Página24¶
0600¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a equação \(\sqrt{x-9}-\sqrt{x-18}=1\).
0600 - Solução
Trata-se de uma equação irracional, portanto:
1º)A condição de existência será: \(x-9\geq 0\) e \(x-18\geq 0\rightarrow \boxed{x\geq 18}\)
2º)Elevando ao quadrado ambos os lados da equação: \(\underbrace{\left(\sqrt{x-9}-\sqrt{x-18}\right)^{2}}_{\text{I}} = \underbrace{(1)^{2}}_{\text{II}}\);
3º)Aplicando o produto notável \(\underbrace{(a - b)^2 \, = \, a^{2} - 2ab + b^{2}}\) à parte (I) da igualdade:
\(\left(\sqrt{x-9} - \sqrt{x-18}\right)^{2} \, = \, \left(\sqrt{x-9}\right)^{2} - 2(\sqrt{x-9})(\sqrt{x-18}) + \left(\sqrt{x-18}\right)^{2}\rightarrow\)
\(x-9-2\sqrt{(x-9)(x-18)}+x-18\rightarrow \underbrace{2x-27 - 2\sqrt{(x-9)(x-18)}}\);
4º)Voltando a equação inicial com a nova formação, vamos resolvê-la:
\(\underbrace{2x-27 - 2\sqrt{(x-9)(x-18)}}_{\text{I}}=\underbrace{1}_{\text{II}}\rightarrow \underbrace{2x-28 = 2\sqrt{(x-9)(x-18)}}_{\text{evidenciando ambos os lados}}\rightarrow\)\
\(\underbrace{\cancel{2}(x-14) = \cancel{2}\left( \sqrt{(x-9)(x-18)} \right)}_{\text{simplificando ambos os lados}}\rightarrow \underbrace{x-14 = \sqrt{(x-9)(x-18)}}_{\text{elevando ao quadrado ambos os lados}}\rightarrow\)
\(\underbrace{\cancel{x^{2}}-28x+196 = \cancel{x^{2}}-27x+162}_{\text{simplificando ambos os lados}}\to -28x+27x=162-196\rightarrow\) \(\boxed{x=34}\)
5º)Como a condição de existência é \(x\geq 18\), a resposta \(x=34\) é válida.
0599¶
Sendo \(\left( \sqrt{2} + \sqrt{3} \right)^{2} \, = \, 5 + \sqrt{\mathrm{n}}\), calcule o valor de \(n\).
0599 - Solução
Aplicando o produto notável \(\underbrace{(a + b)^2 \, = \, a^{2} + 2ab + b^{2}}\) à parte esquerda da igualdade:
\(\underbrace{\left(\sqrt{2} + \sqrt{3}\right)^{2} \, = \, \left(\sqrt{2}\right)^{2} + 2 \sqrt{2} \sqrt{3} + \left(\sqrt{3}\right)^{2}}\rightarrow\) \(2 + 2 \sqrt{6} + 3\rightarrow\) \(5 + 2 \sqrt{6}\)
Voltando à questão, vamos comparar as duas partes da igualdade:
\(\underbrace{ 5 + 2 \sqrt{6} \, = \, 5 + \sqrt{\mathrm{n}}}\rightarrow \underbrace{ 5 + \sqrt{24} \, = \, 5 + \sqrt{\mathrm{n}}}\rightarrow n=24\)
0598¶
Classifique as funções abaixo em linear, constante, identidade ou polinomial do primeiro grau:
a) \(f(x)= -3x+5\)
b) \(g(x)= 5x\)
c) \(h(x)=x\)
d) \(m(x)= -7\)
0598 - Solução
Teorizando esses tipos de função:
Linear: função do tipo \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R};\,\,f(x)=ax\), com \(a\in \mathbb{R}^{*}\)
Constante: função do tipo \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R};\,\,f(x)=a\), com \(a\in \mathbb{R}\)
Identidade: função do tipo \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R};\,\,f(x)=x\), com \(a=1\) e \(b=0\)
Polinomial do 1º grau: função do tipo \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R};\,\,f(x)=ax+b\), com \(a\in \mathbb{R}^{*}\,\,\text{e}\,\,b\in\mathbb{R}^{*}\)
Respondendo, portanto, de acordo com as definições acima:
a) \(f(x)= -3x+5 \rightarrow \textbf{Polinomial do 1º grau}\), ou seja, \(f(x)=ax+b\)
b) \(g(x)= 5x \rightarrow \textbf{Linear}\), ou seja, \(g(x)=ax\)
c) \(h(x)=x \rightarrow \textbf{Identidade}\), ou seja, \(h(x)=x\)
d) \(m(x)= -7 \rightarrow \textbf{Constante}\), ou seja \(m(x)=a\)
0597¶
Dada a função real \(f(x)= -3x-1\), determine:
a) \(f(-2)\)
b) \(f(3)\)
c) \(f(1)\)
0597 - Solução
a) \(f(-2)= -3(-2)-1 \rightarrow f(-2)= 6-1 \rightarrow f(-2)= 5\)
b) \(f(3)= -3(3)-1 \rightarrow f(-2)= -9-1 \rightarrow f(3)= -10\)
c) \(f(1)= -3(1)-1 \rightarrow f(1)= -3-1 \rightarrow f(1)= -4\)
0596¶
Trace o gráfico de cada função a seguir:
a) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R};\,\, f(x) = -2x+1\)
b) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R};\,\, f(x) = 2x\)
c) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R};\,\, f(x) = \left|\dfrac{-2x^{2}}{3}+1\right|\)
d) \(f:\mathbb{R}_{+}\rightarrow \mathbb{R};\,\, f(x) = \sqrt{2x}\)
0596 - Solução
O gráfico de cada função, a seguir:
a) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R};\,\, f(x) = -2x+1\)
b) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R};\,\, f(x) = 2x\)
c) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R};\,\, f(x) = \left|\dfrac{-2x^{2}}{3}+1\right|\)
d) \(f:\mathbb{R}_{+}\rightarrow \mathbb{R};\,\, f(x) = \sqrt{2x}\)
0595¶
Sendo \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R};\,\,f(x)=2x^{2}-x-3\), determine:
a) Se a concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo.
b) Os zeros da função.
c) O vértice da parábola definida pela função.
0595 - Solução
a) Se a concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo:
OBS: Dada uma função quadrática \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R};\,\,f(x)=ax^{2}+bx+c\) com \(a\in \mathbb{R^{*}}\). Se \(a>0\), sua concavidade estará voltada para cima; se \(a<0\), sua concavidade estará voltada para baixo.
Nesta questão, \(a=2>0\), portanto, a concavidade está voltada para cima.
b) Os zeros da função:
OBS: Os zeros da função são os valores de "\(x\)" quando \(f(x)=0\), isto é, \(f(x)=2x^{2}-x-3=0\).
Dessa forma, teremos uma equação do segundo grau. Vamos resolvê-la pela fórmula de Bhaskara:
aqui, para \(a=2,\,\,b=-1\,\,\text{e}\,\,c=-3\)
\(x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^{2}-4\times 2\times (-3)}}{2\times 2}\rightarrow x=\dfrac{1\pm \sqrt{25}}{4}\rightarrow\)
\(x=\dfrac{1\pm 5}{4}\rightarrow x=-1\,\,\text{ou}\,\,x=\dfrac{3}{2}\).
c) O vértice da parábola definida pela função:
OBS: O vértice(V) é dado pelo par ordenado \(V=\left( \dfrac{-b}{2a};\,\,\dfrac{-\Delta}{4a} \right),\,\,\text{onde}\,\, \Delta = b^{2}-4ac\)
0594¶
Determine a função inversa das seguintes funções:
a) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R};\,\,f(x) = 2x - 8\)
b) \(g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R};\,\,g(x) = 3x + 7\)
594 - Solução
Funções inversas só são possíveis em funções bijetoras ou bijetivas. As funções apresentadas são bijetoras e, portanto, invertíveis.
