Página26¶
0650¶
Resolva o sistema:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & 2y & = & 1 &\\ x & - & y & = & 4 & \end{array}\right.\)
0650 - Solução
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & 2y & = & 1 &\\ x & - & y & = & 4 & (-1) \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & 2y & = & 1 &\\ -x & + & y & = & -4 & (\text{Somando as duas equações, termo a termo}) \end{array}\right.\)
\(3y=-3\rightarrow \boxed{y=-1}\)
Substituindo \(y=-1\) na primeira equação, teremos:
\(x+2(-1)=1\rightarrow x-2=1\rightarrow \boxed{x=3}\)
Portanto, a solução\(S\) será: \(\boxed{S=\{ (3;\,-1) \}}\)
0649¶
Simplifique as seguinte expressão: \(x^{2}-3x-4\) dividido por \(3x+3\), com \(x\neq -1\).
0649 - Solução
Primeiramente, vamos fatorar tanto o dividendo, como o divisor, a fim de facilitar os cálculos subsequentes:
\(x^{2}-3x-4=(x-4)(x+1)\)
\(3x+3=3(x+1)\)
Agora, vamos iniciar a divisão, que pode ser realizada na forma fracionária, ficando mais evidente as simplificações:
\(\dfrac{x^{2}-3x-4}{3x+3}\rightarrow \dfrac{(x-4)\cancel{(x+1)}}{3\cancel{(x+1)}}\rightarrow \boxed{\dfrac{x - 4}{3}}\)
0648¶
Obtenha o MMC e o MDC dos números \(70\) e \(47\).
0648 - Solução
Primeiramente, devemos decompor em fatores primos, todos os números envolvidos:
\(70 = 2.5.7\)
\(47 = 47\) (pois \(47\) é um número primo)
Para obter o MMC(Mínimo Múltiplo Comum) tomamos os fatores primos comuns e não comuns, com maiores expoentes:
MMC\((47, 70) = 2.5.7.47 = \boxed{3290}\)
Para obter o MDC(Máximo Divisor Comum) tomamos os fatores primos comuns, com menores expoentes:
MDC\((47, 70) = \boxed{1}\) (será sempre um, quando não houver fatores primos comuns)
0647¶
Quais os dez primeiros múltiplos de \(2\) e de \(5\)?
0647 - Solução
Lembrando que os múltiplos de qualquer número inteiro são obtidos, multiplicando-os pelos números naturais:
Apenas os dez primeiros múltiplos de dois, como pedido:
M\((2) = (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18)\)
Apenas os dez primeiros múltiplos de cinco, como pedido:
M\((5) = (0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45)\)
0646¶
Quais os dez primeiros múltiplos de \(16\)? E de \(24\)?
0646 - Solução
Lembrando que os múltiplos de qualquer número inteiro são obtidos, multiplicando-os pelos números naturais:
Apenas os dez primeiros múltiplos de dezesseis, como pedido:
M\((16) = (0, 16, 32, 48, 64, 80, 96, 112, 128, 144)\)
Apenas os dez primeiros múltiplos de vinte e quatro, como pedido:
M\((24) = (0, 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, 216)\)
0645¶
Obtenha o MMC de cada item a seguir:
a)Números \(7\)e \(5\).
b)Números \(9\) e \(1\).
c)Números \(8\) e \(9\).
d)Números \(3\), \(6\) e \(9\).
e)Números \(2\), \(4\) e \(6\).
0645 - Soluções
Algumas considerações:
1)Devemos decompor em fatores primos, todos os números envolvidos;
2)Para obter o MMC(Mínimo Múltiplo Comum) tomamos os fatores comuns e não comuns, com maiores expoentes:
a)Números \(7\)e \(5\):
\(7 = 7\) (pois é um número primo)
\(5 = 5\) (pois é um número primo)
\(\boxed{M.M.C\,de\,(7,5) = 7.5 = 35}\)
b)Números \(9\) e \(1\):
\(9 = 3^{2}\)
\(1 = 1\) (pois um não é primo)
\(\boxed{M.M.C\,de\,(9,1) = 9}\)
c)Números \(8\) e \(9\):
\(8 = 2^{3}\)
\(9 = 3^{2}\)
\(\boxed{M.M.C\,de\,(8,9) = 2^{3}. 3^{2} = 72}\)
d)Números \(3\), \(6\) e \(9\):
\(3 = 3\)
\(6 = 2 . 3\)
\(9 = 3^{2}\)
\(\boxed{M.M.C~de~(3,6,9) = 2 . 3^{2} = 18}\)
e)Números \(2\), \(4\) e \(6\):
\(2 = 2\)
\(4 = 2^{2}\)
\(6 = 2 . 3\)
\(\boxed{M.M.C~de~(2,4,6) = 2^{2} . 3 = 12}\)
0644¶
Um quadrado tem lado \((a-2b)\). Qual é o resultado da divisão de sua área por seu perímetro, sabendo-se que \((a-2b)\neq 0\)?
0644 - Solução
Vamos encontrar o perímetro e a área desse quadrado e, em seguida, a razão pedida:
Seu perímetro\((P)\) será \(\boxed{P = 4(a - 2b)}\)
Sua Área\((A)\) será \(\boxed{A = (a - 2b)^{2}}\)
Assim a divisão\((D)\) será:
\(D=\dfrac{A}{P}\rightarrow D=\dfrac{(a - 2b)^{2}}{4(a - 2b)}\rightarrow D=\dfrac{(a-2b).\cancel{(a-2b)}}{4\cancel{(a-2b)}}\rightarrow \boxed{D=\dfrac{a-2b}{4}}\)
0643¶
Resolva cada sistema a seguir, pelo método do escalonamento:
a)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & 4y & = & 2 & \\ 3x & - & 5y & = & 23 & \end{array}\right.\)
b)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 5x & - & 10y & = & -2 & \\ 3x & - & 6y & = & -2 & \end{array}\right.\)
c)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 2x & - & 3y & = & 4 & \\ -4x & + & 6y & = & 8 & \end{array}\right.\)
d)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & 5y & = & 10 & \\ 7x & + & 6y & = & 12 & \end{array}\right.\)
e)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} x & + & 2y & + & 3z & = & 6 & \\ x & - & 3y & + & 4z & = & 2 & \\ 2x & - & y & + & 5z & = & 6 & \end{array}\right.\)
0643 - Soluções
Algumas Considerações:
1º) Apenas para você entender como eu faço o escalonamento: quando surgir uma notação, por exemplo: "\((3L_{1}+L_{2})\)" significa que eu multipliquei a linha um, por três, e somei com a linha dois; e ainda, que o resultado será colocado na linha dois;
2º) Ao final de cada item, após a solução\((S)\), vou colocar a classificação do sistema: \(SPD\), para sistema possível e determinado; \(SPI\), para sistema possível e indeterminado, ou \(SI\), para sistema impossível.
