Página09¶

0225¶

O valor absoluto de um número real é sua grandeza, em outras palavras, é a distância entre este número real e a origem, na reta de números reais, ou, reta real. Definindo simbolicamente:

Seja \(a\) um número real; então, seu valor absoluto é:

\(|a|=\left\{\begin{array}{rrr} a, & \text{se}\quad & a\geqslant 0 \\ -a, & \text{se}\quad & a < 0 \end{array} \right.\)

De acordo com a definição, obtenha os possíveis valores reais de:

a) \(-\dfrac{x}{|x|}\)

b) \(\dfrac{|x^{2}|}{x^{2}}\)

c) \(\dfrac{|x^{2}-2|}{x^{2}-2}\)

d) \(\dfrac{|x-4|}{x-4}\)

e) \(\dfrac{2|x+5|}{x+5}\)

f) \(\dfrac{|x^{2}-9|}{x^{2}-9}\)

0225 - Soluções

Vamos às resoluções:

a) \(\quad-\dfrac{x}{|x|}\to |x|=\left\{\begin{array}{ll} x, & \text{se}\quad x>0\to -\dfrac{x}{x}=-1 \\ & \\ -x, & \text{se}\quad x<0\to -\dfrac{x}{-x}=1 \end{array} \right.\)

b) \(\quad\dfrac{|x^{2}|}{x^{2}}\to|x^{2}|=\left\{\begin{array}{ll} x^{2}, & \text{se}\quad x^{2}>0\to\forall x\in\mathbb{R^{*}}\to\dfrac{x^{2}}{x^{2}}=1 \\ & \\ -x^{2}, & \text{se}\quad x^{2}<0\to\forall x\in\mathbb{R^{*}}\to\dfrac{x^{2}}{-x^{2}}=-1 \end{array}\right.\)

c) \(\quad\dfrac{|x^{2}-2|}{x^{2}-2}\to |x^{2}-2|=\)

\(\left\{\begin{array}{ll} x^{2}-2, & \text{se}\quad x^{2}-2>0\to x<-\sqrt{2}\,\,\text{ou}\,\,x>\sqrt{2}\to \dfrac{x^{2}-2}{x^{2}-2}=1 \\ & \\ -(x^{2}-2), & \text{se}\quad x^{2}- 2<0\to -\sqrt{2}< x< \sqrt{2}\to\dfrac{-(x^{2}-2)}{x^{2}-2}=-1 \end{array}\right.\)

d) \(\quad\dfrac{|x-4|}{x-4}\to |x-4|=\)

\(\left\{\begin{array}{ll} x-4, & \text{se}\quad x-4>0\to x>4 \to \dfrac{x-4}{x-4}=1 \\ & \\ -(x-4), & \text{se}\quad x-4<0\to x<4\to \dfrac{-(x-4)}{x-4}=-1 \end{array}\right.\)

e) \(\quad\dfrac{2|x+5|}{x+5}\to |x+5|=\)

\(\left\{\begin{array}{ll} x+5, & \text{se}\quad x+5>0\to x>-5 \to \dfrac{2(x+5)}{x+5}=2 \\ & \\ -(x+5), & \text{se}\quad x+5<0\to x<-5\to \dfrac{-2(x+5)}{x+5}=-2 \end{array}\right.\)

f) \(\quad\dfrac{|x^{2}-9|}{x^{2}-9}\to |x^{2}-9|=\)

\(\left\{\begin{array}{ll} x^{2}-9, & \text{se}\quad x^{2}-9>0\to x<-3\,\,\text{ou}\,\,x>3\to \dfrac{x^{2}-9}{x^{2}-9}=1 \\ & \\ -(x^{2}-9), & \text{se}\quad x^{2}-9<0\to -3< x< 3\to\dfrac{-(x^{2}-9)}{x^{2}-9}=-1 \end{array}\right.\)

0224¶

Os valores absolutos possuem as seguintes propriedades:

\(\begin{array}{ccc} \text{1.}\,\,|a|\geqslant 0\quad & \text{2.}\,\,|-a|=|a|\quad & \text{3.}\,\,|a\cdot b|=|a|\cdot|b|\quad & \text{4.}\,\,\left|\dfrac{a}{b}\right|=\dfrac{|a|}{|b|},\,\,b\neq 0 \end{array}\)

