Página11¶
0275¶
Defina "Valor Absoluto"
0275 - Definição
Se a é um número real, então o valor absoluto de a é
\(|a|=\left\{\begin{array}{rl}a, & \text{se}\,\,a\geqslant 0\\-a, & \text{se}\,\,a<0\end{array}\right.\)
Observação: Valor absoluto pode ser usado para definir a distância entre dois pontos na reta de números reais. Por exemplo, a distância entre -3 e 4 é \(|-3-4|=|-7|=7\). Veja
0274¶
Cite quatro propriedades dos valores absolutos
0274 - Resposta
1. \(|a|\geqslant 0\)
2. \(|-a|=|a|\)
3. \(|a\cdot b|=|a|\cdot|b|\)
4. \(\left|\dfrac{a}{b}\right|=\dfrac{|a|}{|b|},\quad b\neq 0\)
0273¶
Obtendo a distância entre dois pontos na reta de números reais.
0273 - Resposta
Sejam \(a\) e \(b\) dois números reais. A distância\((d)\) entre a e b é
\(d_{ab}=|b-a|=|a-b|\)
0272¶
Defina uma "Expressão Algébrica"
0272 - Resposta
Uma expressão algébrica é uma coleção de letras(variáveis) e números reais(constantes) combinados usando as operações da adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação.
Os termos de uma expressão algébrica são parcelas(variáveis e constantes) de adições. Por exemplo,
\(x^3-6x^2-7x+2=x^3+(-6x^2)+(-7x)+2\) tem quatro termos, onde: \(x^3\), \(-6x^2\), \(-7x\) são termos variáveis e 2 é o termo constante.
O fator numérico de um termo variável é o coeficiente do termo variável. Por exemplo, o coeficiente de \(-6x^2\) é \(-6\) e o coeficiente de \(-7x\) é \(-7\).
Obter o valor numérico de uma expressão algébrica significa substuir as variáveis(letras) dessa expressão por um dado valor numérico. Observe a tabela:
| Expressão | Valor Numérico | Substituição | Valor Numérico da Expressão |
|---|---|---|---|
| \(-7x+4\) | \(x=-3\) | \(-7\cdot(-3)+4\) | \(21+4=5\checkmark\) |
| \(x^2-5x+6\) | \(x=3\) | \(3^2-5\cdot 3+6\) | \(9-15+6=0\checkmark\) |
Quando se obtém o valor numérico, é utilizado o Princípio da Substituição: "Se \(a=b\), então \(a\) pode ser substituído por \(b\) em toda a expressão envolvendo \(a\)."
0271¶
Apresente as Propriedades Básicas da Álgebra.
0271 - Resposta
Sendo \(a\), \(b\) e \(c\) números reais, variáveis ou expressões algébricas, teremos:
| Propriedade | Em Símbolos | Exemplo |
|---|---|---|
| Comutativa da Adição | \(a+b=b+a\) | \(x+7x^2=7x^2+x\) |
| Comutativa da Multiplicação | \(a\cdot b=b\cdot a\) | \(x\cdot(3x+4x^2)=(3x+4x^2)\cdot x\) |
| Associativa da Adição | \(a+(b+c)=(a+b)+c\) | \(x+(4x+7x^2)=(x+4x)+7x^2\) |
| Associativa da Multiplicação | \((ab)\cdot c=a\cdot(bc)\) | \((3x\cdot 2y)\cdot(8)=(3x)\cdot(2y\cdot 8)\) |
| Propriedades Distributivas | \(a(b+c)=ab+ac\) | \(2x\cdot(3+2x)=2x\cdot 3+2x\cdot 2x\) |
| \((a+b)+c=ac+bc\) | \((2x+3)\cdot 2x=2x\cdot 2x+3\cdot 2x\) | |
| Elemento Neutro da Adição | \(a+0=a\) | \(4z^3+0=4z^3\) |
| Elemento Neutro da Multiplicação | \(a\cdot 1=a\) | \(4z^3\cdot 1=4z^3\) |
| Inverso Aditivo | \(a+(-a)=0\) | \(4z^3+(-4z^3)=0\) |
| Inverso Multiplicativo | \(a\cdot\dfrac{1}{a}=1,\,\,a\neq 0\) | \((z-4)\cdot\left(\dfrac{1}{z-4}\right)=1,\,\,z\neq 4\) |
0270¶
Apresente as Propriedades da Negação e Igualdade
0270 - Resposta
Sendo \(a\), \(b\) e \(c\) números reais, variáveis ou expressões algébricas, teremos:
| Propriedade | Exemplo |
|---|---|
| \((-1)\cdot a=-a\) | \((-1)\cdot 9=-9\) |
| \(-(-a)=a\) | \(-(-8)=8\) |