a)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & 4y & = & 2 & (3L_{1}-L_{2})\\ 3x & - & 5y & = & 23 & \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & 4y & = & 2 & \\ & & 17y & = & -17 & \rightarrow \boxed{y=-1} \end{array}\right.\)
Substituindo \(\boxed{y=-1}\) na primeira equação, teremos:
\(x+4.(-1)=2\rightarrow x-4=2\rightarrow \boxed{x=6}\rightarrow \boxed{\boxed{S=\{(6;\,-1) \}}}\,\,SPD\)
b)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 5x & - & 10y & = & -2 & (3L_{1}-5L_{2})\\ 3x & - & 6y & = & -2 & \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 5x & - & 10y & = & -2 & \\ 0 & + & 0 & = & 4 & \rightarrow \boxed{\boxed{S=\{ \}}}\,\,SI \end{array}\right.\)
c)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 2x & - & 3y & = & 4 & (2L_{1}+L_{2})\\ -4x & + & 6y & = & 8 & \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 2x & - & 3y & = & 4 & \\ 0 & + & 0 & = & 16 & \rightarrow \boxed{\boxed{S=\{ \}}}\,\,SI \end{array}\right.\)
d)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & 5y & = & 10 & (7L_{1}-L_{2})\\ 7x & + & 6y & = & 12 & \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & 5y & = & 10 & \\ & & 29y & = & 58 & \rightarrow \boxed{y=2} \end{array}\right.\)
Substituindo \(\boxed{y=2}\) na primeira equação, teremos:
\(x+5.(2)=10\rightarrow x+10=10\rightarrow \boxed{x=0}\rightarrow \boxed{\boxed{S=\{(0;\,2) \}}}\,\,SPD\)
e)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} x & + & 2y & + & 3z & = & 6 & (L_{1}-L_{2})\quad (2L_{1}-L_{3})\\ x & - & 3y & + & 4z & = & 2 & \\ 2x & - & y & + & 5z & = & 6 & \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} x & + & 2y & + & 3z & = & 6 & \\ & & 5y & - & z & = & 4 & (L_{2}-L_{3}) \\ & & 5y & + & z & = & 6 & \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} x & + & 2y & + & 3z & = & 6 & \\ & & 5y & - & z & = & 4 & \\ & & & - & 2z & = & -2 & \rightarrow \boxed{z=1} \end{array}\right.\)
Substituindo \(\boxed{z=1}\) na segunda equação(já escalonada), teremos:
\(5y-1=4\rightarrow 5y=5\rightarrow \boxed{y=1}\)
Substituindo \(\boxed{y=1}\) e \(\boxed{z=1}\) na primeira equação, teremos:
\(x+2.1+3.1=6\rightarrow x+5=6\rightarrow \boxed{x=1}\rightarrow \boxed{\boxed{S=\{(1;\,1;\,1) \}}}\,\,SPD\)
0642¶
Quanto vale o quociente entre: o sucessor do antecessor do sucessor do número \(-17\) e, o módulo do simétrico do oposto do antecessor do número -7.
0642 - Solução
Algumas considerações:
a) Lembrando que sucessor de um número inteiro é sempre aquele que está a direita desse número e antecessor é aquele que está a esquerda, não importando o sinal;
b) Os números opostos também são denominados simétricos, isto é, números que quando representados na reta numérica possuem a mesma distância da origem;
c) (re)Lendo o texto, mas, ao contrário, resolveremos em três etapas:
1ª) Em relação ao -17:
Sucessor de -17 é -16;
Antecessor de -16(sucessor de -17) é -17;
Sucessor de -17 é -16 (este é o numerador)
2ª) Em relação ao -7:
Antecessor de -7 é -8
Oposto de -8 é +8;
Simétrico(ou oposto) de +8 é -8
Módulo de -8 é 8(este é o denominador)
3ª) A Fração(Quociente) é \(\dfrac{-16}{8}=\boxed{-2}\)(resultado final)
0641¶
Determine \(m\) e \(n\) para que as funções, de \(\mathbb{R}\) em \(\mathbb{R}\),
\(f(x) = 2x^{2} + ( m - 3 ) x+ 4\) e
\(g(x) = 2x^{2} - 6x + m - n\), sejam iguais.
0641 - Solução
Para \(f(x)=g(x)\):
\(\cancel{2x^{2}} + ( m - 3 ) x+ 4 = \cancel{2x^{2}} - 6x + m - n\)
Comparando apenas os coeficientes, teremos:
\(\left\{\begin{array}{rcrcrrr} m\,\,\, & - & 3 & = & -6 &\rightarrow \boxed{m = -3}&\\ \cancel{m}^{\,-3}\,\,\, & - & n & = & 4 &\rightarrow -n=7&\rightarrow \boxed{n=-7} \end{array}\right.\)
0640¶
Calcule:
a) Logaritmo de 3 na base 2, dividido por logaritmo de 27 na base 4.
b) Logaritmo de 3 na base 4, dividido por logaritmo de 27 na base 4.