Além disso, para facilitar, adotaremos como "\(y\)", as funções \(f(x)\) e \(g(x)\). Vale salientar que as notações das funções inversas \(f(x)\) e \(g(x)\), serão, respectivamente, \(f^{-1}(x)\,\) e \(\,g^{-1}(x)\).
Na prática, basta, literalmente, inverter as incógnitas e, depois, isolar o "\(y\)", assim:
a) \(f(x)=y= 2x-8 \rightarrow x= 2y-8 \rightarrow 2y-8= x \rightarrow\)
\(2y= x+8 \rightarrow y= \dfrac{x}{2}+4\,\) ou \(\boxed{\,f^{-1}(x)= \dfrac{x}{2}+4}\)
b) \(g(x)=y= 3x+7 \rightarrow x= 3y+7 \rightarrow 3y+7= x \rightarrow\)
\(3y= x-7 \rightarrow y= \dfrac{x}{3}- \dfrac{7}{3}\,\) ou \(\boxed{\,g^{-1}(x)= \dfrac{x}{3}- \dfrac{7}{3}}\)
0593¶
Determine o domínio das seguintes funções:
a) \(f(x)=3x^{2}-3x+2\)
b) \(y=\dfrac{4}{4-2x}\)
c) \(f(x)=\sqrt{5x-20}\)
d) \(y=3x-9\)
0593 - Solução
Domínio (\(\mathbb{D}\)) de uma função são todos os valores de "\(x\)" que podemos utilizar(ou não) para que a função dada exista(ou não).
a)\(f(x)= 3x^{2}-3x+2\rightarrow \mathbb{D}=\mathbb{R}\), isto é, \(\forall x\in \mathbb{R}\), ou ainda, qualquer "\(x\)" real pode ser utilizado.
b) \(y= \dfrac{4}{4-2x}\rightarrow\) Como qualquer fração, o denominador não pode ser zero.
Portanto, \(4-2x\) não pode ser zero, ou \(4-2x\neq 0\rightarrow -2x\neq -4\,\,(-1)\rightarrow 2x\neq 4\rightarrow x\neq 2\).
Assim, todos os valores de "\(x\)" reais, com exceção do valor "\(2\)" podem ser utilizados.
Portanto: \(\mathbb{D}=\{ x\in \mathbb{R}\,|\,x\neq 2 \}\).
c) \(f(x)= \sqrt{5x-20}\rightarrow\) Como qualquer raiz quadrada, o radicando não pode ser negativo.
Aqui, portanto, o radicando \(5x-20\) não pode ser negativo, mas, pode ser igual ou maior que zero para que a função exista.
Assim \(5x-20\geq 0\rightarrow 5x\geq 20\rightarrow x\geq 4\) portanto, \(\mathbb{D}=\{ x\in \mathbb{R}\,|\,x\geq 4 \}\).
d) \(y= 3x-9\rightarrow \mathbb{D}=\mathbb{R}\), isto é, \(\forall x\in \mathbb{R}\), ou ainda, qualquer "\(x\)" real pode ser utilizado.
0592¶
Determine o domínio das funções reais definidas a seguir:
a) \(f(x)= x-7\)
b) \(g(x)= x-\dfrac{1}{4}\)
c) \(h(x)=x^{2}+1\)
d) \(i(x)= \dfrac{1}{\sqrt{8-x}}\)
e) \(j(x)=\sqrt{\dfrac{x}{2x-1}}\)
0592 - Solução
Domínio (\(\mathbb{D}\)) de uma função são todos os valores de "\(x\)" que podemos utilizar (ou não) para que a função dada exista (ou não).
a) \(f(x)= x-7\rightarrow \mathbb{D}=\mathbb{R}\), isto é, \(\forall x\in \mathbb{R}\), ou ainda, qualquer "\(x\)" real pode ser utilizado.
