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0625¶
A soma das raízes de \(7x=8-3(x+1)\) e de \(\dfrac{3x}{4}=1-\dfrac{x}{2}\) é igual a?
0625 - Solução
A estratégia aqui é resolver as equações de primeiro grau separadamente, obter os valores das respectivas raízes e, então, somá-los; assim:
\(7x=8-3(x+1)\rightarrow 7x=8-3x-1\rightarrow 10x=7\rightarrow \boxed{x=\dfrac{7}{10}}\)
\(\dfrac{3x}{4}=1-\dfrac{x}{2}\rightarrow \dfrac{3x=4-2x}{\cancel{4}}\rightarrow 5x=4\rightarrow \boxed{x=\dfrac{4}{5}}\)
Portanto, a soma é: \(\dfrac{7}{10}+\dfrac{4}{5}=\dfrac{15}{10}\,\,\text{ou}\,\,\boxed{\dfrac{3}{2}}\,\,\text{(resposta final)}\)
0624¶
Se a soma das raízes da equação \(kx^{2}+ 3x - 4 = 0\) é \(10\), podemos afirmar que o produto das raízes é?
0624 - Solução
Uma equação quadrática genérica \(ax^{2}+bx+c=0\) tem as seguintes relações entre suas raízes "\(x_{1}\)" e "\(x_{2}\)":
\(\text{Soma(S):}\,\,S=-\dfrac{b}{a}\)
\(\text{Produto(P):}\,\,P=\dfrac{c}{a}\)
Para sua equação onde "\(a=k\)", "\(b=3\)" e "\(c=-4\)", teremos:
\(S=-\dfrac{3}{k}=10\rightarrow -3=10k\rightarrow \boxed{k=\dfrac{-3}{10}}\)
\(P=\dfrac{-4}{\frac{-3}{10}}\rightarrow \boxed{P=\dfrac{40}{3}}\)
0623¶
Determinar o valor de \(P\) na equação \(Px^{2} - 5x + (P-5) =0\), para que o produto das raízes seja \(\dfrac{1}{6}\).
0623 - Solução
Uma equação quadrática genérica \(ax^{2}+bx+c=0\) tem as seguintes relações entre suas raízes "\(x_{1}\)" e "\(x_{2}\)":
\(\text{Soma(S):}\,\,S=-\dfrac{b}{a}\)
\(\text{Produto(P):}\,\,P=\dfrac{c}{a}\)
Assim, o produto das raízes dessa equação será a divisão de \((P-5)\) por \(P\), e esta divisão será igual a \(\dfrac{1}{6}\), portanto:
\(\dfrac{P-5}{P}=\dfrac{1}{6}\rightarrow 6(P-5)\rightarrow 6P-30=P\rightarrow\)
\(6P-P=30\rightarrow 5P=30\rightarrow \boxed{P=6}\,\,\text{(resposta final)}\)
0622¶
Essa questão é composta de dois exercícios:
Exercício I: Resolva os seguintes sistemas lineares:
a)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} x & + & y & + & z & = & 3 & \\ 2x & + & y & + & z & = & 2 & \\ x & + & 3y & + & z & = & 1 & \end{array}\right.\)
b)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & 5y & = & 10 & \\ 7x & + & 6y & = & 12 & \end{array}\right.\)
c)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} 2x & + & y & + & z & = & 5 & \\ -2x & + & y & + & z & = & 1 & \\ 2x & + & 5y & + & 5z & = & 17 & \end{array}\right.\)
d)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrcrr} x & + & y & - & z & + & w & = & 2 & \\ x & - & y & - & z & + & w & = & 0 & \\ -x & + & y & + & 2z & - & 2w & = & 0 & \\ x & + & y & & & + & 3w & = & 5 & \end{array}\right.\)
Exercício II: Discuta o sistema linear a seguir, nas incógnitas reais "\(x\)" e "\(y\)":
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & 2y & = & a & \\ 3x & + & ay & = & a+4 & \end{array}\right.\)
0622 - Solução
Exercício I: Resolvendo os seguintes sistemas lineares:
a)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} x & + & y & + & z & = & 3 & (2L_{1}-L_{2})\quad (L_{1}-L_{3})\\ 2x & + & y & + & z & = & 2 & \\ x & + & 3y & + & z & = & 1 & \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} x & + & y & + & z & = & 3 & \\ & & y & + & z & = & 4 & \\ x & - & 2y & & & = & 2 & \end{array}\right.\)
Depois de escalonado, conclui-se que o sistema é possível e indeterminado. Para solucioná-lo, vamos tomar a incógnita livre \(z\) e fazer \(z=\alpha\)
Substituindo \(\boxed{z=\alpha}\) na segunda equação, teremos:
\(y+\alpha=4\rightarrow \boxed{y=4-\alpha}\)
Substituindo \(z=\alpha\) e \(y=4-\alpha\) na primeira equação, teremos:
\(x+4-\cancel{\alpha} +\cancel{\alpha}=3\rightarrow \boxed{x= -1}\)
