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0250¶

Disserte sobre o tema "Produto Cartesiano"

0250 - Dissertação

Define-se produto cartesiano do conjunto "A" por "B" (escreve-se $A\times B$ e lê-se 'A cartesiano B'), o conjunto formado por todos os pares ordenados $(x;\,y)$ tal que $x\in A$ e $y\in B$, isto é:

$A\times B=\{(x;\,y)\,/\,x\in A\,\,\text{e}\,\,y\in B\}$

Exemplo001: Seja $A=\{1;\,3;\,5\}$ e $B=\{0;\,4\}$, obtenha

a) $A\times A\Rrightarrow A\times A=\{(1;\,1),\,(1;\,3),\,(1;\,5),\,(3;\,1),\,(3;\,3),\,(3;\,5),\,(5;\,1),\,(5;\,3),\,(5;\,5)\}$

b) $A\times B\Rrightarrow A\times B=\{(1;\,0),\,(1;\,4),\,(3;\,0),\,(3;\,4),\,(5;\,0),\,(5;\,4)\}$

c) $B\times B\Rrightarrow B\times B=\{(0;\,0),\,(0;\,4),\,(4;\,0),\,(4;\,4)\}$

d) $B\times A\Rrightarrow B\times A=\{(0;\,1),\,(0;\,3),\,(0;\,5),\,(4;\,1),\,(4;\,3),\,(4;\,5)\}$

O produto cartesiano possui algumas propriedades

$A\times\varnothing=\varnothing$
$A\times B\neq B\times A$, para $A\neq B\neq\varnothing$
Se "A" possui "m" elementos e "B" possui "n" elementos, então $A\times B$ possui $m\cdot n$ elementos
$\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2$ que simboliza todo o plano cartesiano.

Para intervalos de números reais, o método da listagem (visto acima) torna-se ineficaz. Nesses casos, devemos obter o produto cartesiano graficamente.

Exemplo002 Dados os intervalos reais $A=[1;\,4]$ e $B=[2;\,5]$, obtenha $A\times B$

Exemplo003 Dados os intervalos reais $C=]1;\,4]$ e $D=[2;\,5[$, obtenha $C\times D$

0249¶

Em um colégio, verificou-se que 120(cento e vinte) alunos não têm pai professor; 130(cento e trinta) alunos não têm mãe professora e 5(cinco) têm pai e mãe professores. Qual o número de alunos do colégio, sabendo-se que 55(cinquenta e cinco) alunos possuem pelo menos um dos pais professor e que não existem alunos irmãos?

0249 - Resposta

155 alunos

0249 - Solução

Observe a imagem ilustrativa da situação

Portanto, e sabendo que $P+M=55$, teremos:

O total$(T)$ de alunos dado por:

Pelo lado esquerdo: $T=100+20+5+30\to\boxed{T=155\,\,\text{alunos}}\checkmark$

ou, se preferir:

Pelo lado direito: $T=100+30+5+20\to\boxed{T=155\,\,\text{alunos}}\checkmark$

A little about real numbers

by Stitz-Zeager:

The playground for most of this text is the set of Real Numbers. Many quantities in the ‘real world’ can be quantified using real numbers: the temperature at a given time, the revenue generated by selling a certain number of products and the maximum population of Sasquatch which can inhabit a particular region are just three basic examples. A succinct, but nonetheless incomplete5 definition of a real number is given below.

Definition: A real number is any number which possesses a decimal representation. The set of real numbers is denoted by the character $\mathbb{R}$.

Special Subsets of Real Numbers

The Natural Numbers: $\mathbb{N}=\{1,\,2,\,3,\ldots\}$. The periods of ellipsis '...' here indicate that the natural numbers contain 1, 2, 3 'and so forth'.
The Whole Numbers: $\mathbb{W}=\{0,\,1,\,2,\,\ldots\}$.
The Integers: $\mathbb{Z}=\{\ldots,\,-3,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,3,\,\ldots\}=\{0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\pm 3,\,\ldots\}$
The Rational Numbers: $Q=\left\{\frac{a}{b}\,\,/\,\,a\in\mathbb{Z}\,\,\text{and}\,\,b\in\mathbb{Z}^{*}\right\}$. Rational numbers are the ratios of integers where the denominator is not zero.
The Irrational Numbers: $\mathbb{P}=\{x\,/\,x\in\mathbb{R}\,\text{but}\,x\notin\mathbb{Q}\}$. That is, an irrational number is a real number which isn't rational.

Note that every natural number is a whole number which, in turn, is an integer. Each integer is arational number (take b = 1 in the above definition for $\mathbb{Q}$) and since every rational number is a realnumber the sets $\mathbb{N},\,\mathbb{W},\,\mathbb{Z}\,\mathbb{Q}$ and $\mathbb{R}$ are nested like Matryoshka dolls. More formally, these setsform a subset chain: $\mathbb{N}\subseteq\mathbb{W}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}$. The reader is encouraged to sketch a Venn Diagram depicting $\mathbb{R}$ and all of the subsets mentioned above. It is time for a question.

0248 ¶

by Stitz-Zeager

Write a roster description for $P=\left\{2^n\,/\,n\in\mathbb{N}\right\}$ and $E=\{2n\,/\,n\in\mathbb{Z}\}$;
Write a verbal description for $S=\left\{x^2\,/\,x\in\mathbb{R}\right\}$.