b) \(g(x)= x-\dfrac{1}{4}\rightarrow \mathbb{D}=\mathbb{R}\), isto é, \(\forall x\in \mathbb{R}\), ou ainda, qualquer "\(x\)" real pode ser utilizado.
c) \(h(x)=x^{2}+1\rightarrow \mathbb{D}=\mathbb{R}\), isto é, \(\forall x\in \mathbb{R}\), ou ainda, qualquer "\(x\)" real pode ser utilizado.
d) \(i(x)= \dfrac{1}{\sqrt{8-x}}\rightarrow\) Como qualquer fração, o denominador não pode ser zero, portanto o nosso denominador \(\sqrt{8-x}\) não pode ser zero, ou seja, \(\sqrt{8-x}\neq 0\), ou ainda, \(x\neq 8\). Ok, mas aqui temos mais um problema... O nosso denominador também é uma raiz quadrada, e como tal, não pode ser negativa... assim \(\sqrt{8-x}\) não pode ser negativa, MAS, pode ser maior que zero (veja que aqui nós já proibimos o denominador de ser zero). Então, o que nos resta solucionar é que \(8-x>0\rightarrow -x> -8\,\,(-1)\,\,\rightarrow x<8\). Finalmente, \(\mathbb{D}=\{ x\in \mathbb{R}\,|\,x<8 \}\).
e) \(j(x)=\sqrt{\dfrac{x}{2x-1}}\rightarrow\) Como toda raiz quadrada, o radicando não pode ser zero, portanto, aqui, o nosso radicando \(\dfrac{x}{2x-1}\) não pode ser negativo, MAS, pode ser maior ou igual a zero, ou seja, \(\dfrac{x}{2x-1}\geq 0\). Aqui temos outro problema... trata-se de uma inequação quociente à qual passamos a solucionar:
Para uma fração ser positiva, teremos duas situações:
\(\rightarrow\)(I): Numerador e denominador devem ser, ambos, positivos, no nosso caso:
\(x>0\,\) e \(\,2x-1>0\rightarrow x>\dfrac{1}{2}\). Das duas condições, veja que, sendo o \(x>\dfrac{1}{2}\), já nos basta, pois \(\dfrac{1}{2}\) já é também, maior que zero. Assim, guardemos \((I)\) como \(x>\dfrac{1}{2}\);
\(\rightarrow\)(II): Numerador e denominador devem ser, ambos, negativos, no nosso caso:
\(x<0\) e \(2x-1<0\rightarrow x<\dfrac{1}{2}\). Das duas condições, veja que, sendo o \(x<0\), já nos basta, pois \(x<0\) já é, também, menor que \(\dfrac{1}{2}\).Assim, guardemos \((II)\) como \(x<0\).
Finalmente, basta-nos tomar (II) ou (I) como domínio, ou seja, \(\mathbb{D}=\left\{ x\in \mathbb{R}\,\,|\,\, x<0\,\,\text{ou}\,\, x>\dfrac{1}{2} \right\}\)
0591¶
Discuta o seguinte sistema linear:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcr} x & + & y & + & z & = & 3\\ x & + & 2y & + & 3z & = & 6\\ 2x & + & 3y & + & 4z & = & a \end{array}\right.\)
0591 - Solução
A forma mais simples de se discutir um sistema linear é escaloná-lo e, posteriormente, tecer as considerações.
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} x & + & y & + & z & = & 3 & (-L_{1}+L_{2})\,\,(-2L_{1}+L_{3})\\ x & + & 2y & + & 3z & = & 6 & \\ 2x & + & 3y & + & 4z & = & a & \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} x & + & y & + & z & = & 3 & \\ & & y & + & 2z & = & 3 & (-L_{2}+L_{3})\\ & & y & + & 2z & = & a - 6 & \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} x & + & y & + & z & = & 3 &\\ & & y & + & 2z & = & 3 &\\ & & & & 0 & = & a - 9 & \end{array}\right.\)
Observe que, depois de escalonado, o sistema linear ficou na dependência da última equação. Ali é que está a solução da questão. Veja que, se \(a=9\), a terceira linha desaparece e o sistema ficará com duas equações e três incógnitas.