Portanto, a solução final(S) é: \(\boxed{S=\{ (-1;\,4-\alpha;\,\alpha)\,\forall \alpha \in \mathbb{R} \}}\)
b)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & 5y & = & 10 & (7L_{1}-L_{2})\\ 7x & + & 6y & = & 12 & \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & 5y & = & 10 & (7L_{1}-L_{2})\\ & & 29y & = & 58 & \rightarrow \boxed{y=2} \end{array}\right.\)
Substituindo \(y=2\) na primeira equação, teremos:
\(x+5.2=10\rightarrow \boxed{x=0}\)
Portanto a solução final(S) é: \(S=\{ (0;\,2) \}\)
c)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} 2x & + & y & + & z & = & 5 & (L_{1}+L_{2})\quad (L_{1}-L_{3})\\ -2x & + & y & + & z & = & 1 & \\ 2x & + & 5y & + & 5z & = & 17 & \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} 2x & + & y & + & z & = & 5 & \\ & + & 2y & + & 2z & = & 6 & (2L_{2}+L_{3})\\ & - & 4y & - & 4z & = & -12 & \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} 2x & + & y & + & z & = & 5 & \\ & & 2y & + & 2z & = & 6 & (:2) \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} 2x & + & y & + & z & = & 5 & \\ & & y & + & z & = & 3 & \end{array}\right.\)
Depois de escalonado, conclui-se que o sistema é possível e indeterminado. Para solucioná-lo, vamos tomar a incógnita livre \(z\) e fazer \(z=\alpha\)
Substituindo \(\boxed{z=\alpha}\) na segunda equação, teremos:
\(y+\alpha=3\rightarrow \boxed{y=3-\alpha}\)
Substituindo \(z=\alpha\) e \(y=3-\alpha\) na primeira equação, teremos:
\(2x+3-\cancel{\alpha} +\cancel{\alpha}=5\rightarrow 2x=2\rightarrow\boxed{x= 1}\)
Portanto, a solução final(S) é: \(\boxed{S=\{(1;\,3-\alpha;\,\alpha)\,\forall \alpha \in \mathbb{R}\}}\)
d)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrcrr} x & + & y & - & z & + & w & = & 2 & (L_{1}-L_{2})\,\,(L_{1}+L_{3})\,\,(L_{1}-L_{4}) \\ x & - & y & - & z & + & w & = & 0 & \\ -x & + & y & + & 2z & - & 2w & = & 0 & \\ x & + & y & & & + & 3w & = & 5 & \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrcrl} x & + & y & - & z & + & w & = & 2 & \\ & & 2y & & & & & = & 2 &\rightarrow \boxed{y=1}\\ & + & 2\cancel{y}^{1} & + & z & - & w & = & 2 &\rightarrow \boxed{z-w=0}\,\,\text{ou}\,\,\boxed{z=w}\\ & & & - & z & - & 2w & = & -3 & \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrcrl} x & + & y & - & z & + & w & = & 2 & \\ & & 2y & & & & & = & 2 &\\ & & & & z & - & w & = & 0 & (L_{3}+L_{4})\\ & & & - & z & - & 2w & = & -3 & \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrcrl} x & + & y & - & z & + & w & = & 2 & \\ & & 2y & & & & & = & 2 & \\ & & & & z & - & w & = & 0 & \\ & & & & & - & 3w & = & -3 & \rightarrow \boxed{w=z=1} \end{array}\right.\)
Substituindo \(y=z=w=1\) na primeira equação,teremos:
\(x+1-1+1=2\rightarrow \boxed{x=1}\)
Portanto, a solução final(S) é: \(S=\{(1;\,1;\,1;\,1)\}\)
Parte II: Discutindo o sistema linear a seguir, nas incógnitas reais "\(x\)" e "\(y\)":
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & 2y & = & a & (3L_{1}-L_{2})\\ 3x & + & ay & = & a+4 & \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & 2y & = & a & \\ & & (6-a)y & = & 2a-4 & (\text{Isolando "y"}) \end{array}\right.\)
\((6-a)y=2a-4\rightarrow \boxed{y=\dfrac{2a-4}{6-a}}\)
Portanto:
\(\Rightarrow\)Se \(a=6\rightarrow y=\dfrac{8}{0}\), sistema impossível (SI)
\(\Rightarrow\)Se \(a\neq 6\), sistema possível e indeterminado (SPI), cuja solução geral é:
substituindo \(\boxed{y=\dfrac{2a-4}{6-a}}\) na primeira equação, teremos:
\(x+2\,.\,\dfrac{2a-4}{6-a}=a\rightarrow x+\dfrac{4a-8}{6-a}=a\rightarrow x=a-\dfrac{4a-8}{6-a}\rightarrow\)
\(x=\dfrac{6a-a^{2}-4a+8}{6-a}\rightarrow x=\dfrac{-(a^{2}-2a-8)}{6-a}\rightarrow \boxed{x=\dfrac{a^{2}-2a-8}{a-6}}\)
