Página18¶

0450¶

Obtenha os valores de "$m$" da equação abaixo, para que tenha duas raízes reais e distintas.

$\quad mx^2-2 (m+1) x+(m+5)=0$

0450 - Resposta

$S=\left\{m\in\mathbb{R}\,|\,-\dfrac{10}{3}<m<0\right\}$

0450 - Solução

Na equação dada:

$a=m$

$b=-2(m+1)$ e

$c=m+5$

Para termos duas raízes reais e distintas, basta que o discriminante(Delta ou $\Delta$) seja maior do que zero, isto é:

$\Delta=\underbrace{b^2-4\cdot a\cdot c>0}\to$

Vamos aos cálculos:

$[-2(m+1)]^2-4\times m\times (m+5)>0\to$

$-2m^2-4m-4m^2-20m>0\quad[\times (-2)]\to$

$3m^2+10m<0\quad$ ...Vamos estudar os sinais e obter o intervalo negativo...

Se resolvermos a equação $3m^2+10m=0$, teremos: $\boxed{m_{1}=-\dfrac{10}{3}}$ e $\boxed{m_{2}=0}$

Analisando os sinais, teremos a solução($S$) final dessa questão:

$\boxed{S=\left\{m\in\mathbb{R}\,|\,-\dfrac{10}{3}<m<0\right\}}$

0449¶

Calcule a velocidade média de um motociclista, sabendo que ele viajou 1 hora mantendo velocidade de 70 km/h e 2 horas com velocidade de 85 km/h.

0449 - Resposta

$V_{m}=80\,\,\text{Km/h}$

0449 - Solução

1°) Vamos dividir o percurso em duas etapas, analisados seus percursos($d$) e seus tempos($t$):

$d_{1}=70\text{Km/h}\cdot 1\text{h}\to d_{1}=70\text{Km}$

$t_{1}= 1\text{h}$

$d_{2}=85\text{Km/h}\cdot 2\text{h}\to d_{2}=170\text{Km}$

$t_{2}= 2\text{h}$

2°) Vamos calcular a velocidade média($V_{m}$) do percurso todo, pela fórmula:

$V_{m}=\dfrac{d_{1}+d_{2}}{t_{1}+t_{2}}\to V_{m}=\dfrac{70+170}{1+2}\to\boxed{V_{m}=80\,\,\text{Km/h}}$

0448¶

Na implantaçao de uma industria foi estabelecido um ritmo de produção tal que garantiu um aumento mensal constante até determinado mês, quando então a produção mensal se estabilizou. A soma da produção do 10º mês com a do 25º mês foi igual a 470 unidades, e a soma da produção do 5º mês com a do 16º mês foi igual a 330 unidades. Quantas unidades a indústria produziu no primeiro mês de funcionamento?

0448 - Resposta

$70$ unidades.

0448 - Solução

Trata-se de uma questão envolvendo progressões aritméticas, portanto, vamos utilizar a fórmula do termo geral($a_{n}$) onde há a razão($r$) - valor constante, citado no texto - e o primeiro termo($a_{1}$) cujo valor será a resposta final dessa questão; assim:

Fórmula do termo geral de uma PA:: $\boxed{a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r}$

$\left\{\begin{array}{rcrcrr} a_{10} & + & a_{25} & = & 470 &\\ a_{5} & + & a_{16} & = & 330 & \end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rcrcrcrcrr} a_{1} & + & 9r & + & a_{1} & + & 24r & = & 470 &\\ a_{1} & + & 4r & + & a_{1} & + & 15r & = & 330 & \end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rcrcrr} 2\cdot a_{1} & + & 33\cdot r & = & 470 &\\ 2\cdot a_{1} & + & 19\cdot r & = & 330 & [\times (-1)] \end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rcrcrr} 2\cdot a_{1} & + & 33\cdot r & = & 470 &\\ -2\cdot a_{1} & - & 19\cdot r & = & -330 & \end{array}\right.$

Somando as duas equações, termo a termo:

$14\cdot r=140\to\boxed{r=10}$

Aplicando $r=10$ à primeira equação, teremos:

$2\cdot a_{1}+33\cdot 10=470\to\boxed{a_{1}=70}$

Portanto, a produção no primeiro mês foi de $70$(setenta) unidades.