0248 - Solutions

by Stitz-Zeager

To find a roster description for these sets, we need to list their elements. Starting with $P=\{2^n\,/\,n\in\mathbb{N}\}$, we substitute natural number valuesninto the formula $2^n$. For $n=1$ we get $2^1=2$, for $n=2$ we get $2^2=4$, for $n=3$ we get $2^3=8$ and for $n=4$ we get $2^4=16$. Hence $\mathbb{P}$ describes the powers of 2, so a roster description for $\mathbb{P}$ is $P=\{2,\,4,\,8,\,16,\ldots\}$ where the ‘$\ldots$’ indicates the that pattern continues. Proceeding in the same way, we generate elements in $E=\{2n\,/\,n\in\mathbb{Z}\}$ by plugging in integervalues of $n$ into the formula $2n$. Starting with $n=0$ we obtain $2(0)=0$. For $n=1$ we get $2(1)=2$, for $n=-1$ we get $2(-1)=-2$ for $n=2$, we get $2(2) = 4$ and for $n=-2$ we get $2(-2)=-4$. As $n$ moves through the integers, $2n$ produces all of the even integers. A roster description for$E$ is $E=\{0,\,\pm 2,\,\pm 4,\ldots\}$.
One way to verbally describe$S$ is to say that $S$ is the 'set of all squares of real numbers'. While this isn't incorrect, we'd like to take this opportunity to delve a little deeper. Whatmakes the set $S=\{x^2\,/\,x\in\mathbb{R}\}$ a little trickier to wrangle than the sets $P$ or $E$ above is that the dummy variable here,$x$, runs through all real numbers. Unlike the natural numbers orthe integers, the real numbers cannot be listed in any methodical way. Nevertheless, we can select some real numbers, square them and get a sense of what kind of numbers lie in $S$. For $x=-2$, $x^2=(-2)^2=4$ so $4$ is in $S$, as are $\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}$ and $(\sqrt{117})^2=117$. Even things like $(-\pi)^2$ and $(0.101001000100001 ...)^2$ are in $S$. So suppose $s\in S$. What can be said about $s$? We know there is some real number $x$ so that $s=x^2$. Since $x^2\geqslant 0$ for any real number $x$, we know $s\geqslant 0$. This tells us that everything in $S$ is a non-negative real number. This begs the question: are all of the non-negative real numbers in $S$? Suppose $n$ is a non-negative real number, that is, $n\geqslant 0$. If $n$ were in $S$,there would be a real number $x$ so that $x^2=n$. As you may recall, we can solve $x^2=n$ by 'extracting square roots': $x=\pm\sqrt{n}$. Since $n\geqslant 0$, $\sqrt{n}$ is a real number. Moreover, $\sqrt{n}^2=n$ so $n$ is the square of a real number which means$n\in S$. Hence, $S$ is the set of non-negative real numbers.

Retas Perpendiculares

Disponível em: < https://www.todamateria.com.br/retas-perpendiculares/ >
Acessado em: 21 mar. 2019.

Rosimar Gouveia - Professora de Matemática e Física

Duas retas são perpendiculares quando ao se cruzarem forma um ângulo de $90^{\circ}$. Utilizamos o símvolo $\perp$ para indicar que duas retas são perpendiculares. Podemos identificar se duas retas são perpendiculares analisando a relação entre seus coeficientes angulares.

Condições de Perpendicularismo

A reta "$r$", de coeficiente angular "$m_{1}$", e a reta "$s$", de coeficiente angular "$m_{2}$", serão perpendiculares se:

$r\perp s\Leftrightarrow m_{2}=-\dfrac{1}{m_{1}}$

Assim, para duas retas serem perpendiculares é necessário que o coeficiente angular de uma seja igual ao oposto do inverso do coeficiente angular da outra.

Para chegar a essa condição, consideremos que a inclinação das retas $r$ e $s$ são, respectivamente, $\alpha_{1}\,$ e $\,\alpha_{2}$, conforme a figura abaixo:

No triângulo ABC da figura identificamos a seguinte relação:

$\alpha_{2}=\alpha_{1}+90^{\circ}$

Calculando a tangente dos dois lados da equação, temos:

$\text{tg}\,\alpha_{2}=\text{tg}\,(\alpha_{1}+90^{\circ})$

Lembrando que a tangente de um ângulo é dada pela razão entre o seno e o cosseno deste ângulo, então:

$\text{tg}\,\alpha_{2}=\dfrac{\text{sen}\,\alpha_{1}\cdot\cos\,90^{\circ}+\text{sen}\,90^{\circ}\cdot\cos\,\alpha_{1}}{\cos\,\alpha_{1}\cdot\cos\,90^{\circ}-\text{sen}\,\alpha_{1}\cdot\text{sen}\,90^{\circ}}$

Sendo sen$\,90^{\circ}=0$ e substituindo esses valores na equação acima, encontramos:

$\text{tg}\,\alpha_{2}=\dfrac{\cos\,\alpha_{1}}{-\text{sen}\,\alpha_{1}}$

Considerando

$\dfrac{\cos\,\alpha_{1}}{-\text{sen}\,\alpha_{1}}=-\dfrac{1}{\text{tg}\,\alpha_{1}}$

e que

$\text{tg}\,\alpha_{1}=m_{1}\,\,$ e $\,\,\text{tg}\,\alpha_{2}=m_{2}$

temos:

$m_{2}=-\dfrac{1}{m_{1}}\,\,$ ou $\,\,m_{1}\cdot m_{2}=-1$

Conforme queríamos demonstrar. Vamos a um exemplo:

Determine a equação da reta s que passa pelo ponto $P(1;\,4)$ e é perpendicular à reta r cuja equação é $x-y-1=0$

Primeiro, vamos encontrar o coeficiente angular da reta $s$. Como ela é perpendicular à reta $r$, vamos considerar a condição de perpendicularismo

$r\perp s\Leftrightarrow m_{s}=-\dfrac{1}{m_{r}}=-1$

Como s passa pelo ponto $(1;\,4)$, podemos escrever:

$y-4=-1(x-1)\Rightarrow y-4=-x+1\Rightarrow y=-x+5$

Assim, a equação da reta s, perpendicular à reta r e que passa pelo ponto P é:

$\boxed{x+y-5=0}$

Método Prático

Quando conhecemos a equação geral de duas retas, podemos verificar se são perpendiculares(ou não) através dos coeficientes de $x$ e $y$.

Assim, dadas as retas $r:a_{r}x+b_{r}y+c_{r}=0\,$ e $\,s:a_{s}x+b_{s}y+c_{s}=0$, elas serão perpendiculares se:

$\boxed{a_{r}\cdot a_{s}+b_{r}\cdot b_{s}=0}$

Observe os exercícios resolvidos 154 e 155

0247¶

São dados os pontos $A(3;\,4)\,$ e $\,B(1;\,2)$. Determine a equação da mediatriz de $\overline{AB}$.

