Página15¶

0375¶

Sabendo-se que "x" é um arco de 4º(quarto) quadrante e que \(\text{cos(x)}=\dfrac{3}{5}\), pergunta-se: qual é o valor do seno deste mesmo arco ?

0375 - Resposta

\(sen\,x=-\dfrac{4}{5}\) pois \(x\in\) 4º quadrante.

0375 - Solução

Lembrando que um arco em 4º quadrante possui o valor do seno (sen x) negativo, vamos utilizar a relação fundamental a fim de resolver esta tarefa. Assim:

\((sen\,x)^2+(cos\,x)^2=1\to (sen\,x)^2+\left(\dfrac{3}{5}\right)^2=1\to\)

\((sen\,x)^2=1-\dfrac{9}{25}\to (sen\,x)^2=\dfrac{16}{25}\to\)

\(sen\,x=\pm\sqrt{\dfrac{16}{25}}\to sen\,x=\pm\dfrac{4}{5}\to\)

\(\boxed{sen\,x=-\dfrac{4}{5}}\) pois \(x\in\) 4º quadrante.

0374¶

Obtenha os zeros(*) das seguintes funções:

Funções:
a) \(f(x)=9-x^2\)	b) \(f(x)=-3x^2+6x\)	c) \(f(x)=x^2-4\)
d) \(p(t)= t^2-4t+13\)	e) \(h(x)=(x+3)^2\)	f) \(y=x^2+5x-36\)
g) \(y=x^2-4x-21\)	h) \(y=-\dfrac{1}{3}x^2\)	i) \(y=-x^2-2x\)
j) \(y(x)=7x+x^2\)	k) \(y=-x^2+8x-16\)	l) \(y=2x^2+8x+10\)
m) \(g(x)=x^2-6x+9\)	n) \(n(x)=x^2-5x-6\)	o) \(y=2(x-1)(x-2)\)

0374 - Soluções

(*) Os "zeros" da função são os valores de "x" encontrados quando zeramos a imagem, isto é, quando estabelecemos \(f(x)=0\) ou \(y=0\). Não havendo determinação do conjunto universo, devemos assumir o maior conhecido, por isso vamos adotar \(\mathbb{U}=\mathbb{C}\):

a) \(f(x)=9-x^2=0\to x^2=9\to \boxed{x=\pm3}\)

b) \(f(x)=-3x^2+6x=0\to -3x(x-2)=0\). Duas possibilidades:

\(-3x=0\to\boxed{x=0}\) ou \(x-2=0\to \boxed{x=2}\)

c) \(f(x)=x^2-4=0\to x^2=4\to \boxed{x=\pm2}\)

d) \(p(t)= t^2-4t+13=0\to x=\dfrac{4\pm6i}{2}\to\boxed{x=2\pm3i}\)

e) \(h(x)=(x+3)^2=0\to\boxed{x=-3}\)

f) \(y=x^2+5x-36=0\to x=\dfrac{-5\pm13}{2}\to\boxed{x=-\dfrac{5}{2}\pm\dfrac{13}{2}}\)

g) \(y=x^2-4x-21=0\to x=\dfrac{4\pm10}{2}\to\boxed{x=-3}\) ou \(\boxed{x=7}\)

h) \(y=-\dfrac{1}{3}x^2=0\to\boxed{x=0}\)

i) \(y=-x^2-2x=0\to -x(x+2)=0\to \boxed{x=0}\) ou \(\boxed{x=-2}\)

j) \(y(x)=7x+x^2=0\to x(x+7)=0\to \boxed{x=0}\) ou \(\boxed{x=-7}\)

k) \(y=-x^2+8x-16=0\to x=\dfrac{-8\pm0}{-2}\to \boxed{x=4}\)

l) \(y=2x^2+8x+10=0\to x=\dfrac{-8\pm4i}{4}\to \boxed{x=-2\pm i}\)

m) \(g(x)=x^2-6x+9=0\to \boxed{x=3}\)

n) \(n(x)=x^2-5x-6=0\to\boxed{x=-1\,\,\text{ou}\,\,x=6}\)

o) \(y=2(x-1)(x-2)=0\to\boxed{x=1\,\,\text{ou}\,\,x=2}\)

0373¶

Resolva, em \(\mathbb{C}\), as seguintes equações quadráticas:

Equações:
a) \(x^2-5x+6=0\)	b) \(x^2-8x+12=0\)	c) \(x^2+2x-8=0\)
d) \(x^2-5x+8=0\)	e) \(2x^2-8x+8=0\)	f) \(x^2-4x-5=0\)
g) \(-x^2+x+12=0\)	h) \(9x^2-12x+4=0\)	i) \(10x^2-11x+3=0\)

0373 - Soluções

Há várias formas de se resolver uma equação quadrática (ou de 2º grau).