0447¶

O cálculo do juro na "caderneta de poupança" não é feito com juros simples. Vamos supor uma aplicação por 3 meses, cada mês com uma taxa mensal diferente:

primeiro mês: 1,6%
segundo mês: 1%
terceiro mês: 1,2%

Se, há 3 meses, depositei RS 10.000,00, qual o montante, agora?

0447 - Resposta

R$ 10.384,74.

0447 - Solução

Em casos como esse, onde há variação não constante das taxas, procedemos o cálculo mês a mês, e o faremos, a partir do depósito inicial de dez mil reais; assim:

Primeiro mês:: 10.000,00 x 1,016 = 10.160,00

Segundo mês:: 10.160,00 x 1,01 = 10.261,60

Terceiro mês:: 10.261,60 x 1,012 = 10.384,74 (*)

Portanto, após os três meses, ou seja, agora, tenho R$ 10.384,74(dez mil, trezentos e oitenta e quatro reais e setenta e quatro)

()Houve a necessidade de uma aproximação decimal, pois o resultado foi de **10.384,7392.*

0446¶

Um capital de R$ 250,00 a uma taxa de juros de 1% ao mês, durante 6 meses, quanto renderá?

0446 - Resposta

R$ $15,38$

0446 - Solução

Levando em conta que essa aplicação esteja sujeita a aplicação de juros compostos, teremos:

Vamos utilizar a fórmula abaixo, que calcula o montante($M$) final de um capital inicial($C$), aplicado a uma taxa de juros compostos($i$), por um determinado período de tempo($t$):

\[\boxed{M=C(1+i)^t}\]

$M=250(1+0,01)^6\to M=250(1,01)^6\to$

$M=250\cdot 1,061520150601\to \boxed{M\approx 265,38}$

Portanto, o rendimento líquido será de:

R$ $15,38$ (quinze reais e trinta e oito centavos)

0445¶

Um capital de R$ $15.000,00$, aplicado a uma taxa de juros de $1,5$% ao mês, rendeu R$ $750,00$ de juros simples. Durante quanto tempo esse capital esteve aplicado?

0445 - Resposta

3 meses e 10 dias.

0445 - Solução

Vamos utilizar a fórmula $J=C.i.t$,(*) que calcula os juros simples($J$) de um capital inicial($C$) aplicado a uma taxa de juros($i$) por um determinado período de tempo($t$). Nela, vamos aplicar os valores dados e encontrar o que se pede; assim:

(*)Ao aplicarmos essa fórmula, devemos colocar a taxa(i), na fórmula, na sua forma decimal, portanto, utilizaremos $i=1,5\%$ como $i=0,015$.

$J = C \cdot i\cdot t \to 750 = 15.000 \times 0,015 \times t\to$

$750 = 225\times t \to t = \dfrac{750}{225} \to t = \dfrac{10}{3}$ meses

ou

$t = 3$ meses e $\frac{1}{3}$ mês.

Supondo um mês comercial, ou seja, um meês de $30$ dias, $\frac{1}{3}$ de mês corresponde a $10$ dias.

Portanto, o tempo de aplicação foi de 3 meses e 10 dias.

0444¶

Para todo "$x$" real, uma função "$f$", do 2º grau, pode ser escrita na forma fatorada $f(x) = a\cdot(x – x_{1})\cdot(x – x_{2})$, na qual "$a$" é uma constante real não nula e "$x_{1}$" e "$x_{2}$" são as raízes de "$f$". Se uma função "$f$", do 2º grau, admite as raízes $-2$ e $3$ de coeficiente $a = 1$, obtenha os intervalos para os quais:

$f(x)>0$;

$f(x)=0$;

$f(x)<0$.

