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0300

Descreva por meio de uma propriedade característica, os conjuntos \(A\cup B\,\,\) e \(\,\,A\cap B\), sendo: \(A=\{x\in\mathbb{N}\,/\,x<7\}\) e \(B=\{x\in\mathbb{N}\,/\,1\leqslant x< 8\}\).

0300 - Soluções

\(A\cup B=\{x\in\mathbb{N}\,/\,\, x< 8\}\,\,\) ou \(\,\,A\cup B=\{x\in\mathbb{N}\,/\, x\leqslant 7\}\)

\(A\cap B=\{x\in\mathbb{N}\,/\,1\leqslant x\leqslant 6\}\,\,\) ou \(\,\,A\cap B=\{x\in\mathbb{N}\,/\,1\leqslant x<7\}\)

0299

Sendo \(M=\{x\in\mathbb{N}\,/\,0<x<11\}\) e \(N=\{x\in\mathbb{Z}\,/\,-2\leqslant x\leqslant 9\}\), descreva por meio de uma propriedade característica, os conjuntos \(M\cup N\) e \(M\cap N\).

0299 - Soluções

a. \(M\cup N=\{x\in\mathbb{Z}\,/\,-2\leqslant x\leqslant 10\}\,\,\)

b. \(\,\,M\cap N=\{x\in\mathbb{N}\,/\,1\leqslant x\leqslant 9\}\)

0298

Calcule:

a. \(\,\,7+(-5+1)-2-(6-3)\)

b. \(\,\,(-3)(-4)-(-2)(-1)^2\)

c. \(\,\,7+|-3-2|-|4-5|\)

d. \(\,\,|6-|5+9||-|2-7|\)

0298 - Soluções

a. \(\,\,7+(-5+1)-2-(6-3)=7+(-1)-2-3=7-1-2-3=1\checkmark\)

b. \(\,\,(-3)(-4)-(-2)(-1)^2=12+2=14\checkmark\)

c. \(\,\,7+|-3-2|-|4-5|=7+|-5|-|-1|=7+5-1=11\checkmark\)

d. \(\,\,|6-|5+9||-|2-7|=|6-14|-|-5|=8-5=3\checkmark\)

---

Módulo de Número Real: Tomando como exemplo o número \(\sqrt{5}\). Seu oposto é \(-\sqrt{5}\). Se observarmos a reta real, a distância entre o número \(-\sqrt{5}\) e a origem\((0)\), é a raiz quadrada de cinco, unidades. O mesmo se aplica ao seu oposto. Assim, módulo (ou valor absoluto) de \(-\sqrt{5}\) é \(\sqrt{5}\) e o valor absoluto de \(\sqrt{5}\) é \(\sqrt{5}\).

Em símbolos: \(\left|-\sqrt{5}\right|=\left|\sqrt{5}\right|=\sqrt{5}\checkmark\)

Portanto, ao tratarmos de qualquer valor real \(x\), o seu módulo \(|x|\) é a distância dele até a origem, ou ainda, a distância entre a origem e o ponto que representa esse número real \(x\).

0297

Se \(\,\,\,\dfrac{r}{s}=\dfrac{2}{\frac{3}{4}+\frac{5}{6}}\), onde \(r\) e \(s\) são números inteiros positivos primos entre si(\(^{*}\)),

obtenha \(r^2+s^3\).

(\(^{*}\)) Números inteiros, primos entre si, são aqueles cujo único divisor comum é 1(um)

0297 - Solução

\(\dfrac{r}{s}=\dfrac{2}{\frac{3}{4}+\frac{5}{6}}=\dfrac{2}{\frac{9+10}{12}}=\dfrac{\frac{2}{1}}{\frac{19}{12}}=\dfrac{2\times 12}{1\times 19}=\dfrac{24\leftarrow r}{19\leftarrow s}\)

Assim: \(r^2+s^3=24^2+19^3=576+6859=7435\checkmark\)

0296

A diferença dos cubos de dois números naturais consecutivos é 91. Encontre esses números.

0296 - Resposta

Os números são \(-6\) ou \(5\)

0296 - Solução

Algumas considerações:

1)Vamos chamar de "x" um dos números naturais e de "x+1" o seu consecutivo;

2)Observe que o número "x+1" é maior que o número "x". Dessa forma,

3)Vamos equacionar o texto da questão, montar a equação pertinente,

4)Resolvê-la e encontrar os números pedidos; assim:

\((x+1)^2-x^3=91\to\)

\(\cancel{x}^3+3x^2+3x+1-\cancel{x}^3=91\to\)

\(3x^2+3x-90=0\,\,(\div\,3)\to\)

\(x^2+x-30=0\to\,\,\)Fórmula Quadrática

\(x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\times 1\times(-30)}}{2\times 1}\to\)

\(x=\dfrac{-1\pm\sqrt{121}}{2}\to x=\dfrac{-1\pm 11}{2}\to\)

\(x=\dfrac{-1-11}{2}\to\boxed{x=-6}\checkmark\)

ou

\(x=\dfrac{-1+11}{2}\to\boxed{x=5}\checkmark\)

0295

Dados \(f(x)=\sqrt{x^2-9}\,\,\) e \(\,\,g(x)=\sqrt{2x-x^2}\)

Obtenha os domínios de:

a) \(f(x)+g(x)\)

b) \(f(x)-g(x)\)

0295 - Resposta

\(D=\varnothing\)

0295 - Solução

Resposta única, pois o domínio será o conjunto de existência tanto do

radical \(\sqrt{x^2-9}\) quanto do radical \(\sqrt{2x-x^2}\).

