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0650

Resolva o sistema:

$\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & 2y & = & 1 &\\ x & - & y & = & 4 & \end{array}\right.$

0650 - Solução

$\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & 2y & = & 1 &\\ x & - & y & = & 4 & (-1) \end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & 2y & = & 1 &\\ -x & + & y & = & -4 & (\text{Somando as duas equações, termo a termo}) \end{array}\right.$

$3y=-3\rightarrow \boxed{y=-1}$

Substituindo $y=-1$ na primeira equação, teremos:

$x+2(-1)=1\rightarrow x-2=1\rightarrow \boxed{x=3}$

Portanto, a solução$S$ será: $\boxed{S=\{ (3;\,-1) \}}$

0649

Simplifique as seguinte expressão: $x^{2}-3x-4$ dividido por $3x+3$, com $x\neq -1$.

0649 - Solução

Primeiramente, vamos fatorar tanto o dividendo, como o divisor, a fim de facilitar os cálculos subsequentes:

$x^{2}-3x-4=(x-4)(x+1)$

$3x+3=3(x+1)$

Agora, vamos iniciar a divisão, que pode ser realizada na forma fracionária, ficando mais evidente as simplificações:

$\dfrac{x^{2}-3x-4}{3x+3}\rightarrow \dfrac{(x-4)\cancel{(x+1)}}{3\cancel{(x+1)}}\rightarrow \boxed{\dfrac{x - 4}{3}}$

0648

Obtenha o MMC e o MDC dos números $70$ e $47$.

0648 - Solução

Primeiramente, devemos decompor em fatores primos, todos os números envolvidos:

$70 = 2.5.7$

$47 = 47$ (pois $47$ é um número primo)

Para obter o MMC(Mínimo Múltiplo Comum) tomamos os fatores primos comuns e não comuns, com maiores expoentes:

MMC$(47, 70) = 2.5.7.47 = \boxed{3290}$

Para obter o MDC(Máximo Divisor Comum) tomamos os fatores primos comuns, com menores expoentes:

MDC$(47, 70) = \boxed{1}$ (será sempre um, quando não houver fatores primos comuns)

0647

Quais os dez primeiros múltiplos de $2$ e de $5$?

0647 - Solução

Lembrando que os múltiplos de qualquer número inteiro são obtidos, multiplicando-os pelos números naturais:

Apenas os dez primeiros múltiplos de dois, como pedido:

M$(2) = (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18)$

Apenas os dez primeiros múltiplos de cinco, como pedido:

M$(5) = (0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45)$

0646

Quais os dez primeiros múltiplos de $16$? E de $24$?

0646 - Solução

Lembrando que os múltiplos de qualquer número inteiro são obtidos, multiplicando-os pelos números naturais:

Apenas os dez primeiros múltiplos de dezesseis, como pedido:

M$(16) = (0, 16, 32, 48, 64, 80, 96, 112, 128, 144)$

Apenas os dez primeiros múltiplos de vinte e quatro, como pedido:

M$(24) = (0, 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, 216)$

0645

Obtenha o MMC de cada item a seguir:

a)Números $7$e $5$.

b)Números $9$ e $1$.

c)Números $8$ e $9$.

d)Números $3$, $6$ e $9$.

e)Números $2$, $4$ e $6$.

0645 - Soluções

Algumas considerações:

1)Devemos decompor em fatores primos, todos os números envolvidos;

2)Para obter o MMC(Mínimo Múltiplo Comum) tomamos os fatores comuns e não comuns, com maiores expoentes:

a)Números $7$e $5$:

$7 = 7$ (pois é um número primo)

$5 = 5$ (pois é um número primo)

$\boxed{M.M.C\,de\,(7,5) = 7.5 = 35}$

---

b)Números $9$ e $1$:

$9 = 3^{2}$

$1 = 1$ (pois um não é primo)

$\boxed{M.M.C\,de\,(9,1) = 9}$

---

c)Números $8$ e $9$:

$8 = 2^{3}$

$9 = 3^{2}$

$\boxed{M.M.C\,de\,(8,9) = 2^{3}. 3^{2} = 72}$

---

d)Números $3$, $6$ e $9$:

$3 = 3$

$6 = 2 . 3$

$9 = 3^{2}$

$\boxed{M.M.C~de~(3,6,9) = 2 . 3^{2} = 18}$

---

e)Números $2$, $4$ e $6$:

$2 = 2$

$4 = 2^{2}$

$6 = 2 . 3$

$\boxed{M.M.C~de~(2,4,6) = 2^{2} . 3 = 12}$

0644

Um quadrado tem lado $(a-2b)$. Qual é o resultado da divisão de sua área por seu perímetro, sabendo-se que $(a-2b)\neq 0$?

0644 - Solução

Vamos encontrar o perímetro e a área desse quadrado e, em seguida, a razão pedida:

Seu perímetro$(P)$ será $\boxed{P = 4(a - 2b)}$

Sua Área$(A)$ será $\boxed{A = (a - 2b)^{2}}$

Assim a divisão$(D)$ será:

$D=\dfrac{A}{P}\rightarrow D=\dfrac{(a - 2b)^{2}}{4(a - 2b)}\rightarrow D=\dfrac{(a-2b).\cancel{(a-2b)}}{4\cancel{(a-2b)}}\rightarrow \boxed{D=\dfrac{a-2b}{4}}$

0643

Resolva cada sistema a seguir, pelo método do escalonamento:

a)

$\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & 4y & = & 2 & \\ 3x & - & 5y & = & 23 & \end{array}\right.$

b)

$\left\{\begin{array}{rcrcrr} 5x & - & 10y & = & -2 & \\ 3x & - & 6y & = & -2 & \end{array}\right.$

c)

$\left\{\begin{array}{rcrcrr} 2x & - & 3y & = & 4 & \\ -4x & + & 6y & = & 8 & \end{array}\right.$

d)