Utilizando essas propriedades relativas aos valores absolutos de números reais, calcule a distância\((d)\), na reta real, e em valores decimais com aproximação de duas casas decimais, dos seguintes pares de números:

a) \(\quad-2\sqrt[4]{3}\quad\) e \(\quad 4\sqrt[4]{243}\)

b) \(\quad5\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}\quad\) e \(\quad-3^2\quad\)

c) \(\quad-\log_{\frac{1}{4}}(2^{-10})\quad\) e \(\quad\dfrac{1}{3}\quad\)

d) \(\quad-12,5\quad\) e \(\quad-\pi\)

e) \(\quad\text{sen}(150^{\circ})\quad\) e \(\quad\text{cotg}(30^{\circ})\quad\)

f) \(\quad|a-b|\quad\) e \(\quad|b-a|,\quad\) para \(\quad a=\sqrt{2}\quad\) e \(\quad b=\sqrt{3}\quad\)

0224 - Soluções

Vamos às resoluções:

a) \(\quad-2\sqrt[4]{3}\quad\) e \(\quad 4\sqrt[4]{243}\quad\to\)

\(d=|-2\sqrt[4]{3}|+4\sqrt[4]{3^{5}}=2\sqrt[4]{3}+12\sqrt[4]{3}=14.1,32\to \boxed{d=18,48}\)

b) \(\quad5\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}\quad\) e \(\quad-3^2\quad\to\)

\(d=\dfrac{5\sqrt{3}\cancel{\sqrt{2}}}{\cancel{\sqrt{2}}}+|-9|=5.1,73+9=8,65+9\to \boxed{d=17,65}\)

c) \(\quad-\log_{\frac{1}{4}}(2^{-10})\quad\) e \(\quad\dfrac{1}{3}\quad\to\)

\(d=|-(-10)\log_{2^{-2}}2|+0,33=|10.\left(-\frac{1}{2}\right).\log_{2}2|+0,33=\)

\(=5+0,33\to \boxed{d=5,33}\)

d) \(\quad-12,5\quad\) e \(\quad-\pi\quad\to\)

\(d=|-12,5| - |-3,14|\to d=12,5-3,14\to \boxed{d=9,36}\)

e) \(\quad\text{sen}(150^{\circ})\quad\) e \(\quad\text{cotg}(30^{\circ})\quad=\)

\(-\text{sen}(30^{o})\quad\) e \(\quad\dfrac{1}{\text{tg}(30^{o})}=\)

\(-\dfrac{1}{2}\quad\) e\(\quad\dfrac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\)

\(-\dfrac{1}{2}\quad\) e \(\quad\sqrt{3}\to\quad\) Assim:

\(d=|-0,5|+1,73\to d=0,5+1,73\to \boxed{d=2,23}\)

f) \(\quad|a-b|\quad\) e \(\quad|b-a|,\quad\) para \(\quad a=\sqrt{2}\quad\) e \(\quad b=\sqrt{3}\quad\) ou

\(|\sqrt{2}-\sqrt{3}|\) e\(|\sqrt{3}-\sqrt{2}|\to\quad\) Assim:

\(d=\sqrt{3}-\sqrt{2}-(\sqrt{3}-\sqrt{2})\to \boxed{d=0(\text{zero})}\)

0223¶

Obtenha o gráfico da equação \(y=\sqrt{x+4}\)

0223 - Gráfico

0222¶

Obtenha o gráfico da equação \(y=\sqrt{5-x}\)

0222 - Gráfico

0221¶

Obtenha o gráfico da equação \(y=x^2-3x+2\)

0221 - Gráfico

0220¶

Obtenha o gráfico da equação \(\lambda:x^2+y^2=20\)

0220 - Gráfico

0219¶

Obtenha o gráfico da equação \(y=4-|x-2|\)

0219 - Gráfico

0218¶

Obtenha o(s) intercepto(s) no eixo das abscissas(para \(y=0\)) e o(s) intercepto(s) no eixo das ordenadas(para \(x=0\)) dos gráficos de equações:

a) \(y=5x-6\)

b) \(y=\sqrt{x+4}\)

c) \(y=|3x-7|\)

d) \(y=2x^3-4x^2\)

e) \(y^2=6-x\)

0218 - Soluções

a) \(y=5x-6\)

Intercepto das abscissas, para \(y=0\to 5x-6=0\to\boxed{x=\dfrac{6}{5}}\checkmark\)
Intercepto das ordenadas, para \(x=0\to y=\cancel{5\cdot 0}-6\to\boxed{y=-6}\checkmark\)

b) \(y=\sqrt{x+4}\to\) Condição de Existência: \(\sqrt{x+4}\geqslant 0\to \boxed{x\geqslant -4}\)

