Página13¶

0325¶

Resolva, em $\mathbb{R}$, o sistema linear, aplicando a regra de Cramer

$\left\{\begin{array}{rcrcrl} 3x & - & y & = & 5&\\\\ 2x & + & y & = & 1& \end{array}\right.$

0325 - Resposta

$S=\left\{\left(\dfrac{6}{5};\,-\dfrac{7}{5}\right)\right\}$

0325 - Solução

$D=\left|\begin{array}{rr}3 & -1\\2 & 1\end{array}\right|\to\boxed{D=5}$

$D_{x}=\left|\begin{array}{rr}5 & -1\\1 & 1\end{array}\right|\to\boxed{D_{x}=6}$

$D_{y}=\left|\begin{array}{rr}3 & 5\\2 & 1\end{array}\right|\to\boxed{D_{y}=-7}$

$x=\dfrac{D_{x}}{D}\to\boxed{x=\dfrac{6}{5}}$

$y=\dfrac{D_{y}}{D}\to\boxed{y=-\dfrac{7}{5}}$

A solução$(S)$ final, será o par ordenado:

$\boxed{S=\left\{\left(\dfrac{6}{5};\,-\dfrac{7}{5}\right)\right\}}\checkmark$

0324¶

Uma função $f$ satisfaz a identidade $f(ax)=a\,f(x)$ para todos os números reais $a$ e $x$. Além disso, sabe-se que $f(4)=2$. Considere ainda a função $g(x)=f(x-1)+1$, para todo número real $x$.

a) Calcule $g(3)$;

b) Determine $f(x)$, para todo $x$ real;

c) Resolva a equação $g(x)=8$.

0324 - Respostas

a) $g(3)=2$

b) $f(x)=\dfrac{x}{2}$

c) $x=15$

0324 - Soluções

Façamos:

(I) $f(ax)=a\,f(x);\,\forall\,a\,\in\,\mathbb{R};\,\forall\,x\,\in\,\mathbb{R}$

(II) $f(4)=2$

(III) $g(x)=f(x-1)+1;\,\forall\,x\,\in\,\mathbb{R}$

Vamos Resolver:

a)

a.1) De (I) e (II), temos:

$a=2$ e $x=2\to f(2\cdot 2)=2\cdot f(2)\to$

$\to f(4)=2\cdot f(2)=2\to f(2)=1$

a.2) Em (III), $x=3\to g(3)=f(2)+1\to g(3)=2\,\checkmark$

b)

Em (I), se $x=4\to f(4\cdot a)=a\cdot f(4)\to f(4a)=2a$

Fazendo $4a=x$, tem-se que $2a=\dfrac{x}{2}$

Portanto, $f(x)=\dfrac{x}{2}\,\checkmark$

c)

c.1) Fazendo a composta $x\to x-1$, para

$f(x)=\dfrac{x}{2}$, teremos: $f(x-1)=\dfrac{x-1}{2}$

c.2) Assim, para essa composição, $g(x)=f(x-1)+1$, será:

$g(x)=\dfrac{x-1}{2}=8\to x=15\,\checkmark$

0323¶

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes equações do 1$\circ$ grau:

a) $12x+5=2x+8$

b) $\dfrac{6x}{5}-\dfrac{x+3}{2}=\dfrac{x}{3}-1$

0323 - Respostas

a) $x=\dfrac{3}{10}$

b) $x=0$

0323 - Soluções

a) $12x+5=2x+8\to 10x=3\to\boxed{x=\dfrac{3}{10}}\checkmark$

b) $\dfrac{6x}{5}-\dfrac{x+3}{2}=\dfrac{x}{3}-1\to$

$\dfrac{36x-15(x+2)=10x-30}{\cancel{30}}\to$

$36x-15x-10x=-30+30\to 11x=0\to\boxed{x=0}\checkmark$

0322¶

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes equações do 1$\circ$ grau:

a) $5(3-x)+2(x+1)=-x+5$

b) $\dfrac{2x}{3}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{5x}{2}+\dfrac{4}{3}$