| \((-a)\cdot b=-(ab)=a\cdot(-b)\) | \((-7)\cdot 5=-(7\cdot 5)=7\cdot(-5)\) |
| \((-a)\cdot(-b)=a\cdot b\) | \((-3y)\cdot(-x^2)=3x^2y\) |
| \(-(a+b)=(-a)+(-b)\) | \(-(x^3+y^2)=(-x^3)+(-y^2)\) |
| Se \(a=b\), então \(a=\pm b=b\pm a\) | Sendo \(x=y\), então \(x\pm y=y\pm x\) |
| Se \(a=b\), então \(a\cdot c=b\cdot c\) | Para \(a=2;\,b=\frac{6}{3};\,c=5\to 2\cdot 5=\frac{6}{3}\cdot 5\) |
| Se \(a\pm c=b\pm c\), então \(a=b\) | Para \(a=\sqrt{9};\,b=\frac{27}{9};\,c=2\to\sqrt{9}\pm 2=\frac{27}{9}\pm 2\) |
| Se \(a\cdot c=b\cdot c\) e \(c\neq 0\), então \(a=b\) | Para \(a=y;\,b=5;\,c=3\to 3y=3\cdot 5\to a=b=5\) |
0269¶
Apresente as Propriedades do Número Zero
0269 - Resposta
Sendo \(a\) e \(b\) números reais, variáveis ou expressões algébricas, teremos:
| Propriedade |
|---|
| \(a+0=a\) e \(a-0=a\) |
| \(a\cdot 0=0\cdot a=0\) |
| \(\dfrac{0}{a}=0,\,\,a\neq 0\) |
| Se \(a=0\to\dfrac{a}{0}\) é indefinido |
| Se \(a\neq 0\to \dfrac{a}{0}\) é inexistente |
| Se \(a\cdot b=0\), então \(a=0\) ou \(b=0\quad\Rrightarrow\) Propriedade do Fator-Zero(\(^1\)) |
(\(^1\)) O "ou" dessa propriedade inclui a possibilidade que um ou ambos fatores podem ser zero.
0268¶
Apresente as Propriedades e Operações das Frações
0268 - Resposta
Sendo \(a\), \(b\), \(c\) e \(d\) números reais, variáveis ou expressões algébricas, de tal modo que \(b\neq 0\) e \(d\neq 0\), teremos:
- Frações Equivalentes: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Leftrightarrow a\cdot d=b\cdot c\quad\)\((I)\)
- Regra de Sinais: \(-\dfrac{a}{b}=\dfrac{-a}{b}=\dfrac{a}{-b}\) e \(\dfrac{-a}{-b}=\dfrac{a}{b}\)
- Frações Equivalentes: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{ac}{bc},\,\,c\neq 0\)
- Adição ou Subtração com Denominadores Iguais: \(\dfrac{a}{b}\pm\dfrac{c}{b}=\dfrac{a\pm c}{b}\)
- Adição ou Subtração com Denominadores Diferentes: \(\dfrac{a}{b}\pm\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad\pm bc}{bd}\)
- Multiplicação de Frações: \(\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}\)
- Divisão de Frações: \(\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c},\,\,c\neq 0\)
\((I)\) Na propriedade "1" o símbolo "\(\Leftrightarrow\)" significa "se, e somente e" e implica duas afirmações:
Se \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\), então \(ad=bc\), com \(b\neq 0\) e \(d\neq 0\);
Se \(ad=bc\), onde \(b\neq 0\) e \(d\neq 0\), então \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)
0267¶
Defina o Teorema Fundamental da Aritmética
0267 - Resposta
O Teorema Fundamental da Aritmética afirma que todo número inteiro, positivo e maior que 1(um) é um número primo ou pode ser escrito como um produto de números primos de apenas uma forma, onde esse produto recebe o nome de fatoração ou decomposição em fatores primos. Por exemplo, a fatoração de 48 é:
\(24=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3=2^4\cdot 3\)
Ainda: Se \(a\), \(b\) e \(c\) são números inteiros tais que \(a\cdot b=c\), então \(a\) e \(b\) são divisores de \(c\). Um número primo positivo é um número inteiro que tem, exatamente, dois divisores: ele mesmo ou 1(um), tais como: \(2,\,3,\,5,\,7,\ldots\). Já os números, \(4,\,6,\,8,\,9\) e \(10\), por exemplo, são números compostos porque cada um deles pode ser escrito por dois ou mais fatores primos.