0247 - Resposta

$x+y-5=0$

0247 - Solução

Professora Rosimar Gouvea

A mediatriz é uma reta perpendicular a $\overline{AB}$, passando pelo seu ponto médio. Calculando esse ponto temos:

$M\left(\dfrac{x_{a}+x_{b}}{2};\,\dfrac{y_{a}+y_{b}}{2}\right)$

$M\left(\dfrac{3+1}{2};\,\dfrac{4+2}{2}\right)\Rightarrow M(2;\,3)$

Calculando o coeficiente angular da reta:

$m_{1}=\dfrac{2-4}{1-3}=\dfrac{2}{2}=1$

Como a mediatriz é perpendicular, temos:

$m_{2}=-\dfrac{1}{1}=-1$

Assim, a equação da mediatriz será:

$y-3=-1(x-2)\Rightarrow x+y-5=0$

0246¶

Determine a equação da reta $s$, perpendicular à reta $r$ de equação $3x+2y-4=0$, no ponto em que esta intersecta o eixo das abscissas.

0246 - Resposta

$2x-3y-\dfrac{8}{3}=0$

0246 - Solução

Professora Rosimar Gouveia

O coeficiente angular da reta $r$ é $m_{r}=-\dfrac{3}{2}$

Quando a reta intersecta o eixo das abscissas, $y=0$, assim

$3x+2\cdot 0-4=0\Rightarrow x=\dfrac{4}{3}\,$ e $\,P\left(\dfrac{4}{3};\,0\right)$

O coeficiente angular da reta perpendicular, será:

$m_{s}=-\dfrac{1}{-\frac{3}{2}}=\dfrac{2}{3}$

Assim, a equação da reta perpendicular é:

$y-0=\dfrac{2}{3}\left(x-\dfrac{4}{3}\right)\Rightarrow 3y=2x-\dfrac{8}{3}\Rightarrow 2x-3y-\dfrac{8}{3}=0$

0245¶

Na tabela a seguir, a dado o preço pago pelo produto "A" em função da quantidade adquirida:

Quantidade (Kg)	Preço (R$)
0,5	10,00
1,0	20,00
1,5	30,00
2,0	40,00
2,5	50,00

Pergunta-se:

a. Quanto será pago por 4,5Kg desse produto?

b. Dispondo de R$ 450,00, qual a quantidade máxima que pode ser adquirida?

c. Determine a lei que relaciona o preço$(p)$ em função da quantidade$(n)$, em quilogramas, adquirida?

0245 - Respostas

a. R$ 90,00(noventa reais)

b. 22,5Kg(vinte e dois e meio quilogramas)

c. $p(n)=20\cdot n$

0245 - Soluções

a. Observe que cada quilograma custa R$ 20,00. A partir desse dado, teremos:

$20\times 4,5=90\Rightarrow$ Total de R$90,00(noventa reais)

b. Inversa ao item anterior, temos agora o valor de reais, portanto, basta dividi-lo por 20(preço unitário), a fim de obter o valor exato(e máximo) a ser comprado, assim:

$450\div 20=22,5\Rightarrow$ Total máximo de 22,5Kg

c. Basta transcrever nosso raciocínio às variáveis fornecidas, assim:

$p(n)=20\cdot n$

0244¶

Sabe-se que um processo de divisão celular em que cada célula subdivide-se em outras duas a cada 2(duas) horas.

a. A partir de uma única célula, iníciamos a experiência. Apresente uma tabela a fim de representar a quantidade de células presentes nessa cultura após 0, 2, 4, 8, 16 e 32 horas do início da experiência.

b. Qual o tempo mínimo de horas necessárias para que haja 4096(quatro mil e noventa e seis), ou mais, células na cultura.

c. Determine a lei que relaciona o número de células$(n)$ encontrado na cultura após um tempo$(t)$, em horas, a partir do início dessa experiência.

0244 - Respostas

a. Vide Tabela Resolutiva

b. 24(vinte e quatro) horas

c. $n(t)=2^{\frac{t}{2}},\,\,t\,\,$ em horas.

0244 - Soluções

a. Vamos à tabela:

Tempo($h$)	Quantidade($n$)
1,0	$\sqrt{2}$(*)
2,0	2
4,0	4
6,0	8
8,0	16
10,0	32

(*) Ainda não se completou a primeira divisão celular.

b. Se a cada 2(duas), dobra a quantidade de bactérias, basta sabermos quantas "dobras" houve até chegarmos à 4096 bactérias. E isso é conseguido, fatorando o valor de 4096:

$4096=\underbrace{2\times 2\times 2\ldots}_{\text{12 vezes}}$ Portanto, 12 "dobras" de duas horas, dão, 24(vinte e quatro) horas.

Forma Alternativa: Chamemos de $k$ essas "dobras", assim, podemos visualizar o processo como uma equação exponencial, de base 2(dois) e com expoente $k$, aplicada a uma quantidade de 4096, assim:

$2^k=4096\Rightarrow \cancel{2}^k=\cancel{2}^{12}\Rightarrow\boxed{k=12\,\,\text{grupos de duas horas}}\checkmark$

Entretanto, como $k$ tem o valor de 2(duas horas), então, em $k=12$, há exatas vinte e quatro horas.

c. Observe que a lei de formação deve ser obtida para $t$ em horas (e não a cada duas horas):

$n(t)=2^{\frac{t}{2}},\,\,t\,\,$ em horas.

0243¶

Sabe-se que, nos pulmões, o ar atinge a temperatura do corpo e que, ao ser exalado, tem temperatura inferior à do corpo, já que é resfriado nas paredes do nariz. Através de medições realizadas em um laboratório foi obtida a função

$T_{E}=8,5+0,75\times T_{A}$, para $12^{\circ}\leqslant T_{A}\leqslant 30^{\circ}$,

em $T_{E}$ e $T_{A}$ representam, respectivamente, a temperatura, em Celsius, do ar exalado e a temperatura, em Celsius, do ambiente. Calcule:

a. A temperatura ambiente quando $T_{E}=25^{\circ}$

b. O menor valor que pode ser obtido, por essa fórmula, para $T_{E}$

c. O maior valor que pode ser obtido, por essa fórmula, para $T_{E}$

0243 - Respostas

a. $T_{A}=22^{\circ}C$

b. $T_{E}=17,5^{\circ}C$

c. $T_{E}=31^{\circ}C$

0243 - Soluções

a. Para $T_{E}=25\to$

$25=8,5+0,75\times T_{A}\to 0,75T_{A}=16,5\to\boxed{T_{A}=22^{\circ}C}\checkmark$

b. $T_{E}$ mínimo será obtido quando $T_{A}=12$, assim:

$T_{E}=8,5+0,75\times 12\to T_{E}=8,5+9\to\boxed{T_{E}=17,5^{\circ}C}\checkmark$

c. $T_{E}$ máximo será obtido quando $T_{A}=30$, assim:

