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Página08

0200

Determine zCz\in\mathbb{C} tal que z2=iz^2=i.

0200 - Solução

professorlopes

Determinando zCz\in\mathbb{C} tal que z2=iz^2=i:

z=a+biz2=iz2=(a2b2)+2abi=i\left. \begin{array}{rcl} z & = & a+bi\\ z^2 & = & i\\ \end{array}\right.\Rightarrow z^2=(a^2-b^2)+2abi=i

Então: {a2b2=02ab=1e, resolvendo o sistema, teremos:\left\{ \begin{array}{rcl} a^2-b^2 & = & 0\\ 2ab & = & 1\\ \end{array}\right.\ldots\text{e, resolvendo o sistema, teremos:}

I)  Sea=22,b=22,ez=22+i22II)  Sea=22,b=22,ez=22i22\left. \begin{array}{rcl} I)\,\,\text{Se}\quad a=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, & b=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, &\text{e}\quad \boxed{z=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \\ & & \\ II)\,\,\text{Se}\quad a=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}, & b=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}, &\text{e}\quad \boxed{z=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\\ \end{array}\right.

0199

Determine zCz\in\mathbb{C} tal que z2=1+i3z^2=1+i\sqrt{3}

0199 - Solução

professorlopes

Determinando zCz\in\mathbb{C} tal que z2=1+i3z^2=1+i\sqrt{3}:

z=a+biz2=1+i3z2=(a2b2)+2abi=1+i3\left. \begin{array}{lcl} z & = & a+bi \\ z^2 & = & 1+i\sqrt{3}\\ \end{array}\right.\Rightarrow z^2=(a^2-b^2)+2abi=1+i\sqrt{3}

Então: {a2b2=12ab=3e, resolvendo o sistema, teremos:\left\{ \begin{array}{rcr} a^2-b^2 & = & 1 \\ 2ab & = & \sqrt{3}\\ \end{array}\right.\ldots\text{e, resolvendo o sistema, teremos:}

I)  Sea=62,b=22,ez=62+i22II)  Sea=62,b=22,ez=62i22\left. \begin{array}{rcl} I)\,\,\text{Se}\quad a=\dfrac{\sqrt{6}}{2}, & b=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, &\text{e}\quad \boxed{z=\dfrac{\sqrt{6}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \\ & & \\ II)\,\,\text{Se}\quad a=-\dfrac{\sqrt{6}}{2}, & b=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}, &\text{e}\quad \boxed{z=-\dfrac{\sqrt{6}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\\ \end{array}\right.

0198

Sendo x2+y2=1x^2+y^2=1, prove que 1+x+iy1+xiy=x+iy\dfrac{1+x+iy}{1+x-iy}=x+iy

0198 - Prova

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Vamos à prova:

x2+y2=1(I)y2=x21(II)x^2+y^2=1\,(I)\Rightarrow y^2=x^2-1\,(II)

1+x+iy1+xiy=(1+x)+iy(1+x)iy(1+x)+iy(1+x)+iy==[(1+x)2y2]+2(1+x)yi(1+x)2+y2==(II)[1+2x+x2+(x21)]+2(1+x)yi1+2x+(x2+y2)==(I)2x(1+x)+2(1+x)yi1+2x+1==2(1+x)(x+yi)2(1+x)1+x+iy1+xiy=x+yi\left. \begin{array}{rcl} \dfrac{1+x+iy}{1+x-iy} & = & \dfrac{(1+x)+iy}{(1+x)-iy}\cdot\dfrac{(1+x)+iy}{(1+x)+iy}=\\ & & \\ & = & \dfrac{[(1+x)^2-y^2]+2(1+x)yi}{(1+x)^2+y^2}=\\ & &\\ & \overset{(II)}{=} & \dfrac{[1+2x+x^2+(x^2-1)]+2(1+x)yi}{1+2x+(x^2+y^2)}=\\ & &\\ & \overset{(I)}{=} & \dfrac{2x(1+x)+2(1+x)yi}{1+2x+1}=\\ & &\\ & = & \dfrac{\cancel{2(1+x)}(x+yi)}{\cancel{2(1+x)}}\to\\ \dfrac{1+x+iy}{1+x-iy} & = & x+yi\\ \end{array}\right.

0197

Sabemos que "QQ" é o afixo de z1=2+iz_{1}=-2+i e "RR" é o afixo de z2=32iz_{2}=3-2i. Escreva o par ordenado que corresponde a:

a)(z1)2b)z2z1c)z2×z1d)z2z1e)z1\begin{array}{lllll} a) (z_{1})^2 & b) \dfrac{\overline{z_{2}}}{z_{1}} & c) z_{2}\times z_{1} & d) z_{2}-z_{1} & e) \overline{z_{1}} \end{array}

0197 - Soluções

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Resolvendo, item a item:

a) (z1)2=(2+i)2=44i1=34i(3;4)(z_{1})^2=(-2+i)^2=4-4i-1=3-4i\to (3;\,-4)


b) z2z1=3+2ii2×i+2i+2=3i+6+2i2+4ii24=45i75(45;75)\dfrac{\overline{z_{2}}}{z_{1}}=\dfrac{3+2i}{i-2}\times \dfrac{i+2}{i+2}=\dfrac{3i+6+2i^2+4i}{i^2-4}=-\dfrac{4}{5}-i\dfrac{7}{5}\to \left( -\dfrac{4}{5};\,-\dfrac{7}{5} \right)


c) z2×z1=(32i)×(i2)=3i62i2+4i=4+7i(4;7)z_{2}\times z_{1}=(3-2i)\times (i-2)=3i-6-2i^2+4i=-4+7i\to (-4;\,7)


d) z2z1=32i(i2)=(53i)(5;3)z_{2}-z_{1}=3-2i-(i-2)=(5-3i)\to (5;\,-3)


e) z1=2i(2;1)\overline{z_{1}}=-2-i\to (-2;\,-1)

0196

Calcule a área do triângulo CDECDE, onde "CC" representa o afixo de i+4i+4; "DD" representa o afixo de 5i+15i+1 e "EE" representa o afixo de i2i-2.

