Página17¶
0425¶
Resolva o seguinte sistema linear:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} x & + & y & = & 11&\\\\ x & - & y & = & 3& \end{array}\right.\)
0425 - Resposta
\(S=\{(7;\,4)\}\)
0425 - Solução
Vamos utilizar o método da adição:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} x & + & \cancel{y} & = & 11&\\\\ x & - & \cancel{y} & = & 3& (+) \end{array}\right.\)
\(2x=14\to\boxed{x=7}\)
Substituindo \(x=7\) na primeira equação, teremos:
\(7+y=11\to\boxed{y=4}\)
Portanto, a solução(\(S\)) será o par ordenado: \(S=\{(7;\,4)\}\)
0424¶
Resolva o seguinte sistema linear:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} x & + & y & = & 6&\\\\ 2x & + & y & = & 4& \end{array}\right.\)
0424 - Resposta
\(S=\{(-2;\,8)\}\)
0424 - Solução
Vamos utilizar o método do escalonamento:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} x & + & y & = & 6&(L_{1}-L_{2})\\\\ 2x & + & y & = & 4& \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} x & + & y & = & 6&\\\\ -x & & & = & 2&\to\boxed{x=-2} \end{array}\right.\)
Substituindo \(x=-2\) na primeira equação, teremos:
\(-2+y=6\to\boxed{y=8}\)
Portanto, a solução(\(S\)) será o par ordenado: \(S=\{(-2;\,8)\}\)
0423¶
Resolva o seguinte sistema linear:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} 3x & + & y & = & 5&\\\\ 2x & + & y & = & 4& \end{array}\right.\)
0423 - Resposta
\(S=\{(1;\,2)\}\)
0423 - Solução
Vamos utilizar o método do escalonamento:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} 3x & + & y & = & 5&(L_{1}-L_{2})\\\\ 2x & + & y & = & 4& \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} 3x & + & y & = & 5&\\\\ x & & & = & 1&\to\boxed{x=1} \end{array}\right.\)
Substiuindo \(x=1\) na primeira equação, teremos:
\(3+y=5\to \boxed{y=2}\)
Portanto, a solução(\(S\)) será o par ordenado: \(S=\{(1;\,2)\}\)
0422¶
Resolva o seguinte sistema linear:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} x & - & y & = & 6&\\\\ x & + & y & = & -7& \end{array}\right.\)
0422 - Resposta
\(S=\left\{\left(-\dfrac{1}{2};\,-\dfrac{13}{2}\right)\right\}\)
0422 - Solução
Vamos utilizar o método da adição:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} x & - & \cancel{y} & = & 6&\\\\ x & + & \cancel{y} & = & -7&(+) \end{array}\right.\)
\(2x=-1\to\boxed{x=-\dfrac{1}{2}}\)
Substituindo \(x=-\dfrac{1}{2}\) na primeira equação, teremos:
\(-\dfrac{1}{2}-y=6\to\boxed{y=-\dfrac{13}{2}}\)
Portanto, a solução(\(S\)) será o par ordenado: \(S=\left\{\left(-\dfrac{1}{2};\,-\dfrac{13}{2}\right)\right\}\)
0421¶
Resolva o seguinte sistema linear:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} x & + & 3y & = & 5&\\\\ 2x & - & y & = & -4& \end{array}\right.\)
0421 - Resposta
\(S=\left\{\left(-\dfrac{17}{5};\,\dfrac{14}{5}\right)\right\}\)
0421 - Solução
Vamos utilizar o método do escalonamento:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} x & + & 3y & = & 5&(L_{1}-3L_{2})\\\\ 2x & - & y & = & -4& \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} x & + & 3y & = & 5&\\\\ -5x & & & = & 17&\to\boxed{x=-\dfrac{17}{5}} \end{array}\right.\)
Substituindo \(x=-\dfrac{17}{5}\) na primeira equação, teremos:
\(-\dfrac{17}{5}+3y=5\to 3y=\dfrac{42}{5}\to\boxed{y=\dfrac{14}{5}}\)
Portanto, a solução(\(S\)) será o par ordenado: \(S=\left\{\left(-\dfrac{17}{5};\,\dfrac{14}{5}\right)\right\}\)
0420¶
Resolva o seguinte sistema linear:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} x & + & y & = & 3&\\\\ 3x & - & y & = & 1& \end{array}\right.\)
0420 - Resposta
\(S=\{(1;\,2)\}\)
0420 - Solução
Vamos utilizar o método da adição:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} x & + & \cancel{y} & = & 3&\\\\ 3x & - & \cancel{y} & = & 1&(+) \end{array}\right.\)
\(4x=4\to\boxed{x=1}\)
Substiuindo \(x=1\) na primeira equação, teremos:
\(1+y=3\to\boxed{y=2}\)
Portanto, a solução(\(S\)) será o par ordenado: \(S\{(1; 2)\}\)
0419¶
Num triângulo retângulo a hipotenusa mede \(14\)cm e um dos angulos mede \(30^{o}\). Calcule a medida dos catetos.