Aqui, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara(ou fórmula quadrática):

\[\boxed{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4\times a\times c}}{2\times a}}\]

a) \(x^2-5x+6=0\to x=\dfrac{5\pm1}{2}\to \boxed{x=2}\) ou \(\boxed{x=3}\)

b) \(x^2-8x+12=0\to x=\dfrac{8\pm4}{2}\to \boxed{x=2}\) ou \(\boxed{x=6}\)

c) \(x^2+2x-8=0\to x=\dfrac{-2\pm6}{2}\to \boxed{x=-4}\) ou \(\boxed{x=2}\)

d) \(x^2-5x+8=0\to x=\dfrac{5\pm i\sqrt{7}}{2}\to \boxed{x=\dfrac{5}{2}\pm\dfrac{i\sqrt{7}}{2}}\)

e) \(2x^2-8x+8=0\to x=\dfrac{4\pm0}{2}\to \boxed{x=2}\)

f) \(x^2-4x-5=0\to x=\dfrac{4\pm6}{2}\to \boxed{x=-1}\) ou \(\boxed{x=5}\)

g) \(-x^2+x+12=0\to x=\dfrac{1\pm7}{2}\to\boxed{x=-3}\) ou \(\boxed{x=4}\)

h) \(9x^2-12x+4=0\to x=\dfrac{12\pm0}{18}\to\boxed{x=\dfrac{2}{3}}\)

i) \(10x^2-11x+3=0\to\)

\(x=\dfrac{-(-11)\pm\sqrt{(-11)^{2}-4\times 10\times 3}}{2\times 10}\to\)

\(x=\dfrac{11\pm\sqrt{121-120}}{20}\to x=\dfrac{11\pm 1}{20}\to\)

\(x_{1}=\dfrac{11-1}{20}\to\boxed{x_{1}=\dfrac{1}{2}}\)

\(x_{2}=\dfrac{11+1}{20}\to\boxed{x_{2}=\dfrac{3}{5}}\)

0372¶

Obtenha o domínio da função \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}-\{0;\,3\}\), definida por: \(f(x)=\sqrt{\dfrac{x^2-4}{-x^2+3x}}\)

0372 - Resposta

\(D=\{ x\in\mathbb{R}\,/-2\leq x<0\,\,\text{ou}\,\,2\leq x<3 \}\)

0372 - Solução

Como se trata de um radical, com índice 2(dois), o radicando deve ser, obrigatoriamente, maior ou igual a zero. Além disso, o radicando é uma fração e, como sabemos, não existirá, se o denominador for igual a zero e, portanto, ao domínio não podem pertencer, nem o elemento 0(zero), nem o elemento 3(três). Agora, observe o estudo completo dos sinais dessa função, através do quadro de sinais abaixo e, visualmente, poderá observar o conjunto domínio(D) determinado; assim:

Portanto, \(\boxed{D=\{ x\in\mathbb{R}\,/-2\leq x<0\,\,\text{ou}\,\,2\leq x<3 \}}\)

0371¶

Resolva, em \(\mathbb{R}\), cada uma das seguintes equações:

a) \(\left|\dfrac{x-1}{x-3}\right|=2\)...(*)vide observação inicial, antes de sua resolução...

Demais Equações:
b) \(\left(\dfrac{1}{16}\right)^{x-2}=8^x\)	c) \(\dfrac{25^x}{5}=1\)
d) \(7^x+7^{x-1}=8\)	e) \(9^{x-2}=\sqrt{27}\)

0371 - Respostas

a) \(x=\dfrac{7}{3}\) ou \(x=5\quad\) b) \(x=\dfrac{8}{7}\quad\) c) \(x=\dfrac{1}{2}\)

d) \(x=1\quad\) e) \(x=\dfrac{11}{4}\)

0371 - Soluções

(*) Resolvendo cada uma das equações abaixo, com uma única restrição que se encontra no item "a", onde o valor de "\(x\)" deve ser diferente de \(3\), pois teríamos uma fração impossível. Nos demais itens, quaisquer valores reais de "\(x\)", serão aceitos:

a) \(\left|\dfrac{x-1}{x-3}\right|=2\quad\) Duas possibilidades:

\(\dfrac{x-1}{x-3}=-2\to x-1=-2x+6\to 3x=7\to\boxed{x=\dfrac{7}{3}}\)

ou

\(\dfrac{x-1}{x-3}=2\to x-1=2x-6\to \boxed{x=5}\)

b) \(\left(\dfrac{1}{16}\right)^{x-2}=8^x\to (2^{-4})^{x-2}=2^{3x}\to 2^{-4x+8}=2^{3x}\to\)

\(-4x+8=3x\to 7x=8\to\boxed{x=\dfrac{8}{7}}\)

c) \(\dfrac{25^x}{5}=1\to 5^{2x}=5\to 2x=1\to\boxed{x=\dfrac{1}{2}}\)

d) \(7^x+7^{x-1}=8\to 7^x+7^{x-1}=7^1+7^0\to\boxed{x=1}\)

e) \(9^{x-2}=\sqrt{27}\to 3^{2x-4}=3^{\frac{3}{2}}\to 2x-4=\dfrac{3}{2}\to\boxed{x=\dfrac{11}{4}}\)

0370¶

Calcule a distância entre o ponto \(C(5,4)\) e a reta de equação geral \(r:3x +5y-8=0\)

0370 - Resposta

\(d=\dfrac{27\sqrt{34}}{34}\)

0370 - Solução

Genericamente, dada a equação geral de uma reta \(r:ax+by+c=0\) e um ponto qualquer \(P(x_{o};\,y_{o})\), a distância(\(d\)) entre esses elementos será dada por:

\[\boxed{d=\dfrac{|ax_{o}+by_{o}+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}\]

Assim, aplicando os valores dados, teremos:

\(d=\dfrac{|3\cdot 5+5\cdot 4+(-8)|}{\sqrt{3^2+5^2}}\to d=\dfrac{|27|}{\sqrt{34}}\to \boxed{d=\dfrac{27\sqrt{34}}{34}}\)

0369¶

Resolva, em \(\mathbb{R}\), a equação: \(x^{8}-15x^{4}-16=0\)

0369 - Resposta

\(x=-2\) ou \(x=2\)

0369 - Solução

Vamos utilizar as incógnitas auxiliares: \(x^4=t\) e \(x^8=t^2\):

\(t^2-15t-16=0\to\) Utilizando a fórmula de Bhaskara:

\(t=\dfrac{15\pm\sqrt{(-15)^2-4.1.(-16)}}{2}\to\)

\(t=\dfrac{15\pm\sqrt{289}}{2}\to t=\dfrac{15\pm17}{2}\to\)

\(t=-1\to x^4=t\to x^4=-1\to x=\sqrt[4]{-1}\quad\) Não serve, pois \(x\not\in\,\mathbb{R}\);

ou

\(t=16\to x^4=t\to x^4=16\to x=\pm\sqrt[4]{16}\to \boxed{x=-2}\) ou \(\boxed{x=2}\)

0368¶

Resuminho de Funções do 1º e do 2º graus

0368 - Resuminho

Função do 1º grau¶

Definição¶

É a função real do tipo \(y=ax+b\), com \(a\in\mathbb{R}^{*}\) e \(b\in\mathbb{R}\). O valor de \(a\) representa o coeficiente angular da função, isto é, o valor da tangente do ângulo de inclinação dessa função, adotado a partir do eixo das abscissas e tomado no sentido anti-horário. O valor de \(b\) representa o coeficiente linear da função, isto é, o valor da coordenada \(y\) onde essa função irá cortar o eixo das ordenadas.

Exemplo: Analisando a função \(y=3x+5\), teremos:

\(a=3\), indica que a reta é crescente(*)

(*) Quando \(a>0\) a reta é crescente. (*)Quando \(a<0\) a reta é decresente

\(b=5\), indica que a reta corta o eixo das ordenadas no ponto \((0,5)\)

Tipos¶

Quanto aos tipos, a função do primeiro grau pode ser:

Linear: são as funções do 1º grau do tipo \(f(x)=ax\), com \(b=0\)

Exemplo: \(y=-3x\)

Afim: são as funções do 1º grau do tipo \(f(x)=ax+b\), com \(a\neq 0\) e \(b\neq 0\)

Exemplo: \(y=\dfrac{7}{11}x-\sqrt{5}\)

Zero ou raiz¶

Zero ou raiz de uma função do 1º grau é o valor de \(x\), quando \(f(x)=0\) ou \(y=0\)

Exemplo: Obtenha o zero da função real: \(f(x)=\sqrt{3}\cdot x-6\)

Fazendo \(f(x)=0\), teremos a equação \(\sqrt{3}\cdot x-6=0\) Isolando-se o "\(x\)", teremos: \(\sqrt{3}\cdot x=6\to x=\dfrac{6}{\sqrt{3}}\to\boxed{x=2\sqrt{3}}\)

Estudo do sinal da função do 1º grau¶

Estudar o sinal de uma função do 1º significa encontrar os valores reais de "\(x\)" para que \(f(x)>0\), \(f(x)=0\) e \(f(x)<0\)

Exemplo: Estude o sinal da função afim \(y=-2x+4\)

\(\boxed{y>0}\to -2x+4>0\to-2x>-4\to\boxed{x<2}\)

\(\boxed{y=0}\to -2x+4=0\to-2x=-4\to\boxed{x=2}\)

\(\boxed{y<0}\to -2x+4<0\to-2x<-4\to\boxed{x>2}\)

Exercícios resolvidos¶

Calcular o zero das funções:

a) \(f(x)=\sqrt{7}\cdot x+343\)

Solução: \(\sqrt{7}\cdot x+343=0\to x=-\dfrac{343}{\sqrt{7}}\to\boxed{x=-49\sqrt{7}}\)

b) \(y=\dfrac{3}{5}\cdot x-27\)

Solução: \(\dfrac{3}{5}\cdot x-27=0\to x=\dfrac{27\times 5}{3}\to\boxed{x=45}\)
Estude o sinal da função:

\(y=11x-88\)

Solução:

\(\boxed{y>0}\to 11x-88>0\to\boxed{x>8}\)

\(\boxed{y=0}\to 11x-88=0\to\boxed{x=8}\)

\(\boxed{y<0}\to 11x-88<0\to\boxed{x<8}\)

Função do 2º grau¶

Definição¶

É a função do tipo \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R};\,f(x)=ax^2+bx+c\), com \(a\in\mathbb{R}^{*}\), \(b\in\mathbb{R}\) e \(c\in\mathbb{R}\). Seu gráfico é uma parábola, onde: sendo \(a>0\) a concavidade é para cima e sendo \(a<0\) a concavidade é para baixo. Assim como em qualquer função, para se obter os zeros ou raízes, basta encontrarmos os valores reais de "\(x\)" resolvendo a equação do 2º grau "\(f(x)=0\)".

