Página19¶
0475¶
Determine a equação geral da circunferência \(\lambda\), que se encontra no 2° quadrante, tangencia os eixos coordenados e tem raio\((R)\) igual a 3.
0475 - Resposta
\(\lambda: x^2+y^2+6x-6y+9=0\)
0475 - Solução
Pelas informações, temos o centro em \(C(-3;\,3)\) e, além disso, \(R=3\)
Assim, a equação reduzida será: \(\lambda: (x+3)^2+(y-3)^2=9\)
Para encontrarmos a equação geral, basta desenvolver a equação reduzida, agrupando os termos semelhantes e igualando todas as parcelas a zero; assim:
\(\lambda: x^2+6x+9+y^2-6y+9-9=0\to\)
\(\boxed{\lambda: x^2+y^2+6x-6y+9=0}\) (resposta final)
0474¶
Calcule:
a) \(\dfrac{0,3-\frac{1}{4}}{\sqrt[5]{-1}}+0,036\div 0,04\)
b) \(\sqrt[3]{\dfrac{2^{28}+2^{30}}{10}}\)
c) \(\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}+\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\)
0474 - Respostas
a) \(0,85\quad\) b) \(2^9\quad\) c) \(4\)
0474 - Soluções
a) \(\dfrac{0,05}{-1}+0,9\to -0,05+0,9=0,85\)
\(\sqrt[3]{\dfrac{2^{28}\,.\,(1+4)}{10}}\to\sqrt[\cancel{3}]{\dfrac{(2^9)^{\cancel{3}}\,.\,\cancel{2}\,.\,\cancel{5}}{\cancel{10}^{\,\,\cancel{2}}}}=2^9\)
c) \(\dfrac{(\sqrt{3}+1)^2+(\sqrt{3}-1)^2}{2}=\dfrac{\cancel{2}(2+\cancel{\sqrt{3}}+2-\cancel{\sqrt{3}})}{\cancel{2}}=4\)
0473¶
Em cada cado, expresse \(\dfrac{1}{u}\), em função de "\(v\)"
a) \(u=v^{-1}\)
b) \(u=\dfrac{1}{\frac{v+1}{2}}\)
c) \(u=2+\dfrac{1}{v}\)
d) \(u=\dfrac{1}{v}+\dfrac{1}{2}\)
0473 - Respostas
a) \(v\quad\) b) \(\dfrac{v+1}{2}\quad\) c) \(\dfrac{v}{2v+1}\quad\) d) \(\dfrac{2v}{v+2}\)
0473 - Soluções
a) \(u=v^{-1}\quad\underrightarrow{\frac{1}{v}}\quad\dfrac{1}{u}=\dfrac{1}{v^{-1}}=v\)
b) \(u=\dfrac{1}{\frac{v+1}{2}}\quad\underrightarrow{\frac{1}{v}}\quad\dfrac{1}{u}=\dfrac{v+1}{2}\)
c) \(u=2+\dfrac{1}{v}\quad\underrightarrow{\frac{1}{v}}\quad\dfrac{1}{u}=\dfrac{v}{2v+1}\)
d) \(u=\dfrac{1}{v}+\dfrac{1}{2}\quad\underrightarrow{\frac{1}{v}}\quad\dfrac{1}{u}=\dfrac{2v}{v+2}\)
0472¶
Desenvolva
a) \((3a + 2b)^2\)
b) \((3a + 2b)^3\)
c) \((3a − 2b)^3\)
d) \((x^2 − 1)\cdot(x^2 + 1)\)
e) \([(x − y) + 1]\cdot[(x − y) − 1]\)
f) \((a + b + c)^2\)
0472 - Soluções
a) \((3a + 2b)^2=9a^2+12ab+4b^2\)
b) \((3a + 2b)^3=27a^3+54a^2b+36ab^2+8b^3\)
c) \((3a − 2b)^3=27a^3-54a^2b+36ab^2-8b^3\)
d) \((x^2 − 1)\cdot(x^2 + 1)=x^4-1\)
e) \([(x − y) + 1]\cdot[(x − y) − 1]=(x-y)^2-1=x^2-2xy+y^2-1\)
f) \((a + b + c)^2=[(a+b)+c]^2=\)
\(\quad a^2+2ab+b^2+2\cdot(a+b)\cdot c+c^2=\)
\(\quad a^2+ b^2+ c^2+2ab+2ac+2bc\)
0471¶
Mostre que
a) \((x+y)^2=x^2+ y^2\) se e somente se \(x=0\,\,\) ou \(\,\,y=0\)
b) \((x+y)^3=x^3+y^3\) se e somente se \(x=0\,\,\) ou \(\,\, y=0\,\,\) ou \(\,\, x=-y\)
0471 - Soluções
a) \(\,\,(x+y)^2-x^2-y^2=0\to\)
\(\quad\cancel{x^2}-\cancel{x^2}+\cancel{y^2}-\cancel{y^2}+\underbrace{2xy=0}\to\)
\(\quad 2xy=0\to\boxed{x=0}\,\,\text{ou}\,\,\boxed{y=0}\)
b) \((x+y)^3-x^3-y^3=0\to\)
\(\quad \cancel{x^3}-\cancel{x^3}+\cancel{y^3}-\cancel{y^3}+\underbrace{3x^2y+3xy^2=0}\to\)
\(\quad 3xy(x+y)=0\to\boxed{x=0}\,\,\) ou \(\,\,\boxed{y=0}\,\,\) ou \(\,\,\boxed{x=-y}\)
0470¶
Fatore
a) \(4y^2-16\)
b) \((x+b)^2-a^2\)
c) \(a^2x + b^2y + a^2y + b^2x\)
d) \(2x^2-x+4xy-2y\)
e) \(x^2-a^2-2ab-b^2\)
f) \(x^2-6x+9-y^2\)
g) \(x^3+\dfrac{1}{x^3}\)
h) \(x^6+1\)
0470 - Soluções
a) \(4y^2-16=4(y^2-4)=4(y-2)(2y+2)\)
b) \((x+b)^2-a^2=(x+b-a)(x+b+a)\)
c) \(a^2x + b^2y + a^2y + b^2x=\)
\(\quad a^2(x+y)+b^2(x+y)=\)
\(\quad (a^2+b^2)(x+y)\)
d) \(2x^2-x+4xy-2y=\)
\(\quad 2x(x+2y)-(x+2y)=\)
\(\quad (x+2y)(2x-1)\)
e) \(x^2-a^2-2ab-b^2=x^2-(a+b)^2=\)
\(\quad (x-a-b)(x+a+b)\)
f) \(x^2-6x+9-y^2=(x-3)^2-y^2=\)