0419 - Resposta
\(7\)cm e \(7\sqrt{3}\)cm
0419 - Resolução
Como se trata de um triângulo retângulo, um dos ângulos internos tem 90º. Oposto a esse ângulo, está a hipotenusa \(a=14\)cm. Outro ângulo mede 30º e, oposto a esse ângulo, está o menor cateto \(c\) cuja medida ainda é desconhecida. Finalmente, o outro ângulo mede 60º e, oposto a esse ângulo, está o maior cateto \(b\) cuja medida ainda é desconhecida.
Para resolver essa questão, vamos utilizar as razões trigonométricas num triângulo retângulo:
sen\((30^o)=\dfrac{1}{2}=\dfrac{c}{14}\to\boxed{c=7\text{cm}}\)
cos\((60^o)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{b}{14}\to\boxed{b=7\sqrt{3}\,\text{cm}}\)
0418¶
Determine o conjunto solução das seguintes equações exponenciais:
a) \(\quad\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-4+x} = 9^{x+3}\)
b) \(\quad 8^{2x} = (0,25)^{x+1}\)
c) \(\quad\left(\dfrac{2}{5}\right)^{x-1} = \left(\dfrac{125}{8}\right)\)
d) \(\quad 2\cdot\left(\dfrac{1}{4}\right)^{2x-3} = 4\)
e) \(\quad\left(\dfrac{1}{2}\right)^x =\sqrt[3]{4}\)
f) \(\quad 6\cdot7^{x+2} = 294\)
0418 - Respostas
a) \(x=-10\quad\) b) \(x=-\dfrac{1}{4}\quad\) c) \(x=-2\quad\) d) \(x=\dfrac{5}{4}\quad\) e) \(x=-\dfrac{2}{3}\quad\) f) \(x=0\)
0418 - Soluções
a) \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-4+x} = 9^{x+3}\to \cancel{3}^{x-4}=\cancel{3}^{2x+6}\to\)
\(x-4=2x+6\to x-2x=6+4\to\boxed{x=-10}\)
b) \(8^{2x} = (0,25)^{x+1}\to \cancel{2}^{6x}=\cancel{2}^{-2x-2}\to\)
\(6x=-2x-2\to 8x=-2\to\boxed{x=-\dfrac{1}{4}}\)
c) \(\left(\dfrac{2}{5}\right)^{x-1} = \left(\dfrac{125}{8}\right)\to\left(\cancel{\dfrac{2}{5}}\right)^{x-1}= \left(\cancel{\dfrac{2}{5}}\right)^{-3}\to\)
\(x-1=-3\to\boxed{x=-2}\)
d) \(2\cdot\left(\dfrac{1}{4}\right)^{2x-3} = 4\to\left(\dfrac{1}{4}\right)^{2x-3} = 2\to\)
\(\cancel{2}^{-4x+6}=\cancel{2}^1\to -4x+6=1\to\boxed{x=\dfrac{5}{4}}\)
e) \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^x =\sqrt[3]{4}\to\)
\(2^{-x}=2^{\frac{2}{3}}\to\boxed{x=-\dfrac{2}{3}}\)
f) \(6\cdot7^{x+2} = 294\to\)
\(7^{x+2}=49\to\boxed{x=0}\)
0417¶
Resolva os seguintes sistemas lineares:
a) \(\left\{\begin{array}{rcrcrc} x & + & 3y & = & 1&\\\\ 5x & + & 3y & = & 17& \end{array}\right.\)
b)\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} x & - & 2y & = & 7&\\\\ 3x & + & y & = & 35& \end{array}\right.\)