Exemplos:

a) \(f(x)=2x^2+3x+3\)

b) \(g(x)=-3x^2+4x\)

c) \(h(x)=-x^2\)

Vértice¶

Toda função do 2º grau um ponto específico: o vértice(V). Este ponto é dado por:

\(V\left(-\dfrac{b}{2a};\,\,-\dfrac{\Delta}{4a}\right)\), onde \(\Delta=b^2-4ac\)

Valor(de) mínimo¶

Toda função quadrática(ou do 2º grau) com a concavidade voltada para cima, possui ponto de mínimo no "\(x_{v}\)" (\(x\) do vértice) e ponto mínimo no "\(y_{v}\)" (\(y\) do vértice)

Valor(de) máximo¶

Toda função quadrática(ou do 2º grau) com a concavidade voltada para baixo, possui ponto de máximo no "\(x_{v}\)" (\(x\) do vértice) e ponto máximo no "\(y_{v}\)" (\(y\) do vértice)

Estudo do sinal da função do 2º grau¶

Estudar o sinal de uma função do 2º significa encontrar os valores reais de "\(x\)" para que \(f(x)>0\), \(f(x)=0\) e \(f(x)<0\)

Exercícios propostos¶

Da função \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R};\,f(x)=3x^2+2x+5\), obtenha:

a) Seu gráfico:

b) Seu valor de mínimo e seu valor mínimo:

Valor de mínimo: \(x=-\dfrac{1}{3}\)

Valor mínimo: \(y=\dfrac{14}{3}\)

c) Seu vértice:

\(V\left(-\dfrac{1}{3};\,\dfrac{14}{3}\right)\)

d) Os zeros dessa função, se houver. Se não houver, justifique o porquê:

Não há zeros( ou raízes reais) pois \(\,\,\Delta=-56<0\)

e) O estudo dessa função:

\(f(x)>0;\,\,\forall\,x\in\mathbb{R}\)

0367¶

Calcular os zeros da função real:

a) \(f(x)=x^2-7x+6\)

...e das demais...
b) \(g(x)=x^2-5x+6\)	c) \(h(x)=4x^2-4x+1\)
d) \(i(x)=x^2-12x+30\)	e) \(j(x)=x^2-6x+4\)

0367 - Soluções

Vamos utilizar a fórmula quadrática(ou Bhaskara):

a) \(f(x)=x^2-7x+6\)

\(x=\dfrac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4\times 1\times 6}}{2\times 1}\to\)

\(x=\dfrac{7\pm\sqrt{25}}{2}\to x=\dfrac{7\pm 5}{2}\to\)

\(\boxed{x_{1}=1}\,\,\) ou \(\,\,\boxed{x_{2}=6}\)

b) \(g(x)=x^2-5x+6\)

\(x=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\times 1\times 6}}{2\times 1}\to\)

\(x=\dfrac{5\pm\sqrt{1}}{2}\to x=\dfrac{5\pm 1}{2}\to\)

\(\boxed{x_{1}=2}\,\,\) ou \(\,\,\boxed{x_{2}=3}\)

c) \(h(x)=4x^2-4x+1\)

\(x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\times 4\times 1}}{2\times 4}\to\)

\(x=\dfrac{4\pm\sqrt{0}}{8}\to x=\dfrac{4\pm 0}{8}\to\)

\(\boxed{x_{1}=x_{2}=\dfrac{1}{2}}\)

d) \(i(x)=x^2-12x+30\)

\(x=\dfrac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^2-4\times 1\times 30}}{2\times 1}\to\)

\(x=\dfrac{12\pm\sqrt{24}}{2}\to x=\dfrac{12\pm 2\sqrt{6}}{2}\to\)

\(\boxed{x_{1}=6-\sqrt{6}}\,\,\) ou \(\,\,\boxed{x_{2}=6+\sqrt{6}}\)

e) \(j(x)=x^2-6x+4\)

\(x=\dfrac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4\times 1\times 6}}{2\times 1}\to\)

\(x=\dfrac{7\pm\sqrt{25}}{2}\to x=\dfrac{7\pm 5}{2}\to\)

\(\boxed{x_{1}=1}\,\,\) ou \(\,\,\boxed{x_{2}=6}\)

0366¶

Calcular o valor máximo da função real: \(y=-x^2-4x+4\)

0366 - Resposta

Valor máximo: 8(oito)

0366 - Solução

O valor máximo dessa função será o valor do \(y_{v}\), ou seja:

\(y_{v}=-\dfrac{\Delta}{4\times a}\to y_{v}=-\dfrac{(-4)^2-4\cdot(-1)\cdot 4}{4\times (-1)}\to\)

\(y_{v}=\dfrac{32}{4}\to\boxed{y_{v}=8}\)

0365¶

A função real \(y=x^2-4x-4\) tem valor máximo ou mínimo? Qual é este valor?

0365 - Resposta

Tem valor mínimo: -8(oito negativo)

0365 - Solução

Essa função tem valor mínimo, pois tem como seu gráfico, uma parábola com a concavidade voltada para cima. O valor mínimo dessa função será o valor do \(y_{v}\):

\(y_{v}=-\dfrac{\Delta}{4\times a}\to y_{v}=-\dfrac{(-4)^2-4\cdot 1\cdot (-4)}{4\times 1}\to\)

\(y_{v}=-\dfrac{32}{4}\to\boxed{y_{v}=-8}\)

0364¶

Sabendo que \(A(3;\,1)\), \(B(5;\,2)\) e \(A(4;\,4)\) são vértices de um quadrado, determine as coordenadas do ponto de encontro(\(E\)) das diagonais desse quadrado.