$\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & 5y & = & 10 & \\ 7x & + & 6y & = & 12 & \end{array}\right.$

e)

$\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} x & + & 2y & + & 3z & = & 6 & \\ x & - & 3y & + & 4z & = & 2 & \\ 2x & - & y & + & 5z & = & 6 & \end{array}\right.$

0643 - Soluções

Algumas Considerações:

1º) Apenas para você entender como eu faço o escalonamento: quando surgir uma notação, por exemplo: "$(3L_{1}+L_{2})$" significa que eu multipliquei a linha um, por três, e somei com a linha dois; e ainda, que o resultado será colocado na linha dois;

2º) Ao final de cada item, após a solução$(S)$, vou colocar a classificação do sistema: $SPD$, para sistema possível e determinado; $SPI$, para sistema possível e indeterminado, ou $SI$, para sistema impossível.

a)

$\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & 4y & = & 2 & (3L_{1}-L_{2})\\ 3x & - & 5y & = & 23 & \end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & 4y & = & 2 & \\ & & 17y & = & -17 & \rightarrow \boxed{y=-1} \end{array}\right.$

Substituindo $\boxed{y=-1}$ na primeira equação, teremos:

$x+4.(-1)=2\rightarrow x-4=2\rightarrow \boxed{x=6}\rightarrow \boxed{\boxed{S=\{(6;\,-1) \}}}\,\,SPD$

---

b)

$\left\{\begin{array}{rcrcrr} 5x & - & 10y & = & -2 & (3L_{1}-5L_{2})\\ 3x & - & 6y & = & -2 & \end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rcrcrr} 5x & - & 10y & = & -2 & \\ 0 & + & 0 & = & 4 & \rightarrow \boxed{\boxed{S=\{ \}}}\,\,SI \end{array}\right.$

---

c)

$\left\{\begin{array}{rcrcrr} 2x & - & 3y & = & 4 & (2L_{1}+L_{2})\\ -4x & + & 6y & = & 8 & \end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rcrcrr} 2x & - & 3y & = & 4 & \\ 0 & + & 0 & = & 16 & \rightarrow \boxed{\boxed{S=\{ \}}}\,\,SI \end{array}\right.$

---

d)

$\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & 5y & = & 10 & (7L_{1}-L_{2})\\ 7x & + & 6y & = & 12 & \end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & 5y & = & 10 & \\ & & 29y & = & 58 & \rightarrow \boxed{y=2} \end{array}\right.$

Substituindo $\boxed{y=2}$ na primeira equação, teremos:

$x+5.(2)=10\rightarrow x+10=10\rightarrow \boxed{x=0}\rightarrow \boxed{\boxed{S=\{(0;\,2) \}}}\,\,SPD$

---

e)

$\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} x & + & 2y & + & 3z & = & 6 & (L_{1}-L_{2})\quad (2L_{1}-L_{3})\\ x & - & 3y & + & 4z & = & 2 & \\ 2x & - & y & + & 5z & = & 6 & \end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} x & + & 2y & + & 3z & = & 6 & \\ & & 5y & - & z & = & 4 & (L_{2}-L_{3}) \\ & & 5y & + & z & = & 6 & \end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} x & + & 2y & + & 3z & = & 6 & \\ & & 5y & - & z & = & 4 & \\ & & & - & 2z & = & -2 & \rightarrow \boxed{z=1} \end{array}\right.$

Substituindo $\boxed{z=1}$ na segunda equação(já escalonada), teremos:

$5y-1=4\rightarrow 5y=5\rightarrow \boxed{y=1}$

Substituindo $\boxed{y=1}$ e $\boxed{z=1}$ na primeira equação, teremos:

$x+2.1+3.1=6\rightarrow x+5=6\rightarrow \boxed{x=1}\rightarrow \boxed{\boxed{S=\{(1;\,1;\,1) \}}}\,\,SPD$

0642

Quanto vale o quociente entre: o sucessor do antecessor do sucessor do número $-17$ e, o módulo do simétrico do oposto do antecessor do número -7.

0642 - Solução

Algumas considerações:

a) Lembrando que sucessor de um número inteiro é sempre aquele que está a direita desse número e antecessor é aquele que está a esquerda, não importando o sinal;

b) Os números opostos também são denominados simétricos, isto é, números que quando representados na reta numérica possuem a mesma distância da origem;

c) (re)Lendo o texto, mas, ao contrário, resolveremos em três etapas:

1ª) Em relação ao -17:

Sucessor de -17 é -16;

Antecessor de -16(sucessor de -17) é -17;

Sucessor de -17 é -16 (este é o numerador)

2ª) Em relação ao -7:

Antecessor de -7 é -8

Oposto de -8 é +8;

Simétrico(ou oposto) de +8 é -8

Módulo de -8 é 8(este é o denominador)

3ª) A Fração(Quociente) é $\dfrac{-16}{8}=\boxed{-2}$(resultado final)

0641

Determine $m$ e $n$ para que as funções, de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$,

$f(x) = 2x^{2} + ( m - 3 ) x+ 4$ e

$g(x) = 2x^{2} - 6x + m - n$, sejam iguais.

0641 - Solução

Para $f(x)=g(x)$:

$\cancel{2x^{2}} + ( m - 3 ) x+ 4 = \cancel{2x^{2}} - 6x + m - n$

Comparando apenas os coeficientes, teremos:

$\left\{\begin{array}{rcrcrrr} m\,\,\, & - & 3 & = & -6 &\rightarrow \boxed{m = -3}&\\ \cancel{m}^{\,-3}\,\,\, & - & n & = & 4 &\rightarrow -n=7&\rightarrow \boxed{n=-7} \end{array}\right.$

0640

Calcule:

a) Logaritmo de 3 na base 2, dividido por logaritmo de 27 na base 4.

b) Logaritmo de 3 na base 4, dividido por logaritmo de 27 na base 4.

