Página20¶
0500¶
Determine o domínio\((D)\) e resolva a seguinte inequação em \(\mathbb{R}\)
\(x^3-2x^2-3x\leqslant 0\)
0500 - Resposta
\(D=\{x\in\mathbb{R}\}\)
\(S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\leqslant -1\,\,\text{ou}\,\,0\leqslant x\leqslant 3\}\)
0500 - Solução
Observe o gráfico da função \(y=x^3-2x^2-3x\)
Portanto:
O domínio\((D)\), será: \(\boxed{D=\{x\in\mathbb{R}\}}\)
A solução\((S)\), será: \(\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\leqslant -1\,\,\text{ou}\,\,0\leqslant x\leqslant 3\}}\)
0499¶
Determine o domínio\((D)\) e resolva a seguinte inequação em \(\mathbb{R}\)
\(\dfrac{x^2-16}{x+1}<0\)
0499 - Resposta
\(D=\left\{x\in\mathbb{R}-\{-1\}\right\}\)
\(S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x<-4\,\,\text{ou}\,\,-1<x<4\right\}\)
0499 - Solução
Observe o quadro de sinais
Portanto:
O domínio\((D)\), será: \(\boxed{D=\left\{x\in\mathbb{R}-\{-1\}\right\}}\)
A solução\((S)\), será: \(\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x<-4\,\,\text{ou}\,\,-1<x<4\right\}}\)
0498¶
Determine o domínio\((D)\) e resolva a seguinte inequação em \(\mathbb{R}\)
\(\dfrac{x^2-2x-3}{x^2+2x+1}\geqslant 0\)
0498 - Resposta
\(D=\{x\in\mathbb{R}-\{-1\}\}\)
\(S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x<-1\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 3\}\)
0498 - Solução
Observe o quadro de sinais
Portanto:
O domínio\((D)\), será: \(\boxed{D=\{x\in\mathbb{R}-\{-1\}\}}\)
A solução\((S)\), será: \(\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x<-1\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 3\}}\)
0497¶
Determine o domínio\((D)\) e resolva a seguinte inequação em \(\mathbb{R}\)
\(\dfrac{x^2+x+1}{x^2-2x-3}\leqslant 0\)
0497 - Resposta
\(D=\{x\in\mathbb{R}-\{-1;\,3\}\}\)
\(S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,-1<x<3\right\}\)
0497 - Solução
Observe o quadro de sinais
Portanto:
O domínio\((D)\), será: \(\boxed{D=\{x\in\mathbb{R}-\{-1;\,3\}\}}\)
A solução\((S)\), será: \(\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,-1<x<3\right\}}\)
0496¶
Determine o domínio\((D)\) e resolva em \(\mathbb{R}\) a seguinte desigualdade:
\(\dfrac{1}{x-1}\geqslant 1\)
0496 - Resposta
\(D=\{x\in\mathbb{R}-\{1\}\}\)
\(S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,1<x\leqslant 2\}\)
0496 - Solução
Desenvolvendo:
\(\dfrac{1}{x-1}\geqslant 1\to \dfrac{1-x+1}{x-1}\geqslant 0\to \dfrac{2-x}{x-1}\geqslant 0\)
Observe o quadro de sinais
Portanto:
O domínio\((D)\), será: \(\boxed{D=\{x\in\mathbb{R}-\{1\}\}}\)
A solução\((S)\), será: \(\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,1<x\leqslant 2\}}\)
0495¶
Determine o domínio\((D)\) e resolva em \(\mathbb{R}\) a seguinte desigualdade:
\(\dfrac{1}{1-x}\geqslant 1\)
0495 - Resposta
\(D=\{x\in\mathbb{R}-\{1\}\}\)
\(S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,0\leqslant x<1\}\)
0495 - Solução
Desenvolvendo:
\(\dfrac{1}{1-x}\geqslant 1\to \dfrac{1-1+x}{1-x}\geqslant 0\to\dfrac{x}{1-x}\geqslant 0\)