Assim, devemos ter a interseção de:

\(x^2-9\geqslant 0\to\ldots\to x\leqslant-3\) ou \(x\geqslant 3\)

e

\(2x-x^2\geqslant 0\to x^2-2x\leqslant 0\to\ldots\to 0\leqslant x\leqslant 2\)

Portanto, o domínio\((D)\) será o conjunto vazio, isto é: \(D=\varnothing\,\,\).

0294

Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte equação fracionária:

\(\dfrac{x+1}{x}-\dfrac{x-2}{x+1}=\dfrac{17}{x^2+x}\)

0294 - Resposta

\(x=7\)

0294 - Solução

MMC(\(x\); \(\,x+1\); \(\,x^2+x\)) = \(x^2+x\)

\(\dfrac{(x+1)^2-x(x-2)=17}{\cancel{x^2+x}}\to\)

\(\cancel{x^2}+2x+1-\cancel{x^2}+2=17\to\)

\(2x+3=17\to 2x=14\to\boxed{x=7}\checkmark\)

0293

Os valores absolutos possuem as seguintes propriedades:

\(\begin{array}{ccc} \text{1.}\,\,|a|\geqslant 0\quad & \text{2.}\,\,|-a|=|a|\quad & \text{3.}\,\,|a\cdot b|=|a|\cdot|b|\quad & \text{4.}\,\,\left|\dfrac{a}{b}\right|=\dfrac{|a|}{|b|},\,\,b \neq 0 \end{array}\)

Utilizando essas propriedades relativas aos valores absolutos de números reais, calcule a distância\((d)\), na reta real, e em valores decimais com aproximação de duas casas decimais, dos seguintes pares de números:

a) \(\quad-2\sqrt[4]{3}\quad\) e \(\quad 4\sqrt[4]{243}\)

b) \(\quad5\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}\quad\) e \(\quad-3^2\quad\)

c) \(\quad-\log_{\frac{1}{4}}(2^{-10})\quad\) e \(\quad\dfrac{1}{3}\quad\)

d) \(\quad-12,5\quad\) e \(\quad-\pi\)

e) \(\quad\text{sen}(150^{\circ})\quad\) e \(\quad\text{cotg}(30^{\circ})\quad\)

f) \(\quad|a-b|\quad\) e \(\quad|b-a|,\quad\) para \(\quad a=\sqrt{2}\quad\) e \(\quad b=\sqrt{3}\quad\)

0293 - Soluções

a) \(\quad-2\sqrt[4]{3}\quad\) e \(\quad 4\sqrt[4]{243}\quad\to\)

\(d=|-2\sqrt[4]{3}|+4\sqrt[4]{3^{5}}=2\sqrt[4]{3}+12\sqrt[4]{3}=14.1,32\to \boxed{d=18,48}\)

---

b) \(\quad5\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}\quad\) e \(\quad-3^2\quad\to\)

\(d=\dfrac{5\sqrt{3}\cancel{\sqrt{2}}}{\cancel{\sqrt{2}}}+|-9|=5.1,73+9=8,65+9\to \boxed{d=17,65}\)

---

c) \(\quad-\log_{\frac{1}{4}}(2^{-10})\quad\) e \(\quad\dfrac{1}{3}\quad\to\)

\(d=|-(-10)\log_{2^{-2}}2|+0,33=|10.\left(-\frac{1}{2}\right).\log_{2}2|+0,33=\)

\(=5+0,33\to \boxed{d=5,33}\)

---

d) \(\quad-12,5\quad\) e \(\quad-\pi\quad\to\)

\(d=|-12,5| - |-3,14|\to d=12,5-3,14\to \boxed{d=9,36}\)

---

e) \(\quad\text{sen}(150^{\circ})\quad\) e \(\quad\text{cotg}(30^{\circ})\quad=\)

\(-\text{sen}(30^{o})\quad\) e \(\quad\dfrac{1}{\text{tg}(30^{o})}=\)

\(-\dfrac{1}{2}\quad\) e\(\quad\dfrac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\)

\(-\dfrac{1}{2}\quad\) e \(\quad\sqrt{3}\to\quad\) Assim:

\(d=|-0,5|+1,73\to d=0,5+1,73\to \boxed{d=2,23}\)

---

f) \(\quad|a-b|\quad\) e \(\quad|b-a|,\quad\) para \(\quad a=\sqrt{2}\quad\) e \(\quad b=\sqrt{3}\quad\) ou

\(|\sqrt{2}-\sqrt{3}|\) e\(|\sqrt{3}-\sqrt{2}|\to\quad\) Assim:

\(d=\sqrt{3}-\sqrt{2}-(\sqrt{3}-\sqrt{2})\to \boxed{d=0(\text{zero})}\)

0292

O valor absoluto de um número real é sua grandeza, em outras palavras, é a distância entre este número real e a origem, na reta de números reais, ou, reta real. Definindo simbolicamente:

Seja \(a\) um número real; então, seu valor absoluto é:

\(|a|=\left\{\begin{array}{rrr} a, & \text{se}\quad & a\geqslant 0 \\ -a, & \text{se}\quad & a < 0 \end{array} \right.\)

De acordo com a definição, obtenha:

a) O resultado de:

\(|1|;\quad \left| -\dfrac{5}{3} \right|;\quad \dfrac{3}{|-4|};\quad -\left| \dfrac{2}{\sqrt{3}} \right|;\quad\)

\(-\left| -\left| -\dfrac{-|\sqrt{12}|}{|-\sqrt{3}|} \right| \times (-|-2|) \right|;\quad |0|\).

b) os possíveis valores reais de:

b.1) \(-\dfrac{x}{|x|}\quad\quad\)b.2) \(\dfrac{|x^{2}|}{x^{2}}\quad\quad\)b.3) \(\dfrac{|x^{2}-2|}{x^{2}-2}\)

b.4) \(\dfrac{|x-4|}{x-4}\quad\quad\)b.5) \(\dfrac{2|x+5|}{x+5}\quad\quad\)b.6)\(\dfrac{|x^{2}-9|}{x^{2}-9}\)

0292 - Soluções

a)

\(|1|=\boxed{1}\)

\(\left|-\dfrac{5}{3} \right|=\boxed{\dfrac{5}{3}}\)

\(\dfrac{3}{|-4|}=\dfrac{3}{-(-4)}=\boxed{\dfrac{3}{4}}\)

\(-\left| \dfrac{2}{\sqrt{3}} \right|=\boxed{-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}}\)

\(-\left| -\left| -\dfrac{-|\sqrt{12|}}{|-\sqrt{3}|} \right| \times (-|-2|) \right|=-\left| -\left| \dfrac{2\cancel{\sqrt{3}}}{\cancel{\sqrt{3}}}\right| \times (-2) \right|=-|(-2)\times (-2)|=\boxed{-4}\)

\(|0|=0\)

---

b)

b.1) \(\quad-\dfrac{x}{|x|}\to |x|=\left\{\begin{array}{ll} x, & \text{se}\quad x>0\to -\dfrac{x}{x}=-1 \\&\\ -x, & \text{se}\quad x<0\to -\dfrac{x}{-x}=1 \end{array} \right.\)

b.2) \(\quad\dfrac{|x^{2}|}{x^{2}}\to |x^{2}|=\left\{\begin{array}{ll} x^{2}, & \text{se}\quad x^{2}>0\to \forall x\in \mathbb{R^{*}}\to \dfrac{x^{2}}{x^{2}}=1 \\&\\ -x^{2}, & \text{se}\quad x^{2}<0\to \forall x\in \mathbb{R^{*} }\to\dfrac{x^{2}}{-x^{2}}=-1 \end{array} \right.\)

b.3) \(\quad\dfrac{|x^{2}-2|}{x^{2}-2}\to |x^{2}-2|=\)

\(\left\{\begin{array}{ll} x^{2}-2, & \text{se}\quad x^{2}-2>0\to x<-\sqrt{2}\,\,\text{ou}\,\,x>\sqrt{2}\to \dfrac{x^{2}-2}{x^{2}-2}=1 \\&\\ -(x^{2}-2), & \text{se}\quad x^{2}-2<0\to -\sqrt{2}< x< \sqrt{2}\to\dfrac{-(x^{2}-2)}{x^{2}-2}=-1 \end{array} \right.\)

b.4) \(\quad\dfrac{|x-4|}{x-4}\to |x-4|=\)

\(\left\{\begin{array}{ll} x-4, & \text{se}\quad x-4>0\to x>4 \to \dfrac{x-4}{x-4}=1 \\&\\ -(x-4), & \text{se}\quad x-4<0\to x<4\to \dfrac{-(x-4)}{x-4}=-1 \end{array} \right.\)

b.5) \(\quad\dfrac{2|x+5|}{x+5}\to |x+5|=\)

\(\left\{\begin{array}{ll} x+5, & \text{se}\quad x+5>0\to x>-5 \to \dfrac{2(x+5)}{x+5}=2 \\&\\ -(x+5), & \text{se}\quad x+5<0\to x<-5\to \dfrac{-2(x+5)}{x+5}=-2 \end{array} \right.\)

b.6) \(\quad\dfrac{|x^{2}-9|}{x^{2}-9}\to |x^{2}-9|=\)

\(\left\{\begin{array}{ll} x^{2}-9, & \text{se}\quad x^{2}-9>0\to x<-3\,\,\text{ou}\,\,x>3\to \dfrac{x^{2}-9}{x^{2}-9}=1 \\&\\ -(x^{2}-9), & \text{se}\quad x^{2}-9<0\to -3< x< 3\to\dfrac{-(x^{2}-9)}{x^{2}-9}=-1 \end{array} \right.\)

0291

Determine "\(k\)" sabendo que as retas \((r): 2x + 7y = 0\) e \((s) 7x + ky - 15 = 0\) são perpendiculares entre si.