0364 - Resposta

\(E=\left( \dfrac{7}{2};\,\dfrac{5}{2}\right)\)

0364 - Solução

Primeiramente, vamos observar a imagem que ilustra a situação:

Na imagem, observe que o ponto "\(E\)" é exatamente o que queremos. Além dele ser o ponto de encontro das duas diagonais do quadrado, também é o ponto médio, tanto do segmento \(\overline{AC}\) quanto do segmento \(\overline{BD}\). Como no segmento \(\overline{BD}\), não sabemos as coordenadas do ponto "\(D\)", então vamos utilizar o segmento \(\overline{AC}\), cujas coordenadas sabemos, e cujo ponto médio é exatamento o ponto "\(E\)"; assim:

\(E=M_{AC}=\left( \dfrac{x_{A}+x_{C}}{2};\,\dfrac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)\to\)

\(E=\left( \dfrac{3+4}{2};\,\dfrac{1+4}{2}\right)\to\boxed{E=\left( \dfrac{7}{2};\,\dfrac{5}{2}\right)}\)

0363¶

Resolva, em \(\mathbb{R}\), a equação: \((0,2)^{x^2-x}=25^x\)

0363 - Resposta

\(x=0\) ou \(x=-1\)

0363 - Solução

\(\left(\dfrac{\cancel{2}}{\cancel{10}}\right)^{x^2-x}=\left(5^2\right)^x\to\)

\(\left(\dfrac{1}{5}\right)^{x^2-x}=5^{2x}\to\)

\(5^{-x^2+x}=5^{2x}\to\)

\(-x^2+x=2x\to\)

\(x^2+x=0\) ou

\(x(x+1)=0\)

Aqui, duas possibilidades:

\(\boxed{x=0}\) ou \(\boxed{x=-1}\)

0362¶

Sobre Matrizes
a) Obtenha a matriz \(A=\left(a_{ij}\right)_{2\times2}\), onde \(a_{ij}=i+j\);
b) Obtenha a matriz \(B\left(b_{ij}\right)_{2\times2}\), onde \(b_{ij}=\left(\begin{array}{rr}i^2 & 2i\\-j & -3j\end{array}\right)\);
c) Obtenha \(2A\);
d) Otenha \(2B\);
e) Otenha \(A+B\);
f) Otenha \(A-B\).

0362 - Soluções

a) \(A=\left(a_{ij}\right)_{2\times2}=\left(\begin{array}{rr} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} a_{22}\end{array}\right)\to\boxed{A=\left(\begin{array}{rr}2 & 3\\3 & 4\end{array}\right)}\)

b) \(B=\left(b_{ij}\right)_{2\times2}=\left(\begin{array}{rr}b_{11} & b_{12}\\b_{21} & b_{22}\end{array}\right)\to \boxed{B=\left(\begin{array}{rr}1 & 2\\-1 & -6\end{array}\right)}\)

c) \(2\times\left(\begin{array}{rr}2 & 3\\3 & 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}4 & 6\\6 & 8\end{array}\right)\)

d) \(2\times\left(\begin{array}{rr}1 & 2\\-1 & -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}2 & 4\\-2 & -12\end{array}\right)\)

e) \(A+B=\left(\begin{array}{rr}2 & 3\\3 & 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{rr}1 & 2\\-1 & -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}3 & 5\\2 & -2\end{array}\right)\)

f) \(A-B=\left(\begin{array}{rr}2 & 3\\3 & 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{rr}1 & 2\\-1 & -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}1 & 1\\4 & 10\end{array}\right)\)

0361¶

Faça o estudo do sinal da função \(f(x)=16x²+8x+1\)

0361 - Solução

Esta parábola tem a concavidade para cima \((a=16>0)\); tem o valor do discriminante(\(\Delta\)) igual a zero, portanto possui uma única raiz (ou zero) cujo valor pode ser calculado através da fórmula quadrática (Bhaskara) e será \(x=-\dfrac{1}{4}\). Com esses dados podemos estudar essa função; assim:

\(f(x)>0;\,\,\forall x\in\mathbb{R}-\left\{-\dfrac{1}{4}\right\}\)

\(f(x)=0;\,\, x=-\dfrac{1}{4}\)

Esta função nunca será negativa, ou seja, \(\not\exists\,\,f(x)<0\)

0360¶

Resolva o seguinte sistema linear:
\(\left\{\begin{array}{rcr}2x+y & = & 1\\x-4y & = & 6\end{array}\right.\)

0360 - Resposta

\(S=\left\{\left(\dfrac{10}{9};\,\,-\dfrac{11}{9}\right)\right\}\)

0360 - Solução

Vamos resolver esse sistema pelo método da adição; assim:

\(\left\{\begin{array}{rcrc}2x+y & = & 1 & (4)\\x-4y & = & 6 &\end{array}\right.\to\)

\(\left\{\begin{array}{rcrc}8x+\cancel{4y} & = & 4 &\\x-\cancel{4y} & = & 6 &(+)\end{array}\right.\to\)