0322 - Respostas

a) $x=6$

b) $x=-1$

0322 - Soluções

a) $5(3-x)+2(x+1)=-x+5\to$

$-5x+2x+x=5-15-2\to -2x=-12\to\boxed{x=6}\checkmark$

b) $\dfrac{2x}{3}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{5x}{2}+\dfrac{4}{3}\to$

$\dfrac{4x-3=15x+8}{\cancel{6}}\to$

$4x-15x=8+3\to\boxed{x=-1}\checkmark$

0321¶

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes equações do 1$\circ$ grau:

a) $5x+20(1-x)=5$

b) $-x+4(2-x)=-2x-(10+3x)$

0321 - Respostas

a) $x=1$

b) $\not\exists\,x\,\in\,\mathbb{R}$

0321 - Soluções

a) $5x+20(1-x)=5\to$

$5x-20x=5-20\to\boxed{x=1}\checkmark$

b) $-x+4(2-x)=-2x-(10+3x)\to$

$-x-4x+2x+3x=-10-8\to\not\exists\,x\,\in\,\mathbb{R}\,\checkmark$

0320¶

Dividir 120 em três partes "A", "B" e "C", de forma que "B" seja o dobro de "C" e que "A" seja o dobro de "B" somado a "C".

0320 - Resposta

$A=75;\,B=50;\,C=15$

0320 - Solução

Do texto retiramos as seguintes relações:

$A+B+C=120$ (I)

$B=2\cdot C$ (II)

$A=2\cdot B+C$ (III)

De (II) em (III):

$A=2\cdot(2\cdot C)+C\to A=5C$ (IV)

Aplicando (II) e (IV) em (I), teremos, em função de "C":

$5C + 2C + C = 120\to\boxed{C=15}\checkmark$

Substituindo $C=15$ em (II), teremos, em função de "B":

$B=2\cdot 15\to\boxed{B=30}\checkmark$

Substituindo $B=30$ e $C=15$ em (I), teremos, em função de "A":

$A + 30 + 15 = 120\to\boxed{A=75}\checkmark$

Observação: Para "prova real", basta substituir os valores encontrados em (I), (II), (III) e (IV) a fim de verificar a veracidade.

0319¶

Seja $f$ uma função real definida pela lei $f(x)=ax-3$. Se $-2$ é raiz dessa função, determine o valor de $f\left(\sqrt{3}\right)$.

0319 - Resposta

$f(\sqrt{3})=-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}-3$

0319 - Solução

Resolvendo $f(x)=0$ para $x=-2$, teremos:

$a\cdot(-2)-3=0\to a=-\dfrac{3}{2}$

Substituindo $a=-\dfrac{3}{2}$ na equação original, teremos a função:

$f(x)=-\dfrac{3x}{2}-3\to f(\sqrt{3})=-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}-3\,\checkmark$

0318¶

Seja $r$ a reta representativa do gráfico da função $y=2x-2$ e "$A$" e "$B$" os pontos em que intercepta os eixos das abscissas e das ordenadas, respectivamente. Se "$O$" é a origem do sistena cartesiano, determine é a área do $\Delta OAB$.

0318 - Resposta

$A_{\Delta OAB}=1\,u.a$

0318 - Solução

Observe a imagem ilustrativa da situação descrita no texo:

Ponto $A(x;\,0)$ é obtido para $y=0\to 2x-2=0\to x=1$, portanto, $A(1;\,0)$ e o cateto $\overline{OA}=1$

Ponto $B(0;\,y)$ é obtido para $x=0\to y=2\cdot 0-2\to y=-2$, portanto $B(0;\,-2)$ e o cateto $\overline{OB}=2$

Assim, área$(A)$ do $\Delta OAB\quad$ será dada por:

$A_{\Delta OAB}=\dfrac{\overline{OA}\cdot\overline{OB}}{2}\to\boxed{A_{\Delta OAB}=1\,u.a}\checkmark$

0317¶

Para que valores reais de $m$ a função definida por:

a) $f(x)=(m+9)x-3$ é crescente?

b) $g(x)=(m+4)x+1$ é decrescente?

c) $h(x)=(-m+5)x-12$ é constante?