\(\quad (x-y-3)(x+y-3)\)
g) \(x^3+\dfrac{1}{x^3}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\left(x^2-1+\dfrac{1}{x^2}\right)\)
h) \(x^6+1=(x^2)^3+\dfrac{1}{1^3}=\)
\(\quad(x^2+1)(x^4-x^2+1)\)
0469¶
Simplifique as expressões
a) \(\dfrac{2(x-2)(x-3)^3-3(x-2)^2(x-3)^2}{(x-3)^6}\)
b) \(\dfrac{x^2+1}{x^2-1}-\dfrac{1}{x-1}\)
0469 - Respostas
a) \(\dfrac{x(2-x)}{(x-3)^4}\quad\) b) \(\dfrac{x}{x+1}\)
0469 - Soluções
a) \(\dfrac{2(x-2)(x-3)^3-3(x-2)^2(x-3)^2}{(x-3)^6}=\)
\(\quad \dfrac{[(x-2)(x-3)^2]\cdot[2(x-3)-3(x-2)]}{(x-3)^6}=\)
\(\quad\dfrac{[(x-2)(x-3)^2]\cdot(\overbrace{2x-6-3x-6)}^{-x}}{(x-3)^6}=\)
\(\quad\dfrac{-x(x-2)\cancel{(x-3)^2}}{(x-3)^{\cancel{6}}}=\dfrac{x(2-x)}{(x-3)^4}\)
b) \(\dfrac{x^2+1}{x^2-1}-\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x^2+1-(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\)
\(\quad\dfrac{x^2-x}{x^2-1}=\dfrac{x\cancel{(x-1)}}{(x+1)\cancel{(x-1)}}=\dfrac{x}{x+1}\)
0468¶
Sabendo que \(a+\dfrac{1}{a}=b\), determine, em função de "\(b\)"
a) \(a^2+\dfrac{1}{a^2}\)
b) \(a^3+\dfrac{1}{a^3}\)
c) \(a^4+\dfrac{1}{a^4}\)
0468 - Respostas
a) \(b^2-2\quad\) b) \(b^3-3b\quad\) c) \(b^4-4b^2+2\)
0468 - Soluções
a) Façamos \(\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2=b^2\to\)
\(\quad a^2+\dfrac{1}{a^2}+2=b^2\to\)
\(\quad a^2+\dfrac{1}{a^2}=b^2-2\)
b) Façamos \(\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^3=b^3\to\)
\(\quad \left(a^3+3a+\dfrac{3}{a}+\dfrac{1}{a^3}\right)=b^3\to\)
\(\quad a^3+\dfrac{1}{a^3}+\underbrace{3\left(a+\dfrac{1}{a}\right)}_{3b}=b^3\to\)
\(\quad a^3+\dfrac{1}{a^3}=b^3-3b\)
c) Utilizando Binômio de Newton, vamos desenvolver:
\(\quad\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^4=b^4\to\)
\(a^4+\dfrac{1}{a^4}+4a^2+\dfrac{4}{a^2}+6=b^4\to\)
\(\quad a^4+\dfrac{1}{a^4}+4\underbrace{\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}\right)}_{b^2-2}=b^4-6\to\)
\(\quad a^4+\dfrac{1}{a^4}=b^4-6-4(b^2-2)\to\)
\(\quad a^4+\dfrac{1}{a^4}=b^4-4b^2+2\)
0467¶
Escreva cada expressão usando apenas um radical e simplifique
a) \(\sqrt{\sqrt{x}}\)
b) \(\sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}}\)
c) \(\sqrt{\sqrt[3]{25x}}\)
d) \(\sqrt{x}\cdot\sqrt[3]{x}\)
e) \(\dfrac{\sqrt[5]{xy}}{\sqrt[3]{xy}}\)
f) \(\dfrac{\sqrt[5]{xy}}{\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt{y}}\)
0467 - Soluções
a) \(\sqrt{\sqrt{x}}=\sqrt[2\times 2]{x}=\sqrt[4]{x}\)
b) \(\sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}}=\sqrt[8]{x}\)
c) \(\sqrt{\sqrt[3]{25x}}=\sqrt[3]{5\sqrt{x}}=\)
\(\quad\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[6]{x}\)
d) \(\sqrt{x}\cdot\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{1}{3}}=\)
\(\quad x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=x^{\frac{5}{6}}=\sqrt[6]{x^5}\)
e) \(\dfrac{\sqrt[5]{xy}}{\sqrt[3]{xy}}=\dfrac{x^{\frac{1}{5}}\cdot y^{\frac{1}{5}}}{x^{\frac{1}{3}}\cdot y^{\frac{1}{3}}}=\)
\(\quad x^{\frac{1}{5}-\frac{1}{3}}\cdot y^{\frac{1}{5}-\frac{1}{3}}=x^{-\frac{2}{15}}\cdot y^{-\frac{2}{15}}=\)
\(\quad \dfrac{1}{x^{\frac{2}{15}}\cdot y^{\frac{2}{15}}}=\dfrac{1}{\sqrt[15]{x^2y^2}}\)
f) \(\dfrac{\sqrt[5]{xy}}{\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt{y}}=\dfrac{x^{\frac{1}{5}}\cdot y^{\frac{1}{5}}}{x^{\frac{1}{3}}\cdot y^{\frac{1}{2}}}=\)
\(\quad x^{\frac{1}{5}-\frac{1}{3}}\cdot y^{\frac{1}{5}-\frac{1}{2}}=x^{-\frac{2}{15}}\cdot y^{-\frac{3}{10}}=\)
\(\quad \dfrac{1}{x^{\frac{2}{15}}\cdot y^{\frac{3}{10}}}=\dfrac{1}{\sqrt[15]{x^2}\cdot\sqrt[10]{y^3}}\)
0466¶
Simplifique as expressões \((\)em que \(a,\,b\,>\,0)\)