$T_{E}=8,5+0,75\times 30\to T_{E}=8,5+22,5\to\boxed{T_{E}=31^{\circ}C}\checkmark$

0242¶

Dada a função $f:\mathbb{N}\to\mathbb{Z}$, definida por $f(x)=-3x+7$, calcule:

Os valores das imagens para os domínios:

a) $f(-1),\quad$ b) $f(0),\quad$ c) $f(1),\quad$ d) $f(2),\quad$ e) $f(3)$

Os valores dos domínios para as imagens:

a) $f(x)=-12,\quad$ b) $f(x)=-9,\quad$ c) $f(x)=1,\quad$ d) $f(x)=4,\quad$ e) $f(x)=10$

0242 - Respostas

a) $f(-1)=\nexists\quad$ b) $f(0)=7\quad$ c) $f(1)=4\quad$ d) $f(2)=1\quad$ e) $f(3)=-2$
a) $\nexists x\quad$ b) $\nexists x\quad$ c) $x=2\quad$ d) $x=1\quad$ e) $\nexists x$

0242 - Soluções

Observe que o domínio$(x)$ está restrito aos naturais e a imagem$(y)$ restrita aos inteiros, assim:

1. As imagens serão os valores de $f(x)$ ou $y$, para:

1.a $f(-1)=\nexists$, pois o domínio se restringe aos naturais

1.b $f(0)=-3\cdot 0+7\to f(-1)=7$

1.c $f(1)=-3\cdot(1)+7\to f(1)=4$

1.d $f(2)=-3\cdot(2)+7\to f(2)=1$

1.e $f(3)=-3\cdot(3)+7\to f(3)=-2$

2. Os domínios serão os valores de $x$, para:

2.a $f(x)=-12\to -3x+7=-12\to-3x=-19\to x=\dfrac{19}{3}=6,\overline{3}\notin\mathbb{N}$

2.b $f(x)=-9\to -3x+7=-9\to-3x=-16\to x=\dfrac{16}{3}=5,\overline{3}\notin\mathbb{N}$

2.c $f(x)=1\to -3x+7=1\to-3x=-6\to\boxed{x=2}\checkmark$

2.d $f(x)=4\to -3x+7=4\to-3x=-3\to\boxed{x=1}\checkmark$

2.e $f(x)=10\to -3x+7=10\to-3x=3\to x=-1\notin\mathbb{N}$

0241¶

Seja $f$ uma função cuja propriedade é $f(x+1)=2\cdot f(x)+1$, para $x\in\mathbb{R}$. Se $f(1)=-5$, obtenha:

a. $f(0)$

b. $f(2)$

c. $f(4)$

0241 - Respostas

a. $f(0)=-3\quad$ b. $f(2)=-9\quad$ c. $f(4)=-33$

0241 - Soluções

a. $f(0)\Rrightarrow f(0+1)=2\cdot f(0)+1\to f(1)=-5=2\cdot f(0)+1\to\boxed{f(0)=-3}\checkmark$

b. Para $f(2),\,\,\text{utilizaremos}\,\,x=1\Rrightarrow f(1+1)=2\cdot f(1)+1\to\boxed{f(2)=-9}\checkmark$

c. Para $f(4)$, devemos proceder em duas etapas:

$\Rrightarrow$ Façamos para $x=2$, isto é: $f(2+1)=2\cdot f(2)+1\to f(3)=2\cdot(-9)+1\to\boxed{f(3)=-17}$

$\Rrightarrow$ Utilizando $f(3)$: $f(3+1)=2\cdot f(3)+1\to f(4)=2\cdot(-17)+1\to\boxed{f(4)=-33}\checkmark$

0240¶

Lembrando que domínio$(D)$ de uma dada função são todos os valores de $x\in\mathbb{R}$ que podem ser utilizados(ou não) a fim de que essa função exista(ou não). Assim, estabeleça o domínio das seguintes funções:

$\begin{array}{clcl} a. & y=\sqrt{x-7} & b. & y=\sqrt[5]{5x+2}\\ &&\\ c. & y=\dfrac{\sqrt[3]{x-1}}{\sqrt{7x-21}} & d. & f(x)= \dfrac{3x-2}{4x^2-x}\\ &&\\ e. & f(x)=\dfrac{9}{x^3-2x^2} & f. & f(x)=\sqrt{x^2+3} \end{array}$

0240 - Respostas

$\begin{array}{clcl} a. & D=x\geqslant 7 & b. & D=\mathbb{R}\\ &&\\ c. & D=x>3 & d. & D=x\neq 0\,\,\text{e}\,\,x\neq\dfrac{1}{4}\\ &&\\ e. & D=x\neq 0\,\,\text{e}\,\,x\neq 2 & f. & D=R \end{array}$

0240 - Soluções

a. O domínio se restringe aos valores possíveis do radicando para um radical de índice par, ou seja, devemos ter, unicamente, $D=x-7\geqslant\to D=x\geqslant 7$

b. Não há restrição, no campo dos números reais, ao domínio, pois trata-se de um radicando cujo radical tem índice ímpar, portanto, $D=\mathbb{R}$

c. Uma fração cujo numerador é um radical de índice ímpar, portanto, não há restrição de domínio. Entretanto, o denominador da fração não pode ser zero e, além disso, temos um radicando cujo radical é par, portanto, o domínio será dado por: $D=7x-21>0\to D=x>3$

d. Uma fração cujo numerador pode ser qualquer valor real, sem prejuízo do domínio. Entretanto, o denominador não pode ser zero, assim, teremos que tomar o domínio do estudo do sinal desse denominador, isto é, $D=4x^2-x\to\ldots\to D=x\neq 0\quad$ e $\quad x\neq \dfrac{1}{4}$

e. Uma fração cujo numerador é um valor fixo, portanto, não há restrição de domínio. Entretanto, o denominador não pode ser zero, assim, teremos que tomar o domínio do estudo do sinal desse denominador, isto é $D=x^3-2x^2\neq 0\to\ldots\to D=x\neq 0\quad$ e $\quad x\neq 2$

f. Para análise do domínio, há apenas um radical de índice par, assim, a única restrição é que o radicando não seja negativo, mas, ao analisarmos esse radicando como uma função quadrática, seu gráfico ficará todo acima do eixo das abscissas, numa área de imagens apenas positivas. Dessa forma, o domínio será dado por: $D=\mathbb{R}$