0317 - Resposta

a) $m>-9$

b) $m<-4$

c) $m=5$

0317 - Solução

a) $m+9>0\to\boxed{m>-9}\checkmark$

b) $m+4<0\to\boxed{m<-4}\checkmark$

c) $-m+5=0\to\boxed{m=5}\checkmark$

0316¶

Resolva, em $\mathbb{R}$, a inequação $3(x+1)-4\geqslant 2(x+5)$

0316 - Resposta

$x\geqslant 11$

0316 - Solução

$3(x+1)-4\geqslant 2(x+5)\to$

$3x+3-4\geqslant 2x+10\to$

$3x-2x\geqslant 10+1\to\boxed{x\geqslant 11}\checkmark$

0315¶

Resolva, em $\mathbb{R}$, a inequação simultânea $1\leqslant 2x+3\leqslant x+5$

0315 - Resposta

$S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,-1\leqslant x\leqslant 2\right\}$

0315 - Solução

Por serem simultâneas, podemos (re)escrever(e resolver) as inequações assim:

$1\leqslant 2x+3\to 2x+3\geqslant 1\to x\geqslant -1$ (I)

$2x+3\leqslant x+5\to 2x-x\leqslant 5-3\to x\leqslant 2$ (II)

Da interseção $(I)\cap(II)$, teremos a solução$(S)$ final:

$\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,-1\leqslant x\leqslant 2\right\}}\checkmark$

0314¶

Resolva, em $\mathbb{R}$, os sistemas lineares, aplicando a regra de Cramer:

a) $\left\{\begin{array}{rcrcrcrl} 3x & + & 2y & + & 3z & = & 0\\\\ x & + & y & + & z & = & 1\\\\ -2x & - & 3y & + & 3z & = & -5 \end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{rcrcrc} 3x & - & 5y & = & -14&\\\\ -2x & - & 8y & = & -2& \end{array}\right.$

c) $\left\{\begin{array}{rcrcrc} -2x & - & 3y & = & -9&\\\\ x & + & 4y & = & 12& \end{array}\right.$

0314 - Respostas

a) $S=\left\{\left(-2;\,3;\,0\right)\right\}$

b) $S=\left\{\left(-3;\,1\right)\right\}$

c) $S=\left\{\left(0;\,3\right)\right\}$

0314 - Soluções

a) $\left\{\begin{array}{rcrcrcrl} 3x & + & 2y & + & 3z & = & 0\\\\ x & + & y & + & z & = & 1\\\\ -2x & - & 3y & + & 3z & = & -5 \end{array}\right.$

$D=\left|\begin{array}{rrr}3&2&3\\1&1&1\\-2&-3&3\end{array}\right|\to\boxed{D=5}$

$D_{x}=\left|\begin{array}{rrr}0&2&3\\1&1&1\\-5&-3&3\end{array}\right|\to\boxed{D_{x}=-10}$

$D_{y}=\left|\begin{array}{rrr}3&0&3\\1&1&1\\-2&-5&3\end{array}\right|\to\boxed{D_{y}=15}$

$D_{z}=\left|\begin{array}{rrr}3&2&0\\1&1&1\\-2&-3&-5\end{array}\right|\to\boxed{D_{z}=0}$

$x=\dfrac{D_{x}}{D}\to x=-\dfrac{10}{5}\to\boxed{x=-2}$

$y=\dfrac{D_{y}}{D}\to y=\dfrac{15}{5}\to\boxed{y=3}$

$z=\dfrac{D_{z}}{D}\to z=\dfrac{0}{5}\to\boxed{z=0}$

A solução$(S)$ final, será a terna ordenada:

$\boxed{S=\left\{\left(-2;\,3;\,0\right)\right\}}\checkmark$

b) $\left\{\begin{array}{rcrcrc} 3x & - & 5y & = & -14&\\\\ -2x & - & 8y & = & -2& \end{array}\right.$

$D=\left|\begin{array}{rr}3 & -5\\-2 & -8\end{array}\right|\to\boxed{D=-34}$

$D_{x}=\left|\begin{array}{rr}-14 & -5\\-2 & -8\end{array}\right|\to\boxed{D_{x}=102}$

$D_{y}=\left|\begin{array}{rr}3 & -14\\-2 & -2\end{array}\right|\to\boxed{D_{y}=-34}$