a) \(\dfrac{a^{\frac{3}{5}}\cdot a^{\frac{2}{7}}}{a^{\frac{1}{3}}}\)
b) \(\dfrac{a^{\frac{2}{5}}\cdot b^{\frac{3}{4}}\cdot(3a)^2}{b^{\frac{3}{5}}\cdot a^{\frac{1}{3}}}\)
c) \(\dfrac{\left(a^9\cdot b^6\right)^{-\frac{1}{3}}}{\left(a^6\cdot b^4\right)^{-\frac{1}{2}}}\)
d) \(\dfrac{\left(a^2\cdot b^4\right)^{\frac{1}{2}}}{\left(81a^6\cdot b^9\right)^{\frac{1}{3}}}\)
0466 - Respostas
a) \(a^{\frac{58}{105}}\quad\) b) \(9\cdot a^{\frac{31}{15}}\cdot b^{\frac{3}{20}}\quad\) c) \(1\quad\) c) \(\dfrac{1}{3\sqrt[3]{3}\cdot a\cdot b}\)
0466 - Soluções
a) \(\dfrac{a^{\frac{3}{5}}\cdot a^{\frac{2}{7}}}{a^{\frac{1}{3}}}=a^{\frac{3}{5}}\cdot a^{\frac{2}{7}}\cdot a^{-\frac{1}{3}}=\)
\(\quad a^{\frac{3}{5}+\frac{2}{7}-\frac{1}{3}}=a^{\frac{63+30-35}{105}}=a^{\frac{58}{105}}\)
b) \(\dfrac{a^{\frac{2}{5}}\cdot b^{\frac{3}{4}}\cdot(3a)^2}{b^{\frac{3}{5}}\cdot a^{\frac{1}{3}}}=a^{\frac{2}{5}}\cdot b^{\frac{3}{4}}\cdot 9a^2\cdot b^{-\frac{3}{5}}\cdot a^{-\frac{1}{3}}=\)
\(\quad 9\cdot a^{\frac{2}{5}+2-\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{3}{4}-\frac{3}{5}}=9\cdot a^{\frac{31}{15}}\cdot b^{\frac{3}{20}}\)
c) \(\dfrac{\left(a^9\cdot b^6\right)^{-\frac{1}{3}}}{\left(a^6\cdot b^4\right)^{-\frac{1}{2}}}=\dfrac{a^{-3}\cdot b^{-2}}{a^{-3}\cdot b^{-2}}=1\)
d) \(\dfrac{\left(a^2\cdot b^4\right)^{\frac{1}{2}}}{\left(81a^6\cdot b^9\right)^{\frac{1}{3}}}=\dfrac{a\cdot b^2}{\sqrt[3]{81}\cdot a^2\cdot b^3}=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{3}\cdot a\cdot b}\)
0465¶
Simplifique
a) \(\dfrac{\dfrac{4x^3y^2}{(x-2)^4}}{\dfrac{6x^2y}{(x-2)^{3/2}}}\)
b) \(\dfrac{\dfrac{x^2-y^2}{3x^2y^5}}{\dfrac{y+x}{xy}}\)
c) \(\dfrac{\dfrac{1}{(x+h)^2}-\dfrac{1}{x^2}}{h}\)
d) \(\dfrac{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}{\dfrac{b}{a}-\dfrac{a}{b}}\)
e) \(\dfrac{(z+w)^{-1}}{(z-w)^{-1}}\)
f) \(\left(p^{-1}+q^{-1}\right)^{-1}\)
0465 - Respostas
| a) \(\dfrac{2xy}{3\cdot(x-2)^{2}\cdot\sqrt{x-2}}\) | b) \(\dfrac{x-y}{3xy^4}\) | c) \(\dfrac{-(2x+h)}{(x+h)^2\cdot x^2}\) |
| d) \(\dfrac{1}{b-a}\) | e) \(\dfrac{z-w}{z+w}\) | f) \(\dfrac{pq}{p+q}\) |
0465 - Soluções
a) \(\dfrac{\dfrac{4x^3y^2}{(x-2)^4}}{\dfrac{6x^2y}{(x-2)^{3/2}}}=\dfrac{4x^3y^2\cdot(x-2)^{3/2}}{6x^2y\cdot(x-2)^4}=\)
\(\quad\dfrac{2xy}{3\cdot(x-2)^{5/2}}\) ou \(\dfrac{2xy}{3\cdot(x-2)^{2}\cdot\sqrt{x-2}}\)
b) \(\dfrac{\dfrac{x^2-y^2}{3x^2y^5}}{\dfrac{y+x}{xy}}=\dfrac{(\cancel{x+y})\cdot(x-y)\cdot xy}{3x^2y^5\cdot(\cancel{x+y})}=\dfrac{x-y}{3xy^4}\)
c) \(\dfrac{\dfrac{1}{(x+h)^2}-\dfrac{1}{x^2}}{h}=\dfrac{x^2-(x+h)^2}{h\cdot(x+h)^2\cdot x^2}=\)
\(\quad \dfrac{-\cancel{h}(2x+h)}{\cancel{h}\cdot(x+h)^2\cdot x^2}=\dfrac{-(2x+h)}{(x+h)^2\cdot x^2}\)
d) \(\dfrac{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}{\dfrac{b}{a}-\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\dfrac{a+b}{\cancel{ab}}}{\dfrac{b^2-a^2}{\cancel{ab}}}=\)
\(\quad\dfrac{(\cancel{a+b})}{(\cancel{a+b})\cdot(b-a)}=\dfrac{1}{b-a}\)
e) \(\dfrac{(z+w)^{-1}}{(z-w)^{-1}}=\dfrac{z-w}{z+w}\)
f) \(\left(p^{-1}+q^{-1}\right)^{-1}=\dfrac{1}{\dfrac{p+q}{pq}}=\dfrac{pq}{p+q}\)
0464¶
Efetue as seguintes divisões de polinômios
a) \((5x^2 + 4x + 2) \div (6x + 2)\)
b) \((x^2 + x − 2) \div (x − 1)\)
c) \((x^2 − a^2) \div (x − a)\)
d) \((x^4 − 256) \div (x − 4)\)
e) \((x^4 − a^4) \div (x^3 + x^2 a + xa^2 + a^3)\)
f) \((x^5 + x^3 − 2) \div (x − 1)\)
g) \((4x^3 + 2x + 1) \div (x + 1)\)
h) \(x^3\div(x-a)\)
0464 - Respostas
a) \(5x^2+4x+2=(6x+2)\cdot\left(\frac{5x}{6}+\frac{7}{18}\right)+\frac{11}{9}\)
b) \(x^2+x-2=(x-1)\cdot(x+2)+0\)
c) \(x^2-a^2=(x-a)\cdot(x+a)+0\)