Portanto, a solução final(S) é: \(S=\left\{ \left( \dfrac{a^{2}-2a-8}{a-6};\,\,\dfrac{4-2a}{a-6} \right);\,\forall\,a\in\mathbb{R}-\{6\}\right\}\)
\(\Rightarrow\)OBS: Esse sistema não pode ser possível e determinado (SPD)
0621¶
Determine \(x\in\mathbb{R}\) de modo que \(z=\dfrac{2+i}{3-x\cdot i}\) seja um número:
a) imaginário puro
b) real
0621 - Solução
Primeiramente, devemos efetuar a divisão, a fim de se obter visivelmente a parte real e a parte imaginária; posteriormente, vamos às resoluções:
\(z=\dfrac{2+i}{3-x\cdot i}\times\dfrac{3+x\cdot i}{3+x\cdot i}\to\dfrac{6-x}{9+x^2}+i\cdot\dfrac{2x+3}{9+x^2}\)
a) imaginário puro: \(\dfrac{6-x}{9+x^2}=0\to\boxed{x=6}\)
b) real: \(\dfrac{2x+3}{9+x^2}=0\to\boxed{x=-\dfrac{3}{2}}\)
0620¶
Calcule o sistema a seguir pelos métodos da adição e da substituição:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & y & = & 40 & \\ x & - & y & = & 26 & \end{array}\right.\)
0620 - Solução
Vamos utilizar os métodos da adição e da substituição, a fim de resolver seu sistema linear, com duas equações e duas incógnitas; assim:
1)Por Adição:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & y & = & 40 & \\ x & - & y & = & 26 & (+) \end{array}\right.\)
\(2x=66\rightarrow \boxed{x=33}\)
Substituindo "\(x=33\)" na primeira equação:
\(33+y=40\rightarrow y=40-33\rightarrow \boxed{y=7}\)
Portanto, a solução(S) final, será: \(S=\{(33,\,7)\}\)
2)Por Comparação:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & y & = & 40 & \rightarrow \boxed{x=40-y}\\ x & - & y & = & 26 & \rightarrow \boxed{x=26+y} \end{array}\right.\)
Igualando os "\(x\)", teremos:
\(40-y=26+y\rightarrow 40-26=y+y\rightarrow 14=2y\rightarrow \boxed{y=7}\)
Substituindo "\(y=7\)" na primeira equação:
\(x+7=40\rightarrow \boxed{x=33}\)
Portanto, a solução(S) final, será: \(S=\{(33,\,7)\}\)
0619¶
Encontre todos os números naturais compreendidos entre \(1000\) e \(3000\) que sejam divisíveis, ao mesmo tempo, por \(48\), \(60\) e \(72\).
0619 - Solução
Algumas considerações:
1)Para ser múltiplo ao mesmo tempo, de \(48\), \(60\) e \(72\) esses números deverão ser, obrigatoriamente, múltiplos do mínimo múltiplo comum entre esses três números;
2)Para encontrar o MMC entre números, devemos decompor em fatores primos, todos esses números envolvidos;
3)Para obter o MMC(Mínimo Múltiplo Comum) tomamos os fatores comuns e não comuns, com maiores expoentes:
4)Isto posto, vamos encontrar o MMC\((48,60,72)\), assim:
\(48=2^{4}.3\)
\(60=2^{2}.3.5\)
\(72=2^{3}.3^{2}\)
Portanto, o MMC\((48,60,72)= 2^{4}.3^{2}.5=16.9.5=\boxed{720}\)
Agora, podemos encontrar todos os múltiplos de \(720\) entre \(1000\) e \(3000\):
\(720\times 1=720\rightarrow\) Não serve!!
\(720\times 2=1440\rightarrow\) Serve!!
\(720\times 3=2160\rightarrow\) Serve!!
\(720\times 4=2880\rightarrow\) Serve!!
\(720\times 5=3600\rightarrow\) Não serve!!
O conjunto final será: \(\boxed{\{1440,\,2160,\,2880\}}\)
0618¶
Sabendo que \(P(2m+1, -3m-4)\) pertence ao terceiro quadrante, determine os possíveis valores reais de \(m\).
0618 - Solução
A característica de todos os pontos pertencentes ao terceiro quadrante é que as suas coordenadas, tanto "\(x\)" quanto "\(y\)", são ambas negativas, ou seja, os pontos são do tipo \((-;\,-)\), assim, teremos:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 2m & + & 1 & < & 0 &\rightarrow m <-\dfrac{1}{2}\\ & & & & &\\ -3m & - & 4 & < & 0 &\rightarrow m >-\dfrac{4}{3} \end{array}\right.\)
Portanto, \(\left\{ -\dfrac{4}{3}\,<\,m\,<\,-\dfrac{1}{2} \right\}\)
0617¶
Dados \(A(1,\,5)\) e \(B(3,\,-1)\), determine o ponto no qual a reta \(\overleftrightarrow{AB}\) intersecta a bissetriz dos quadrantes ímpares.