Obs: O número 1(um) não é primo e não é composto.
0266¶
Obtenha:
0266 - Soluções
1. \(|-2019|=2019\checkmark\)
2. \(|0|=0\checkmark\)
3. \(|11-18|=|-7|=7\checkmark\)
4. \(|201-2|=|199|=199\checkmark\)
5. \(|-2|-|-5|=2-5=-3\checkmark\)
6. \(-12-|-34|=-12-34=-46\checkmark\)
7. \(\left|\dfrac{-6}{|-6|}\right|=|-1|=1\checkmark\)
8. \(||-6|-|-9||=|6-9|=|-3|=3\checkmark\)
9. \(\dfrac{|x+2|}{x+2},\,\,x<-2\)
Da definição de módulo, teremos:
\(|x+2|=\left\{\begin{array}{rcr}x+2, & \text{se} & x+2\geqslant 0\to x\geqslant-2\\-x-2, & \text{se} & x+2<0\to x<-2\end{array}\right.\)
Assim, para \(x<-2\), teremos:
\(\dfrac{-x-2}{x+2}=\dfrac{-\cancel{(x+2)}}{\cancel{x+2}}=-1\checkmark\)
10. \(\dfrac{|x-1|}{x-1},\,\,x>1\)
Da definição de módulo, teremos:
\(|x-1|=\left\{\begin{array}{rcr}x-1, & \text{se} & x-1\geqslant 0\to x\geqslant 1\\-x+1, & \text{se} & x-1<0\to x<1\end{array}\right.\)
Assim, para \(x>1\), teremos:
\(\dfrac{x-1}{x-1}=1\checkmark\)
0265¶
Resolva o seguinte sistema de equações:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrl}x & + & y & = & \dfrac{5}{6}\\\\x^2 & + & 3y & = & \dfrac{5}{4}\end{array}\right.\)
0265 - Resposta
\(S=\left\{\left(\dfrac{5}{2};\,-\dfrac{5}{3}\right);\,\,\left(\dfrac{1}{2};\,\dfrac{1}{3}\right)\right\}\)
0265 - Solução
Isolando "x" na primeira equação: \(x=\dfrac{5}{6}-y\),
vamos utilizá-lo na segunda equação; assim:
\(\left(\dfrac{5}{6}-y\right)^2+3y=\dfrac{5}{4}\to\)
\(\dfrac{25}{36}-\dfrac{5y}{3}+y^2+3y-\dfrac{5}{4}=0\to\) efetuando o MMC
\(\dfrac{25-60y+36y^2+108y-45=0}{\cancel{36}}\to\) agrupando os termos semelhantes
\(36y^2+48y-20=0\to\) simplificando todos os termos por 4(quatro)
\(9y^2+12y-5=0\to\) aplicando a fórmula quadrática (Bhaskara)
\(y=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to\)
\(y=\dfrac{-12\pm\sqrt{12^2-4\times 9\times (-5)}}{2\times 9}\to\)
\(y=\dfrac{-12\pm\sqrt{144+180}}{18}\to y=\dfrac{-12\pm\sqrt{324}}{18}\to\)
\(y=\dfrac{-12\pm18}{18}\) ou \(y=\dfrac{-2\pm 3}{3}\to\)
\(\boxed{y_{1}=-\dfrac{5}{3}}\to\) aplicado à primeira equação: \(x_{1}=\dfrac{5}{6}+\dfrac{5}{3}\to \boxed{x_{1}=\dfrac{5}{2}}\checkmark\)
\(\boxed{y_{2}=\dfrac{1}{3}}\to\) aplicado à primeira equação: \(x_{2}=\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{3}\to\boxed{x_{2}=\dfrac{1}{2}}\checkmark\)
Portanto, a solução\((S)\) final será o conjunto com os pares ordenados, isto é:
\(\boxed{S=\left\{\left(\dfrac{5}{2};\,-\dfrac{5}{3}\right);\,\,\left(\dfrac{1}{2};\,\dfrac{1}{3}\right)\right\}}\)
0264¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte equação:
\(27^{x^2+1} = 9^{5x}\)
0264 - Resposta