0239¶

Sendo $x=\dfrac{1}{0,05}\,\,$ e $\,\,y=\dfrac{2}{0,2}$, calcule:

a. $A=\sqrt{\dfrac{x}{y}}$

b. $B=\sqrt{x-\dfrac{x}{y}}$

c. $A\cdot B$

0239 - Respostas

a. $A=\sqrt{2}$

b. $B=3\sqrt{2}$

c. $A\cdot B=6$

0239 - Soluções

Calculando $x$ e $y$:

$x=\dfrac{1}{\frac{5}{100}}\to \boxed{x=20}\checkmark$

$y=\dfrac{2}{\frac{2}{10}}\to \boxed{y=10}\checkmark$

Resolvendo:

a. $A=\sqrt{\dfrac{x}{y}}\to A=\sqrt{\dfrac{20}{10}}\to\boxed{A=\sqrt{2}}\checkmark$

b. $B=\sqrt{x-\dfrac{x}{y}}\to B=\sqrt{20-\dfrac{20}{10}}\to$

$B=\sqrt{20-2}\to B=\sqrt{18}\to\boxed{B=3\sqrt{2}}\checkmark$

c. $A\cdot B=\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}\to\boxed{A\cdot B=6}\checkmark$

0238¶

A lei $n(t)=at^2+b$ representa o número de boxes vagos (indicado por $n(t)$) existentes em uma galeria comercial após $t$ meses de sua inauguração; $a$ e $b$ são constantes reais. Sabendo que um mês após a inauguração apenas 4(quatro) boxed haviam sido ocupados e que 5(cinco) meses após a inauguração todos os boxes estavam ocupados. Qual é o número de boxes que estavam em funcionamento três meses após a inauguração da galeria, sabendo-se que sua capacidade é de 100(cem) boxes?

0238 - Resposta

36(trinta e seis) boxes

0238 - Solução

Algumas considerações:

$\Rrightarrow$ Para $t=1\to 100-4=a\cdot 1^2+b\to \boxed{a+b=96}\,(I)$

$\Rrightarrow$ Para $t=5\to 0=a\cdot 5^2+b\to\boxed{25a+b=0}\,(II)$

$\Rrightarrow$ Vamos montar(e resolver) o sistema formado por $(I)$ e $$(II)$

$\left\{\begin{array}{rcrcrl}a & + & b & = & 96 & (-)\\25a & + & b & = & 0 &\end{array}\right.\to$

$\left\{\begin{array}{rcrcrl}-a & - & \cancel{b} & = & -96 &\\25a & + & \cancel{b} & = & 0 &(+)\end{array}\right.$

Somando as duas equações, termo a termo, teremos:

$24a=-96\to\boxed{a=-4}$

Substituindo $a=-4$ na primeira equação, teremos:

$-4+b=96\to\boxed{b=100}$

$\Rrightarrow$ De posse de $a=-4$ e $b=100$, teremos a lei $n(t)=-4t^2+100$

Finalmente, para $t=3$, teremos:

$n(3)=-4.3^2+100\to n(3)=-36+100\to\boxed{n=64\,\,\text{boxes vagos}}$

Portanto, teremos 36 boxes em funcionamento.

Noções de Plano Cartesiano

A notação $(x;\,y)$ indica o par ordenado, onde $x$ é a coordenada do eixo das abscissas e $y$ é a coordenada do eixo das ordenadas. Exemplos:

$(2;\,7)$ é o par ordenado onde 2 indica a coordenada do eixo das abscissas e 7 indica a coordenada do eixo das ordenadas.

$(7;\,2)$ é o par ordenado onde 7 indica a coordenada do eixo das abscissas e 2 indica a coordenada do eixo das ordenadas.

Observe que os pares ordenados $(2;\,7)$ são diferentes, pois indicam posições diferentes no plano cartesiano.

A fim de representarmos um par ordenado $(x;\,y)$ no plano cartesiano, devemos proceder:

Construímos dois eixos perpendiculares e usamos a interseção $O$ como origem para cada eixo;
Marcamos no eixo horizontal(eixo das abscissas), o ponto $x$;
Marcamos no eixo vertical(eixo das ordenadas), o ponto $y$;
Traçamos por $x$ uma reta paralela ao eixo vertical;
Traçamos por $y$ uma reta paralela ao eixo horizontal;
Marcamos a interseção dessas retas traçadas, encontrando o ponto $(x;\,y)$

Cada uma das quatro partes em que fica dividido o plano pelos eixos cartesianos representa um quadrante. A numeração dos quadrantes se faz no sentido anti-horário, iniciando pelo quadrante onde as duas coordenadas $x$ e $y$ são positivas. Observe a imagem a seguir:

0237¶

Encontre $x$ e $y$ que determinam a igualdade:

a. $(x;\,y)=(3;\,-13)$

b. $(x+2;\,y-3)=(4;\,6)$

c. $(x+y;\,x-y)=(7;\,1)$

0237 - Respostas

a. $x=3\,$ e $\,y=-13$

b. $x=2\,$ e $\,y=9$

c. $x=4\,$ e $\,y=3$

0237 - Soluções

a. Visualmente, basta comparar os elementos de mesmas posições em seu respectivos pares ordenados. Assim, $x=3$ e $y=-13$

b. Na comparação das coordenadas de mesma posição, teremos:

$x+2=4\to\boxed{x=2}\checkmark$

$y-3=6\to\boxed{y=9}\checkmark$

c. Na comparação das coordenadas de mesma posição, teremos um sistema linear; assim:

$\left\{\begin{array}{rcrcr}x & + & y & = & 7\\x & - & y & = & 1\end{array}\right.$

Se somarmos as duas equações, termo a termo, teremos: $2x=8\to\boxed{x=4}\checkmark$