0640 - Soluções
a) Logaritmo de 3 na base 2, dividido por logaritmo de 27 na base 4:
\(\dfrac{\log_23}{\log_427}\to\dfrac{\log_23}{\log_{\cancel{4}^{(2^2)}}\cancel{27}^{\,(3^3)}}\to2\,.\,\dfrac{\cancel{\log_23}}{3.\cancel{\log_23}}\to2\,.\,\dfrac{1}{3}=\boxed{\dfrac{2}{3}}\)
b) Logaritmo de 3 na base 4, dividido por logaritmo de 27 base 4:
\(\dfrac{\text{log}_{4}3}{\text{log}_{4}27}\rightarrow \dfrac{\text{log}_{4}3}{\text{log}_{4}3^{3}}\rightarrow \dfrac{\cancel{\text{log}_{4}3}}{3.\cancel{\text{log}_{4}3}} =\boxed{\dfrac{1}{3}}\)
0639¶
Calcule os zeros das funções:
a)\(\,f(x)=12x^{2}+5x\)
b)\(\,g(x)=-6x^{2}+8x+4\)
0639 - Soluções
Lembrando que os zeros da função são obtidos,fazendo \(f(x)=0\).
a) \(12x^{2}+5x=0\rightarrow x(12x+5)=0\rightarrow\)
\(\boxed{x_{1}=0}\) ou \(12x+5=0\rightarrow \boxed{x_{2}=-\dfrac{5}{12}}\)
b) \(\underbrace{-6x^{2}+8x+4=0}_{\text{:(-2)}}\rightarrow 3x^{2}-4x-2=0\rightarrow\,\,\) (Bhaskara)
\(x=\dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^{2}-4\times 3\times (-2)}}{2\times 3}\rightarrow x=\dfrac{4\pm \sqrt{40}}{6}\rightarrow\)
\(x=\dfrac{4\pm 2\sqrt{10}}{6}\rightarrow x=\dfrac{\cancel{2}^{1}(2\pm \sqrt{10})}{\cancel{6}^{3}}\rightarrow x=\dfrac{2\pm\sqrt{10}}{3}\rightarrow\)
\(\boxed{x_{1}=\dfrac{2-\sqrt{10}}{3}}\,\,\text{ou}\,\,\boxed{x_{2}=\dfrac{2+\sqrt{10}}{3}}\)
0638¶
Resolva o sistema de inequações, em \(\mathbb{R}\):
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 5 & - & 2x & < & 4 &\\ x & - & 5 & < & 1-x & \end{array}\right.\)
0638 - Solução
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} 5 & - & 2x & < & 4 &\\ x & - & 5 & < & 1-x & \end{array}\right.\)
Vamos proceder, isolando a incógnita "\(x\)":
\(\left\{\begin{array}{crcrr} -& 2x & < & -1 &\\ & 2x & < & 6 & \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{rcrr} x & > & \dfrac{1}{2} & (I)\\ & & & \\ x & < & 3 & (II) \end{array}\right.\)
A solução\((S)\), será a intersecção \((I)\cap (II)\), portanto:
\(\boxed{S=\left\{ x\in \mathbb{R}\,|\,\,\dfrac{1}{2}\,<\,x\,<\,3 \right\}}\)
0637¶
Resolva o seguinte problema:
Prevendo falta d'água, enchi todas as garrafas de que dispunha e coloquei-as na geladeira.
No dia seguinte utilizei \(\dfrac{2}{7}\) das garrafas existentes. Passados dois dias, eu já
havia consumido \(\dfrac{3}{5}\) do número de garrafas restantes, quando então observei que
haviam sobrado \(4\)(quatro) garrafas. Quantas garrafas eu enchi no início?
0637 - Solução
Algumas considerações:
a) Para equacionar essa questão, iremos montando as equações, uma a uma, a cada frase lida;
b) Vamos chamar de "\(x\)", o número inicial de garrafas;
c) Equacionando e resolvendo, em quatro etapas:
1)Ao final do dia seguinte, restavam \(\boxed{x-\dfrac{2x}{7}}\)
2)Dois dias depois, foram consumidas:
\(\dfrac{\left[3\left(x-\dfrac{2x}{7}\right)\right]}{5}\) e restavam, \(\boxed{\left(x-\dfrac{2x}{7}\right)-\dfrac{\left[3\left(x-\dfrac{2x}{7}\right)\right]}{5}}\)
3)Portanto, a equação final é:
\(\boxed{\left(x-\frac{2x}{7}\right)-\dfrac{\left[3\left(x-\dfrac{2x}{7}\right)\right]}{5}=4}(I)\)
4)Agora, vamos resolver a equação (I) e, para isso, eu tomei o cuidado de dividir a equação nos pedaços "\(a\)", "\(b\)" e "\(c\)" (veja bem que essa divisão e os nomes desses "pedaços" não influenciam nos cálculos, sendo apenas para facilitar a visualização):
\(\boxed{\underbrace{\left(x-\frac{2x}{7}\right)}_{a}-\underbrace{\dfrac{\overbrace{\left[3\left(x-\dfrac{2x}{7}\right) \right]}^{b} }{5}}_{c}=4}\)
\(\underbrace{\left(\frac{5x}{7}\right)}_{a}-\underbrace{\dfrac{\overbrace{\left[3\left(\dfrac{5x}{7}\right)\right]}^{b}}{5}}_{c}=4\rightarrow\underbrace{\left(\frac{5x}{7}\right)}_{a}-\underbrace{\dfrac{\overbrace{\left(\dfrac{15x}{7}\right)}^{b} }{5}}_{c} =4\rightarrow\underbrace{\frac{5x}{7}}_{a}-\underbrace{\dfrac{15x}{35}}_{c}=4\rightarrow\)
\(\dfrac{5x}{7}-\dfrac{\cancel{15x}^{3}}{\cancel{35}^{7}}=4\rightarrow\dfrac{5x}{7}-\dfrac{3x}{7}=4\rightarrow \dfrac{2x}{7} =4\rightarrow2x=28\rightarrow \boxed{x=14}\)
Apenas para confirmar, vamos testar o valor \(\boxed{x=14}\), no texto dado:
1º) "No dia seguinte...:" \(14-\left(\dfrac{2}{\cancel{7}^{1}}\,\,\times\,\cancel{14}^{2}\,\,\right)=14-4=10\)
2º) "Passados dois dias...:" \(10-\left(\dfrac{3}{\cancel{5}^{1}}\,\,\times\cancel{10}^{2}\,\,\right)=10-6=4\)
OBS: Ao final, realmente havia sobrado \(4\) garrafas!!