0617 - Solução
Algumas considerações:
1)A bissetriz dos quadrantes ímpares tem como equação reduzida \(y=x\) e a característica de que seus pontos tem coordenadas iguais e de mesmo sinal;
2)Com os pontos dados \(A\) e \(B\), vamos montar a equação da reta \(\overleftrightarrow{AB}\), utilizando a forma reduzida de uma equação genérica de reta: \(y = mx + b\), onde ``\(m\)'' é o coeficiente de inclinação dessa reta, assim:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 5 & = & 1.a & + & b &\\ -1 & = & 3.a & + & b &\text{Multiplicando a segunda equação por (-1)} \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 5 & = & a & + & \cancel{b} &\\ 1 & = & -3a & - & \cancel{b} &\text{Somando as duas equações, termo a termo} \end{array}\right.\)
\(6=-2a\rightarrow \boxed{a=-3}\)
Substituindo \(a=-3\) na primeira equação, teremos:
\(5=-3+b\rightarrow \boxed{b=8}\)
Portanto, teremos a equação da reta \(\overleftrightarrow{AB}: y=-3x+8\)
Finalmente, para que a reta \(\overleftrightarrow{AB}\) intersecte a bissetriz dos quadrantes ímpares, basta fazer "\(x=y\)" ou "\(y=x\)", assim:
\(x=-3x+8\rightarrow 4x=8\rightarrow x=y=2\), portanto o ponto é \(\boxed{(2,\;2)}\)
0616¶
Resolva o sistema a seguir, por adição e por substituição:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 2x & + & 7y & = & 17 &\\ 5x & - & y & = & -13 & \end{array}\right.\)
0616 - Solução
Resolvendo o sistema:
1º) Por adição:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 2x & + & 7y & = & 17 &\\ 5x & - & y & = & -13 &(\text{Multiplicando a segunda equação por 7}) \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 2x & + & \cancel{7y} & = & 17 &\\ 35x & - & \cancel{7y} & = & -91 &(\text{Somando as duas equações, termo a termo}) \end{array}\right.\)
\(37x=-74\rightarrow \boxed{x=-2}\)
Substituindo \(\boxed{x=-2}\) na primeira equação, por exemplo, teremos:
\(2.(-2)+7y=17\rightarrow -4+7y=17\rightarrow 7y=21\rightarrow \boxed{y=3}\)
Portanto, a solução final(S), será: \(\boxed{S=\{ -2;\,3 \}}\)
2º) Por Substituição:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 2x & + & 7y & = & 17 &\\ 5x & - & y & = & -13 &(\text{Isolando "y" na segunda equação})\\ \end{array}\right.\)
\(y=5x+13\), substituindo na primeira equação, teremos:
\(2x+7(5x+13)=17\rightarrow 2x+35x+91=17\rightarrow 37x=-74\rightarrow \boxed{x=-2}\)
Substituindo \(x=-2\) em \(y=5x+13\), teremos: \(y=5.(-2)+13\rightarrow y=-10+13\rightarrow\boxed{y=3}\)
Portanto, a solução final(S), será: \(\boxed{S=\{ -2;\,3 \}}\)
0615¶
Determine a equação geral da reta que passa pelos centros das circunferências de equações \((x + 2)^{2} +(y - 1)^{2} = 19\) e \(x^{2} + y^{2} - (x + y + 1) = 0\).
0615 - Solução
Algumas considerações:
A circunferência \((x + 2)^{2} +(y - 1)^{2} = 19\) tem centro \(C(-2,\,1)\)
A circunferência \(x^{2}+y^{2}-(x+y+1)=0\rightarrow x^{2}+y^{2}-x-y=1\) tem centro \(C\left( \dfrac{1}{2};\,\dfrac{1}{2} \right)\)
Utilizando a equação reduzida genérica \(y=ax+b\), podemos utilizar os pontos dos centros e montar um sistema de duas equações que, sendo resolvido, nos dará a equação geral da reta pedida, assim:
Para \(C(-2,\,1)\rightarrow 1=a.(-2)+b\rightarrow -2a+b=1(I)\)
Para \(C\left( \dfrac{1}{2};\,\dfrac{1}{2} \right)\rightarrow \dfrac{1}{2}=a.\dfrac{1}{2}+b=0\rightarrow a+2b=1(II)\)
Montando o sistema para as duas equações \((I)\) e \((II)\):
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} -2a & + & b & = & 1 &\\ a & + & 2b & = & 1 &(\text{Multiplicando esta equação por 2}) \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} -\cancel{2a} & + & b & = & 1 &\\ \cancel{2a} & + & 4b & = & 2 &(\text{Somando as duas equações, termo a termo}) \end{array}\right.\)
\(5b=3\rightarrow \boxed{b=\dfrac{3}{5}}\)
Substituindo \(\boxed{b=\dfrac{3}{5}}\) na segunda equação, teremos:
\(a+2.\dfrac{3}{5}=1\rightarrow a+\dfrac{6}{5}=1\rightarrow a=1-\dfrac{6}{5}\rightarrow \boxed{a=-\dfrac{1}{5}}\)
A equação da reta, ainda na forma reduzida é: \(y=-\dfrac{x}{5}+\dfrac{3}{5}\) e, na forma geral é: \(\boxed{x+5y-3=0}\)
0614¶
Os pontos \(A\left(\dfrac{7}{2},\,\dfrac{5}{2}\right)\) e \(B\left(-\dfrac{5}{2},\,-\dfrac{7}{2}\right)\) definem uma reta de equação \(ax + by + c = 0\). Calcule o valor de \(\dfrac{c}{b}\).