0417 - Respostas
a) \(S=\{(4;\,-1)\}\quad\) b) \(S=\{(11;\,2)\}\)
0417 - Soluções
a) \(\left\{\begin{array}{rcrcrc} x & + & 3y & = & 1&\\\\ 5x & + & 3y & = & 17& \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} x & + & 3y & = & 1&(-1)\\\\ 5x & + & 3y & = & 17& \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} -x & - & \cancel{3y} & = & -1&\\\\ 5x & + & \cancel{3y} & = & 17&(+) \end{array}\right.\)
\(4x=16\to\boxed{x=4}\)
Substituindo \(x=4\) na primeira equação, teremos:
\(4+3y=1\to\boxed{y=-1}\)
Portanto, a solução(\(S\)) será o par ordenado: \(S=\{4;\,-1\}\)
b)\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} x & - & 2y & = & 7&\\\\ 3x & + & y & = & 35& \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} x & - & 2y & = & 7&\\\\ 3x & + & y & = & 35&(2) \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} x & - & \cancel{2y} & = & 7&\\\\ 6x & + & \cancel{2y} & = & 70&(+) \end{array}\right.\)
\(7x=77\to\boxed{x=11}\)
Substituindo \(x=11\) na primeira equação, teremos:
\(11-2y=7\to\boxed{y=2}\)
Portanto, a solução(\(S\)) será o par ordenado: \(S=\{11;\,2\}\)
0416¶
Calcule o comprimento da circunferência abaixo, sendo o segmento \(\overline{AB}\), tangente à circunferência:
0416 - Resposta
\(C=11\pi\quad\) unidades lineares
0416 - Solução
Algumas considerações:
a) Ligando os pontos "\(B\)" e "\(O\)", teremos os segmento \(BO=x\);
b) O triângulo formado \(ABO\) é retângulo em \(B\), isto é \(\hat{B}=90^{o}\);
c) Para esse triângulo, podemos utilizar o teorema de Pitágoras:
\((AO)^2=(BO)^2+(AB)^2\to(x+1)^2=x^2+(2\sqrt{3})^2\to\)
\(\cancel{x}^2+2x+1=\cancel{x}^2+12\to\boxed{x=\dfrac{11}{2}}\)
d) O comprimento(C) dessa circunferência pode ser calculado por:
\(C=2\cdot\pi\cdot x\to C=\cancel{2}\cdot\pi\cdot \dfrac{11}{\cancel{2}}\to\boxed{C=11\pi\,\,u(\text{unidades lineares})}\)
0415¶
Duas questões de geometria plana - circunferência:
a) Uma circunferência tem \(10\)cm de raio(\(r\)). Calcule a medida aproximada, em centímetros, de um arco(\(L\)), correspondente a um ângulo central(\(\alpha\)) de \(60^{o}\)
b) Uma circunferência é dividida em \(10\) arcos congruentes de medidas \(3\pi\) cm cada.
Determine:
b.1) O comprimento da circunferência;
b.2) A medida do raio da circunferência.