d) \(x^4-256=(x-4)\cdot(x+4)\cdot(x^2+16)+0\)
e) \(x^4-a^4=(x^3 + x^2 a + xa^2 + a^3)\cdot(x-a)+0\)
f) \(x^5+x^3-2=(x-1)\cdot(x^4+x^3+ 2x^2+2x+2)+0\)
g) \(4x^3+2x+1=(x+1)\cdot(4x^2-4x+6)-5\)
h) \(x^3=(x-a)\cdot(x^2+ax+a^2)+a^3\)
0464 - Soluções
a) Divisão por Chave para a divisão
\((5x^2 + 4x + 2) \div (6x + 2)\):\(\,\,\,\,\overbrace{\cancel{5x^2}+4x+2}^{\text{dividendo}}\quad\quad |\overbrace{\underline{6x+2}}^{\text{divisor}}\)
\(\underline{-\cancel{5x^2}-\frac{5x}{3}}\quad\quad\quad\quad \frac{5x}{6}+\frac{7}{18}\Big\}\leftarrow\text{quociente}\)
\(\quad\quad\quad\,\, \cancel{\frac{7x}{3}}+2\)
\(\quad\quad\,\,\,\underline{-\cancel{\frac{7x}{3}}-\frac{7}{9}}\)
\(\quad\quad\quad\quad\quad\frac{11}{9}\big\}\leftarrow\text{resto}\)
Portanto: \(5x^2+4x+2=(6x+2)\cdot\left(\frac{5x}{6}+\frac{7}{18}\right)+\frac{11}{9}\)
b) Algoritmo de Briot-Ruffini para
a divisão \((x^2 + x − 2) \div (x − 1)\):\(\quad\underline{1} |\underline{\,\,1\quad\,\, 1\quad -2}\)
\(\quad\,\,\,|\,\,1\quad\,\,2\quad\quad 0\)
Portanto: \(x^2+x-2=(x-1)\cdot(x+2)+0\)
c) Farotação para a divisão \((x^2 − a^2) \div (x − a)\):
\(\dfrac{(\cancel{x+a})(x-a)}{(\cancel{x-a})}=x-a\)
Portanto: \(x^2-a^2=(x-a)\cdot(x+a)+0\)
d) Fatoração para a divisão \((x^4 − 256) \div (x − 4)\):
\(\dfrac{(\cancel{x-4})\cdot(x+4)\cdot(x^2+16)}{(\cancel{x-4})}=(x+4)\cdot(x^2+16)\)
Portanto: \(x^4-256=(x-4)\cdot(x+4)\cdot(x^2+16)+0\)
e) Fatoração para a divisão
\((x^4 − a^4) \div (x^3 + x^2 a + xa^2 + a^3)\):\(\dfrac{(x^2+a^2)\cdot(x+a)\cdot(x-a)}{x^2(x+a)+a^2(x+a)}=\)
\(\dfrac{(\cancel{x^2+a^2})\cdot(\cancel{x+a})\cdot(x-a)}{(\cancel{x^2+a^2})\cdot(\cancel{x+a})}=x-a\)
Portanto: \(x^4-a^4=(x^3 + x^2 a + xa^2 + a^3)\cdot(x-a)+0\)
f) Algoritmo de Briot-Ruffini para a
divisão \((x^5 + x^3 − 2) \div (x − 1)\):\(\quad\underline{1} |\underline{\,\,1\quad\,\, 0\quad 1\quad 0\quad 0\quad -2}\)
\(\quad\,\,\,|\,\,1\quad\,\,1\quad 2\quad 2\quad 2\quad\quad\,\, 0\)
Portanto: \(x^5+x^3-2=(x-1)\cdot(x^4+x^3+ 2x^2+2x+2)+0\)
g) Algoritmo de Briot-Ruffini para a
divisão \((4x^3 + 2x + 1) \div (x + 1)\):\(\quad\underline{-1} |\underline{\,\,4\quad\,\,\,\,0\quad 2\quad\,\,\,\,\,1}\)
\(\quad\quad\,\,|\,\,4\,\,\,-4\quad 6\,\,\, -5\)
Portanto: \(4x^3+2x+1=(x+1)\cdot(4x^2-4x+6)-5\)
h) Fatoração para a divisão \(x^3\div(x-a)\):
Se \(x^3-a^3=(x-a)\cdot (x^2+ax+a^2)\)
Então: \(x^3=(x-a)\cdot(x^2+ax+a^2)+a^3\)
0463¶
De um recipiente cheio de água tiram-se \(\frac{2}{3}\) do seu conteúdo. Colocando 30 litros de água o conteúdo passa a ocupar a metade do volume inicial. Determine a capacidade do recipiente.
0463 - Resposta
\(180\) litros
0463 - Solução
Vamos chamar de "\(x\)" o valor do conteúdo total desse recipiente. Equacionando o texto dado, encontraremos a capacidade pedida; assim:
\(x-\dfrac{2x}{3}+30=\dfrac{x}{2}\to\dfrac{6x-4x+180=3x}{\cancel{6}}\to\)
\(6x-4x-3x=-180\to -x=-180\to\boxed{x=180}\)
Portanto, a capacidade do recipiente é de \(180\) litros.
0462¶
Determine o domínio e resolva as seguintes equações em \(\mathbb{R}\)
a) \(\dfrac{x}{x-2}+\dfrac{4}{x-1}=5\)
b) \(\dfrac{2}{x^2-1}-\dfrac{x}{x-1}=1\)
0462 - Respostas
| Domínio\((D)\) | Solução\((S)\) | |
|---|---|---|
| a) | \(D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\neq 1\,\,\text{e}\,\,x\neq 2\}\) | \(S=\left\{\dfrac{3}{2};\,\,3\right\}\) |
| b) | \(D=\{x\in\mathbb{R}\,/\, x\neq -1\,\,\text{e}\,\,x\neq 1\}\) | \(S=\left\{-\dfrac{3}{2}\right\}\) |
0462 - Soluções
O domínio\((D)\) de uma função são os valores de "\(x\)" que proporcionam a existência(ou não) dessas equações.
