^2-2,79\text{m}^2\to

Ab=4,52m2\boxed{\boldsymbol{A_{b}=4,52\text{m}^2}}

0142

Encontre os valores "xx", "yy" e "zz"

se {(x4)(y4)=16(y6)(z6)=36(z8)(x8)=64\left\{\begin{array}{lcr}(x-4)(y-4)&=&16\\(y-6)(z-6)&=&36\\(z-8)(x-8)&=&64\end{array}\right.

0142 - Solução

professorlopes

Solução, por etapas:

(I) A partir da terceira linha, vamos isolar(o que der) em função de "y":

[z8]=[(z6)2][z-8]=[(z-6)-2]\to

[z8]=36(y6)2[z-8]=\dfrac{36}{(y-6)}-2\to

[z8]=362(y6)(y6)[z-8]=\dfrac{36-2(y-6)}{(y-6)}\to

[z8]=482yy6\boxed{[z-8]=\dfrac{48-2y}{y-6}}

e

[x8]=[(x4)4][x-8]=[(x-4)-4]\to

[x8]=16y44[x-8]=\dfrac{16}{y-4}-4\to

[x8]=164(y4)y4[x-8]=\dfrac{16-4(y-4)}{y-4}\to

[x8]=324yy4\boxed{[x-8]=\dfrac{32-4y}{y-4}}


(II) Aplicando os resultados obtidos à terceira linha, teremos:

482yy6324yy4=64\dfrac{48-2y}{y-6}\cdot\dfrac{32-4y}{y-4}=64

Para y6  y\neq 6\,\, e   y4\,\,y\neq 4, teremos:

2(24y)4(8y)=64(y6)(y4)2\cdot(24-y)\cdot 4\cdot(8-y)=64\cdot(y-6)\cdot(y-4)

8(y232y+192)=64(y210y+24)\cancel{8}\cdot(y^2-32y+192)=\cancel{64}\cdot(y^2-10y+24)\to

y232y+192=8y280y+192y^2-32y+\cancel{192}=8y^2-80y+\cancel{192}\to

7y248y=0y=0\boxed{7y^2-48y=0}\Rrightarrow \boxed{y=0}\checkmark\quad ou y=487\quad\boxed{y=\dfrac{48}{7}}\checkmark


(III) Aplicando os valores de "yy" encontrados, ambos válidos,

vamos obter os respectivos valores de "xx" e de "zz"; assim:

\RrightarrowPara y=0\boxed{y=0}

Aplicado-o à equação x8=324yy4x-8=\dfrac{32-4y}{y-4}

x8=324004x8=8x=0x-8=\dfrac{32-4\cdot 0}{0-4}\to x-8=-8\to\boxed{x=0}

Aplicando-o à equação z8=482yy6z-8=\dfrac{48-2y}{y-6}

z8=482006z8=8z=0z-8=\dfrac{48-2\cdot 0}{0-6}\to z-8=-8\to\boxed{z=0}

Aqui, a primeira terna final de solução: (0;0;0)\boldsymbol{(0;\,0;\,0)}\checkmark

\RrightarrowPara y=487\boxed{y=\dfrac{48}{7}}

Aplicado-o à equação x8=324yy4x-8=\dfrac{32-4y}{y-4}

x8=3244874874x8=327207x-8=\dfrac{32-4\cdot\frac{48}{7}}{\frac{48}{7}-4}\to x-8=\dfrac{\frac{32}{\cancel{7}}}{\frac{20}{\cancel{7}}}\to

x8=85x=485x-8=\dfrac{8}{5}\to\boxed{x=\dfrac{48}{5}}

Aplicando-o à equação z8=482yy6z-8=\dfrac{48-2y}{y-6}

z8=4824874876z8=240767z-8=\dfrac{48-2\cdot\frac{48}{7}}{\frac{48}{7}-6}\to z-8=\dfrac{\frac{240}{\cancel{7}}}{\frac{6}{\cancel{7}}}\to

z8=40z=48z-8=40\to\boxed{z=48}

Aqui, a segunda terna final de solução:(485;487;48)\boldsymbol{\left(\dfrac{48}{5};\,\dfrac{48}{7};\,48\right)}\checkmark

0141

Resolva a equação trigonométrica

cos(2x)=sen(π4x)  \cos\,(2x) = \text{sen}\,\left(\dfrac{\pi}{4} - x\right)\,\, para   x[π,π]\,\,x\in[-\pi,\pi]

0141 - Solução

professorlopes

Por etapas, teremos:

(I) Desenvolvendo ambos os lados e utilizando propriedades trigonométricas, teremos:

Lado Esquerdo:

cos(2x)=cos2xsen2x\cos\,(2x)=\cos^2x-\text{sen}^2\,x

cos(2x)=[cos(x)+sen(x)]×[cos(x)sen(x)]\cos\,(2x)=[\cos (x)+\text{sen}\,(x)]\times [\cos (x)-\text{sen}\,(x)]