0614 - Solução
Para facilitar os cálculos, vamos assumir a equação reduzida genérica de uma reta \(y=mx+n\) ou \(mx+n=y\). Encontrada a reta na forma reduzida, faremos a transição para a forma geral, como está na questão.
Montando um sistema de duas equações com os pontos \(A\) e \(B\):
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} \dfrac{7m}{2} & + & n & = & \dfrac{5}{2} &\\ & & & & &\text{Multiplicando as duas equações por 2}\\ -\dfrac{5m}{2} & + & n & = & -\dfrac{7}{2} & \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 7m & + & 2n & = & 5 &\\ -5m & + & 2n & = & -7 &\text{Multiplicando a segunda equação por (-1)} \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 7m & + & \cancel{2n} & = & 5 &\\ 5m & - & \cancel{2n} & = & 7 &\text{Somando as duas equações, termo a termo} \end{array}\right.\)
\(12m=12\rightarrow \boxed{m=1}\)
Substituindo \(\boxed{m=1}\) na primeira equação, teremos:
\(7.1 + 2n = 5\rightarrow 2n = -2\rightarrow \boxed{n=-1}\)
A equação da reta, ainda na forma reduzida é: \(y=x-1\) que, na forma geral, é: \(\boxed{x-y-1=0}\) onde \(b=c=-1\), portanto \(\boxed{\dfrac{c}{b}=1}\)
0613¶
Determine "\(m\)" de modo que a função \(f(x)=2x^2+(2m-3)x+1\), tenha valor de mínimo \(x=2\)
0613 - Solução
O valor de mínimo da sua função será obtido no seu \(x_{v}\), que aqui é \(x_{v}=2\) e que é calculado por: \(x_{v}=-\dfrac{b}{2a}\); assim:
\(2=-\dfrac{2m-3}{4}\rightarrow 8 = -2m+3\rightarrow 2m=-5\rightarrow \boxed{m=-\dfrac{5}{2}}\)
...ainda, mas não pedido na questão:
O valor mínimo da sua função será obtido no seu \(y_{v}\), que é dado por: \(y_{v}=-\dfrac{\Delta}{4a}\), onde \(\Delta=b^{2} -4\times a\times c\); assim:
\(\Delta=(2m-3)^{2}-4\times 2\times 1\rightarrow \boxed{\Delta=4m^{2}-12m+1}\)
Para \(x=2\quad \text{e}\quad \Delta=4m^{2}-12m+1\), teremos:
\(y_{v}=\dfrac{-(4m^{2}-12m+1)}{4\times 2}\rightarrow \ldots \boxed{y_{v}=\dfrac{3}{4}}\)
0612¶
Calcule o valor de \(x\), \(y\) e \(z\) no sistema:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} x & + & y & + & 3z & = & 4 & \\ 2x & - & 3y & + & 4z & = & 5 & \\ 3x & - & 2y & + & 7z & = & 9 & \end{array}\right.\)
0612 - Solução
Vamos utilizar o escalonamento como método de solução desse sistema linear, assim:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} x & + & y & + & 3z & = & 4 & (2L_{1}-L_{2})\quad (3L_{1}-L_{3})\\ 2x & - & 3y & + & 4z & = & 5 & \\ 3x & - & 2y & + & 7z & = & 9 & \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} x & + & y & + & 3z & = & 4 & \\ & & 5y & + & 2z & = & 3 & \\ & & 5y & + & 2z & = & 3 &(\text{...elimininando esta equação}) \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} x & + & y & + & 3z & = & 4 & \\ & & 5y & + & 2z & = & 3 & \\ \end{array}\right.\)
Após o escalonamento, podemos observar que se trata de um sistema possível e indeterminado (SPI). Assim, terá infinitas soluções e, para encontrá-las, vamos tomar a incógnita livre \(z\) nomeando-a de \(\alpha\), isto é, \(z=\alpha\).