a) \(D=\{x\in\mathbb{R}\,|\,x\neq 1\,\,\text{e}\,\,x\neq 2\}\)
Solução da equação: \(\dfrac{x}{x-2}+\dfrac{4}{x-1}=5\)
\(\dfrac{x(x-1)+4(x-2)=5(x-1)(x-2)}{\cancel{(x-2)(x-1)}}\to\)
\(x^2-x+4x-8=5(x^2-3x+2)\to\)
\(x^2-5x^2-x+4x+15x-8-10=0\to\)
\(-4x^2+18x-18=0\,\,[\div(-2)]\to\)
\(2x^2-9x+9=0\to\) Fórmula Quadrática
\(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to\)
\(x=\dfrac{-(-9)\pm\sqrt{(-9)^2-4\times 2\times 9}}{2\times 2}\to\)
\(x=\dfrac{9\pm\sqrt{9}}{4}\to x=\dfrac{9\pm 3}{4}\to\)
\(x_{1}=\dfrac{9-3}{4}\to\boxed{x_{1}=\dfrac{3}{2}}\)
\(x_{2}=\dfrac{9+3}{4}\to\boxed{x_{2}=3}\)
Portanto, a solução\((S)\) será: \(S=\left\{\dfrac{3}{2};\,\,3\right\}\)
b) \(D=\{x\in\mathbb{R}\,|\, x\neq -1\,\,\text{e}\,\,x\neq 1\}\)
Solução da equação: \(\dfrac{2}{x^2-1}-\dfrac{x}{x-1}=1\)
\(\dfrac{2-x(x+1)=1(x^2-1)}{\cancel{x^2-1}}\to\)
\(2-x^2-x-x^2+1=0\to -2x^2-x+3=0\,\,[\div(-1)]\to\)
\(2x^2+x-3=0\to\) Fórmula Quadrática
\(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to\)
\(x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\times 2\times 3}}{2\times 2}\to\)
\(x=\dfrac{-1\pm \sqrt{25}}{4}\to x=\dfrac{-1\pm 5}{4}\to\)
\(x_{1}=\dfrac{-1+5}{4}\to \cancel{x_{1}=-1}\quad\) Não serve, pois \(-1\not\in\,\,D\)
\(x_{2}=\dfrac{-1-5}{4}\to\boxed{x_{2}=-\dfrac{3}{2}}\)
Portanto, a solução\((S)\) será: \(S=\left\{-\dfrac{3}{2}\right\}\)
0461¶
Determine o domínio e resolva as seguintes equações em \(\mathbb{Z}\)
a) \(\dfrac{x+1}{x-1}+\dfrac{4-x}{x}=4\)
b) \(\dfrac{2}{x(x-2)}=1+\dfrac{x-1}{x-2}\)
0461 - Respostas
| Domínio\((D)\) | Solução\((S)\) | |
|---|---|---|
| a) | \(D=\{x\in\mathbb{Z}\,/\,x\neq 0\,\,\text{e}\,\,x\neq 1\}\) | \(S=\left\{3\right\}\) |
| b) | \(D=\{x\in\mathbb{Z}\,/\,x\neq 0\,\,\text{e}\,\,x\neq 2\}\) | \(S=\left\{\varnothing\right\}\) |
0461 - Soluções
O domínio\((D)\) de uma função são os valores de "\(x\)" que proporcionam a existência(ou não) dessas equações.
a) \(D=\{x\in\mathbb{Z}\,/\,x\neq 0\,\,\text{e}\,\,x\neq 1\}\)
Solução da equação: \(\dfrac{x+1}{x-1}+\dfrac{4-x}{x}=4\)
\(\dfrac{x(x+1)+(4-x)(x-1)=4x(x-1)}{\cancel{x(x-1)}}\to\)
\(\cancel{x^2}+x+4x-4-\cancel{x^2}+x-4x^2+4x=0\to\)
\(-4x^2+10x-4=0\,\,[\div(-2)]\to\)
\(2x^2-5x+2=0\to\) Fórmula Quadrática
\(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to\)
\(x=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\times 2\times 2}}{2\times 2}\to\)
\(x=\dfrac{5\pm\sqrt{9}}{4}\to x=\dfrac{5\pm3}{4}\to\)
\(x_{1}=\dfrac{5-3}{4}\to \cancel{x_{1}=\dfrac{1}{2}}\quad\) Não serve, pois \(\dfrac{1}{2}\not\in\mathbb{Z}\)
\(x_{2}=\dfrac{5+3}{4}\to\boxed{x_{2}=2}\)
Portanto, a solução\((S)\) será: \(S=\{2\}\)
b) \(D=\{x\in\mathbb{Z}\,/\,x\neq 0\,\,\text{e}\,\,x\neq 2\}\)
Solução da equação: \(\dfrac{2}{x(x-2)}=1+\dfrac{x-1}{x-2}\)
\(\dfrac{2=x(x-2)+x(x-1)}{\cancel{x(x-2)}}\to\)
\(2=x^2-2x+x^2-x\to\)
\(2x^2-3x-2=0\to\) Fórmula Quadrática
\(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to\)
\(x=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4\times 2\times (-2)}}{2\times 2}\to\)
\(x=\dfrac{3\pm\sqrt{25}}{4}\to x=\dfrac{3\pm 5}{4}\to\)
\(x_{1}=\dfrac{3-5}{4}\to \cancel{x=-\dfrac{1}{2}}\quad\) Não serve, pois \(-\dfrac{1}{2}\not\in\mathbb{Z}\)
\(x_{2}=\dfrac{3+5}{4}\to \cancel{x=2}\quad\) Não serve, pois \(2\not\in\,\,D\)
Portanto, a solução\((S)\) será: \(S=\varnothing\)
0460¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a equação:
\(\dfrac{2}{x^2-1}+\dfrac{1}{x+1}=-1\)
0460 - Resposta
\(S=\{0\}\)
0460 - Solução
Observe que o domínio\((D)\) dessa equação é: \(D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\neq -1\,\,\text{e}\,\,x\neq 1\}\)
\(\dfrac{2+x-1=-(x^2-1)}{\cancel{x^2-1}}\to\)
\(x^2+x=0\) ou \(x(x+1)=0\quad\) Duas possibilidades:
\(\boxed{x=0}\) ou
\(\cancel{x=-1}\quad\) Não serve, pois \(-1\not\in\,\,D\)
Portanto, a solução\((S)\), será: \(S=\{0\}\)
0459¶
Determine o domínio e resolva as seguintes equações em \(\mathbb{R}\)
a) \(\sqrt{x}=2x\)
b) \(\sqrt{x}=-2x\)
c) \(\sqrt{3-x}=x-3\)
d) \(\sqrt{x+1}=8-\sqrt{3x+1}\)
e) \(1+\sqrt{3x+5}=x\)
f) \(\sqrt{4x-3}+\sqrt{5x-1}=\sqrt{15x+4}\)
g) \(\sqrt[3]{x+34}-\sqrt[3]{x-3}=1\)
0459 - Soluções
O domínio\((D)\) são os valores de "\(x\)" que proporcionam a existência(ou não) dessas equações irracionais. Importante lembrar, também, que as soluções desses tipos de equações devem ser testadas (o que chamamos de teste de verificação), para termos uma maior segurança ao definirmos o conjunto solução. Posto isto, vamos às soluções:
a) \(D=\{x\in\mathbb{R}\,\,/\,\,x\geqslant 0\}\)
Solução da equação: \(\sqrt{x}=2x\)
\(\left(\sqrt{x}\right)^2=(2x)^2\to x=4x^2\to\)
\(4x^2-x=0\) ou \(x(4x-1)=0\to\)
Duas possibilidades:
\(\boxed{x=0}\) ou
\(4x-1=0\to \boxed{x=\dfrac{1}{4}}\)
Portanto, a solução\((S)\), será: \(S=\left\{0;\,\,\dfrac{1}{4}\right\}\)
b) \(D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\geqslant 0\}\)
Solução da equação: \(\sqrt{x}=-2x\)
\(\left(\sqrt{x}\right)^2=(-2x)^2\)
\(4x^2-x=0\) ou \(x(4x-1)=0\)
Duas possibilidades:
\(\boxed{x=0}\) ou
\(4x-1=0\to \cancel{x=\dfrac{1}{4}}\quad\) Não serve, pois este valor não é válido no teste de verificação.