Lado Direito:

sen(π4x)=sen(π4)×cos(x)sen(x)×cos(π4)\text{sen}\,\left(\dfrac{\pi}{4} - x\right)=\text{sen}\,\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\times\cos(x)-\text{sen}\,(x)\times\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\to

sen(π4x)=22×cos(x)sen(x)×22\text{sen}\,\left(\dfrac{\pi}{4} - x\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times\cos(x)-\text{sen}\,(x)\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}\to

sen(π4x)=22×[cos(x)sen(x)]\text{sen}\,\left(\dfrac{\pi}{4} - x\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times[\cos(x)-\text{sen}\,(x)]


(II) Igualando os lados, obteremos uma equação semelhante e mais simplificada:

[cos(x)+sen(x)]×[cos(x)sen(x)]=22×[cos(x)sen(x)][\cos (x)+\text{sen}\,(x)]\times [\cos (x)-\text{sen}\,(x)]=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times[\cos(x)-\text{sen}\,(x)]

Para cos(x)sen(x)\cos(x)\neq\text{sen}\,(x), faremos:

[cos(x)+sen(x)]×[cos(x)sen(x)]=22×[cos(x)sen(x)][\cos (x)+\text{sen}\,(x)]\times\cancel{[\cos (x)-\text{sen}\,(x)]}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times\cancel{[\cos(x)-\text{sen}\,(x)]}

Assim:

cos(x)+sen(x)=22\cos (x)+\text{sen}\,(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

Elevando ambos os lados ao quadrado:

[cos(x)+sen(x)]2=(22)2[\cos (x)+\text{sen}\,(x)]^2=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\to

cos2(x)+sen2(x)1+2sen(x)cos(x)=12\underbrace{\cos^2(x)+\text{sen}^2\,(x)}_{1}+2\cdot\text{sen}\,(x)\cdot\cos(x)=\dfrac{1}{2}\to

2sen(x)cos(x)=12\underbrace{2\cdot\text{sen}\,(x)\cdot\cos(x)}=-\dfrac{1}{2}\to

sen(2x)=12\boxed{\text{sen}\,(2x)=-\dfrac{1}{2}}


(III) Do ciclo trigonométrico, para x[π;π]\boxed{x\in[-\pi;\,\pi]}

2x=π6x=π122x=-\dfrac{\pi}{6}\to\boxed{x=-\dfrac{\pi}{12}}\checkmark\quad 1ª Solução Final

2x=5π6x=5π122x=-\dfrac{5\pi}{6}\to\boxed{x=-\dfrac{5\pi}{12}}\checkmark\quad 2ª Solução Final

0140

Dada a matriz A=[1111]A=\left[\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right] e a função ff, definida no conjunto das matrizes 2×22\times 2 por f(X)=X22Xf(X)=X^2-2X, obtenha f(A)f(A).

0140 - Solução

professorlopes

Por etapas, teremos:

1º) Fazendo X2=A2X^2=A^2 ou XX=AAX\cdot X=A\cdot A, assim:

AA=[1111]×[1111]A\cdot A=\left[\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right]\to

AA=[11+1111+1111+1111+11]A\cdot A=\left[\begin{array}{ccc}1\cdot 1+1\cdot 1&&1\cdot 1+1\cdot 1\\1\cdot 1+1\cdot 1&&1\cdot 1+1\cdot 1\end{array}\right]\to

AA=A2=[2222]A\cdot A=A^2=\left[\begin{array}{cc}2&2\\2&2\end{array}\right]

2º) Fazendo 2X=2A2X=2A, ou seja:

2×[1111]2A=[2222]2\times\left[\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right]\to 2A=\left[\begin{array}{cc}2&2\\2&2\end{array}\right]

3º) Obtendo f(A)=A22Af(A)=A^2-2A, ou seja:

f(A)=[2222][2222]f(A)=0f(A)=\left[\begin{array}{cc}2&2\\2&2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}2&2\\2&2\end{array}\right]\therefore \boxed{f(A)=0}\checkmark

0139

Sendo a f(4)=2f(4)=2 e f(4)=4a+bf(4)=4a+b, então 4a+b=24a+b=2. Considerando ainda

que f(3)=3a+bf(3)=3a+ b e f(5)=5a+bf(5)= 5a+b, obtenha a função da soma das funções.​

0139 - Solução

professorlopes

Reescrevendo f(3)=a+4a+b2f(3)=a+2f(3)=-a+\underbrace{4a+b}_{2}\to f(3)=-a+2

Reescrevendo f(5)=a+4a+b2f(5)=a+2f(5)=a+\underbrace{4a+b}_{2}\to f(5)=a+2

Escrevendo a função soma das funções, teremos:

f(3)+f(5)=a+2+a+2f(3)+f(5)=4f(3)+f(5)=-\cancel{a}+2+\cancel{a}+2\to \boxed{f(3)+f(5)=4}\checkmark

0138

Use a equação racional 4x+1x2+2x=3x+2\dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{x^{2}+2x} = \dfrac{3}{x+2} para responder às perguntas.