0444 - Solução

Aplicando os dados fornecidos, teremos a função f(x), assim definida:

$f(x) = 1\cdot[x-(-2)]\cdot(x-3)\to$

$\boxed{f(x)=1\cdot(x+2)\cdot(x-3)}$

ou, se preferir aplicar os produtos formados, teremos:

$\boxed{f(x)=x^2-x-6}$

De qualquer forma, o estudo dessa função será:

$\boxed{f(x)>0;\,\forall x\in\mathbb{R}\,|\, x<-2\,\,\text{ou}\,\,x>3}$

$\boxed{f(x)=0;\,\forall x\in\mathbb{R}\,|\, x=-2\,\,\text{ou}\,\,x=3}$

$\boxed{f(x)<0;\,\forall x\in\mathbb{R}\,|\, -2<x<3}$

0443¶

Sendo $\log(2)=a\,\,\,$ e $\,\,\,\log(3)=b$, calcule $\log\left(\sqrt[3]{12}\right)$ em função de "$a$" e "$b$".

0443 - Solução

$\log\sqrt[3]{12}=$

$\log\sqrt[3]{2^2\cdot 3}=$

$\log\left(2^{\frac{2}{3}}\cdot 3^{\frac{1}{3}}\right)=$

$\log(2^{\frac{2}{3}})+\log(3^{\frac{1}{3}})=$

$\dfrac{2}{3}\log(2)+\dfrac{1}{3}\log(3)=\boxed{\dfrac{2a+b}{3}}$

0442¶

Resolva, em $\mathbb{R}$, a equação: $x(x-2)=2(x+6)$

0442 - Resposta

$x=-2\quad$ ou $\quad x=6$

0442 - Solução

$x(x-2)=2(x+6)\to$

$x^2-2x=2x+12\to$

$x^2-4x-12=0\to\text{Bhaskara}\to$

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to$

$x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\times 1\times (-12)}}{2\times 1}\to$

$x=\dfrac{4\pm\sqrt{64}}{2}\to x=\dfrac{4\pm 8}{2}\to$

$x_{1}=\dfrac{4-8}{2}\to\boxed{x_{1}=-2}$

$x_{2}=\dfrac{4+8}{2}\to\boxed{x_{2}=6}$

0441¶

Resolva a equação:

$\left|\begin{array}{rrr}2 & 3 & -2\\0 & 1 & x\\2 & x & -3\end{array}\right|=2$

0441 - Resposta

$x=1\quad$ ou $\quad x=2$

0441 - Solução

Resolvendo esse determinado, vamos formar a equação que nos fornecerá os valores requisitados; assim:

$\underbrace{2\cdot 1\cdot (-3)}_{-6}+\underbrace{0\cdot x\cdot (-2)}_{0}+\underbrace{2\cdot x\cdot 3}_{6x}-$

$-[\underbrace{-2\cdot 1\cdot 2}_{-4}+\underbrace{3\cdot 0\cdot(-3)}_{0}+\underbrace{2\cdot x\cdot x}_{2x^2}]=2\to$

$-6+0+6x+4-0-2x^2=2\to$

$-2x^2+6x-6+4-2=0\to\ldots\to$

$x^2-3x+2=0\to$ Bhaskara

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to$

$x=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4\times 1\times 2}}{2\times 1}\to$

$x=\dfrac{3\pm1}{2}\to \boxed{x=1}$ ou $\boxed{x=2}$

0440¶

O triplo de um número menos $40$ é igual à sua metade mais $29$. Obtenha esse número.

0440 - Resposta

$x=27,6$

0440 - Solução

Vamos chamar de "$x$" o número a ser encontrado

$3x-40=\dfrac{x}{2}+29\to$

$\dfrac{6x-80=x+58}{\cancel{2}}\to$

$6x-x=58+80\to$

$5x=138\to\boxed{x=27,6}$

0439¶

Uma carreta de $20$m de comprimento à velocidade constante de $30$m/s, deve atravessar uma ponte de $280$m de extensão. Determinar o tempo gasto para essa carreta atravessar a ponte por completo.