0636¶
Resolva a equação \(5^{x+1} - 5^{x-1} =24\)
0636 - Solução
\(5^{x+1} - 5^{x-1} =24\rightarrow 5.5^{x}-\dfrac{5^{x}}{5}=24\rightarrow\)
\(5^{x}.\left( 5-\dfrac{1}{5} \right)=24\rightarrow 5^{x}.\dfrac{24}{5}=24\rightarrow\)
\(5^{x}=5\rightarrow \boxed{x=1}~\text{(resposta final)}\)
0635¶
Verifique qual a posição relativa entre as duas retas dadas por suas equações:
\((r):y=3x\)
\((s):8x-2y+5=0\)
0635 - Solução
Algumas considerações:
1)A fim de facilitar a solução, vamos adotar a forma reduzida das equações dadas:
\(\begin{array}{ll} (r): & y=3x (\text{já está na forma reduzida})\,\,\text{e}\\ (s): & y=4x+\dfrac{5}{2}; \end{array}\)
2)Visualmente, já é possível verificar a posição relativa dessas retas. Observe que o coeficiente angular de "\(r\)" é \(3\) e o coeficiente angular de "\(s\)" é \(4\). Portanto, essas retas são concorrentes, ou seja, se fizermos \(3x=4x+\dfrac{5}{2}\), podemos encontrar o ponto de intersecção:
\(3x=4x+\dfrac{5}{2}\rightarrow \boxed{x=-\dfrac{5}{2}}\)
Substituindo o valor de "\(x\)" encontrado em qualquer das duas equações "\(r\)" ou "\(s\)", encontraremos a coordenada "\(y\)" do encontro dessas retas; assim, vamos substituir em ambas, pois o valor de "\(y\)" encontrado deverá ser o mesmo:
\(\begin{array}{lll} (r): & y=3\cdot\dfrac{-5}{2} & \rightarrow\boxed{y=-\dfrac{15}{2}}\\ & & \\ (s): & y=4\cdot\dfrac{-5}{2}+\dfrac{5}{2} & \rightarrow\boxed{y=-\dfrac{15}{2}} \end{array}\)
Portanto, as retas \(r\) e \(s\) são concorrentes, e o ponto de intersecção é: \(\left(-\dfrac{5}{2};\,-\dfrac{15}{2}\right)\)
0634¶
Calcule os zeros e estude a variação de sinal, de cada função real a seguir:
a) \(y= \dfrac{x}{2} + 5\)
b) \(y= -3x + 4\)
c) \(y= -4x + 2\)
d) \(y= 2x - 2\)
0634 - Soluções
Algumas considerações:
1)Encontrar os zeros ou raízes de uma função, significa obter os valores de "\(x\)" quando y = 0;
2)Estudar o sinal da função, significa obter os valores de "x", para que a função seja:
\(y < 0\) (negativa); \(y = 0\) (zero) e \(y > 0\) (positiva); assim:
\(a)\,y=\dfrac{x}{2}+5\rightarrow \dfrac{x}{2}+5=0\rightarrow \boxed{x=-10}\,\text{(zero ou raiz)}\)
\(\text{Para}\,x<-10,\,\,y<0\)
\(\text{Para}\,x=-10,\,\,y=0\)
\(\text{Para}\,x>-10,\,\,y>0\)
\(b)\,y=-3x+4\rightarrow -3x+4=0\rightarrow\boxed{x=\dfrac{4}{3}}\,\text{(zero ou raiz)}\)
\(\text{Para}\,x<\dfrac{4}{3},\,\,y>0\)
\(\text{Para}\,x=\dfrac{4}{3},\,\,y=0\)
\(\text{Para}\,x>\dfrac{4}{3},\,\,y<0\)
\(c)\,y=-4x+2\rightarrow -4x+2=0\rightarrow\boxed{x=\dfrac{1}{2}}\,\text{(zero ou raiz)}\)
\(\text{Para}\,x<\dfrac{1}{2},\,\,y>0\)
\(\text{Para}\,x=\dfrac{1}{2},\,\,y=0\)
\(\text{Para}\,x>\dfrac{1}{2},\,\,y<0\)
\(d)\,y=2x-2\rightarrow 2x-2=0\rightarrow\boxed{x=1}\,\text{(zero ou raiz)}\)
\(\text{Para}\,x<1,\,\,y<0\)
\(\text{Para}\,x=1,\,\,y=0\)
\(\text{Para}\,x>1,\,\,y>0\)
0633¶
Resolva as 5(cinco) questões seguintes, referentes ao estudo de triângulos:
(1)Utilizando o cálculo dos lados dos triângulos, classifique-os em equilátero, escaleno ou isósceles:
(1a) \(A(1,\,\,6)\); \(B(2,\,\,3)\) e \(C(4,\,\,5)\).
(1b) \(D(0,\,\,0)\); \(E(2,\,\,2\sqrt{3})\) e \(F(4,\,\,0)\).
(2)Determine as coordenadas do baricentro dos triângulos de vértices:
(2a) \(A(2,\,\,3)\); \(B(5,\,\,-1)\) e \(C(-1,\,\,4)\).
(2b) \(D(-1,\,\,0)\); \(E(2,\,\,-3)\) e \(F(2,\,\,3)\).
(3)Sabendo que \(A(x,y)\); \(B(-1,8)\) e \(C(3,-10)\) são vértices de um triângulo cujo baricentro é o ponto \(G(3,-2)\), determine as coordenadas "\(x\)" e "\(y\)", do vértice \(A\).
