Página07¶
0175¶
Obtenha o conjugado de \(\dfrac{1+3i}{2-i}\)
0175 - Solução
Obtendo:
\(z=\dfrac{1+3i}{2-i}\times \dfrac{2+i}{2+i}\to\ldots\to z=-\dfrac{1}{5}+\dfrac{7}{5}i\Rightarrow \boxed{\overline{z}=-\dfrac{1}{5}-\dfrac{7}{5}i}\)
0174¶
Determinar o conjugado de \(\dfrac{1+i}{i}\)
0174 - Solução
Obtendo:
\(z=\dfrac{1+i}{i}\times \dfrac{-i}{-i}\to\ldots\to z=1-i\Rightarrow \boxed{\overline{z}=1+i}\)
0173¶
Calcule o conjugado do inverso do número complexo \(z=\left( \dfrac{1+i}{1-i} \right)^{-1}\)
0173 - Solução
Calculando:
Se \(z=\left( \dfrac{1+i}{1-i} \right)^{-1}\), então \(z=\dfrac{1-i}{1+i}\);
Se \(z=\dfrac{1-i}{1+i}\), então seu inverso será \(\dfrac{1}{z}=\dfrac{1+i}{1-i}\);
Sendo \(\dfrac{1}{z}=\dfrac{1+i}{1-i}\times\dfrac{1+i}{1+i}\to\ldots\to \dfrac{1}{z}=i\) e seu conjugado será \(-i\).
0172¶
Sejam \(u\) e \(v\) dois números complexos tais que \(u^2-v^2=6\) e \(\overline{u}+\overline{v}=1-i\), onde \(\overline{u}\) e \(\overline{v}\) são os conjugados de \(u\) e \(v\). Calcule \(u-v\).
0172 - Solução
Sendo \(u\in\mathbb{C}\) e \(v\in\mathbb{C}\), \(u^2-v^2=6\) e \(\overline{u}+\overline{v}=1-i\) e
adotando \(u=a+bi,\,\,a,\,b\in\mathbb{R}\) e \(v=c+di,\,\,c,\,d\in\mathbb{R}\), teremos:
\(\left\{ \begin{array}{rcrcl} u & + & v & = & (a+c)+(b+d)i \\ \overline{u} & + & \overline{v} & = & \overline{u+v}=(a+c)-(b+d)i \end{array}\right.\),
então:
\(\left\{\begin{array}{rcrcr} a & + & c & = & 1\\ b & + & d & = & 1 \end{array}\right.\)
\(\begin{array}{lcll} u-v & = & (u-v).\dfrac{u+v}{u+v}=\dfrac{u^2-v^2}{u+v}=\dfrac{6}{u+v} & =\\ & & & \\ & = & \dfrac{6}{u+v}\times \dfrac{\overline{u+v}}{\overline{u+v}} =\dfrac{6(1-i)}{(1+i)(1-i)}\ldots & \to\boxed{u-v=3-3i} \end{array}\)
0171¶
Dados os números complexos \(u=1+i\) e \(v=1-i\), calcule \(u^{52}\times v^{-51}\).
0171 - Solução
Vamos calcular separadamente \(u^{52}\) e \(v^{-51}\); depois, efetuaremos o produto pedido:
\(u^{52}=(1+i)^{52}=[(1+i)^2]^{26}=(2i)^{26}=2^{26}.(i^4)^6.\cancel{i^2}^{\,-1}\to \boxed{u^{52}=-2^{26}}\)
\(v^{-51}=(1-i)^{-51}=\dfrac{1^{51}}{[(1-i)^2]^{25}.i}=\dfrac{1}{(-2i)^{25}.i}=-\dfrac{1}{2^{25}.i^{26}}\to\)
\(v^{-51}=-\dfrac{1}{2^{25}.(i^2)^{13}}\to \boxed{v^{-51}=2^{-25}}\)
\(u^{52}\times v^{-51}=-2^{26}\times 2^{-25}=\boxed{-2}\)
0170¶
Variando o inteiro \(n\), quais os possíveis valores que o número complexo \(\left( \dfrac{1+i}{1-i}\right)^n\) pode assumir?