\(S=\left\{\dfrac{1}{3};\,\,3\right\}\)
0264 - Solução
\(27^{x^2+1} = 9^{5x}\to \cancel{3}^{3\cdot(x^2+1)}=\cancel{3}^{2\cdot5x}\to\)
\(3x^2+3=10x\to\)
\(3x^2-10x+3=0\to\) aplicando a fórmula quadrática(Bhaskara):
\(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to\)
\(x=\dfrac{-(-10)\pm\sqrt{(-10)^2-4\times 3\times 3}}{2\times 3}\to\)
\(x=\dfrac{10\pm\sqrt{100-36}}{6}\to x=\dfrac{10\pm\sqrt{64}}{6}\to\)
\(x=\dfrac{10\pm 8}{6}\) ou \(x=\dfrac{5\pm 4}{3}\to\)
\(x_{1}=\dfrac{5-4}{3}\to\boxed{x_{1}=\dfrac{1}{3}}\checkmark\)
\(x_{2}=\dfrac{5+4}{3}\to\boxed{x_{2}=3}\checkmark\)
Portanto, a solução\((S)\) final será o conjunto com os elementos:
\(\boxed{S=\left\{\dfrac{1}{3};\,\,3\right\}}\)
0263¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte equação:
\(2^{x-3} + 2^{ x-1} + 2^x = 52\)
0263 - Resposta
\(x=5\)
0263 - Solução
\(2^{x-3} + 2^{ x-1} + 2^x = 52\to\)
\(2^{x}\cdot 2^{-3} + 2^{ x}\cdot 2^{-1} + 2^x = 52\to\)
\(2^{x}\cdot\left(2^{-3}+2^{-1}+1\right)=52\to\)
\(2^{x}\cdot\left(\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{2}+1\right)=52\to\)
\(2^{x}\cdot\left(\dfrac{13}{8}\right)=52\to 2^{x}=\dfrac{8\cdot \cancel{52}}{\cancel{13}}\to\)
\(2^x=8\cdot 4\to \cancel{2}^x=\cancel{2}^5\to\boxed{x=5}\checkmark\)
0262¶
Calcule os determinantes:
\(A=\left|\begin{array}{cc}3 & 4\\5 & 7\end{array}\right|\)
\(B=\left|\begin{array}{rrr}-2 & 3 & 4\\0 & -3 & 5\\1 & 5 & -2\end{array}\right|\)
0262 - Resposta
\(A=1\) e \(B=65\)
0262 - Solução
\(A=\left|\begin{array}{cc}3 & 4\\5 & 7\end{array}\right|\to\)
\(A=3\cdot 7-4\cdot 5\to A=21-20\to\boxed{A=1}\checkmark\)
\(B=\left|\begin{array}{rrr}-2 & 3 & 4\\0 & -3 & 5\\1 & 5 & -2\end{array}\right|\to\)
\(B=-2\cdot(-3)\cdot(-2)+\cancel{0\cdot 5\cdot 4}+1\cdot 5\cdot3-[4\cdot(-3)\cdot 1+\cancel{3\cdot 0\cdot(-2)}+(-2)\cdot 5\cdot 5]\to\)
\(B=-12+15-[-12-50]\to\)
\(B=3+62\to\boxed{B=65}\checkmark\)
0261¶
Determine os números complexos z tais que \(z^2-z+1=0\)
0261 - Resposta
\(z_{1}=\dfrac{1-i\sqrt{3}}{2}\)
\(z_{2}=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}\)
0261 - Solução
Vamos utilizar a fórmula quadrática(Bhaskara) a fim de encontrarmos os valores de "\(z\)":
\(z=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to\)
\(z=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\times 1\times 1}}{2\times 1}\to\)
\(z=\dfrac{1\pm\sqrt{1-4}}{2}\to z=\dfrac{1\pm i\sqrt{3}}{2}\to\)
\(\boxed{z_{1}=\dfrac{1-i\sqrt{3}}{2}}\checkmark\)
\(\boxed{z_{2}=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}}\checkmark\)
0260¶
Sabendo que \(f(x)=\dfrac{x}{x-2}\quad\) e \(\quad f(g(x)) = x+2\) , qual valor de \(g(x)\)?