Como a incógnita "\(z\)" é livre, podemos encontrar infinitas soluções, daí o sistema ser possível e indeterminado. Ao contrário, se \(a\neq 9\), teremos uma terceira linha de equação impossível, daí o sistema ser impossível. Em resumo:
Se \(a=9\), Sistema Possível e Indeterminado (SPI)
Se \(a\neq 9\), Sistema Impossível (SI)
0590¶
Resolva o seguinte sistema linear:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & - & 2y & = & 8 & \\ 2x & - & y & = & 12 & \end{array}\right.\)
0590 - Solução
Vamos utilizar o método do escalonamento para resolver este sistema linear com duas equações e duas incógnitas; assim:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & - & 2y & = & 8 & (-2L_{1}+L_{2})\\ 2x & - & y & = & 12 & \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & - & 2y & = & 8 & \\ & & 3y & = & -4 & \to 3y=-4\rightarrow \boxed{y=-\dfrac{4}{3}} \end{array}\right.\)
Substituindo o valor de "\(y=-\dfrac{4}{3}\)" na primeira equação:
\(x-2\left( -\dfrac{4}{3} \right)=8\rightarrow x+\dfrac{8}{3}=8\rightarrow x=8-\dfrac{8}{3}\rightarrow \boxed{x=\dfrac{16}{3}}\)
Portanto, a solução(S) final, será: \(S=\left\{\left(\dfrac{16}{3};\,-\dfrac{4}{3}\right)\right\}\)
0589¶
Resolva o seguinte sistema linear:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 5x & + & y & = & 13 &\\ x & + & y & = & 5 & \end{array}\right.\)
0589 - Solução
Vamos utilizar o método do escalonamento para resolver este sistema linear com duas equações e duas incógnitas; assim:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 5x & + & y & = & 13 & \\ x & + & y & = & 5 & (-L_{2}+L_{1}) \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 4x & & & = & 8 &\to 4x=8\rightarrow \boxed{x=2}\\ x & + & y & = & 5 & \end{array}\right.\)
Substituindo o valor de "\(x=2\)" na segunda equação:
\(2+y=5\rightarrow y=5-2\rightarrow \boxed{y=3}\)
Portanto, a solução(S) final, será: \(S=\left\{\left(2,\,3\right)\right\}\)
0588¶
Resolva o seguinte sistema linear:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & - & 5y & = & 7 &\\ 5x & - & 5y & = & 5 & \end{array}\right.\)
0588 - Solução
Podemos observar que a segunda equação "\(5x-5y=5\)" pode ser simplificada, dividindo-se toda a equação por "\(5\)", tendo portanto, "\(x-y=1\)". Para resolver este sistema linear, vamos utilizar o método do escalonamento; assim:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & - & 5y & = & 7 & \\ x & - & y & = & 1 & (-L_{2}+L_{1}) \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} & & -4y & = & 6 &\to -4y=6\rightarrow \boxed{y=-\dfrac{3}{2}}\\ x & - & y & = & 1 & \end{array}\right.\)
Substituindo o valor de "\(y=-\dfrac{3}{2}\)" na segunda equação:
\(x-\left(-\dfrac{3}{2}\right)=1\rightarrow x=1-\dfrac{3}{2}\rightarrow \boxed{x=-\dfrac{1}{2}}\)
Portanto, a solução(S) final, será: \(S=\left\{\left(-\dfrac{1}{2};\,-\dfrac{3}{2}\right)\right\}\)
0587¶
Resolva o seguinte sistema linear:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & y & = & 277 &\\ x & - & y & = & 11 & \end{array}\right.\)
0587 - Solução
Vamos utilizar o método do escalonamento a fim de resolver seu sistema linear, com duas equações e duas incógnitas; assim:\