Observe o quadro de sinais
Portanto:
O domínio\((D)\), será: \(\boxed{D=\{x\in\mathbb{R}-\{1\}\}}\)
A solução\((S)\), será: \(\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,0\leqslant x<1}\}\)
0494¶
\(\dfrac{1}{2-x}+\dfrac{5}{2+x}<1\)
0494 - Resposta
\(D=\{x\in\mathbb{R}-\{-2;\,2\}\}\)
\(S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x<-2\,\,\text{ou}\,\,x>2\}\)
0494 - Solução
Desenvolvendo:
\(\dfrac{1}{2-x}+\dfrac{5}{2+x}<1\to \dfrac{2+x+5(2-x)+x^2-4}{4-x^2}<0\to\dfrac{x^2-4x+8}{4-x^2}<0\)
Observe o quadro de sinais
Portanto:
O domínio\((D)\), será: \(\boxed{D=\{x\in\mathbb{R}-\{-2;\,2\}\}}\)
A solução\((S)\), será: \(\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x<-2\,\,\text{ou}\,\,x>2\}}\)
0493¶
Determine o domínio\((D)\) e resolva em \(\mathbb{R}\) a seguinte desigualdade:
\(\dfrac{2x-5}{x^2-6x-7}<\dfrac{1}{x-3}\)
0493 - Resposta
\(D=\{x\in\mathbb{R}-\{-1;\,3;\,7\}\}\)
\(S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x<-1\,\,\text{ou}\,\,3<x<7\}\)
0493 - Solução
Desenvolvendo
\(\dfrac{2x-5}{x^2-6x-7}<\dfrac{1}{x-3}\to\dfrac{(2x-5)\cdot(x-3)-(x^2-6x-7)}{(x-7)(x-3)(x+1)}<0\to\)
\(\dfrac{2x^2-6x-5x+15-x^2+6x+7}{(x-3)\cdot(x^2-6x-7)}<0\to\dfrac{x^2-5x+22}{(x-3)\cdot(x^2-6x-7)}<0\)
Observe o quadro de sinais
Portanto:
O domínio\((D)\), será: \(\boxed{D=\{x\in\mathbb{R}-\{-1;\,3;\,7\}\}}\)
A solução\((S)\), será: \(\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x<-1\,\,\text{ou}\,\,3<x<7\}}\)
0492¶
Determine o domínio\((D)\) e resolva em \(\mathbb{R}\) a seguinte desigualdade:
\(\dfrac{2-x^2}{1-x}<x\)
0492 - Resposta
\(D=\{x\in\mathbb{R}-\{1\}\}\)
\(S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,1<x<2\}\)
0492 - Solução
Desenvolvendo
\(\dfrac{2-x^2}{1-x}-x<0\to\dfrac{-x^2+x^2-x+2}{1-x}<0\to\)
\(\dfrac{-(x-2)}{-(x-1)}<0\quad\) ou \(\quad\dfrac{x-2}{x-1}<0\)
Observe o quadro de sinais
Portanto:
O domínio\((D)\), será: \(\boxed{D=\{x\in\mathbb{R}-\{1\}\}}\)
A solução\((S)\), será: \(\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,1<x<2\}}\)
0491¶
Determine o domínio\((D)\) e resolva em \(\mathbb{R}\) a seguinte desigualdade:
\(\dfrac{x+1}{x-3}\leqslant \dfrac{x-2}{x+4}\)
0491 - Resposta
\(D=\{x\in\mathbb{R}-\{-4;\,3\}\}\)
\(S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x<-4\,\,\text{ou}\,\,\dfrac{1}{5}\leqslant x<3\right\}\)
0491 - Solução
Desenvolvendo
\(\dfrac{x+1}{x-3}-\dfrac{x-2}{x+4}\leqslant 0\to\dfrac{10x-2}{x^2+x-12}\)
Observe o quadro de sinais
Portanto:
O domínio\((D)\), será: \(\boxed{D=\{x\in\mathbb{R}-\{-4;\,3\}\}}\)
A solução\((S)\), será: \(\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x<-4\,\,\text{ou}\,\,\dfrac{1}{5}\leqslant x<3\right\}}\)
Inequações Irracionais - Solução
Na solução algébrica dessas inequações, devemos seguir algumas regras básicas:
\(\begin{array}{lcl}
\sqrt{A(x)} & \leqslant & B(x)
\end{array}\Rightarrow
\left\{\begin{array}{lcl}
A(x) & \geqslant & 0\\
B(x) & \geqslant & 0