0260 - Resposta
\(g(x)=\dfrac{2x+4}{x+1}\,,\,\forall\, x\neq-1\)
0260 - Solução
Algumas considerações, a fim de resolver essa questão:
1) Utilizando \(f(x)=\dfrac{x}{x-2}\), vamos obter \(f(g(x))\), como se não o soubéssemos:
\(f(x)=\dfrac{x}{x-2}\to\boxed{f(g(x))=\dfrac{g(x)}{g(x)-2}\,,\,\forall\, g(x)\neq 2}\)
2) Utilizando a expressão de \(f(g(x))\) obtida acima, vamos substituí-la por "\(x+2\)", isolar "\(g(x)\)" e, dessa forma, obter o que queremos:
\(f(g(x))=\dfrac{g(x)}{g(x)-2}\to\)
\(x+2=\dfrac{g(x)}{g(x)-2}\to\)
\(g(x)=(x+2)\cdot[g(x)-2]\to\)
\(g(x)=x\cdot g(x)-2x+2\cdot g(x)-4\to\)
\(g(x)-x\cdot g(x)-2\cdot g(x)=-4-2x\to\)
\(-g(x)-x\cdot g(x)=-4-2x\to\)
\(g(x)\cdot(-1-x)=-4-2x\to\)
\(\boxed{g(x)=\dfrac{2x+4}{x+1}\,,\,\forall\, x\neq -1}\checkmark\)
0259¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a equação:
\(\left|\begin{array}{ccc}1&2x&4\\x&2&2\\1&5&1\end{array}\right|=24\)
0259 - Resposta
\(x=2\) ou \(x=10\)
0259 - Solução
\(\left|\begin{array}{ccc}1&2x&4\\x&2&2\\1&5&1\end{array}\right|=24\to\)
\(1.2.1+x.5.4+1.2.2x-(4.2.1+2x.x.1+1.5.2)=24\to\)
\(2+20x+4x-8-2x^2-10=24\to\)
\(-2x^2+24x-40=0\,\,[\div (-2)]\to\\\\x^2-12x+20=0\to\)
Aplicando a Fórmula Quadrática (Bhaskara)
\(x=\dfrac{12\pm\sqrt{(-12)^2-4.1.20}}{2.1}\to\)
\(x=\dfrac{12\pm\sqrt{64}}{2}\to\dfrac{12\pm 8}{2}\to\)
\(x_{1}=\dfrac{12-8}{2}\to\boxed{x_{1}=2}\checkmark\)
\(\text{ou}\)
\(x_{2}=\dfrac{12+8}{2}\to\boxed{x_{2}=10}\checkmark\)
0258¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a equação:
\(3250x=3250x+9750-75x^2-225x\)
0258 - Resposta
\(x=-13\) ou \(x=10\)
0258 - Solução
\(\cancel{3250x}=\cancel{3250x}+9750-75x^2-225x\to\)
\(75x^2+225x-9750=0\quad(\div\,75)\to\)
\(x^2+3x-130\to\)
Aplicando a Fórmula Quadrática (Bhaskara)
\(x=\dfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4\times 1\times(-130)}}{2\times 1}\to\)
\(x=\dfrac{-3\pm\sqrt{529}}{2}\to x=\dfrac{-3\pm23}{2}\to\)
\(x_{1}=\dfrac{-3-23}{2}\to\boxed{x_{1}=-13}\checkmark\)
ou
\(x_{2}=\dfrac{-3+23}{2}\to\boxed{x_{2}=10}\checkmark\)
0257¶
Determine a equação da reta p, perpendicular à reta q, de equação \(2x+3y-7=0\), e que passa pelo ponto \(P(-2;\,-1)\).