$x=\dfrac{D_{x}}{D}\to x=-\dfrac{102}{34}\to\boxed{x=-3}$

$y=\dfrac{D_{y}}{D}\to y=\dfrac{34}{34}\to\boxed{y=1}$

A solução$(S)$ final, será o par ordenado:

$\boxed{S=\left\{\left(-3;\,1\right)\right\}}\checkmark$

c) $\left\{\begin{array}{rcrcrc} -2x & - & 3y & = & -9&\\\\ x & + & 4y & = & 12& \end{array}\right.$

$D=\left|\begin{array}{rr}-2 & -3\\1 & 4\end{array}\right|\to\boxed{D=-5}$

$D_{x}=\left|\begin{array}{rr}-9 & -3\\12 & 4\end{array}\right|\to\boxed{D_{x}=0}$

$D_{y}=\left|\begin{array}{rr}-2 & -9\\1 & 12\end{array}\right|\to\boxed{D_{y}=-15}$

$x=\dfrac{D_{x}}{D}\to\boxed{x=0}$

$y=\dfrac{D_{y}}{D}\to\boxed{y=3}$

A solução$(S)$ final, será o par ordenado:

$\boxed{S=\left\{\left(0;\,3\right)\right\}}\checkmark$

0313¶

As torneiras $X$, $Y$, $Z$ enchem, individualmente, um tanque vazio em 12, 8 e 16 horas, respectivamente. O tanque está vazio e a torneira $X$ é aberta. Depois de uma hora abre-se a torneira $Y$ e, decorrida mais uma hora, abre-se a torneira $Z$. Assim sendo, aproximadamente em quanto tempo, após a abertura da torneira $X$, o tanque estará cheio?

0313 - Resposta

$T\approx 4\text{h}\;37\,\text{min}$

0313 - Solução

$\Rrightarrow$ 1.Vamos obter os valores fracionados em 1h:

Torneira $X$ preenche $\dfrac{1}{12}$ do volume total do tanque;

Torneira $Y$ preenche $\dfrac{1}{8}$ do volume total do tanque;

Torneira $Z$ preenche $\dfrac{1}{16}$ do volume total do tanque;

As três torneiras preenchem, juntas:

$\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}=\dfrac{13}{48}$ do volume total do tanque.

$\Rrightarrow$ 2.Vamos examinar o preenchimento do tanque, hora a hora:

Após 1h, apenas a torneira $X$, portanto, $\dfrac{1}{12}$ do volume total foi preenchido;

Após 2h, torneira $X=\dfrac{2}{12}$ mais a torneira $Y=\dfrac{1}{8}$, isto é:

$\dfrac{2}{12}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{7}{24}$ ou $\dfrac{14}{48}$ do volume total foi preenchido.

$\Rrightarrow$ 3.A partir desse momento, tendo preenchidos $\dfrac{14}{48}$ do volume total, faltam ainda:

Volume Total, isto é, $\dfrac{48}{48}$, menos o que já foi preenchido, isto é, $\dfrac{14}{48}$, ou seja:

$\dfrac{48}{48}-\dfrac{14}{48}=\dfrac{34}{48}$ do volume total a ser preenchido.

$\Rrightarrow$ 4.Assim, vamos completar o tempo$(t)$ do preenchimento dos $\dfrac{34}{48}$ do volume do tanque, a uma razão de $\dfrac{13}{48}$ (as três torneiras juntas) do volume, por hora, isto é:

$t=\dfrac{\frac{34}{\cancel{48}}}{\frac{13}{\cancel{48}}}\to t=\dfrac{34}{13}\to t\approx 2,615384615\to t\approx 2\text{h}\;37\,\text{min}$

$\Rrightarrow$ 5.Finalmente, o tempo total$(T)$, será a soma das duas primeiras horas mais as $2\text{h}\;37\,\text{min}$, aproximadamente, ou seja:

$\boxed{T\approx 4\text{h}\;37\,\text{min}}\checkmark$

0312¶

Resolva, em $\mathbb{R}$, o sistema linear, aplicando a regra de Cramer:

$\left\{\begin{array}{rcrcrcrl} x & - & 2y & + & 3z & = & 1\\\\ 2x & + & y & - & z & = & 0\\\\ -x & + & 3y& - & 2z & = &-3 \end{array}\right.$

0312 - Resposta

$S=\left\{\left(\dfrac{1}{3};\,-\dfrac{4}{3};\,-\dfrac{2}{3}\right)\right\}$

0312 - Solução

$\left\{\begin{array}{rcrcrcrl} x & - & 2y & + & 3z & = & 1\\\\ 2x & + & y & - & z & = & 0\\\\ -x & + & 3y& - & 2z & = &-3 \end{array}\right.$

$D=\left|\begin{array}{rrr}1&-2&3\\2&1&-1\\-1&3&-2\end{array}\right|\to\boxed{D=12}$

$D_{x}=\left|\begin{array}{rrr}1&-2&3\\0&1&-1\\-3&3&-2\end{array}\right|\to\boxed{D_{x}=4}$

$D_{y}=\left|\begin{array}{rrr}1&1&3\\2&0&-1\\-1&-3&-2\end{array}\right|\to\boxed{D_{y}=-16}$

$D_{z}=\left|\begin{array}{rrr}1&-2&1\\2&1&0\\-1&3&-3\end{array}\right|\to\boxed{D_{z}=-8}$

$x=\dfrac{D_{x}}{D}\to\boxed{x=\dfrac{1}{3}}$

$y=\dfrac{D_{y}}{D}\to\boxed{y=-\dfrac{4}{3}}$

$z=\dfrac{D_{z}}{D}\to\boxed{z=-\dfrac{2}{3}}$

A solução$(S)$ final, será a terna ordenada:

$\boxed{S=\left\{\left(\dfrac{1}{3};\,-\dfrac{4}{3};\,-\dfrac{2}{3}\right)\right\}}\checkmark$

0311¶

A diferença entre o dobro de um número e a sua metade é menor que 6(seis). Quais os inteiros positivos que são soluções desse problema?

0311 - Resposta

$S=\{1;\,2;\,3\}$

0311 - Solução

Equacionando o texto dado, teremos:

$2x-\dfrac{x}{2}<6\to\dfrac{4x-x<12}{\cancel{2}}\to$

$3x<12\to x<\dfrac{12}{3}\to x<4$

Portanto, a solução$(S)$, com os inteiros positivos, será o conjunto:

$\boxed{S=\{1;\,2;\,3\}}\checkmark$

0310¶

Resolva, em $\mathbb{R}$, a seguinte inequação:

$x-3\leqslant-x+5$

0310 - Resposta

$x\leqslant 4$

0310 - Solução

$x-3\leqslant-x+5\to$

$x+x\leqslant 5+3\to$

$2x\leqslant 8\to\boxed{x\leqslant 4}\checkmark$

0309¶

Resolva, em $\mathbb{R}$, a seguinte inequação:

$3(x-1)+4x\leqslant -10$

0309 - Resposta

$x\leqslant-1$

0309 - Solução

$3(x-1)+4x\leqslant -10\to$

$3x-3+4x\leqslant -10$

$7x\leqslant-7\to\boxed{x\leqslant-1}\checkmark$

0308¶

Resolva, em $\mathbb{R}$, a seguinte inequação:

$-2(x-1)-5(1-x)>0$

0308 - Resposta

$x>1$

0308 - Solução

$-2(x-1)-5(1-x)>0\to$

$-2x+2-5+5x>0\to$

$3x>3\to\boxed{x>1}\checkmark$

0307¶

Resolva, em $\mathbb{R}$, a seguinte inequação:

$1-\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{2}<x$

0307 - Resposta

$x>\dfrac{6}{5}$

0307 - Solução

$1-\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{2}<x\to$

$\dfrac{6-2x+3x<6x}{\cancel{6}}\to$

$-2x+3x-6x<-6\to$

$-5x<-6\,\,\,[\div(-1)]$

$5x>6\to\boxed{x>\dfrac{6}{5}}\checkmark$

0306¶

Resolva, em $\mathbb{R}$, a seguinte inequação:

$\dfrac{x-1}{3}-\dfrac{x-2}{2}\leqslant 2$

0306 - Resposta

$x\geqslant-8$

0306 - Solução

$\dfrac{x-1}{3}-\dfrac{x-2}{2}\leqslant 2\to$

$\dfrac{2(x-1)-3(x-2)\leqslant 12}{\cancel{6}}\to$

$2x-2-3x+6\leqslant 12\to$

$-x\leqslant 8\to\boxed{x\geqslant-8}\checkmark$

0305¶

Resolva, em $\mathbb{R}$, a seguinte inequação:

$\dfrac{3x-1}{4}-\dfrac{x-3}{2}\geqslant\dfrac{x+7}{4}$

0305 - Resposta

$\not\exists\,x\in\mathbb{R}$

0305 - Solução

$\dfrac{3x-1}{4}-\dfrac{x-3}{2}\geqslant\dfrac{x+7}{4}\to$

$\dfrac{3x-1-2x+6\geqslant x+7}{\cancel{4}}\to$

$0x\geqslant 2\to\not\exists\,x\in\mathbb{R}\checkmark$

0304¶

Resolva, em $\mathbb{R}$, a seguinte inequação:

$(x-3)^2-(4-x)^2\leqslant\dfrac{x}{2}$

0304 - Resposta

$x\leqslant\dfrac{14}{3}$

0304 - Solução

$(x-3)^2-(4-x)^2\leqslant\dfrac{x}{2}\to$

$\cancel{x^2}-6x+9-16+8x-\cancel{x^2}\leqslant\dfrac{x}{2}\to$

$2x-\dfrac{x}{2}\leqslant 7\to$

$\dfrac{4x-x\leqslant 14}{\cancel{2}}\to$

$3x\leqslant 14\to\boxed{x\leqslant\dfrac{14}{3}}\checkmark$

0303¶

Resolva, em $\mathbb{R}$, o seguinte sistema de inequações:

$\left\{\begin{array}{lcl}-3x&<&1-2x\\4-3(2-x)&\geqslant&x\end{array}\right.$

0303 - Resposta

$S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,-1<x\leqslant 1\}$

0303 - Solução

$\left\{\begin{array}{lclcr} -3x&<&1-2x&\to&x>-1\quad(I)\\ 4-3(2-x)&\geqslant&x&\to&x\leqslant 1\quad(II) \end{array}\right.$

A solução$(S)$ final, será $(I)\cap(II)$, ou seja:

$\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,-1<x\leqslant 1\}}\checkmark$

0302¶

Resolva, em $\mathbb{R}$, o seguinte sistema de inequações:

$\left\{\begin{array}{lcl}x+1&<&5x\\8x&<&-x+2\end{array}\right.$

0302 - Resposta

$S=\varnothing$

0302 - Solução

$\left\{\begin{array}{lclcr} x+1&<&5x&\to&x>\dfrac{9}{36}\quad(I)\\ 8x&<&-x+2&\to&x<\dfrac{8}{36}\quad(II) \end{array}\right.$

A solução$(S)$ final, será $(I)\cap(II)$, ou seja:

$\boxed{S=\varnothing}\checkmark$

0301¶

Resolva, em $\mathbb{R}$, o seguinte sistema de inequações:

$\left\{\begin{array}{lcl}\dfrac{x}{5}&\leqslant&2-x\\x+1&>&-2x-4\\5-2(x-3)&\leqslant&-5x+15\end{array}\right.$

0301 - Resposta

$S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,-\dfrac{5}{3}<x\leqslant\dfrac{4}{3}\right\}$

0301 - Solução

$\left\{\begin{array}{lclcr} \dfrac{x}{5}&\leqslant&2-x&\to&x\leqslant\dfrac{5}{3}\quad(I)\\ x+1&>&-2x-4&\to&x>-\dfrac{5}{3}\quad(II)\\ 5-2(x-3)&\leqslant&-5x+15&\to&x\leqslant\dfrac{4}{3}\quad(III) \end{array}\right.$

A solução$$(S) final, será $(I)\cap(II)\cap(III)$, ou seja:

$\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,-\dfrac{5}{3}<x\leqslant\dfrac{4}{3}\right\}}\checkmark$