A(x) & \leqslant & \left[B(x)\right]^2
\end{array}\right.\)
\(\begin{array}{lcl} \sqrt{A(x)} & \geqslant & B(x) \end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{lcl} A(x) & \geqslant & 0\\ B(x) & \leqslant & 0 \end{array}\right.\,\lor \left\{\begin{array}{lcl} B(x) & \geqslant & 0\\ A(x) & \geqslant & \left[B(x)\right]^2 \end{array}\right.\)
0490¶
Determine o domínio\((D)\) e resolva em \(\mathbb{R}\) a seguinte desigualdade:
\(\sqrt{x+2}<3\)
0490 - Resposta
\(D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\geqslant -2\}\)
\(S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,-2\leqslant x<7\}\)
0490 - Solução
O domínio\((D)\), será: \(\boxed{D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\geqslant -2\}}\quad(I)\)
Resolvendo \(\sqrt{x+2}<3\)
\(\left(\sqrt{x+2}\right)^2<(3)^2\to x+2<9\to x<7\quad (II)\)
A solução\((S)\) será \((I)\cap(II)\), isto é:
\(\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,-2\leqslant x<7\}}\)
Ainda...observe a solução gráfica:
0489¶
Determine o domínio\((D)\) e resolva em \(\mathbb{R}\) a seguinte desigualdade:
\(\sqrt{2x+3}-3\geqslant 0\)
0489 - Resposta
\(D=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\geqslant-\dfrac{3}{2}\right\}\)
\(S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\geqslant 3\}\)
0489 - Solução
O domínio\((D)\) será: \(\boxed{D=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\geqslant-\dfrac{3}{2}\right\}}\quad(I)\)
Resolvendo \(\sqrt{2x+3}-3\geqslant 0\)
\(\left(\sqrt{2x+3}\right)^2\geqslant(3)^2\to 2x+3\geqslant 9\to x\geqslant 3\quad(II)\)
A solução\((S)\) será \((I)\cap(II)\), isto é:
\(\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\geqslant 3\}}\)
Ainda...observe a solução gráfica:
0488¶
Determine o domínio\((D)\) e resolva em \(\mathbb{R}\) a seguinte desigualdade:
\(\sqrt[3]{3x-1}-2\leqslant 0\)
0488 - Resposta
\(D=\mathbb{R}\)
\(S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\leqslant 3\}\)
0488 - Solução
O domínio\((D)\) será: \(\boxed{D=\mathbb{R}}\quad(I)\)
Resolvendo \(\sqrt[3]{3x-1}-2\leqslant 0\)
\(\left(\sqrt[3]{3x-1}\right)^3\leqslant (2)^3\to 3x-1\leqslant 8\to x\leqslant 3\quad(II)\)
A solução\((S)\) será \((I)\cap(II)\), isto é:
\(\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\leqslant 3\}}\)
Ainda...observe a solução gráfica:
0487¶
Determine o domínio\((D)\) e resolva em \(\mathbb{R}\) a seguinte desigualdade:
\(\sqrt{x}+2x<0\)
0487 - Resposta
\(D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\geqslant 0\}\)
\(S=\varnothing\)
0487 - Solução
O domínio\((D)\) será: \(\boxed{D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\geqslant 0\}}\quad(I)\)
Resolvendo \(\sqrt{x}+2x<0\)
\(\sqrt{x}+2x<0\)... De \((I)\), obrigatoriamente, \(x\geqslant 0\), portanto o "máximo" que vamos obter será uma igualdade a zero, justamente quando \(x=0\) e jamais teremos essa inequação negativada. Portanto, a solução\((S)\), será:
\(\boxed{S=\varnothing}\)
0486¶