0291 - Solução

Algumas considerações:

1.As duas retas \((r)\) e \((s)\) apresentadas estão com suas equações na forma geral. Por isso, vamos colocá-las na forma reduzida, isto é \(y=mx+p\). Dessa forma, teremos visível o valor da tangente de inclinação de ambas, ou seja, \(m_{r}\,\,\text{e}\,\,m_{s}\):

\((r):\,2x+7y=0\to(r):\,y=-\dfrac{2}{7}x\to\,\,\boxed{m_{r}=-\dfrac{2}{7}}\checkmark\)

\((s):\,7x+ky-15=0\to(s):\,y=-\dfrac{7}{k}x+\dfrac{15}{k}\,\to\,\,\boxed{m_{s}=-\dfrac{7}{k}}\checkmark\)

2.Duas retas \((r)\) e \((s)\) serão perpendiculares quando \(m_{r}\cdot m_{s}=-1\), portanto:

\(m_{r}\cdot m_{s}=-1\to\\\\\\-\dfrac{2}{\cancel{7}}\cdot\left(-\dfrac{\cancel{7}}{k}\right)=-1\to\\\\\\\dfrac{2}{k}=-1\to\boxed{k=-2}\checkmark\)

0290

Calcule o valor de "x" e "y" na figura abaixo, sabendo que \(x=y-15^{\circ}\)

0290 - Resposta

\(x=115^{\circ}\) e \(y=130^{\circ}\)

0290 - Solução

Vamos resolver essa questão através de um sistema com duas equações, nas variáveis "x" e "y"

A primeira equação será dada por: \(x=y-15\) ou \(x-y=-15\,(I)\) ... já reagrupada!!

A segunda equação será dada pela soma dos ângulos internos desse hexágono\((S_{i})\), isto é:

\(S_{i}=180\cdot(n-2)\to S_{i}=180\cdot(6-2)\to S_{i}=720^{\circ}\)

Veja que esse valor também pode ser obtido, diretamente na figura dada, pela soma dos ângulos internos, ou seja:

\(S_{i}=\underbrace{720=4x+2y}_{II}\to 2x+y=360\,(II)\) ... já simplificada!!

Vamos assim montar(e resolver) o sistema formado por \((I)\) e \((II)\):

\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} x & - & \cancel{y} & = & -15&\\\\ 2x & + & \cancel{y} & = & 360&\,\,(+)\,\text{Somando, termo a termo...} \end{array}\right.\)

\(3x=345\to\boxed{x=115^{\circ}}\)

Voltando à equação \((I)\), e substituindo \(x=115^{\circ}\), teremos:

\(115-y=-15\to y=115+15\to\boxed{y=130^{\circ}}\)

Prova Real: Vamos substituir, na figura, os valores encontrados e verificar se a soma de todos os ângulos é igual a 720°: \(\quad4x+2y=4\cdot(115)+2\cdot(130)=460+260=720^{\circ}\checkmark\)

0289

Discutir e resolver o sistema linear

\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrl}x & - & my & + & z & = &0\\2x & - & y & + & mz & = & 3\\2x & - & 2y & + & mz & = & 2\end{array}\right.\)

0289 - Solução

Vamos utilizar o método do escalonamento a fim de discutir e resolver esse sistema linear:

\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrl}x & - & my & + & z & = &0 & (-2L_{1}+L_{2})\,\,(-2L_{1}+L_{3})\\2x & - & y & + & mz & = & 3&\\2x & - & 2y & + & mz & = & 2& \end{array}\right.\)

\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrl}x & - & my & + & z & = &0&\\& & (2m-1)y & + & (m-2)z & = & 3 &(-L_{2}+L_{3})\\& & (2m-2)y & + & (m-2)z & = & 2&\end{array}\right.\)

\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrl}x & - & my & + & z & = &0&\\& & (2m-1)y & + & (m-2)z & = & 3 &\\& & -y & & & = & -1&\to\boxed{y=1}\checkmark\end{array}\right.\)

Substituindo \(y=1\) nas duas primeiras equações, teremos:

\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrl}x & - & my & + & z & = &0&\\& & 2m-1 & + & (m-2)z & = & 3 &(^*)\end{array}\right.\)

\((^*)\) Resolvendo essa equação em função de "\(z\)", teremos:

\(2m - 1 + (m-2)z = 3\to z=\dfrac{4-2m}{m-2}\to \boxed{z=-2;\,\,m\neq 2}\checkmark\)

Substituindo \(y=1\,\,\) e \(\,\,z=-2\) na primeira equação, teremos:

\(x-my+z=0\to x-m-2=0\to\boxed{x=m+2}\checkmark\)

Pela incógnita "\(x\)" depender do valor de "\(m\)", dizemos que esse sistema é SPI, isto é, Sistema Possível e Indeterminado, cujas soluções\((S)\) serão dadas pelas ternas:

\(\boxed{S=\{(m+2;\,1\,-2);\,\,\forall\,m\in\mathbb{R}-\{2\}\}}\checkmark\)

Enfim, uma discussão mais aprimorada pode determinar exatamente todas as possibilidades desse sistema linear, a saber:

Valores reais de "m"	Classificação do Sistema Linear
\(m\neq 2\)	Sistema Possível e Indeterminado (SPI)
\(m=2\)	Sistema Impossível (SI)

OBS: Esse sistema linear jamais será Sistema Possível e Determinado (SPD)

0288

Disserte sobre o tema "Números reais e seus axiomas"¹.

0288 - Dissertação

Números Reais - Axiomas

Leis de Fechamento

A soma \(a+b\) e o produto \(a\cdot b\) são números reais únicos.

Leis de Comutatividade

\(a+b=b+a\) : a ordem das parcelas não altera a soma.

\(a\cdot b=b\cdot a\) : a ordem dos fatores não altera o produto.

Leis Associativas

\(a+(b+c)=(a+b)+c\) : o agrupamento é desnecessário em adições repetidas, uma vez que as adições de ambos os lados podem ser escritos simplesmente como \(a+b+c\).