Parte 1: Uma vez que a equação não está mais na forma de uma equação racional, qual método pode ser usado para resolver a equação?

Parte 2: Qual é a solução para a equação racional?

Selecione uma resposta para a Parte 1 e selecione todas as respostas que se aplicam à Parte 2.

  • PARTE1
    • A: A equação resultante é uma equação quadrática, onde b = 0; pode ser resolvido isolando a variável e obtendo a raiz quadrada de cada lado.
    • B: A equação resultante é uma equação quadrática, que pode ser resolvida por fatoração.
    • C: A equação resultante é uma equação quadrática, que não pode ser resolvida por fatoração; pode ser resolvido pela fórmula quadrática.
    • D: A equação resultante é uma equação linear, que pode ser resolvida usando as operações inversas e as propriedades da igualdade.
  • PARTE2
    • A: 3
    • B: −3
    • C: −97
    • D: −9
    • E: 9
0138 - Soluções

professorlopes

4x+1x2+2x=3x+2\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{x^{2}+2x}=\dfrac{3}{x+2}\to

4(x+2)+1=3xx(x+2)\dfrac{4(x+2)+1=3x}{x(x+2)}\to

Para x0  x\neq 0\,\, e   x2\,\,x\neq-2 podemos eliminar o denominador; assim, vamos resolver a equação resultante, do tipo linear, apenas do numerador:

4(x+2)+1=3x4x3x=18x=94(x+2)+1=3x\to 4x-3x=-1-8\to\boxed{x=-9}\checkmark

Respondendo:

Na PARTE 1, a alternativa correta é a "D".

Na PARTE 2, a alternativa correta é a "D".

0137

Obtenha o gráfico da função exponencial f(x)=3xf(x)=3^x.

0137 - Solução

professorlopes

0136

Qual o valor da ordenada do ponto A(3;y)A(3;\,y) sabendo que todos os pontos estão alinhados , o ponto BB é o encontro dos eixos na origem e o ponto é C(3;3)C(3;\,3).

0136 - Solução

professorlopes

Questão meramente interpretativa, portanto, desnecessário qualquer cálculo, senão vejamos:

a) O ponto BB é a origem do sistema cartesiano, portanto, B(0;0)B(0;\,0)

b) Como os três pontos estão alinhados e C(3;3)C(3;\,3), a bissetriz dos quadrantes ímpar(y=xy=x) é a reta que contêm esses pontos;

c) Dessa forma o ponto AA pode ser unicamente A(3;3)A(3;\,3), portanto, y=3y=3.

0135

Em um mapa turístico do Brasil, de escala 1:180000001:18000000, a distância entre a cidade T e a cidade P mede 2cm. Obtenha a distância entre as duas cidades, em quilômetros.

0135 - Solução

professorlopes

De acordo com o texto, cada cm no mapa corresponde a 18.000.000 cm de distância real; logo, 2cm2cm correspondem a 36.000.000cm36.000.000cm de distância real. Agora, basta-nos converter esses cmcm para kmkm, ou seja:

36.000.000cm360.000m360km36.000.000cm\to 360.000m\to\boxed{360km}\checkmark

0134

Resolva, em R\mathbb{R}, a equação:

22324x312=0\left|\begin{array}{ccc}2 & 2 & 3\\2 & 4 & x\\3 & 1 & 2\end{array}\right|=0

0134 - Solução

professorlopes

22324x312=0\left|\begin{array}{ccc}2 & 2 & 3\\2 & 4 & x\\3 & 1 & 2\end{array}\right|=0\to

(2×4×2)+(2×1×3)+(3×x×2)(2\times 4\times 2)+(2\times 1\times 3)+(3\times x\times 2)

(3×4×3)(2×2×2)(2×1×x)=0-(3\times 4\times 3)-(2\times 2\times 2)-(2\times 1\times x)=0\to

16+6+6x3682x=04x22=0x=11216+6+6x-36-8-2x=0\to 4x-22=0\to\boxed{x=\dfrac{11}{2}}\checkmark

0133

Resolva, em R\mathbb{R}, a equação:

x35x+121324=0\left|\begin{array}{ccc}x & 3 & 5\\x+1 & 2 & 1\\3 & 2 & 4\end{array}\right|=0

0133 - Solução

professorlopes

x35x+121324=0\left|\begin{array}{ccc}x & 3 & 5\\x+1 & 2 & 1\\3 & 2 & 4\end{array}\right|=0\to

[x×2×4]+[(x+1)×2×5]+[3×1×3][x\times 2\times 4]+[(x+1)\times 2\times 5]+[3\times 1\times 3]

[5×2×3][3×(x+1)×4][x×2×1]=0-[5\times 2\times 3]-[3\times(x+1)\times 4]-[x\times 2\times 1]=0\to