0170 - Solução
Primeiramente, vamos operar a fração (executando a divisão); depois, vamos observar os valores obtidos, quando alterarmos o expoente inteiro \(n\):
\(\dfrac{1+i}{1-i}\times \dfrac{1+i}{1+i}=\dfrac{2i}{2}=i\), ou seja teremos \(i^n\).
Portanto, \(\left( \dfrac{1+i}{1-i}\right)^n=i^n\), pode assumir os valores \(i\), \(-i\), \(1\) e \(-1\).
0169¶
Dê as condições necessárias e suficientes para que \(\quad\dfrac{a+bi}{c+di}\quad\) (com \(c+di\neq0\)) seja:
a) imaginário puro;
b) real.
0169 - Solução
Primeiramente, vamos efetuar a divisão \(\dfrac{a+bi}{c+di}\); depois, vamos obter as condições:
\(\dfrac{a+bi}{c+di}\times \dfrac{c-di}{c-di}=\dfrac{ac-adi+bci+bd}{c^2+d^2}=\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}-\dfrac{ad-bc}{c^2+d^2}i\) com \(c^2+d^2\neq 0\).
a) Para ser imaginário puro, zeramos a parte real, ou seja: \(ac+bd=0\to \boxed{ac=-bd}\)
b) Para ser real, zeramos a parte imaginária, ou seja: \(ad-bc=0\to \boxed{ad=bc}\)
0168¶
Se \(u=x+iy\) e \(v=\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), calcule o valor da parte real do número complexo \(v.\overline{u}\).
0168 - Solução
Calculando, teremos:
\(v.\overline{u}=\left(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\times (x-iy)=\left( \dfrac{x}{2}-y\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)-\left( \dfrac{y}{2}+x\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)i\)
Então: \(Re(z)=\left( \dfrac{x}{2}-y\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
0167¶
Seja \(z=x+iy\) e \(x^2+y^2\neq 0\) (\(i^2=-1,\,\,x\,\,\text{e}\,\,y\,\,\text{reais}\)). Qual é a condição para que \(z+\dfrac{1}{z}\) seja real.
0167 - Solução
Sendo \(z=x+iy\) e \(x^2+y^2\neq 0\):
\(u=z+\dfrac{1}{z}=\dfrac{z^2+1}{z}=\dfrac{(z^2+1)\overline{z}}{z.\overline{z}}=\dfrac{(x^2+y^2+1).x}{x^2+y^2}+\dfrac{(x^2+y^2-1).y}{x^2+y^2}.i\)
\(Im(u)=0\to \boxed{y=0}\) ou \(\boxed{x^2+y^2=1}\)
0166¶
Se \(z_{1}\) e \(z_{2}\) são números complexos, \(z_{1}+z_{2}\) e \(z_{1}.z_{2}\) são ambos reais, o que se pode afirmar sobre \(z_{1}\) e \(z_{2}\)?
0166 - Solução
Sendo \(z_{1}\in\mathbb{C}\), \(z_{2}\in\mathbb{C}\), \(z_{1}+z_{2}\) e \(z_{1}.z_{2}\), ambos reais:
Adotando \(z_{1}=a+bi\) e \(z_{2}=c+di\), teremos:\
\(\left\{ \begin{array}{rcrcl} u & = & z_{1}+z_{2} & = & (a+c)+(b+d)i \\ v & = & z_{1}.z_{2} & = & (ac-bd)+(ad+bc)i \end{array}\right.\)
Como \(z_{1}+z_{2}\) é real, devemos ter: \(Im(u)=0\to b=-d\)
Como \(z_{1}.z_{2}\) é real, devemos ter: \(Im(v)=0\to ad=-bc\)
e, resolvendo o sistema, teremos, analisando a primeira linha do sistema:
\(z_{1}+z_{2}=a+c\) sem a parte imaginária, por duas situações:
a) \(b=d=0\to z_{1}+z_{2}=a+c\) com \(a\in\mathbb{R}\) e \(c\in\mathbb{R}\), portanto, \(z_{1}\) e \(z_{2}\) são reais;
b) \(b=-d\) com \(b\in\mathbb{R^{*}}\), \(d\in\mathbb{R^{*}}\) e \(a=c\), portanto, \(z_{1}\) e \(z_{2}\) são conjugados, isto é, \(z_{1}=\overline{z}_{2}\).