\(a(bc)=(ab)c\) : o agrupamento é desnecessário em multiplicações repetidas, uma vez que as multiplicações de ambos os lados podem ser escritos simplesmente como \(abc\).

Leis Distributivas

\(a(b+c)=ab+ac=(a+b)c=ac+bc\) : a multiplicação é distributiva em relação à adição.

Leis de Identidade

Existe um único número 0(zero) com a propriedade de que \(0+a=a+0=a\).

Existe um única número 1(um) com a propriedade de que \(1\cdot a=a\cdot 1=a\).

Leis de Inverso

Para qualquer número real \(a\), existe um número real \(-a\), tal que \(a+(-a)=(-a)+a=0\) e onde \(-a\) é chamado de inverso aditivo ou negativo de \(a\).

Para qualquer número real \(a\), diferente de zero, existe um número real \(a^{-1}\), tal que \(a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=1\) e onde \(a^{-1}\) é chamado de inverso multiplicativo ou recíproco de \(a\).

Leis de Fator Zero

Para cada número real \(a\), \(a\cdot 0=0\).

Se \(ab=0\), então \(a=0\) ou \(b=0\).

Leis de Negativos

1. \(-(-a)=a\)

2. \((-a)(-b)=ab\)

3. \(-ab=(-a)b=a(-b)=-(-a)(-b)\)\\

4. \((-1)a=-a\)

Subtração e Divisão

Definição de Subtração: \(a-b=a+(-b)\)

Definição de divisão: \(\dfrac{a}{b}=a\div b=a\cdot b^{-1}\). Desse modo, \(b^{-1}=1\cdot b^{-1}=1\div b=\dfrac{1}{b}\).

Observação: Porque 0(zero) não admite inverso multiplicativo, \(a\div 0\) não é definido.

Leis para Quocientes

• \(-\dfrac{a}{b}=\dfrac{-a}{b}=\dfrac{a}{-b}=-\dfrac{-a}{-b}\)

• \(\dfrac{-a}{-b}=\dfrac{a}{b}\)

• \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) se, e somente se, \(a\cdot d=b\cdot c\)

• \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{ka}{kb}\), para qualquer \(k\in\mathbb{R}^{*}\)
  (Princípio Fundamental de Frações)

Propriedades de Ordem

Para quaisquer números reais positivos, isto é, pertencentes ao conjunto \(\mathbb{R}^{+}\), subconjunto dos números reais, há as seguintes propriedades:

1. Se \(a\) e \(b\) pertencem à \(\mathbb{R}^{+}\), então \(a+b\) e \(ab\) também pertencem.

2. Para cada número real \(a\), ou \(a\) pertence à \(\mathbb{R}^{+}\), ou \(a\) é zero, ou \(-a\) pertence à \(\mathbb{R}^{+}\).

Observações:

• Se \(a\) pertence à \(\mathbb{R}^{+}\), \(a\) é chamado de positivo; se \(-a\) pertence à \(\mathbb{R}^{+}\), \(a\) é chamado de negativo.

• O número \(a\) é menor que \(b\), notação \(a<b\), se \(b-a\) é positivo. Logo, \(b\) é maior que \(a\), notação \(b>a\).

• Se \(a\) é menor ou igual a \(b\), notamos por \(a\leqslant b\). Logo, \(b\) é maior ou igual a \(a\), e notamos por \(b\geqslant a\).

O que se segue pode ser deduzido através da definições acima:

1. \(a>0\) se, e somente se, \(a\) é positivo.

2. Se \(a\neq 0\), então \(a^2>0\).

3. Se \(a<b\), então \(a+c<b+c\).

4. Se \(a<b\), então \(\left\{\begin{array}{lcl}ac<bc & \text{se} & c>0\\ac>bc & \text{se} & c<0\end{array}\right.\)

5. Para qualquer \(a\in\mathbb{R}\), ou \(a>0\), ou \(a=0\), ou \(a<0\).

6. Se \(a<b\) e \(b<c\), então \(a<c\).

Valor Absoluto(ou Módulo) de um Número Real

O valor absoluto de um número real \(a\), representado por \(|a|\), é definido como:

\[|a|=\left\{\begin{array}{rcl}a & \text{se} & a\geqslant 0\\-a & \text{se} & a<0\end{array}\right.\]

Ordem de Operações

Em expressões envolvendo combinações de operações, a seguinte ordem deve ser observada:

1. Primeiramente, execute operações entre símbolos agrupados. Se os símbolos agrupados estão dentro de outro agrupamento de símbolos, proceda a partir dos agrupamentos mais internos para os mais externos.

2. Calcule expoentes antes de multiplicações e divisões, a não ser que o agrupamento de símbolos indique o contrário.

3. Calcule multiplicações e divisões, da esquerda para a direita, antes de calcular adições e subtrações (também da esquerda para direita), a não ser que os símbolos de operações indiquem o contrário.

0287

Resolver a inequação \(2\cdot\text{cos}\,x-1<0\) sabendo-se que \(0\leqslant x\leqslant 360^{\circ}\), isto é, vamos trabalhar apenas na primeira volta positiva do ciclo trigonométrico.