0196 - Solução

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Vamos iniciar pela análise da imagem gerada pelos afixos e tecer as observações:

q0196_sol

É visível que:

a) O ponto médio do segmento EC(MEC)\overline{EC}\,(M_{EC}) tem coordenadas MEC=(1;1)M_{EC}=(1;\,1), cuja abscissa "11" coincide com a abscissa do ponto "D=(1;5)D=(1;\,5)". Por isso, a base EC\overline{EC} tem comprimento igual a 6u6u e, ainda, o ΔCDE\Delta CDE é, no mínimo, isósceles;

b) A altura "hh" tem comprimento igual a 4u4u, pois tem início na ordenada 55 do ponto DD e termina na ordenada 11 do ponto médio MECM_{EC}.

Com esses dados, já é possível calcular a área(AA) do ΔCDE\Delta CDE: A=642A=12u.aA=\dfrac{6\cdot 4}{2}\to\boxed{A=12\,u.a}

0195

Sendo "MM" o afixo de z=3+5iz=-3+5i, determine o par ordenado que corresponde ao:

a) ponto simétrico de "zz" em relação ao eixo vertical Im(z)Im(z);

b) ponto simétrico de "zz" em relação à origem;

c) número complexo obtido de z×iz\times i.

0195 - Soluções

professorlopes

Partindo das coordenadas do afixo, que são (3;5)(-3;\,5), teremos:

a) (3;5)(3;\,5)

b) (3;5)(3;\,-5)

c) zi=i(3+5i)=53i(5;3)z\cdot i=i(-3+5i)=-5-3i\to (-5;\,-3)

0194

Represente no plano de Argand-Gauss todos os números complexos que satisfazem, concomitantemente as inequações Im(z)<3Im(z)<3 e Re(z)3Re(z)\leq 3.

0194 - Solução

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Lembrando que o termo "concomitantemente", neste caso, significa a interseção dessas duas inequações. Vamos às representações gráficas, para visualizar melhor e, após, a descrição detalhada:

q0194_sol

A resposta final é a área hachurada em cinza mais escuro que corresponde à interseção dos semi planos α:Re(z)3\alpha: Re(z)\leq 3 e β:Im(z)<3\beta: Im(z)<3, ou seja αβ\boxed{\alpha\cap\beta}.

0193

Os números complexos zz e z\overline{z} tais que:

{z+z=4zz=13\left\{\begin{array}{rcrcrr} z & + & \overline{z} & = & 4 & \\ z & \cdot & \overline{z} & = & 13 & \end{array}\right.

são representados no plano de Argand-Gauss pelos pontos AA e BB.

Qual é área do ΔABO\Delta ABO, sendo OO a origem do plano?

0193 - Solução

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Resolvendo o sistema, onde trataremos z=a+biz=a+bi e z=abi\overline{z}=a-bi, chegamos a solução que: a=2a=2 e b=±3b=\pm 3. Assim, A(2;3)A(2;\,3) e B(2;3)B(2;\,-3) ou vice-versa, conforme ilustra a imagem a seguir:

q0193_sol

Da imagem, podemos obter a altura(hh) do ΔABO\Delta ABO no eixo horizontal Re(z)Re(z), da origem até o ponto (2,0)(2,0), portanto, h=2h=2. A base(bb) deste triângulo pode ser obtida da distância(visual) entre os pontos AA e BB, ou seja, b=6b=6. Portanto, a área(AA) será dada por:

A=b×h2A=6×22A=6u.aA=\dfrac{b\times h}{2}\to A=\dfrac{6\times 2}{2}\to \boxed{A=6\,u.a}

0192

Represente o conjunto A={zC/z1=z3i}A=\left\{ z\in\mathbb{C}/\,|z-1|=|z-3i|\right\}.

0192 - Solução

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Adotando z=a+biz=a+bi, com aRa\in\mathbb{R} e bRb\in\mathbb{R}, teremos:

a+bi1=a+bi3i(a1)+bi=a+i(b3)\left|a+bi-1\right|=\left|a+bi-3i\right|\to \left|(a-1)+bi\right|=\left|a+i(b-3)\right|\to

(a1)2+b2=a2+(b3)2\sqrt{(a-1)^2+b^2}=\sqrt{a^2+(b-3)^2}\to

a22b+1+b2=a2+b26b+9a^2-2b+1+b^2=a^2+b^2-6b+9\Rightarrow

a3b+4=0\boxed{a-3b+4=0}

Portanto, teremos a equação de uma reta mediatriz do segmento de pontos (1;0)(1;\,0) e (0;3)(0;\,3).

0191

Interprete geometricamente z2+i=5|z-2+i|=5, para o número complexo z=a+biz=a+bi.

0191 - Solução

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Adotando z=a+biz=a+bi, teremos a+bi(2i)=5|a+bi-(2-i)|=5. Essa equação representa todos os números complexos "zz" que possuem a distância até o número 2i2-i constante e igual a 55. Trata-se da circunferência de centro C(2;1)C(2;\,-1) e raio 55. Com este exercício resolvido, podemos generalizar:

zz0=a\left|z-z_{0}\right|=a, tal que z0Cz_{0}\in\mathbb{C} e aR+a\in\mathbb{R}^*_{+} representa uma circunferência de centro z0z_{0} e raio "aa":

q0191_sol

Obs: Imagem meramente ilustrativa e sem escala.

0190

Determine os valores mínimo e máximo de z4|z-4| sendo z+3i1|z+3i|\leq1, para z=a+biz=a+bi.