\(9x=10\to\boxed{x=\dfrac{10}{9}}\)

Substituindo \(x=\dfrac{10}{9}\) na segunda equação, teremos:

\(\dfrac{10}{9}-4y=6\to-4y=\dfrac{44}{9}\to\boxed{y=-\dfrac{11}{9}}\)

Portanto, a solução(\(S\)) será o par ordenado: \(S=\left\{\left(\dfrac{10}{9};\,\,-\dfrac{11}{9}\right)\right\}\)

A fim de confirmar esses dados, buscamos a solução obtida através do software matemático “Octave”, excelente opensource e opção ao já tradicional “Matlab”, e que pode ser acessado em sua versão online, clicando aqui::
>> A = [2 1; 1 -4;]
A =
   2   1
   1  -4

>> b = [1; 6] 

b =
    1
    6

>> x = A \ b
x =

   1.1111
  -1.2222

0359¶

Resolva os sistemas abaixo pelo método da adição:
a) \(\left\{\begin{array}{rcrcl}3x & + & 6y & = & 6\\x & + & y & = & 1\end{array}\right.\)

b) \(\left\{\begin{array}{rcrcl}3x & + & 2y & = & \,\,\,\,0\\5x & + & 3y & = & -1\end{array}\right.\)

0359 - Resposta

a) \(S=\left\{(0;\,1)\right\}\)

b) \(S=\left\{(-2;\,3)\right\}\)

0359 - Solução

a)

\(\left\{\begin{array}{rcrcl}3x & + & 6y & = & 6\,(\div\,3)\\x & + & y & = & 1\end{array}\right.\to\)

\(\left\{\begin{array}{rcrcl}x & + & 2y & = & 2\,[\times\,(-1)]\\x & + & y & = & 1\end{array}\right.\to\)

\(\left\{\begin{array}{rcrcr}-\cancel{x} & - &2y & = & -2\\\cancel{x} &+ & y & = & 1\end{array}\right.\to\) Somando as duas equações:

\(-y=-1\to\boxed{y=1}\)

Substituindo \(y=1\) na segunda equação:

\(x+1=1\to\boxed{x=0}\)

Portanto, a solução(\(S\)) é o par ordenado: \(S=\left\{(0;\,1)\right\}\)

b)

\(\left\{\begin{array}{rcrcl}3x & + & 2y & = & \,\,\,\,0\quad[\times (-3)]\\5x & + & 3y & = & -1\quad[\times (2)]\end{array}\right.\to\)

\(\left\{\begin{array}{rcrcr}-9x & - & \cancel{6y} & = & 0\\10x & + & \cancel{6y} & = & -2\end{array}\right.\to\) Somando as duas equações:

\(\boxed{x=-2}\)

Substituindo \(x=-2\) na primeira equação:

\(3(-2)+2y=0\to 2y=6\to\boxed{y=3}\)

Portanto, a solução(\(S\)) é o par ordenado: \(S=\left\{(-2;\,3)\right\}\)

0358¶

Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte inequação: \(\log_{2}(2x + 5) - \log_{2}(3x - 1) > 1\)

0358 - Resposta

\(S=\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,\dfrac{1}{3}<x<\dfrac{7}{4}\right\}\)

0358 - Solução

Vamos (re)escrevê-la, utilizando várias propriedades matemáticas, a fim de tornar mais simples a visualização da resolução:

\(\log_{2}(2x + 5) - \log_{2}(3x - 1) > \log_{2}2\to\)

\(\log_{2}\dfrac{2x + 5}{3x - 1} > \log_{2}2\)

Como a base é igual a \(2>1\), vamos manter a desigualdade quando da comparação dos logaritmandos:

\(\dfrac{2x+5}{3x-1}>2\to\ldots\to\dfrac{-4x+7}{3x-1}>0\) com \(x\neq\dfrac{1}{3}\)

Bastando-nos, agora, solucionar essa inequação quociente.

Observe o quadro abaixo, onde estão presentes os estudos das funções afim \(2x+5\) e \(3x-1\), além da intersecção que gerou o quociente dessas funções:

Portanto, a solução(\(S\)) final será:

\(\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,\dfrac{1}{3}<x<\dfrac{7}{4}\right\}}\)

0357¶

Encontre o ponto de interseção(\(P\)) entre as retas "\(r\)" e "\(s\)", indicadas no gráfico a seguir:

0357 - Resposta

\(P=\left\{\left(\dfrac{7}{5};\,\,\dfrac{18}{5}\right)\right\}\)

0357 - Solução

Vamos obter as duas equações das respectivas retas, montando um sistema para cada uma delas e, para, finalmente encontrarmos o ponto de interseção \(P\left(x_{p};\,\,y_{p}\right)\):

Reta "r"::

\(r:y=ax+b\) e dois pontos retirados do gráfico \((-1;\,6)\) e \((4;\,1)\):

\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} a(-1) & + & b & = & 6&\\a(4) & + & b & = & 1& \end{array}\right.\to\)

\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} -a & + & b & = & 6&(-1)\\4a & + & b & = & 1& \end{array}\right.\)

\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} a & - & \cancel{b} & = & -6&\\4a & + & \cancel{b} & = & 1 \end{array}\right.\)

Somando as duas equações, termo a termo:

\(5a=-5\to\boxed{a=-1}\)