Portanto, a solução\((S)\), será: \(S=\{0\}\)
c) \(D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\leqslant 3\}\)
Solução da equação: \(\sqrt{3-x}=x-3\)
\(\left(\sqrt{3-x}\right)^2=(x-3)^2\to\)
\(3-x=x^2-6x+9\to\)
\(x^2-5x+6=0\to\quad\) Fórmula Quadrática
\(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to\)
\(x=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\times 1\times 6}}{2\times 1}\to\)
\(x=\dfrac{5\pm\sqrt{1}}{2}\to x=\dfrac{5\pm 1}{2}\)
\(x_{1}=\dfrac{5+1}{2}\to\boxed{x=3}\)
\(x_{2}=\dfrac{5-1}{2}\to \cancel{x=2}\quad\) Não serve, pois \(2\) não é válido no teste de verificação.
Portanto, a solução\((S)\), será: \(S=\{3\}\)
d) \(D=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\geqslant-\dfrac{1}{3}\right\}\)
Solução da equação: \(\sqrt{x+1}=8-\sqrt{3x+1}\)
\(\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{3x+1}\right)=8^2\to\)
\(x+1+2\sqrt{(x+1)\cdot(3x+1)}+3x+1=64\to\)
\(\left(\sqrt{(x+1)\cdot(3x+1)}\right)^2=(31-2x)^2\to\)
\((x+1)\cdot(3x+1)=961-124x+4x^2\to\)
\(3x^2+4x+1=961-124x+4x^2\to\)
\(x^2-128x+960=0\quad\) Fórmula Quadrática
\(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to\)
\(x=\dfrac{128\pm\sqrt{16384-3840}}{2}\to\)
\(x=\dfrac{128\pm\sqrt{12544}}{2}\to x=\dfrac{128\pm 112}{2}\to\)
\(x_{1}=\dfrac{128-112}{2}\to\boxed{x=8}\)
\(x_{2}=\dfrac{128+112}{2}\to \cancel{x=120}\quad\) Não serve, pois \(120\) não é válido no teste de verificação.
Portanto, a solução\((S)\), será: \(S=\{8\}\)
e) \(D=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\geqslant -\dfrac{5}{3}\right\}\)
Solução da equação: \(1+\sqrt{3x+5}=x\)
\(\left(\sqrt{3x+5}\right)^2=(x-1)^2\to\)
\(3x+5=x^2-2x+1\to\)
\(x^2-5x-4=0\quad\) Fórmula Quadrática
\(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to\)
\(x=\dfrac{5\pm\sqrt{25+16}}{2}\to x=\dfrac{5\pm\sqrt{41}}{2}\to\)
\(x_{1}\approx \dfrac{5-6,4}{2}\to \cancel{x\approx -0,7}\quad\) Não serve, pois \(-0,7\) não é válido no teste de verificação.
\(\boxed{x_{2}=\dfrac{5+\sqrt{41}}{2}}\)
Portanto, a solução\((S)\) será: \(S=\left\{\dfrac{5+\sqrt{41}}{2}\right\}\)
f) O domínio\((D)\) será a intersecção de: \(x\geqslant\dfrac{3}{4},\quad\) \(x\geqslant \dfrac{1}{5}\quad\) e \(x\geqslant-\dfrac{4}{15}\), portanto
\(D=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\geqslant\dfrac{3}{4}\right\}\)
Solução da equação: \(\sqrt{4x-3}+\sqrt{5x-1}=\sqrt{15x+4}\)
\(\left(\sqrt{4x-3}+\sqrt{5x-1}\right)^2=\left(\sqrt{15x+4}\right)^2\to\)
\(4x-3+2\cdot\sqrt{(4x-3)+(5x-1)}+5x-1=15x+4\to\)
\(\left(\sqrt{(4x-3)+(5x-1)}\right)^2=(3x+4)^2\to\)
\(20x^2-19x+3-9x^2-24x-16=0\to\)
\(11x^2-43x-13=0\quad\) Fórmula Quadrática
\(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to\)
\(x=\dfrac{43\pm\sqrt{1849+572}}{22}\to\)
\(x=\dfrac{43\pm\sqrt{2421}}{22}\to x=\dfrac{43\pm3\sqrt{269}}{22}\to\)
\(x_{1}\approx \dfrac{43-49,2}{22}\to \cancel{x_{1}\approx -0,2\overline{81}}\), pois este valor não pertence ao conjunto domínio.