0439 - Resposta

$t=10\,\text{s}$

0439 - Solução

O percurso total(d) será a soma dos comprimentos, da carreta e da ponte, ou seja, $d=200$m. Como a velocidade(v) é constate e igual a $30$m/s, basta utilizarmos a fórmula abaixo; assim:

$v=\dfrac{d}{t}\to 30=\dfrac{300}{t}\to t=\dfrac{300}{30}\to\boxed{t=10\text{s}}$

0438¶

Um ônibus percorre $50$Km com velocidade média de $100$Km/h. Após uma pausa de $30$ minutos para um lanche, a viagem é retomada, sendo percorridos mais $60$Km com velocidade média de $120$Km/h até a chegada ao destino. Determinie a velocidade média, em Km/h, de toda a viagem.

0438 - Resposta

$V_{m}\approx 73,3\,\,\text{Km/h}$

0438 - Solução

Vamos dividir a viagem em três etapas e, de cada uma, obter a velocidade(v), a distância(d) e o tempo(t):

1º Trecho: $v_{1} = 100$Km/h; $d_{1} = 50$Km; $t_{1} = 0,5$h.

2º Trecho: $v_{2} = 0$Km/h; $d_{2} = 0$Km; $t_{2} = 0,5$h.

3º Trecho: $v_{3}=120$Km/h; $d_{3}=60$Km; $t_{3}=0,5$h.

Agora, vamos obter a velocidade média final$(V_{m})$ através da fórmula a seguir, utilizando os dados obtidos dos três trechos percorridos; assim:

$V_{m}=\dfrac{\Delta d}{\Delta t}\to$

$V_{m}=\dfrac{d_{1}+d_{2}+d_{3}}{t_{1}+t_{2}+t_{3}}\to$

$V_{m}=\dfrac{50+0+60}{0,5+0,5+0,5}\to$

$V_{m}=\dfrac{110}{1,5}\to\boxed{V_{m}\approx 73,3\,\,\text{Km/h}}$

0437¶

Um ciclista faz um percurso de $30$km em torno de 2 horas. Qual é a velocidade média em km/h e m/s?

0437 - Resposta

$V_{m}=15\text{Km/h}\quad$ ou $\quad V_{m}\approx 4,17\text{m/s}$

0437 - Solução

a) Em Km/h: $\quad V_{m}=\dfrac{30\text{Km}}{2\text{h}}\to\boxed{V_{m}=15\text{Km/h}}$

b) Em m/s: Basta convertermos $15$Km/h para m/s; assim:

$V_{m}=\dfrac{15\text{Km}}{\text{1h}}=\dfrac{15000\text{m}}{3600\text{s}}\to\boxed{V_{m}\approx 4,17\text{m/s}}$

0436¶

Um Carro faz uma viagem de $310$Km da seguinte maneira :

Nos primeiros $120$Km , ele desenvolve uma velocidade média de $80$Km/h;
Nos $100$Km intermediários, devido às más condições da estrada, ele desenvolve uma velocidade média de $50$Km/h;
Nos últimos $90$Km , ele desenvolve uma velocidade de $60$Km/h.

Qual é a velocidade média desenvolvida pelo carro em todo o trajeto?

0436 - Resposta

$V_{m}=62\,\,\text{Km/h}$

0436 - Solução

Vamos dividir a viagem em três etapas e, de cada uma, obter a velocidade(v), a distância(d) e o tempo(t):

1º Trecho: $v_{1} = 80$Km/h; $d_{1} = 120$Km; $t_{1} = 1,5$h.

2º Trecho: $v_{2} = 50$Km/h; $d_{2} = 100$Km; $t_{2} = 2$h.

3º Trecho: $v_{3}=60$Km/h; $d_{3}=90$Km; $t_{3}=1,5$h.

Agora, vamos obter a velocidade média final$(V_{m})$ através da fórmula a seguir, utilizando os dados obtidos dos três trechos percorridos; assim:

$V_{m}=\dfrac{\Delta d}{\Delta t}\to$

$V_{m}=\dfrac{d_{1}+d_{2}+d_{3}}{t_{1}+t_{2}+t_{3}}\to$

$V_{m}=\dfrac{120+100+90}{1,5+2+1,5}\to$

$V_{m}=\dfrac{310}{5}\to\boxed{V_{m}=62\,\,\text{Km/h}}$

0435¶

Uma pequena fábrica produz 500 pares de sapatos por mês. A partir de janeiro ela fabricará, a cada mês, 25 pares a mais que no mês anterior, mantendo esse aumento durante um ano. Quantos pares serão produzidos de janeiro ao final de dezembro?