Substituindo $x=4$ na primeira equação, teremos: $4+y=7\to\boxed{y=3}\checkmark$

0236¶

Determine valor de "$m$", em cada par ordenado:

a. $(m+2;\,4)$ pertence ao eixo das ordenadas

b. $(-2;\,m^2-16)$ pertence ao eixo das abscissas

c. $(m;-3)$ pertence ao terceiro quadrante

d. $(m;\,2)$ pertence ao primeiro quadrante

e. $(-2;\,m)$ pertence ao quarto quadrante

f. $(-m;\,1)$ pertence ao segundo quadrante

0236 - Respostas

a. $m=-2$

b. $m=-4$ ou $m=4$

c. $m<0$

d. $m>0$

e. $\nexists\,m$

f. $m>0$

0236 - Soluções

a. Todo ponto que pertence ao eixo das ordenadas, tem a primeira coordenada igual a zero, isto é: $m+2=0\to\boxed{m=-2}\checkmark$

b. Todo ponto que pertence ao eixo das abscissas, tem a segunda coordenada igual a zero, isto é: $m^2-16=0\to\boxed{m=-4\,\,\text{ou}\,\,m=4}\checkmark$

c. Todo ponto que pertence ao terceiro quadrante, tem ambas as coordenadas menores que zero, isto é: $\boxed{m<0}\checkmark$

d. Todo ponto que pertence ao primeiro quadrante, tem ambas as coordenadas maiores que zero, isto é: $\boxed{m>0}\checkmark$

e. Todo ponto que pertence ao quarto quadrante, tem a primeira coordenada positiva(veja que isso não ocorre nesse exercício) e tem a segunda coordenada negativa. Portanto, nem é preciso calcular $m$ uma vez que já ocorreu a inverdade. Assim, $\boxed{\nexists m}\checkmark$

f. Todo ponto que pertence ao segundo quadrante, tem a primeira coordenada negativa e a segunda coordenada positiva. Aqui, basta observar que $-m<0\to\boxed{m>0}\checkmark$

0235¶

Obtenha os valores de $k\in\mathbb{R}$, para:

a. $A(k^2-4k-5;\,-3)$, sabendo que o ponto "$A$" pertence ao eixo das ordenadas;

b. $B(5;\,k^2+2k+1)$, sabendo que o ponto "$B$" pertence ao eixo das abscissas

0235 - Respostas

a. $k=-1\,$ ou $\,k=5$

b. $k=1$

0235 - Soluções

a. Resolvendo, através da fórmula quadrática: $k^2-4k-5=0\to\ldots\to\boxed{k=-1}\,$ ou $\,\boxed{k=5}$

b. Resolvendo, através da fórmula quadrática: $k^2+2k+1=0\to\ldots\to\boxed{k=1}$

0234¶

Sendo os números reais $a\,\,$ e $\,\,b$ tais que a função $f(x)=\dfrac{a+bx+4}{ax-2b}$ tem domínio $\mathbb{R}-\{-2\}$ e $f(1)=-2$, obtnha o produto $a\cdot b$

0234 - Resposta

$a\cdot b=-\dfrac{4}{9}$

0234 - Solução

Algumas considerações:

A única restrição nessa função será o denominador que deve ser diferente de zero, ou seja, $ax-2b\neq 0$ mas, foi dado que o domínio tem restrição em $-2$(dois negativos). Portanto, podemos afirmar que $a\cdot(-2)-2b=0\to-2a-2b=0\to a+b=0\to \boxed{a=-b}\,\,(I)$

Ainda foi dado o valor numérico $f(1)=-2$ o qual podemos aplicar em $f(x)$, assim:

$f(1)=\dfrac{a+b\cdot 1+4}{a\cdot 1-2b}=-2\to\ldots\to\boxed{3a-3b=-4}\,\,(II)$

Aplicando $(I)$ em $(II)$, isto é, substituindo $a$ por $-b$ em $(II)$, teremos:

$3a-3b=-4\to 3(-b)-3b=-4\to -6b=-4\to\boxed{b=\dfrac{2}{3}}\checkmark$

Como $a=-b$, teremos $\boxed{a=-\dfrac{2}{3}}\checkmark$

Finalmente, o produto pedido será: $a\cdot b=-\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{3}=\boxed{-\dfrac{4}{9}}\checkmark$

0233 ¶

Essa questão veio de um excelente ebook dos autores, Carl Stitz, Ph.D. e Jeff Zeager, Ph.D., chamado "Precalculus - Version 4 - $\epsilon$" encontrado livre e gratuitamente aqui. Vamos a ela:

The cost, in dollars, to produce "x" PortaBoy¹ game systems for a local retailer is given by $C(x)=80x+150\,\,\text{for}\,\,x\geqslant 0$.

Find intercept $C(0)$ and $C(5)$ and use these to graphy $y=C(x)$.
Explain the significance of the restriction on the domain, $x\geqslant 0$.
Interpret the slope of $y=C(x)$ geometrically and as a rate of change.
How many PortaBoy can be produced for $15,000?

0233 - Solutions

by Stitz-Zeager:

1.$\Rrightarrow$To find $C(0)$, we substitute $0$ for $x$ in the formula $C(x)$ and obtain: $C(0)=80(0)+150=150$. Given that $x$ represents the number of PortaBoys produced and $C(x)$ represents the cost to produce said PortaBoys, $C(0)=150$ means it costs $150 even if we don’t produce any PortaBoys at all. At first, this may not seem realistic, but that $150 is often called the fixed or start-up cost of the venture. Things like re-tooling equipment, leasing space, or any other 'up front' costs get lumped into the fixed cost. To find $C(5)$, we substitute 5 for x in the formula $C(x):\,C(5)=80(5)+150 = 550$. This means it costs $550 to produce 5 PortaBoys for the local retailer. These two computations give us two points on the graph: $(0,\,C(0))$ and $(5,\,C(5))$. Along with the domain restriction $x ≥ 0$, we get:

2.$\Rrightarrow$In this context, $x$ represents the number of PortaBoys produced. It makes no sense to produce a negative quantity of game systems, so $x\geqslant 0$.

3.$\Rrightarrow$The cost function $C(x)=80x+150$ is in slope-intercept form so we recognize the slope as the coefficient of $x$, $m=80$. With $m>0$, the function $C$ is always increasing. This means that it costs more money to make more game systems. To interpret the slope as a rate of change, we note that the output, $C(x)$, is the cost in dollars, while the input, $x$, is the number of PortaBoys produced:

$m=80=\dfrac{80}{1}=\dfrac{\Delta[C(x)]}{\Delta x}=\dfrac{\$80}{1\,\text{PortaBoy produced}}$

Hence, the cost to produce PortaBoys is increasing at a rate of $\$80$ per PortaBoy produced. This is often called the variable cost for the venture.