0415 - Respostas
a) \(L=\dfrac{10\pi}{3}\,\text{cm}\quad\) b.1) \(C=30\pi\,\text{cm}\quad\) b.2) \(r=15\,\text{cm}\)
0415 - Soluções
a) Uma circunferência tem \(10\)cm de raio(\(r\)). Calculando a medida aproximada, em centímetros, de um arco(\(L\)), correspondente a um ângulo central(\(\alpha\)) de \(60^{o}\), teremos:
\(L\), o valor do comprimento do arco, será calculado pela fórmula:
\(L=\dfrac{2\cdot\pi\cdot r\cdot\alpha}{360^{o}}\), onde "\(\alpha\)" é o valor do ângulo central, em graus;
\(L=\dfrac{2\cdot\pi\cdot 10\cdot 60^{o}}{360^{o}}\to \boxed{L=\dfrac{10\pi}{3}\,\,\text{cm}}\)
b) Uma circunferência é dividida em \(10\) arcos congruentes de medidas \(3\pi\) cm cada.
Determinando:
b.1) O comprimento da circunferência.
O comprimento(\(C\)) da circunferência será: \(C=10\cdot 3\pi\to\boxed{C=30\pi\,\,\text{cm}}\)
b.2) A medida do raio dessa circunferência.
Pela fórmula do comprimento(\(C\)) da circunferência, vamos obter seu raio(\(r\)); assim:
\(C=2\cdot\pi\cdot r\to 30\pi=2\pi r\to\boxed{r=15\,\,\text{cm}}\)
0414¶
Uma roda tem \(56,26\)cm de circunferência. Calcule a medida do diâmetro(\(d\)) dessa circunferência.
0414 - Resposta
\(d\approx 17,92\,\,\text{cm}\)
0414 - Solução
Vamos adotar \(\pi=3,14\)
\(C=\underbrace{2\cdot\pi\cdot r=56,26}\to 2\cdot 3,14\cdot r=56,26\to r\approx 8,96\,\,\text{cm}\)
Portanto, \(d=2\cdot r\to d=2\cdot 8,96\to\boxed{d\approx 17,92\,\,\text{cm}}\)
0413¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte inequação quociente:
\(\dfrac{x-3}{x^2+1}<0\)
0413 - Resposta
\(S=\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,x<3\right\}\)
0413 - Solução
Algumas considerações:
1) Vamos chamar de (I) a função afim \(y=x-3\) e estudá-la:
\(y<0\) se \(x-3<0\to x<3\);
\(y=0\) se \(x-3=0\to x=3\);
\(y>0\) se \(x-3>0\to x>3\);
2) Vamos chamar de (II) a função quadrática \(y=x^2+1\) e estudá-la:
\(y>0,\,\,\forall\,x\in\mathbb{R}\).
3) Portanto, fazendo a divisão, intervalo a intervalo, dessas duas funções, teremos a solução(S):
\(S=\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,x<3\right\}\)
0412¶
Na figura abaixo, \(PQ=RQ\). Obtenha o valor de "\(x\)":
0412 - Resposta
\(x=30^{o}\)
0412 - Solução
Como \(PQ=RQ\), o triângulo \(\Delta PQR\) é isósceles.
Assim o ângulo \(\hat{P}\) tem \(30^{o}\) e o ângulo \(\hat{Q}\) tem \(120^{o}\).
A partir dessas informações, o ângulo suplementar à "\(2x\)" vale \(120^{o}\).
Portanto: \(2x=60^{o}\to\boxed{x=30^{o}}\)
0411¶
Determine o número inteiro "\(n\)" que satisfaz simultaneamente às seguintes condições:
I) "\(n\)" está compreendido entre \(6.000\) e \(7.000\);
II) "\(n\)" dividido por \(35\), ou por \(45\), ou por \(50\), deixa sempre resto 11.
0411 - Resposta
\(n=6311\)
0411 - Solução
Pela informação (II) temos:
\(n = 35k + 11\,\therefore\, n – 11 = 7\cdot 5\cdot k\)
\(n = 45k + 11\,\therefore\, n – 11 = 3^2 \cdot 5\cdot k\)
\(n = 50k + 11\,\therefore\, n – 11 = 2\cdot5^2\cdot k\)
Daí concluímos que \(n–11\) possui \(2\), \(3\), \(5\) e \(7\) como fatores primos e \(3^2\) e \(5^ 2\) são divisores de \(n – 11\).