0165¶
Determine \(x\,(x\in\mathbb{R})\) de modo que o número \(z=\dfrac{2-xi}{1+2xi}\) seja imaginário puro.
0165 - Solução
Determinando \(x\,(x\in\mathbb{R})\) de modo que o número \(z=\dfrac{2-xi}{1+2xi}\) seja imaginário puro:
\(z=\dfrac{2-xi}{1+2xi}\times \dfrac{1-2xi}{1-2xi}=\dfrac{2-2x^2}{1+4x^2}-\dfrac{5x}{1+4x^2}.i\)
\(Re(z)=0\to \boxed{x=1}\) ou \(\boxed{x=-1}\)
0164¶
Determine \(a\,(a\in\mathbb{R})\) de modo que o número \(z=\dfrac{1+2i}{2+ai}\) seja real.
0164 - Solução
: Determinando \(a\,(a\in\mathbb{R})\) de modo que o número \(z=\dfrac{1+2i}{2+ai}\) seja real:
\(z=\dfrac{1+2i}{2+ai}\times \dfrac{2-ai}{2-ai}=\dfrac{2+2a}{4+a^2}+\dfrac{4-a}{4+a^2}.i\)
\(Im(z)=0\to \boxed{a=4}\)
0163¶
Determine o número complexo cujo produto por \(5+8i\) é real e cujo quociente por \(1+i\) é imaginário puro.
0163 - Solução
Determinando o número complexo cujo produto por \(5+8i\) é real e cujo quociente por \(1+i\) é imaginário puro:
\(\left. \begin{array}{lcl} z & = & 5+8i\,\,\text{e}\,\,z'=1+i\\ z_{1} & = & x+yi\\ \end{array}\right.\)
I) \(u=z.z_{1}=(5x-8y)+(8x+5y)i\)
\(Im(u)=0\to x=-\dfrac{5}{8}y\)
II) \(v=\dfrac{z_{1}}{z'}=\dfrac{x+yi}{1+i}\times \dfrac{1-i}{1-i}=\ldots=\dfrac{x+y}{2}+\dfrac{-x+y}{2}i\)
\(Re(v)=0\to x=-y\) e \(Im(v)\neq 0\to x\neq y\)
De (I) e (II) teremos: \(x=y=0\), o que é impossível.