0287 - Resposta

\(S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,60^{\circ}<x<300^{\circ}\right\}\)

0287 - Solução

Vamos resolver essa inequação trigonométrica, basicamente,

através do entendimento gráfico, assim:

\(2\cdot\text{cos}\,x-1<0\to\boxed{\text{cos}\,x<\dfrac{1}{2}}\)

Observe o ciclo trigonométrico com a situação ilustrada:

Portanto, a solução\((S)\) final será o conjunto:

\(S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,60^{\circ}<x<300^{\circ}\right\}\)

0286

Obtenha os zeros reais(se houver) da função:

\(f(x)=\dfrac{4}{x-1}\)

0286 - Resposta

\(S=\varnothing\)

0286 - Solução

Fazendo \(f(x)=0\), teremos:

\(\dfrac{4}{x-1}=0\to\not\exists\,x\in\mathbb{R}\)

0285

Obtenha os zeros da função:

\(y=-4x^2+3x-1\)

0285 - Resposta

\(x=\dfrac{3\pm 2i}{8}\)

0285 - Solução

Observe que não foi citado o conjunto universo, assim, devemos assumir o maior conjunto que conhecemos, ou seja, \(\mathbb{U}=\mathbb{C}\). A fim de resolvermos, vamos utilizar a fórmula quadrática, para y=0:

\(-4x^2+3x-1=0\to\) Bhaskara

\(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to\)

\(x=\dfrac{-3\pm\sqrt{(-3)^2-4\times(-4)\times(-1)}}{2\times(-4)}\to\)

\(x=\dfrac{-3\pm\sqrt{-4}}{-8}\to\boxed{x=\dfrac{3\pm 2i}{8}}\checkmark\)

0284

O ponto \(K(m^2-2m-15;\,-2)\) pertence ao eixo \(y\) e o ponto \(M(3;\,m^2-7m+10)\) percente ao eixo \(x\). Obtenha o valor de \(m\).

0284 - Resposta

\(m=5\)

0284 - Solução

A fim de encontrarmos o valor de \(m\), imprescindível levar em consideração o conectivo "e" da questão; assim:

\(\Rrightarrow\) O ponto \(K\), por pertencer ao eixo \(y\), deverá ter a abscissa igual a zero; assim:

\(m^2-2m-15=0\to\) Bhaskara

\(m=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to\)

\(m=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\times 1\times(-15)}}{2\times 1}\to\)

\(m=\dfrac{2\pm\sqrt{64}}{2}\to m=\dfrac{2\pm 8}{2}\to\)

\(m=-3\) ou \(m=5\)

\(\Rrightarrow\) O ponto \(M\), por pertencer ao eixo \(x\), deverá ter a ordenada igual a zero; assim:

\(m^2-7m+10=0\to\) Fórmula Quadrática

\(m=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to\)

\(m=\dfrac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4\times 1\times 10}}{2\times 1}\to\)

\(m=\dfrac{7\pm\sqrt{9}}{2}\to m=\dfrac{7\pm 3}{2}\to\)

\(m=2\) ou \(m=5\)

Portanto, o único valor que nos serve é \(m=5\checkmark\)

0283

Obtenha o conjunto solução de \((x-2)^2<2x-1\), para \(\mathbb{U}=\mathbb{R}\).

0283 - Resposta

\(S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,1<x<5\right\}\)

0283 - Solução

\((x-2)^2<2x-1\to x^2-4x+4-2x+1<0\to\)

\(x^2-6x+5<0\to(x+5)(x+1)<0\)

Veja o gráfico abaixo, com a situação ilustrada:

Portanto, a solução\((S)\) final, será o intervalo:

\(\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,1<x<5\right\}}\checkmark\)

0282

Resolva pelo método da adição:

a) \(\left\{\begin{array}{rcrcrl}3x & + & y & = & 3 &\\9x & - & 2y & = & 1 &\end{array}\right.\)

b) \(\left\{\begin{array}{rcrcrl}x & + & y & = & 5 &\\-2x & + & y & = & -2 &\end{array}\right.\)

0282 - Respostas

a) \(S=\left\{\left(\dfrac{7}{15};\,\dfrac{24}{15}\right)\right\}\)

b) \(S=\left\{\left(\dfrac{7}{3};\,\dfrac{8}{3}\right)\right\}\)

0282 - Soluções

a)

\(\left\{\begin{array}{rcrcrl}3x & + & y & = & 3 &(\times 2)\\9x & - & 2y & = & 1 &\end{array}\right.\to\)

\(\left\{\begin{array}{rcrcrl}6x & + & \cancel{2y} & = & 6 &\\9x & - & \cancel{2y} & = & 1 & (+)\end{array}\right.\)

\(15x=7\to\boxed{x=\dfrac{7}{15}}\checkmark\)

Substituindo \(x=\dfrac{7}{15}\) na primeira equação, teremos:

\(3\cdot\dfrac{7}{15}+y=3\to \dfrac{21}{15}+y=\dfrac{45}{15}\to\boxed{y=\dfrac{24}{15}}\checkmark\)

Portanto, a solução\((S)\) final, será o par ordenado:

\(\boxed{S=\left\{\left(\dfrac{7}{15};\,\dfrac{24}{15}\right)\right\}}\checkmark\)

---

b)

\(\left\{\begin{array}{rcrcrl}x & + & y & = & 5 &\\-2x & + & y & = & -2 &[\times(-1)]\end{array}\right.\to\)

\(\left\{\begin{array}{rcrcrl}x & + & \cancel{y} & = & 5 &\\2x & - & \cancel{y} & = & 2 &(+)\end{array}\right.\)

\(3x=7\to\boxed{x=\dfrac{7}{3}}\checkmark\)

