Página14¶
0350¶
Dividindo-se o polinômio \(P(x)=x^5+ax^4+bx^2+cx+1\) por \((x-1)\), obtém-se resto igual a 2. Dividindo-se \(P(x)\) por \((x+1)\), obtém-se resto igual a 3. Sabendo que \(P(x)\) é divisível por \((x-2)\), obtenha o valor de \(\dfrac{a\cdot b}{x}\).
0350 - Resposta
\(\dfrac{a\cdot b}{x}=9\)
0350 - Solução
Vamos utilizar o teorema do resto:
\(P(1)=2\to 1^5+a\cdot 1^4+b\cdot 1^2+ c\cdot 1+1=2\to a+b+c=0\,(I)\)
\(P(-1)=3\to (-1)^5+a\cdot (-1)^4+b\cdot (-1)^2+ c\cdot (-1)+1=3\to a+b-c=3\,(II)\)
\(P(2)=0\to 2^5+a\cdot 2^4+b\cdot 2^2+ c\cdot 2+1=0\to 16a+4b+2c=-33\,(III)\)
Com \((I)\), \((II)\) e \((III)\) vamos montar um sistema linear e, resolvê-lo por escalonamento:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrc} a & + & b & + & c & = & 0& (L_{1}-L_{2})\,\,(16L_{1}-L_{3})\\ a & + & b & - & c & = & 3&\\ 16a & + & 4b & + & 2c & = & -33& \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrl} a & + & b & + & c & = & 0&\\ & & & & 2c & = & -3&\to\boxed{c=-\dfrac{3}{2}}\\ & + & 12b & + & 14(-\frac{3}{2}) & = & 33&\to 12b=54\to\boxed{b=\dfrac{9}{2}} \end{array}\right.\)
Aplicando \(b=\dfrac{9}{2}\) e \(c=-\dfrac{3}{2}\) à primeira equação, teremos:
\(a+\dfrac{9}{2}-\dfrac{3}{2}=0\to \boxed{a=-3}\)
Finalmente, vamos aplicar os valores de \(a\), \(b\) e \(c\) à expressão:
\(\dfrac{a\cdot b}{c}=\dfrac{-3\cdot \frac{9}{2}}{-\dfrac{3}{2}}=\dfrac{-\frac{27}{2}}{-\frac{3}{2}}=9\)
0349¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a equação: \(5x^4+2x^2-3=0\).
0349 - Resposta
\(x=-\dfrac{\sqrt{15}}{5}\) ou \(x=\dfrac{\sqrt{15}}{5}\)
0349 - Solução
Equação biquadrada é toda equação do tipo \(ax^4+bx^2+c=0\), com \(a,\,b,\,c\,\in\mathbb{R}^*\). Uma forma simples de soluciona esse tipo equação, é a utilização de incógnitas auxiliares que farão surgir uma equação do segundo grau, a qual poderá ser resolvida por quaisquer formas que já conhecemos, por exemplo, pela fórmula quadrática, ou fórmula de Bhaskara. Tomados esses resultados, retornamos à equação original a fim de obter os resultados solicitados. Vamos à resolução da equação:
Vamos adotar \(x^2=k\) e \(x^4=k^2\):
\(5k^2+2k-3=0\Rightarrow\)Bhaskara\(\Rightarrow\)
\(k=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\)
\(k=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\times 5\times (-3)}}{2\times 5}\) \(\ldots\ldots\) \(\ldots\ldots\)
\(\boxed{k=-1}\) ou \(\boxed{k=\dfrac{3}{5}}\)
Voltando à equação original:
Para \(k=-1\):: \(\quad x^2=-1\) Não serve, pois as soluções \(\boxed{x=\pm i}\) não são reais;
Para \(k=\dfrac{3}{5}\):: \(\quad x^2=\dfrac{3}{5}\to\boxed{x=\pm\dfrac{\sqrt{15}}{5}}\) Servem, pois são valores reais.