0435 - Resposta

7650 pares de sapatos.

0435 - Solução

Vamos fazer um pequeno esquema dessa sequência de produção ao longo de um ano. Perceberemos rapidamente que se trata de uma progressão aritmética, onde se quer a soma dos doze meses:

Mês Produção

Janeiro 500

Fevereiro 525

Março 550

Abril 575

Maio 600

Junho 625

Julho 650

Agosto 675

Setembro 700

Outubro 725

Novembro 750

Dezembro 775

Se apenas somarmos as produções mensais, já vamos obter a produção total ao longo desse ano:

Produção Anual($P$):

$P=500+525+550+575+600+625+650+675+700+725+750+775\to$

$\boxed{P=7650\,\text{pares de sapatos}}$

Entretanto, se o período fosse bem maior do que os doze meses, estaríamos diante de uma situação mais complexa, uma vez que deveríamos somar a produção, mês a mês, ao longo de todo o período.

Nesses casos, convém aplicar nossos conhecimentos sobre progressão aritmética, que é justamente o caso desse nosso problema. Vamos, assim, resolvê-lo como tal, tendo que, ao final, encontrarmos o mesmo valor já obtido acima:

Utilizaremos a fórmula do termo geral a fim de encontrarmos a produção final, ou seja, referente ao 12º mês, ou dezembro daquele ano:

$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r\to a_{12}=500+(12-1)\cdot 25\to$

$a_{12}=500+11\cdot 25\to\boxed{a_{12}=775}$

Utilizaremos a fórmula da soma$(S_{n})$ dos "$n$" primeiros termos de uma PA, a fim de encontrarmos a produção total. Ao final do cálculo deveremos ter a seguinte igualdade: $P=S_{12}$; assim:

$S_{n}=\dfrac{(a_{1}+a_{n})\cdot n}{2}\to$

$S_{12}=\dfrac{(500+775)\cdot 12}{2}\to$

$\boxed{S_{12}=7650\,\text{pares de sapatos}}$

0434¶

Dada a função quadrática $y=-x^2+10x-12$ , determine:

a) Suas raízes

b) Seu vértice

c) O estudo do sinal

0434 - Solução

a) Suas raízes: serão os valores de "$x$" encontrados da equação que surgirá da igualdade $y=0$; assim:

$-x^2+10x-12=0\quad\to$ Fórmula Quadrática ou Bhaskara:

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}$

$x=\dfrac{-(10)\pm\sqrt{(10)^2-4\times (-1)\times (-12)}}{2\times (-1)}$

$x=\dfrac{-10\pm\sqrt{52}}{-2}\to x=\dfrac{-10\pm 2\sqrt{13}}{-2}\to$

$\boxed{x_{1}=5-\sqrt{13}}$

$\boxed{x_{2}=5+\sqrt{13}}$

b) Seu vértice: será o ponto$(V)$ dado pela relação:

$V=\left(-\dfrac{b}{2a};\,\,-\dfrac{\Delta}{4a}\right)$

$V=\left(-\dfrac{10}{-2};\,\,-\dfrac{52}{-4}\right)\to\boxed{V=\left(5;\,13\right)}$

c) O estudo do sinal: serão os intervalos reais de domínio($x$), para que as imagens sejam:

$y<0\to\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,x<5-\sqrt{13}\,\,\,\text{ou}\,\,\,x>5+\sqrt{13}\right\}$

$y=0\to\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,x=5-\sqrt{13}\,\,\,\text{ou}\,\,\,x=5+\sqrt{13}\right\}$

$y>0\to\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,5-\sqrt{13}<x<5+\sqrt{13}\right\}$

0433¶

Dada a função quadrática $f(x)=2x^2 +8x+4$ , determine:

a) Suas raízes

b) Seu vértice

c) O estudo do sinal

0433 - Solução

a) Suas raízes: serão os valores de "$x$" encontrados da equação que surgirá da igualdade $y=0$; assim:

$2x^2+8x+4=0\,\,\,\,\text{ou}\,\,\,\, x^2+4x+2=0\quad\to$ Fórmula Quadrática ou Bhaskara:

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}$

$x=\dfrac{-(4)\pm\sqrt{(4)^2-4\times 1\times 2}}{2\times 1}$

$x=\dfrac{-4\pm\sqrt{8}}{2}\to x=\dfrac{-4\pm 2\sqrt{2}}{2}\to$

$\boxed{x_{1}=-2-\sqrt{2}}$

$\boxed{x_{2}=-2+\sqrt{2}}$

b) Seu vértice: será o ponto$(V)$ dado pela relação:

$V=\left(-\dfrac{b}{2a};\,\,-\dfrac{\Delta}{4a}\right)$

$V=\left(-\dfrac{8}{4};\,\,-\dfrac{32}{8}\right)\to\boxed{V=\left(-2;\,-4\right)}$

c) O estudo dos sinais: serão os intervalos reais de domínio($x$), para que as imagens sejam:

$y>0\to\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,x<-2-\sqrt{2}\,\,\,\text{ou}\,\,\,x>-2+\sqrt{2}\right\}$

$y=0\to\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,x=-2-\sqrt{2}\,\,\,\text{ou}\,\,\,x=-2+\sqrt{2}\right\}$

$y<0\to\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,-2-\sqrt{2}<x<-2+\sqrt{2}\right\}$

0432¶

Resolva, em $\mathbb{R}$, o seguinte sistema linear:

$\left\{\begin{array}{rcrcrcrl} x & - & y & + & z & = & -1&\\ 2x & - & 4y & + & z & = & 1&\\ 3x & - & 3y & + & 4z & = & -6\end{array}\right.$

0432 - Resposta

$S=\{(2;\,0;\,-3)\}$

0432 - Solução

Vamos resolver esse sistema linear através do método do escalonamento:

$\left\{\begin{array}{rcrcrcrl} x & - & y & + & z & = & -1&(2L_{1}-L_{2})\quad(3L_{1}-L_{3})\\ 2x & - & 4y & + & z & = & 1&\\ 3x & - & 3y & + & 4z & = & -6\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rcrcrcrl} x & - & y & + & z & = & -1&\\ & & 2y & + & z & = & -3&\\ & & & - & z & = & 3&\to\boxed{z=-3} \end{array}\right.$

Substituindo $x=-3$ na segunda equação, já escalonada, teremos:

$2y+(-3)=-3\to 2y=0\to\boxed{y=0}$

Substituindo $z=-3$ e $y=0$ na primeira equação, teremos:

$x-0-3=-1\to\boxed{x=2}$

Portanto, a solução($S$) será a terna:

$\boxed{S=\{(2;\,0;\,-3)\}}$

0431¶

Resolva, em $\mathbb{R}$, o seguinte sistema linear:

$\left\{\begin{array}{rcrcrcrl} x & + & 2y & - & z & = & 3&\\ 3x & - & y & + & z & = & 1&\\ 2x & + & 4y & - & 2z & = & 6\end{array}\right.$

0431 - Resposta

$S=\left\{\left(\dfrac{19-\alpha}{7};\,\dfrac{1+4\alpha}{7};\,\alpha\right)\,\,\forall\,\alpha\in\mathbb{R}\right\}$

0431 - Solução

Vamos resolver esse sistema linear através do método do escalonamento:

$\left\{\begin{array}{rcrcrcrl} x & + & 2y & - & z & = & 3& (3L_{1}-L_{2})\quad (2L_{1}-L_{3})\\ 3x & - & y & + & z & = & 1&\\ 2x & + & 4y & - & 2z & = & 6\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rcrcrcrl} x & + & 2y & - & z & = & 3&\\ & & 7y & - & 4z & = & 1& \end{array}\right.$