(4)Verifique se os pontos \(A(3,\,\,2)\); \(B(4,\,\,1)\) e \(C(1,\,\,4)\) são colineares.
(5)Determine o valor de "\(k\)" para que os pontos \(A(k,7)\); \(B(2,-3)\) e \(C(k,1)\), sejam vértices de um triângulo.
0633 - Soluções
(1)Utilizando o cálculo dos lados dos triângulos, classifique-os em equilátero, escaleno ou isósceles:
OBS: Vamos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos \(A(x_{A};\,y_{A})\) e \(B(x_{B};\,y_{B}):\)
\(\boxed{d_{AB}=\sqrt{(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}}}\)
(1a) A(1,6); B(2,3) e C(4,5)\(\rightarrow\Delta\)ABC é isósceles, pois \(AB=AC\neq BC\); acompanhe:
\(d_{AB}=\sqrt{(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}}\rightarrow d_{AB}=\sqrt{(1-2)^{2}+(6-3)^{2}}\rightarrow \boxed{d_{AB}=\sqrt{10}}\)
\(d_{AC}=\sqrt{(x_{A}-x_{C})^{2}+(y_{A}-y_{C})^{2}}\rightarrow d_{AC}=\sqrt{(1-4)^{2}+(6-5)^{2}}\rightarrow \boxed{d_{AC}=\sqrt{10}}\)
\(d_{BC}=\sqrt{(x_{B}-x_{C})^{2}+(y_{B}-y_{C})^{2}}\rightarrow d_{BC}=\sqrt{(2-4)^{2}+(3-5)^{2}}\rightarrow \boxed{d_{BC}=8}\)
(1b) D(0,0); E(2, \(2\sqrt{3}\)) e F(4,0)\(\rightarrow\Delta\)DEF é equilátero, pois \(DE=DF=EF\); acompanhe:
\(d_{DE}=\sqrt{(x_{D}-x_{E})^{2}+(y_{D}-y_{E})^{2}}\rightarrow d_{DE}=\sqrt{(0-2)^{2}+(0-2\sqrt{3})^{2}}\rightarrow \boxed{d_{DE}=4}\)
\(d_{DF}=\sqrt{(x_{D}-x_{F})^{2}+(y_{D}-y_{F})^{2}}\rightarrow d_{DF}=\sqrt{(0-4)^{2}+(0-0)^{2}}\rightarrow \boxed{d_{DF}=4}\)
\(d_{EF}=\sqrt{(x_{E}-x_{F})^{2}+(y_{E}-y_{F})^{2}}\rightarrow d_{EF}=\sqrt{(2-4)^{2}+(2\sqrt{3}-0)^{2}}\rightarrow \boxed{d_{EF}=4}\)
(2)Determine as coordenadas do baricentro dos triângulos de vértices:
OBS: O baricentro(G) é a intersecção das medianas do triângulo. As coordenadas desse baricentro são as médias aritméticas das coordenadas dos vértices desse triângulo. A fórmula para esse baricentro é:
\(G=\left( \dfrac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}\,,\, \dfrac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3} \right)\)
(2a) A(2,3); B(5,-1) e C(-1,4)\(\rightarrow G=\left(\dfrac{2+5-1}{3}\,,\,\dfrac{3-1+4}{3}\right)\rightarrow\boxed{G=(2,2)}\)
(2b) D(-1,0); E(2,-3) e F(2,3)\(\rightarrow G=\left(\dfrac{-1+2+2}{3}\,,\,\dfrac{0-3+3}{3}\right)\rightarrow\boxed{G=(1,0)}\)
(3)Sabendo que \(A(x,y)\); \(B(-1,8)\) e \(C(3,-10)\) são vértices de um triângulo cujo baricentro é o ponto \(G(3,-2)\), determine as coordenadas "\(x\)" e "\(y\)", do vértice \(A\):
OBS: Vamos fazer a aplicação inversa do exercício anterior, partindo do baricentro e encontrando os pontos pedidos:
\(G=\left( \dfrac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}\,,\,\dfrac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}\right)\rightarrow\left(\dfrac{x-1+3}{3}\,,\,\dfrac{y+8-10}{3}\right)\rightarrow\)
\(G=\left( \dfrac{x+2}{3}\,,\,\dfrac{y-2}{3} \right)=(3,-2)\Rightarrow\)
\(\dfrac{x+2}{3}=3\rightarrow x+2=9\rightarrow \boxed{x=7}\)
\(\dfrac{y-2}{3}=-2\rightarrow y-2=-6\rightarrow \boxed{y=-4}\)
(4)Verifique se os pontos \(A(3,2)\); \(B(4,1)\) e \(C(1,4)\) são colineares:
OBS: Três pontos \(A(x_{A},y_{A})\); \(B(x_{B},y_{B})\) e \(C(x_{C},y_{c})\) são colineares(estão alinhados) se, e somente se,
\(D=\left|\begin{array}{rrr} x_{A} & y_{A} & 1 \\ x_{B} & y_{B} & 1 \\ x_{C} & y_{C} & 1 \\ \end{array}\right|=0\)
No nosso caso:
\(D=\left|\begin{array}{rrr} 3 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ \end{array}\right|=0\)
Regra de Sarrus:
\(D=3.1.1+4.4.1+1.1.2-(1.1.1+2.4.1+3.4.1)\rightarrow 3+16+2-(1+8+12)\)
\(D=21-21\rightarrow \boxed{D=0}\).
Portanto, os três pontos \(A\),\(B\) e \(C\) são colineares.