Portanto, a Solução(\(S\)) será: \(S=\left\{x=-\dfrac{\sqrt{15}}{5}\,\,\text{ou}\,\,x=\dfrac{\sqrt{15}}{5}\right\}\)
0348¶
Resolva o seguinte sistema linear através do método de Cramer:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcr} 4x & + & y & + & 3z & = & 1\\ 2x & - & 2y & + & 6z & = & 11\\ -6x & + & 3y & + & 12z & = & -4 \end{array}\right.\)
0348 - Resposta
\(S=\left\{\left(\dfrac{1}{2};\,\,-3;\,\,\dfrac{2}{3}\right)\right\}\)
0348 - Solução
Por Cramer, vamos utilizar os seguintes determinantes (e seus resultados):
\(D=\left|\begin{array}{rrr}4 & 1 & 3\\2 & -2 & 6\\-6 & 3 & 12\end{array}\right|\to D=-246\)
\(D_{x}=\left|\begin{array}{rrr}1 & 1 & 3\\11 & -2 & 6\\-4 & 3 & 12\end{array}\right|\to D_{x}=-123\)
\(D_{y}=\left|\begin{array}{rrr}4 & 1 & 3\\2 & 11 & 6\\-6 & -4 & 12\end{array}\right|\to D_{y}=738\)
\(D_{z}=\left|\begin{array}{rrr}4 & 1 & 1\\2 & -2 & 11\\-6 & 3 & -4\end{array}\right|\to D_{z}=-164\)
Ainda por Cramer, teremos as soluções dadas pelas seguintes razões:
\(x=\dfrac{D_{x}}{D}\to\boxed{x=\dfrac{1}{2}}\)
\(y=\dfrac{D_{y}}{D}\to\boxed{y=-3}\)
\(y=\dfrac{D_{z}}{D}\to\boxed{y=\dfrac{2}{3}}\)
Portanto, a solução(\(S\)) será a terna:
\(S=\left\{\left(\dfrac{1}{2};\,\,-3;\,\,\dfrac{2}{3}\right)\right\}\)
A fim de confirmar esses dados, buscamos a solução obtida através do software matemático "Octave", excelente opensource e opção ao já tradicional "Matlab":
0347¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a inequação modular: \(|x| + \dfrac{1}{x} < 0\).
0347 - Resposta
\(S=\left\{ x\in\mathbb{R^{*}}\,/\,-1<x<1\right\}\)
0347 - Solução
Condição de existência: \(\boxed{x\neq 0}\)
Definindo módulo de "\(x\)": \(|x|=\left\{ \begin{array}{rcr}x & \text{se} & x>0\\-x & \text{se} & x<0\end{array}\right.\)
\((1)\) Para \(x>0\), teremos: \(x + \dfrac{1}{x} < 0\to \dfrac{x^2+1}{x}<0\):
Da fração, o numerador \(x^2+1\) será sempre positivo, qualquer que seja \(x\) e
Da mesma fração, o denominador \(x\) deve ser negativo, para que a fração toda seja negativa.
Assim, há uma incoerência, pois devemos ter, com condição final, concomitantemente, \(x>0\) e \(x<0\). Portanto, não há solução em \((1)\);
\((2)\) Para \(x<0\), teremos: \(-x + \dfrac{1}{x} < 0\to \dfrac{-x^2+1}{x}<0\):
Da fração, o numerador \(-x^2+1\) analisado como função quadrática:
\(-x^2+1=\left\{ \begin{array}{rcl}-x^2+1<0 & \text{se} & x<-1\,\,\text{ou}\,\,x>1\quad(2.1)\\-x^2+1>0 & \text{se} & -1<x<1\quad\quad\quad\,\, (2.2)\end{array}\right.\)
Para (2.1), se \(x<-1\) ou \(x>1\) e, tendo o denominador(\(x\)) positivo, ou seja, \(x>0\), poderíamos deduzir que a fração seria negativa para \(x>1\), exceto que, se aplicado qualquer valor de \(x\) maior que 1(um) à inequação original, observe que não chegamos a um valor final negativo; mas, e finalmente,
Para (2.2), se \(-1<x<1\) e, tendo o denominador(\(x\)) negativo, ou seja, \(x<0\), teremos a fração toda negativada para a solução final(S) da sua inequação modular, ou seja,
\(S=\left\{ x\in\mathbb{R^{*}}\,/\,-1<x<1\right\}\)