Determine o domínio\((D)\) e resolva em \(\mathbb{R}\) a seguinte desigualdade:
\(\sqrt{x}>x-2\)
0486 - Resposta
\(D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\geqslant 0\}\)
\(S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,0\leqslant x<4\}\)
0486 - Solução
O domínio\((D)\) será: \(\boxed{D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\geqslant 0\}}\)
Resolvendo graficamente:
A solução\((S)\) será: \(\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,0\leqslant x<4\}}\)
0485¶
Determine o domínio\((D)\) e resolva em \(\mathbb{R}\) a seguinte desigualdade:
\(\sqrt{x^8+8}<-1+x-x^2\)
0485 - Resposta
\(D=\mathbb{R}\)
\(S=\varnothing\)
0485 - Solução
O radicando \(x^8+8>0;\,\,\forall x\in\mathbb{R}\), portanto o domínio\((D)\), será: \(\boxed{D=\mathbb{R}}\quad(I)\)
Resolvendo: Como o radical é de grau \(n=2\), par, devemos garantir que o lado direito também seja positivo ou igual a zero, ou seja, \(-x^2+x-1\geqslant 0\) ou seu equivalente \(x^2-x+1\leqslant 0\), o que não acontece, pois a função é quadrática, concavidade voltada para cima, não possui reaízes reais o que faz com essa função seja estritamente positiva e a inequação \(x^2-x+1\leqslant 0\) tendo, assim, solução\((S)\) igual a \(S=\varnothing\quad(II)\).
Portanto, a solução final será \((I)\cap(II)\), ou seja: \(\boxed{S=\varnothing}\)
0484¶
Determine o domínio\((D)\) e resolva em \(\mathbb{R}\) a seguinte desigualdade:
\(\sqrt{x^2-2x-8}>x-2\)
0484 - Resposta
\(D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\leqslant -2\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 4\}\)
\(S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\leqslant -2\,\,\text{ou}\,\,x>6\}\)
0484 - Solução
Devemos ter o radicando \(x^2-2x-8\geqslant 0\), portanto o domínio\((D)\),
será: \(\boxed{D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\leqslant -2\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 4\}}\quad(I)\)
Resolvendo \(\sqrt{x^2-2x-8}>x-2\)
\((\sqrt{x^2-2x-8})^2>(x-2)^2\to x^2-2x-8>x^2-4x+4\to 2x>12\to \boxed{x>6}\quad(II)\)
Portanto, a solução\((S)\) será \((I)\cap(II)\), isto é:
\(\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\leqslant -2\,\,\text{ou}\,\,x>6\}}\)
0483¶
Determine o domínio\((D)\) e resolva em \(\mathbb{R}\) a seguinte desigualdade:
\(\sqrt{1-3x}-\sqrt{5+x}>0\)
0483 - Resposta
\(D=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,-5\leqslant x\leqslant\dfrac{1}{3}\right\}\)
\(S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,-5\leqslant x<-1\}\)
0483 - Solução
Para o domínio devemos ter os radicandos maiores ou iguais a zero, isto:
\(1-3x\geqslant 0\to 3x\leqslant 1\to x\leqslant\dfrac{1}{3}\quad(i)\)
e, \(5+x\geqslant 0\to x\geqslant -5\quad(ii)\)
O domínio\((D)\) será \((i)\cap(ii)\), isto é: \(\boxed{D=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,-5\leqslant x\leqslant\dfrac{1}{3}\right\}}\quad(I)\)
Resolvendo \(\sqrt{1-3x}-\sqrt{5+x}>0\)
\((\sqrt{1-3x})^2>(\sqrt{5+x})^2\to 1-3x>5+x\to 4x<-4\to \boxed{x<-1}\quad(II)\)