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & y & = & 277 &\\ x & - & y & = & 11 & (L_{2}+L_{1}) \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 2x & & & = & 288 &\to 2x=288\rightarrow \boxed{x=144}\\ x & - & y & = & 11 & \end{array}\right.\)
Substituindo o valor de "\(x=144\)" na segunda equação:
\(144-y=11\rightarrow \boxed{y=133}\)
Portanto, a solução(S) final, será: \(S=\{(144,\,133)\}\)
0586¶
Resolva o seguinte sistema linear:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & - & 5y & = & 7 &\\ 5x & - & 5y & = & 25 & \end{array}\right.\)
0586 - Solução
Podemos observar que a segunda equação "\(5x-5y=25\)" pode ser simplificada, dividindo-se toda a equação por "\(5\)", tendo portanto, "\(x-y=5\)". Para resolver este sistema linear, vamos utilizar o método do escalonamento; assim:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & - & 5y & = & 7 & \\ x & - & y & = & 5 & (-L_{2}+L_{1}) \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} & - & 4y & = & 2 &\to -4y=2\rightarrow \boxed{y=-\dfrac{1}{2}}\\ x & - & y & = & 5 & \end{array}\right.\)
Substituindo o valor de "\(y=-\dfrac{1}{2}\)" na segunda equação:
\(x-\left(-\dfrac{1}{2}\right)=5\rightarrow x=5-\dfrac{1}{2}\rightarrow \boxed{x=\dfrac{9}{2}}\)
Portanto, a solução(S) final, será: \(S=\left\{\left(\dfrac{9}{2};\,-\dfrac{1}{2}\right)\right\}\)
0585¶
Calcule "\(x\)", nas seguintes equações:
\(a)\,\,\dfrac{x-2}{x}=\dfrac{12}{20}\), para \(x\neq 0\)
\(b)\,\,\dfrac{0,6}{2x}=\dfrac{0,9}{6}\), para \(x\neq 0\)
\(c)\,\,\dfrac{x+1}{x}=\dfrac{1}{3}\), para \(x\neq 0\)
\(d)\,\,\dfrac{5}{x+3}=\dfrac{2}{7,3}\), para \(x\neq -3\)
0585 - Solução
Calculando "\(x\)":
\(a)\,\,\dfrac{x-2}{x}=\dfrac{12}{20}\rightarrow 20(x-2)=12x\rightarrow 20x-40=12x\rightarrow 8x=40\rightarrow \boxed{x=5}\)
\(b)\,\,\dfrac{0,6}{2x}=\dfrac{0,9}{6}\rightarrow 1,8x=3,6\rightarrow \boxed{x=2}\)
\(c)\,\,\dfrac{x+1}{x}=\dfrac{1}{3}\rightarrow 3(x+1)=x\rightarrow 3x+3=x\rightarrow 2x=-3\rightarrow \boxed{x=-\dfrac{3}{2}}\)
\(d)\,\,\dfrac{5}{x+3}=\dfrac{2}{7,3}\rightarrow 2(x+3)=5\times 7,3\rightarrow 2x+6=36,5\rightarrow 2x=30,5\rightarrow \boxed{x=15,25}\)
0584¶
Resolva o seguinte sistema linear:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} x & + & y & + & 2z & = & 3 &\\ 2x & + & 2y & + & 3z & = & 5 &\\ 3x & + & 4y & + & 2z & = & 0 & \end{array}\right.\)
0584 - Solução
Vamos utilizar o método do escalonamento, a fim de resolver este sistema linear:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} x & + & y & + & 2z & = & 3 & (2L_{1}-L_{2})(3L_{1}-L_{3})\\ 2x & + & 2y & + & 3z & = & 5 &\\ 3x & + & 4y & + & 2z & = & 0 & \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrl} x & + & y & + & 2z & = & 3 & \\ & & & & z & = & 1 & \rightarrow \boxed{z=1}\\ & - & y & + & 4z & = & 9 & \rightarrow -y+4=9 \rightarrow \boxed{y=-5} \end{array}\right.\)
Substituindo os valores de "\(x\)" e "\(y\)" encontrados, na primeira equação:
\(x-5+2.1=3\rightarrow \boxed{x=6}\)
Portanto a solução(S) final é: \(S=\{(6;\,-5;\,1)\}\)
0583¶
Sabendo que sen\((x)=\dfrac{3}{5}\) pertencente ao \(1\)º quadrante, calcular sen\((2x)\).