0346¶
Defina o conjunto universo e resolva esse sistema, nas incógnitas \(x\) e \(y\):
\(\left\{\begin{array}{rcr} \dfrac{x-1}{y+4}&=&\dfrac{1}{7}\\ &&\\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}&=&\dfrac{5}{6} \end{array}\right.\)
0346 - Resposta
\(S=\{(2,\,3)\}\)
0346 - Solução
Vamos iniciar a resolução desse sistema pela segunda linha. Uma vez obtidos os valores possíveis para "\(x\)" e "\(y\)", faremos os testes na primeira equação. Aqueles que se adequarem a ambas as equações, serão as respostas finais; assim:
Da segunda equação, teremos:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{5}{6}\to \dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{5}{6}\to\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr}x & + & y & = & 5&\to \boxed{y=5-x}\\xy&&&=&6&\end{array}\right.\)
\(x(5-x)=6\to\cdots\to x^2-5x+6=0\)
Utilizando a fórmula quadrática: \(\boxed{x=2}\) ou \(\boxed{x=3}\)
Utilizando esses valores na primeira equação, teremos:
Quando \(x=2\), teremos \(y=3\), que testados, são aprovados, veja:
\(\dfrac{x-1}{y+4}=\dfrac{1}{7}\to\dfrac{2-1}{3+4}=\dfrac{1}{7}\to\) Aprovados
Quando \(x=3\), teremos \(y=2\), que testados, não são aprovados, veja:
\(\dfrac{x-1}{y+4}=\dfrac{1}{7}\to\dfrac{3-1}{2+4}=\dfrac{1}{3}\neq \dfrac{1}{7}\to\) Não Aprovados
Portanto, e finalmente, a solução(S) desse sistema será: \(S=\{(2,\,3)\}\)
0345¶
Resolva o sistema linear a seguir, pelo método da adição:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrl} 3x & + & 6y & = & 6 &\\ x & + & y & = & 1 \end{array}\right.\)
0345 - Resposta
\(S=\left\{(0;\,1)\right\}\)
0345 - Solução
\(\left\{\begin{array}{rcrcrl} 3x & + & 6y & = & 6 & (\div\,3)\\ x & + & y & = & 1 \end{array}\right.\to\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrl} x & + & 2y & = & 2 & [\times\,(-1)]\\ x & + & y & = & 1 \end{array}\right.\to\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrl} -\cancel{x} & & -2y & = & -2\\ \cancel{x} & + & y & = & 1 \end{array}\right.\to\) Somando as duas equações:
\(-y=-1\to\boxed{y=1}\)
Substituindo \(y=1\) na segunda equação:
\(x+1=1\to\boxed{x=0}\)
Portanto, a solução(S) é o par ordenado: \(S=\left\{(0;\,1)\right\}\)
0344¶
Resolva o sistema linear a seguir, pelo método da adição:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrl}3x & + & 2y & = & 0 &\\5x & + & 3y & = & -1\end{array}\right.\)
0344 - Resposta
\(S=\left\{(-2;\,3)\right\}\)
0344 - Solução
\(\left\{\begin{array}{rcrcrl} 3x & + & 2y & = & 0 & [\times (-3)]\\ 5x & + & 3y & = & -1 & [\times (2)]\end{array}\right.\to\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} -9x & - & \cancel{6y} & = & 0 &\\ 10x & + & \cancel{6y} & = & -2 & \end{array}\right.\to\) Somando as duas equações:
\(\boxed{x=-2}\)
Substituindo \(x=-2\) na primeira equação:
\(3(-2)+2y=0\to 2y=6\to\boxed{y=3}\)
Portanto, a solução(S) é o par ordenado: \(S=\left\{(-2;\,3)\right\}\)
0343¶
Dado o polinômio \(P(x)=mx^3-n\), determine o valor de "\(m\)" e "\(n\)", sabendo-se que \(P(-1)=-7\) e \(P(1)=-1\).