Substituindo esse valor na primeira equação:

\(-(-1)+b=6\to\boxed{b=5}\)

Portanto \(\boxed{r:y=-x+5}\)

Reta "s"::

Para \(s:y=ax+b\) e dois pontos retirados do gráfico: \((-1;\,-6)\) e \((1;\,2)\)

\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} a(-1) & + & b & = & -6&\\a(1) & + & b & = & 2& \end{array}\right.\to\left\{\begin{array}{rcrcrc} -a & + & b & = & -6&(-1)\\a & + & b & = & 2& \end{array}\right.\)

\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} a & - & \cancel{b} & = & 6&\\a & + & \cancel{b} & = & 2 \end{array}\right.\) Somando as duas equações, termo a termo:

\(2a=8\to\boxed{a=4}\) Substituindo esse valor na primeira equação:

\(-4+b=-6\to\boxed{b=-2}\)

Portanto \(\boxed{s:y=4x-2}\)

Intersecção das retas "r" e "s"::

Na interseção, os valores de \(y\) são os mesmos, assim:

\(-x_{p}+5=4x_{p}-2\to\boxed{x_{p}=\dfrac{7}{5}}\)

Substituindo \(x_{p}=\dfrac{7}{5}\) em qualquer uma das equaçoes, encontraremos \(y_{p}\); assim:

\(y_{p}=4\times\dfrac{7}{5}-2\to\boxed{y_{p}=\dfrac{18}{5}}\)

Portanto \(P=\left\{\left(\dfrac{7}{5};\,\,\dfrac{18}{5}\right)\right\}\) (resposta final)

0356¶

Calcule o valor de "\(a\)" para que o sistema linear homogêneo, abaixo, seja possível e determinado.
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrc} ax & + & y & + & 2 & = & 0&\\ 2x & - & y & + & z-a & = & 0&\\ 4x & + & y & + & az+5 & = & 0& \end{array}\right.\)

0356 - Resposta

\(a\in\mathbb{R}-\left\{\dfrac{1}{2}\right\}\)

0356 - Solução

A forma mais simples, aparentemente, é utilizar o método de Cramer, a fim de avaliar os possíveis valores de "\(a\)". Por ser um sistema linear homogêneo, \(D_{x}=D_{y}=D_{z}=0\). Como os valores de valores de \(x\), \(y\) e \(z\) são calculados por: \(x=\dfrac{D_{x}}{D}\), \(y=\dfrac{D_{y}}{D}\) e \(z=\dfrac{D_{z}}{D}\), e, além disso, pede-se que o sistema seja possível e determinado, basta-nos tomar os valores reais de "\(a\)" que tornam \(D\neq0\). Dessa forma, teremos como solução(\(S\)) a terna: \(S=\left\{\left(0;\,0;\,0\right)\right\}\).

\(D=\left|\begin{array}{rrr} a & 1 & 2\\2 & -1 & 1-a\\4 & 1 & a+5 \end{array}\right|\neq 0\)

\(D=-a(a+5)+4+4(1-a)+8-2(a+5)-a(1-a)\neq 0\to\)

\(-\cancel{a^2}-5a+4+4-4a+8-2a-10-a+\cancel{a^2}\neq 0\to\)

\(-12a+6\neq 0\to\boxed{a\neq \dfrac{1}{2}}\) (resposta final)

Observação: Um sistema linear homogêneo nunca será impossível.

0355¶

Na figura seguinte, determine as medidas indicads por \(\alpha\) e \(\beta.\)

0355 - Resposta

\(\alpha=120^{o}\) e \(\beta=85^{o}\)

0355 - Solução

Vamos aos passos:

No triângulo que contém o ângulo de \(70^{o}\), o outro ângulo vale \((180-130=50^{o})\) e o terceiro ângulo vale \((180-50-70=60^{o})\)

Assim \(\alpha=180-60\to\boxed{\alpha=120^{o}}\)

No triângulo que contém os ângulos de \(45^{o}\), \(\beta\) e \(50^{o}\) este último que terminamos de encontrar.

Portanto, para \(\beta\), teremos: \(\beta=180-50-45\to\boxed{\beta=85^{o}}\)

0354¶

Calcule o valor de "\(x\)" em cada uma das seguintes equações:

\(\begin{array}{ccccccccc} \text{a.} & \dfrac{5}{7} & = &\dfrac{x}{28}&&&&\text{d.} & \dfrac{3x-2}{6} & = & \dfrac{x+8}{3}\\\\ \text{b.} & \dfrac{x-4}{10} & = & \dfrac{3}{5}&&&&\text{e.} & \dfrac{5x-8}{x+2} & = & \dfrac{6}{8}\\\\ \text{c.} & \dfrac{5}{x} & = & \dfrac{4}{x+1}&&&&\text{f.} & \dfrac{3}{\frac{2}{5}} & = & \dfrac{x}{6} \end{array}\)