0190 - Solução

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Sabe-se que z4|z-4| representa a distância do afixo de zz ao ponto (4;0)(4;\,0). Vamos determinar a licalização de zz. Pela interpretação geométrica, zz pertence a uma circunferência de centro (0;3)(0;\,-3) e raio unitário.

q0190_sol

Traçando uma reta pelos pontos (4;0)(4;\,0) e (0;3)(0;\,-3) encontramos os pontos "AA" e "BB". Até o ponto "AA" temos a menor distância, e até o ponto "BB" temos a maior distância. Assim: AC=4\overline{AC}=4 e BC=6\overline{BC}=6.

0189

Calcule (21+i)93\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{1+i}\right)^{93}

0189 - Solução

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Primeiramente, vamos passar o número complexo dado, que está na forma algébrica, para sua forma trigonométrica; posteriormente, efetuaremos a potenciação pedida; assim:

21+i1i1i==22i22=22(1i)-\dfrac{\sqrt{2}}{1+i}\cdot\dfrac{1-i}{1-i}=\ldots=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot (1-i).

Na forma trigonométrica, (1i)(1-i) é: 2cis(7π4)\sqrt{2}\cdot cis\left(\dfrac{7\pi}{4}\right)

Aplicando a potenciação a toda a expressão:

[222cis(7π4)]93=[cis(7π4)]93=cis(937π4)=\left[\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{2}\cdot cis\left(\dfrac{7\pi}{4}\right)\right]^{93}=\left[cis\left(\dfrac{7\pi}{4}\right)\right]^{93}=cis\left(\dfrac{93\cdot 7\pi}{4}\right)=

=cis(3π4)=cos3π4+isen3π4=22+i22=cis\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=\text{cos}\,\dfrac{3\pi}{4}+i\cdot\text{sen}\,\dfrac{3\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} (resposta final)

0188

Calcule (12i32)40\left(-\dfrac{1}{2}-i\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{40}

0188 - Solução

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Idem ao anterior, vamos passar o número complexo dado, que está na forma algébrica, para sua forma trigonométrica; posteriormente, efetuaremos a potenciação pedida; assim:

z=ρ=(12)2+(32)2ρ=1|z|=\rho=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}\Rightarrow \boxed{\rho=1}

senθ=32cosθ=12θ3oQ    θ=120o=4π3rad\left.\begin{array}{rcr} \text{sen}\theta & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ & & \\ \text{cos}\theta & = & -\dfrac{1}{2} \end{array}\right.\Rightarrow \theta\in 3^{o}\,Q\,\,\therefore\,\,\boxed{\theta=120^{o}=\dfrac{4\pi}{3}\,rad}

Portanto devemos efetuar a seguinte potenciação:

[1cis(4π3)]40=140cis(404π3)=\left[1\cdot cis\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)\right]^{40}=1^{40}\cdot cis\left(40\cdot\dfrac{4\pi}{3}\right)=

=1cis(160π3)=cis(156π3  26voltas de 6π3  cada+4π3)==1\cdot cis\left(\dfrac{160\pi}{3}\right)=cis\left(\cancel{\dfrac{156\pi}{3}}^{\,\,26\,\text{voltas de }\frac{6\pi}{3}\,\,\text{cada}}+\dfrac{4\pi}{3}\right)=

=cis(4π3)=cis\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) ou (12i32)\left(-\dfrac{1}{2}-i\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)

0187

Dados z1=3cisπ4z_{1}=3\cdot \text{cis}\,\dfrac{\pi}{4} e z2=4cisπ2z_{2}=4\cdot \text{cis}\,\dfrac{\pi}{2}, calcule:

a)z1z2b)z12c)z22d)z133e)z23\begin{array}{lllll} a)\,z_{1}\cdot z_{2} & b)\,z_{1}^2 & c)\,z_{2}^2 & d)\,z_{1}^3\cdot\sqrt{3} & e)\,z_{2}^3 \end{array}

0187 - Soluções

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Resolvendo uma a uma:

a) z1z2=34cis(π4+π2)=12cis3π4z_{1}\cdot z_{2}=3\cdot 4\cdot cis\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{2}\right)=12\cdot cis\dfrac{3\pi}{4}


b) z12=33cis(π4+π4)=9cisπ2z_{1}^2=3\cdot 3\cdot cis\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}\right)=9\cdot cis\dfrac{\pi}{2}


c) z22=44cis(π2+π2)=16cisπz_{2}^2=4\cdot 4\cdot cis\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}\right)=16\cdot cis\pi


d) z133=333cis(π4+π4+π4)3=z_{1}^3\cdot\sqrt{3}=3\cdot 3\cdot 3\cdot cis\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}\right)\cdot\sqrt{3}=

=3[27cis3π4]==3[27(22+i22)]==\sqrt{3}\cdot \left[27\cdot cis\dfrac{3\pi}{4}\right]=\ldots=\sqrt{3}\cdot \left[27\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\right]=

3(2722+i2722)=2762+i2762\sqrt{3}\cdot \left(-\dfrac{27\sqrt{2}}{2}+i\cdot\dfrac{27\sqrt{2}}{2}\right)=\boxed{-\dfrac{27\sqrt{6}}{2}+i\cdot\dfrac{27\sqrt{6}}{2}}


e) z23=444cis(π2+π2+π2)=64cis3π2z_{2}^3=4\cdot 4\cdot 4\cdot cis\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}\right)=64\cdot cis\dfrac{3\pi}{2}

0186

Disserte sobre "O Plano Cartesiano"

0186 - Dissertação

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Assim como você pode representar números reais por pontos em uma reta de números reais, você pode representar pares de números reais por pontos em um plano chamado sistema de coordenadas retangulares ou plano cartesiano, assim nomeado pelo matemático francês René Descartes (1596-1650).