Logo \(n – 11 = 2\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7\cdot A = 3150\cdot A\)
Como \(6000 < n < 7000\), temos \(5989 < n – 11 < 6989\)
Assim \(n – 11\) é múltiplo de \(3150\) e \(5989 < n – 11 < 6989\)
Como o único múltiplo de \(3150\), entre \(5989\) e \(6989\) é \(6300\), temos \(n – 11 = 6300\) e daí \(n = 6300 + 11 = 6311\)(resposta final)
0410¶
Resolva, em \(\mathbb{R}-\{-1;\,1\}\), a equação: \(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x-1}=0\)
0410 - Resposta
\(x=0\)
0410 - Solução
\(\dfrac{x-1+x+1}{\cancel{(x+1)}\cdot\cancel{(x-1)}}=0\to\)
\(x-\cancel{1}+x+\cancel{1}=0\to 2x=0\to\boxed{x=0}\)
0409¶
Considere a equação da circunferência:
a) Obtenha os valores de "\(m\)" e "\(n\)"
b) Otenha as coordenadas do seu centro(\(C\))
c) Obtenha seu raio(\(r\))
0409 - Respostas
a) \(m=n=1\quad\) b) \(C=(-1;\,-1)\quad\) c) \(r=2\)
0409 - Soluções
a) Obtenha os valores de "\(m\)" e "\(n\)" Como se trata de uma circunferência, devemos ter:
\(m+n-1=1\) e \(m-n+1=1\).
Dessas equações, teremos o sistema:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} m & + & \cancel{n} & = & 2&\\ m & - & \cancel{n} & = & 0& (+) \end{array}\right.\)
\(2m=2\to\boxed{m=1}\)
Substituindo \(m=1\) na primeira equação, teremos:
\(1+n=2\to\boxed{n=1}\)
b) Otenha as coordenadas do seu centro(\(C\)) O centro \(C(a,b)\) é obtido do:
Coeficiente de "\(x\)": \(\quad 2=-2a\to\boxed{a=-1}\)
Coeficiente de "\(y\)": \(\quad 2=-2b\to\boxed{b=-1}\)
Portanto \(C(-1;\,-1)\)
c) Obtenha seu raio(\(r\)) O raio \(r\) é obtido do coeficiente do termo independente:
\(a^2+b^2-r^2=-2\to (-1)^2+(-1)^2-r^2=-2\to r^2=4\to\boxed{r=2}\)
0408¶
Se \(a\in\mathbb{R}\) é tal que \(3y^2-y+a=0\) e tem raiz dupla, obtenha a solução da equação \(3^{2x+1}-3^x+a=0\)
0408 - Resposta
\(x=-\log_{3}6\)
0408 - Solução
Raiz dupla em equação quadrática, significa \(\Delta =0\), ou seja:
\(\Delta = b^2-4\times a\times c=0\to\)
\((-1)^2-4\times 3\times a=0\to\boxed{a=\dfrac{1}{12}}\)
Assim, a equação a ser solucionada é:
\(3^{2x+1}-3^x+\dfrac{1}{12}=0\). Vamos à solução:
Adotando \(3^{2x}=k^2\) e \(3^x=k\), teremos:
\(3k^2-k+\dfrac{1}{12}=0\sim 36k^2-12k+1=0\)
Utilizando a fórmula quadrática:
\(k=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to\)
\(k=\dfrac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^2-4\times 36\times 1}}{2\times 36}\to\)
\(k=\dfrac{12\pm\sqrt{144-144}}{72}\to k=\dfrac{1}{6}\) ou \(k=6^{-1}\)
Retornando: \(3^x=6^{-1}\to\boxed{x=-\log_{3}6}\)
0407¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), o seguinte sistema linear: \(\left\{\begin{array}{rcrcrc}2x & + & 5y & = & 28&\\\\3x & + & y & = & 16 &\end{array}\right.\)