(5)Determine o valor de "\(k\)" para que os pontos \(A(k,7)\); \(B(2,-3)\) e \(C(k,1)\), sejam vértices de um triângulo:
OBS: Três pontos \(A(x_{A},y_{A})\); \(B(x_{B},y_{B})\) e \(C(x_{C},y_{c})\) determinam um triângulo se, e somente se,
\(D=\left|\begin{array}{rrr} x_{A} & y_{A} & 1 \\ x_{B} & y_{B} & 1 \\ x_{C} & y_{C} & 1 \\ \end{array}\right|\neq0\)
No nosso caso:
\(D=\left|\begin{array}{rrr} k & 7 & 1 \\ 2 & -3 & 1 \\ k & 1 & 1 \\ \end{array}\right|\neq 0\)
Regra de Sarrus:
\(k.(-3).1+2.1.1+k.1.7-(1.(-3).k+7.2.1+k.1.1)\neq 0\rightarrow\)
\(-3k+2+7k-(-3k+14+k)\neq 0\)
\(4k+2+2k-14\neq 0\rightarrow\)
\(6k-12\neq 0\rightarrow\)
\(6k\neq 12\rightarrow\)
\(\boxed{k\neq 2}\)
0632¶
Quatro questões sobre função quadrática:
1)Determine "\(m\)" para que a função \(f(x)=x^{2}-3x+m\) tenha duas raízes reais e distintas:
2)Uma das raízes da equação \(-x^{2}+px+3=0\) é igual a 2(dois):
2a) Qual o valor de "\(p\)"?
2b) Qual é a outra raiz que essa equação possui?
3)Qual é o valor de "\(m\)" na equação \(x^{2} - (m+5)x + m + 1=0\), para que as raízes sejam simétricas?
4)Determine as raízes de: \(f(x)=\dfrac{-x^{2}+3x}{2x+1}\), com \(x\neq -\dfrac{1}{2}\).
0632 - Soluções
Da fórmula de Bhaskara sabemos que o discriminante (ou Delta) é dado por: \(\Delta=b^{2}-4ac\). Para que uma equação quadrática (ou do segundo grau) tenha duas raízes reais e distintas, basta que \(\Delta > 0\).
1)Determine "\(m\)" para que a função \(f(x)=x^{2}-3x+m\) tenha duas raízes reais e distintas:
\(\Delta=(-3)^2 -4\times 1\times m > 0\rightarrow 9-4m>0\rightarrow -4m>-9\,\,(-1)\rightarrow 4m<9\rightarrow\boxed{m<\dfrac{9}{4}}\)
2)Uma das raízes da equação \(-x^{2}+px+3=0\) é igual a 2(dois):
2a) Qual o valor de "\(p\)"?
Substituindo "\(x\)" por \(2\): \(-2^{2}+p.2+3=0\rightarrow -4+2p+3=0\rightarrow 2p=1\rightarrow \boxed{p=\dfrac{1}{2}}\)
2b) Qual é a outra raiz que essa equação possui?
Com o valor de \(p=\dfrac{1}{2}\), nossa equação será: \(-x^{2}+\dfrac{x}{2}+3=0\,(\times -2)\rightarrow 2x^{2}-x-6=0\)
Utilizando Bhaskara:
\(x=\dfrac{1\pm\sqrt{(-1)^{2}-4\times\,2\times\,(-6) }}{2\times\,2}\rightarrow x=\dfrac{1\pm\sqrt{49}}{4}\rightarrow x=\dfrac{1\pm 7}{4}\rightarrow\)
\(x_{1}=\dfrac{1+7}{4}\rightarrow \boxed{x_{1}=2}\)
\(x_{2}=\dfrac{1-7}{4}\rightarrow \boxed{x_{2}=-\dfrac{3}{2}}\)
3)Qual é o valor de ``\(m\)'' na equação \(x^{2} - (m+5)x + m + 1=0\), para que as raízes sejam simétricas(\(^*\))?
(\(^*\))Chamando uma das raízes de "\(k\)", a outra raiz(simétrica) será "\(-k\)"
Essa questão refere-se à relação de soma de raízes de uma equação do segundo grau; assim:
Soma: \(k+(-k)=-[-(m+5)]\rightarrow m+5=0\rightarrow \boxed{m=-5}\)
4)Determine as raízes de: \(f(x)=\dfrac{-x^{2}+3x}{2x+1}\), com \(x\neq -\dfrac{1}{2}\).
Encontraremos suas raízes, fazendo \(f(x)=0\) e, para isso, basta que o numerador "\(-x^{2}+3x\)" seja zero, ou seja:
\(-x^{2}+3x=0\rightarrow-x(x-3)=0\rightarrow\)
\(-x=0\rightarrow \boxed{x=0}\) ou \(x-3=0\rightarrow \boxed{x=3}\)
0631¶
Duas questões envolvendo números complexos:
1ª)Obtenha as raízes da seguinte equação matricial:
\(\left|\begin{array}{ccc} 1-x & 2 & 0 \\ 1 & 5 & 3 \\ x-1 & 1 & x \end{array}\right|=0\)
2ª)O determinante abaixo define um número complexo. Determine o módulo desse complexo.
\(\left|\begin{array}{ccc} 1 & i & 1 \\ i & 1 & i \\ 1+i & 1-i & 0 \end{array}\right|=0\)
0631 - Soluções
1ª)Resolvendo a equação matricial:
\((1-x).5.x + \cancel{1.1.0} + (x-1).3.2 -[\cancel{0.5.(x-1)} + 2.1.x + (1-x).1.3]=0\rightarrow\)
\(5x-5x^{2}+6x-6-2x-3+3x=0\rightarrow -5x^{2}+12x-9=0\,(-1)\rightarrow\)
\(5x^{2}-12x+9=0\) \textit{Bhaskara} \(x=\dfrac{-(-12)\pm \sqrt{(-12)^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}\rightarrow\)
\(x=\dfrac{12\pm \sqrt{-36}}{10}\rightarrow x=\dfrac{12\pm 6i}{10}\rightarrow\)
\(x_{1}=\dfrac{12 - 6i}{10}\rightarrow \boxed{x_{1}=\dfrac{6 - 3i}{5}}\)
\(x_{2}=\dfrac{12 + 6i}{10}\rightarrow \boxed{x_{2}=\dfrac{6 + 3i}{5}}\)
2ª)Obtendo o módulo:
\((\cancel{1.1.0} + i.(1-i).1 + (1+i).i.i -[1.1.(1+i) + \cancel{i.i.0} + 1.(1-i).i]=0\rightarrow\)
\(\cancel{i}-\cancel{i^{2}}+\cancel{i^{2}}+\cancel{i^{3}}^{\,-i}-1-\cancel{i}-i+\cancel{i^{2}}^{\,-1}\rightarrow \boxed{-2-2i}\)
Para \(z=a+bi\rightarrow |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\), assim, no nosso caso,
Para \(z=-2-2i\rightarrow |z|=\sqrt{(-2)^{2}+(-2)^{2}}\rightarrow |z|=\sqrt{8}\rightarrow \boxed{|z|=2\sqrt{2}}\)
0630¶
Se \(a=\dfrac{1}{1+i}\), \(b=\dfrac{1-i}{1+i}\) e \(c=(b-i)^{2}\), encontre o valor de \(a^{c}\).