Intercepto das abscissas, para \(y=0\to(\sqrt{x+4})^2=0^2\to\boxed{x=-4}\checkmark\)
Intercept das ordenadas, para \(x=0\to y=\sqrt{0+4}\to y=\sqrt{4}\to\boxed{y=2}\checkmark\)

c) \(y=|3x-7|\)

Intercepto das abscissas, para \(y=0\to|3x-7|=0\to 3x-7=0\to\boxed{x=\dfrac{7}{3}}\checkmark\)
Intercepto das ordenadas, para \(x=0\to y=|3\cdot 0-7|\to y=|-7|\to\boxed{y=7}\checkmark\)

d) \(y=2x^3-4x^2\)

Intercepto das abscissas, para \(y=0\to\)
- \(2x^3-4x^2=0\to 2x^2(x-2)\to\)... Duas possibilidades:

\(2x^2=0\to\boxed{x=0}\checkmark\)

ou

\(x-2=0\to\boxed{x=2}\checkmark\)

Intercepto das ordenadas, para \(x=0\to\)

\(y=\cancel{2\cdot 0^3}-\cancel{4\cdot 0^2}\to\boxed{y=0}\checkmark\)

e) \(y^2=6-x\)

Intercepto das abscissas, para \(y=0\to 0^2=6-x\to\boxed{x=6}\checkmark\)
Intercepto das ordenadas, para \(x=0\to y^2=6-0\to\boxed{y=\pm\sqrt{6}}\checkmark\)

0217¶

Obtenha o(s) intercepto(s) no eixo das abscissas(para \(y=0\)) e o(s) intercepto(s) no eixo das ordenadas(para \(x=0\)) dos gráficos de equações:

a) \(y=8-3x\)

b) \(y=\sqrt{2x-1}\)

c) \(y=-|x+10|\)

d) \(y=x^4-25\)

e) \(y^2=x+1\)

0217 - Soluções

a) \(y=8-3x\)

Intercepto das abscissas, para \(y=0\to 0=8-3x\to\boxed{x=\dfrac{8}{3}}\checkmark\)
Intercepto das ordenadas, para \(x=0\to y=8-\cancel{3\cdot 0}\to\boxed{y=8}\checkmark\)

b) \(y=\sqrt{2x-1}\to\) Condição de Existência: \(\sqrt{2x-1}\geqslant 0\to\boxed{x\geqslant\dfrac{1}{2}}\)

Intercepto das abscissas, para \(y=0\to 0=\sqrt{2x-1}\to 2x-1=0\to\boxed{x=\dfrac{1}{2}}\checkmark\)
Intercepto das ordenadas, para \(x=0\to y=\sqrt{2\cdot 0-1}\to\boxed{\not\exists\,\,y\in\mathbb{R}}\)
- Portanto, o gráfico dessa equação não corta(ou toca) o eixo das ordenadas.

c) \(y=-|x+10|\)

Intercepto das abscissas, para \(y=0\to\)
- Para \(x\geqslant -10\to -(x+10)=0\to-x-10=0\to\boxed{x=-10}\checkmark\)
- Para \(x<-10\to-(-x-10)=0\to x+10=0\to\boxed{\cancel{x=-10}}\)
Intercepto das ordenadas, para \(x=0\to y=-|0+10|\to\boxed{y=-10}\checkmark\)

d) \(y=x^4-25\)

Intercepto das abscissas, para \(y=0\to\)
- \(x^4-25=0\to(x^2+5)(x^2-5)=0\to\)...Duas possibilidades:

\(x^2+5=0\to\,\,\not\exists x\in\mathbb{R}\) ou

\(x^2-5=0\to\boxed{x=-\sqrt{5}\,\,\text{ou}\,\,x=\sqrt{5}}\checkmark\)

Intercepto das ordenadas, para \(x=0\to\boxed{y=-25}\checkmark\)

e) \(y^2=x+1\)

Intercepto das abscissas, para \(y=0\to x+1=0\to\boxed{x=-1}\checkmark\)
Intercepto das ordenadas, para \(x=0\to y^2=1\to\boxed{y=-1\,\,\text{ou}\,\,y=1}\checkmark\)

0216¶

Obtenha o(s) intercepto(s) no eixo das abscissas(para \(y=0\)) e o(s) intercepto(s) no eixo das ordenadas(para \(x=0\)) dos gráficos de equações:

a) \(y=-3x+1\)

b) \(y=x^2-2x\)

c) \(y=x^3+3\)

d) \(y=\sqrt{x-3}\)

e) \(y=|x-6|\)