0162¶
Coloque na forma \(a+bi\) os seguintes números complexos:
\(\begin{array}{llllllll} a) & \dfrac{1}{i} & c) & \dfrac{3+4i}{2-i} & e) & \dfrac{i^{11}+2.i^{13}}{i^{18}-i^{37}} & g) & \dfrac{i^3-i^2+i^{17}-i^{35}}{i^{16}-i^{13}+i^{30}}\\ & & & & & & &\\ b) & \dfrac{1}{1+i} & d) & \dfrac{1+i}{1-i} & f) & \dfrac{1-3i}{3-i} & h) & \dfrac{1+i}{(1-i)^2} \end{array}\)
0162 - Solução
Colocando na forma \(a+bi\), teremos:
a) \(\dfrac{1}{i}\times \dfrac{-i}{-i}=\dfrac{-i}{+1}=\boxed{-i}\)
b) \(\dfrac{1}{1+i}\times \dfrac{1-i}{1-i}=\dfrac{1-i}{2}=\boxed{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i}\)
c) \(\dfrac{3+4i}{2-i}\times \dfrac{2+i}{2+i}=\dfrac{6+3i+8i-4}{4+1}=\boxed{\dfrac{2}{5}+\dfrac{11}{5}i}\)
d) \(\dfrac{1+i}{1-i}\times \dfrac{1+i}{1+i}=\dfrac{1+i+i-1}{1+1}=\boxed{i}\)
e) \(\dfrac{i^{11}+2.i^{13}}{i^{18}-i^{37}}=\dfrac{(i^4)^2.i^3+2(i^4)^3.i}{(i^4)^4.i^2-(i^4)^9.i}=\dfrac{-i}{1+i}\times \dfrac{1-i}{1-i}=\ldots=\boxed{-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i}\)
f) \(\dfrac{1-3i}{3-i}\times \dfrac{3+i}{3+1}=\dfrac{3+i-9i+3}{9+1}=\ldots=\boxed{\dfrac{3}{5}-\dfrac{4}{5}i}\)
g) \(\dfrac{i^3-i^2+i^{17}-i^{35}}{i^{16}-i^{13}+i^{30}}=\ldots=\dfrac{1+i}{-i}\times \dfrac{i}{i}=\ldots=\boxed{-1+i}\)
h) \(\dfrac{1+i}{(1-i)^2}=\ldots=\dfrac{1+i}{-2i}\times \dfrac{2i}{2i}=\ldots=\boxed{-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i}\)
0161¶
Coloque na forma algébrica os seguintes números:
a) \(\dfrac{2}{i}\quad\) b) \(\dfrac{3}{2+i}\quad\) c) \(\dfrac{1+2i}{3-i}\quad\) d) \(\dfrac{i^9}{4-3i}\)
0161 - Soluções
Resolvendo:
a) \(\dfrac{2}{i}\times \dfrac{-i}{-i}=\dfrac{-2i}{-i^2}=\boxed{2i}\)
b) \(\dfrac{3}{2+i}\times \dfrac{2-i}{2-i}=\dfrac{6-3i}{4-i^2}=\boxed{\dfrac{6}{5}-\dfrac{3}{5}i}\)
c) \(\dfrac{1+2i}{3-i}\times \dfrac{3+i}{3+i}=\dfrac{1+7i}{9-i^2}=\boxed{\dfrac{1}{10}+\dfrac{7}{10}i}\)
d) \(\dfrac{i^9}{4-3i}\times \dfrac{4+3i}{4+3i}=\dfrac{4i-3}{16-9i^2}=\boxed{-\dfrac{3}{25}+\dfrac{4}{25}i}\)
0160¶
Qual a condição para que o número \((a+bi)^4\), com \(a\in\mathbb{R}\) e \(b\in\mathbb{R}\), seja estritamente negativo?
0160 - Solução
Resolvendo:
\(z=(a+bi)^4=(a^4+b^4-6a^2b^2)+4ab(a^2-b^2)i\)
\(Re(z)<0\to a^4+b^4-6a^2b^2<0\quad (I)\)
\(Im(z)=0\to 4ab(a^2-b^2)=0\quad (II)\)
De \((II)\) vem \(a=0\) ou \(b=0\) ou \(a^2-b^2=0\)
Se \(a=0\), de \((I)\) vem \(b^4<0\to\) impossível
Se \(b=0\), de \((I)\) vem \(a^4<0\to\) impossível
Se \(a^2-b^2=0\to a^2=b^2=k\)(adotando \(k\)), de \((I)\) vem
\(k^2+k^2-6k^2<0\to -4k^2<0\), que é satisfeita para todo \(k\).
Devemos ter \(a\neq0\), \(b\neq0\,\,\) e \(\,\,a^2=b^2\) ou, simplesmente \(\boxed{ab\neq0}\) e \(\boxed{a=\pm b}\)
0159¶
Qual é a condição para que o produto de dois números complexos \(a+bi\) e \(c+di\) resulte um número real?