0583 - Solução
Algumas considerações:
1)Como "\(x\)" pertence ao primeiro quadrante, tanto seu seno, quanto seu cosseno serão positivos;
2)Para encontrar o valor do "cos\((x)\)", vamos utilizar a relação trigonométrica: "sen\(^{2}(x)+\)cos\(^{2}(x)=1\)", tomando apenas o valor positivo do \(\text {cos}(x)\), assim:
\(\text{sen}^{2}(x)+\text{cos}^{2}(x)=1\rightarrow \left( \dfrac{3}{5}\right)^{2}+\text{cos}^{2}(x)=1\rightarrow\)
\(\dfrac{9}{25}+\text{cos}^{2}(x)=1\rightarrow \text{cos}^{2}(x)=1-\dfrac{9}{25}\rightarrow\)
\(\text{cos}^{2}(x)=\dfrac{16}{25}\rightarrow \boxed{\text{cos}(x)=\dfrac{4}{5}}\)
3)Lembrando que "sen\((2x)=2\,.\,\)sen\((x)\,.\,\)cos\((x)\)"; teremos:
\(\text{sen}(2x)=2\times\text{sen}(x)\times\text{cos}(x)\rightarrow\)
\(\text{sen}(2x)=2\times\dfrac{3}{5}\times\dfrac{4}{5}\rightarrow \boxed{\text{sen}(2x)=\dfrac{24}{25}}\,\,\text{(resposta final)}\)
0582¶
Na equação \(ax^{2} + bx + c = 0\), a soma das suas raízes é \(-1\) e o produto das suas raízes é \(-6\). Sabendo que \(a+b+c=24\), calcule o valor de \(b+c\).
0582 - Solução
Algumas considerações:
1) Nessa equação, a soma de suas raízes é dada por: \(-\dfrac{b}{a}=-1\rightarrow -b=-a\,\,\text{ou}\,\,\boxed{a=b}\)
2) Nessa equação, o produto de suas raízes é dado por: \(\dfrac{c}{a}=-6\rightarrow \boxed{c=-6a}\)
3) Foi afirmado que \(a+b+c=24\); então, podemos substituir "\(b\)" por "\(a\)", e "\(c\)" por "\(-6a\)", tendo: \(a+a+(-6a)=24\rightarrow -4a=24\rightarrow \boxed{a=-6}\)
4) Se \(a=b\) e \(a=-6\), então \(\boxed{b=-6}\); e, se \(c=-6a\) e \(a=-6\), então \(c=-6(-6)\rightarrow \boxed{c=36}\)
5) Portanto, \(b+c=-6+36\rightarrow \boxed{b+c=30}\,\,\text{(resposta final)}\)
0581¶
Determine o valor de "\(x\)" para que os pontos \(A(x,\,2)\), \(B(3,\,1)\) e \(C(-4,\,2)\) sejam colineares.
581 - Solução
Esses três pontos serão colineares, se o determinante(D), a seguir, for igual a zero:
\(D=\left|\begin{array}{rrr} x & 2 & 1\\ 3 & 1 & 1\\ -4 & 2 & 1\\ \end{array} \right|=0\)
Utilizando a Regra de Sarrus:
\(x.1.1+3.2.1+(-4).1.2 -[1.1.(-4)+2.3.1+x.2.1]=0\rightarrow\)
\(x+6-8+4-6-2x=0\rightarrow\)
\(-x=4\quad(-1)\rightarrow \boxed{x=-4}\,\,\text{(resposta final)}\)
0580¶
Calcule o valor de \(x\) para os pontos \((1,\,3)\), \((-2,\,4)\) e \((x,\,0)\) sejam colineares.
