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0475

Determine a equação geral da circunferência $\lambda$, que se encontra no 2° quadrante, tangencia os eixos coordenados e tem raio$(R)$ igual a 3.

0475 - Resposta

$\lambda: x^2+y^2+6x-6y+9=0$

0475 - Solução

Pelas informações, temos o centro em $C(-3;\,3)$ e, além disso, $R=3$

Assim, a equação reduzida será: $\lambda: (x+3)^2+(y-3)^2=9$

Para encontrarmos a equação geral, basta desenvolver a equação reduzida, agrupando os termos semelhantes e igualando todas as parcelas a zero; assim:

$\lambda: x^2+6x+9+y^2-6y+9-9=0\to$

$\boxed{\lambda: x^2+y^2+6x-6y+9=0}$ (resposta final)

0474

Calcule:

a) $\dfrac{0,3-\frac{1}{4}}{\sqrt[5]{-1}}+0,036\div 0,04$

b) $\sqrt[3]{\dfrac{2^{28}+2^{30}}{10}}$

c) $\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}+\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$

0474 - Respostas

a) $0,85\quad$ b) $2^9\quad$ c) $4$

0474 - Soluções

a) $\dfrac{0,05}{-1}+0,9\to -0,05+0,9=0,85$

$\sqrt[3]{\dfrac{2^{28}\,.\,(1+4)}{10}}\to\sqrt[\cancel{3}]{\dfrac{(2^9)^{\cancel{3}}\,.\,\cancel{2}\,.\,\cancel{5}}{\cancel{10}^{\,\,\cancel{2}}}}=2^9$

c) $\dfrac{(\sqrt{3}+1)^2+(\sqrt{3}-1)^2}{2}=\dfrac{\cancel{2}(2+\cancel{\sqrt{3}}+2-\cancel{\sqrt{3}})}{\cancel{2}}=4$

0473

Em cada cado, expresse $\dfrac{1}{u}$, em função de "$v$"

a) $u=v^{-1}$

b) $u=\dfrac{1}{\frac{v+1}{2}}$

c) $u=2+\dfrac{1}{v}$

d) $u=\dfrac{1}{v}+\dfrac{1}{2}$

0473 - Respostas

a) $v\quad$ b) $\dfrac{v+1}{2}\quad$ c) $\dfrac{v}{2v+1}\quad$ d) $\dfrac{2v}{v+2}$

0473 - Soluções

a) $u=v^{-1}\quad\underrightarrow{\frac{1}{v}}\quad\dfrac{1}{u}=\dfrac{1}{v^{-1}}=v$

b) $u=\dfrac{1}{\frac{v+1}{2}}\quad\underrightarrow{\frac{1}{v}}\quad\dfrac{1}{u}=\dfrac{v+1}{2}$

c) $u=2+\dfrac{1}{v}\quad\underrightarrow{\frac{1}{v}}\quad\dfrac{1}{u}=\dfrac{v}{2v+1}$

d) $u=\dfrac{1}{v}+\dfrac{1}{2}\quad\underrightarrow{\frac{1}{v}}\quad\dfrac{1}{u}=\dfrac{2v}{v+2}$

0472

Desenvolva

a) $(3a + 2b)^2$

b) $(3a + 2b)^3$

c) $(3a − 2b)^3$

d) $(x^2 − 1)\cdot(x^2 + 1)$

e) $[(x − y) + 1]\cdot[(x − y) − 1]$

f) $(a + b + c)^2$

0472 - Soluções

a) $(3a + 2b)^2=9a^2+12ab+4b^2$

b) $(3a + 2b)^3=27a^3+54a^2b+36ab^2+8b^3$

c) $(3a − 2b)^3=27a^3-54a^2b+36ab^2-8b^3$

d) $(x^2 − 1)\cdot(x^2 + 1)=x^4-1$

e) $[(x − y) + 1]\cdot[(x − y) − 1]=(x-y)^2-1=x^2-2xy+y^2-1$

f) $(a + b + c)^2=[(a+b)+c]^2=$

$\quad a^2+2ab+b^2+2\cdot(a+b)\cdot c+c^2=$

$\quad a^2+ b^2+ c^2+2ab+2ac+2bc$

0471

Mostre que

a) $(x+y)^2=x^2+ y^2$ se e somente se $x=0\,\,$ ou $\,\,y=0$

b) $(x+y)^3=x^3+y^3$ se e somente se $x=0\,\,$ ou $\,\, y=0\,\,$ ou $\,\, x=-y$

0471 - Soluções

a) $\,\,(x+y)^2-x^2-y^2=0\to$

$\quad\cancel{x^2}-\cancel{x^2}+\cancel{y^2}-\cancel{y^2}+\underbrace{2xy=0}\to$

$\quad 2xy=0\to\boxed{x=0}\,\,\text{ou}\,\,\boxed{y=0}$

b) $(x+y)^3-x^3-y^3=0\to$

$\quad \cancel{x^3}-\cancel{x^3}+\cancel{y^3}-\cancel{y^3}+\underbrace{3x^2y+3xy^2=0}\to$

$\quad 3xy(x+y)=0\to\boxed{x=0}\,\,$ ou $\,\,\boxed{y=0}\,\,$ ou $\,\,\boxed{x=-y}$

0470

Fatore

a) $4y^2-16$

b) $(x+b)^2-a^2$

c) $a^2x + b^2y + a^2y + b^2x$

d) $2x^2-x+4xy-2y$

e) $x^2-a^2-2ab-b^2$

f) $x^2-6x+9-y^2$

g) $x^3+\dfrac{1}{x^3}$

h) $x^6+1$

0470 - Soluções

a) $4y^2-16=4(y^2-4)=4(y-2)(2y+2)$

---

b) $(x+b)^2-a^2=(x+b-a)(x+b+a)$

---

c) $a^2x + b^2y + a^2y + b^2x=$

$\quad a^2(x+y)+b^2(x+y)=$

$\quad (a^2+b^2)(x+y)$

---

d) $2x^2-x+4xy-2y=$

$\quad 2x(x+2y)-(x+2y)=$

$\quad (x+2y)(2x-1)$

---

e) $x^2-a^2-2ab-b^2=x^2-(a+b)^2=$

$\quad (x-a-b)(x+a+b)$

---

f) $x^2-6x+9-y^2=(x-3)^2-y^2=$

$\quad (x-y-3)(x+y-3)$

---

g) $x^3+\dfrac{1}{x^3}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\left(x^2-1+\dfrac{1}{x^2}\right)$

---

h) $x^6+1=(x^2)^3+\dfrac{1}{1^3}=$

$\quad(x^2+1)(x^4-x^2+1)$

0469

Simplifique as expressões

a) $\dfrac{2(x-2)(x-3)^3-3(x-2)^2(x-3)^2}{(x-3)^6}$

b) $\dfrac{x^2+1}{x^2-1}-\dfrac{1}{x-1}$

0469 - Respostas

a) $\dfrac{x(2-x)}{(x-3)^4}\quad$ b) $\dfrac{x}{x+1}$

0469 - Soluções

a) $\dfrac{2(x-2)(x-3)^3-3(x-2)^2(x-3)^2}{(x-3)^6}=$

$\quad \dfrac{[(x-2)(x-3)^2]\cdot[2(x-3)-3(x-2)]}{(x-3)^6}=$

$\quad\dfrac{[(x-2)(x-3)^2]\cdot(\overbrace{2x-6-3x-6)}^{-x}}{(x-3)^6}=$

$\quad\dfrac{-x(x-2)\cancel{(x-3)^2}}{(x-3)^{\cancel{6}}}=\dfrac{x(2-x)}{(x-3)^4}$

---

b) $\dfrac{x^2+1}{x^2-1}-\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x^2+1-(x+1)}{(x-1)(x+1)}=$

$\quad\dfrac{x^2-x}{x^2-1}=\dfrac{x\cancel{(x-1)}}{(x+1)\cancel{(x-1)}}=\dfrac{x}{x+1}$

0468

Sabendo que $a+\dfrac{1}{a}=b$, determine, em função de "$b$"

a) $a^2+\dfrac{1}{a^2}$

b) $a^3+\dfrac{1}{a^3}$

c) $a^4+\dfrac{1}{a^4}$

0468 - Respostas

a) $b^2-2\quad$ b) $b^3-3b\quad$ c) $b^4-4b^2+2$

0468 - Soluções

a) Façamos $\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2=b^2\to$

$\quad a^2+\dfrac{1}{a^2}+2=b^2\to$

$\quad a^2+\dfrac{1}{a^2}=b^2-2$

---

b) Façamos $\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^3=b^3\to$

$\quad \left(a^3+3a+\dfrac{3}{a}+\dfrac{1}{a^3}\right)=b^3\to$

$\quad a^3+\dfrac{1}{a^3}+\underbrace{3\left(a+\dfrac{1}{a}\right)}_{3b}=b^3\to$

$\quad a^3+\dfrac{1}{a^3}=b^3-3b$

---

c) Utilizando Binômio de Newton, vamos desenvolver:

$\quad\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^4=b^4\to$

$a^4+\dfrac{1}{a^4}+4a^2+\dfrac{4}{a^2}+6=b^4\to$

$\quad a^4+\dfrac{1}{a^4}+4\underbrace{\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}\right)}_{b^2-2}=b^4-6\to$

$\quad a^4+\dfrac{1}{a^4}=b^4-6-4(b^2-2)\to$

$\quad a^4+\dfrac{1}{a^4}=b^4-4b^2+2$

0467

Escreva cada expressão usando apenas um radical e simplifique

a) $\sqrt{\sqrt{x}}$

b) $\sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}}$

c) $\sqrt{\sqrt[3]{25x}}$

d) $\sqrt{x}\cdot\sqrt[3]{x}$

e) $\dfrac{\sqrt[5]{xy}}{\sqrt[3]{xy}}$

f) $\dfrac{\sqrt[5]{xy}}{\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt{y}}$

0467 - Soluções

a) $\sqrt{\sqrt{x}}=\sqrt[2\times 2]{x}=\sqrt[4]{x}$

---

b) $\sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}}=\sqrt[8]{x}$

---

c) $\sqrt{\sqrt[3]{25x}}=\sqrt[3]{5\sqrt{x}}=$

$\quad\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[6]{x}$

---

d) $\sqrt{x}\cdot\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{1}{3}}=$

$\quad x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=x^{\frac{5}{6}}=\sqrt[6]{x^5}$

---

e) $\dfrac{\sqrt[5]{xy}}{\sqrt[3]{xy}}=\dfrac{x^{\frac{1}{5}}\cdot y^{\frac{1}{5}}}{x^{\frac{1}{3}}\cdot y^{\frac{1}{3}}}=$

$\quad x^{\frac{1}{5}-\frac{1}{3}}\cdot y^{\frac{1}{5}-\frac{1}{3}}=x^{-\frac{2}{15}}\cdot y^{-\frac{2}{15}}=$

$\quad \dfrac{1}{x^{\frac{2}{15}}\cdot y^{\frac{2}{15}}}=\dfrac{1}{\sqrt[15]{x^2y^2}}$

---

f) $\dfrac{\sqrt[5]{xy}}{\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt{y}}=\dfrac{x^{\frac{1}{5}}\cdot y^{\frac{1}{5}}}{x^{\frac{1}{3}}\cdot y^{\frac{1}{2}}}=$

$\quad x^{\frac{1}{5}-\frac{1}{3}}\cdot y^{\frac{1}{5}-\frac{1}{2}}=x^{-\frac{2}{15}}\cdot y^{-\frac{3}{10}}=$

$\quad \dfrac{1}{x^{\frac{2}{15}}\cdot y^{\frac{3}{10}}}=\dfrac{1}{\sqrt[15]{x^2}\cdot\sqrt[10]{y^3}}$

0466

Simplifique as expressões $($em que $a,\,b\,>\,0)$

a) $\dfrac{a^{\frac{3}{5}}\cdot a^{\frac{2}{7}}}{a^{\frac{1}{3}}}$

b) $\dfrac{a^{\frac{2}{5}}\cdot b^{\frac{3}{4}}\cdot(3a)^2}{b^{\frac{3}{5}}\cdot a^{\frac{1}{3}}}$

c) $\dfrac{\left(a^9\cdot b^6\right)^{-\frac{1}{3}}}{\left(a^6\cdot b^4\right)^{-\frac{1}{2}}}$

d) $\dfrac{\left(a^2\cdot b^4\right)^{\frac{1}{2}}}{\left(81a^6\cdot b^9\right)^{\frac{1}{3}}}$

0466 - Respostas

a) $a^{\frac{58}{105}}\quad$ b) $9\cdot a^{\frac{31}{15}}\cdot b^{\frac{3}{20}}\quad$ c) $1\quad$ c) $\dfrac{1}{3\sqrt[3]{3}\cdot a\cdot b}$

0466 - Soluções

a) $\dfrac{a^{\frac{3}{5}}\cdot a^{\frac{2}{7}}}{a^{\frac{1}{3}}}=a^{\frac{3}{5}}\cdot a^{\frac{2}{7}}\cdot a^{-\frac{1}{3}}=$

$\quad a^{\frac{3}{5}+\frac{2}{7}-\frac{1}{3}}=a^{\frac{63+30-35}{105}}=a^{\frac{58}{105}}$

---

b) $\dfrac{a^{\frac{2}{5}}\cdot b^{\frac{3}{4}}\cdot(3a)^2}{b^{\frac{3}{5}}\cdot a^{\frac{1}{3}}}=a^{\frac{2}{5}}\cdot b^{\frac{3}{4}}\cdot 9a^2\cdot b^{-\frac{3}{5}}\cdot a^{-\frac{1}{3}}=$

$\quad 9\cdot a^{\frac{2}{5}+2-\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{3}{4}-\frac{3}{5}}=9\cdot a^{\frac{31}{15}}\cdot b^{\frac{3}{20}}$

---

c) $\dfrac{\left(a^9\cdot b^6\right)^{-\frac{1}{3}}}{\left(a^6\cdot b^4\right)^{-\frac{1}{2}}}=\dfrac{a^{-3}\cdot b^{-2}}{a^{-3}\cdot b^{-2}}=1$

---

d) $\dfrac{\left(a^2\cdot b^4\right)^{\frac{1}{2}}}{\left(81a^6\cdot b^9\right)^{\frac{1}{3}}}=\dfrac{a\cdot b^2}{\sqrt[3]{81}\cdot a^2\cdot b^3}=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{3}\cdot a\cdot b}$

0465

Simplifique

a) $\dfrac{\dfrac{4x^3y^2}{(x-2)^4}}{\dfrac{6x^2y}{(x-2)^{3/2}}}$

b) $\dfrac{\dfrac{x^2-y^2}{3x^2y^5}}{\dfrac{y+x}{xy}}$

c) $\dfrac{\dfrac{1}{(x+h)^2}-\dfrac{1}{x^2}}{h}$

d) $\dfrac{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}{\dfrac{b}{a}-\dfrac{a}{b}}$

e) $\dfrac{(z+w)^{-1}}{(z-w)^{-1}}$

f) $\left(p^{-1}+q^{-1}\right)^{-1}$

0465 - Respostas

a) $\dfrac{2xy}{3\cdot(x-2)^{2}\cdot\sqrt{x-2}}$	b) $\dfrac{x-y}{3xy^4}$	c) $\dfrac{-(2x+h)}{(x+h)^2\cdot x^2}$
d) $\dfrac{1}{b-a}$	e) $\dfrac{z-w}{z+w}$	f) $\dfrac{pq}{p+q}$

0465 - Soluções

a) $\dfrac{\dfrac{4x^3y^2}{(x-2)^4}}{\dfrac{6x^2y}{(x-2)^{3/2}}}=\dfrac{4x^3y^2\cdot(x-2)^{3/2}}{6x^2y\cdot(x-2)^4}=$

$\quad\dfrac{2xy}{3\cdot(x-2)^{5/2}}$ ou $\dfrac{2xy}{3\cdot(x-2)^{2}\cdot\sqrt{x-2}}$

---

b) $\dfrac{\dfrac{x^2-y^2}{3x^2y^5}}{\dfrac{y+x}{xy}}=\dfrac{(\cancel{x+y})\cdot(x-y)\cdot xy}{3x^2y^5\cdot(\cancel{x+y})}=\dfrac{x-y}{3xy^4}$

---

c) $\dfrac{\dfrac{1}{(x+h)^2}-\dfrac{1}{x^2}}{h}=\dfrac{x^2-(x+h)^2}{h\cdot(x+h)^2\cdot x^2}=$

$\quad \dfrac{-\cancel{h}(2x+h)}{\cancel{h}\cdot(x+h)^2\cdot x^2}=\dfrac{-(2x+h)}{(x+h)^2\cdot x^2}$

---

d) $\dfrac{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}{\dfrac{b}{a}-\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\dfrac{a+b}{\cancel{ab}}}{\dfrac{b^2-a^2}{\cancel{ab}}}=$

$\quad\dfrac{(\cancel{a+b})}{(\cancel{a+b})\cdot(b-a)}=\dfrac{1}{b-a}$

---

e) $\dfrac{(z+w)^{-1}}{(z-w)^{-1}}=\dfrac{z-w}{z+w}$

---

f) $\left(p^{-1}+q^{-1}\right)^{-1}=\dfrac{1}{\dfrac{p+q}{pq}}=\dfrac{pq}{p+q}$

0464

Efetue as seguintes divisões de polinômios

a) $(5x^2 + 4x + 2) \div (6x + 2)$

b) $(x^2 + x − 2) \div (x − 1)$

c) $(x^2 − a^2) \div (x − a)$

d) $(x^4 − 256) \div (x − 4)$

e) $(x^4 − a^4) \div (x^3 + x^2 a + xa^2 + a^3)$

f) $(x^5 + x^3 − 2) \div (x − 1)$

g) $(4x^3 + 2x + 1) \div (x + 1)$

h) $x^3\div(x-a)$

0464 - Respostas

a) $5x^2+4x+2=(6x+2)\cdot\left(\frac{5x}{6}+\frac{7}{18}\right)+\frac{11}{9}$

b) $x^2+x-2=(x-1)\cdot(x+2)+0$

c) $x^2-a^2=(x-a)\cdot(x+a)+0$

d) $x^4-256=(x-4)\cdot(x+4)\cdot(x^2+16)+0$

e) $x^4-a^4=(x^3 + x^2 a + xa^2 + a^3)\cdot(x-a)+0$

f) $x^5+x^3-2=(x-1)\cdot(x^4+x^3+ 2x^2+2x+2)+0$

g) $4x^3+2x+1=(x+1)\cdot(4x^2-4x+6)-5$

h) $x^3=(x-a)\cdot(x^2+ax+a^2)+a^3$

0464 - Soluções

a) Divisão por Chave para a divisão
$(5x^2 + 4x + 2) \div (6x + 2)$:

$\,\,\,\,\overbrace{\cancel{5x^2}+4x+2}^{\text{dividendo}}\quad\quad |\overbrace{\underline{6x+2}}^{\text{divisor}}$

$\underline{-\cancel{5x^2}-\frac{5x}{3}}\quad\quad\quad\quad \frac{5x}{6}+\frac{7}{18}\Big\}\leftarrow\text{quociente}$

$\quad\quad\quad\,\, \cancel{\frac{7x}{3}}+2$

$\quad\quad\,\,\,\underline{-\cancel{\frac{7x}{3}}-\frac{7}{9}}$

$\quad\quad\quad\quad\quad\frac{11}{9}\big\}\leftarrow\text{resto}$

Portanto: $5x^2+4x+2=(6x+2)\cdot\left(\frac{5x}{6}+\frac{7}{18}\right)+\frac{11}{9}$

---

b) Algoritmo de Briot-Ruffini para
a divisão $(x^2 + x − 2) \div (x − 1)$:

$\quad\underline{1} |\underline{\,\,1\quad\,\, 1\quad -2}$

$\quad\,\,\,|\,\,1\quad\,\,2\quad\quad 0$

Portanto: $x^2+x-2=(x-1)\cdot(x+2)+0$

---

c) Farotação para a divisão $(x^2 − a^2) \div (x − a)$:

$\dfrac{(\cancel{x+a})(x-a)}{(\cancel{x-a})}=x-a$

Portanto: $x^2-a^2=(x-a)\cdot(x+a)+0$

---

d) Fatoração para a divisão $(x^4 − 256) \div (x − 4)$:

$\dfrac{(\cancel{x-4})\cdot(x+4)\cdot(x^2+16)}{(\cancel{x-4})}=(x+4)\cdot(x^2+16)$

Portanto: $x^4-256=(x-4)\cdot(x+4)\cdot(x^2+16)+0$

---

e) Fatoração para a divisão
$(x^4 − a^4) \div (x^3 + x^2 a + xa^2 + a^3)$:

$\dfrac{(x^2+a^2)\cdot(x+a)\cdot(x-a)}{x^2(x+a)+a^2(x+a)}=$

$\dfrac{(\cancel{x^2+a^2})\cdot(\cancel{x+a})\cdot(x-a)}{(\cancel{x^2+a^2})\cdot(\cancel{x+a})}=x-a$

Portanto: $x^4-a^4=(x^3 + x^2 a + xa^2 + a^3)\cdot(x-a)+0$

---

f) Algoritmo de Briot-Ruffini para a
divisão $(x^5 + x^3 − 2) \div (x − 1)$:

$\quad\underline{1} |\underline{\,\,1\quad\,\, 0\quad 1\quad 0\quad 0\quad -2}$

$\quad\,\,\,|\,\,1\quad\,\,1\quad 2\quad 2\quad 2\quad\quad\,\, 0$

Portanto: $x^5+x^3-2=(x-1)\cdot(x^4+x^3+ 2x^2+2x+2)+0$

---

g) Algoritmo de Briot-Ruffini para a
divisão $(4x^3 + 2x + 1) \div (x + 1)$:

$\quad\underline{-1} |\underline{\,\,4\quad\,\,\,\,0\quad 2\quad\,\,\,\,\,1}$

$\quad\quad\,\,|\,\,4\,\,\,-4\quad 6\,\,\, -5$

Portanto: $4x^3+2x+1=(x+1)\cdot(4x^2-4x+6)-5$

---

h) Fatoração para a divisão $x^3\div(x-a)$:

Se $x^3-a^3=(x-a)\cdot (x^2+ax+a^2)$

Então: $x^3=(x-a)\cdot(x^2+ax+a^2)+a^3$

0463

De um recipiente cheio de água tiram-se $\frac{2}{3}$ do seu conteúdo. Colocando 30 litros de água o conteúdo passa a ocupar a metade do volume inicial. Determine a capacidade do recipiente.

0463 - Resposta

$180$ litros

0463 - Solução

Vamos chamar de "$x$" o valor do conteúdo total desse recipiente. Equacionando o texto dado, encontraremos a capacidade pedida; assim:

$x-\dfrac{2x}{3}+30=\dfrac{x}{2}\to\dfrac{6x-4x+180=3x}{\cancel{6}}\to$

$6x-4x-3x=-180\to -x=-180\to\boxed{x=180}$

Portanto, a capacidade do recipiente é de $180$ litros.

0462

Determine o domínio e resolva as seguintes equações em $\mathbb{R}$

a) $\dfrac{x}{x-2}+\dfrac{4}{x-1}=5$

b) $\dfrac{2}{x^2-1}-\dfrac{x}{x-1}=1$

0462 - Respostas

	Domínio$(D)$	Solução$(S)$
a)	$D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\neq 1\,\,\text{e}\,\,x\neq 2\}$	$S=\left\{\dfrac{3}{2};\,\,3\right\}$
b)	$D=\{x\in\mathbb{R}\,/\, x\neq -1\,\,\text{e}\,\,x\neq 1\}$	$S=\left\{-\dfrac{3}{2}\right\}$

0462 - Soluções

O domínio$(D)$ de uma função são os valores de "$x$" que proporcionam a existência(ou não) dessas equações.

a) $D=\{x\in\mathbb{R}\,|\,x\neq 1\,\,\text{e}\,\,x\neq 2\}$

Solução da equação: $\dfrac{x}{x-2}+\dfrac{4}{x-1}=5$

$\dfrac{x(x-1)+4(x-2)=5(x-1)(x-2)}{\cancel{(x-2)(x-1)}}\to$

$x^2-x+4x-8=5(x^2-3x+2)\to$

$x^2-5x^2-x+4x+15x-8-10=0\to$

$-4x^2+18x-18=0\,\,[\div(-2)]\to$

$2x^2-9x+9=0\to$ Fórmula Quadrática

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to$

$x=\dfrac{-(-9)\pm\sqrt{(-9)^2-4\times 2\times 9}}{2\times 2}\to$

$x=\dfrac{9\pm\sqrt{9}}{4}\to x=\dfrac{9\pm 3}{4}\to$

$x_{1}=\dfrac{9-3}{4}\to\boxed{x_{1}=\dfrac{3}{2}}$

$x_{2}=\dfrac{9+3}{4}\to\boxed{x_{2}=3}$

Portanto, a solução$(S)$ será: $S=\left\{\dfrac{3}{2};\,\,3\right\}$

---

b) $D=\{x\in\mathbb{R}\,|\, x\neq -1\,\,\text{e}\,\,x\neq 1\}$

Solução da equação: $\dfrac{2}{x^2-1}-\dfrac{x}{x-1}=1$

$\dfrac{2-x(x+1)=1(x^2-1)}{\cancel{x^2-1}}\to$

$2-x^2-x-x^2+1=0\to -2x^2-x+3=0\,\,[\div(-1)]\to$

$2x^2+x-3=0\to$ Fórmula Quadrática

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to$

$x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\times 2\times 3}}{2\times 2}\to$

$x=\dfrac{-1\pm \sqrt{25}}{4}\to x=\dfrac{-1\pm 5}{4}\to$

$x_{1}=\dfrac{-1+5}{4}\to \cancel{x_{1}=-1}\quad$ Não serve, pois $-1\not\in\,\,D$

$x_{2}=\dfrac{-1-5}{4}\to\boxed{x_{2}=-\dfrac{3}{2}}$

Portanto, a solução$(S)$ será: $S=\left\{-\dfrac{3}{2}\right\}$

0461

Determine o domínio e resolva as seguintes equações em $\mathbb{Z}$

a) $\dfrac{x+1}{x-1}+\dfrac{4-x}{x}=4$

b) $\dfrac{2}{x(x-2)}=1+\dfrac{x-1}{x-2}$

0461 - Respostas

	Domínio$(D)$	Solução$(S)$
a)	$D=\{x\in\mathbb{Z}\,/\,x\neq 0\,\,\text{e}\,\,x\neq 1\}$	$S=\left\{3\right\}$
b)	$D=\{x\in\mathbb{Z}\,/\,x\neq 0\,\,\text{e}\,\,x\neq 2\}$	$S=\left\{\varnothing\right\}$

0461 - Soluções

O domínio$(D)$ de uma função são os valores de "$x$" que proporcionam a existência(ou não) dessas equações.

a) $D=\{x\in\mathbb{Z}\,/\,x\neq 0\,\,\text{e}\,\,x\neq 1\}$

Solução da equação: $\dfrac{x+1}{x-1}+\dfrac{4-x}{x}=4$

$\dfrac{x(x+1)+(4-x)(x-1)=4x(x-1)}{\cancel{x(x-1)}}\to$

$\cancel{x^2}+x+4x-4-\cancel{x^2}+x-4x^2+4x=0\to$

$-4x^2+10x-4=0\,\,[\div(-2)]\to$

$2x^2-5x+2=0\to$ Fórmula Quadrática

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to$

$x=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\times 2\times 2}}{2\times 2}\to$

$x=\dfrac{5\pm\sqrt{9}}{4}\to x=\dfrac{5\pm3}{4}\to$

$x_{1}=\dfrac{5-3}{4}\to \cancel{x_{1}=\dfrac{1}{2}}\quad$ Não serve, pois $\dfrac{1}{2}\not\in\mathbb{Z}$

$x_{2}=\dfrac{5+3}{4}\to\boxed{x_{2}=2}$

Portanto, a solução$(S)$ será: $S=\{2\}$

---

b) $D=\{x\in\mathbb{Z}\,/\,x\neq 0\,\,\text{e}\,\,x\neq 2\}$

Solução da equação: $\dfrac{2}{x(x-2)}=1+\dfrac{x-1}{x-2}$

$\dfrac{2=x(x-2)+x(x-1)}{\cancel{x(x-2)}}\to$

$2=x^2-2x+x^2-x\to$

$2x^2-3x-2=0\to$ Fórmula Quadrática

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to$

$x=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4\times 2\times (-2)}}{2\times 2}\to$

$x=\dfrac{3\pm\sqrt{25}}{4}\to x=\dfrac{3\pm 5}{4}\to$

$x_{1}=\dfrac{3-5}{4}\to \cancel{x=-\dfrac{1}{2}}\quad$ Não serve, pois $-\dfrac{1}{2}\not\in\mathbb{Z}$

$x_{2}=\dfrac{3+5}{4}\to \cancel{x=2}\quad$ Não serve, pois $2\not\in\,\,D$

Portanto, a solução$(S)$ será: $S=\varnothing$

0460

Resolva, em $\mathbb{R}$, a equação:

$\dfrac{2}{x^2-1}+\dfrac{1}{x+1}=-1$

0460 - Resposta

$S=\{0\}$

0460 - Solução

Observe que o domínio$(D)$ dessa equação é: $D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\neq -1\,\,\text{e}\,\,x\neq 1\}$

$\dfrac{2+x-1=-(x^2-1)}{\cancel{x^2-1}}\to$

$x^2+x=0$ ou $x(x+1)=0\quad$ Duas possibilidades:

$\boxed{x=0}$ ou

$\cancel{x=-1}\quad$ Não serve, pois $-1\not\in\,\,D$

Portanto, a solução$(S)$, será: $S=\{0\}$

0459

Determine o domínio e resolva as seguintes equações em $\mathbb{R}$

a) $\sqrt{x}=2x$

b) $\sqrt{x}=-2x$

c) $\sqrt{3-x}=x-3$

d) $\sqrt{x+1}=8-\sqrt{3x+1}$

e) $1+\sqrt{3x+5}=x$

f) $\sqrt{4x-3}+\sqrt{5x-1}=\sqrt{15x+4}$

g) $\sqrt[3]{x+34}-\sqrt[3]{x-3}=1$

0459 - Soluções

O domínio$(D)$ são os valores de "$x$" que proporcionam a existência(ou não) dessas equações irracionais. Importante lembrar, também, que as soluções desses tipos de equações devem ser testadas (o que chamamos de teste de verificação), para termos uma maior segurança ao definirmos o conjunto solução. Posto isto, vamos às soluções:

a) $D=\{x\in\mathbb{R}\,\,/\,\,x\geqslant 0\}$

Solução da equação: $\sqrt{x}=2x$

$\left(\sqrt{x}\right)^2=(2x)^2\to x=4x^2\to$

$4x^2-x=0$ ou $x(4x-1)=0\to$

Duas possibilidades:

$\boxed{x=0}$ ou

$4x-1=0\to \boxed{x=\dfrac{1}{4}}$

Portanto, a solução$(S)$, será: $S=\left\{0;\,\,\dfrac{1}{4}\right\}$

---

b) $D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\geqslant 0\}$

Solução da equação: $\sqrt{x}=-2x$

$\left(\sqrt{x}\right)^2=(-2x)^2$

$4x^2-x=0$ ou $x(4x-1)=0$

Duas possibilidades:

$\boxed{x=0}$ ou

$4x-1=0\to \cancel{x=\dfrac{1}{4}}\quad$ Não serve, pois este valor não é válido no teste de verificação.

Portanto, a solução$(S)$, será: $S=\{0\}$

---

c) $D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\leqslant 3\}$

Solução da equação: $\sqrt{3-x}=x-3$

$\left(\sqrt{3-x}\right)^2=(x-3)^2\to$

$3-x=x^2-6x+9\to$

$x^2-5x+6=0\to\quad$ Fórmula Quadrática

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to$

$x=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\times 1\times 6}}{2\times 1}\to$

$x=\dfrac{5\pm\sqrt{1}}{2}\to x=\dfrac{5\pm 1}{2}$

$x_{1}=\dfrac{5+1}{2}\to\boxed{x=3}$

$x_{2}=\dfrac{5-1}{2}\to \cancel{x=2}\quad$ Não serve, pois $2$ não é válido no teste de verificação.

Portanto, a solução$(S)$, será: $S=\{3\}$

---

d) $D=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\geqslant-\dfrac{1}{3}\right\}$

Solução da equação: $\sqrt{x+1}=8-\sqrt{3x+1}$

$\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{3x+1}\right)=8^2\to$

$x+1+2\sqrt{(x+1)\cdot(3x+1)}+3x+1=64\to$

$\left(\sqrt{(x+1)\cdot(3x+1)}\right)^2=(31-2x)^2\to$

$(x+1)\cdot(3x+1)=961-124x+4x^2\to$

$3x^2+4x+1=961-124x+4x^2\to$

$x^2-128x+960=0\quad$ Fórmula Quadrática

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to$

$x=\dfrac{128\pm\sqrt{16384-3840}}{2}\to$

$x=\dfrac{128\pm\sqrt{12544}}{2}\to x=\dfrac{128\pm 112}{2}\to$

$x_{1}=\dfrac{128-112}{2}\to\boxed{x=8}$

$x_{2}=\dfrac{128+112}{2}\to \cancel{x=120}\quad$ Não serve, pois $120$ não é válido no teste de verificação.

Portanto, a solução$(S)$, será: $S=\{8\}$

---

e) $D=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\geqslant -\dfrac{5}{3}\right\}$

Solução da equação: $1+\sqrt{3x+5}=x$

$\left(\sqrt{3x+5}\right)^2=(x-1)^2\to$

$3x+5=x^2-2x+1\to$

$x^2-5x-4=0\quad$ Fórmula Quadrática

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to$

$x=\dfrac{5\pm\sqrt{25+16}}{2}\to x=\dfrac{5\pm\sqrt{41}}{2}\to$

$x_{1}\approx \dfrac{5-6,4}{2}\to \cancel{x\approx -0,7}\quad$ Não serve, pois $-0,7$ não é válido no teste de verificação.

$\boxed{x_{2}=\dfrac{5+\sqrt{41}}{2}}$

Portanto, a solução$(S)$ será: $S=\left\{\dfrac{5+\sqrt{41}}{2}\right\}$

---

f) O domínio$(D)$ será a intersecção de: $x\geqslant\dfrac{3}{4},\quad$ $x\geqslant \dfrac{1}{5}\quad$ e $x\geqslant-\dfrac{4}{15}$, portanto

$D=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\geqslant\dfrac{3}{4}\right\}$

Solução da equação: $\sqrt{4x-3}+\sqrt{5x-1}=\sqrt{15x+4}$

$\left(\sqrt{4x-3}+\sqrt{5x-1}\right)^2=\left(\sqrt{15x+4}\right)^2\to$

$4x-3+2\cdot\sqrt{(4x-3)+(5x-1)}+5x-1=15x+4\to$

$\left(\sqrt{(4x-3)+(5x-1)}\right)^2=(3x+4)^2\to$

$20x^2-19x+3-9x^2-24x-16=0\to$

$11x^2-43x-13=0\quad$ Fórmula Quadrática

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to$

$x=\dfrac{43\pm\sqrt{1849+572}}{22}\to$

$x=\dfrac{43\pm\sqrt{2421}}{22}\to x=\dfrac{43\pm3\sqrt{269}}{22}\to$

$x_{1}\approx \dfrac{43-49,2}{22}\to \cancel{x_{1}\approx -0,2\overline{81}}$, pois este valor não pertence ao conjunto domínio.

$\boxed{x_{2}=\dfrac{43+3\sqrt{269}}{22}}$

Portanto, a solução$(S)$, será: $S=\left\{\dfrac{43+3\sqrt{269}}{22}\right\}$

---

g) $D=R$

Solução da equação: $\sqrt[3]{x+34}-\sqrt[3]{x-3}=1$

$\left(\sqrt[3]{x+34}\right)^3=\left(\sqrt[3]{x-3}+1\right)^3\to$

$\cancel{x}+34=\cancel{x}-3+3\cdot\left(\sqrt[3]{x-3}\right)^2\cdot 1+3\cdot\left(\sqrt[3]{x-3}\right)\cdot 1^2+1^3\to$

$36=3\cdot\left[\left(\sqrt[3]{x-3}\right)^2+\left(\sqrt[3]{x-3}\right)\right]\to$

$12=\left[\left(\sqrt[3]{x-3}\right)^2+\left(\sqrt[3]{x-3}\right)\right]\to$

Incógnita auxiliar: $a=\left(\sqrt[3]{x-3}\right)$

$12=a^2+a\to a^2+a-12=0\quad$ Fórmula Quadrática

$a=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to$

$a=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+48}}{2}\to a=\dfrac{-1\pm 7}{2}$

$a_{1}=\dfrac{-1-7}{2}\to a_{1}=-4$

$a_{2}=\dfrac{-1+7}{2}\to a_{2}=3$

Voltando à incógnita principal, onde $a=\left(\sqrt[3]{x-3}\right)$

Para $a=-4\,\,$:

$(-4)^3=\left(\sqrt[3]{x-3}\right)^3\to -64=x-3\to\boxed{x=-61}$

Para $a=3\,\,$:

$3^3=\left(\sqrt[3]{x-3}\right)^3\to 27=x-3\to\boxed{x=30}$

Portanto, a solução$(S)$, será: $S=\{-61;\,\,30\}$

0458

Obtenha a soma das raízes da equação $\sqrt{3x-2}=\sqrt{x}+2$

0458 - Resposta

$S=7$

0458 - Solução

Antes de resolver, vamos observar o conjunto domínio$(D)$ para essa equação, que será dado pela intersecção de $x\geqslant\dfrac{2}{3}\quad$ e $\quad x\geqslant 0$, dentro do conjunto dos números reais. Assim,

$D=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\geqslant \dfrac{2}{3}\right\}$

Vamos à solução:

$\left(\sqrt{3x-2}\right)^2=\left(\sqrt{x}+2\right)^2\to$

$3x-2=x+2\cdot\sqrt{x}+4\to$

$(x-3)^2=\left(\sqrt{x}\right)^2\to$

$x^2-6x+9=x\to x^2-7x+9=0\quad$ Fórmula Quadrática

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}$

$x=\dfrac{7\pm\sqrt{49-36}}{2}\to x=\dfrac{7\pm\sqrt{13}}{2}$

Dessa forma, a soma$(S)$ das raízes será:

$S= \dfrac{7}{2}-\cancel{\dfrac{\sqrt{13}}{2}}+\dfrac{7}{2}+\cancel{\dfrac{\sqrt{13}}{2}}\to\boxed{S=7}$

Observação:

A soma$(S)$ das raízes de uma equação quadrática genérica $ax^2+bx+c=0$ é dada pela relação:

$\boxed{S=-\dfrac{b}{a}}$ Portanto, poderíamos utilizá-la, assim:

$S=-\dfrac{(-7)}{1}\to\boxed{S=7}$

0457

Resolva, em $\mathbb{R}$, as equações abaixo, usando as substituições indicadas. Observe o domínio de cada variável e teste as soluções encontradas.

Equações	Incógnitas Auxiliares
a) $x^4-10x^2=-21$	[$u=x^2]$
b) $x^4-4x^2=21$	$[u=x^2]$
c) $x-4\sqrt{x}=-3$	$[u=\sqrt{x}]$
d) $2x+3=7\sqrt{x}$	$[u=\sqrt{x}]$
e) $x=6-\sqrt{x}$	$[u=\sqrt{x}]$
f) $2x^{2/3}-5x^{1/3}-3=0$	$[u=x^{1/3}]$

0457 - Soluções

a) $u^2-10u+21=0\quad$ Fórmula Quadrática

$u=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}$

$u=\dfrac{10\pm\sqrt{100-84}}{2}\to$

$u=\dfrac{10\pm\sqrt{16}}{2}\to u=\dfrac{10\pm4}{2}\to$

$u_{1}=\dfrac{10-4}{2}\to u_{1}=3$

$u_{2}=\dfrac{10+4}{2}\to u_{2}=7$

Voltando à incógnita principal onde $u=x^2$

Para $u=3$

$x^2=3\to x=-\sqrt{3}$ ou $x=\sqrt{3}$

Para $u=7$

$x^2=7\to x=-\sqrt{7}$ ou $x=\sqrt{7}$

Portanto, a solução$(S)$, será: $S=\{-\sqrt{7};\,-\sqrt{7};\,\sqrt{3};\,\sqrt{7}\}$

---

b) $u^2-4u-21=0\quad$ Fórmula Quadrática

$u=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}$

$u=\dfrac{4\pm\sqrt{16+84}}{2}\to$

$u=\dfrac{4\pm\sqrt{100}}{2}\to u=\dfrac{4\pm 10}{2}\to$

$u_{1}=\dfrac{4-10}{2}\to u_{1}=-3$

$u_{2}=\dfrac{4+10}{2}\to u_{2}=7$

Voltando à incógnita principal, onde $u=x^2$

Para $u=-3\to x=\pm\sqrt{-3}\,\not\in\mathbb{R}$

Para $u=7$

$x^2=7\to x=-\sqrt{7}$ ou $x=\sqrt{7}$

Portanto, a solução$(S)$, será: $S=\{-\sqrt{7};\,\,\sqrt{7}\}$

---

c) $u^2-4u+3=0\quad$ Fórmula Quadrática

$u=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}$

$u=\dfrac{4\pm\sqrt{16-12}}{2}\to u=\dfrac{4\pm 2}{2}$

$u_{1}=1,\quad u_{2}=3$

Voltando à incógnita principal, onde $u=\sqrt{x}$

Para $u=1$

$\sqrt{x}=1\to\boxed{x=1}$

Para $u=3$

$\sqrt{x}=3\to\boxed{x=9}$

Portanto, a solução$(S)$, será: $S=\{1;\,\,9\}$

---

d) $2u^2-7u+3=0\quad$ Fórmula Quadrática

$u=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}$

$u=\dfrac{7\pm\sqrt{49-24}}{4}\to u=\dfrac{7\pm 5}{4}\to$

$u_{1}=\dfrac{7-5}{4}\to u_{1}=\dfrac{1}{2}$

$u_{1}=\dfrac{7+5}{4}\to u_{2}=3$

Voltando à incógnita principal, onde $u=\sqrt{x}$

Para $u=\dfrac{1}{2}$

$\sqrt{x}=\dfrac{1}{2}\to\boxed{x=\dfrac{1}{4}}$

Para $u=3$

$\sqrt{x}=3\to\boxed{x=9}$

Portanto, a solução$(S)$, será: $S=\left\{\dfrac{1}{4};\,\,9\right\}$

---

e) $u^2+u-6=0\quad$ Fórmula Quadrática

$u=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}$

$u=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+24}}{2}\to u=\dfrac{-1\pm 5}{2}$

$u_{1}=-3,\quad u_{2}=2$

Voltando à incógnita principal, onde $u=\sqrt{x}$

Para $u=-3$

$\sqrt{x}=-3\to \cancel{x=9}\quad$ Não serve, pois $9$ não é válido no teste de verificação.