Duas retas de números reais intersectam-se em ângulos retos formando o plano Cartesiano. A reta horizontal é chamada de eixo "x" ou eixo das abscissas, e a reta vertical é chamada de eixo "y" ou eixo das ordenadas. O ponto de intersecção dos dois eixos é chamado de origem e estes dois eixos dividem o plano em quatro quartos chamados de quadrantes.

q0186_sol1

A cada ponto no plano associa-se um par ordenado(x,y)(x,\,y) de números reais "xx" e "yy" chamados de coordenadas do ponto. A coordenada "xx" representa a menor distância entre o eixo das ordenadas (eixo "yy") até o ponto. A coordenada yy representa a menor distância entre o eixo das abscissas (eixo "xx") até o ponto.

Exemplo Coloque no plano cartesiano os pontos (1;2),(3;4),(0;0),(3;0),(2;3)(-1;\,2),(3;\,4),(0;\,0),(3;\,0),(-2;\,-3):

q0186_sol

0185

A beleza do sistema de coordenadas retangulares ou plano Cartesiano é que ele nos permite observar relações entre as coordenadas dos pares ordenadas que indicam os pontos desse plano. Disserte a respeito de 3(três) aplicações matemáticas.

0185 - Dissertação

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Vamos às três aplicações matemáticas:

1ª) O Teorema de Pitágoras

Para um triângulo retângulo com hipotenusa "aa" e catetos "bb" e "cc" vale a relação(ou Teorema de Pitágoras) a2=b2+c2a^2=b^2+c^2. Veja:

q0185_sol1

Observação: Não podemos esquecer das condições de existência, válidas para quaisquer tipos de triângulos, isto é, para um triângulo qualquer, de lados "aa", "bb" e "cc", devemos observar a veracidade dessas afirmações:

bc<a<b+c| b - c | < a < b + c

ac<b<a+c| a - c | < b < a + c

ab<c<a+b| a - b | < c < a + b


2ª) A distância entre dois pontos

Suponha que se queira determinar a distância "dd" entre dois pontos (x1;y1)(x_{1};\,y_{1}) e (x2;y2)(x_{2};\,y_{2}) no plano. Esses dois pontos podem formar um triângulo retângulo, como mostra a imagem:

q0185_sol2

O comprimento do cateto vertical é y2y1|y_{2}-y_{1}| e o comprimento do cateto horizontal é x2x1|x_{2}-x_{1}|. Pelo Teorema de Pitágoras, teremos:

d2=x2x12+y2y12d=x2x12+y2y12d=(x2x1)2+(y2y1)2\begin{array}{lcr} d^2 & = & |x_{2}-x_{1}|^2+|y_{2}-y_{1}|^2\\&&\\ d & = & \sqrt{|x_{2}-x_{1}|^2+|y_{2}-y_{1}|^2}\\&&\\ d & = & \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2} \end{array}

Assim, podemos definir que a distância "dd" entre dois pontos (x1;y1)(x_{1};\,y_{1}) e (x2;y2)(x_{2};\,y_{2}) no plano cartesiano é dada por

d=(x2x1)2+(y2y1)2d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2}

Exemplo01: Obtenha a distância entre os pontos (2,1)(-2,\,1) e (3;4)(3;\,4)

Fazendo (x1;y1)=(2;1)(x_{1};\,y_{1})=(-2;\,1) e (x2;y2)=(3;4)(x_{2};\,y_{2})=(3;\,4), teremos:

d=(x2x1)2+(y2y1)2=[3(2)]2+(41)2=(5)2+(3)2=34d5,83\begin{array}{lcl} d & = & \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2}\\&&\\ & = & \sqrt{[3-(-2)]^2+(4-1)^2}\\&&\\ & = & \sqrt{(5)^2+(3)^2}\\&&\\ & = & \sqrt{34}\\\\ d & \approx & 5,83 \end{array}

Exemplo02: Obtenha a distância entre os pontos (3,1)(3,\,1) e (3;0)(-3;\,0)

Fazendo (x1;y1)=(3;1)(x_{1};\,y_{1})=(3;\,1) e (x2;y2)=(3;0)(x_{2};\,y_{2})=(-3;\,0), teremos:

d=(x2x1)2+(y2y1)2=(33)2+(01)2=(9)2+(1)2=37d6,08\begin{array}{lcl} d & = & \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2}\\&&\\ & = & \sqrt{(-3-3)^2+(0-1)^2}\\&&\\ & = & \sqrt{(-9)^2+(-1)^2}\\&&\\ & = & \sqrt{37}\\\\ d & \approx & 6,08 \end{array}

Exemplo03: Mostre que os pontos (2;1)(2;\,1), (4;0)(4;\,0) e (5;7)(5;\,7) são vértices de um triângulo retângulo

Vamos encontrar as distâncias d1d_{1}, d2d_{2} e d3d_{3}; após, vamos aplicar os resultados obtidos diretamente no Teorema de Pitágoras e, finalmente, construir a figura para comprovação visual:

d1=(52)2+(71)2=9+36=45d2=(42)2+(01)2=4+1=5d3=(54)2+(70)2=1+49=50\begin{array}{lcrcrcr} d_{1} & = & \sqrt{(5-2)^2+(7-1)^2} & = \sqrt{9+36} & = & \sqrt{45} &\\\\ d_{2} & = & \sqrt{(4-2)^2+(0-1)^2} & = \sqrt{4+1} & = & \sqrt{5} &\\\\ d_{3} & = & \sqrt{(5-4)^2+(7-0)^2} & = \sqrt{1+49} & = & \sqrt{50} & \end{array}

Aplicando os valores encontrados no Teorema de Pitágoras:

(d1)2+(d2)2=(d3)2(d_{1})^2+(d_{2})^2=(d_{3})^2\to

(45)2+(5)2=(50)2(\sqrt{45})^2+(\sqrt{5})^2=(\sqrt{50})^2\quad

q0185_sol3


3ª) O ponto médio entre dois pontos

O ponto médio M(xM;yM)M(x_{M};\,y_{M}) do segmento de extremos (x1;y1)(x_{1};\,y_{1}) e (x2;y2)(x_{2};\,y_{2}) é dado por:

M(xM;yM)=(x1+x22;y1+y22)M(x_{M};\,y_{M})=\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2};\,\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)

Exemplo01: Encontre o ponto médio do segmento de reta com extremos em (5;3)(-5;\,-3) e (9;3)(9;\,3)

M(xM;yM)=(x1+x22;y1+y22)M(x_{M};\,y_{M})=\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2};\,\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\to

M(xM;yM)=(5+92;3+32)M(2;0)M(x_{M};\,y_{M})=\left(\dfrac{-5+9}{2};\,\dfrac{-3+3}{2}\right)\to M(2;\,0)

Observe a imagem ilustrativa:

q0185_sol4

Exemplo02: Encontre o ponto médio do segmento de reta com extremos em (2;8)(-2;\,8) e (4;10)(4;\,-10)

M(xM;yM)=(x1+x22;y1+y22)M(x_{M};\,y_{M})=\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2};\,\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\to

M(xM;yM)=(2+42;8102)M(1;1)M(x_{M};\,y_{M})=\left(\dfrac{-2+4}{2};\,\dfrac{8-10}{2}\right)\to M(1;\,-1)

Exemplo03: A empresa "A" vendeu aproximadamente R$ 9,8 milhões em 2016 e R$ 11,7 milhões em 2018. Sem qualquer outra informação, estime as vendas de 2017.

Sem qualquer outra informação, vamos assumir uma estimativa linear. Dessa forma, a estimativa para 2017 é o ponto médio entre os pontos (2016;9,8)(2016;\,9,8) e (2018;11,7)(2018;\,11,7)

M(xM;yM)=(x1+x22;y1+y22)M(x_{M};\,y_{M})=\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2};\,\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\to

M(xM;yM)=(2016+20182;9,8+11,72)M(2017;10,75)M(x_{M};\,y_{M})=\left(\dfrac{2016+2018}{2};\,\dfrac{9,8+11,7}{2}\right)\to M(2017;\,10,75)

Portanto, a estimativa de venda em 2017 é de R$ 10,75 milhões.

0184

Encontre a distância entre os pontos:

a) (2;6)(-2;\,6) e (3;6)(3;\,-6)

b) (8;5)(8;\,5) e (0;20)(0;\,20)

c) (1;4)(1;\,4) e (5;1)(-5;\,-1)

d) (1;3)(1;\,3) e (3;2)(3;\,-2)

e) (12;43)\left(\frac{1}{2};\,\frac{4}{3}\right) e (2;1)(2;\,-1)

f) (9,5;2,6)(9,5;\,-2,6) e (3,9;8,2)(-3,9;\,8,2)

0184 - Soluções

professorlopes

Utilizando a fórmula da distância entre dois pontos: d=(x1x2)2+(y1y2)2d=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^2+(y_{1}-y_{2})^2}

a) (2;6)(-2;\,6) e (3;6)(3;\,-6)

d=[3(2)]2+(66)2d=169d=13\to d=\sqrt{[3-(-2)]^2+(-6-6)^2}\to d=\sqrt{169}\to\boxed{d=13}


b) (8;5)(8;\,5) e (0;20)(0;\,20)

d=(08)2+(205)2d=289d=17\to d=\sqrt{(0-8)^2+(20-5)^2}\to d=\sqrt{289}\to\boxed{d=17}


c) (1;4)(1;\,4) e (5;1)(-5;\,-1)

d=(51)2+(14)2d=61\to d=\sqrt{(-5-1)^2+(-1-4)^2}\to\boxed{d=\sqrt{61}}


d) (1;3)(1;\,3) e (3;2)(3;\,-2)

d=(31)2+(23)2d=29\to d=\sqrt{(3-1)^2+(-2-3)^2}\to\boxed{d=\sqrt{29}}


e) (12;43)\left(\frac{1}{2};\,\frac{4}{3}\right) e (2;1)(2;\,-1)

d=(212)2+(143)2d=94+499d=27736d=2776\to d=\sqrt{\left(2-\frac{1}{2}\right)^2+\left(-1-\frac{4}{3}\right)^2}\to d=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{49}{9}}\to d=\sqrt{\frac{277}{36}} \to\boxed{d=\frac{\sqrt{277}}{6}}


f) (9,5;2,6)(9,5;\,-2,6) e (3,9;8,2)(-3,9;\,8,2)

d=(3,99,5)2+(8,2+2,6)2d=(13,4)2+(10,8)2\to d=\sqrt{(-3,9-9,5)^2+(8,2+2,6)^2}\to d=\sqrt{(13,4)^2+(10,8)^2}\to

d=179,56+116,64d=296,2d17,21\to d=\sqrt{179,56+116,64}\to d=\sqrt{296,2}\to\boxed{d\approx 17,21}

0183

Encontre o valor dos lados dos triângulos retângulos a seguir e mostre que esses valores satisfazem o Teorema de Pitágoras

a)

q0183_sol1

b)

q0183_sol2

0183 - Soluções

professorlopes

a.1)

d1=(131)2+(50)2d1=144+25d1=169d1=13d_{1}=\sqrt{(13-1)^2+(5-0)^2}\to d_{1}=\sqrt{144+25}\to d_{1}=\sqrt{169}\to\boxed{d_{1}=13}

d2=(1313)2+(50)2d2=0+25d2=25d2=5d_{2}=\sqrt{(13-13)^2+(5-0)^2}\to d_{2}=\sqrt{0+25}\to d_{2}=\sqrt{25}\to\boxed{d_{2}=5}

d3=(131)2+(00)2d3=144+0d3=144d3=12d_{3}=\sqrt{(13-1)^2+(0-0)^2}\to d_{3}=\sqrt{144+0}\to d_{3}=\sqrt{144}\to\boxed{d_{3}=12}

a.2)