0159 - Solução
Efetuando: \((a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(\underbrace{ad+bc}_{=0})i\to \boxed{ad+bc=0}\)
0158¶
Quais os números complexos \(x\) e \(y\) para os quais \(x+yi=i\) e \(xi+y=2i-1\)?
0158 - Resposta
\(x=1+i\,\,\text{e}\,\,y=i\)
0158 - Solução
Vamos adotar os números complexos \(\boxed{x=a+bi}\) e \(\boxed{y=c+di}\) e aplicá-los à questão:
\(a+bi+(c+di)i=i\to a+bi+ci-d=i\to I = \left\{ \begin{array}{rcrcrr} a & - & d & = & 0 &\\ b & + & c & = & 1 & \end{array}\right.\)
\((a+bi)i+c+di=2i-1\to ai-b+c+di=-1+2i\to II = \left\{ \begin{array}{rcrcrr} -b & + & c & = & -1 &\\ a & + & d & = & 2 & \end{array} \right.\)
De \(I\) e \(II\) vamos montar os sistemas lineares \(III\) e \(IV\), resolvê-los e obter os complexos \(x\) e \(y\):
\(III=\left\{ \begin{array}{rcrcrr} a & + & d & = & 2 &\\ a & - & d & = & 0 & \end{array}\right.\rightarrow \boxed{a=1}\) e \(\boxed{d=1}\)
\(IV=\left\{ \begin{array}{rcrcrr} b & + & c & = & 1 &\\ -b & + & c & = & -1 & \end{array}\right.\rightarrow \boxed{b=1}\) e \(\boxed{c=0}\)
Portanto: \(\boxed{x=1+i}\) e \(\boxed{y=i}\)
0157¶
Determine \(x\in\mathbb{R}\) e \(y\in\mathbb{R}\) para que tenha:
\(\begin{array}{llll} a) & 3+5ix=y-15i & d) & (x+yi)^2=2i\\ b) & (x+yi)(2+3i)=1+8i & e) & (2-x+3y)+2yi=0\\ c) & (3+yi)+(x-2i)=7-5i & f) & (3-i)(x+yi)=20 \end{array}\)
0157 - Soluções
Aplicando a definição de igualdade, no campo dos números complexos, teremos:
a) \(3+5ix=y-15i\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rcr} 3 & = & y \\ 5x & = & -15 \end{array}\right.\Longrightarrow \boxed{x=-3}\,\,\text{e}\,\,\boxed{y=3}\)
b) \((x+yi)(2+3i)=1+8i\to (2x-3y)+(3x+2y)i=1+8i\to\)
\(\left\{ \begin{array}{rcrcrr} 2x & - & 3y & = & 1 & (-3L_{1}+2L_{2})\\ 3x & + & 2y & = & 8 & \end{array}\right.\)
\(\left\{ \begin{array}{rcrcrr} 2x & - & 3y & = & 1 & \\ & & 13y & = & 13 & \rightarrow \boxed{y=1} \end{array}\right.\)
Aplicando \(y=1\) à primeira equação, teremos:
\(2x-3.1=1\to 2x=4\to \boxed{x=2}\)
c) \((3+yi)+(x-2i)=7-5i\to (3+x)+(y-2)i=7-5i\)
\(\left\{ \begin{array}{rcrcrr} x & + & 3 & = & 7 & \rightarrow \boxed{x=4} \\ & & & & & \\ y & - & 2 & = & -5 & \rightarrow \boxed{y=-3} \end{array}\right.\)
d) \((x^2-y^2)+2xyi=2i\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rcr} x^2-y^2 & = & 0 \\ 2xy & = & 2 \end{array}\right.\)
Da primeira equação, vamos obter \(x=\pm y\) e aplicaremos na segunda equação, assim:
\(2(\pm y)=2\to \pm2y^2=2\to y=\pm\sqrt{1}\) para \(x=\pm\sqrt{1}\)
Ao final, teremos como solução, dois pares ordenados\((x;\,y)\): \((1;\,1)\) ou \((-1;\,-1)\).