Substituindo \(z=\alpha\) na segunda equação, teremos:
\(5y+2\alpha=3\rightarrow 5y=3-2\alpha\rightarrow \boxed{y=\dfrac{3-2\alpha}{5}}\)
Substituindo \(z=\alpha\) e \(y=\dfrac{3-2\alpha}{5}\) na primeira equação, teremos:
\(x+\dfrac{3-2\alpha}{5}+3\alpha=4\rightarrow x=4-3\alpha-\dfrac{3-2\alpha}{5}\rightarrow\)
\(x=\dfrac{20-15\alpha-3+2\alpha}{5}\rightarrow \boxed{x=\dfrac{17-13\alpha}{5}}\)
Portanto a solução(S) é: \(S=\left\{\left(\dfrac{17-13\alpha}{5};\,\,\dfrac{3-2\alpha}{5};\,\,\alpha\right)\,\,\forall\,\,\alpha\,\in\,\mathbb{R}\right\}\)
0611¶
Resolva o sistema:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} -x & + & 2y & + & 2z & = & 3 & \\ 2x & + & y & + & z & = & 9 & \\ -2x & + & 3y & + & 5z & = & 7 & \end{array}\right.\)
0611 - Solução
Vamos utilizar o escalonamento como método de solução deste sistema linear; assim:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} -x & + & 2y & + & 2z & = & 3 & (2L_{1}+L_{2})\quad (2L_{1}-L_{3})\\ 2x & + & y & + & z & = & 9 & \\ -2x & + & 3y & + & 5z & = & 7 & \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} -x & + & 2y & + & 2z & = & 3 & \\ & & 5y & + & 5z & = & 15 & (\text{Dividindo esta equação por 5})\\ & & y & - & z & = & -1 & \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} -x & + & 2y & + & 2z & = & 3 & \\ & & y & + & z & = & 3 & (L_{2}-L_{3})\\ & & y & - & z & = & -1 & \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} -x & + & 2y & + & 2z & = & 3 & \\ & & y & + & z & = & 3 & \\ & & & + & 2z & = & 4 & \end{array}\right.\)
Iniciando a solução do sistema escalonado pela terceira equação:
\(2z=4\rightarrow \boxed{z=2}\)
Substituindo \(z=2\) na segunda equação:
\(y+2=3\rightarrow \boxed{y=1}\)
Substituindo \(z=2\) e \(y=1\) na primeira equação:
\(-x+2.1+2.2=3\rightarrow -x+2+4=3\rightarrow \boxed{x=3}\)
O sistema linear é possível e determinado e sua solução(S) é: \(\boxed{S=\{( 3;\,1;\,2 )\}}\)
0610¶
Discuta o sistema nas incógnitas "\(x\)" e "\(y\)":
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 2x & - & ay & = & 2 &\\ 4x & + & 2y & = & 4 & \end{array}\right.\)
0610 - Solução
Vamos utilizar os método de Gauss (escalonamento), a fim de discutir seu sistema linear; assim:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 2x & - & ay & = & 2 & (2L_{1}-L_{2})\\ 4x & + & 2y & = & 4 & \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 2x & - & ay & = & 2 & \\ & & -2ay-2y & = & 0 & (\text{Isolando}\,``y") \end{array}\right.\)
\(-2ay-2y=0\rightarrow y(-2a-2)=0 \rightarrow \boxed{y=\dfrac{0}{-2a-2}}\)
Se \(\boxed{a\neq -1}\), Sistema Possível e Determinado(SPD), \(\boxed{y=0}\) e \(\boxed{x=1}\)
Se \(\boxed{a=-1}\), Sistema Possível e Indeterminado(SPI)
0609¶
Considerando que OC é bissetriz de \(A\hat{O}B\), determine "\(x\)" e "\(y\)".
0609 - Solução
Para encontrar os valores pedidos, vamos resolver o sistema formados pelas equações "\((I)\)" e "\((II)\)", a serem obtidas a seguir:
Se OC á bissetriz de \(A\hat{O}B\), então: \(y+20=2x-10\rightarrow \boxed{2x-y=30}\,(I)\)
Se o ângulo \(D\hat{O}B\) é raso(\(180^{o}\)), então: \(y+20+2x-10+4x=180 \rightarrow \boxed{6x+y=170}\,(II)\)
Montando um sistema com as equações \((I)\) e \((II)\), teremos:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 2x & - & y & = & 30 &\\ 6x & + & y & = & 170 &\quad (\text{Somando as duas equações, termo a termo:}) \end{array}\right.\)
\(8x=200\rightarrow \boxed{x=25^{o}}\)
Substituindo \(x=25\) na segunda equação, teremos:
\(6.25+y=170\rightarrow 150+y=170\rightarrow \boxed{y=20^{o}}\)
Testando os valores encontrados ("Prova Real"):
Testando na equação \((I)\): \(2x-y=30\rightarrow 2.25-20=30\rightarrow 30=30\)...ok
Testando na equação \((II)\): \(6x+y=170\rightarrow 6.25+20=170\rightarrow 170=170\)...ok
0608¶
Encontre três números de soma 170, tais que o primeiro deles é, ao mesmo tempo, triplo do segundo e o dobro do terceiro.
0608 - Solução
Primeiramente, vamos chamar os números de "\(a\)"(o primeiro), "\(b\)"(o segundo) e "\(c\)"(o terceiro), então:
Seguindo as informações da questão:
\(\boxed{a+b+c=170\,(I)}\)
\(a=3b\rightarrow \boxed{b=\dfrac{a}{3}}(II)\)
\(a=2c\rightarrow \boxed{c=\dfrac{a}{2}}\,(III)\)
Tomando ambos os valores da equações \((II)\) e \((III)\) vamos substituir os valores de "\(b\)" e "\(c\)" na equação \((I)\), assim:
\(a+\dfrac{a}{3}+\dfrac{a}{2}=170\quad\underrightarrow{\text{mmc}(2;\,3)=6}\quad\dfrac{6a+2a+3a=1020}{\cancel{6}}\rightarrow 11a=1020\)
\(a= 92,7272...\) "\(a\)" é uma dízima periódica, cuja geratriz é \(\boxed{a=\dfrac{9180}{99}}\)
\(b=\dfrac{a}{3}\rightarrow b=\dfrac{\frac{9180}{99}}{3}\rightarrow \boxed{b=\dfrac{9180}{297}}\)
\(c=\dfrac{a}{2}\rightarrow b=\dfrac{\frac{9180}{99}}{2}\rightarrow \boxed{b=\dfrac{9180}{198}}\)
Testando os valores encontrados ("Prova Real")
Façamos a prova, somando os valores encontrados, cujo resultado deve ser \(170\), assim:
\(\dfrac{9180}{99}+\dfrac{9180}{297}+\dfrac{9180}{198}= \dfrac{6.9180+2.9180+3.9180}{594}= \dfrac{\cancel{11}^{1}.9180} {\cancel{594}^{54}}=\dfrac{9180}{54}=\boxed{170}\)
\(\boxed{\text{mmc}(99,198,297)=594}\)
Portanto, os valores encontrados, embora não inteiros, estão corretos!!