0640 - Soluções

a) Logaritmo de 3 na base 2, dividido por logaritmo de 27 na base 4:

$\dfrac{\log_23}{\log_427}\to\dfrac{\log_23}{\log_{\cancel{4}^{(2^2)}}\cancel{27}^{\,(3^3)}}\to2\,.\,\dfrac{\cancel{\log_23}}{3.\cancel{\log_23}}\to2\,.\,\dfrac{1}{3}=\boxed{\dfrac{2}{3}}$

---

b) Logaritmo de 3 na base 4, dividido por logaritmo de 27 base 4:

$\dfrac{\text{log}_{4}3}{\text{log}_{4}27}\rightarrow \dfrac{\text{log}_{4}3}{\text{log}_{4}3^{3}}\rightarrow \dfrac{\cancel{\text{log}_{4}3}}{3.\cancel{\text{log}_{4}3}} =\boxed{\dfrac{1}{3}}$

0639

Calcule os zeros das funções:

a)$\,f(x)=12x^{2}+5x$

b)$\,g(x)=-6x^{2}+8x+4$

0639 - Soluções

Lembrando que os zeros da função são obtidos,fazendo $f(x)=0$.

a) $12x^{2}+5x=0\rightarrow x(12x+5)=0\rightarrow$

$\boxed{x_{1}=0}$ ou $12x+5=0\rightarrow \boxed{x_{2}=-\dfrac{5}{12}}$

---

b) $\underbrace{-6x^{2}+8x+4=0}_{\text{:(-2)}}\rightarrow 3x^{2}-4x-2=0\rightarrow\,\,$ (Bhaskara)

$x=\dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^{2}-4\times 3\times (-2)}}{2\times 3}\rightarrow x=\dfrac{4\pm \sqrt{40}}{6}\rightarrow$

$x=\dfrac{4\pm 2\sqrt{10}}{6}\rightarrow x=\dfrac{\cancel{2}^{1}(2\pm \sqrt{10})}{\cancel{6}^{3}}\rightarrow x=\dfrac{2\pm\sqrt{10}}{3}\rightarrow$

$\boxed{x_{1}=\dfrac{2-\sqrt{10}}{3}}\,\,\text{ou}\,\,\boxed{x_{2}=\dfrac{2+\sqrt{10}}{3}}$

0638

Resolva o sistema de inequações, em $\mathbb{R}$:

$\left\{\begin{array}{rcrcrr} 5 & - & 2x & < & 4 &\\ x & - & 5 & < & 1-x & \end{array}\right.$

0638 - Solução

$\left\{\begin{array}{rcrcrr} 5 & - & 2x & < & 4 &\\ x & - & 5 & < & 1-x & \end{array}\right.$

Vamos proceder, isolando a incógnita "$x$":

$\left\{\begin{array}{crcrr} -& 2x & < & -1 &\\ & 2x & < & 6 & \end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rcrr} x & > & \dfrac{1}{2} & (I)\\ & & & \\ x & < & 3 & (II) \end{array}\right.$

A solução$(S)$, será a intersecção $(I)\cap (II)$, portanto:

$\boxed{S=\left\{ x\in \mathbb{R}\,|\,\,\dfrac{1}{2}\,<\,x\,<\,3 \right\}}$

0637

Resolva o seguinte problema:

Prevendo falta d'água, enchi todas as garrafas de que dispunha e coloquei-as na geladeira.

No dia seguinte utilizei $\dfrac{2}{7}$ das garrafas existentes. Passados dois dias, eu já

havia consumido $\dfrac{3}{5}$ do número de garrafas restantes, quando então observei que

haviam sobrado $4$(quatro) garrafas. Quantas garrafas eu enchi no início?

0637 - Solução

Algumas considerações:

a) Para equacionar essa questão, iremos montando as equações, uma a uma, a cada frase lida;

b) Vamos chamar de "$x$", o número inicial de garrafas;

c) Equacionando e resolvendo, em quatro etapas:

1)Ao final do dia seguinte, restavam $\boxed{x-\dfrac{2x}{7}}$

2)Dois dias depois, foram consumidas:

$\dfrac{\left[3\left(x-\dfrac{2x}{7}\right)\right]}{5}$ e restavam, $\boxed{\left(x-\dfrac{2x}{7}\right)-\dfrac{\left[3\left(x-\dfrac{2x}{7}\right)\right]}{5}}$

3)Portanto, a equação final é:

$\boxed{\left(x-\frac{2x}{7}\right)-\dfrac{\left[3\left(x-\dfrac{2x}{7}\right)\right]}{5}=4}(I)$

4)Agora, vamos resolver a equação (I) e, para isso, eu tomei o cuidado de dividir a equação nos pedaços "$a$", "$b$" e "$c$" (veja bem que essa divisão e os nomes desses "pedaços" não influenciam nos cálculos, sendo apenas para facilitar a visualização):

$\boxed{\underbrace{\left(x-\frac{2x}{7}\right)}_{a}-\underbrace{\dfrac{\overbrace{\left[3\left(x-\dfrac{2x}{7}\right) \right]}^{b} }{5}}_{c}=4}$

$\underbrace{\left(\frac{5x}{7}\right)}_{a}-\underbrace{\dfrac{\overbrace{\left[3\left(\dfrac{5x}{7}\right)\right]}^{b}}{5}}_{c}=4\rightarrow\underbrace{\left(\frac{5x}{7}\right)}_{a}-\underbrace{\dfrac{\overbrace{\left(\dfrac{15x}{7}\right)}^{b} }{5}}_{c} =4\rightarrow\underbrace{\frac{5x}{7}}_{a}-\underbrace{\dfrac{15x}{35}}_{c}=4\rightarrow$

$\dfrac{5x}{7}-\dfrac{\cancel{15x}^{3}}{\cancel{35}^{7}}=4\rightarrow\dfrac{5x}{7}-\dfrac{3x}{7}=4\rightarrow \dfrac{2x}{7} =4\rightarrow2x=28\rightarrow \boxed{x=14}$

Apenas para confirmar, vamos testar o valor $\boxed{x=14}$, no texto dado:

1º) "No dia seguinte...:" $14-\left(\dfrac{2}{\cancel{7}^{1}}\,\,\times\,\cancel{14}^{2}\,\,\right)=14-4=10$

2º) "Passados dois dias...:" $10-\left(\dfrac{3}{\cancel{5}^{1}}\,\,\times\cancel{10}^{2}\,\,\right)=10-6=4$

OBS: Ao final, realmente havia sobrado $4$ garrafas!!