Pelo Teorema de Pitágoras: d12=d22+d22132=52+12213=13d_{1}^2=d_{2}^2+d_{2}^2\to 13^2=5^2+ 12^2\to \boxed{13=13}\quad\checkmark


b.1)

d1=[9(1)]2+(41)2d1=100+9d1=109d_{1}=\sqrt{[9-(-1)]^2+(4-1)^2}\to d_{1}=\sqrt{100+9}\to \to\boxed{d_{1}=\sqrt{109}}

d2=(99)2+(41)2d2=0+9d2=9d2=3d_{2}=\sqrt{(9-9)^2+(4-1)^2}\to d_{2}=\sqrt{0+9}\to d_{2}=\sqrt{9}\to\boxed{d_{2}=3}

d3=[9(1)]2+(11)2d3=100+0d3=100d3=10d_{3}=\sqrt{[9-(-1)]^2+(1-1)^2}\to d_{3}=\sqrt{100+0}\to d_{3}=\sqrt{100}\to\boxed{d_{3}=10}

b.2)

Pelo Teorema de Pitágoras: d12=d22+d22(109)2=32+102109=109d_{1}^2=d_{2}^2+d_{2}^2\to \left(\sqrt{109}\right)^2=3^2+ 10^2\to \boxed{109=109}\quad\checkmark

0182

Mostre que os pontos a seguir definem os vértices de um triângulo retângulo:

a) (4;0)(4;\,0), (2;1)(2;\,1) e (1;5)(-1;\,-5)

b) (1;3)(-1;\,3), (3;5)(3;\,5) e (5;1)(5;\,1)

0182 - Demonstrações

professorlopes

Não podemos esquecer das condições de existência, válidas para quaisquer tipos de triângulos, isto é, para um triângulo qualquer, de lados "aa", "bb" e "cc", devemos observar a veracidade dessas afirmações:

bc<a<b+c| b - c | < a < b + c

ac<b<a+c| a - c | < b < a + c

ab<c<a+b| a - b | < c < a + b

Assim, vamos às resoluções:

a) (4;0)(4;\,0), (2;1)(2;\,1) e (1;5)(-1;\,-5)

d1=(24)2+(10)2d1=4+1d1=5d_{1}=\sqrt{(2-4)^2+(1-0)^2}\to d_{1}=\sqrt{4+1}\to d_{1}=\sqrt{5}

d2=(12)2+(51)2d2=9+36d2=45d_{2}=\sqrt{(-1-2)^2+(-5-1)^2}\to d_{2}=\sqrt{9+36}\to d_{2}=\sqrt{45}

d3=(14)2+(50)2d3=25+25d3=50d_{3}=\sqrt{(-1-4)^2+(-5-0)^2}\to d_{3}=\sqrt{25+25}\to d_{3}=\sqrt{50}

Esse triângulo é retângulo pois:

d12+d22=d32(5)2+(45)2=(50)250=50d_{1}^2+d_{2}^2=d_{3}^2\to (\sqrt{5})^2+(\sqrt{45})^2=(\sqrt{50})^2\to 50=50\checkmark


b) (1;3)(-1;\,3), (3;5)(3;\,5) e (5;1)(5;\,1)

d1=(3+1)2+(53)2d1=16+4d1=20d_{1}=\sqrt{(3+1)^2+(5-3)^2}\to d_{1}=\sqrt{16+4}\to d_{1}=\sqrt{20}

d2=(53)2+(15)2d2=4+16d2=20d_{2}=\sqrt{(5-3)^2+(1-5)^2}\to d_{2}=\sqrt{4+16}\to d_{2}=\sqrt{20}

d3=(5+1)2+(13)2d3=36+4d3=40d_{3}=\sqrt{(5+1)^2+(1-3)^2}\to d_{3}=\sqrt{36+4}\to d_{3}=\sqrt{40}

Esse triângulo é retângulo pois:

d12+d22=d33(20)2+(20)2=(40)240=40d_{1}^2+d_{2}^2=d_{3}^3\to(\sqrt{20})^2+(\sqrt{20})^2=(\sqrt{40})^2\to 40=40\checkmark

0181

Mostre que os pontos a seguir definem os vértices de um triângulo isósceles:

a) (1;3)(1;\,-3), (3;2)(3;\,2) e (2;4)(-2;\,4)

b) (2;3)(2;\,3), (4;9)(4;\,9) e (2;7)(-2;\,7)

0181 - Soluções

professorlopes

Não podemos esquecer das condições de existência, válidas para quaisquer tipos de triângulos, isto é, para um triângulo qualquer, de lados "aa", "bb" e "cc", devemos observar a veracidade dessas afirmações:

bc<a<b+c| b - c | < a < b + c

ac<b<a+c| a - c | < b < a + c

ab<c<a+b| a - b | < c < a + b

Assim, vamos às soluções:

a) (1;3)(1;\,-3), (3;2)(3;\,2) e (2;4)(-2;\,4)

d1=(31)2+(2(3))2d1=4+25d1=29d_{1}=\sqrt{(3-1)^2+(2-(-3))^2}\to d_{1}=\sqrt{4+25}\to d_{1}=\sqrt{29}

d2=(23)2+(42)2d2=25+4d2=29d_{2}=\sqrt{(-2-3)^2+(4-2)^2}\to d_{2}=\sqrt{25+4}\to d_{2}=\sqrt{29}

d3=(21)2+(4(3))2d3=9+49d3=58d_{3}=\sqrt{(-2-1)^2+(4-(-3))^2}\to d_{3}=\sqrt{9+49}\to d_{3}=\sqrt{58}