0257 - Resposta
\(p:\,y=\dfrac{3}{2}x+2\)
0257 - Solução
As retas p e q serão perpendiculares se o produto de suas inclinações for -1(um negativo), ou seja: \(m_p\cdot m_q=-1\)
Podemos escrever a equação da reta q na forma reduzida \(q:y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{7}{3}\) e dela obter sua inclinação \((m_{q})\), isto é: \(m_{q}=-\dfrac{2}{3}\).
A reta p por ser perpendicular à reta q tem sua inclinação\((m_{p})\) igual a: \(m_{p}=\dfrac{3}{2}\)
Além disso, a reta p passa pelo ponto \(P(-2;\,-1)\).
Vamos aplicar esses valores a uma equação genérica e reduzida dessa reta: \(p:y=m_{p}x+n_{p}\) e obter o valor de \(n_{p}\); assim:
\(p:-1=\dfrac{3}{2}\cdot(-2)+n_{p}\to n_{p}=2\)
Voltando à equação reduzida de p, vamos (re)utilizar os valores de \(m_{p}\) e \(n_{p}\) deixando livre as incógnitas reais x e y; assim:
\(p:\,y=\dfrac{3}{2}x+2\). Esta já é a solução da questão, uma vez que não foi determinada sua forma. Entretanto, se desejarmos, podemos (re)escrever a equação da reta p em sua forma geral, isto é: \(p: 3x-2y+4=0\). É isso!! 
0256¶
Seja f uma função com domínio nos números reais definida pela lei \(f(x)=-2x^3+ax^2+bx+c\), sendo \(a\), \(b\) e \(c\) constantes reais. Sabendo que \(f(0)=-1\); \(f(1)=2\) e \(f(-2)=29\), determine:
a. Os valores de \(a\), \(b\) e \(c\);
b. \(f(-1)\)
0256 - Respostas
a. \(a=4\), \(b=1\) e \(c=-1\)
b. \(f(-1)=4\)
0256 - Soluções
a. Com os valores dados, vamos montar o sistema linear em função de \(a\), \(b\) e \(c\), utilizando \((I),\) \((II)\) e \((III)\) e:
\(f(0)=-1\to-2\cdot(0)^3+a\cdot(0)^2+b\cdot(0)+c=-1\to c=-1\,(I)\)
\(f(1)=2\to-2\cdot 1+a\cdot 1^2+b\cdot 1+c=2\to a+b+c=4\,(II)\)
\(f(-2)=29\to-2\cdot(-2)^3+a\cdot(-2)^2+b\cdot(-2)+c=29\to= 4a-2b+c=13\,(III)\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrl} & & & & c & = & -1 &\to\boxed{c=-1}\checkmark\\a & + & b & + & c & = & 4 &\\4a & - & 2b & + & c & = & 13\end{array}\right.\)
ou
\(\left\{\begin{array}{rcrcrl}a & + & b & = & 5 &\\4a & - & 2b & = & 14 & (\div\,2)\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrl}a & + & b & = & 5&\\2a & - & b & = & 7 &\end{array}\right.\)
Somando as equações, termo a termo: \(3a=12\to\boxed{a=4}\checkmark\)
Substituindo \(\,\,a=4\,\,\) na primeira equação, teremos: \(4+b=5\to\boxed{b=1}\checkmark\)
b. Para a função completa: \(f(x)=-2x^3+4x^2+x-1\),
podemos calcular \(f(-1)=-2(-1)^2+4(-1)^2+(-1)-1\to\boxed{f(-1)=4}\checkmark\)
0255¶
Por mês, certa família tem uma renda de "\(r\)" reais, e o total de seus gastos mensais é dado pela função \(g(r)=0,7r+100\). Se, num mês em que os gastos atingiram R$ 3.600,00(três mil e seiscentos reais), qual é a renda estimada dessa família?