0630 - Solução
Antes de efetuar as operações pedidas, vamos (re)escrever \(b\) e \(c\) para torná-los mais simples e assim facilitarmos os cálculos posteriores:
\(b=\dfrac{1-i}{1+i}\,\cdot \,\dfrac{1-i}{1-i}\rightarrow\,b=\dfrac{(1-i)^{2}}{2}\rightarrow\,b=\dfrac{-\cancel{2}i}{\cancel{2}}\rightarrow \boxed{b=-i}\)
\(c=(b-i)^{2}\rightarrow c=(-i-i)^{2}\rightarrow c=(-2i)^{2}\rightarrow \boxed{c=-4}\)
Agora, vamos calcular: \(a^{c}=\left(\dfrac{1}{1+i} \right)^{-4}=\left(\dfrac{1+i}{1}\right)^{4}=\left[(1+i)^{2}\right]^{2}\rightarrow\)
\(a^{c}=[2i]^{2}\rightarrow \boxed{\boxed{a^{c}=-4}}\)
Observações:
(I)Se precisar futuramente: \((1+i)^{2}= 1^{2}+2.1.i+\cancel{i^{2}}^{\,-1}\rightarrow \cancel{1}+2i-\cancel{1}\rightarrow \boxed{(1+i)^{2}=2i}\)
(II)Se precisar futuramente: \((1-i)^{2}= 1^{2}-2.1.i+\cancel{i^{2}}^{\,-1}\rightarrow \cancel{1}-2i-\cancel{1}\rightarrow\boxed{(1-i)^{2}=-2i}\)
0629¶
Dados os números complexos \(\boxed{z_{1}=2-i\sqrt{2}}\) e \(\boxed{z_{2}=i\sqrt{2}}\), resolva as operações:
a) \(z_{1}+z_{2}\)
b) \(z_{1}-3.z_{2}\)
c) \(z_{1}\,.\,z_{2}\)
d) \((z_{1})^{2}\)
e) \(\dfrac{z_{2}}{z_{1}}\)
f) \(\dfrac{3}{z_{2}}\)
g) \(\dfrac{z_{1}}{z_{2}}\)
h) \(2.|z_{1}|\)
i) \(z_{2}-z_{1}\)
0629 - Soluções
a)\(\,z_{1}+z_{2}=2-\cancel{i\sqrt{2}}+\cancel{i\sqrt{2}}=\boxed{2}\)
b)\(\,z_{1}-3\cdot\,z_{2}=2-i\sqrt{2}-3i\sqrt{2}=\boxed{2-4i\sqrt{2}}\)
c)\(\,z_{1}\,\cdot\,z_{2}=(2-i\sqrt{2})\,\cdot\,i\sqrt{2}=2i\sqrt{2}-2\cancel{i^{2}}^{-1}=\boxed{2-2i\sqrt{2}}\)
d)\(\,(z_{1})^{2}=\left( 2-i\sqrt{2} \right)^{2}=4-4i\sqrt{2}-2=\boxed{2-4i\sqrt{2}}\)
e)\(\,\dfrac{z_{2}}{z_{1}}=\dfrac{i\sqrt{2}}{2-i\sqrt{2}}\,\cdot\,\dfrac{2+i\sqrt{2}}{2+i\sqrt{2}}=\dfrac{i\sqrt{2}(2+i\sqrt{2})}{2+2}=\dfrac{2i\sqrt{2}-2}{4}=\dfrac{\cancel{2}^{1}(-1+i\sqrt{2})}{\cancel{4}^{2}}=\boxed{-1+i\sqrt{2}}\)
f)\(\,\dfrac{3}{z_{2}}=\dfrac{3}{i\sqrt{2}}\,\cdot\,\dfrac{i\sqrt{2}}{i\sqrt{2}}=\boxed{-\dfrac{3i\sqrt{2}}{2}}\)
g)\(\,\dfrac{z_{1}}{z_{2}}=\dfrac{2-i\sqrt{2}}{i\sqrt{2}}\,\cdot\,\dfrac{i\sqrt{2}}{i\sqrt{2}}=\dfrac{2+2i\sqrt{2}}{-2}=-\dfrac{\cancel{2}(1+i\sqrt{2})}{\cancel{2}}=\boxed{-1-i\sqrt{2}}\)
h)\(\,2\cdot|z_{1}|=\boxed{2\sqrt{6}}\ldots\) Cálculos, a seguir:
Calculando \(|z_{1}|=\sqrt{2^{2}+(-\sqrt{2})^{2}}\rightarrow\boxed{|z_{1}|=\sqrt{6}}\). Portanto, \(2\cdot|z_{1}|=\boxed{2\sqrt{6}}\)
i)\(\,z_{2}-z_{1}=i\sqrt{2}-(2-i\sqrt{2})=\boxed{-2+2i\sqrt{2}}\)
0628¶
Calcule \(\dfrac{n[n!+(n-1)!]}{(n+1)!-n!}\).