0343 - Resposta
\(m=3\) e \(n=4\)
0343 - Solução
Vamos montar um sistema de duas equações, em função de "\(m\)" e "\(n\)" e assim encontrá-los:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} m(-1)^3 & - & n & = & -7 &\\ m(1) ^3 & - & n & = & -1 & \end{array}\right.\to\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} -\cancel{m} & - & n & = & -7 &\\ \cancel{m} & - & n & = & -1 &(+) \end{array}\right.\)
Da soma das duas equações, termo a termo, teremos: \(-2n=-8\to\boxed{n=4}\)
Substituindo \(n=4\) na segunda equação, teremos: \(m-4=-1\to\boxed{m=3}\)
0342¶
Seja o polinômio \(P(x)=ax^2+2x-b\), determine o valor de "\(a\)" e de "\(b\)", sabendo-se que \(P(2)=6\) e \(P(3)=13\).
0342 - Resposta
\(a=1\) e \(b=2\)
0342 - Solução
Vamos montar um sistema de duas equações, em função de "\(m\)" e "\(n\)" e assim encontrá-los:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrc} a(2)^2 & + & 2.2 & - & b & = & 6&\\ a(3)^2 & + & 2.3 & - & b & = & 13& \end{array}\right.\to\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrc} 4a & + & 4 & - & b & = & 6&\\ 9a & + & 6 & - & b & = & 13& \end{array}\right.\to\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} 4a & - & b & = & 2&(-1)\\ 9a & - & b & = & 7& \end{array}\right.\to\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} -4a & + & b & = & -2&\\ 9a & - & b & = & 7& \end{array}\right.\to\)
Da soma das duas equações, termo a termo, teremos: \(5a=5\to\boxed{a=1}\)
Substituindo \(a=1\) na segunda equação, teremos: \(9.1-b=7\to\boxed{b=2}\)
0341¶
Determine "\(a\)", "\(b\)" e "\(c\)" para que o polinômio a seguir, seja identicamente nulo:
\(P(x)=(a-8)x^3+(5b-15)x^2+cx\)
0341 - Resposta
\(a=8\), \(b=3\) e \(c=0\)
0341 - Solução
Para que um polinômio seja identicamente nulo, devemos ter todos seus coeficientes iguais a zero, ou seja:
\(a-8=0\to\boxed{a=8}\)
\(5b-15=0\to\boxed{b=3}\)
\(\boxed{c=0}\)
0340¶
Determine "\(m\)", "\(n\)" e "\(t\)" para que o polinômio a seguir, seja identicamente nulo:
\(P(x)=(3m+2)x^2+(2n-1)x-t\)
0340 - Resposta
\(m=-\dfrac{2}{3}\), \(n=\dfrac{1}{2}\) e \(t=0\)
0340 - Solução
Para que um polinômio seja identicamente nulo, devemos ter todos seus coeficientes iguais a zero, ou seja:
\(3m+2=0\to\boxed{m=-\dfrac{2}{3}}\)
\(2n-1=0\to\boxed{n=\dfrac{1}{2}}\)
\(-t=0\to\boxed{t=0}\)
0339¶
Determine "\(k\)" e "\(p\)" para que o polinômio a seguir, seja identicamente nulo:
\(P(x)=(k^2-1)x^2+px+3\)
0339 - Resposta
Este polinômio não será identicamente nulo.
0339 - Solução
Para que este polinômio fosse identicamente nulo, deveríamos ter todos seus coeficientes iguais a zero, ou seja:
\(k^2-1=0\to\boxed{k=-1}\) ou \(\boxed{k=1}\)
\(\boxed{p=3}\)
Entretanto, aqui, o termo independente é um valor invariável, ou seja, "\(\boldsymbol{3}\)", portanto, e apenas por isso, este polinômio não será identicamente nulo.