0636

Resolva a equação $5^{x+1} - 5^{x-1} =24$

0636 - Solução

$5^{x+1} - 5^{x-1} =24\rightarrow 5.5^{x}-\dfrac{5^{x}}{5}=24\rightarrow$

$5^{x}.\left( 5-\dfrac{1}{5} \right)=24\rightarrow 5^{x}.\dfrac{24}{5}=24\rightarrow$

$5^{x}=5\rightarrow \boxed{x=1}~\text{(resposta final)}$

0635

Verifique qual a posição relativa entre as duas retas dadas por suas equações:

$(r):y=3x$

$(s):8x-2y+5=0$

0635 - Solução

Algumas considerações:

1)A fim de facilitar a solução, vamos adotar a forma reduzida das equações dadas:

$\begin{array}{ll} (r): & y=3x (\text{já está na forma reduzida})\,\,\text{e}\\ (s): & y=4x+\dfrac{5}{2}; \end{array}$

2)Visualmente, já é possível verificar a posição relativa dessas retas. Observe que o coeficiente angular de "$r$" é $3$ e o coeficiente angular de "$s$" é $4$. Portanto, essas retas são concorrentes, ou seja, se fizermos $3x=4x+\dfrac{5}{2}$, podemos encontrar o ponto de intersecção:

$3x=4x+\dfrac{5}{2}\rightarrow \boxed{x=-\dfrac{5}{2}}$

Substituindo o valor de "$x$" encontrado em qualquer das duas equações "$r$" ou "$s$", encontraremos a coordenada "$y$" do encontro dessas retas; assim, vamos substituir em ambas, pois o valor de "$y$" encontrado deverá ser o mesmo:

$\begin{array}{lll} (r): & y=3\cdot\dfrac{-5}{2} & \rightarrow\boxed{y=-\dfrac{15}{2}}\\ & & \\ (s): & y=4\cdot\dfrac{-5}{2}+\dfrac{5}{2} & \rightarrow\boxed{y=-\dfrac{15}{2}} \end{array}$

Portanto, as retas $r$ e $s$ são concorrentes, e o ponto de intersecção é: $\left(-\dfrac{5}{2};\,-\dfrac{15}{2}\right)$

0634

Calcule os zeros e estude a variação de sinal, de cada função real a seguir:

a) $y= \dfrac{x}{2} + 5$

b) $y= -3x + 4$

c) $y= -4x + 2$

d) $y= 2x - 2$

0634 - Soluções

Algumas considerações:

1)Encontrar os zeros ou raízes de uma função, significa obter os valores de "$x$" quando y = 0;

2)Estudar o sinal da função, significa obter os valores de "x", para que a função seja:

$y < 0$ (negativa); $y = 0$ (zero) e $y > 0$ (positiva); assim:

$a)\,y=\dfrac{x}{2}+5\rightarrow \dfrac{x}{2}+5=0\rightarrow \boxed{x=-10}\,\text{(zero ou raiz)}$

$\text{Para}\,x<-10,\,\,y<0$

$\text{Para}\,x=-10,\,\,y=0$

$\text{Para}\,x>-10,\,\,y>0$

---

$b)\,y=-3x+4\rightarrow -3x+4=0\rightarrow\boxed{x=\dfrac{4}{3}}\,\text{(zero ou raiz)}$

$\text{Para}\,x<\dfrac{4}{3},\,\,y>0$

$\text{Para}\,x=\dfrac{4}{3},\,\,y=0$

$\text{Para}\,x>\dfrac{4}{3},\,\,y<0$

---

$c)\,y=-4x+2\rightarrow -4x+2=0\rightarrow\boxed{x=\dfrac{1}{2}}\,\text{(zero ou raiz)}$

$\text{Para}\,x<\dfrac{1}{2},\,\,y>0$

$\text{Para}\,x=\dfrac{1}{2},\,\,y=0$

$\text{Para}\,x>\dfrac{1}{2},\,\,y<0$

---

$d)\,y=2x-2\rightarrow 2x-2=0\rightarrow\boxed{x=1}\,\text{(zero ou raiz)}$

$\text{Para}\,x<1,\,\,y<0$

$\text{Para}\,x=1,\,\,y=0$

$\text{Para}\,x>1,\,\,y>0$

0633

Resolva as 5(cinco) questões seguintes, referentes ao estudo de triângulos:

(1)Utilizando o cálculo dos lados dos triângulos, classifique-os em equilátero, escaleno ou isósceles:

(1a) $A(1,\,\,6)$; $B(2,\,\,3)$ e $C(4,\,\,5)$.

(1b) $D(0,\,\,0)$; $E(2,\,\,2\sqrt{3})$ e $F(4,\,\,0)$.

(2)Determine as coordenadas do baricentro dos triângulos de vértices:

(2a) $A(2,\,\,3)$; $B(5,\,\,-1)$ e $C(-1,\,\,4)$.

(2b) $D(-1,\,\,0)$; $E(2,\,\,-3)$ e $F(2,\,\,3)$.