0354 - Soluções

Vamos às resoluções, utilizando a propriedade fundamental das proporções:

a. \(\,\,\dfrac{5}{7}=\dfrac{x}{28}\to 5\times 28=7x\to\ldots\to\boxed{x=20}\)

b. \(\,\,\dfrac{x-4}{10}=\dfrac{3}{5}\to 5(x-4)=10\times 3\to\ldots\boxed{x=10}\)

c. \(\,\,\dfrac{5}{x}=\dfrac{4}{x+1}\to 5x+5=4x\to\boxed{x=-5}\)

d. \(\,\,\dfrac{3x-2}{6}=\dfrac{x+8}{3}\to 3x-2=2x+16\to\boxed{x=18}\)

e. \(\,\,\dfrac{5x-8}{x+2}=\dfrac{6}{8}\to 20x-32=3x+6\to17x=38\to\boxed{x=\dfrac{38}{17}}\)

f. \(\,\,\dfrac{3}{\frac{2}{5}}=\dfrac{x}{6}\to18=\dfrac{2x}{5}\to\boxed{x=45}\)

0353¶

Resolva o seguinte sistema linear pelo método da adição:

\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 6a & - & 5b & = & 15&\\ -7a & + & 16b & = & 13& \end{array}\right.\)

0353 - Resposta

\(a=5\) e \(b=3\)

0353 - Solução

\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 6a & - & 5b & = & 15&(\times 7)\\ -7a & + & 16b & = & 13&(\times 6) \end{array}\right.\to\)

\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} \cancel{42a} & - & 35b & = & 105&\\ \cancel{-42a} & + & 96b & = & 78& \end{array}\right.\to\) Somando as duas equações, termo a termo:

\(61b=183\to\boxed{b=3}\)

Substituindo \(b=3\) na primeira equação, teremos:

\(6a-5\times 3 = 15\to 6a=30\to\boxed{a=5}\)

0352¶

Responda, em \(\mathbb{R}\), as seguintes...

...inequações:
a) \(x-3<8\)	b) \(x-8<2\)	c) \(x-5<4\)
d) \(x+6<7\)	e) \(x+10>2\)	f) \(2x+12<30\)
g) \(2x-9<17\)	h) \(4x+2<10\)	i) \(5x+3<12\)
j) \(5x+8<20\)	k) \(7x+2<10\)	l) \(8x-4>2\)
m) \(10x-10<5\)	n) \(5x-4<4\)	o) \(7x-9\geqslant 5\)

0352 - Soluções

a) \(x-3<8\to x<8+3\to\boxed{x<11}\)

b) \(x-8<2\to x<2+8\to\boxed{x<10}\)

c) \(x-5<4\to x<4+5\to\boxed{x<9}\)

d) \(x+6<7\to x<7-6\to\boxed{x<1}\)

e) \(x+10>2\to x>2-10\to\boxed{x>-8}\)

f) \(2x+12<30\to 2x<18\to\boxed{x<9}\)

g) \(2x-9<17\to 2x<26\to\boxed{x<13}\)

h) \(4x+2<10\to 4x<10-2\to 4x<8\to\boxed{x<2}\)

i) \(5x+3<12\to 5x<9\to\boxed{x<\dfrac{9}{5}}\)

j) \(5x+8<20\to 5x<12\to\boxed{x<\dfrac{12}{5}}\)

k) \(7x+2<10\to 7x<8\to\boxed{x<\dfrac{8}{7}}\)

l) \(8x-4>2\to 8x>6\to x>\dfrac{6}{8}\to\boxed{x>\dfrac{3}{4}}\)

m) \(10x-10<5\to 10x<15\to\boxed{x<\dfrac{3}{2}}\)

n) \(5x-4<4\to 5x<8\to\boxed{x<\dfrac{8}{5}}\)

o) \(7x-9\geqslant 5\to 7x\geqslant 14\to\boxed{x\geqslant 2}\)

0351¶

Resolva, em \(\mathbb{R}\), as seguintes inequações:

a) \(\dfrac{1}{2}(x+2)-\dfrac{1}{3}(x-4)>\dfrac{1}{4}(x-1)\)

b) \(\dfrac{x-1}{2}+x<\dfrac{x-2}{4}+\dfrac{x-3}{5}\)

c) \(3(x+1)<4(x+2)\)

d) \(4(x-1)+6(x-2)\leq 0\)

0351 - Respostas

a) \(x<31\quad\) b) \(x<-\dfrac{12}{21}\quad\) c) \(x>-5\quad\) d) \(x\leqslant\dfrac{8}{5}\)

0351 - Soluções

a) \(\dfrac{1}{2}(x+2)-\dfrac{1}{3}(x-4)>\dfrac{1}{4}(x-1)\)

\(\dfrac{x+2}{2}-\dfrac{x-4}{3}>\dfrac{x-1}{4}\to\)

\(\dfrac{6x+12-4x+16>3x-3}{\cancel{12}}\to\)

\(-x>-31\,\,(-1)\to\boxed{x<31}\) Resposta final

b) \(\dfrac{x-1}{2}+x<\dfrac{x-2}{4}+\dfrac{x-3}{5}\)

\(\dfrac{10x-10+20x<5x-10+4x-12}{\cancel{20}}\to\)

\(21x<-12\to\boxed{x<-\dfrac{12}{21}}\) Resposta final

c) \(3(x+1)<4(x+2)\)

\(3x+3<4x+8\to -x<5\,\,(-1)\to\boxed{x>-5}\) Resposta final

d) \(4(x-1)+6(x-2)\leq 0\)

\(4x-4+6x-12\leq 0\to 10x\leq 16\to\boxed{x\leqslant\dfrac{8}{5}}\) Resposta final