0216 - Soluções

a) \(y=-3x+1\)

Intercepto das abscissas, para \(y=0\to -3x+1=0\to\boxed{x=\dfrac{1}{3}}\checkmark\)
Intercepto das ordenadas, para \(x=0\to\boxed{y=1}\checkmark\)

b) \(y=x^2-2x\)

Intercepto das abscissas, para \(y=0\to\)
- \(x^2-2x=0\to x(x-2)=0\to\ldots\) Duas possibilidades:

\(\boxed{x=0}\checkmark\)

ou

\(x-2=0\to\boxed{x=2}\checkmark\)

Intercepto das ordenadas, para \(x=0\to\boxed{y=0}\checkmark\)

c) \(y=x^3+3\)

Intercepto das abscissas, para \(y=0\to x^3=-3\to\boxed{x=\sqrt[3]{-3}}\checkmark\)
Intercepto das ordenadas, para \(x=0\to\boxed{y=3}\checkmark\)

d) \(y=\sqrt{x-3}\to\) Condição de Existência: \(x-3\geqslant 0\to\boxed{x\geqslant 3}\)

Intercepto das abscissas, para \(y=0\to\sqrt{x-3}=0\to\boxed{x=3}\checkmark\)
Intercepto das ordenadas, para \(x=0\to\nexists x\in\mathbb{R}\)
- Portanto, o gráfico dessa equação não corta(ou toca) o eixo das ordenadas.

e) \(y=|x-6|\)

Intercepto das abscissas, para \(y=0\to\)
- Para \(x\geqslant 6\to x-6=0\to\boxed{x=6}\checkmark\)
- Para \(x<6\to-x+6=0\to\boxed{\cancel{x=6}}\)
Intercepto das ordenadas, para \(x=0\to\boxed{y=6}\checkmark\)

0215¶

Obtenha o(s) intercepto(s) no eixo das abscissas(para \(y=0\)) e o(s) intercepto(s) no eixo das ordenadas(para \(x=0\)) dos gráficos de equações:

a) \(x=y^2-1\)

b) \(y=2x-3\)

c) \(y=-x^2-2x\)

d) \(y=x^3-1\)

e) \(y=\sqrt{1-x}\)

0215 - Soluções

a) \(x=y^2-1\)

Intercepto das abscissas, para \(y=0\to\boxed{x=-1}\checkmark\)
Intercepto das ordenadas, para \(x=0\to y^2=1\to\boxed{y=\pm 1}\checkmark\)

b) \(y=2x-3\)

Intercepto das abscissas, para \(y=0\to\boxed{x=\dfrac{3}{2}}\checkmark\)
Intercepto das ordenadas, para \(x=0\to\boxed{y=-3}\checkmark\)

c) \(y=-x^2-2x\)

Intercepto das abscissas, para \(y=0\to\)
- \(-x^2-2x=0\to-x(x+2)\ldots\) Duas possibilidades:

\(-x=0\to\boxed{x=0}\checkmark\)

ou

\(x+2=0\to\boxed{x=-2}\checkmark\)

Intercepto das ordenadas, para \(x=0\to\boxed{y=0}\checkmark\)

d) \(y=x^3-1\)

Intercepto das abscissas, para \(y=0\to x^3=1\to\boxed{x=1}\checkmark\)
Intercepto das ordenadas, para \(x=0\to\boxed{y=-1}\checkmark\)

e) \(y=\sqrt{1-x}\to\) Condição de Existência: \(1-x\geqslant 0\to\boxed{x\leqslant 1}\)

Intercepto das abscissas, para \(y=0\to\sqrt{1-x}=0\to\boxed{x=1}\checkmark\)
Intercepto das ordenadas, para \(x=0\to\boxed{y=1}\checkmark\)

0214¶

Obtenha o(s) intercepto(s) no eixo das abscissas(para \(y=0\)) e o(s) intercepto(s) no eixo das ordenadas(para \(x=0\)) dos gráficos de equações:

a) \(y=1-|x|\)

b) \(x=y^2-5\)

c) \(y=3-\dfrac{x}{2}\)

d) \(y=x^2-4x+3\)

e) \(y=\dfrac{2x}{x-1}\)

0214 - Soluções

a) \(y=1-|x|\)