Esse triângulo é isósceles pois d1=d2  d_{1}=d_{2}\,\, e esse triângulo existe, pois:

2958<29<29+582,2306<5,3852<13,001| \sqrt{29} - \sqrt{58} | < \sqrt{29} < \sqrt{29} + \sqrt{58}\to 2,2306<5,3852<13,001\checkmark

2958<29<29+582,2306<5,3852<13,001| \sqrt{29} - \sqrt{58} | < \sqrt{29} < \sqrt{29} + \sqrt{58}\to 2,2306<5,3852<13,001\checkmark

2929<58<29+290<7,6158<10,7703| \sqrt{29} - \sqrt{29} | < \sqrt{58} < \sqrt{29} + \sqrt{29}\to 0<7,6158<10,7703\checkmark


b) (2;3)(2;\,3), (4;9)(4;\,9) e (2;7)(-2;\,7)

d1=(42)2+(93)2d1=4+36d1=40d_{1}=\sqrt{(4-2)^2+(9-3)^2}\to d_{1}=\sqrt{4+36}\to d_{1}=\sqrt{40}

d2=(24)2+(79)2d2=36+4d2=40d_{2}=\sqrt{(-2-4)^2+(7-9)^2}\to d_{2}=\sqrt{36+4}\to d_{2}=\sqrt{40}

d3=(22)2+(73)2d3=16+16d3=32d_{3}=\sqrt{(-2-2)^2+(7-3)^2}\to d_{3}=\sqrt{16+16}\to d_{3}=\sqrt{32}

Esse triângulo é isósceles pois d1=d2  d_{1}=d_{2}\,\, e esse triângulo existe, pois:

4032<40<40+320,6677<6,3246<11,9815| \sqrt{40} - \sqrt{32} | < \sqrt{40} < \sqrt{40} + \sqrt{32}\to 0,6677<6,3246<11,9815\checkmark

4032<40<40+320,6677<6,3246<11,9815| \sqrt{40} - \sqrt{32} | < \sqrt{40} < \sqrt{40} + \sqrt{32}\to 0,6677<6,3246<11,9815\checkmark

4040<32<40+400<5,6569<12,6492| \sqrt{40} - \sqrt{40} | < \sqrt{32} < \sqrt{40} + \sqrt{40}\to 0<5,6569<12,6492\checkmark

0180

Obtenha o ponto médio entre os pares de pontos a seguir:

a) (6;3)(6;\,-3) e (6;5)(6;\,5)

b) (1;4)(1;\,4) e (8;4)(8;\,4)

c) (1;1)(1;\,1) e (9;7)(9;\,7)

d) (1;12)(1;\,12) e (6;0)(6;\,0)

e) (1;2)(-1;\,2) e (5;4)(5;\,4)

f) (2;10)(2;\,10) e (10;2)(10;\,2)

g) (16,8;12,3)(-16,8;\,12,3) e (5,6;4,9)(5,6;\,4,9)

h) (12;1)\left(\frac{1}{2};\,1\right) e (52;43)\left(-\frac{5}{2};\,\frac{4}{3}\right)

0180 - Soluções

professorlopes

a) (6;3)(6;\,-3) e (6;5)(6;\,5)

M(xM;yM)=(x1+x22;y1+y22)=(6+62;3+52)M=(6;1)M(x_{M};\,y_{M})=\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2};\,\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)=\left(\dfrac{6+6}{2};\,\dfrac{-3+5}{2}\right)\to M=(6;\,1)\checkmark


b) (1;4)(1;\,4) e (8;4)(8;\,4)

M(xM;yM)=(x1+x22;y1+y22)=(1+82;4+42)M=(92;4)M(x_{M};\,y_{M})=\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2};\,\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)=\left(\dfrac{1+8}{2};\,\dfrac{4+4}{2}\right)\to M=\left(\dfrac{9}{2};\,4\right)\checkmark


c) (1;1)(1;\,1) e (9;7)(9;\,7)

M(xM;yM)=(x1+x22;y1+y22)=(1+92;1+72)M=(5;4)M(x_{M};\,y_{M})=\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2};\,\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)=\left(\dfrac{1+9}{2};\,\dfrac{1+7}{2}\right)\to M=\left(5;\,4\right)\checkmark


d) (1;12)(1;\,12) e (6;0)(6;\,0)

M(xM;yM)=(x1+x22;y1+y22)=(1+62;12+02)M=(72;6)M(x_{M};\,y_{M})=\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2};\,\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)=\left(\dfrac{1+6}{2};\,\dfrac{12+0}{2}\right)\to M=\left(\dfrac{7}{2};\,6\right)\checkmark


e) (1;2)(-1;\,2) e (5;4)(5;\,4)

M(xM;yM)=(x1+x22;y1+y22)=(1+52;2+42)M=(2;3)M(x_{M};\,y_{M})=\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2};\,\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)=\left(\dfrac{-1+5}{2};\,\dfrac{2+4}{2}\right)\to M=\left(2;\,3\right)\checkmark


f) (2;10)(2;\,10) e (10;2)(10;\,2)

M(xM;yM)=(x1+x22;y1+y22)=(2+102;10+22)M=(6;6)M(x_{M};\,y_{M})=\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2};\,\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)=\left(\dfrac{2+10}{2};\,\dfrac{10+2}{2}\right)\to M=\left(6;\,6\right)\checkmark


g) (16,8;12,3)(-16,8;\,12,3) e (5,6;4,9)(5,6;\,4,9)

M(xM;yM)=(x1+x22;y1+y22)=(16,8+5,62;12,3+4,92)M=(5,6;8,6)M(x_{M};\,y_{M})=\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2};\,\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)=\left(\dfrac{-16,8+5,6}{2};\,\dfrac{12,3+4,9}{2}\right)\to M=\left(-5,6;\,8,6\right)\checkmark


h) (12;1)\left(\frac{1}{2};\,1\right) e (52;43)\left(-\frac{5}{2};\,\frac{4}{3}\right)

M(xM;yM)=(x1+x22;y1+y22)=(12522;1+432)M=(1;76)M(x_{M};\,y_{M})=\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2};\,\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)=\left(\dfrac{\frac{1}{2}-\frac{5}{2}}{2};\,\dfrac{1+\frac{4}{3}}{2}\right)\to M=\left(-1;\,\dfrac{7}{6}\right)\checkmark

0179

Um avião voa da cidade "A", em uma linha reta até "B", que está a 120 quilômetros ao norte e 150 quilômetros a oeste de "A". Qual a distância percorrida pelo avião?