0338¶
Calcule "\(a\)" e "\(b\)" para que os polinômios a seguir, sejam idênticos:
\(P(x)=(2a+6)x^3+(3b-4)x^2\)
\(Q(x)=x^3+3x^2\)
0338 - Resposta
\(a=-\dfrac{5}{2}\) e \(b=\dfrac{7}{3}\)
0338 - Solução
Sendo \(P(Q)\) ≡ \(Q(x)\), teremos, na comparação, todos seus coeficientes iguais, ou seja:
\((2a+6)x^3+(3b-4)x^2\) ≡ \(x^3+3x^2\)
\(2a+6=1\to\boxed{a=-\dfrac{5}{2}}\)
\(3b-4=3\to\boxed{b=\dfrac{7}{3}}\)
0337¶
Calcule "\(a\)" e "\(b\)" para que os polinômios a seguir, sejam idênticos:
\(P(x)=x^2+2ax+b\)
\(Q(x)=(x-3)^2\)
0337 - Resposta
\(a=-3\) e \(b=9\)
0337 - Solução
Sendo \(P(Q)\) ≡ \(Q(x)\), teremos, na comparação, todos seus coeficientes iguais, ou seja:
\(x^2+2ax+b\) ≡ \(x^2-6x+9\)
\(2a=-6\to\boxed{a=-3}\)
\(\boxed{b=9}\)
0336¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), as seguintes equações exponenciais:
a) \(3^x=27\)
b) \(2^{x-15}=16\)
c) \(7^{x^2-9}=1\)
d) \(25^{2x+1}=125^{-x+2}\)
e) \(10^{x+2}\cdot 100^{-3x}=10.000.000\)
f) \(\sqrt{\left(\dfrac{4}{9}\right)^x}=0,\overline{6}\)
0336 - Respostas
| a) \(x=3\) | b) \(x=19\) |
| c) \(\,\,x=-3\) ou \(x=\,\,\,\,3\) |
d) \(x=\dfrac{4}{7}\) |
| e) \(x=-1\) | f) \(x=1\) |
0336 - Soluções
a) \(3^x=27\to 3^x=3^3\to\boxed{x=3}\)
b) \(2^{x-15}=16\to 2^{x-15}=2^4\to x-15=4\to\boxed{x=19}\)
c) \(7^{x^2-9}=1\to 7^{x^2-9}=7^0\to x^2-9=0\to\boxed{x_{1}=-3}\) ou \(\boxed{x_{2}=3}\)
d) \(25^{2x+1}=125^{-x+2}\to 5^{4x+2}=5^{-3x+6}\to 4x+2=-3x+6\to\boxed{x=\dfrac{4}{7}}\)
e) \(10^{x+2}\cdot 100^{-3x}=10.000.000\to 10^{x+2-6x}=10^7\to -5x=5\to\boxed{x=-1}\)
f) \(\sqrt{\left(\dfrac{4}{9}\right)^x}=0,\overline{6}\to\left(\dfrac{2}{3}\right)^x=\left(\dfrac{2}{3}\right)^1\to\boxed{x=1}\)
0335¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte equação quadrática: \(2x^2+5x-3=0\)
0335 - Resposta
\(x=-3\) ou \(x=\dfrac{1}{2}\)
0335 - Solução
\(2x^2+5x-3=0\to x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to\)
\(x=\dfrac{-5\pm\sqrt{5^2-4\times 2\times (-3)}}{2\times 2}\to x=\dfrac{-5\pm\sqrt{49}}{4}\to\)
\(x_{1}=\dfrac{-5-7}{4}\to\boxed{x_{1}=-3}\)
\(x_{2}=\dfrac{-5+7}{4}\to\boxed{x_{2}=\dfrac{1}{2}}\)
0334¶
Determine, em \(\mathbb{R}\), a solução da equação exponencial: \(49^x-6\cdot 7^x=7\)
0334 - Resposta
\(x=1\)
0334 - Solução
Vamos à resolução, utilizando incógnitas auxiliares e a fórmula quadrática; assim:
\(49^x-6\cdot 7^x=7\to 7^{2x}-6\cdot 7^x-7=0\). Façamos \(7^x=k\quad\) e \(\quad7^{2x}=k^2\)
\(k^2-6k-7=0\to k=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to\)
\(k=\dfrac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4\times 1\times (-7)}}{2\times 1}\to k=\dfrac{6\pm\sqrt{64}}{2}\to\)