0580 - Solução
Esses três pontos serão colineares, se o determinante(D), a seguir, for igual a zero; isto é:
\(D=\left|\begin{array}{rrr} 1 & 3 & 1\\ -2 & 4 & 1\\ x & 0 & 1\\ \end{array}\right|=0\)
Utilizando a Regra de Sarrus:
\(1.4.1+(-2).0.1+x.1.3 -[1.4.x+3.(-2).1+1.0.1]=0\rightarrow\)
\(4+0+3x-4x+6-0=0\rightarrow\)
\(-x=-10\quad(-1)\rightarrow \boxed{x=10}\,\,\text{(resposta final)}\)
0579¶
Qual deve ser o valor de \(P\) para que os pontos \(A(5,\,P)\), \(B(3,\,7)\) e \(C(4,\,9)\) estejam alinhados.
0579 - Solução
Esses três pontos estarão alinhados, se o determinante(D), a seguir, for igual a zero; isto é:
\(D=\left|\begin{array}{rrr} 5 & P & 1\\ 3 & 7 & 1\\ 4 & 9 & 1\\ \end{array}\right|=0\)
Utilizando a Regra de Sarrus:
\(5.7.1+3.9.1+4.1.P -[1.7.4+P.3.1+5.9.1]=0\)
\(35+27+4P-28-3P-45=0\rightarrow\)
\(P-11=0\rightarrow \boxed{P=11}\,\,\text{(resposta final)}\)
0578¶
Determinar o valor de \(m\) para que os pontos \(A(2m+1,\,2)\), \(B(-6,\,-5)\) e \(C(0,\,1)\), sejam colineares.
0578 - Solução
Esses três pontos estarão alinhados, se o determinante(D), a seguir, for igual a zero; isto é:
\(D=\left|\begin{array}{rrr} (2m+1) & 2 & 1\\ -6 &-5 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ \end{array}\right|=0\)
Utilizando a Regra de Sarrus:
\((2m+1).(-5).1+(-6).1.1+0.1.2 -[1.(-5).0+2.(-6).1+(2m+1).1.1]=0\rightarrow\)
\(-10m-5-6+0-0+12-2m-1=0\rightarrow\)
\(-12m=0\rightarrow \boxed{m=0}\,\,\text{(resposta final)}\)
0577¶
Verifique se os pontos \(A(3,\,-2)\), \(B(0,\,1)\) e \(C(-3,\,4)\) estão alinhados, isto é, são colineares.
0577 - Solução
Esses três pontos estarão alinhados, se o determinante(D), a seguir, for igual a zero; isto é:
\(D=\left|\begin{array}{rrr} 3 & -2 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ -3 & 4 & 1\\ \end{array}\right|\)
Utilizando a Regra de Sarrus:
\(D=3.1.1+0.4.1+(-3).1.(-2) -[1.1.(-3)+(-2).0.1+3.4.1]\)
\(D=3+0+6+3-0-12\rightarrow \boxed{D=0}\)
Portanto, os pontos "\(A\)", "\(B\)" e "\(C\)" estão alinhados, ou seja, são colineares.
0576¶
Calcule "\(x\)" para que se verifique a igualdade:
\(\left|\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1\\ 0 & x & x\\ 2 & x & 4\\ \end{array}\right|=0\)
0576 - Solução
Vamos calcular esse determinante de ordem três e, a seguir, resolver a equação que surgir; isto é:
\(\left|\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1\\ 0 & x & x\\ 2 & x & 4\\ \end{array}\right|=0\)
Utilizando a Regra de Sarrus
\(1.x.4+0.x.1+2.x.1 -[1.x.2+1.0.4+1.x.x]=0\rightarrow\)
\(4x+0+2x-2x-0-x^{2}=0\rightarrow\)
\(-x^{2}+4x=0\rightarrow -x(x-4)=0\rightarrow\)
\(\boxed{x=0\quad \text{ou}\quad x=4}\,\,\text{(respostas finais)}\)