Intercepto das abscissas, para \(y=0\to\)
- Para \(x\geqslant 0\to 1-x=0\to\boxed{x=1}\checkmark\)
- Para \(x<0\to 1+x=0\to\boxed{x=-1}\checkmark\)
Intercepto das ordenadas, para \(x=0\to\boxed{y=1}\checkmark\)

b) \(x=y^2-5\)

Intercepto das abscissas, para \(y=0\to\boxed{x=-5}\checkmark\)
Intercepto das ordenadas, para \(x=0\to y^2=5\to\boxed{y=\pm\sqrt{5}}\checkmark\)

c) \(y=3-\dfrac{x}{2}\)

Intercepto das abscissas, para \(y=0\to\dfrac{x}{2}=3\to\boxed{x=6}\checkmark\)
Intercepto das ordenadas, para \(x=0\to\boxed{y=3}\checkmark\)

d) \(y=x^2-4x+3\)

Intercepto das abscissas, para \(y=0\to\)
- \(x^2-4x+3=0\to\) Fórmula Quadrática \(\to\)

\(x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\times 1\times 3}}{2\times 1}\to\ldots x=\dfrac{4\pm 2}{2}\to\)

\(x=\dfrac{4-2}{2}\to\boxed{x=1}\checkmark\)

ou

\(x=\dfrac{4+2}{2}\to\boxed{x=3}\checkmark\)

Intercepto das ordenadas, para \(x=0\to\boxed{y=3}\checkmark\)

e) \(y=\dfrac{2x}{x-1}\to\) Condições de existência: \(x-1\neq 0\to\boxed{x\neq 1}\) e \(\boxed{y\neq 2}\)

Intercepto das abscissas, para \(y=0\to \dfrac{2x}{x-1}=0\to\boxed{x=0}\checkmark\)
Intercepto das ordenadas, para \(x=0\to\boxed{y=0}\checkmark\)
Observe o gráfico dessa equação que representa uma função recíproca:

0213¶

Obtenha o(s) intercepto(s) no eixo das abscissas(para \(y=0\)) e o(s) intercepto(s) no eixo das ordenadas(para \(x=0\)) dos gráficos de equações:

a) \(y=\dfrac{2x}{3}-1\)

b) \(y=x^2+x-2\)

c) \(y=\dfrac{4}{x^2+1}\)

d) \(y=\sqrt[3]{x}+2\)

e) \(y=x\sqrt{x+6}\)

0213 - Soluções

a) \(y=\dfrac{2x}{3}-1\)

Intercepto das abscissas, para \(y=0\to\dfrac{2x}{3}-1=0\to\boxed{x=\dfrac{3}{2}}\checkmark\)
Intercepto das ordenadas, para \(x=0\to\boxed{y=-1}\checkmark\)

b) \(y=x^2+x-2\)

Intercepto das abscissas, para \(y=0\to\)
- \(x^2+x-2=0\to\ldots\) Fórmula Quadrática

\(x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\times 1\times (-2)}}{2\times 1}\to x=\dfrac{1\pm 3}{2}\to\)

\(x=\dfrac{1-3}{2}\to\boxed{x=-1}\checkmark\)

ou

\(x=\dfrac{1+3}{2}\to\boxed{x=2}\checkmark\)

Intercepto das ordenadas, para \(x=0\to\boxed{y=-2}\checkmark\)

c) \(y=\dfrac{4}{x^2+1}\to\) Não há condição de existência

Intercepto das abscissas, para \(y=0\to\dfrac{4}{x^2+1}=0\to\nexists x\in\mathbb{R}\checkmark\)
- Portanto, o gráfico dessa equação não corta(ou toca) o eixo das abscissas.
Intercepto das ordenadas, para \(x=0\to\boxed{y=4}\checkmark\)

d) \(y=\sqrt[3]{x}+2\)

Intercepto das abscissas, para \(y=0\to\sqrt[3]{x}+2=0\to\boxed{x=-8}\checkmark\)
Intercepto das ordenadas, para \(x=0\to\boxed{y=2}\checkmark\)

e) \(y=x\sqrt{x+6}\to\) Condição de Existência \(x+6\geqslant 0\to\boxed{x\geqslant-6}\)

Intercepto das abscissas, para \(y=0\to x\sqrt{x+6}=0\to\)
- \(x^2\cdot(x+6)=0\to\) Duas Possibilidades:

\(x^2=0\to\boxed{x=0}\checkmark\)

ou

\(x+6=0\to\boxed{x=-6}\checkmark\)

-Intercepto das ordenadas, para \(x=0\to\boxed{y=\sqrt{6}}\checkmark\)