0407 - Resposta
\(S=\{4;\,4\}\)
0407 - Solução
\(\left\{\begin{array}{rcrcrc}2x & + & 5y & = & 28&\\\\3x & + & y & = & 16 &\,(-5)\end{array}\right.\to\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrc} 2x & + & \cancel{5y} & = & 28 &\\\\-15x & - & \cancel{5y} & = & -80&\end{array}\right.\to\)
Somando-se as duas equações, termo a termo:
\(-13x = -52 \to \boxed{x=4}\)
Substituindo-se "\(x=4\)" na primeira equação, teremos:
\(2\cdot 4+5y=28\to 5y=20\to\boxed{y=4}\)
Portanto, a solução(\(S\)) será o formado pelo par ordenado:
\(\boxed{S=\{4;\,4\}}\)
0406¶
Determine os oito primeiros termos da sequência definida por
\(a_{n}=\dfrac{2}{n},\,\,\text{com}\,\,\,n\in\mathbb{N}^{*}\)
0406 - Soluções
1º) Os oito primeiros valores de \(n\in\mathbb{N}^{*}\), serão:
\(\{1;\, 2;\, 3; \,4; \,5; \,6; \,7\,\,\text{e}\,\,8\}\)
2º) Calculando "\(a_{n}\)" para cada valor:
\(n=1\to a_{1}=\dfrac{2}{1}\to \boxed{a_{1}=2}\)
\(n=2\to a_{2}=\dfrac{2}{2}\to \boxed{a_{2}=1}\)
\(n=3\to a_{3}=\dfrac{2}{3}\to \boxed{a_{3}=\dfrac{2}{3}}\)
\(n=4\to a_{4}=\dfrac{2}{4}\to \boxed{a_{4}=\dfrac{1}{2}}\)
\(n=5\to a_{5}=\dfrac{2}{5}\to \boxed{a_{5}=\dfrac{2}{5}}\)
\(n=6\to a_{6}=\dfrac{2}{6}\to \boxed{a_{6}=\dfrac{1}{3}}\)
\(n=7\to a_{7}=\dfrac{2}{7}\to \boxed{a_{7}=\dfrac{2}{7}}\)
\(n=8\to a_{8}=\dfrac{2}{8}\to \boxed{a_{8}=\dfrac{1}{4}}\)
OBS: Essa sequência não é uma PA e nem uma PG.
0405¶
A lei de formação de uma sequência é \(A_{n}=5n-3\). Calcule os quatro primeiros termos dessa sequência.
0405 - Respostas
\(A_{1}=2,\quad\) \(A_{2}=7,\quad\) \(A_{3}=12,\quad\) \(A_{4}=17\quad\)
0405 - Soluções
Algumas considerações:
1)Os quatro primeiros termos são o conjunto: \(\{1, 2, 3\,\text{e}\, 4\}\)
2)Calculando os termos:
\(A_{1}=5\cdot 1-3\to A_{1}=5-3\to\boxed{A_{1}=2}\)
\(A_{2}=5\cdot 2-3\to A_{2}=10-3\to\boxed{A_{2}=7}\)
\(A_{3}=5\cdot 3-3\to A_{3}=15-3\to\boxed{A_{3}=12}\)
\(A_{4}=5\cdot 4-3\to A_{4}=20-3\to\boxed{A_{4}=17}\)
OBS: Essa sequência é uma PA.
0404¶
Calcule os cinco primeiros termos da sequência \(a_{n}=8n+n^{3}+3\)
0404 - Respostas
\(a_{1}=12,\quad\) \(a_{2}=27,\quad\) \(a_{3}=64,\quad\) \(a_{4}=99,\quad\) \(a_{5}=168,\quad\)
0404 - Soluções
Algumas considerações:
1)Os cinco primeiros termos são o conjunto: \(\{1, 2, 3, 4\,\text{e}\,5\}\)
2)Calculando os termos:
\(a_{1}=8\cdot 1+1^3+3\to\boxed{a_{1}=12}\)
\(a_{2}=8\cdot 2+2^3+3\to\boxed{a_{2}=27}\)
\(a_{3}=8\cdot 3+3^3+3\to\boxed{a_{3}=64}\)
\(a_{4}=8\cdot 4+4^3+3\to\boxed{a_{4}=99}\)
\(a_{5}=8\cdot 5+5^3+3\to\boxed{a_{5}=168}\)
0403¶
Obtenha valor de "\(x\)" para que a sequência \((2x;\,x+1;\, 3x)\) seja uma PA.