Depois de escalonamento, verificamos que temos apenas duas equações e três incógnitas. Portanto, trata-se de um sistema linear do tipo possível e indeterminado. Vamos adotar a incógnita livre "$z$" e vamos chamá-la de "$\alpha$", isto é, "$z=\alpha$." Aplicando à segunda equação, teremos:

$7y-4\alpha=1\to\boxed{y=\dfrac{1+4\alpha}{7}}$

Substituindo $\quad y=\dfrac{1+4\alpha}{7}$ e $\quad z=\alpha$ na primeira equação, teremos:

$x+2\cdot \left(\dfrac{1+4\alpha}{7}\right)-\alpha=3\to$

$x+\dfrac{2}{7}+\dfrac{8\alpha}{7}-\dfrac{7\alpha}{7}=\dfrac{21}{7}\to$

$\boxed{x=\dfrac{19-\alpha}{7}}$

Portanto, a solução($S$) final será a terna ordenada:

$S=\left\{\left(\dfrac{19-\alpha}{7};\,\dfrac{1+4\alpha}{7};\,\alpha\right)\,\,\forall\,\alpha\in\mathbb{R}\right\}$

0430¶

Resolva, em $\mathbb{R}$, o seguinte sistema linear:

$\left\{\begin{array}{rcrcrcrl} 3x & + & 5y & - & z & = & 4&\\ x & - & y & + & 2z & = & 12&\\ -6x & + & 3y & - & 2z & = & -1&\end{array}\right.$

0430 - Resposta

$S=\{(-1;\,3;\,8)\}$

0430 - Solução

Vamos utilizar o método do escalonamento, a fim de resolver esse sistema linear:

$\left\{\begin{array}{rcrcrcrl} 3x & + & 5y & - & z & = & 4&\\ x & - & y & + & 2z & = & 12&\,\,(3L_{2}-L_{1})\,\,(6L_{2}+L_{3})\\ -6x & + & 3y & - & 2z & = & -1&\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rcrcrcrl} x & - & y & + & 2z & = & 12&\\ & - & 8y & + & 7z & = & 32&\,\,\left(\frac{3}{8}\cdot L_{2}-L_{3}\right)\\ & - & 3y & + & 10z & = & 71&\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rcrcrcrl} x & - & y & + & 2z & = & 12&\\ & - & 8y & + & 7z & = & 32&\\ & & & - & \frac{59z}{8} & = & -59&\to\boxed{z=8} \end{array}\right.$

Substituindo $z=8$ na segunda equação, teremos:

$-8y+7\cdot 8=32\to -8y=-24\to\boxed{y=3}$

Substituindo $z=8$ e $y=3$ na primeira equação, teremos:

$x-3+2\cdot 8=12\to x+13=12\to\boxed{x=-1}$

Portanto, a solução($S$) final será a terna: $S=\{(-1;\,3;\,8)\}$

0429¶

Obtenha o valor de "$a$", para que o sistema a seguir tenha solução:

$\left\{\begin{array}{rcrcrcrl} x & - & y & + & z & = & 1&\\ x & + & 3y & - & 3z & = & 5&\\ x & + & y & - & z & = & a\end{array}\right.$

0429 - Resposta

$a=-1$

0429 - Solução

O melhor método a ser aplicado, neste caso específico, é o escalonamento, a fim de observar, após o término do processo, o número de equações e o número de incógnitas; assim:

$\left\{\begin{array}{rcrcrcrl} x & - & y & + & z & = & 1&\,\,(L_{1}-L_{2})\quad (L_{1}-L_{3})\\ x & + & 3y & - & 3z & = & 5&\\ x & + & y & - & z & = & a\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rcrcrcrl} x & - & y & + & z & = & 1 &\\ & - & 4y & + & 4z & = & -4 &\,\,[\div\,\,(-4)]\\ & - & 2y & + & 2z & = & 1-a&\,\,[\div\,\,(-2)]\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rcrcrcrl} x & - & y & + & z & = & 1&\\ & & y & - & z & = & 1&\\ & & y & - & z & = & \frac{1-a}{2}&\end{array}\right.$

Para que tenha solução, deveremos ter:

$\dfrac{1-a}{2}=1\to 1-a=2\to\boxed{a=-1}$

OBS: Para esse valor, o sistema será possível e indetermnado(SPI) e teremos infinitas soluções. Veja que para qualquer outro valor de "$a$" o sistema será impossível(SI) e, ainda, veja que esse sistema jamais será possível e determinado(SPD).