Para $u=2$

$\sqrt{2}=2\to\boxed{x=4}$

Portanto, a solução$(S)$, será: $S=\{4\}$

---

f) $2u^2-5u-3=0\quad$ Fórmula Quadrática

$u=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}$

$u=\dfrac{5\pm\sqrt{25+24}}{4}\to u=\dfrac{5\pm 7}{4}\to$

$u_{1}=-\dfrac{1}{2},\quad u_{2}=3$

Voltando à incógnita principal, onde $u=x^{1/3}$

Para $u=-\dfrac{1}{2}$

$\left(x^{\frac 13}\right)^3=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^3\to \boxed{x=-\dfrac{1}{8}}$

Para $u=3$

$\left(x^{\frac 13}\right)^3=3^3\to\boxed{x=27}$

Portanto, a solução$(S)$, será: $S=\left(-\dfrac{1}{8};\,\,27\right)$

0456

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes...

...equações:
a) $20x-4=5x$	b) $5(1-x)-2x+1=-3(2+x)$
c) $4x=-8x+36$	d) $2+3[x-(3x+1)]=5[x-(2x-1)]$
e) $4(x-3)=2x-5$	f) $1-2x=\dfrac{x}{3}-\dfrac{x}{2}$
g) $\dfrac{3(x-1)-2x}{5}=\dfrac{5(x-3)}{6}$	h) $\dfrac{2x+5}{3x}=\dfrac{1}{4}$

0456 - Respostas das ...

...equações:
a) $\dfrac{4}{15}$	b) $3$
c) $3$	d) $-6$
e) $\dfrac{7}{2}$	f) $\dfrac{6}{11}$
g) $3$	h) $-4$

0456 - Soluções

a) $20x-4=5x\to$

$20x-5x=4\to\boxed{x=\dfrac{4}{15}}$

---

b) $5(1-x)-2x+1=-3(2+x)\to$

$5-5x-2x+1=-6-3x\to$

$-4x=-12\to\boxed{x=3}$

---

c) $4x=-8x+36\to$

$4x+8x=36\to\boxed{x=3}$

---

d) $2+3[x-(3x+1)]=5[x-(2x-1)]\to$

$2+3(-2x-1)=5(-x+1)\to$

$2-6x-3=-5x+5\to -6x+5x=5+3-2\to$

$-x=6\to\boxed{x=-6}$

---

e) $4(x-3)=2x-5\to$

$4x-12=2x-5\to 4x-2x=-5+12\to$

$2x=7\to\boxed{x=\dfrac{7}{2}}$

---

f) $1-2x=\dfrac{x}{3}-\dfrac{x}{2}\to$

$\dfrac{6-12x=2x-3x}{\cancel{6}}\to$

$-11x=-6\to\boxed{x=\dfrac{6}{11}}$

---

g) $\dfrac{3(x-1)-2x}{5}=\dfrac{5(x-3)}{6}\to$

$\dfrac{6x-18=25x-75}{\cancel{30}}\to$

$-19x=-57\to\boxed{x=3}$

---

h) $\dfrac{2x+5}{3x}=\dfrac{1}{4}\to$

$\dfrac{4(2x+5)=3x}{\cancel{12x}};\,\,\forall x\in\mathbb{R}-\{0\}\to$

$5x=-20\to\boxed{x=-4}$

0455

Resolva, em $\mathbb{R}$, as equações:

a) $7x-3=x+5-2x$

b) $2x^2-8=10$

c) $x^3+1=-7$

0455 - Respostas

a) $x=1\quad$

b) $x=-3\,\,$ ou $\,\,x=3$

c) $x=-2$

0455 - Soluções

a) $7x-3=x+5-2x\to 8x=8\to\boxed{x=1}$

b) $2x^2-8=10\to x^2=9\to \boxed{x=-3\,\text{ou}\,x=3}$

c) $x^3+1=-7\to x^3=-8\to x=\sqrt[3]{-8}\to\boxed{x=-2}$

0454

Resolva, em $\mathbb{R}$, a seguinte inequação:

$4-x<3-2x$

0454 - Resposta

$S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x<-1\right\}$

0454 - Solução

Vamos resolver a inequação:

$-x+2x<3-4\to x+1<0\to x<-1$

Observe o gráfico da função $y=x+1$

Portanto, a solução$(S)$, será: $\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x<-1\right\}}$

0453

Resolva, em $\mathbb{R}$, a seguinte inequação:

$5-x^2<8$.

0453 - Resposta

$S=\left\{x\in\mathbb{R}\right\}$

0453 - Solução

Vamos desenvolver a inequação:

$-x^2-3<0$ ou $x^2+3>0$ (Não há raízes reais)

Entretanto, observe o gráfico da função $y=x^2+3$:

Portanto, a solução$(S)$, será: $\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\right\}}$

0452

Resolva, em $\mathbb{R}$, a seguinte inequação:

$5-x^2<-2$

0452 - Resposta

$S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\, x<-\sqrt{7}\,\,\text{ou}\,\,x>\sqrt{7}\right\}$

0452 - Solução

Vamos desenvolver a inequação:

$5-x^2<-2\to -x^2+7<0$.

Resolvendo a equação $-x^2+7=0$, encontraremos:

$x_{1}=-\sqrt{7}$ e $x_{2}=\sqrt{7}$

Observe o gráfico da função $y=-x^2+7$:

Portanto, a solução$(S)$, será: $\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\, x<-\sqrt{7}\,\,\text{ou}\,\,x>\sqrt{7}\right\}}$

0451

Resolva, em $\mathbb{R}$, a seguinte inequação:

$(x-1)(x-3)\geqslant 0$

0451 - Resposta

$S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\leqslant 1\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 3\right\}$

0451 - Solução

Observe o quadro de sinais:

Portanto, a solução$(S)$, será: $\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\leqslant 1\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 3\right\}}$