(3)Sabendo que $A(x,y)$; $B(-1,8)$ e $C(3,-10)$ são vértices de um triângulo cujo baricentro é o ponto $G(3,-2)$, determine as coordenadas "$x$" e "$y$", do vértice $A$.

(4)Verifique se os pontos $A(3,\,\,2)$; $B(4,\,\,1)$ e $C(1,\,\,4)$ são colineares.

(5)Determine o valor de "$k$" para que os pontos $A(k,7)$; $B(2,-3)$ e $C(k,1)$, sejam vértices de um triângulo.

0633 - Soluções

(1)Utilizando o cálculo dos lados dos triângulos, classifique-os em equilátero, escaleno ou isósceles:

OBS: Vamos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos $A(x_{A};\,y_{A})$ e $B(x_{B};\,y_{B}):$

$\boxed{d_{AB}=\sqrt{(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}}}$

(1a) A(1,6); B(2,3) e C(4,5)$\rightarrow\Delta$ABC é isósceles, pois $AB=AC\neq BC$; acompanhe:

$d_{AB}=\sqrt{(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}}\rightarrow d_{AB}=\sqrt{(1-2)^{2}+(6-3)^{2}}\rightarrow \boxed{d_{AB}=\sqrt{10}}$

$d_{AC}=\sqrt{(x_{A}-x_{C})^{2}+(y_{A}-y_{C})^{2}}\rightarrow d_{AC}=\sqrt{(1-4)^{2}+(6-5)^{2}}\rightarrow \boxed{d_{AC}=\sqrt{10}}$

$d_{BC}=\sqrt{(x_{B}-x_{C})^{2}+(y_{B}-y_{C})^{2}}\rightarrow d_{BC}=\sqrt{(2-4)^{2}+(3-5)^{2}}\rightarrow \boxed{d_{BC}=8}$

(1b) D(0,0); E(2, $2\sqrt{3}$) e F(4,0)$\rightarrow\Delta$DEF é equilátero, pois $DE=DF=EF$; acompanhe:

$d_{DE}=\sqrt{(x_{D}-x_{E})^{2}+(y_{D}-y_{E})^{2}}\rightarrow d_{DE}=\sqrt{(0-2)^{2}+(0-2\sqrt{3})^{2}}\rightarrow \boxed{d_{DE}=4}$

$d_{DF}=\sqrt{(x_{D}-x_{F})^{2}+(y_{D}-y_{F})^{2}}\rightarrow d_{DF}=\sqrt{(0-4)^{2}+(0-0)^{2}}\rightarrow \boxed{d_{DF}=4}$

$d_{EF}=\sqrt{(x_{E}-x_{F})^{2}+(y_{E}-y_{F})^{2}}\rightarrow d_{EF}=\sqrt{(2-4)^{2}+(2\sqrt{3}-0)^{2}}\rightarrow \boxed{d_{EF}=4}$

---

(2)Determine as coordenadas do baricentro dos triângulos de vértices:

OBS: O baricentro(G) é a intersecção das medianas do triângulo. As coordenadas desse baricentro são as médias aritméticas das coordenadas dos vértices desse triângulo. A fórmula para esse baricentro é:

$G=\left( \dfrac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}\,,\, \dfrac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3} \right)$

(2a) A(2,3); B(5,-1) e C(-1,4)$\rightarrow G=\left(\dfrac{2+5-1}{3}\,,\,\dfrac{3-1+4}{3}\right)\rightarrow\boxed{G=(2,2)}$

(2b) D(-1,0); E(2,-3) e F(2,3)$\rightarrow G=\left(\dfrac{-1+2+2}{3}\,,\,\dfrac{0-3+3}{3}\right)\rightarrow\boxed{G=(1,0)}$

---

(3)Sabendo que $A(x,y)$; $B(-1,8)$ e $C(3,-10)$ são vértices de um triângulo cujo baricentro é o ponto $G(3,-2)$, determine as coordenadas "$x$" e "$y$", do vértice $A$:

OBS: Vamos fazer a aplicação inversa do exercício anterior, partindo do baricentro e encontrando os pontos pedidos:

$G=\left( \dfrac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}\,,\,\dfrac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}\right)\rightarrow\left(\dfrac{x-1+3}{3}\,,\,\dfrac{y+8-10}{3}\right)\rightarrow$

$G=\left( \dfrac{x+2}{3}\,,\,\dfrac{y-2}{3} \right)=(3,-2)\Rightarrow$

$\dfrac{x+2}{3}=3\rightarrow x+2=9\rightarrow \boxed{x=7}$

$\dfrac{y-2}{3}=-2\rightarrow y-2=-6\rightarrow \boxed{y=-4}$

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(4)Verifique se os pontos $A(3,2)$; $B(4,1)$ e $C(1,4)$ são colineares:

OBS: Três pontos $A(x_{A},y_{A})$; $B(x_{B},y_{B})$ e $C(x_{C},y_{c})$ são colineares(estão alinhados) se, e somente se,

$D=\left|\begin{array}{rrr} x_{A} & y_{A} & 1 \\ x_{B} & y_{B} & 1 \\ x_{C} & y_{C} & 1 \\ \end{array}\right|=0$

No nosso caso:

$D=\left|\begin{array}{rrr} 3 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ \end{array}\right|=0$

Regra de Sarrus:

$D=3.1.1+4.4.1+1.1.2-(1.1.1+2.4.1+3.4.1)\rightarrow 3+16+2-(1+8+12)$

$D=21-21\rightarrow \boxed{D=0}$.

Portanto, os três pontos $A$,$B$ e $C$ são colineares.