\(\boxed{x_{2}=\dfrac{43+3\sqrt{269}}{22}}\)
Portanto, a solução\((S)\), será: \(S=\left\{\dfrac{43+3\sqrt{269}}{22}\right\}\)
g) \(D=R\)
Solução da equação: \(\sqrt[3]{x+34}-\sqrt[3]{x-3}=1\)
\(\left(\sqrt[3]{x+34}\right)^3=\left(\sqrt[3]{x-3}+1\right)^3\to\)
\(\cancel{x}+34=\cancel{x}-3+3\cdot\left(\sqrt[3]{x-3}\right)^2\cdot 1+3\cdot\left(\sqrt[3]{x-3}\right)\cdot 1^2+1^3\to\)
\(36=3\cdot\left[\left(\sqrt[3]{x-3}\right)^2+\left(\sqrt[3]{x-3}\right)\right]\to\)
\(12=\left[\left(\sqrt[3]{x-3}\right)^2+\left(\sqrt[3]{x-3}\right)\right]\to\)
Incógnita auxiliar: \(a=\left(\sqrt[3]{x-3}\right)\)
\(12=a^2+a\to a^2+a-12=0\quad\) Fórmula Quadrática
\(a=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to\)
\(a=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+48}}{2}\to a=\dfrac{-1\pm 7}{2}\)
\(a_{1}=\dfrac{-1-7}{2}\to a_{1}=-4\)
\(a_{2}=\dfrac{-1+7}{2}\to a_{2}=3\)
Voltando à incógnita principal, onde \(a=\left(\sqrt[3]{x-3}\right)\)
Para \(a=-4\,\,\):
\((-4)^3=\left(\sqrt[3]{x-3}\right)^3\to -64=x-3\to\boxed{x=-61}\)
Para \(a=3\,\,\):
\(3^3=\left(\sqrt[3]{x-3}\right)^3\to 27=x-3\to\boxed{x=30}\)
Portanto, a solução\((S)\), será: \(S=\{-61;\,\,30\}\)
0458¶
Obtenha a soma das raízes da equação \(\sqrt{3x-2}=\sqrt{x}+2\)
0458 - Resposta
\(S=7\)
0458 - Solução
Antes de resolver, vamos observar o conjunto domínio\((D)\) para essa equação, que será dado pela intersecção de \(x\geqslant\dfrac{2}{3}\quad\) e \(\quad x\geqslant 0\), dentro do conjunto dos números reais. Assim,
\(D=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\geqslant \dfrac{2}{3}\right\}\)
Vamos à solução:
\(\left(\sqrt{3x-2}\right)^2=\left(\sqrt{x}+2\right)^2\to\)
\(3x-2=x+2\cdot\sqrt{x}+4\to\)
\((x-3)^2=\left(\sqrt{x}\right)^2\to\)
\(x^2-6x+9=x\to x^2-7x+9=0\quad\) Fórmula Quadrática
\(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\)
\(x=\dfrac{7\pm\sqrt{49-36}}{2}\to x=\dfrac{7\pm\sqrt{13}}{2}\)
Dessa forma, a soma\((S)\) das raízes será:
\(S= \dfrac{7}{2}-\cancel{\dfrac{\sqrt{13}}{2}}+\dfrac{7}{2}+\cancel{\dfrac{\sqrt{13}}{2}}\to\boxed{S=7}\)
Observação:
A soma\((S)\) das raízes de uma equação quadrática genérica \(ax^2+bx+c=0\) é dada pela relação:
\(\boxed{S=-\dfrac{b}{a}}\) Portanto, poderíamos utilizá-la, assim:
\(S=-\dfrac{(-7)}{1}\to\boxed{S=7}\)
0457¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), as equações abaixo, usando as substituições indicadas. Observe o domínio de cada variável e teste as soluções encontradas.
| Equações | Incógnitas Auxiliares |
|---|---|
| a) \(x^4-10x^2=-21\) | [\(u=x^2]\) |
| b) \(x^4-4x^2=21\) | \([u=x^2]\) |
| c) \(x-4\sqrt{x}=-3\) | \([u=\sqrt{x}]\) |
| d) \(2x+3=7\sqrt{x}\) | \([u=\sqrt{x}]\) |
| e) \(x=6-\sqrt{x}\) | \([u=\sqrt{x}]\) |
| f) \(2x^{2/3}-5x^{1/3}-3=0\) | \([u=x^{1/3}]\) |
0457 - Soluções
a) \(u^2-10u+21=0\quad\) Fórmula Quadrática
\(u=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\)
\(u=\dfrac{10\pm\sqrt{100-84}}{2}\to\)
\(u=\dfrac{10\pm\sqrt{16}}{2}\to u=\dfrac{10\pm4}{2}\to\)
\(u_{1}=\dfrac{10-4}{2}\to u_{1}=3\)
\(u_{2}=\dfrac{10+4}{2}\to u_{2}=7\)
Voltando à incógnita principal onde \(u=x^2\)
Para \(u=3\)
\(x^2=3\to x=-\sqrt{3}\) ou \(x=\sqrt{3}\)
Para \(u=7\)
\(x^2=7\to x=-\sqrt{7}\) ou \(x=\sqrt{7}\)
Portanto, a solução\((S)\), será: \(S=\{-\sqrt{7};\,-\sqrt{7};\,\sqrt{3};\,\sqrt{7}\}\)
b) \(u^2-4u-21=0\quad\) Fórmula Quadrática
\(u=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\)
\(u=\dfrac{4\pm\sqrt{16+84}}{2}\to\)
\(u=\dfrac{4\pm\sqrt{100}}{2}\to u=\dfrac{4\pm 10}{2}\to\)
\(u_{1}=\dfrac{4-10}{2}\to u_{1}=-3\)
\(u_{2}=\dfrac{4+10}{2}\to u_{2}=7\)
Voltando à incógnita principal, onde \(u=x^2\)
Para \(u=-3\to x=\pm\sqrt{-3}\,\not\in\mathbb{R}\)
Para \(u=7\)
\(x^2=7\to x=-\sqrt{7}\) ou \(x=\sqrt{7}\)
Portanto, a solução\((S)\), será: \(S=\{-\sqrt{7};\,\,\sqrt{7}\}\)
c) \(u^2-4u+3=0\quad\) Fórmula Quadrática
\(u=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\)
\(u=\dfrac{4\pm\sqrt{16-12}}{2}\to u=\dfrac{4\pm 2}{2}\)
\(u_{1}=1,\quad u_{2}=3\)
Voltando à incógnita principal, onde \(u=\sqrt{x}\)
Para \(u=1\)
\(\sqrt{x}=1\to\boxed{x=1}\)
Para \(u=3\)
\(\sqrt{x}=3\to\boxed{x=9}\)
Portanto, a solução\((S)\), será: \(S=\{1;\,\,9\}\)
d) \(2u^2-7u+3=0\quad\) Fórmula Quadrática
\(u=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\)
\(u=\dfrac{7\pm\sqrt{49-24}}{4}\to u=\dfrac{7\pm 5}{4}\to\)
\(u_{1}=\dfrac{7-5}{4}\to u_{1}=\dfrac{1}{2}\)
\(u_{1}=\dfrac{7+5}{4}\to u_{2}=3\)
Voltando à incógnita principal, onde \(u=\sqrt{x}\)
Para \(u=\dfrac{1}{2}\)
\(\sqrt{x}=\dfrac{1}{2}\to\boxed{x=\dfrac{1}{4}}\)
Para \(u=3\)
\(\sqrt{x}=3\to\boxed{x=9}\)
Portanto, a solução\((S)\), será: \(S=\left\{\dfrac{1}{4};\,\,9\right\}\)
e) \(u^2+u-6=0\quad\) Fórmula Quadrática
\(u=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\)
\(u=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+24}}{2}\to u=\dfrac{-1\pm 5}{2}\)
\(u_{1}=-3,\quad u_{2}=2\)
Voltando à incógnita principal, onde \(u=\sqrt{x}\)
Para \(u=-3\)
\(\sqrt{x}=-3\to \cancel{x=9}\quad\) Não serve, pois \(9\) não é válido no teste de verificação.