0607¶
Determine a solução de cada um dos seguintes sistemas de equações do 1º grau nas incógnitas "\(x\)" e "\(y\)":
a)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 8x & + & 6y & = & 10 &\\ -3x & + & 6y & = & -12 & \end{array}\right.\)
b)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 4x & + & 2y & = & -7 &\\ 2x & + & 3y & = & -0,5 & \end{array}\right.\)
0607 - Solução
Vamos utilizar o método da adição, a fim de resolver os seguintes sistemas de equações:
a)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 8x & + & 6y & = & 10 & \\ -3x & + & 6y & = & -12 & \text{Multiplicando a segunda equação por (-1)} \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 8x & + & 6y & = & 10 & \\ 3x & - & 6y & = & 12 & \text{Somando as duas equações, termo a termo} \end{array}\right.\)
\(11x = 22\rightarrow \boxed{x=2}\)
Substituindo \(x=2\) na primeira equação, por exemplo, teremos:
\(8.2+6y=10\rightarrow 16+6y=10\rightarrow 6y=-6\rightarrow \boxed{y=-1}\)
b)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 4x & + & 2y & = & -7 &\\ 2x & + & 3y & = & -0,5 & \text{Multiplicando a segunda equação por (-2)} \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 4x & + & 2y & = & -7 &\\ -4x & - & 6y & = & 1 & \text{Somando as duas equações, termo a termo} \end{array}\right.\)
\(-4y=-6\rightarrow \boxed{y=\dfrac{3}{2}}\) ou \(\boxed{y=1,5}\)
Substituindo \(y=1,5\) na primeira equação, por exemplo, teremos:
\(4x+2.(1,5)=-7\rightarrow 4x+3=-7\rightarrow 4x=-10\rightarrow \boxed{x=-\dfrac{5}{2}}\) ou \(\boxed{x=-2,5}\)
0606¶
Calcule o MDC entre os números abaixo:
a) 8 e 12
b) 30 e 24
c) 48 e 64
d) 100 e 120
0606 - Solução
Neste exercício, tratamos de encontrar o maior divisor comum (MDC) entre os números dados. O que se faz é decompor ambos os valores e, das decomposições, tomam-se os fatores comuns com menores expoentes, assim:
a) 8 e 12
\(8 = 2^{3}\)
\(12 = 2^{2}.3\)
MDC\((8, 12)=2^{2}=4\)
b) 30 e 24
\(30 = 2.3.5\)
\(24 = 2^{3}.3\)
MDC\((30, 24)=2.3=6\)
c) 48 e 64
\(48 = 2^{4}.3\)
\(64 = 2^{6}\)
MDC\((48, 64)=2^{4}=16\)
d) 100 e 120
\(100 = 2^{2}.5^{2}\)
\(120 = 2^{3}.3.5\)
MDC\((100, 120)=2^{2}.5=20\)
0605¶
Dado o triângulo \(ABC\), onde o lado \(AB=2\sqrt{3}\), o lado \(AC=2\sqrt{7}\), o Lado \(BC= ?\) e o ângulo \(\hat{B}=30^{o}\), encontre o lado \(BC\).
0605 - Solução
Para facilitar os cálculos, vamos chamar o lado BC a ser encontrado de "\(x\)". Além disso, vamos utilizar a lei dos cossenos para encontrar o que se pede:
\(AC^{2}=AB^{2}+x^{2}-2.AB.x.\text{cos}\,\hat{B} \rightarrow\)
\((2\sqrt{7})^{2}=(2\sqrt{3})^{2}+x^{2}-2\,.\,(2\sqrt{3}).x.\text{cos}\,(30^{o})\rightarrow 28 = 12 + x^{2}- \cancel{4}^{2} \sqrt{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{\cancel{2}}\,.\,x\rightarrow\)
\(16 = x^{2}- 2.3.x\rightarrow 16 = x^{2}-6x\rightarrow x^{2}-6x-16=0\quad \underrightarrow{\ldots Bhaskara \ldots}\)
\(x=\dfrac{-(-6)\pm \sqrt{(-6)^{2}-4\times 1\times (-16)}}{2\times 1} \rightarrow x=\dfrac{6\pm \sqrt{36+64}}{2}\rightarrow x=\dfrac{6\pm \sqrt{100}}{2}\rightarrow\)
\(x=\dfrac{6\pm 10}{2}\rightarrow x=\dfrac{6+10}{2}\rightarrow \boxed{BC=8\,cm}\,\,\texttt{(resposta final)}\)
0604¶
Calcule o valor de "\(k\)" na equação \(x^{2}-6x+k=0\), de modo que as duas raízes sejam reais e distintas.