\(k_{1}=\dfrac{6-8}{2}\to \cancel{k_{1}=-1}\quad\) Não serve, pois não existe \(7^x=-1\)
\(k_{2}=\dfrac{6+8}{2}\to k_{2}=7\to 7^x=7\to\boxed{x=1}\) (Única Solução)
0333¶
Calcule o valor de \(S\) nos seguintes casos:
(a) \(S=\log_{8}\sqrt{2}+\log_{\sqrt{2}}8-\log_{\sqrt{2}}\sqrt{8}\)
(b) \(S=\log_{4}(\log_{3}9)+\log_{2}(\log_{81}3)+\log_{0,8}(\log_{16}32)\)
0333 - Respostas
a) \(S=\dfrac{19}{6}\)
b) \(S=-\dfrac{5}{2}\)
0333 - Soluções
Vamos aos cálculos:
(a) \(S=\log_{8}\sqrt{2}+\log_{\sqrt{2}}8-\log_{\sqrt{2}}\sqrt{8}\to\)
\(S=\dfrac{1}{6}\cdot\cancel{\log_{2}(2)}+6\cancel{\cdot\log_{2}(2)}-3\cancel{\log_{2}(2)}\to\)
\(S=\dfrac{1}{6}+6-3\to\boxed{S=\dfrac{19}{6}}\)
(b) \(S=\log_{4}(\log_{3}9)+\log_{2}(\log_{81}3)+\log_{0,8}(\log_{16}32)\to\)
\(S=\log_{4}(2)+\log_{2}\left(\dfrac{1}{4}\right)+\log_{\frac{4}{5}}\left(\dfrac{5}{4}\right)\to\)
\(S=\dfrac{1}{2}-2-1\to\boxed{S=-\dfrac{5}{2}}\)
0332¶
Resolva, em \(\mathbb{R}:\sqrt{2x-1}=x-2\)
0332 - Resposta
\(x=3+\sqrt{5}\) ou, se preferir, \(x\approx 5,24\)
0332 - Solução
a) Antes da resolução dessa equação irracional, devemos ter cuidados especiais com as condições de existência, a saber:
(I) Por ser radicando, \(2x-1\geq 0\to x\geq\dfrac{1}{2}\)
(II) Por ser resultado de uma raiz quadrada, \(x-2\geq 0\to x\geq 2\)
A condição de existência final será \((I)\cap(II)\), ou seja: \(\boxed{x\geq2}\)
b) Vamos à resolução:
\(\left(\sqrt{2x-1}\right)^2=(x-2)^2\to\)
\(2x-1=x^2-4x+4\to\)
\(x^2-6x+4=0\to\)(Bhaskara)
\(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to\)
\(x=\dfrac{6\pm\sqrt{6^2-4\times 1\times 4}}{2\times 1}\to\)
\(x=\dfrac{6\pm\sqrt{20}}{2}\to x=\dfrac{\cancel{2}(3\pm\sqrt{5})}{\cancel{2}}\to\)
\(x_{1}=3-\sqrt{5}\to\,x_{1}\approx 0,764<2\), por isso NÃO serve!!
\(x_{2}=3+\sqrt{5}\to\,x_{2}\approx 5,24>2\), sendo esta a única resposta.
0331¶
Sabendo que \(\log_{20}(2)=a\,\,\) e \(\,\,\log_{20}(3)=b\), calcule \(\log_{6}(5)\)
0331 - Resposta
\(\log_{6}{(5)}=\dfrac{1-2a}{a+b}\)
0331 - Solução
\(\log_{6}(5)=\dfrac{\log_{20}\left(\frac{20}{4}\right)}{\log_{20}(6)}=\)
\(\dfrac{\log_{20}(20)-\log_{20}(2^2)}{\log_{20}(2\cdot 6)}=\)
\(\dfrac{1-2\cdot\log_{20}(2)}{\log_{20}(2)+\log_{20}(3)}=\)
\(\boxed{\dfrac{1-2a}{a+b}}\) (resposta final)
0330¶
Simplifique \(a^{\log_{a}b\cdot\log_{b}c\cdot\log_{c}d}\)
0330 - Resposta
\(d\)
0330 - Solução
Vamos deixar todas as bases iguais a "\(a\)":
\(a^{\cancel{\log_{a}b}\cdot\frac{\cancel{\log_{a}c}}{\cancel{\log_{a}b}}\cdot\frac{\log_{a}d}{\cancel{\log_{a}c}}}=a^{\log_{a}d}=d\quad\) (resposta final)
0329¶
Dada a matriz "\(A_{3\times 3}\)", abaixo, determinamos o polinômio \(p(x)=\det(A)\) que possui grau \(3\)(três). Obtenha as raízes reais desse polinômio.