Substituindo \(x=\dfrac{7}{3}\) na primeira equação, teremos:

\(\dfrac{7}{3}+y=\dfrac{15}{3}\to\boxed{y=\dfrac{8}{3}}\checkmark\)

Portanto, a solução\((S)\) final, será o par ordenado:

\(\boxed{S=\left\{\left(\dfrac{7}{3};\,\dfrac{8}{3}\right)\right\}}\checkmark\)

0281

Obtenha, em \(\mathbb{R}\), o conjunto-solução da equação \(|x-1|+|x-2|=3\)

0281 - Resposta

\(S=\left\{0;\,3\right\}\)

0281 - Solução

Vamos utilizar a definição de módulo, a fim de resolver essa equação modular:

\(|x-1|=\left\{\begin{array}{rcr}x-1 & \text{se} & x-1\geqslant 0\to x\geqslant 1\\-x+1 & \text{se} & x-1<0\to x<1 \end{array}\right.\)

e

\(|x-2|=\left\{\begin{array}{rcr}x-2 & \text{se} & x-2\geqslant 0\to x\geqslant 2\\-x+2 & \text{se} & x-2<0\to x<2 \end{array}\right.\)

Quatro possibilidades a serem analisadas, uma a uma:

I.

Se \(x\geqslant 1\,\,\) e \(\,\,x\geqslant 2\), isto é, para \(\boxed{x\geqslant 2}\)

\(x-1+x-2=3\to 2x=6\to\boxed{x=3}\checkmark\)

---

II.

Se \(x\geqslant 1\,\,\) e \(\,\,x<2\), isto é, para \(\boxed{1\leqslant x<2}\)

\(x-1+(-x+2)=3\to 0x=2\to\,\boxed{\not\exists\,x\in\mathbb{R}}\checkmark\)

---

III.

Se \(x<1\,\,\) e \(\,\,x\geqslant 2\), isto é, não há essa possibilidade.\(\checkmark\)

---

IV.

Se \(x<1\,\,\) e \(\,\,x<2\), isto é, para \(\boxed{x<1}\)

\(-x+1+(-x+2)=3\to-2x=0\to\boxed{x=0}\checkmark\)

---

Portanto, a solução\((S)\) final, será o conjunto:

\(\boxed{S=\left\{0;\,3\right\}}\)

0280

As medidas \(x\) e \(y\) de dois ângulos adjacentes estão na razão de \(2\) para \(3\). Sabendo que as bissetrizes desses ângulos determinam um ângulo de \(40^{\circ}\), calcule os valores de \(x\) e \(y\).

0280 - Resposta

\(x=32^{\circ}\) e \(y=48^{\circ}\)

0280 - Solução

Do texto, podemos montar retirar duas informações:

\(\dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{3}\to \boxed{3x=2y}\) (I)

\(\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{2}=40\to\boxed{x+y=80}\) (II)

Com (I) e (II), podemos montar(e resolver) um sistema de duas equações em função de "\(x\)" e "\(y\)":

\(\left\{\begin{array}{rcrcrl}3x & & & = & 2y &\\x & + & y & = & 80 &\end{array}\right.\to\)

Isolando \(x=\dfrac{2y}{3}\) na primeira equação, podemos aplicá-lo na segunda equação:

\(\dfrac{2y}{3}+y=80\to 2y+3y=240\to 5y=240\to\boxed{y=48^{\circ}}\checkmark\)

Aplicando \(y=48\) na equação \(x=\dfrac{2y}{3}\), teremos:

\(x=\dfrac{2\cdot 48}{3}\to\boxed{x=32^{\circ}}\checkmark\)

Observação: Nesse tipo de questão, o erro é impossível, uma vez que podemos substituir, no texto original da questão, os valores encontrados e, assim, obtermos a "prova real".

0279

Sejam o ponto \(P(2;\, 1)\) e o ponto \(Q\), de abscissa \(4\), localizado no 1º quadrante. Se a distância de \(Q\) a \(P\) é igual à distância de \(Q\) ao eixo das abscissas, então obtenha o ponto \(Q\).

0279 - Resposta

\(Q\left(4;\,\dfrac{5}{2}\right)\)

0279 - Solução

Do texto, podemos obter as seguintes informações:

\(P(2;\,1)\);

\(Q(4;\,y_{Q})\), com \(y_{Q}>0\), pois \(Q\in\,1^{\circ}\,\text{quadrante}\);

\(R(4;\,0)\) é o ponto no eixo das abscissas;

\(d_{PQ}=d_{QR}\).

Com os dados obtidos, podemos aplicar à última equação; assim:

\(d_{PQ}=d_{QR}\to \sqrt{(4-2)^2+(y_{Q}-1)^2}=\sqrt{(4-4)^2+y_{Q}^2}\to\)

\(4+\cancel{y_{Q}^2}-2y_{Q}+1=\cancel{y_{Q}^2}\to\)

\(2y_{Q}=4\to\boxed{y_{Q}=\dfrac{5}{2}}\)

Portanto \(Q\left(4;\,\dfrac{5}{2}\right)\,\checkmark\)

0278

Resolva, em \(\mathbb{R}\), os sistemas(não lineares) de equações:

a) \(\left\{\begin{array}{rcrcrl}x & + & y & = & 12\\x^2 & - & 5y & = & 66\end{array}\right.\)

b) \(\left\{\begin{array}{rcrcrl}x & + & 2y & = & 5\\3x & + & y^2 & = & 7\end{array}\right.\)