Portanto a solução\((S)\) será \((I)\cap(II)\), isto é:
\(\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,-5\leqslant x<-1\}}\)
0482¶
Determine o domínio\((D)\) e resolva em \(\mathbb{R}\) a seguinte desigualdade:
\(\sqrt[4]{x}>\sqrt[3]{x}\)
0482 - Resposta
\(D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\geqslant 0\}\)
\(S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,0<x<1\}\)
0482 - Solução
O domínio\((D)\), virá do radicando de \(\sqrt[4]{x}\) por ser índice igual a quatro, ou seja, par. Assim:
\(\boxed{D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\geqslant 0\}}\quad(I)\)
Resolvendo \(\sqrt[4]{x}>\sqrt[3]{x}\)
\(\sqrt[4]{x}>\sqrt[3]{x}\to x^{\frac 14}>x^{\frac 13}\)
Aqui, duas situações são possíveis:
1ª) Se \(x>1\), teremos a falsa desigualdade: \(x^{\frac 14}>x^{\frac 13}\)
2ª) Se \(\underbrace{0<x<1}_{(II)}\), teremos a verdadeira desigualdade: \(x^{\frac 14}>x^{\frac 13}\)
Portanto, a solução\((S)\) será \((I)\cap(II)\), isto é:
\(\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,0<x<1\}}\)
0481¶
Determine o domínio\((D)\) e resolva em \(\mathbb{R}\) a seguinte desigualdade:
\(\sqrt{4-\sqrt{1-x}}-\sqrt{2-x}>0\)
0481 - Resposta
\(D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,-15\leqslant x\leqslant 1\}\)
\(S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,\dfrac{-5+\sqrt{13}}{2}<x\leqslant 1\right\}\)
0481 - Solução
Estudo do domínio\((D)\):
\(D_{1}\): Devemos ter o radicando \(4-\sqrt{1-x}\geqslant 0\):
\(4\geqslant\sqrt{1-x}\to 16\geqslant(\underbrace{\sqrt{1-x}}_{\text{para }x\leqslant 1})^2\to\)
\(16\geqslant 1-x\,(+x)\to x\geqslant -15\) e ainda, para \(x\leqslant 0\), isto é \(\boxed{D_{1}=-15\leqslant x\leqslant 1}\)
\(D_{2}\): Devemos ter o radicando \(2-x\geqslant 0\,(+x)\to 2\geqslant x\to \boxed{D_{2}=x\leqslant 2}\)
Assim, o domínio\((D)\) será \(D_{1}\cap D_{2}\), ou seja: \(\boxed{D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,-15\leqslant x\leqslant 1\}}\quad(I)\)
Resolvendo \(\sqrt{4-\sqrt{1-x}}-\sqrt{2-x}>0\)
\((\sqrt{4-\sqrt{1-x}})^2>(\sqrt{2-x})^2\to 4-\sqrt{1-x}>2-x\to\)
\(x+2>\sqrt{1-x}\to (x+2)^2>(\sqrt{1-x})^2\to\)
\(x^2+4x+4>1-x\to \underbrace{x^2+5x+3}_{Bhaskara}>0\)
\(x=\dfrac{-5\pm\sqrt{5^2-4\times 1\times 3}}{2\times 1}\to\)
...as raízes serão \(x=\dfrac{-5\pm\sqrt{13}}{2}\)
Estudando os sinais da inequação \(x^2+5x+3>0\), teremos:
\(\boxed{x<\dfrac{-5-\sqrt{13}}{2}\quad\,\,\text{ou}\,\,\quad x>\dfrac{-5+\sqrt{13}}{2}}\quad(II)\)
A solução\((S)\) final será \((I)\cap(II)\), isto é: \(\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,\dfrac{-5+\sqrt{13}}{2}<x\leqslant 1\right\}}\)
0480¶
Determine o domínio\((D)\) e resolva em \(\mathbb{R}\) a seguinte desigualdade:
\(\sqrt{x+2}-\sqrt{3-x}>1\)
0480 - Resposta
\(D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,-2\leqslant x\leqslant 3\}\)
\(S=\{x\in\mathbb{R}\,/\, 2<x\leqslant 3\}\)
0480 - Solução
Importante: iniciar a solução determinando o domínio.
Para que a inequação faça sentido, é preciso que \(x+2\geqslant 0\) e \(3-x\geqslant 0\) para os reais.
Assim, o domínio\((D)\), será: \(\boxed{D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,-2\leqslant x\leqslant 3\}}\quad(I)\)
Resolvendo \(\sqrt{x+2}-\sqrt{3-x}>1\)
O lado esquerdo da inequação nem sempre é positivo para "\(x\)" no domínio. Como resolver?
\(\sqrt{x+2}-\sqrt{3-x}>1\quad(+\sqrt{3-x})\)
\(\sqrt{x+2}>1+\sqrt{3-x}\)
Agora, ambos os lados da inqueação equivalente são sempre positivos, logo podemos elevar ambos os lados ao quadrado.
\((\sqrt{x+2})^2>(1+\sqrt{3-x})^2\to x+2>1+2\cdot 1\cdot\sqrt{3-x}+3-x\to\)
\(x+2>4-x+2\sqrt{3-x}\quad[+(x-4)]\to\)
\(2x-2>2\sqrt{3-x}\quad[(\div 2)]\to\)
\(x-1>\sqrt{3-x}\)
Antes de elevarmos ambos os lados ao quadrado, precisamos ter o cuidado de garantir que o lado esquerdo seja sempre positivo. Para garantir que podemos elevar ambos os lados ao quadrado, precisamos separar os casos.
Caso 1: \(x-1<0\). Por hipótese, o lado esquerdo é estritamente menor que zero, mas o lado direito da inequação é sempre maior ou igual a zero. Logo, não há solução neste caso.
Caso 2: \(x-1\geqslant 0\). Ou seja, \(x\geqslant 1\). Agora, elevando ambos os lados ao quadrado, temos:
\((x-1)^2>(\sqrt{3-x})^2\to x^2-2x+1>3-x\to x^2-x-2>0\)
Falta apenas resolver está última inequação para o domínio \([-2;\,3]\), e com \(x\) restrito a \(x\geqslant 1\). Ou seja, consideraremos apenas soluções no intervalo real \([1;\,3]\)
Resolvendo \(x^2-x-2>0\) no intervalo \([1;\,3]\):
Através da fórmula quadrática, encontraremos as raízes \(-1\)(fora do intervalo válido) e \(2\). Analisando o sinal de \(x^2-x-2\) ou \((x+1)(x-2)\) nos intervalos \([1;\,2)\) e \((2;3]\):
\(\begin{array}{cccccl} & (x+1) & (x-2) & x^2-x-2 & >0 &\\ 1\leqslant x<2 & + & - & - & >0 & \text{FALSO}\\ 2 & + & 0 & 0 & >0 & \text{FASO}\\ 2<x \leqslant3 & + & + & + & >0 & \text{VERDADEIRO} \end{array}\)
Portanto, a solução\((S)\) será: \(\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}\,/\, 2<x\leqslant 3\}}\)
0479¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte inequação:
\(\sqrt{2x-5}<3\)
0479 - Resposta
\(S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,\dfrac{5}{2}\leqslant x<7\right\}\)
0479 - Solução
O domínio\((D)\) será \(2x-5\geqslant 0\to \boxed{D=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\geqslant\dfrac{5}{2}\right\}}\quad(I)\)
Resolvendo \(\sqrt{2x-5}<3\)
\((\sqrt{2x-5})^2<(3)^2\to 2x-5<9\to \boxed{x<7}\quad(II)\)
Portanto, a solução\((S)\) será \((I)\cap(II)\), ou seja:
\(\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,\dfrac{5}{2}\leqslant x<7\right\}}\)
0478¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte inequação:
\(\sqrt{x+6}<x-6\)
0478 - Resposta
\(S=\{x\in\mathbb{R}\,/\, x>10\}\)
0478 - Solução
O domínio\((D)\) será \((I)\cap(II)\), onde:
Devemos garantir a existência do radicando \(x+6\geqslant 0\to \boxed{x\geqslant-6}\quad(I)\)
Devemos garantir a existência do lado direito \(x-6>0\to\boxed{x>6}\quad(II)\)
Dessa forma: \(\boxed{D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x>6\}}\quad(III)\)
Resolvendo \(\sqrt{x+6}<x-6\)
\((\sqrt{x+6})^2<(x-6)^2\to x+6<x^2-12x+36\to x^2-13x+30>0\)
Fórmula quadrática para \(x^2-13x+30=0\to\ldots\to x_{1}=10;\,\,x_{2}=3\)
Assim \(x^2-13x+30>0\Leftrightarrow \boxed{x\in(-\infty;\,3)\cup(10;\,+\infty)}\quad(IV)\)
A solução\((S)\) será \((III)\cap(IV)\), ou seja:
\(\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}\,/\, x>10\}}\)
0477¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte inequação:
\(\sqrt{x^2+5x+4}<x+2\)
0477 - Resposta
\(S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,-1\leqslant x<0\}\)
0477 - Solução
O domínio\((D)\) será \((I)\cap(II)\), onde:
Devemos garantir a existência do radicando
\(x^2+5x+4\geqslant 0\to\ldots\to \boxed{x\in(-\infty;\,-4]\cup[-1;\,+\infty)}\quad(I)\)
Devemos garantir a existência do lado direito \(x+2>0\to\boxed{x>-2}\quad(II)\)
Dessa forma: \(\boxed{D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\geqslant -1\}}\quad(III)\)
Resolvendo \(\sqrt{x^2+5x+4}<x+2\)
\((\sqrt{x^2+5x+4})^2<(x+2)^2\to\ldots\to \boxed{x<0}\quad(IV)\)
A solução\((S)\) final será \((III)\cap(IV)\), ou seja:
\(\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,-1\leqslant x<0\}}\)
0476¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte inequação:
\(\sqrt{x^2-3x-10}<8-x\)
0476 - Resposta
\(S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,(-\infty;\,-2]\cup\left[5;\,\dfrac{74}{13}\right)\right\}\)
0476 - Solução
O domínio\((D)\) será \((I)\cap(II)\), onde:
Devemos garantir a existência do radicando
\(x^2-3x-10\geqslant 0\to\ldots\to \boxed{x\in(-\infty;\,-2]\cup[5;\,+\infty)}\quad(I)\)
Devemos garantir a existência do lado direito \(8-x>0\to\boxed{x<8}\quad(II)\)
Dessa forma: \(\boxed{D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,(-\infty;\,-2]\cup[5;\,8)\}}\quad(III)\)
Resolvendo \(\sqrt{x^2-3x-10}<8-x\)
\((\sqrt{x^2-3x-10})^2<(8-x)^2\to\ldots\to \boxed{x<\dfrac{74}{13}\,\,(\approx 5,6)}\quad(IV)\)
A solução\((S)\) final será \((III)\cap(IV)\), ou seja:
\(\boxed{D=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,(-\infty;\,-2]\cup\left[5;\,\dfrac{74}{13}\right)\right\}}\)