8x+10x+10+93012x122x=08x+10x+10+9-30-12x-12-2x=0\to

4x23=0x=2344x-23=0\to\boxed{x=\dfrac{23}{4}}\checkmark

0132

Encontre os valores reais de aa e bb, que tornam verdadeiras, as seguintes afirmações:

a) a+bi=12+7ia+bi=-12+7i

b) a+bi=13+4ia+bi=13+4i

c) (a1)+(b+3)i=5+8i(a-1)+(b+3)i=5+8i

d) (a+6)+2bi=65i(a+6)+2bi=6-5i

0132 - Soluções

professorlopes

A fim de encontrar os valores reais de aa e bb, vamos igualar as partes reais com as partes reais e as partes imaginárias com as partes imaginárias:

a) a+bi=12+7ia=12a+bi=-12+7i\to\boxed{a=-12} e b=7\boxed{b=7}


b) a+bi=13+4ia=13a+bi=13+4i\to\boxed{a=13} e b=4\boxed{b=4}


c) (a1)+(b+3)i=5+8i(a-1)+(b+3)i=5+8i Veja que teremos um sistema com duas equações, o qual será resolvido:

{a1=5a=6b+3=8b=5\left\{\begin{array}{rcrcr} a & - & 1 & = & 5 \to\boxed{a=6}\\ b & + & 3 & = & 8 \to\boxed{b=5} \end{array}\right.


d) (a+6)+2bi=65i(a+6)+2bi=6-5i Idêntico ao item anterior, aqui também teremos um sistema com duas equações, o qual será resolvido:

{a+6=6a=02b=5b=52\left\{\begin{array}{rcrcrl} a & + & 6 & = & 6 &\to\boxed{a=0}\\ 2b & & & = & -5 &\to \boxed{b=-\dfrac{5}{2}} \end{array}\right.

0131

Resolva as equações quadráticas:

a) 3x22x+5=03x^2-2x+5=0

b) 8x2+14x+9=08x^2+14x+9=0

0131 - Soluções

professorlopes

Resolveremos cada equação utilizando a fórmula quadrática Bhaskara:

a) 3x22x+5=0Bhaskarax=(2)±(2)24×3×52×33x^2-2x+5=0\to \quad\underrightarrow{Bhaskara}\quad x=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\times 3\times 5}}{2\times 3}

x=2±4606x=2±566x=2±2i146x=2(1±i14)6x=\dfrac{2\pm\sqrt{4-60}}{6}\to x=\dfrac{2\pm\sqrt{-56}}{6}\to x=\dfrac{2\pm2i\sqrt{14}}{6} x=\dfrac{\cancel{2}(1\pm i\sqrt{14})}{\cancel{6}}

x=1±i143x1=13i143oux2=13+i143x=\dfrac{1\pm i\sqrt{14}}{3}\to\boxed{x_{1}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{i\sqrt{14}}{3}}\quad\text{ou}\quad\boxed{x_{2}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{i\sqrt{14}}{3}}


b) 8x2+14x+9=0Bhaskarax=14±1424×8×92×88x^2+14x+9=0\to \quad\underrightarrow{Bhaskara}\quad x=\dfrac{-14\pm \sqrt{14^2-4\times 8\times 9}}{2\times 8}

x=14±19628816x=14±9216x=14±2i2316x=2(7±i23)16x=\dfrac{-14\pm\sqrt{196-288}}{16}\to x=\dfrac{-14\pm\sqrt{-92}}{16}\to x=\dfrac{-14\pm2i\sqrt{23}}{16} x=\dfrac{\cancel{2}(-7\pm i\sqrt{23})}{\cancel{16}}

x=7±i238x1=78i238oux2=78+i238x=\dfrac{-7\pm i\sqrt{23}}{8}\to\boxed{x_{1}=-\dfrac{7}{8}-\dfrac{i\sqrt{23}}{8}}\quad\text{ou}\quad\boxed{x_{2}=-\dfrac{7}{8}+\dfrac{i\sqrt{23}}{8}}

0130

Efetue as seguintes operações:

a) (24i)(3+7i)(2-4i)(3+7i)

b) (45i)(45i)(4-5i)(-4-5i)

c) (35i)2(3-5i)^2

d) (7+2i)2(7+2i)^2

e) (35i)3(3-5i)^3

f) (7+2i)3(7+2i)^3

g) (211i)4(2-11i)^4

h) (1+3i)4(1+3i)^4

i) (1+i)2(1+i)^2

j) (1i)2(1-i)^2

0130 - Soluções

professorlopes

Resolvendo cada item:

a) (24i)(3+7i)=2.3+2.7i4i.34i.7i=6+14i12i+28=34+2i(2-4i)(3+7i)=2.3+2.7i-4i.3-4i.7i=6+14i-12i+28=\boxed{34+2i}


b) (45i)(45i)=(4+5i)(45i)=(16+25)=41(4-5i)(-4-5i)=-(4+5i)(4-5i)=-(16+25)=\boxed{41}


c) (35i)2=(35i)(35i)=915i15i25=1630i(3-5i)^2=(3-5i)(3-5i)=9-15i-15i-25=\boxed{-16-30i} ou 2(8+15i)\boxed{-2(8+15i)}