0212¶

Obtenha o(s) intercepto(s) no eixo das abscissas(para \(y=0\)) e o(s) intercepto(s) no eixo das ordenadas(para \(x=0\)) dos gráficos de equações:

a) \(y=|x-3|\)

b) \(y=\sqrt[3]{x+1}\)

c) \(y=(6-x)\cdot\sqrt{x}\)

d) \(y=2-|x|\)

e) \(y=\left|2-x\right|\)

0212 - Soluções

a) \(y=|x-3|\)

Intercepto das abscissas, para \(y=0\to\)
- Para \(x\geqslant 3\to x-3=0\to\boxed{x=3}\checkmark\)
- Para \(x<3\to -x+3=0\to\boxed{\cancel{x=3}}\)
Intercepto das ordenadas, para \(x=0\to\boxed{y=3}\checkmark\)

b) \(y=\sqrt[3]{x+1}\)

Intercepto das abscissas, para \(y=0\to\sqrt[3]{x+1}=0\to\boxed{x=-1}\checkmark\)
Intercepto das ordenadas, para \(x=0\to\boxed{y=1}\checkmark\)

c) \(y=(6-x)\cdot\sqrt{x}\to\) Condição de Existência \(\boxed{x\geqslant 0}\)

Intercepto das abscissas, para \(y=0\to\left(\sqrt{x}\cdot(6-x)\right)^2=(0)^2\to\)
- \(x(6-x)^2=0\to\) Duas Possibilidades:

\(\boxed{x=0}\checkmark\)

ou

\((6-x)^2=0\to 6-x=0\to\boxed{x=6}\checkmark\)

d) \(y=2-|x|\)

Intercepto das abscissas, para \(y=0\to\)
- Para \(x\geqslant 0\to 2-x=0\to\boxed{x=2}\checkmark\)
- Para \(x<0\to 2-(-x)=0\to2+x=0\to\boxed{x=-2}\checkmark\)
Intercepto das ordenadas, para \(x=0\to\boxed{y=2}\)

e) \(y=\left|2-x\right|\)

Intercepto das abscissas, para \(y=0\to\)
- Para \(x\leqslant 2\to 2-x=0\to\boxed{x=2}\checkmark\)
- Para \(x>2\to-2+x=0\to\boxed{\cancel{x=2}}\)
Intercepto das ordenadas, para \(x=0\to\boxed{y=2}\checkmark\)

0211¶

Obtenha a equação reduzida de cada circunferência\((\lambda)\), sendo dadas as características:

a) Centro \(C(0;\,0)\) e Raio \(R=4\)

b) Centro \(C(0;\,0)\) e Raio \(R=5\)

c) Centro \(C(2;\,-1)\) e Raio \(R=4\)

d) Centro \(C(-7;\,-4)\) e Raio \(R=7\)

e) Centro \(C(-1;\,2)\) e Ponto pertencente \(P(0;\,0)\)

f) Centro \(C(3;\,-1)\) e Ponto pertencente \(P(-1;\,1)\)

g) Diâmetro\((d)\) de extremos \((0;\,0)\) e \((6;\,8)\)

h) Diâmetro\((d)\) de extremos \((-4;\,-1)\) e \((4;\,1)\)

0211 - Soluções

a) Centro \(C(0;\,0)\) e Raio \(R=4\)

\(\lambda: (x-0)^2+(y-0)^2=4^2\to\boxed{\lambda: x^2+y^2=16}\)

b) Centro \(C(0;\,0)\) e Raio \(R=5\)

\(\lambda: (x-0)^2+(y-0)^2=5^2\to\boxed{\lambda: x^2+y^2=25}\)

c) Centro \(C(2;\,-1)\) e Raio \(R=4\)

\(\lambda: (x-2)^2+(y+1)^2=4^2\to\boxed{\lambda: (x-2)^2+(y+1)^2=16}\)

d) Centro \(C(-7;\,-4)\) e Raio \(R=7\)

\(\lambda: (x+7)^2+(y+4)^2=7^2\to\boxed{\lambda: (x+7)^2+(y+4)^2=49}\)

e) Centro \(C(-1;\,2)\) e Ponto pertencente \(P(0;\,0)\)

Raio \(R=d_{CP}=\sqrt{(-1-0)^2+(2-0)^2}\to R=\sqrt{5}\)

\(\lambda: (x+1)^2+(y-2)^2=\left(\sqrt{5}\right)^2\to\boxed{\lambda:(x+1)^2+(y-2)^2=5}\)

f) Centro \(C(3;\,-1)\) e Ponto pertencente \(P(-1;\,1)\)