4.$\Rrightarrow$To find how many PortaBoys can be produced for $15,000, we solve $C(x)=15000$, which means $80x+150=15000$. This yields $x=185.625$. We can produce only a whole number amount of PortaBoys so we are left with two options: produce 185 or 186 PortaBoys. Given that $C(185)=14950$ and $C(186)=15030$, we would be over budget if we produced 186 PortaBoys. Hence, we can produce 185 PortaBoys for $15,000 (with $50 to spare).

0232¶

Determine todas as soluções da equação $\text{sen}^6x+\text{cos}^6x=\dfrac{7}{12}$

0232 - Resposta

$x=\dfrac{1}{2}\cdot\text{arcsen}\left(\pm\dfrac{\sqrt{5}}{3}\right)+k\pi,\,k\,\in\,\mathbb{Z}$

0232 - Solução

Por hipótese, usando $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, tem-se:

$\text{sen}^6x+\text{cos}^6x=(\text{sen}^2+\text{cos}^2)(\text{sen}^4x-\text{sen}^2x\,\text{cos}^2x+\text{cos}^4x)=$

$=(\text{sen}^2x+cos^2x)^2-3\text{sen}^2x\,\text{cos}^2x=1-\dfrac{3}{4}\,\text{sen}^22x$

Logo,

$\text{sen}^6x+\text{cos}^6x=\dfrac{7}{12}\Rightarrow 1-\dfrac{3}{4}\,\text{sen}^22x=\dfrac{7}{12}\Rightarrow\text{sen}^22x=\dfrac{5}{9}\Leftrightarrow\text{sen}2x=\pm\dfrac{\sqrt{5}}{3}$

Assim:

$2x=\text{arcsen}\left(\pm\dfrac{\sqrt{5}}{3}\right)+2k\pi$

Portanto: $\boxed{x=\dfrac{1}{2}\cdot\text{arcsen}\left(\pm\dfrac{\sqrt{5}}{3}\right)+k\pi,\,k\,\in\,\mathbb{Z}}$

0231¶

Seja $f$ uma função que tem a propriedade $f(m\cdot x)=m\cdot f(x)+1$, para todo $x\in\mathbb{R}$ e onde $m\in\mathbb{R}^{*}$. Sendo $f(0)=-\dfrac{1}{2}$, obtenha:

a. O valor de $m$

b. Os valores de $f(9)$ e $f(81)$, sabendo que $f(3)=2$

0231 - Respostas

a. $m=3$

b. $f(9)=7\quad$ e $\quad f(81)=67$

0231 - Soluções

a. Para $x=0\rightarrow f(m\cdot 0)=\underbrace{m\cdot f(0)+1=-\dfrac{1}{2}}\to$

$m\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{3}{2}\to\boxed{m=3}\checkmark$

b. Vamos por etapas:

Para $x=3\rightarrow f(3\cdot 3)=3\cdot f(3)+1\to f(9)=3\cdot 2+1\to\boxed{f(9)=7}\checkmark$

Para $x=9\rightarrow f(3\cdot 9)=3\cdot f(9)+1\to f(27)=3\cdot 7+1\to\boxed{f(27)=22}$

Para $x=27\rightarrow f(3\cdot 27)=3\cdot f(27)+1\to f(81)=3\cdot 22+1\to\boxed{f(81)=67}\checkmark$

0230¶

a. Obtenha o inverso de $0,5\overline{4}$

b. Obtenha o inverso de $-1,\overline{2}$

0230 - Respostas

a. $\dfrac{90}{49}$

b. $-\dfrac{9}{11}$

0230 - Soluções

a. Chamando $0,5\overline{4}$ de $x$, e tomando:

$10x=5,\overline{4}\,\,(I)\,\,$ e $\,\,100x=54,\overline{4}\,\,(II)$

Faremos a subtração $(II)-(I)$:

$\begin{array}{rcrl}100x & = & 54,\overline{4} &\\10x & = & 5,\overline{4} & (-)\\ 90x & = & 49 & \rightarrow \boxed{x=\dfrac{49}{90}\checkmark}\end{array}$

Assim, o inverso de $\dfrac{49}{90}\,\,$ é $\,\,\boxed{\dfrac{90}{49}}\checkmark$

b. Tomemos $y=-1,\overline{2}\,\,(I)$, e $10y=-12,\overline{2}\,\,(II)$

Faremos a subtração $(II)-(I)$:

$\begin{array}{rcrl}10y & = & -12,\overline{2} &\\y & = & -1,\overline{2} & (-)\\9y & = & -11 & \rightarrow \boxed{x=-\dfrac{11}{9}}\checkmark\end{array}$

Assim, o inverso de $-\dfrac{11}{9}\,\,$ é $\,\,\boxed{-\dfrac{9}{11}}\checkmark$

0229¶

O lucro $L$(em reais) de um estabelecimento comercial pode ser estimado pela lei $L(x)=-x^2+75x+q$, sendo $x$ o número de unidades vendidas e $q$ uma constante real. Sabendo que o lucro se anula quando são vendidas 15 peças, determine:

a. O valor de $q$;

b. O lucro obtido na venda de 20(vinte) peças

0229 - Respostas

a. $q=-900$

b. R$ $200,00$

0229 - Soluções

a. Dado que $L(15)=0$, teremos:

$0=-(15)^2+75\cdot 15+q\to q=-1125+225\to\boxed{q=-900}\checkmark$

b. Para $x=20$, teremos:

$L(20)=-(20)^2+75\cdot 20-900\to L(20)=-400+1500-900\to\boxed{L(20)=200}\checkmark$

0228¶

Cíntia, Paulo e Paula leram a seguinte informação numa revista

Conhece-se, há mais de um século, uma fórmula para expressar o peso ideal do corpo humano adulto em função da altura:

$P=(a-100)-\left(\dfrac{a-150}{k}\right)$

em que $P$ é o peso, em quilogramas; $a$ é a altura, em centímetros; $k=4$ para homens, e $k=2$, para mulheres.

Pergunta-se:

a. Cíntia, que pesa 54Kg, fez rapidamente as contas com $k=2$ e constatou que, segundo a fórmula, estava três quilogramas abaixo do seu peso ideal. Calcule a altura de Cíntia.

b. Paulo e Paula têm a mesma altura e ficaram felizes em saber que estavam ambos exatamente com seu peso ideal, segundo a informação da revista. Sabendo que Paulo pesa dois quilogramas a mais do que Paula, determine o peso de cada um deles.