d) (7+2i)2=72+2.7.2i+(2i)2=49+28i4=45+28i(7+2i)^2=7^2+2.7.2i+(2i)^2=49+28i-4=\boxed{45+28i}


e) (35i)3=(35i)2.(35i)=(1630i)(35i)=(3-5i)^3=(3-5i)^2.(3-5i)=(-16-30i)(3-5i)=

16.316(5i)30i.330i(5i)=48+80i90i150=19810i-16.3-16(-5i)-30i.3-30i(-5i)=-48+80i-90i-150=\boxed{-198-10i} ou 2(99+5i)\boxed{-2(99+5i)}


f) (7+2i)3=73+3.72.2i+3.7.(2i)2+(2i)3=343+294i848i=259+286i(7+2i)^3=7^3+3.7^2.2i+3.7.(2i)^2+(2i)^3=343+294i-84-8i=\boxed{259+286i}


g) (2i)4=[(2i)2]2=(44i1)2=(34i)2=924i16=724i(2-i)^4=[(2-i)^2]^2=(4-4i-1)^2=(3-4i)^2=9-24i-16=\boxed{-7-24i}


h) (1+3i)4=(1+6i9)2=(8+6i)2=[2(43i)]2=4(1624i9)=4(724i)(1+3i)^4=(1+6i-9)^2=(-8+6i)^2=[-2(4-3i)]^2=4(16-24i-9)=\boxed{4(7-24i)}


i) (1+i)2=1+2i1=2i(1+i)^2=1+2i-1=\boxed{2i}


j) (1i)2=12i1=2i(1-i)^2=1-2i-1=\boxed{-2i}

0129

Efetue as seguintes operações:

a) (8+7i)+(45i)(8+7i)+(4-5i)

b) (34i)(5+7i)(3-4i)-(-5+7i)

c) 3i+(12i73)(7i73)-3i+(12i-\sqrt[3]{7})-(-\sqrt{7}-i\sqrt[3]{7})

d) (53i)(3+5i)+(8+13i)(5-3i)-(3+5i)+(8+13i)

0129 - Soluções

professorlopes

Resolvendo cada item:

a) (8+7i)+(45i)=8+7i+45i=12+2i(8+7i)+(4-5i)=8+7i+4-5i=\boxed{12+2i}

b) (34i)(5+7i)=34i+57i=811i(3-4i)-(-5+7i)=3-4i+5-7i=\boxed{8-11i}

c) 3i+(12i73)(7i73)=3i+12i73+7+i73=(773)+i(9+73)-3i+(12i-\sqrt[3]{7})-(-\sqrt{7}-i\sqrt[3]{7})=-3i+12i-\sqrt[3]{7}+\sqrt{7}+i\sqrt[3]{7}=\boxed{(\sqrt{7}-\sqrt[3]{7})+i(9+\sqrt[3]{7})}

d) (53i)(3+5i)+(8+13i)=53i35i+8+13i=10+5i  ou  5(2+i)(5-3i)-(3+5i)+(8+13i)=5-3i-3-5i+8+13i=\boxed{10+5i}\,\,\text{ou}\,\,\boxed{5(2+i)}

0128

Para cada número complexo zz, responda as seguintes questões:

  • Escreva zz na forma algébrica;
  • Determine kRk\in\mathbb{R} para que tenhamos (Re)0(Re)\geq 0;
  • Determine kRk\in\mathbb{R} para que tenhamos (Re)<0(Re)<0;
  • Determine kRk\in\mathbb{R} para que zz seja imaginário puro;
  • Determine kRk\in\mathbb{R} para que zz seja real.

a) z=(k3,3k)z=(k-3,\,3-k)

b) z=(4k,3k2)z=(4-k,\,3k-2)

c) z=(k2k+1,k1)z=(k^2-k+1,\,k-1)

d) z=(k3729,3k81)z=(k^{3}-729,\,3k-81)

e) z=(k4,k3)z=(k^{4},\,k^{3})

0128 - Soluções

professorlopes

Resolvendo cada item:

a) Para z=(k3,3k)z=(k-3,\,3-k):

zz, na forma algébrica: z=(k3)+(3k)i\boxed{z=(k-3)+(3-k)i}

kRk\in\mathbb{R} e (Re)0(Re)\geq 0: k30k3k-3\geq 0\to \boxed{k\geq 3}

kRk\in\mathbb{R} e (Re)<0(Re)<0: k3<0k<3k-3<0\to \boxed{k<3}

kRk\in\mathbb{R} e zz imaginário puro; para isso devemos ter: Re(z)=0Re(z)=0, isto é: k3=0k=3k-3=0\to \boxed{k=3}

kRk\in\mathbb{R} e zz real; para isso devemos ter: Im(z)=0Im(z)=0, isto é: 3k=0k=33-k=0\to\boxed{k=3}

Neste caso, quando k=3k=3, tanto a parte real quanto a parte imaginária serão, ambas, iguais a zero, o que resultará o número complexo z=0z=0 que é, como sabemos,um número real.