e) \((2-x+3y)+2yi=0+0i\)
\(\left\{ \begin{array}{rcrcrr} -x & + & 3y & = & -2 & \\ & & 2y & = & 0 & \rightarrow \boxed{y=0} \end{array}\right.\)
Aplicando \(y=0\) à primeira equação, teremos:
\(-x+\cancel{3.0}=-2\to -x=-2\to \boxed{x=2}\)
f) \((3-i)(x+yi)=20\to (3x+y)+(-x+3y)i=20+0i\)
\(\left\{ \begin{array}{rcrcrr} 3x & + & y & = & 20 &\\ -x & + & 3y & = & 0 & \rightarrow \boxed{x=3y} \end{array}\right.\)
Aplicando \(x=3y\) à primeira equação, teremos:
\(3.3y+y=20\to 10y=20\to \boxed{y=2}\) e \(\boxed{x=6}\)
0156¶
Determine \(x\in\mathbb{R}\) e \(y\in\mathbb{R}\) para que tenha:
\(\begin{array}{ll} a) & 2+3yi=x+9i\\ b) & (x+yi)(3+4i)=7+26i\\ c) & (x+yi)^2=4i \end{array}\)
0156 - Respostas
a) \(x=2\,\,\text{e}\,\,y=3\)
b) \(x=5\,\,\text{e}\,\,y=2\)
c) Dois pares ordenados\((x;\,y)\): \((\sqrt{2};\,\sqrt{2})\) ou \((-\sqrt{2};\,-\sqrt{2})\)
0156 - Soluções
Aplicando a definição de igualdade, no campo dos números complexos:
a) \(2+3yi=x+9i\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rcr} 2 & = & x \\ 3y & = & 9 \end{array}\right.\Longrightarrow \boxed{x=2}\,\,\text{e}\,\,\boxed{y=3}\)
b) \((x+yi)(3+4i)=7+26i\to (3x-4y)+(4x+3y)i=7+26i\to\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 3x & - & 4y & = & 7 & (-4L_{1}+3L_{2})\\ 4x & + & 3y & = & 26 & \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 3x & - & 4y & = & 7 & \\ & & 25y & = & 50 & \rightarrow \boxed{y=2} \end{array}\right.\)
Aplicando \(y=2\) à primeira equação, teremos:
\(3x-4.2=7\to 3x=7+8\to \boxed{x=5}\)
c) \((x^2-y^2)+2xyi=4i\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rcr} x^2-y^2 & = & 0 \\ 2xy & = & 4 \end{array}\right.\)
Da primeira equação, vamos obter \(x=\pm y\) e aplicaremos na segunda equação, assim:
\(2(\pm y)=4\to \pm2y^2=4\to y=\pm\sqrt{2}\) para \(x=\pm\sqrt{2}\)
Ao final, teremos como solução, dois pares ordenados\((x;\,y)\): \((\sqrt{2};\,\sqrt{2})\) ou \((-\sqrt{2};\,-\sqrt{2})\).
0155¶
A igualdade \((1+i)^n=(1-i)^n\) verifica-se para os números naturais divisíveis por qual número natural?
0155 - Resposta
Verifica-se quando "\(n\)" for natural e divisível por \(4\)(quatro).
0155 - Solução
Observando algumas potências:
\((1+i)=2i\)... já visto anteriormente;
\((1-i)=-2i\)... também já visto anteriormente;
\((1+i)^4=(2i)^2=-4\)... deduzido agora e
\((1-i)^4=(-2i)^2=-4\)... também deduzido agora.