0278 - Respostas

a) \(S=\left\{(9;\,3),\,(-14;\,26)\right\}\)

b) \(S=\left\{(1;\,2),\,(-3;\,4)\right\}\)

0278 - Soluções

a)

\(\left\{\begin{array}{rcrcrl}x & + & y & = & 12 & \to x=12-y\\x^2 & - & 5y & = & 66\end{array}\right.\)

Aplicando \(x=12-y\) à segunda equação, teremos:

\((12-y)^2-5y-66=0\to 144-24y+y^2-5y-66=0\to\)

\(y^2-29y+78=0\to\) (Fórmula Quadrática)

\(y=\dfrac{29\pm\sqrt{529}}{2}\to y=\dfrac{29\pm 23}{2}\to\)

\(y_{1}=\dfrac{29-23}{2}\to\boxed{y_{1}=3}\checkmark\,\,\) e \(\,\, x_{1}=12-3\to\boxed{x_{1}=9}\checkmark\)

\(y_{2}=\dfrac{29+23}{2}\to\boxed{y_{2}=26}\checkmark\,\,\) e \(\,\,x_{1}=12-26\to\boxed{x_{2}=-14}\checkmark\)

Portanto, a solução\((S)\) final, terá os pares ordenados:

\(\boxed{S=\left\{(9;\,3),\,(-14;\,26)\right\}}\checkmark\)

---

b)

\(\left\{\begin{array}{rcrcrl}x & + & 2y & = & 5 & \to x=5-2y\\3x & + & y^2 & = & 7\end{array}\right.\)

Aplicando \(x=5-2y\) à segunda equação, teremos:

\(3(5-2y)+y^2=7\to 15-6y+y^2-7=0\to\)

\(y^2-6y+8=0\to\) (Fórmula Quadrática)

\(y=\dfrac{6\pm\sqrt{4}}{2}\to y=\dfrac{6\pm 2}{2}\to\)

\(y_{1}=\dfrac{6-2}{2}\to\boxed{y_{1}=2}\checkmark\,\,\) e \(\,\,x_{1}=5-4\to\boxed{x_{1}=1}\checkmark\)

\(y_{2}=\dfrac{6+2}{2}\to\boxed{y_{2}=4}\checkmark\,\,\) e \(\,\,x_{2}=5-8\to\boxed{x_{2}=-3}\checkmark\)

Portanto, a solução\((S)\) final, terá os pares ordenados:

\(\boxed{S=\left\{(1;\,2),\,(-3;\,4)\right\}}\checkmark\)

0277

Determine o valor de \(\dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\),

sendo \(\sqrt{x}-\sqrt{y}=\sqrt{3}\quad\) e \(\quad x-y=8\).

0277 - Resposta

\(\dfrac{\sqrt{3}}{8}\)

0277 - Solução

Inicialmente, vamos racionalizar o denominador da fração dada:

\(\dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\cdot\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x-y}\)

Agora, vamos substituir numerador e denominador pelos valores dados:

\(\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x-y}=\dfrac{\sqrt{3}}{8}\,\,\checkmark\) (resposta final)

0276

Dado um triângulo retângulo ABC com:

\(\to\) Ângulo reto em \(\hat{C}\);\(\to\) Hipotenusa \(\overline{AB}=x+4\);

\(\to\) Cateto \(\overline{AC}=x-4\);

\(\to\) Cateto \(\overline{BC} = x\);

\(\to\) Ângulo \(\beta\), vértice em \(\hat{B}\).

Calcule o valor de \(x\). Posteriormente, calcule sen\(\beta\), cos\(\beta\) e tg\(\beta\).

0276 - Respostas

\(x=16;\,\,\) sen\(\beta=\dfrac{3}{5};\,\,\) cos\(\beta=\dfrac{4}{5}\,\,\) e tg\(\beta=\dfrac{3}{4}\)

0276 - Soluções

Aplicando o Teorema de Pitágoras aos valores dados:

\((x+4)^2=(x)^2+(x-4)^2\to\)

\(x^2+8x+16=x^2+x^2-8x+16\to\)

\(x^2-16x=0\to\) Vamos resolver essa equação:

\(x^2-16x=0\to x(x-16)=0\to\) Duas Possibilidades:

\(\cancel{\boxed{x=0}}\) ou \(\boxed{x=16}\)

Geometricamente, não podemos ter um triângulo com cateto igual a "zero", portanto, o único valor para "x" é 16.

Aplicando esse valor às medidas do triângulo retângulo ABC, teremos:

\(\to\) Hipotenusa \(\overline{AB}=20\);

\(\to\) Cateto \(\overline{AC}=12\);

\(\to\) Cateto \(\overline{BC} = 16\);

\(\to\) Ângulo \(\beta\), vértice em \(\hat{B}\)

Assim, para o ângulo "\(\beta\)", teremos:

sen\(\beta=\dfrac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5}\,\,\checkmark\)

cos\(\beta=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AB}}=\dfrac{16}{20}=\dfrac{4}{5}\,\,\checkmark\)

tg\(\beta=\dfrac{\overline{AC}}{\overline{BC}}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}\,\,\checkmark\)

---

1. Axiomas são verdades inquestionáveis universalmente válidas, muitas vezes utilizadas como princípios na construção de uma teoria ou como base para uma argumentação. ↩