0403 - Resposta
\(x=\dfrac{2}{3}\)
0403 - Solução
Para que seja uma PA, a razão(\(r\)) deve ser constante.
Nessa sequência, a razão pode ser calculada por:
\(r=(x+1)-(2x)\to r=x+1-2x\to\boxed{r=-x+1}\)
ou
\(r=(3x)-(x+1)\to r=3x-x-1\to\boxed{r=2x-1}\)
Como a razão é constante, podemos igualar:
\(-x+1=2x-1\to -x-2x=-1-1\to 3x=2\to\boxed{x=\dfrac{2}{3}}\)
0402¶
Ache a soma dos \(50\) primeiros termos da sequência \(\left(-\dfrac{1}{2};\, 0;\,\dfrac{1}{2};\, 1;\ldots\right)\)
0402 - Resposta
\(S_{50}=\dfrac{47}{4}\)
0402 - Solução
Essa sequência é uma PA e sua razão(\(r\)) é \(\boxed{r=\dfrac{1}{2}}\)
A fórmula geral(\(a_{n}\)) para "\(n\)" termos é dada pela fórmula:
\[\boxed{a_{n}=a_{1}+(n-1\cdot r)}\]A fórmula da soma(\(S_{n}\)) dos "\(n\)" primeiros termos é dada pela fórmula:
\[\boxed{S_{n}=\dfrac{a_{1}+a_{n}}{2}}\]Calculando \(a_{50}\):
\(a_{50}=-\dfrac{1}{2}+(50-1)\cdot\dfrac{1}{2}\to \boxed{a_{50}=24}\)
Calculando \(S_{50}\):
\(S_{50}=\dfrac{-\frac{1}{2}+24}{2}\to\boxed{S_{50}=\dfrac{47}{4}}\)
0401¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), as equações exponenciais abaixo:
a) \(2\cdot8^{x+1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}\)
b) \(3^{x+1}+3^{x+2}=12\)
c) \(3^{x+1}+3^{4-x}=36\)
0401 - Respostas
a) \(x=-\dfrac{7}{3}\quad\) b) \(x=0\quad\) c) \(x=1\) ou \(x=2\)
0401 - Soluções
a) \(2\cdot 8^{x+1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}\to\)
\(2\cdot 2^{3x+3}=2^{-3}\to \cancel{2}^{3x+4}=\cancel{2}^{-3}\to\)
\(3x+4=-3\to 3x=-7\to\boxed{x=-\dfrac{7}{3}}\)
b) \(3^{x+1}+3^{x+2}=12\to\)
\(3^{x}(3^1+3^2)=12\to \cancel{3}^x=\cancel{3}^0\)
\(\boxed{x=0}\)
c) \(3^{x+1}+3^{4-x}=36\to\)
\(3\cdot 3^x+\dfrac{81}{3^x}=36\quad\) Fazendo \(3^x=k\)
\(3\cdot k+\dfrac{81}{k}=36\to\dfrac{3k^2+81-36k=0}{\cancel{k}}\to\)
\(3k^2-36k+81=0\,\,(\div\,3)\to\)
\(k^2-12k+27=0\to\) (Bhaskara)
\(k=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\)
\(k=\dfrac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^2-4\times 1\times 27}}{2\times 1}\)
\(k=\dfrac{12\pm\sqrt{36}}{2}\to k=\dfrac{12\pm 6}{2}\)
\(k_{1}=3\Rightarrow \cancel{3}^x=\cancel{3}^1\to\boxed{x_{1}=1}\)
\(k_{2}=9\Rightarrow \cancel{3}^x=\cancel{3}^2\to\boxed{x_{2}=2}\)