b) Para z=(4k,3k2)z=(4-k,\,3k-2):

zz, na forma algébrica: z=(4k)+(3k2)i\boxed{z=(4-k)+(3k-2)i}

kRk\in\mathbb{R} e (Re)0(Re)\geq 0: 4k0k44-k\geq 0\to \boxed{k\leq4}

kRk\in\mathbb{R} e (Re)<0(Re)<0: 4k<0k>44-k<0\to \boxed{k>4}

kRk\in\mathbb{R} e zz imaginário puro; para isso devemos ter: Re(z)=0Re(z)=0, isto é: 4k=0k=44-k=0\to \boxed{k=4}

kRk\in\mathbb{R} e zz real; para isso devemos ter: Im(z)=0Im(z)=0, isto é: 3k2=0k=233k-2=0\to \boxed{k=\dfrac{2}{3}}


c) Para z=(k2k+1,k1)z=(k^2-k+1,\,k-1): zz, na forma algébrica: z=(k2k+1)+(k1)i\boxed{z=(k^2-k+1)+(k-1)i}

kRk\in\mathbb{R} e (Re)0(Re)\geq 0: k2k+10k^2-k+1\geq 0

Primeiramente, vamos resolver, por Bhaskara a equação:k2k+1=0k^2-k+1=0\to

x=(1)±(1)24×1×12×1x=1±32,x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\times 1\times 1}}{2\times 1}\to x=\dfrac{1\pm \sqrt{-3}}{2}, que, por ter Δ<0\Delta <0, sua parábola, com a concavidade para cima não terá raízes reais em kk e portanto, quaisquer que sejam esses valores de kk reais, a parte real de zz será positiva.

kRk\in\mathbb{R} e (Re)<0(Re)<0: k2k+1<0k^2-k+1<0\to Utilizando a resolução anterior, teremos que a parte real de zz nunca será negativa.

kRk\in\mathbb{R} e zz imaginário puro; para isso devemos ter: Re(z)=0Re(z)=0, isto é: k2k+1=0k^2-k+1=0. Isto nunca ocorrerá, pois, como já vimos anteriormente, a equação em questão não possui raízes reais.

kRk\in\mathbb{R} e zz real; para isso devemos ter: Im(z)=0Im(z)=0, isto é: k1=0k=1k-1=0\to \boxed{k=1}


d) Para z=(k3729,3k81)z=(k^{3}-729,\,3k-81):

zz na forma algébrica: z=(k3729)+(3k81)i\boxed{z=(k^{3}-729)+(3k-81)i}

kRk\in\mathbb{R} e (Re)0(Re)\geq 0: k37290k^{3}-729\geq 0\to Primeiramente, devemos observar que f(k)=k3729f(k)=k^{3}-729 é uma equação cúbica e que possui raiz única para k3729=0k=9k^{3}-729=0\to \boxed{k=9}\Assim, para quaisquer valores reais de kk, maiores, ou iguais a 9, a parte real de zz será positiva ou igual a zero.

kRk\in\mathbb{R} e (Re)<0(Re)<0: Aproveitando a resolução anterior, teremos que a parte real de zz será, explicitamente negativa, para valores reais de kk, menores que 9.

kRk\in\mathbb{R} e zz imaginário puro: k3729=0k=9k^{3}-729=0\to \boxed{k=9}

kRk\in\mathbb{R} e zz real; para isso devemos ter a parte imaginária de zz, igual a zero, isto é:\3k81=0k=273k-81=0\to \boxed{k=27}


e) Para z=(k4,k3)z=(k^{4},\,k^{3}):

zz na forma algébrica: z=k4+ik3\boxed{z=k^{4}+ik^{3}}

kRk\in\mathbb{R} e (Re)0(Re)\geq 0: k40kRk^{4}\geq 0\to \forall\,k\in\mathbb{R}

kRk\in\mathbb{R} e (Re)<0(Re)<0: Não há valores reais de kk.

kRk\in\mathbb{R} e zz imaginário puro: k4=0k=0k^{4}=0\to \boxed{k=0} entretanto, sendo k=0k=0, a parte imaginária também fica zerada. Portanto, não há valores reais de kk.

kRk\in\mathbb{R} e zz seja real; para isso devemos ter a parte imaginária de zz, igual a zero, isto é: k3=0k=0k^{3}=0\to \boxed{k=0}

Neste caso, quando k=0k=0, tanto a parte real quanto a parte imaginária serão, ambas, iguais a zero, o que resultará o número complexo z=0z=0 que é, como sabemos,um número real.