Portanto, \((1+i)^4=(1-i)^4\). Com isso, vamos analisar duas situações:
I) Se "\(n\)" é um número natural múltiplo de \(4\), ou seja, \(n=4p\), com "\(p\)" natural, então:
\((1+i)^n=(1+i)^{4p}=[(1+i)^4]^p=(-4)^p\);
\((1-i)^n=(1-i)^{4p}=[(1-i)^4]^p=(-4)^p\)
e daí \((1+i)^n=(1-i)^n\).
II) Se "\(n\)" é um número natural não divisível por \(4\), chamemos de "\(p\)" o quociente da divisão de "\(n\)" por \(4\). O resto da divisão pode ser \(1\) ou \(2\) ou \(3\). Vamos analisar cada caso:
\(\begin{array}{ll} 1º) & n=4p+1\\ & (1+i)^n=(1+i)^{4p+1}=(1+i)^{4p}.(1+i)=(1+i)(-4)^p\\ & (1-i)^n=(1-i)^{4p+1}=(1-i)^{4p}.(1-i)=(1-i)(-4)^p\\ &\\ 2º) & n=4p+2\\ & (1+i)^n=(1+i)^{4p+2}=(1+i)^{4p}.(1+i)^2=2i(-4)^p\\ & (1-i)^n=(1-i)^{4p+2}=(1-i)^{4p}.(1-i)^2=-2i(-4)^p\\ &\\ 3º) & n=4p+3\\ & (1+i)^n=(1+i)^{4p+3}=(1+i)^{4p}.(1+i)^3=(-2+2i)(-4)^p\\ & (1-i)^n=(1-i)^{4p+3}=(1-i)^{4p}.(1-i)^3=(-2-2i)(-4)^p \end{array}\)
Concluímos que a igualdade \((1+i)^n=(1-i)^n\) apenas se verifica quando "\(n\)" é divisível por \(4\).
0154¶
Qual o resultado da simplificação de:
0154 - Resposta
-5
0154 - Solução
Resolvendo, teremos:
\(\dfrac{(2+i).\cancel{(2+i)^{100}}.(2-i).\cancel{(2-i)^{49}}}{(-1)^{100}.\cancel{(2+i)^{100}}.(-1)^{49}.\cancel{(2-i)^{49}}}=\dfrac{(2+i).(2-i)}{1.(-1)}=\dfrac{4+1}{-1}=\boxed{-5}\)
0153¶
Se \(i^2=-1\), calcule o valor de \((1+i)^{12}-(1-i)^{12}\)
0153 - Soluções
Calculando o valor:
\((1+i)^{12}-(1-i)^{12}=[(1+i)^2]^6-[(1-i)^2]^6=(2i)^6-(-2i)^6=0\)(zero)
0152¶
Prove que \((1-i)^2=-2i\) e calcule \((1-i)^{96} + (1-i)^{97}\).
0152 - Soluções
Vamos dividir em duas questões:
a) Desenvolvendo o produto notável:
\((1-i)^2=-2i\to 1^2-2.1.i+i^2=\cancel{1-1}-2i=-2i\) c.q.d
b) Calculando:
\((1-i)^{96} + (1-i)^{97}=[(1-i)^2]^{48}+[(1-i)^2]^{48}.(1-i)=\)
\((-2i)^{48}+(-2i)^{48}.(1-i)=(-2i)^{48}[1+1.(1-i)]=\)
\((-1)^{48}.2^{48}.[(i)^4]^{12}.(2-i)=\boxed{2^{49}-i.2^{48}}\)
0151¶
Calcular as potências de "\(i\)":
\(\begin{array}{llll} a) i^{76} & b) i^{110} & c) i^{97} & d) i^{503} \end{array}\)
0151 - Soluções
Calculando as potências de "\(i\)":
a) \(i^{76}=(i^{4})^{19}=1^{19}=1\)
b) \(i^{110}=(i^{2})^{55}=(-1)^{55}=-1\)
c) \(i^{97}=i.i^{96}=i.(i^{4})^{24}=i.1^{24}=i\)
d) \(i^{503}=i^3.i^{500}=-i.(i^4)^{125}=-i.1^{125}=-i\)