0628 - Solução
Vamos abrir os fatoriais até que fiquem disponíveis às simplificações:
\(\dfrac{n[n!+(n-1)!]}{(n+1)!-n!}=\dfrac{n[n!+(n-1)!]}{(n+1).n!-n!}=\dfrac{n[n!+(n-1)!]}{n!(n+\cancel{1}-\cancel{1})}=\dfrac{\cancel{n}[n!+(n-1)!]}{\cancel{n}.n!}=\)
\(=\dfrac{n!+(n-1)!}{n!}=\dfrac{n.(n-1)!+(n-1)!}{n!}=\dfrac{(n-1)!(n+1)}{n!}=\)
\(\dfrac{(n-1)!(n+1)}{n(n-1)!}=\dfrac{\cancel{(n-1)!}(n+1)}{n\cancel{(n-1)!}}=\boxed{\boxed{\dfrac{n+1}{n},\,\,\forall \,n\in\mathbb{N}^{*}}}\)
0627¶
Obtenha o ponto de intersecção entre a reta \(r:\,\,y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{3}{2}\) e a circunferência \(c:\,\,x^{2}+y^{2}-4x-6y-12=5\) ou \((x-2)^{2}+(y-3)^{2}=30\)
0627 - Solução
Para fazermos a intersecção, nesse caso, basta tomar toda a equação reduzida da reta, cujo "x" já está em função de "y" e substituir em todos os valores de "y" da circunferência; assim, vamos obter as coordenadas "x" dos pares ordenados da intersecção. Após, retornamos às equações originais e encontramos as respectivas coordenadas "y" tendo os pontos de intersecção, assim:
\(c:\,\,x^{2}+y^{2}-4x-6y-12=5\rightarrow\)
\(x^{2}+\left(-\dfrac{x}{2}+\dfrac{3}{2} \right)^{2}-4x-6\left( -\dfrac{x}{2}+\dfrac{3}{2} \right)-12=5\rightarrow\)
\(x^{2}+\left[ \dfrac{x^{2}}{4}-2\left( \dfrac{x}{2}\right)\left( \dfrac{3}{2} \right)+\dfrac{9}{4} \right]-4x +3x-9-12=5\rightarrow\)
\(x^{2}+\dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{3x}{2}+\dfrac{9}{4}-4x+3x-9-12=5\rightarrow\)
\(\underbrace{x^{2}+\dfrac{x^{2}}{4}}+\underbrace{3x-4x-\dfrac{3x}{2}}-\underbrace{\left(9+12+5-\dfrac{9}{4}\right)} =0\rightarrow\)
\(\dfrac{5x^{2}}{4}-\dfrac{5x}{2}-\dfrac{95}{4}=0\,\,\,\underrightarrow{\text{mmc(2,4)=4}}\,\,\, 5x^{2}-10x-95=0\quad \underrightarrow{\text{Bhaskara}}\rightarrow\)
\(x = \dfrac{-(-10) \pm \sqrt{ (-10)^{2} - 4\times \, 5\times \, (-95)}}{2\times \, 5}\rightarrow x = \dfrac{10 \pm 20\sqrt{5}}{10}\rightarrow\)
\(\boxed{x_{1}=1-2\sqrt{5}}\) ou \(\boxed{x_{2}=1+2\sqrt{5}}\)
Agora, vamos encontrar os respectivos valores de "y", lançando os valores de "x" encontrados em \(y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{3}{2}\), assim:
Para \(\boxed{x_{1}=1-2\sqrt{5}}\rightarrow y=-\dfrac{1-2\sqrt{5}}{2}+\dfrac{3}{2}\rightarrow y=\dfrac{3-1+2\sqrt{5}}{2} \rightarrow \boxed{y_{1}=1+\sqrt{5}}\)
Para \(\boxed{x_{2}=1+2\sqrt{5}}\rightarrow y=-\dfrac{1+2\sqrt{5}}{2}+\dfrac{3}{2}\rightarrow y=\dfrac{3-1-2\sqrt{5}}{2} \rightarrow \boxed{y_{2}=1-\sqrt{5}}\)
Os pontos de intersecção são: \((1-2\sqrt{5};\,1+\sqrt{5})\) e \((1+2\sqrt{5};\,1-\sqrt{5})\)
A imagem a seguir ilustra graficamente a solução:
0626¶
Ao participar de uma maratona, um corredor fez dois percursos, o primeiro percurso de 20 km ele completou em 2 horas; o segundo percurso, de 12 km, completou em 1 hora. Analise o texto e responda as questões propostas.
a) Qual a lei de formação da função afim?
b) Em quanto tempo ele completaria um percurso de 30 km?
0626 - Soluções
a) Lei de formação da função afim:
Vamos chamar de "\(x\)" o tempo(em horas) e de "\(y\)" a distância percorrida(em quilômetros). Assim, teremos dois pontos \((2,\,20)\) e \((1,\,12)\) a serem aplicados em uma função afim, do tipo \(y=ax+b\), e, montando um sistema de equações, descobriremos os valores de "\(a\)" (coeficiente angular) e "\(b\)" (coeficiente linear):
\(\left\{ \begin{array}{rcrcrr} a.1 & + & b & = & 12 & \rightarrow (\text{multiplicando toda a primeira equaçãoo por -1}) \\ a.2 & + & b & = & 20 & \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{rcrcrr} -a & - & \cancel{b} & = & -12 & \\ 2a & + & \cancel{b} & = & 20 & \rightarrow (\text{somando as duas equações, termo a termo}) \end{array} \right.\)
\(\boxed{a=8}\) Substituindo na primeira equação: \(8+b=12\rightarrow\boxed{b=4}\)
Portanto a função afim é: \(\boxed{y=8x+4}\)
b) Em quanto tempo ele completaria um percurso de 30 km:
Substituindo "\(y\)" por \(30\), teremos: \(30=8x+4\rightarrow 8x=26\rightarrow \boxed{x=3,25h}\) ou \(\boxed{x=3h\,15min}\)