Para \(u=2\)
\(\sqrt{2}=2\to\boxed{x=4}\)
Portanto, a solução\((S)\), será: \(S=\{4\}\)
f) \(2u^2-5u-3=0\quad\) Fórmula Quadrática
\(u=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\)
\(u=\dfrac{5\pm\sqrt{25+24}}{4}\to u=\dfrac{5\pm 7}{4}\to\)
\(u_{1}=-\dfrac{1}{2},\quad u_{2}=3\)
Voltando à incógnita principal, onde \(u=x^{1/3}\)
Para \(u=-\dfrac{1}{2}\)
\(\left(x^{\frac 13}\right)^3=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^3\to \boxed{x=-\dfrac{1}{8}}\)
Para \(u=3\)
\(\left(x^{\frac 13}\right)^3=3^3\to\boxed{x=27}\)
Portanto, a solução\((S)\), será: \(S=\left(-\dfrac{1}{8};\,\,27\right)\)
0456¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), as seguintes...
| ...equações: | |
|---|---|
| a) \(20x-4=5x\) | b) \(5(1-x)-2x+1=-3(2+x)\) |
| c) \(4x=-8x+36\) | d) \(2+3[x-(3x+1)]=5[x-(2x-1)]\) |
| e) \(4(x-3)=2x-5\) | f) \(1-2x=\dfrac{x}{3}-\dfrac{x}{2}\) |
| g) \(\dfrac{3(x-1)-2x}{5}=\dfrac{5(x-3)}{6}\) | h) \(\dfrac{2x+5}{3x}=\dfrac{1}{4}\) |
0456 - Respostas das ...
...equações: a) \(\dfrac{4}{15}\) b) \(3\) c) \(3\) d) \(-6\) e) \(\dfrac{7}{2}\) f) \(\dfrac{6}{11}\) g) \(3\) h) \(-4\)
0456 - Soluções
a) \(20x-4=5x\to\)
\(20x-5x=4\to\boxed{x=\dfrac{4}{15}}\)
b) \(5(1-x)-2x+1=-3(2+x)\to\)
\(5-5x-2x+1=-6-3x\to\)
\(-4x=-12\to\boxed{x=3}\)
c) \(4x=-8x+36\to\)
\(4x+8x=36\to\boxed{x=3}\)
d) \(2+3[x-(3x+1)]=5[x-(2x-1)]\to\)
\(2+3(-2x-1)=5(-x+1)\to\)
\(2-6x-3=-5x+5\to -6x+5x=5+3-2\to\)
\(-x=6\to\boxed{x=-6}\)
e) \(4(x-3)=2x-5\to\)
\(4x-12=2x-5\to 4x-2x=-5+12\to\)
\(2x=7\to\boxed{x=\dfrac{7}{2}}\)
f) \(1-2x=\dfrac{x}{3}-\dfrac{x}{2}\to\)
\(\dfrac{6-12x=2x-3x}{\cancel{6}}\to\)
\(-11x=-6\to\boxed{x=\dfrac{6}{11}}\)
g) \(\dfrac{3(x-1)-2x}{5}=\dfrac{5(x-3)}{6}\to\)
\(\dfrac{6x-18=25x-75}{\cancel{30}}\to\)
\(-19x=-57\to\boxed{x=3}\)
h) \(\dfrac{2x+5}{3x}=\dfrac{1}{4}\to\)
\(\dfrac{4(2x+5)=3x}{\cancel{12x}};\,\,\forall x\in\mathbb{R}-\{0\}\to\)
\(5x=-20\to\boxed{x=-4}\)
0455¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), as equações:
a) \(7x-3=x+5-2x\)
b) \(2x^2-8=10\)
c) \(x^3+1=-7\)
0455 - Respostas
a) \(x=1\quad\)
b) \(x=-3\,\,\) ou \(\,\,x=3\)
c) \(x=-2\)
0455 - Soluções
a) \(7x-3=x+5-2x\to 8x=8\to\boxed{x=1}\)
b) \(2x^2-8=10\to x^2=9\to \boxed{x=-3\,\text{ou}\,x=3}\)
c) \(x^3+1=-7\to x^3=-8\to x=\sqrt[3]{-8}\to\boxed{x=-2}\)
0454¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte inequação:
\(4-x<3-2x\)
0454 - Resposta
\(S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x<-1\right\}\)
0454 - Solução
Vamos resolver a inequação:
\(-x+2x<3-4\to x+1<0\to x<-1\)
Observe o gráfico da função \(y=x+1\)
Portanto, a solução\((S)\), será: \(\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x<-1\right\}}\)
0453¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte inequação:
\(5-x^2<8\).
0453 - Resposta
\(S=\left\{x\in\mathbb{R}\right\}\)
0453 - Solução
Vamos desenvolver a inequação:
\(-x^2-3<0\) ou \(x^2+3>0\) (Não há raízes reais)
Entretanto, observe o gráfico da função \(y=x^2+3\):
Portanto, a solução\((S)\), será: \(\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\right\}}\)
0452¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte inequação:
\(5-x^2<-2\)
0452 - Resposta
\(S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\, x<-\sqrt{7}\,\,\text{ou}\,\,x>\sqrt{7}\right\}\)
0452 - Solução
Vamos desenvolver a inequação:
\(5-x^2<-2\to -x^2+7<0\).
Resolvendo a equação \(-x^2+7=0\), encontraremos:
\(x_{1}=-\sqrt{7}\) e \(x_{2}=\sqrt{7}\)
Observe o gráfico da função \(y=-x^2+7\):
Portanto, a solução\((S)\), será: \(\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\, x<-\sqrt{7}\,\,\text{ou}\,\,x>\sqrt{7}\right\}}\)
0451¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte inequação:
\((x-1)(x-3)\geqslant 0\)
0451 - Resposta
\(S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\leqslant 1\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 3\right\}\)
0451 - Solução
Observe o quadro de sinais:
Portanto, a solução\((S)\), será: \(\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\leqslant 1\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 3\right\}}\)