\(A=\left\{\begin{array}{rcr} 1, & \text{se} & i<j\\ x-i, & \text{se} & i=j\\ 0, & \text{se} & i>j \end{array}\right.\)
0329 - Resposta
\(x=1\) ou \(x=2\) ou \(x=3\)
0329 - Solução
\(A=\left[\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right]\to\)
\(A=\left[\begin{array}{ccc} x-1 & 1 & 1\\ 0 & x-2 & 1\\ 0 & 0 & x-3 \end{array}\right]\)
\(p(x)=\det(A)=\left|\begin{array}{ccc} x-1 & 1 & 1\\ 0 & x-2 & 1\\ 0 & 0 & x-3 \end{array}\right|\to\)
\(p(x)=(x-1)\cdot(x-2)\cdot(x-3)\)
Raízes, basta fazermos \(p(x)=0\), isto é:
\((x-1)\cdot(x-2)\cdot(x-3)=0\), portanto:
\(\boxed{x=1}\) ou \(\boxed{x=2}\) ou \(\boxed{x=3}\) (respostas finais)
0328¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a equação modular \(|x|^2+4|x|+4=0\)
0328 - Resposta
\(S=\varnothing\)
0328 - Solução
Definição de módulo:
\(|x|=\left\{\begin{array}{rcr} x & \text{se} & x\geq 0\\\\ -x & \text{se} & x<0 \end{array}\right.\)
Assim:
Para \(x\geq 0\):
\(x^2+4x+4=0\to(x+2)^2=0\to \boxed{\cancel{x=-2}}\) Não serve!
Para \(x<0\):
\((-x)^2+4(-x)+4=0\to x^2-4x+4=0\to(x-2)^2=0\to\boxed{\cancel{x=2}}\) Não serve!
Portanto, a solução(S) final será um conjunto vazio, ou seja:
\(\boxed{S=\{\}}\)
0327¶
Uma bala de canhão é atirada por um tanque de guerra e descreve uma trajetória em forma de parábola de equação \(y = - 0,05x^{2} + 2x\) (sendo "x" e "y" medidos em metros). Qual a altura máxima atingida pela bala?
0327 - Resposta
\(20\) m
0327 - Solução
A altura máxima é calculada através do \(y\) do vértice(\(y_{v}\)) dessa parábola, cuja concavidade é para baixo, gerando ponto máximo. Assim:
\(y_{v}=-\dfrac{\Delta}{4\cdot a}=-\dfrac{2^2-\cancel{4\cdot (-0,05)\cdot 0}}{4\cdot (-0,05)}=\boxed{20\,m}\) (resposta final)
0326¶
Seja \(f(x) = ax^{2}+bx+c\). Se \(f (0) = 6\), \(f (1) = 2\) e \(f (-2) = 20\), obtenha \(f\left(\dfrac{3}{2}\right)\)
0326 - Resposta
\(f\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{63}{4}\)
0326 - Solução
Com os valores dados, vamos montar um sistema linear de 3(três) equações e 3(três) incógnitas. Resolvido este sistema, teremos a função completa e, finalmente, calcularemos o valor numérico pedido. Assim:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcl} \cancel{a.0^2} & + & \cancel{b.0} & + & c & = & 6\to \boxed{c=6}\\ a.1^2 & + & b.1 & + & 6 & = & 2\\ a.(-2)^2 & + & b.(-2) & + & 6 & = & 20 \end{array} \right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcl} a & + & b & = & -4\,(\times2)\\ 4a & - & 2b & = & 14 \end{array}\right.\to\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcr} 2a & + & \cancel{2b} & = & -8\\ 4a & - & \cancel{2b} & = & 14 \end{array}\right.\)
Somando as duas equações, termo a termo: \(6a=6\to\boxed{a=1}\)
Substituindo \(a=1\) na primeira equação: \(1+b=-4\to\boxed{b=-5}\)
Assim, a função com todos os seus coeficientes é \(f(x)=x^2-5x+6\).
Portanto: \(f\left(\dfrac{3}{2}\right)=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2-5\left(\dfrac{3}{2}\right)+6\to \boxed{f\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{63}{4}}\)