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(5)Determine o valor de "$k$" para que os pontos $A(k,7)$; $B(2,-3)$ e $C(k,1)$, sejam vértices de um triângulo:

OBS: Três pontos $A(x_{A},y_{A})$; $B(x_{B},y_{B})$ e $C(x_{C},y_{c})$ determinam um triângulo se, e somente se,

$D=\left|\begin{array}{rrr} x_{A} & y_{A} & 1 \\ x_{B} & y_{B} & 1 \\ x_{C} & y_{C} & 1 \\ \end{array}\right|\neq0$

No nosso caso:

$D=\left|\begin{array}{rrr} k & 7 & 1 \\ 2 & -3 & 1 \\ k & 1 & 1 \\ \end{array}\right|\neq 0$

Regra de Sarrus:

$k.(-3).1+2.1.1+k.1.7-(1.(-3).k+7.2.1+k.1.1)\neq 0\rightarrow$

$-3k+2+7k-(-3k+14+k)\neq 0$

$4k+2+2k-14\neq 0\rightarrow$

$6k-12\neq 0\rightarrow$

$6k\neq 12\rightarrow$

$\boxed{k\neq 2}$

0632

Quatro questões sobre função quadrática:

1)Determine "$m$" para que a função $f(x)=x^{2}-3x+m$ tenha duas raízes reais e distintas:

2)Uma das raízes da equação $-x^{2}+px+3=0$ é igual a 2(dois):

2a) Qual o valor de "$p$"?

2b) Qual é a outra raiz que essa equação possui?

3)Qual é o valor de "$m$" na equação $x^{2} - (m+5)x + m + 1=0$, para que as raízes sejam simétricas?

4)Determine as raízes de: $f(x)=\dfrac{-x^{2}+3x}{2x+1}$, com $x\neq -\dfrac{1}{2}$.

0632 - Soluções

Da fórmula de Bhaskara sabemos que o discriminante (ou Delta) é dado por: $\Delta=b^{2}-4ac$. Para que uma equação quadrática (ou do segundo grau) tenha duas raízes reais e distintas, basta que $\Delta > 0$.

1)Determine "$m$" para que a função $f(x)=x^{2}-3x+m$ tenha duas raízes reais e distintas:

$\Delta=(-3)^2 -4\times 1\times m > 0\rightarrow 9-4m>0\rightarrow -4m>-9\,\,(-1)\rightarrow 4m<9\rightarrow\boxed{m<\dfrac{9}{4}}$

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2)Uma das raízes da equação $-x^{2}+px+3=0$ é igual a 2(dois):

2a) Qual o valor de "$p$"?

Substituindo "$x$" por $2$: $-2^{2}+p.2+3=0\rightarrow -4+2p+3=0\rightarrow 2p=1\rightarrow \boxed{p=\dfrac{1}{2}}$

2b) Qual é a outra raiz que essa equação possui?

Com o valor de $p=\dfrac{1}{2}$, nossa equação será: $-x^{2}+\dfrac{x}{2}+3=0\,(\times -2)\rightarrow 2x^{2}-x-6=0$

Utilizando Bhaskara:

$x=\dfrac{1\pm\sqrt{(-1)^{2}-4\times\,2\times\,(-6) }}{2\times\,2}\rightarrow x=\dfrac{1\pm\sqrt{49}}{4}\rightarrow x=\dfrac{1\pm 7}{4}\rightarrow$

$x_{1}=\dfrac{1+7}{4}\rightarrow \boxed{x_{1}=2}$

$x_{2}=\dfrac{1-7}{4}\rightarrow \boxed{x_{2}=-\dfrac{3}{2}}$

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3)Qual é o valor de ``$m$'' na equação $x^{2} - (m+5)x + m + 1=0$, para que as raízes sejam simétricas($^*$)?

($^*$)Chamando uma das raízes de "$k$", a outra raiz(simétrica) será "$-k$"

Essa questão refere-se à relação de soma de raízes de uma equação do segundo grau; assim:

Soma: $k+(-k)=-[-(m+5)]\rightarrow m+5=0\rightarrow \boxed{m=-5}$

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4)Determine as raízes de: $f(x)=\dfrac{-x^{2}+3x}{2x+1}$, com $x\neq -\dfrac{1}{2}$.

Encontraremos suas raízes, fazendo $f(x)=0$ e, para isso, basta que o numerador "$-x^{2}+3x$" seja zero, ou seja:

$-x^{2}+3x=0\rightarrow-x(x-3)=0\rightarrow$

$-x=0\rightarrow \boxed{x=0}$ ou $x-3=0\rightarrow \boxed{x=3}$

0631

Duas questões envolvendo números complexos:

1ª)Obtenha as raízes da seguinte equação matricial:

$\left|\begin{array}{ccc} 1-x & 2 & 0 \\ 1 & 5 & 3 \\ x-1 & 1 & x \end{array}\right|=0$

2ª)O determinante abaixo define um número complexo. Determine o módulo desse complexo.

$\left|\begin{array}{ccc} 1 & i & 1 \\ i & 1 & i \\ 1+i & 1-i & 0 \end{array}\right|=0$

0631 - Soluções

1ª)Resolvendo a equação matricial:

$(1-x).5.x + \cancel{1.1.0} + (x-1).3.2 -[\cancel{0.5.(x-1)} + 2.1.x + (1-x).1.3]=0\rightarrow$

$5x-5x^{2}+6x-6-2x-3+3x=0\rightarrow -5x^{2}+12x-9=0\,(-1)\rightarrow$

$5x^{2}-12x+9=0$ \textit{Bhaskara} $x=\dfrac{-(-12)\pm \sqrt{(-12)^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}\rightarrow$

$x=\dfrac{12\pm \sqrt{-36}}{10}\rightarrow x=\dfrac{12\pm 6i}{10}\rightarrow$

$x_{1}=\dfrac{12 - 6i}{10}\rightarrow \boxed{x_{1}=\dfrac{6 - 3i}{5}}$

$x_{2}=\dfrac{12 + 6i}{10}\rightarrow \boxed{x_{2}=\dfrac{6 + 3i}{5}}$

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2ª)Obtendo o módulo:

$(\cancel{1.1.0} + i.(1-i).1 + (1+i).i.i -[1.1.(1+i) + \cancel{i.i.0} + 1.(1-i).i]=0\rightarrow$

$\cancel{i}-\cancel{i^{2}}+\cancel{i^{2}}+\cancel{i^{3}}^{\,-i}-1-\cancel{i}-i+\cancel{i^{2}}^{\,-1}\rightarrow \boxed{-2-2i}$

Para $z=a+bi\rightarrow |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$, assim, no nosso caso,

Para $z=-2-2i\rightarrow |z|=\sqrt{(-2)^{2}+(-2)^{2}}\rightarrow |z|=\sqrt{8}\rightarrow \boxed{|z|=2\sqrt{2}}$

0630

Se $a=\dfrac{1}{1+i}$, $b=\dfrac{1-i}{1+i}$ e $c=(b-i)^{2}$, encontre o valor de $a^{c}$.

0630 - Solução

Antes de efetuar as operações pedidas, vamos (re)escrever $b$ e $c$ para torná-los mais simples e assim facilitarmos os cálculos posteriores:

$b=\dfrac{1-i}{1+i}\,\cdot \,\dfrac{1-i}{1-i}\rightarrow\,b=\dfrac{(1-i)^{2}}{2}\rightarrow\,b=\dfrac{-\cancel{2}i}{\cancel{2}}\rightarrow \boxed{b=-i}$

$c=(b-i)^{2}\rightarrow c=(-i-i)^{2}\rightarrow c=(-2i)^{2}\rightarrow \boxed{c=-4}$

Agora, vamos calcular: $a^{c}=\left(\dfrac{1}{1+i} \right)^{-4}=\left(\dfrac{1+i}{1}\right)^{4}=\left[(1+i)^{2}\right]^{2}\rightarrow$

$a^{c}=[2i]^{2}\rightarrow \boxed{\boxed{a^{c}=-4}}$

Observações:

(I)Se precisar futuramente: $(1+i)^{2}= 1^{2}+2.1.i+\cancel{i^{2}}^{\,-1}\rightarrow \cancel{1}+2i-\cancel{1}\rightarrow \boxed{(1+i)^{2}=2i}$

(II)Se precisar futuramente: $(1-i)^{2}= 1^{2}-2.1.i+\cancel{i^{2}}^{\,-1}\rightarrow \cancel{1}-2i-\cancel{1}\rightarrow\boxed{(1-i)^{2}=-2i}$

0629

Dados os números complexos $\boxed{z_{1}=2-i\sqrt{2}}$ e $\boxed{z_{2}=i\sqrt{2}}$, resolva as operações:

a) $z_{1}+z_{2}$

b) $z_{1}-3.z_{2}$

c) $z_{1}\,.\,z_{2}$

d) $(z_{1})^{2}$

e) $\dfrac{z_{2}}{z_{1}}$

f) $\dfrac{3}{z_{2}}$

g) $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$

h) $2.|z_{1}|$

i) $z_{2}-z_{1}$

0629 - Soluções

a)$\,z_{1}+z_{2}=2-\cancel{i\sqrt{2}}+\cancel{i\sqrt{2}}=\boxed{2}$

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b)$\,z_{1}-3\cdot\,z_{2}=2-i\sqrt{2}-3i\sqrt{2}=\boxed{2-4i\sqrt{2}}$

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c)$\,z_{1}\,\cdot\,z_{2}=(2-i\sqrt{2})\,\cdot\,i\sqrt{2}=2i\sqrt{2}-2\cancel{i^{2}}^{-1}=\boxed{2-2i\sqrt{2}}$

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d)$\,(z_{1})^{2}=\left( 2-i\sqrt{2} \right)^{2}=4-4i\sqrt{2}-2=\boxed{2-4i\sqrt{2}}$

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e)$\,\dfrac{z_{2}}{z_{1}}=\dfrac{i\sqrt{2}}{2-i\sqrt{2}}\,\cdot\,\dfrac{2+i\sqrt{2}}{2+i\sqrt{2}}=\dfrac{i\sqrt{2}(2+i\sqrt{2})}{2+2}=\dfrac{2i\sqrt{2}-2}{4}=\dfrac{\cancel{2}^{1}(-1+i\sqrt{2})}{\cancel{4}^{2}}=\boxed{-1+i\sqrt{2}}$

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f)$\,\dfrac{3}{z_{2}}=\dfrac{3}{i\sqrt{2}}\,\cdot\,\dfrac{i\sqrt{2}}{i\sqrt{2}}=\boxed{-\dfrac{3i\sqrt{2}}{2}}$

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g)$\,\dfrac{z_{1}}{z_{2}}=\dfrac{2-i\sqrt{2}}{i\sqrt{2}}\,\cdot\,\dfrac{i\sqrt{2}}{i\sqrt{2}}=\dfrac{2+2i\sqrt{2}}{-2}=-\dfrac{\cancel{2}(1+i\sqrt{2})}{\cancel{2}}=\boxed{-1-i\sqrt{2}}$

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h)$\,2\cdot|z_{1}|=\boxed{2\sqrt{6}}\ldots$ Cálculos, a seguir:

Calculando $|z_{1}|=\sqrt{2^{2}+(-\sqrt{2})^{2}}\rightarrow\boxed{|z_{1}|=\sqrt{6}}$. Portanto, $2\cdot|z_{1}|=\boxed{2\sqrt{6}}$

---

i)$\,z_{2}-z_{1}=i\sqrt{2}-(2-i\sqrt{2})=\boxed{-2+2i\sqrt{2}}$

0628

Calcule $\dfrac{n[n!+(n-1)!]}{(n+1)!-n!}$.