0428¶

A expressão $P(t)=k\cdot 25^{0,05\cdot t}$ fornece o número P de milhares de habitantes de uma cidade, em função do tempo t, em anos. Se em 2017 essa cidade tinha 200.000 habitantes, aproximadamente, espera-se que ela tenha no ano de 2027 ?

0428 - Resposta

Um milhão de habitantes.

0428 - Solução

O passo-a-passo em algumas considerações:

a) A fim de encontrar a constante "$k$" vamos adotar o ano de 2017 como $t=0$ e, portanto, $P(0)=200$ (já em milhares de habitantes):

$P(0)=k\cdot 25^{0,05\cdot 0}\to 200=k\cdot 1\to\boxed{k=200}$

A fórmula, agora, será: $\boxed{P(t)=200\cdot 25^{0,05\cdot t}}$

b) Seguindo esses parâmetros adotados, teremos os ano de 2027 como sendo $t=10$ e, portanto, $P(10)$ será o número de habitantes neste ano:

$P(10)=200\cdot 25^{0,05\cdot 10}\to P(10)=200\cdot 25^{\frac{1}{2}}\to$

$P(10)=200\cdot 5\to P(10)=1000$ milhares ou

$P(10)=1.000.000$ (um milhão) de habitantes no ano de 2027.

0427¶

Seja $\lambda$ a circunferência que tem o centro$(C)$ no ponto $(3,4)$ e raio($R$) de medida $5$. Determine o valor de "$p$", para que o ponto $(-2, p)$ pertença à $\lambda$.

0427 - Resposta

$p=4$

0427 - Solução

O passo-a-passo em algumas considerações:

a) Uma circunferência($\lambda$) tem sua equação reduzida como:

$\lambda: (x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2$

onde o centro($C$) é o par ordenado $C(a, b)$ e o raio é R;

b) No nosso caso, a equação de nossa circunferência($\lambda$), será:

$\lambda: (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 5^2$

c) Para que um ponto qualquer - no nosso caso $(-2, p)$ - pertença à $\lambda$, basta substituirmos esse ponto na equação, ou seja: "$x = -2$" e "$y = p$":

$(-2 - 3)^2 + (p - 4)^2 = 5^2\to$

$25 + p^2 - 8p + 16 = 25\to$ ...agrupando os termos semelhantes...

$p^2 - 8p + 16 = 0\to$ ...fatorando este trinômio quadrado perfeito...

$(p - 4)^2 = 0\to$ ...resolvendo esta equação

$p - 4 = 0\to\boxed{p = 4}$ (resposta final)

0426¶

Determine a equação reduzida da circunferência($\lambda$) com centro no ponto centro $C(2;\,1)$ e que passa pela origem, isto é $O(0;\,0)\in\lambda$.

0426 - Resposta

$\lambda:(x-2)^2+(y-1)^2=5$

0426 - Solução

A distância($d$) do ponto do centro $C(2;\,1)$ à origem $O(0;\,0)$ nos dará o valor do raio$(R)$ dessa circunferência:

$R=d_{CO}=\sqrt{(x_{C}-x_{O})^2+(y_{C}-y_{O})^2}\to$

$R=\sqrt{(2-0)^2+(1-0)^2}\to\boxed{R=\sqrt{5}}$

Lembrando que a equação reduzida de uma circunferência é:

$\lambda:(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$

onde o centro($C$) é o par ordenado $C(a, b)$ e o raio é R,

basta substituirmos os valores conhecidos e teremos a equação reduzida:

$\boxed{\lambda:(x-2)^2+(y-1)^2=5}$

Mês	Produção
Janeiro	500
Fevereiro	525
Março	550
Abril	575
Maio	600
Junho	625
Julho	650
Agosto	675
Setembro	700
Outubro	725
Novembro	750
Dezembro	775