Raio \(R=d_{CP}=\sqrt{(3+1)^2+(-1-1)^2}\to R=\sqrt{20}\)

\(\lambda: (x-3)^2+(y+1)^2=\left(\sqrt{20}\right)^2\to\boxed{\lambda:(x-3)^2+(y+1)=20}\)

g) Diâmetro\((d)\) de extremos \((0;\,0)\) e \((6;\,8)\)

Centro\((C)\) é o ponto médio\((P_{M})\) entre os extremos do diâmetro, isto é:

\(C=P_{M}=\left(\dfrac{0+6}{2};\,\dfrac{0+8}{2}\right)\to C(3;\,4)\)

Raio\((R)\) é a metade da distância entre os extremos do diâmetro, isto é:

\(R=\dfrac{\sqrt{(6-0)^2+(8-0)^2}}{2}\to R=\dfrac{10}{2}\to R=5\)

Assim:

\(\lambda: (x-3)^2+(y-4)^2=5^2\to\boxed{\lambda:(x-3)^2+(y-4)^2=25}\)

h) Diâmetro\((d)\) de extremos \((-4;\,-1)\) e \((4;\,1)\)

Centro\((C)\) é o ponto médio\((P_{M})\) entre os extremos do diâmetro, isto é:

\(C=P_{M}=\left(\dfrac{-4+4}{2};\,\dfrac{-1+1}{2}\right)\to C(0;\,0)\)

Raio\((R)\) é a metade da distância entre os extremos do diâmetro, isto é:

\(R=\dfrac{\sqrt{(-4-4)^2+(-1-1)^2}}{2}\to R=\dfrac{\cancel{2}\sqrt{5}}{\cancel{2}}\to R=\sqrt{5}\)

Assim:

\(\lambda: (x-0)^2+(y-0)^2=\left(\sqrt{5}\right)^2\to\boxed{\lambda:x^2+y^2=5}\)

0210¶

Obtenha o centro\((C)\), o raio\((r)\) e construa o gráfico da circunferência de equação \(\lambda: x^2+ y^2=25\)

0210 - Solução

\(C(0;\,0)\) e \(R=5\)

0209¶

Obtenha o centro\((C)\), o raio\((r)\) e construa o gráfico da circunferência de equação \(\lambda: (x-1)^2+(y+3)^2=9\)

142 - Solução

\(C(1;\,-3)\) e \(R=3\)

0208¶

Obtenha o centro\((C)\), o raio\((r)\) e construa o gráfico da circunferência de equação \(\lambda: \left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{9}{4}\)

0208 - Solução

\(C\left(\dfrac{1}{2};\,\dfrac{1}{2}\right)\) e \(R=\dfrac{3}{2}\)

0207¶

Obtenha o centro\((C)\), o raio\((r)\) e construa o gráfico da circunferência de equação \(\lambda: (x-2)^2+(y-3)^2=\dfrac{16}{9}\)

0207 - Solução

\(C(2;\,3)\) e \(R=\dfrac{4}{3}\)

0206¶

Obtenha o centro\((C)\), o raio\((r)\) e construa o gráfico da circunferência de equação \(\lambda: x^2+ y^2=16\)

0206 - Solução

\(C(0;\,0)\) e \(R=4\)

0205¶

Obtenha o centro\((C)\), o raio\((r)\) e construa o gráfico da circunferência de equação \(\lambda: x^2+(y-1)^2=1\)

0205 - Solução

\(C(0;\,1)\) e \(R=1\)

Testes Algébricos para Simetria

Um gráfico é simétrico em relação ao eixo das abscissas quando, a substituição de \(y\) por \(-y\), produz uma equação equivalente(\(^*\)).
Um gráfico é simétrico em relação ao eixo das ordenadas quando, a substituição de \(x\) por \(-x\), produz uma equação equivalente.
Um gráfico é simétrico em relação à origem do sistema cartesiano quando, as substituições de \(x\) por \(-x\) e \(y\) por \(-y\), produzem uma equação equivalente.

(\(^*\)) Equações equivalentes são aqueles que possuem as mesmas soluções algébricas ou os mesmos pontos solução.