0604 - Solução
Nas equações quadráticas, para que tenhamos duas raízes reais e distintas, basta que o discriminante (\(\Delta\)) seja positivo, ou seja, \(\Delta > 0\).
Lembrando que \(\Delta=b^{2}-4ac\), vamos obter o valor de "\(k\)":
\(\Delta=b^{2}-4ac\,\,>\,\,0\rightarrow (-6)^{2}-4.1.k\,\,>\,\,0\rightarrow 36-4k\,\,>\,\,0 \rightarrow\)
\(-4k\,\,>\,\,-36\quad(-1)\rightarrow 4k\,\,<\,\,36\rightarrow \large\boxed{k\,\,<\,\,9}\)
0603¶
Escreva a PA em que \(~a_{1}+a_{3}+a_{4} =0~\) e \(~a_{6} =40~\)
0603 - Solução
\(a_{1}+a_{3}+a_{4} =0\rightarrow a_{1}+a_{1}+2r+a_{1}+3r=0\rightarrow 3a_{1}+5r=0\quad(I)\)
\(a_{6} =40\rightarrow a_{1}+5r =40\quad(II)\)
Montando um sistema com as equações \((I)\) e \((II)\):
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 3a_{1} & + & 5r & = & 0 &\\ a_{1} & + & 5r & = & 40 & (-1) \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 3a_{1} & + & 5r & = & 0 &\\ -a_{1} & - & 5r & = & -40 & (\text{Somando as duas equações, termo a termo}) \end{array}\right.\)
\(2a_{1}=-40\rightarrow \boxed{a_{1}=-20}\)
Substituindo \(a_{1}=-20\) na segunda equação, teremos:
\(-20+5r=40\rightarrow 5r=60\rightarrow \boxed{r=12}\)
Portanto, teremos a PA infinita: \(\boxed{(-20;\,-8;\,4;\,16;\ldots)}\)
0601¶
Determine a razão da PA em que \(~a_{2}+a_{3}=11~\) e \(~a_{4}+a_{7} =21\)
0602 - Solução
\(a_{2}+a_{3}=11\rightarrow a_{1}+r+a_{1}+2r=11\rightarrow 2a_{1}+3r=11\quad(I)\)
\(a_{4}+a_{7} =21\rightarrow a_{1}+3r+a_{1}+6r =21\rightarrow 2a_{1}+9r=21\quad(II)\)
Montando um sistema com as equações \((I)\) e \((II)\):
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 2a_{1} & + & 3r & = & 11 &\\ 2a_{1} & + & 9r & = & 21 & (-1) \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 2a_{1} & + & 3r & = & 11 &\\ -2a_{1} & - & 9r & = & -21 & (\text{Somando as duas equações, termo a termo}) \end{array}\right.\)
\(-6r=-10\,:(-2)\rightarrow 3r=5\rightarrow \boxed{r=\dfrac{5}{3}}\)
0601¶
Numa PA \(~a_{3}+a_{6}=34~\) e \(~a_{4}+a_{9} =50\). Calcule a soma dos seus 20(vinte) primeiros termos.
0601 - Solução
\(a_{3}+a_{6}=34\rightarrow a_{1}+2r+a_{1}+5r=34\rightarrow 2a_{1}+7r=34\quad(I)\)
\(a_{4}+a_{9} =50\rightarrow a_{1}+3r+a_{1}+8r =50\rightarrow 2a_{1}+11r=50\quad(II)\)
Montando um sistema com as equações \((I)\) e \((II)\):
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 2a_{1} & + & 7r & = & 34 &\\ 2a_{1} & + & 11r & = & 50 & (-1) \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 2a_{1} & + & 7r & = & 34 &\\ -2a_{1} & - & 11r & = & -50 & (\text{Somando as duas equações, termo a termo}) \end{array}\right.\)
\(-4r=-16\rightarrow \boxed{r=4}\)
Substituindo \(r=4\) na primeira equação, teremos:
\(2a_{1}+7.4=34\rightarrow 2a_{1}=6\rightarrow \boxed{a_{1}=3}\)
Para obter a soma dos vinte primeiros termos, devemos calcular, primeiramente, \(a_{20}\), utilizando a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética:
\(a_{n}=a_{1}+(n-1).r\rightarrow a_{20}=3+(20-1).4\rightarrow a_{20}=3+76\rightarrow \boxed{a_{20}=79}\)
Agora, com \(a_{1}=3\) e \(a_{20}=79\), podemos calcular a soma dos vinte primeiros termos, utilizando a fórmula\((S_{n})\) da soma de termos de uma PA:
\(S_{n}=\dfrac{(a_{1}+a_{n}).n}{2}\rightarrow S_{20}=\dfrac{(3+79).20}{2}\rightarrow S_{20}=\dfrac{82.20}{2}\rightarrow\)
\(S_{20}=\dfrac{1640}{2}\rightarrow \boxed{S_{20}=820}\)