0628 - Solução

Vamos abrir os fatoriais até que fiquem disponíveis às simplificações:

$\dfrac{n[n!+(n-1)!]}{(n+1)!-n!}=\dfrac{n[n!+(n-1)!]}{(n+1).n!-n!}=\dfrac{n[n!+(n-1)!]}{n!(n+\cancel{1}-\cancel{1})}=\dfrac{\cancel{n}[n!+(n-1)!]}{\cancel{n}.n!}=$

$=\dfrac{n!+(n-1)!}{n!}=\dfrac{n.(n-1)!+(n-1)!}{n!}=\dfrac{(n-1)!(n+1)}{n!}=$

$\dfrac{(n-1)!(n+1)}{n(n-1)!}=\dfrac{\cancel{(n-1)!}(n+1)}{n\cancel{(n-1)!}}=\boxed{\boxed{\dfrac{n+1}{n},\,\,\forall \,n\in\mathbb{N}^{*}}}$

0627

Obtenha o ponto de intersecção entre a reta $r:\,\,y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{3}{2}$ e a circunferência $c:\,\,x^{2}+y^{2}-4x-6y-12=5$ ou $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=30$

0627 - Solução

Para fazermos a intersecção, nesse caso, basta tomar toda a equação reduzida da reta, cujo "x" já está em função de "y" e substituir em todos os valores de "y" da circunferência; assim, vamos obter as coordenadas "x" dos pares ordenados da intersecção. Após, retornamos às equações originais e encontramos as respectivas coordenadas "y" tendo os pontos de intersecção, assim:

$c:\,\,x^{2}+y^{2}-4x-6y-12=5\rightarrow$

$x^{2}+\left(-\dfrac{x}{2}+\dfrac{3}{2} \right)^{2}-4x-6\left( -\dfrac{x}{2}+\dfrac{3}{2} \right)-12=5\rightarrow$

$x^{2}+\left[ \dfrac{x^{2}}{4}-2\left( \dfrac{x}{2}\right)\left( \dfrac{3}{2} \right)+\dfrac{9}{4} \right]-4x +3x-9-12=5\rightarrow$

$x^{2}+\dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{3x}{2}+\dfrac{9}{4}-4x+3x-9-12=5\rightarrow$

$\underbrace{x^{2}+\dfrac{x^{2}}{4}}+\underbrace{3x-4x-\dfrac{3x}{2}}-\underbrace{\left(9+12+5-\dfrac{9}{4}\right)} =0\rightarrow$

$\dfrac{5x^{2}}{4}-\dfrac{5x}{2}-\dfrac{95}{4}=0\,\,\,\underrightarrow{\text{mmc(2,4)=4}}\,\,\, 5x^{2}-10x-95=0\quad \underrightarrow{\text{Bhaskara}}\rightarrow$

$x = \dfrac{-(-10) \pm \sqrt{ (-10)^{2} - 4\times \, 5\times \, (-95)}}{2\times \, 5}\rightarrow x = \dfrac{10 \pm 20\sqrt{5}}{10}\rightarrow$

$\boxed{x_{1}=1-2\sqrt{5}}$ ou $\boxed{x_{2}=1+2\sqrt{5}}$

Agora, vamos encontrar os respectivos valores de "y", lançando os valores de "x" encontrados em $y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{3}{2}$, assim:

Para $\boxed{x_{1}=1-2\sqrt{5}}\rightarrow y=-\dfrac{1-2\sqrt{5}}{2}+\dfrac{3}{2}\rightarrow y=\dfrac{3-1+2\sqrt{5}}{2} \rightarrow \boxed{y_{1}=1+\sqrt{5}}$

Para $\boxed{x_{2}=1+2\sqrt{5}}\rightarrow y=-\dfrac{1+2\sqrt{5}}{2}+\dfrac{3}{2}\rightarrow y=\dfrac{3-1-2\sqrt{5}}{2} \rightarrow \boxed{y_{2}=1-\sqrt{5}}$

Os pontos de intersecção são: $(1-2\sqrt{5};\,1+\sqrt{5})$ e $(1+2\sqrt{5};\,1-\sqrt{5})$

A imagem a seguir ilustra graficamente a solução:

0626

Ao participar de uma maratona, um corredor fez dois percursos, o primeiro percurso de 20 km ele completou em 2 horas; o segundo percurso, de 12 km, completou em 1 hora. Analise o texto e responda as questões propostas.

a) Qual a lei de formação da função afim?

b) Em quanto tempo ele completaria um percurso de 30 km?

0626 - Soluções

a) Lei de formação da função afim:

Vamos chamar de "$x$" o tempo(em horas) e de "$y$" a distância percorrida(em quilômetros). Assim, teremos dois pontos $(2,\,20)$ e $(1,\,12)$ a serem aplicados em uma função afim, do tipo $y=ax+b$, e, montando um sistema de equações, descobriremos os valores de "$a$" (coeficiente angular) e "$b$" (coeficiente linear):

$\left\{ \begin{array}{rcrcrr} a.1 & + & b & = & 12 & \rightarrow (\text{multiplicando toda a primeira equaçãoo por -1}) \\ a.2 & + & b & = & 20 & \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{rcrcrr} -a & - & \cancel{b} & = & -12 & \\ 2a & + & \cancel{b} & = & 20 & \rightarrow (\text{somando as duas equações, termo a termo}) \end{array} \right.$

$\boxed{a=8}$ Substituindo na primeira equação: $8+b=12\rightarrow\boxed{b=4}$

Portanto a função afim é: $\boxed{y=8x+4}$

---

b) Em quanto tempo ele completaria um percurso de 30 km:

Substituindo "$y$" por $30$, teremos: $30=8x+4\rightarrow 8x=26\rightarrow \boxed{x=3,25h}$ ou $\boxed{x=3h\,15min}$