0228 - Respostas

a. 164cm ou 1,64m

b. Paulo tem 56Kg e Paula tem 54Kg

0228 - Soluções

a. Tendo o peso ideal $P=54+3\to P=57$ e a constante $k=2$, faremos:

$57=(a-100)-\left(\dfrac{a-150}{2}\right)\to$

$114=2a-200-a+150\to a=164$ cm ou $1,64$ m

b. Vamos adotar $P_{x}$ como o peso ideal de Paula e $P_{y}$ como o peso ideal de Paulo. Pelo texto,$P_{x}+2=P_{y}$. Além disso, vamos adotar a altura $a$ pois é a mesma para ambos. Vamos montar a fórmula com esses dados:

Para Paula: $P_{x}=(a-100)-\left(\dfrac{a-150}{2}\right)\ldots$ Isolando "$a$":

$2P_{x}=2a-200-a+150\to\boxed{a=2P_{x}+50}$

Para Paulo: $P_{y}=(a-100)-\left(\dfrac{a-150}{4}\right)\ldots$ Isolando "$a$":

$4P_{y}=4a-400-a+150\to 3a=4P_{y}+250\to\boxed{a=\dfrac{4P_{y}+250}{3}}$

Como as alturas são iguais a "$a$", teremos:

$2P_{x}+50=\dfrac{4P_{y}+250}{3}\to 6P_{x}+150=4P_{y}+250\to$

$6P_{x}-4P_{y}=100\,(\div 2)\to\boxed{3P_{x}-2P_{y}=50}\,\,(I)$ e $\boxed{P_{x}-P_{y}=-2}\,(II)$

Vamos montar(e resolver) um sistema linear em função de $P_{x}$ e $P_{y}$:

$\left\{\begin{array}{rcrcrcl}3P_{x} & - & 2P_{y} & = &50 &\\P_{x} & - & P_{y} & = & -2 &\leftarrow\,[\times (-2)] \end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rcrcrcl}3P_{x} & - & 2P_{y} & = &50 &\\-2P_{x} & + & 2P_{y} & = & 4 &\end{array}\right.$

Somando as duas equações, termo a termo:

$P_{x}=54$. Portanto, Paula tem 54 kg e Paulo tem 56 Kg.

Prova Real

Como as alturas são iguais, vamos substituir os valores encontrados acima, nas respectivas equações, a fim de verificar se as alturas são exatamente iguais:

Para Paula: $a=2P_{x}+50\to a=2\cdot 54+50\to\boxed{a=158\,cm}$

Para Paulo: $a=\dfrac{4P_{y}+250}{3}\to a=\dfrac{4\cdot 56+250}{3}\to\boxed{a=158\,cm}$

Equações Lineares em Duas Variáveis

Relacionando duas variáveis($x$ e $y$) em uma equação linear(cujo gráfico é uma reta não vertical) teremos a relação $y=mx+b$, onde a constante real $m$ indica a inclinação² da reta e a constante real $b$ indica o ponto onde essa reta toca(ou corta) o eixo das ordenadas, isto é, $(0;\,b)$.

Devemos observar como se indica uma reta vertical. Esta não pode ser escrita na forma $y=mx+b$ pois sua inclinação($m$) tem valor indefinido, pois o ângulo tomado é de $90^{\circ}$ e sua tangente não existe. Assim, adotamos a equação $x=a;\,\forall a\in\mathbb{R}$. Observe a imagem da equação $x=3$, a seguir:

0227¶

Esboce o gráfico das seguintes equações lineares:

a. $y=x-1$

b. $y=3$

c. $y=-x+1$

0227 - Soluções

Apesar dos gráficos estarem prontos, a forma mais simples de se contrui-los, é lembrarmos que toda reta é definida por dois pontos distintos. Assim, cada gráfico terá dois pontos tomados aleatoriamente e indicados. Vamos aos gráficos:

a. Observe que a reta é crescente, pois temos o valor da inclinação positivo, isto é, igual a $1$. Além disso, esse gráfico corta o eixo das ordenadas em $(0;\,-1)$, veja:

b. Observe que a reta é constante, pois temos o valor da inclinação nulo, isto é, igual a $0$(zero). Além disso, esse gráfico corta o eixo das ordenadas em $(0;\,2)$, veja:

c. Observe que a reta é decrescente, pois temos o valor da inclinação negativo, isto é, igual a $-1$. Além disso, esse gráfico corta o eixo das ordenadas em $(0;\,1)$, veja:

0226¶

Resolva a equação biquadrada $x^4-5x^2+6=0$

0226 - Resposta

$S=\left\{-\sqrt{3};\,-\sqrt{2};\,\sqrt{2};\,\sqrt{3}\right\}\checkmark$

0226 - Solução

Vamos utilizar as incógnitas auxiliares $x^4=k^2$ e $x^2=k$. Resolvemos a equação que surgir; então, tomamos os valores encontrados e retornamos à equação original, encontrando as soluções finais. Observe que não foi determinado o conjunto universo, assim, devemos, se necessário for, utilizar o mais amplo conjunto que conhecemos, ou seja, o conjunto dos números complexos, isto é, $\mathbb{U}=\mathbb{C}$.

$x^4-5x^2+6=0\to k^2-5k+6=0\to$ utilizando a fórmula quadrática, teremos:

$k=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\times 1\times 6}}{2\times 1}\to$

$k=\dfrac{5\pm 1}{2}\to\ldots\to k_{1}=2$ ou $k_{2}=3$

Retornando à equação original, teremos:

Para $k=2\to x^2=2\to\ldots\to \boxed{x=-\sqrt{2}}\checkmark\quad$ ou $\quad\boxed{x=\sqrt{2}}\checkmark$

Para $k=3\to x^2=3\to\ldots\to \boxed{x=-\sqrt{3}}\checkmark\quad$ ou $\quad\boxed{x=\sqrt{3}}\checkmark$

Finalmente, o conjunto solução$(S)$, será: $S=\left\{-\sqrt{3};\,-\sqrt{2};\,\sqrt{2};\,\sqrt{3}\right\}\checkmark$

The similarity of this name to PortaJohn is deliberate. ↩
Trigonometricamente, a inclinação da reta é o valor da tangente do ângulo de inclinação dessa reta com o eixo das abscissas, tomado(esse ângulo) no sentido anti-horário. ↩