0179 - Solução

professorlopes

Se observarmos, a trajetória e as distâncias, formam um triângulo retângulo, onde as distâncias são os catetos e a "linha reta"(vamos chamar de 'd') é a hipotenusa. Assim, vamos utilizar o teorema de Pitágoras:

d2=1202+1502d=36.900d=3041d192,09kmd^2=120^2+150^2\to d=\sqrt{36.900}\to d=30\sqrt{41}\to\boxed{d\approx 192,09\,\text{km}}

0178

Um segmento de reta tem o ponto (x1;y1)(x_{1};\,y_{1}) e o ponto médio (xm;ym)(x_{m};\,y_{m}). Encontre o outro ponto (x2;y2)(x_{2};\,y_{2}) em razão de x1x_{1}, y1y_{1}, xmx_{m} e ymy_{m}.

0178 - Solução

professorlopes

Da fórmula do ponto médio, temos:

xm=x1+x22x2=2xmx1x_{m}=\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}\to\boxed{x_{2}=2x_{m}-x_{1}}

e

ym=y1+y22y2=2ymy1y_{m}=\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}\to\boxed{y_{2}=2y_{m}-y_{1}}

Portanto:

(x2;y2)=(2xmx1;  2ymy1)\boxed{(x_{2};\,y_{2})=(2x_{m}-x_{1};\,\,2y_{m}-y_{1})}

0177

Nos mesmos termos do exercício anterior, encontre (x2;y2)(x_{2};\,y_{2}), para:

a) (x1;y1)=(1;2)(x_{1};\,y_{1})=(1;\,-2) e (xm;ym)=(4;1)(x_{m};\,y_{m})=(4;\,-1)

b) (x1;y1)=(5;11)(x_{1};\,y_{1})=(-5;\,11) e (xm;ym)=(2;4)(x_{m};\,y_{m})=(2;\,4)

0177 - Soluções

professorlopes

a) (x1;y1)=(1;2)(x_{1};\,y_{1})=(1;\,-2) e (xm;ym)=(4;1)(x_{m};\,y_{m})=(4;\,-1)

(x2;y2)=(2xmx1;  2ymy1)(x_{2};\,y_{2})=(2x_{m}-x_{1};\,\,2y_{m}-y_{1})\to

(x2;y2)=[241;  2(1)(2)](x_{2;\,y_{2}})=[2\cdot 4-1;\,\,2\cdot(-1)-(-2)]\to

(x2;y2)=(7;0)\boxed{(x_{2};\,y_{2})=(7;\,0)}


b) (x1;y1)=(5;11)(x_{1};\,y_{1})=(-5;\,11) e (xm;ym)=(2;4)(x_{m};\,y_{m})=(2;\,4)

(x2;y2)=(2xmx1;  y2=2ymy1)(x_{2};\,y_{2})=(2x_{m}-x_{1};\,\,y_{2}=2y_{m}-y_{1})\to

(x2;y2)=[22(5);  2411]](x_{2};\,y_{2})=[2\cdot 2-(-5);\,\,2\cdot 4-11]]\to

(x2;y2)=(9;3)\boxed{(x_{2};\,y_{2})=(9;\,-3)}

0176

Utilize a fórmula do ponto médio três vezes, a fim de encontrar três pontos que dividam o segmento de extremos (x1;y1)(x_{1};\,y_{1}) e (x2;y2)(x_{2};\,y_{2}) em quatro partes iguais.

0176 - Solução

professorlopes

\rightarrow Primeiro ponto médio(PM1)(P_{M1}), entre os pontos (x1;y1)(x_{1};\,y_{1}) e (x2;y2)(x_{2};\,y_{2}):

PM1=(x1+x22;  y1+y22)P_{M1}=\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2};\,\,\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)

\rightarrow Segunto ponto médio(PM2)(P_{M2}), entre os pontos (x1;y1)(x_{1};\,y_{1}) e (x1+x22;  y1+y22)\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2};\,\,\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}\right):

PM2=(x1+x1+x222;  y2+y1+y222)PM2=(3x1+x24;  3y1+y24)P_{M2}=\left(\dfrac{x_{1}+\frac{x_{1}+x_{2}}{2}}{2};\,\,\dfrac{y_{2}+\frac{y_{1}+y_{2}}{2}}{2}\right)\to P_{M2}=\left(\dfrac{3x_{1}+x_{2}}{4};\,\,\dfrac{3y_{1}+y_{2}}{4}\right)

\rightarrow Terceiro ponto médio(PM3)(P_{M3}) entre os pontos (x1+x22;  y1+y22)\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2};\,\,\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}\right) e (x2;y2)(x_{2};\,y_{2}):

PM3=(x1+x22+x22;  y1+y22+y22)PM3=(x1+3x24;  y1+3y24)P_{M3}=\left(\dfrac{\frac{x_{1}+x_{2}}{2}+ x_{2}}{2};\,\,\dfrac{\frac{y_{1}+y_{2}}{2}+y_{2}}{2}\right)\to P_{M3}=\left(\dfrac{x_{1}+3x_{2}}{4};\,\,\dfrac{y_{1}+3y_{2}}{4}\right)