0127

Resolva as seguintes equações:

a) x2+12=0x^{2}+12=0

b) x28x+41=0x^{2}-8x+41=0

c) 2x(x2)=32x(x-2)=-3

d) (x2)(x+2)=20(x-2)(x+2)=-20

e) x45x2+6=0x^{4}-5x^{2}+6=0

f) 2x43=x22x^{4}-3=x^{2}

g) x42x3+4x28x=0x^{4}-2x^{3}+4x^{2}-8x=0

h) x2+2xi=0\dfrac{x^{2}+2}{x-i}=0

0127 - Soluções

professorlopes

Importante observar que, quaisquer que sejam as equações a serem resolvidos, os métodos serão exatamente os mesmos até agora utilizados, com o cuidado de calcularmos as soluções imaginárias, quando houver, uma vez que, não sendo citado o conjunto universo, devemos adotar o maior conjunto numérico conhecido, isto é U=C\mathbb{U}=\mathbb{C}. Assim, vamos resolver item a item:

a) x2+12=0x2=12x2=1×22×3x^{2}+12=0\to x^{2}=-12\to x^{2}=-1\times 2^{2}\times 3\to

x=±(1i22233)x=2i3x=\pm (\underbrace{\sqrt{-1}}_{i}\cdot\underbrace{\sqrt{2^{2}}}_{2}\cdot\underbrace{\sqrt3{}}_{\sqrt{3}})\to\boxed{x=-2i\sqrt{3}} ou x=2i3\boxed{x=2i\sqrt{3}}


b) x28x+41=0Bhaskarax=(8)±(8)24×1×412×1x^{2}-8x+41=0\quad\underrightarrow{Bhaskara}\quad x=\dfrac{-(8)\pm\sqrt{(-8)^{2}-4\times 1\times 41}}{2\times 1}\to

x=8±641642x=8±1002x=8±10i2x1=810i2x1=2(45i)2x1=45ix=\dfrac{8\pm\sqrt{64-164}}{2}\to x=\dfrac{8\pm\sqrt{-100}}{2}\to x=\dfrac{8\pm 10i}{2}\\x_{1}=\dfrac{8-10i}{2}\to x_{1}=\dfrac{\cancel{2}(4-5i)}{\cancel{2}}\to\boxed{x_{1}=4-5i}

x2=8+10i2x2=2(4+5i)2x2=4+5ix_{2}=\dfrac{8+10i}{2}\to x_{2}=\dfrac{\cancel{2}(4+5i)}{\cancel{2}}\to\boxed{x_{2}=4+5i}


c) 2x(x2)=32x24x+3=0Bhaskarax=(4)±(4)24×2×32×22x(x-2)=-3\to 2x^{2}-4x+3=0\quad\underrightarrow{Bhaskara}\quad x=\dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4\times 2\times 3}}{2\times 2}\to

x=4±16244x=4±84x=4±2i24x=\dfrac{4\pm \sqrt{16-24}}{4}\to x=\dfrac{4\pm\sqrt{-8}}{4}\to x=\dfrac{4\pm2i\sqrt{2}}{4}

x1=42i24x1=2(2i2)42x1=2i22  ou  x1=1i22x_{1}=\dfrac{4-2i\sqrt{2}}{4}\to x_{1}=\dfrac{\cancel{2}(2-i\sqrt{2})}{\cancel{4}^{\,2}}\to\boxed{x_{1}=\dfrac{2-i\sqrt{2}}{2}}\,\,\text{ou}\,\,\boxed{x_{1}=1-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}}

x2=4+2i24x2=2(2+i2)42x1=2+i22  ou  x1=1+i22x_{2}=\dfrac{4+2i\sqrt{2}}{4}\to x_{2}=\dfrac{\cancel{2}(2+i\sqrt{2})}{\cancel{4}^{\,2}}\to\boxed{x_{1}=\dfrac{2+i\sqrt{2}}{2}}\,\,\text{ou}\,\,\boxed{x_{1}=1+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}}


d) (x2)(x+2)x24=20x24=20x2=16x=4i\underbrace{(x-2)(x+2)}_{x^{2}-4}=-20\to x^{2}-4=-20\to x^{2}=-16\to \boxed{x=-4i} ou x=4i\boxed{x=4i}


e) x45x2+6=0x^{4}-5x^{2}+6=0 Utilizando as incógnitas auxiliares x4=k2\boxed{x^{4}=k^{2}} e x2=k\boxed{x^{2}=k}:

k25k+6=0Bhaskarak=(5)±(5)24×1×62×1k^{2}-5k+6=0\quad\underrightarrow{Bhaskara}\quad k=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\times 1\times 6}}{2\times 1}\to

k=5±25242k=5±12k=2k=\dfrac{5\pm\sqrt{25-24}}{2}\to k=\dfrac{5\pm 1}{2}\to\boxed{k=2} ou k=3\boxed{k=3}

Agora, devemos retornar às incógnitas principais:

Para k=2\boxed{k=2} x2=2x=2x^{2}=2\to\boxed{x=-\sqrt{2}} ou x=2\boxed{x=\sqrt{2}}

Para k=3\boxed{k=3} x2=3x=3x^{2}=3\to \boxed{x=-\sqrt{3}} ou x=3\boxed{x=\sqrt{3}}


f) 2x43=x22x4x23=02x^{4}-3=x^{2}\to 2x^{4}-x^{2}-3=0 Utilizando as incógnitas auxiliares x4=k2\boxed{x^{4}=k^{2}} e x2=k\boxed{x^{2}=k}:

2k2k3=0Bhaskarak=(1)±(1)24×2×(3)2×22k^{2}-k-3=0\quad\underrightarrow{Bhaskara}\quad k=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\times 2\times (-3)}}{2\times 2}\to

k=1±1+244k=1±54k=1k=\dfrac{1\pm\sqrt{1+24}}{4}\to k=\dfrac{1\pm 5}{4}\to\boxed{k=-1} ou k=32\boxed{k=\dfrac{3}{2}}

Agora, devemos retornar às incógnitas principais:

Para k=1\boxed{k=-1} x2=1x=ix^{2}=-1\to\boxed{x=-i} ou x=i\boxed{x=i}

Para k=32\boxed{k=\dfrac{3}{2}} x2=32x=62x^{2}=\dfrac{3}{2}\to\boxed{x=-\dfrac{\sqrt{6}}{2}} ou x=62\boxed{x=\dfrac{\sqrt{6}}{2}}


g) x42x3+4x28x=0(x4+4x2)+(2x38x)=0x^{4}-2x^{3}+4x^{2}-8x=0\to (x^{4}+4x^{2})+(-2x^{3}-8x)=0\to

x2(x2+4)2x(x2+4)=0(x2+4)(x22x)=0x(x2)(x2+4)=0x^{2}(x^{2}+4)-2x(x^{2}+4)=0\to (x^{2}+4)\cdot (x^{2}-2x)=0\to x\cdot(x-2)\cdot(x^{2}+4)=0

Daí: x=0\boxed{x=0} ou x2=0x=2x-2=0\to \boxed{x=2} ou x2+4=0x=2ix^{2}+4=0\to\boxed{x=-2i} ou x=2i\boxed{x=2i}


h) x2+2xi=0\dfrac{x^{2}+2}{x-i}=0 Algumas considerações:

1)Impondo a condição de existência no denominador: xi0xix-i\neq 0\to\boxed{x\neq i}

2)Para zerar a fração, basta que o numerador seja igual a zero, assim:

x2+2=0x=i2x^{2}+2=0\to \boxed{x=-i\sqrt{2}} ou x=i2\boxed{x=i\sqrt{2}}

0126

Calcule o valor de k,kRk,\,k\in\mathbb{R}, em cada item abaixo, para que:

a) z=(4k)+(k216)iz=(4-k)+(k^{2}-16)i seja real;

b) z=(2k354)+(k3)iz=(2k^{3}-54)+(k-3)i seja imaginário puro;

c) z=(k24)+(82k2)iz=(k^{2}-4)+(8-2k^{2})i seja imaginário puro;

d) z=(3k18)6iz=(3k-18)-6i seja real;

e) z=(3k18)(2k12)iz=(3k-18)-(2k-12)i seja real.

0126 - Soluções

professorlopes

Resolvendo, item a item:

a) Para que z=(4k)+(k216)iz=(4-k)+(k^{2}-16)i seja real, a parte imaginária deve ser zero, isto é, k216=0k2=16k=4k^{2}-16=0\to k^{2}=16\to k=-4 ou k=4k=4. Entretanto, se tomarmos k=4k=4, anularemos também a parte real. Portanto, o único possível será k=4k=-4.

b) Para que z=(2k354)+(k3)iz=(2k^{3}-54)+(k-3)i seja imaginário puro, a parte real deve ser zero, isto é, 2k354=02k3=54k3=27k=32k^{3}-54=0\to 2k^{3}=54\to k^{3}=27\to k=3. Entretanto, se tomarmos k=3k=3, anularemos também a parte imaginária. Portanto, não há valor real de kk que satisfaça o enunciado.

c) Para que z=(k24)+(82k2)iz=(k^{2}-4)+(8-2k^{2})i seja imaginário puro, a parte real deve ser zero, isto é, k24=0k2=4k=2k^{2}-4=0\to k^{2}=4\to k=-2 ou k=2k=2. Entretanto, se tomarmos qualquer dos valores encontrados para kk, anularemos também a parte imaginária. Portanto, não há valor real de kk que satisfaça o enunciado.

d) Para que z=(3k18)6iz=(3k-18)-6i seja real, a parte imaginária deveria ser igual a zero, entretanto, como a parte imaginária independe do valor de kk, é impossível zerá-la e, portanto, não há valor real de kk que satisfaça o enunciado.

e) Para que z=(3k18)(2k12)iz=(3k-18)-(2k-12)i seja real, a parte imaginária deve ser igual a zero, isto é, (2k12)=02k+12=02k=12(1)2k=12k=6-(2k-12)=0\to -2k+12=0\to -2k=-12(-1)\to 2k=12\to k=6. Este valor é válido como solução única desse item. O que poderia causar alguma dúvida, seria o fato de, ao substituirmos k=6k=6, na parte real, ela também seria nula, mas, lembremos que z=0z=0 é o mesmo que z=(0,0)z=(0,\,0) e, portanto, real. Agora, se a questão fosse para que "seja imaginário puro", aí sim, não teríamos valor de kk real que satisfizesse o enunciado.