0204¶

Utilize os testes algébricos a fim de verificar a simetria(ou não) dos seguintes gráficos de equação:

a) \(x^2-y=0\)

b) \(y=x^3\)

0204 - Soluções

a) \(x^2-y=0\)

\((-x)^2-y=0\Rightarrow x^2-y=0\Rightarrow\) Há Simetria com o eixo das ordenadas
\(x^2-(-y)=0\Rightarrow x^2+y=0\Rightarrow\) Não há simetria com o eixo das abscissas
\((-x)^2-(-y)=0\Rightarrow x^2+y=0\Rightarrow\) Não há simetria com a origem

b) \(y=x^3\)

\(y=(-x)^3\Rightarrow y=-x^3\Rightarrow\) Não há simetria com o eixo das ordenadas
\(-y=x^3\Rightarrow y=-x^3\Rightarrow\) Não há simetria com o eixo das abscissas
\(-y=(-x)^3\Rightarrow -y=-x^3\Rightarrow y=x^3\) Há simetria com a origem

0203¶

Utilize os testes algébricos a fim de verificar a simetria(ou não) dos seguintes gráficos de equação:

a) \(y=\dfrac{x}{x^2+1}\)

b) \(xy^2+10=0\)

0203 - Soluções

a) \(y=\dfrac{x}{x^2+1}\)

\(y=\dfrac{-x}{(-x)^2+1}\Rightarrow-y=\dfrac{-x}{x^2+1}\Rightarrow\) Não há simetria com o eixo das ordenadas
\(-y=\dfrac{x}{x^2+1}\Rightarrow y=\dfrac{-x}{x^2+1}\Rightarrow\) Não há simetria com o eixo das abscissas
\(-y=\dfrac{-x}{(-x)^2+1}\Rightarrow-y=\dfrac{-x}{x^2+1}\Rightarrow y=\dfrac{x}{x^2+1}\) Há simetria com a origem

b) \(xy^2+10=0\)

\((-x)y^2+10=0\Rightarrow-xy^2+10=0\Rightarrow\) Não há simetria com o eixo das ordenadas
\(x(-y)^2+10=0\Rightarrow xy^2+10=0\Rightarrow\) Há simetria com o eixo das abscissas
\((-x)(-y)^2+10=0\Rightarrow-xy^2+10=0\Rightarrow\) Não há simetria com a origem

0202¶

Utilize os testes algébricos a fim de verificar a simetria(ou não) dos seguintes gráficos de equação:

a) \(x-y^2=0\)

b) \(y=x^4-x^2+3\)

0202 - Soluções

a) \(x-y^2=0\)

\(-x-y^2=0\Rightarrow-(x+y^2)=0\Rightarrow\) Não há simetria com o eixo das ordenadas
\(x-(-y)^2=0\Rightarrow x-y^2=0\Rightarrow\) Há simetria com o eixo das abscissas
\(-x-(-y)^2=0\Rightarrow-x-y^2=0\Rightarrow\) Não há simetria com o eixo das ordenadas

Observe o gráfico da equação:

b) \(y=x^4-x^2+3\)

\(y=(-x)^4-(-x)^2+3\Rightarrow y=x^4-x^2+3\Rightarrow\) Há simetria com o eixo das ordenadas
\(-y=x^4-x^2+3\Rightarrow y=-(x^4-x^2+3)\Rightarrow\) Não há simetria com o eixo das abscissas
\(-y=(-x)^4-(-x)^2+3\Rightarrow y=-(x^4-x^2+3)\Rightarrow\) Não há simetria com a origem

Observe o gráfico da equação:

0201¶

Utilize os testes algébricos a fim de verificar a simetria(ou não) dos seguintes gráficos de equação:

a) \(y=\dfrac{1}{x^2+1}\)

b) \(xy=4\)

0201 - Soluções

a) \(y=\dfrac{1}{x^2+1}\)

\(y=\dfrac{1}{(-x)^2+1}\Rightarrow y=\dfrac{1}{x^2+1}\Rightarrow\) Há simetria com o eixo das ordenadas
\(-y=\dfrac{1}{x^2+1}\Rightarrow y=-\dfrac{1}{x^2+1}\Rightarrow\) Não há simetria com o eixo das abscissas
\(-y=\dfrac{1}{(-x)^2+1}\Rightarrow y=-\dfrac{1}{x^2+1}\Rightarrow\) Não há simetria com a origem

Observe o gráfico da equação:

b) \(xy=4\)

\((-x)y=4\Rightarrow-xy=4\Rightarrow\) Não há simetria com o eixo das ordenadas
\(x(-y)=4\Rightarrow-xy=4\Rightarrow\) Não há simetria com o eixo das abscissas
\((-x)(-y)=4\Rightarrow xy=4\Rightarrow\) Há simetria com a oritem

Observe o gráfico da equação: