Página21

0525

Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte inequação:

\(\sqrt{x^2+x-12}<6-x\)

0525 - Resposta

\(S=\left\{x\in(-\infty;\,-4]\cup\left[3;\,\dfrac{48}{13}\right)\right\}\)

0525 - Solução

O domínio\((D)\) será \((I)\cap(II)\), onde:

Devemos garantir a existência do radicando

\(x^2+x-12\geqslant 0\to\ldots\to \boxed{x\in(-\infty;\,-4]\cup[3;\,+\infty)}\quad(I)\)

Devemos garantir a existência do lado direito \(6-x>0\to\boxed{x<6}\quad(II)\)

Dessa forma: \(\boxed{D=x\in(-\infty;\,-4]\cup[3;\,6)}\quad(III)\)

Resolvendo \(\sqrt{x^2+x-12}<6-x\)

\((\sqrt{x^2+x-12})^2<(6-x)^2\to\ldots\to \boxed{x<\dfrac{48}{13}\,\,(\approx 3,7)}\quad(IV)\)

A solução\((S)\) final será \((III)\cap(IV)\), ou seja:

\(\boxed{S=\left\{x\in(-\infty;\,-4]\cup\left[3;\,\dfrac{48}{13}\right)\right\}}\)

0524

Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte inequação:

\(\sqrt{7-3x}<-9\)

0524 - Resposta

\(S=\varnothing\)

0524 - Solução

O domínio\((D)\) será \((I)\cap(II)\), onde:

Devemos garantir a existência do radicando \(7-3x\geqslant 0\to\boxed{x\leqslant\dfrac{7}{3}}\quad(I)\)

Devemos garantir a existência do lado direito \(-9>0\to\) (impossível) \((II)\)

Dessa forma: \(\boxed{D=\varnothing}\) e a solução\((S)\) final será \(\boxed{S=\varnothing}\)

0523

Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte inequação:

\(\sqrt{3x-7}>3\)

0523 - Resposta

\(S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x>\dfrac{16}{3}\right\}\)

0523 - Solução

O domínio\((D)\) será \((I)\cap(II)\), onde:

Devemos garantir a existência do radicando \(3x-7\geqslant 0\to\boxed{x\geqslant\dfrac{7}{3}}\quad(I)\)

Devemos garantir a existência do lado direito \(\boxed{3>0}\quad(II)\)

Dessa forma: \(\boxed{D=x\in\mathbb{R}\,/\,x\geqslant\dfrac{7}{3}}\quad(III)\)

Resolvendo \(\sqrt{3x-7}>3\)

\((\sqrt{3x-7})^2>(3)^2\to\ldots\to \boxed{x>\dfrac{16}{3}}\quad(IV)\)

A solução\((S)\) final será \((III)\cap(IV)\), ou seja:

\(\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x>\dfrac{16}{3}\right\}}\)

0522

Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte inequação:

\(\sqrt{x+2}>2x-2\)

0522 - Resposta

\(S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,-2\leqslant x<2\}\)

0522 - Solução

Como esse exercício é do tipo \(\sqrt{A(x)}\geqslant B(x)\), devemos levar em consideração:

a) \(A(x)\geqslant 0\quad\) e \(\quad B(x)<0\), isto é:

a.1) \(x+2\geqslant 0\to x\geqslant-2\) e

a.2) \(2x-2<0\to x<1\)

Assim: \(\boxed{x\geqslant -2}\)

Ou

b) \(A(x)\geqslant 0\),\(\quad B(x)\geqslant 0\quad\) e \(\quad A(x)>[B(x)]^2\), isto é:

b.1) \(x+2\geqslant 0\to x\geqslant-2\),

b.2) \(2x-2\geqslant 0\to x\geqslant 1\) e

b.3) \(x+2>(2x-2)^2\to x+2>4x^2-8x+4\to\ldots\to 4x^2-9x+2<0\to\ldots\to x\in\left(\dfrac{1}{4};\,2\right)\)

Assim: \(\boxed{1\leqslant x<2}\)

Da união de "a)" e "b)", teremos a solução\((S)\) final, ou seja:

\(\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,-2\leqslant x<2\}}\)

0521

Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte inequação:

\(\sqrt{x+2}>x\)

0521 - Resposta

\(S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,-2\leqslant x<2\}\)

0521 - Solução

Como esse exercício é do tipo \(\sqrt{A(x)}\geqslant B(x)\), devemos levar em consideração:

a) \(A(x)\geqslant 0\quad\) e \(\quad B(x)<0\), isto é:

a.1) \(x+2\geqslant 0\to x\geqslant-2\) e

a.2) \(x<0\)

Assim: \(\boxed{-2\leqslant x<0}\)

Ou

b) \(A(x)\geqslant 0\), \(\quad B(x)\geqslant 0\quad\) e \(\quad A(x)>[B(x)]^2\), isto é:

b.1) \(x+2\geqslant 0\to x\geqslant-2\),

b.2) \(x\geqslant 0\) e

b.3) \(x+2>x^2\to x^2-x-2<0\to\ldots\to x\in\left(-1;\,2\right)\)

Assim: \(\boxed{0\leqslant x<2}\)

Da união de "a)" e "b)", teremos a solução\((S)\) final, ou seja:

\(\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,-2\leqslant x<2\}}\)

0520

Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte inequação:

\(x-3<\sqrt{x+27}\)

0520 - Resposta

\(S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,-27\leqslant x<9\}\)

0520 - Solução

\(x-3<\sqrt{x+27}\) ou sua inequação equivalente \(\sqrt{x+27}>x-3\)

Como esse exercício é do tipo \(\sqrt{A(x)}\geqslant B(x)\), devemos levar em consideração:

a) \(A(x)\geqslant 0\quad\) e \(\quad B(x)<0\), isto é:

a.1) \(x+27\geqslant 0\to x\geqslant-27\) e

a.2) \(x-3<0\to x<3\)

Assim: \(\boxed{-27\leqslant x<3}\)

Ou

b) \(A(x)\geqslant 0\), \(\quad B(x)\geqslant 0\quad\) e \(\quad A(x)>[B(x)]^2\), isto é:

b.1) \(x+27\geqslant 0\to x\geqslant-27\),

b.2) \(x-3\geqslant 0\to x\geqslant 3\) e

b.3) \(x+27>(x-3)^2\to x^2-7x-18<0\to\ldots\to x\in\left(-2;\,9\right)\)

Assim: \(\boxed{3\leqslant x<9}\)

Da união de "a)" e "b)", teremos a solução\((S)\) final, ou seja:

\(\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,-27\leqslant x<9\}}\)

0519

Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte inequação:

\(\sqrt{4x-8}>-5\)

0519 - Resposta

\(S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\geqslant 2\}\)

0519 - Solução

Como o lado direito é um valor fixo e negativo \((-5)\) nada a se fazer ali;

entretanto, devemos considerar a condição de existência do radicando:

\(4x-8\geqslant 0\to x\geqslant 2\)

Portanto, desde que o radical do lado esquerdo exista, ele já será positivo, ou igual a zero, e, de qualquer forma, será maior que cinco. Assim, a solução\((S)\) final será:

\(\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\geqslant 2\}}\)

0518

Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte inequação:

\(\sqrt{-x^2+6x-5}>8-2x\)

0518 - Resposta

\(S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,3<x\leqslant 5\}\)

0518 - Solução

Como esse exercício é do tipo \(\sqrt{A(x)}\geqslant B(x)\), devemos levar em consideração:

a) \(A(x)\geqslant 0\quad\) e \(\quad B(x)<0\), isto é:

a.1) \(-x^2+6x-5\geqslant 0\to\ldots\to 1\leqslant x\leqslant 5\) e

a.2) \(8-2x<0\to 2x>8\to x>4\)

Assim: \(\boxed{4<x\leqslant 5}\)

Ou

b) \(A(x)\geqslant 0\), \(\quad B(x)\geqslant 0\quad\) e \(\quad A(x)>[B(x)]^2\), isto é:

b.1) \(-x^2+6x-5\geqslant 0\to\ldots\to 1\leqslant x\leqslant 5\),

b.2) \(8-2x\geqslant 0\to x\leqslant 4\) e

b.3) \(-x^2+6x-5>(8-2x)^2\to\ldots\to 5x^2-38x+69<0\to\ldots\to x\in\left(3;\,4,6\right)\)

Assim: \(\boxed{3<x\leqslant 4}\)

Da união de "a)" e "b)", teremos a solução\((S)\) final, ou seja:

\(\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,3<x\leqslant 5\}}\)

0517

Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte inequação:

\(\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+1}<1\)

0517 - Resposta

\(S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,-\dfrac{1}{2}\leqslant x<3-2\sqrt{3}\right\}\)

0517 - Solução

\(\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+1}<1\) ou sua inequação equivalente \(\underbrace{\sqrt{2x+1}}_{\sqrt{A(x)}}<\underbrace{1-\sqrt{x+1}}_{B(x)}\)

1.Verificando o domínio, obtido junto aos radicandos:

\(2x+1\geqslant 0\to x\geqslant-\dfrac{1}{2}\quad(I)\) e

\(x+1\geqslant 0\to x\geqslant -1\quad(II)\)

Portanto, o domínio\((D)\), será \((I)\cap(II)\), isto é:

\(\boxed{D=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\geqslant-\dfrac{1}{2}\right\}}\quad(III)\)

2.Como esse exercício é do tipo \(\sqrt{A(x)}\leqslant B(x)\), devemos levar em consideração:

a) \(A(x)\geqslant 0\to 2x+1\geqslant 0\to x\geqslant-\dfrac{1}{2}\)

b) \(B(x)\geqslant 0\to x+1\geqslant 0\to x\geqslant -1\)

c) \(A(x)<[B(x)]^2\to 2x+1<[1-\sqrt{x+1}]^2\to\)

\(2x+1<1-2\sqrt{x+1}+x+1\to 2\sqrt{x+1}<1-x\) e aqui:

c.1) Condição de existência do radicando: \(x+1\geqslant 0\to x\geqslant -1\)

c.2) Condição de existência do lado direito: \(1-x\geqslant 0\to x\leqslant 1\)

c.3) Resolvendo a inequação \(2\sqrt{x+1}<1-x\)

\((2\sqrt{x+1})^2<(1-x)^2\to\ldots\to\)

\(x^2-6x-3>0\to\ldots\to x<3-2\sqrt{3}\) ou \(x>3+2\sqrt{3}\)

Da intersecção de "c.1", "c.2" e "c.3", teremos: \(-1\leqslant x<3-2\sqrt{3}\)

Da interseção de "a", "b" e "c", teremos: \(\boxed{-\dfrac{1}{2}\leqslant x<3-2\sqrt{3}}\quad(IV)\)

A solução\((S)\) final será \((III)\cap(IV)\), ou seja:

\(\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,-\dfrac{1}{2}\leqslant x<3-2\sqrt{3}\right\}}\)

0516

Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte inequação:

\(\sqrt{5x-4}+\sqrt{3x+1}<3\)

0516 - Resposta

\(S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,\dfrac{4}{5}\leqslant x<1\right\}\)

0516 - Solução

\(\sqrt{5x-4}+\sqrt{3x+1}<3\) ou sua inequação equivalente \(\underbrace{\sqrt{5x-4}}_{\sqrt{A(x)}}<\underbrace{3-\sqrt{3x+1}}_{B(x)}\)

1.Verificando o domínio, obtido junto aos radicandos:

\(5x-4\geqslant 0\to x\geqslant\dfrac{4}{5}\quad(I)\) e

\(3x+1\geqslant 0\to x\geqslant -\dfrac{1}{3}\quad(II)\)

Portanto, o domínio\((D)\), será \((I)\cap(II)\), isto é:

\(\boxed{D=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\geqslant\dfrac{4}{5}\right\}}\quad(III)\)

2.Como esse exercício é do tipo \(\sqrt{A(x)}\leqslant B(x)\), devemos levar em consideração:

a) \(A(x)\geqslant 0\to 5x-4\geqslant 0\to x\geqslant\dfrac{4}{5}\)

b) \(B(x)\geqslant 0\to 3x+1\geqslant 0\to x\geqslant -\dfrac{1}{3}\)

c) \(A(x)<[B(x)]^2\to 5x-4<[3-\sqrt{3x+1}]^2\to\)

\(5x-4<9-6\sqrt{3x+1}+3x+1\to\ldots\to 3\sqrt{3x+1}<7-x\) e aqui:

c.1) Condição de existência do radicando: \(3x+1\geqslant 0\to x\geqslant -\dfrac{1}{3}\)

c.2) Condição de existência do lado direito: \(7-x\geqslant 0\to x\leqslant 7\)

c.3) Resolvendo a inequação \(3\sqrt{3x+1}<7-x\)

\((3\sqrt{3x+1})^2<(7-x)^2\to\ldots\to\)

\(x^2-41x+40>0\to\ldots\to x<1\) ou \(x>40\)

Da intersecção de "c.1", "c.2" e "c.3", teremos: \(-1\leqslant x<3-2\sqrt{3}\)

Da interseção de "a", "b" e "c", teremos: \(\boxed{-\dfrac{1}{3}\leqslant x<1}\quad(IV)\)

A solução\((S)\) final será \((III)\cap(IV)\), ou seja:

\(\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,\dfrac{4}{5}\leqslant x<1\right\}}\)

0515

Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte inequação:

\(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}>1\)

0515 - Resposta

\(S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,-1\leqslant x\leqslant 1\}\)

0515 - Solução

Observe a solução gráfica:

Portanto, a solução\((S)\), será: \(\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,-1\leqslant x\leqslant 1\}}\)

0514

Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte inequação:

\(\sqrt{x^2+3x+2}-\sqrt{x^2-x+1}<1\)

0514 - Resposta

\(S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\, x\leqslant-2\,\,\text{ou}\,\,-1\leqslant x<\dfrac{-1+\sqrt{13}}{6}\right\}\)

0514 - Solução

Observe a solução gráfica:

Portanto, a solução\((S)\), será: \(\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\, x\leqslant-2\,\,\text{ou}\,\,-1\leqslant x<\dfrac{-1+\sqrt{13}}{6}\right\}}\)

0513

Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte inequação:

\(\sqrt{2(x+24)}-\sqrt{x-7}\geqslant\sqrt{x+7}\)

0513 - Resposta

\(S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,7\leqslant x\leqslant 25\}\)

0513 - Solução

Domínio:

\(\left|\begin{array}{l} 2(x+24)\geqslant 0\,\,(\div 2)\\ x-7\geqslant 0\\ x+7\geqslant 0 \end{array}\right.\Leftrightarrow\) \(\left|\begin{array}{l} x+24\geqslant 0\\ x\geqslant 7\\ x\geqslant -7 \end{array}\right.\Leftrightarrow\) \(\left|\begin{array}{l} x\geqslant -24\\ x\geqslant 7\\ x\geqslant -7 \end{array}\right.\Leftrightarrow x\geqslant 7\Leftrightarrow \boxed{x\in[7;\,\infty)}\quad(I)\)

Resolvendo a inequação \(\sqrt{2(x+24)}-\sqrt{x-7}\geqslant\sqrt{x+7}\)

\(\left(\sqrt{2(x+24)}-\sqrt{x-7}\right)^2\geqslant(\sqrt{x+7})^2\)

\(2(x+24)-2\sqrt{2(x+24)}\cdot\sqrt{x-7}+x-7\geqslant x+7\to\ldots\to\)

\(\sqrt{2(x+24)\cdot(x-7)}\leqslant x+17\Leftrightarrow\)

\(\left|\begin{array}{l} 2(x+24)\cdot(x-7)\geqslant 0\,\,(\div 2)\\ x+17\geqslant 0\\ 2(x+24)(x-7)\leqslant (x+17)^2 \end{array}\right.\Leftrightarrow\) \(\left|\begin{array}{l} (x+24)\cdot(x-7)\geqslant 0\\ x\geqslant -17\\ 2(x^2+17x-168)\leqslant x^2+34x+289 \end{array}\right.\Leftrightarrow\)

\(\left|\begin{array}{l} x\in(-\infty;\,-24]\cup[7;\,+\infty)\\ x\geqslant -17\\ x^2-625\leqslant 0 \end{array}\right.\Leftrightarrow\) \(\left|\begin{array}{l} x\in[7;\,+\infty)\\ x\in[-25;\,25] \end{array}\right.\Leftrightarrow \boxed{x\in[7;\,25]}\quad(II)\)

Portanto, a solução\((S)\) final será \((I)\cap(II)\), ou seja:

\(\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,7\leqslant x\leqslant 25\}}\)

0512

Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte inequação:

\((x+2)\cdot\sqrt{x^2-2x-3}\geqslant 0\)

0512 - Resposta

\(S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,-2\leqslant x\leqslant-1\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 3\}\)

0512 - Solução

Domínio:

\(x^2-2x-3\geqslant 0\to(x+1)(x-3)\geqslant 0\to \boxed{x\in(-\infty;\,-1]\cup[3;\,+\infty)}\quad(I)\)

Resolvendo a inequação \((x+2)\cdot\sqrt{x^2-2x-3}\geqslant 0\)

\((x+2)\cdot\sqrt{x^2-2x-3}\geqslant 0\Leftrightarrow\)

1.\(\left|\begin{array}{l} x+2\geqslant 0\\ \sqrt{x^2-2x-3}\geqslant 0 \end{array}\right.\Leftrightarrow\)

ou

2.\(\left|\begin{array}{l} x+2\leqslant 0\\ \sqrt{x^2-2x-3}\leqslant 0 \end{array}\right.\Leftrightarrow\)

1.\(\left|\begin{array}{l} x+2\geqslant 0\\ \sqrt{x^2-2x-3}\geqslant 0 \end{array}\right.\Leftrightarrow\) \(\left|\begin{array}{l} x\geqslant -2\\ \forall\,x \end{array}\right.\Rightarrow \boxed{x\geqslant -2}\quad(II)\)

ou

2.\(\left|\begin{array}{l} x+2\leqslant 0\\ \sqrt{x^2-2x-3}\leqslant 0 \end{array}\right.\Leftrightarrow\) \(\left|\begin{array}{l} x\leqslant -2\\ x\in\varnothing \end{array}\right.\Rightarrow \boxed{x\in\varnothing}\quad(III)\)

Portanto, a solução\((S)\) final será \((I)\cap(II)\cap(III)\), ou seja:

\(\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,-2\leqslant x\leqslant-1\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 3\}}\)

0511

Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte inequação:

\(\dfrac{\sqrt{5-4x}+7x-6}{x}\geqslant 2\)

0511 - Resposta

\(S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x<0\,\,\text{ou}\,\,1\leqslant x\leqslant\dfrac{5}{4}\right\}\)

0511 - Solução

Domínio:

\(\left|\begin{array}{l} x\neq 0\\ 5-4x\geqslant 0 \end{array}\right.\Leftrightarrow\) \(\left|\begin{array}{l} x\neq 0\\ x\leqslant \dfrac{5}{4} \end{array}\right.\Rightarrow \boxed{x\in\left(-\infty;\,\dfrac{5}{4}\right]\,\,\text{e}\,\,x\neq 0}\quad(I)\)

Resolvendo a inequação \(\dfrac{\sqrt{5-4x}+7x-6}{x}\geqslant 2\)

Quadro 1

\(\dfrac{\sqrt{5-4x}+7x-6}{x}-2\geqslant 0\to\dfrac{\sqrt{5-4x}+5x-6}{x}\geqslant 0\Leftrightarrow\)

(a)\(\left|\begin{array}{l} \sqrt{5-4x}+5x-6\geqslant 0\\ x>0 \end{array}\right.\Leftrightarrow\) \(\left|\begin{array}{l} \sqrt{5-4x}\geqslant 6-5x\quad(*)\\ x>0 \end{array}\right.\)

ou

(b)\(\left|\begin{array}{l} \sqrt{5-4x}+5x-6\leqslant 0\\ x<0 \end{array}\right.\Leftrightarrow\) \(\left|\begin{array}{l} \sqrt{5-4x}\leqslant 6-5x\quad(**)\\ x<0 \end{array}\right.\)

\((*)\) De (a): \(\sqrt{5-4x}\geqslant 6-5x\)

\(\left[\begin{array}{l} \left|\begin{array}{l} 5-4x\geqslant 0\\ 6-5x<0\end{array}\right.\\ \newline\\\newline \left|\begin{array}{l} 5-4x\geqslant 0\\ 6-5x\geqslant 0\\ 5-4x\geqslant(6-5x)^2 \end{array}\right. \end{array}\right.\Leftrightarrow\) \(\left[\begin{array}{l} \left|\begin{array}{l} x\leqslant\dfrac{5}{4}\\\\ x>\dfrac{6}{5}\end{array}\right.\\ \newline\\\newline \left|\begin{array}{l} x\leqslant\dfrac{5}{4}\\\\ x\leqslant\dfrac{6}{5}\\\\ 25x^2-56x+31\leqslant 0 \end{array}\right. \end{array}\right.\Leftrightarrow\) \(\left[\begin{array}{l} \left|\begin{array}{l} x\in\left(\dfrac{6}{5};\,\dfrac{5}{4}\right]\end{array}\right.\\ \newline\\\newline \left|\begin{array}{l} x\in\left[1;\,\dfrac{6}{5}\right]\\ \end{array}\right. \end{array}\right.\Leftrightarrow \boxed{x\in\left[1;\,\dfrac{5}{4}\right]}\,(*)\)

\((**)\) De (b): \(\sqrt{5-4x}\leqslant 6-5x\)

\(\left|\begin{array}{l} 5-4x\geqslant 0\\ 6-5x>0\\ 5-4x\leqslant(6-5x)^2 \end{array}\right.\Leftrightarrow\) \(\left|\begin{array}{l} x\leqslant \dfrac{5}{4}\\\\ x<\dfrac{6}{5}\\\\ 25x^2-56x+31\geqslant 0 \end{array}\right.\Leftrightarrow\) \(\left|\begin{array}{l} x<\dfrac{6}{5}\\\\ x\in(-\infty;\,1)\cup\left(\dfrac{62}{60};\,+\infty\right) \end{array}\right.\Leftrightarrow \boxed{x\in(-\infty;\,1)}\,(**)\)

Voltando ao Quadro 1, com os resultados obtidos:

Em (a): \(\boxed{x\in\left[1;\,\dfrac{5}{4}\right]}\)

e

Em (b): \(\boxed{x\in(-\infty;\,1)}\)

Quadro 1

\(\left[\begin{array}{l} \left|\begin{array}{l} \sqrt{5-4x}\geqslant 6-5x\\ x>0 \end{array}\right.\\ \newline\\\newline \left|\begin{array}{l} \sqrt{5-4x}\leqslant 6-5x\\ x<0 \end{array}\right. \end{array}\right.\Leftrightarrow\) \(\left[\begin{array}{l} \left|\begin{array}{l} x\in\left[1;\,\dfrac{5}{4}\right]\\ x>0 \end{array}\right.\\ \newline\\\newline \left|\begin{array}{l} x\in(-\infty;\,1)\\ x<0 \end{array}\right. \end{array}\right.\Leftrightarrow\) \(\left|\begin{array}{l} x\in\left[1;\dfrac{5}{4}\right]\\\\ x\in(-\infty;\,0) \end{array}\right.\Leftrightarrow\)

\(\boxed{x\in(-\infty;\,0)\cup\left[1;\dfrac{5}{4}\right]}\quad(II)\)

Portanto, a solução\((S)\), final será \((I)\cap(II)\), ou seja:

\(\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x<0\,\,\text{ou}\,\,1\leqslant x\leqslant\dfrac{5}{4}\right\}}\)

0510

Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte equação irracional:

\(2\sqrt{x+5}=x+2\)

0510 - Resposta

\(S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x=4\}\)

0510 - Solução

Domínio\((D)\): \(x+5\geqslant 0\to\boxed{D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\geqslant-5\}}\)

Resolvendo:

\((2\sqrt{x+5})^2=(x+2)^2\to 4(x+5)=x^2+4x+4\to 4x+20=x^2+4x+4\to\)

\(x^2=16\to \cancel{x_{1}=-4}\to\) Inválido, de acordo com o domínio

ou

\(x_{2}=4\to\) Válido, pelo domínio e pelo teste de verificação

Portanto, a solução\((S)\), será: \(\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x=4\}}\)

Observação: Confira a solução gráfica

0509

Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte equação irracional:

\(4+2\sqrt{x-4}=x\)

0509 - Resposta

\(S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x=4\,\,\text{ou}\,\,x=8\}\)

0509 - Solução

Domínio\((D)\): \(x-4\geqslant 0\to\boxed{D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\geqslant 4\}}\)\

Resolvendo:

\(4+2\sqrt{x-4}=x\to 2\sqrt{x-4}=x-4\to\ldots\)

Incógnitas auxiliares: \(\sqrt{x-4}=k\) e \((x-4)=k^2\), então:

\(2k=k^2\to k^2-2k=0\to k(k-2)=0\to k=0\) ou \(k=2\)

Voltando à equação original:

\(k=0\to (\sqrt{x-4})^2=0^2\to x-4=0\to x=4\to\) Válido, pelo domínio e pelo teste de verificação

\(k=2\to (\sqrt{x-4})^2=2^2\to x-4=4\to x=8\to\) Válido, pelo domínio e pelo teste de verificação

Portanto, a solução\((S)\), será: \(\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x=4\,\,\text{ou}\,\,x=8\}}\)

Observação: Confira a solução gráfica

0508

Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte equação irracional:

\(x-2\sqrt{x-6}=6\)

0508 - Resposta

\(S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x=6\,\,\text{ou}\,\,x=10\}\)

0508 - Solução

Domínio\((D)\): \(x-6\geqslant 0\to\boxed{D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\geqslant 6\}}\)\

Resolvendo:

\(x-2\sqrt{x-6}=6\to 2\sqrt{x-6}=x-6\to\ldots\)

Incógnitas auxiliares: \(\sqrt{x-6}=k\) e \(()x-6)=k^2\), então:

\(2k=k^2\to k^2-2k=0\to k(k-2)\to k=0\) ou \(k=2\)

Voltando à equação original:

\(k=0\to (\sqrt{x-6})^2=0^2\to x-6=0\to x=6\to\) Válido, pelo domínio e pelo teste de verificação

\(k=2\to (\sqrt{x-6})^2=2^2\to x-6=4\to x=10\to\) Válido, pelo domínio e pelo teste de verificação

Portanto, a solução\((S)\), será: \(\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x=6\,\,\text{ou}\,\,x=10\}}\)

Observação: Confira a solução gráfica

0507

Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte equação irracional:

\(\sqrt{4-x}=3-\sqrt{5+x}\)

0507 - Resposta

\(S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x=-5\,\,\text{ou}\,\,x=4\}\)

0507 - Solução

Domínio\((D)\):

\(\left[\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} 4-x\geqslant 0 \end{array}\right.\\ \newline\\\newline \left[\begin{array}{l} 5+x\geqslant 0 \end{array}\right. \end{array}\right.\Leftrightarrow\) \(\left[\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} x\leqslant 4 \end{array}\right.\\ \newline\\\newline \left[\begin{array}{l} x\geqslant -5 \end{array}\right. \end{array}\right.\Leftrightarrow \boxed{D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,-5\leqslant x\leqslant 4\}}\)

Resolvendo:

\((\sqrt{4-x})^2=(3-\sqrt{5+x})^2\to 4-x=9-6\sqrt{5+x}+5+x\to\)

\((2x+10)^2=(6\sqrt{5+x})^2\to 4x^2+40x+100=36(5+x)\to\)

\(4x^2+4x-80=0\,\,(\div 4)\to x^2+x-20=0\to\)

\(x=-5\to\) Válido, pelo domínio e pelo teste de verificação

ou

\(x_{2}=4\to\) Válido, pelo domínio e pelo teste de verificação

Portanto, a solução\((S)\), será: \(\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x=-5\,\,\text{ou}\,\,x=4\}}\)

Observação: Confira a solução gráfica

0506

Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte equação irracional:

\(5+2\sqrt{x-2}=x\)

0506 - Resposta

\(S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x=11\}\)

0506 - Solução

Domínio\((D)\): \(x-2\geqslant 0\to\boxed{D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\geqslant 2\}}\)\

Resolvendo:

\(5+2\sqrt{x-2}=x\to (2\sqrt{x-2})^2=(x-5)^2\to\)

\(4(x-2)=x^2-10x+25\to x^2-14x+33=0\to\text{Bhaskara}\)

\(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to\)

\(x=\dfrac{14\pm\sqrt{196-132}}{2}\to\)

\(x=\dfrac{14\pm 8}{2}\to\)

\(\cancel{x=3}\to\) Inválido, pelo teste de verificação

\(x=11\to\) Válido, pelo domínio e pelo teste de verificação

Portanto, a solução\((S)\), será: \(\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x=11\}}\)

Observação: Confira a solução gráfica

0505

Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte equação irracional:

\(2\sqrt{x-1}+\sqrt{4x-1}=\sqrt{3}\)

0505 - Resposta

\(S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x=1\}\)

0505 - Solução

Domínio\((D)\):

\(\left[\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} x-1\geqslant 0 \end{array}\right.\\ \newline\\\newline \left[\begin{array}{l} 4x-1\geqslant 0 \end{array}\right. \end{array}\right.\Leftrightarrow\) \(\left[\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} x\geqslant 1 \end{array}\right.\\ \newline\\\newline \left[\begin{array}{l} x\geqslant \dfrac{1}{4} \end{array}\right. \end{array}\right.\Leftrightarrow \boxed{D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\geqslant 1\}}\)

Resolvendo:

\(2\sqrt{x-1}+\sqrt{4x-1}=\sqrt{3}\to\)

\((2\sqrt{x-1})^2=(\sqrt{3}-\sqrt{4x-1})^2\to\)

\(4(x-1)=3-2\sqrt{3(4x-1)}+4x-1\to\)

\((2\sqrt{12x-3})^2=(6)^2\to 4(12x-3)=36\to\)

\(48x-12=36\to x=1\to\) Válido, pelo domínio e pelo teste de verificação

Portanto, a solução\((S)\), será: \(\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x=1\}}\)

Observação: Confira a solução gráfica

0504

Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte equação irracional:

\(2+\sqrt{x^2-4x+4}=x\)

0504 - Resposta

\(S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\geqslant 2\}\)

0504 - Solução

Domínio\((D)\): \(x^2-4x+4\geqslant 0\to\boxed{D=\{x\in\mathbb{R}\}}\)

Solução de: \(2+\sqrt{x^2-4x+4}=x\to \sqrt{(x-2)^2}=x-2\)

Como sabemos \(\boxed{\sqrt{x^2}=|x|;\,\,\forall x\in\mathbb{R}}\)

Assim, \(\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|\), então teremos: \(|x-2|=x-2\)

Por definição:

\(|x|=\left\{\begin{array}{rcl}x & \text{se} & x\geqslant 0\\-x & \text{se} & x<0\end{array}\right.\)

Resolvendo \(|x-2|=x-2\)

Obrigatoriamente, o lado direito deverá ser \(x-2\geqslant 0\to x\geqslant 2\to S=\{x\in\mathbb{R}\,/\, x\geqslant 2\}\quad(I)\)

Se \(x\geqslant 0\to x-2=x-2\to \forall x\in\mathbb{R}\), então \(S=\mathbb{R}\quad(II)\)

Se \(x<0\to -x+2=x-2\to 2x=4\to x=2\), então \(S=\varnothing\quad(III)\)

Portanto, a solução\((S)\) final, será \((I)\cap(II)\cap(III)\), ou seja:

\(\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\geqslant 2\}}\)

Observação: Confira a solução gráfica

0503

Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte equação irracional:

\(\sqrt{x+5}+\sqrt{2-x}=0\)

0503 - Resposta

\(S=\varnothing\)

0503 - Solução

Domínio\((D)\):

\(\left[\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} x+5\geqslant 0 \end{array}\right.\\ \newline\\\newline \left[\begin{array}{l} 2-x\geqslant 0 \end{array}\right. \end{array}\right.\Leftrightarrow\) \(\left[\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} x\geqslant -5 \end{array}\right.\\ \newline\\\newline \left[\begin{array}{l} x\leqslant 2 \end{array}\right. \end{array}\right.\Leftrightarrow \boxed{D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,-5\leqslant x\leqslant 2\}}\)

Resolvendo:

\(\sqrt{x+5}+\sqrt{2-x}=0\to \sqrt{x+5}=-\sqrt{2-x}\)

Essa equação tem solução vazia, pois o resultado de uma raiz quadrada - lado esquerdo - será sempre positiva ou igual a zero, enquanto há a negação do lado direito, o que torna impossível encontrar qualquer solução.

Portanto, a solução\((S)\), será: \(\boxed{S=\varnothing}\)

Observação: Confira a solução gráfica

0502

Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte equação irracional:

\(2\sqrt{x+2}+\sqrt{2-4x}=\sqrt{10}\)

0502 - Resposta

\(S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x=-2\,\,\text{ou}\,\,x=\dfrac{1}{2}\right\}\)

0502 - Solução

Domínio\((D)\):

\(\left[\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} x+2\geqslant 0 \end{array}\right.\\ \newline\\\newline \left[\begin{array}{l} 2-4x\geqslant 0 \end{array}\right. \end{array}\right.\Leftrightarrow\) \(\left[\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} x\geqslant -2 \end{array}\right.\\ \newline\\\newline \left[\begin{array}{l} x\leqslant \dfrac{1}{2} \end{array}\right. \end{array}\right.\Leftrightarrow \boxed{D=\{x\in\mathbb{R}\,/\,-2\leqslant x\leqslant \dfrac{1}{2}\}}\)

Resolvendo:

\(2\sqrt{x+2}+\sqrt{2-4x}=\sqrt{10}\to (2\sqrt{x+2})^2=(\sqrt{10}-\sqrt{2-4x})^2\to\)

\(4(x+2)=10-2\sqrt{10(2-4x)}+2-4x\to\)

\(2\sqrt{10(2-4x}=4-8x\to\)

\(\cancel{2}\sqrt{10(2-4x)}=\cancel{2}(2-4x)\to\)

\((\sqrt{10(2-4x)})^2=(2-4x)^2\to\)

\(10(2-4x)=(2-4x)^2\to\) Incógnitas auxiliares:

\(10k=k^2\to k^2-10k=0\to\,\,k=0\) ou \(k=10\)

Voltando à equação original:

Para \(k=0\to 2-4x=0\to x=\dfrac{1}{2}\to\) Válido, pelo domínio e pelo teste de verificação

Para \(k=10\to 2-4x=10\to x=-2\to\) Válido, pelo domínio e pelo teste de verificação

Portanto, a solução\((S)\), será: \(\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x=-2\,\,\text{ou}\,\,x=\dfrac{1}{2}\right\}}\)

Observação: Confira a solução gráfica

0501

Resolva, em \(\mathbb{R}\), as seguintes equações:

1. \(\to\boxed{10x-1=15-6x}\)
   

2. \(\to\boxed{\dfrac{3x}{2}+5=\dfrac{5x}{2}-1}\)

0501 - Resposta

1. \(\quad x=1\)
2. \(\quad x=6\)

0501 - Solução

Resolva, em \(\mathbb{R}\), as seguintes equações:

1. \(\to\boxed{10x-1=15-6x}\)

   \(10x+6x=15+1\to 16x=16\to\boxed{x=1}\)

2. \(\to\boxed{\dfrac{3x}{2}+5=\dfrac{5x}{2}-1}\)

   \(\dfrac{5x}{2}-\dfrac{3x}{2}=5+1\to\boxed{x=6}\)