0255 - Resposta
R$ 5.000,00 (cinco mil reais)
0255 - Solução
Para \(g(r)=3600\), teremos:
\(3600=0,7r+100\to 0,7r=3500\to\boxed{r=5000}\checkmark\)
Portanto, a renda dessa família é de R$ 5.000,00(cinco mil reais).
0254¶
Sendo \(f(x)=\dfrac{1+\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{1}{x}}\), obtenha o valor de \(f(2)+1\).
0254 - Resposta
\(f(2)+1=4\)
0254 - Solução
Vamos substituir \(x\) por \(2\) em toda a função a fim de obter \(f(2)\):
\(f(2)=\dfrac{1+\dfrac{1}{2}}{1-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{1}{2}}\to f(2)=3\)
Portanto, \(f(2)+1=3+1=\boxed{f(2)+1=4}\checkmark\)
0253¶
A função \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) é tal que, para todo \(x\in\mathbb{R}\), temos \(f(2x)=2\cdot f(x)\). Sendo \(f(4)=28\), obtenha \(f(1)\).
0253 - Resposta
\(f(1)=7\)
0253 - Solução
Para \(x=2\Rrightarrow \underbrace{f(2\cdot 2)}_{f(4)=28}=2\cdot f(2)\to\)
\(28=2\cdot f(2)\to\boxed{f(2)=14}\)
Para \(x=1\Rrightarrow \underbrace{f(2\cdot 1)}_{f(2)=14}=2\cdot f(1)\to\)
\(14=2\cdot f(1)\to\boxed{f(1)=7}\checkmark\)
0252¶
Dadas as funções reais:
\(f(r)=\dfrac{r^2-1}{r-r^2}+\dfrac{1}{r}\quad\) e \(\quad g(r)=\sqrt{r^2-5}\)
a. Obtenha o domínio de \(f(r)\)
b. Calcule \(f(2)\)
c. Obtenha o domínio de \(g(r)\)
d. Calcule \(g(2)\)
0252 - Soluções
a. Por serem duas frações, devemos observar que os numeradores podem ter quaisquer valores reais; entretanto, os denominadores não podem ser zero, assim:
Na parcela \(\dfrac{r^2-1}{r-r^2}\Rrightarrow\,\,r-r^2\neq 0\to r(1-r)\neq 0\to r\neq 0\,\,\text{e}\,\,r\neq 1\)
Na parcela \(\dfrac{1}{r}\Rrightarrow\quad r\neq 0\)
Portanto, o domínio\((D)\) de \(f(r)\), será: \(\boxed{D=\{r\in\mathbb{R}\,/\,\,r\neq 0\,\,\text{e}\,\,r\neq 1\}}\checkmark\)
b. \(f(2)=\dfrac{2^2-1}{2-2^2}+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}\to\boxed{f(2)=-1}\checkmark\)
c. Essa função é formada apenas por um radicando de índice par e, portanto, esse radicando não pode ser negativo, assim:
\(r^2+5\geqslant 0;\,\,\forall\,r\in\mathbb{R}\)
Portanto, o domínio \((D)\) de \(g(r)\), será: \(\boxed{D=\mathbb{R}}\checkmark\)
d. \(g(2)=\sqrt{2^2+5}=\sqrt{9}\to\boxed{g(2)=3}\checkmark\)
0251¶
O tempo \(t\) (em minutos) de desembarque de passageiros de um navio é dado por \(t(n)=70+\dfrac{n}{15}\), onde \(n\) é o número de passageiros. Obtenha:
a. O número de passageiros que desembarcam em 3,5h
b. O tempo necessário para desembarque de 750 passageiros
c. O tempo necessário para desembarque se tivermos um acréscimo de 150 passageiros
0251 - Soluções
a. Para \(t=3,5\)h ou \(t=210\)min, teremos:
\(210=70+\dfrac{n}{15}\to 140=\dfrac{n}{15}\to n=2100\) passageiros
b. Para \(n=750\), teremos:
\(t(750)=70+\dfrac{750}{15}\to t(750)=120\) minutos
c. Para \(n=900\), teremos:
\(t(900)=70+\dfrac{900}{15}\to t(900)=130\) minutos