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0650
Resolva o sistema:
{ x + 2 y = 1 x − y = 4 \left\{\begin{array}{rcrcrr}
x & + & 2y & = & 1 &\\
x & - & y & = & 4 &
\end{array}\right. { x x + − 2 y y = = 1 4
0650 - Solução
{ x + 2 y = 1 x − y = 4 ( − 1 ) \left\{\begin{array}{rcrcrr}
x & + & 2y & = & 1 &\\
x & - & y & = & 4 & (-1)
\end{array}\right. { x x + − 2 y y = = 1 4 ( − 1 )
{ x + 2 y = 1 − x + y = − 4 ( Somando as duas equa c ¸ o ˜ es, termo a termo ) \left\{\begin{array}{rcrcrr}
x & + & 2y & = & 1 &\\
-x & + & y & = & -4 & (\text{Somando as duas equações, termo a termo})
\end{array}\right. { x − x + + 2 y y = = 1 − 4 ( Somando as duas equa c ¸ o ˜ es, termo a termo )
3 y = − 3 → y = − 1 3y=-3\rightarrow \boxed{y=-1} 3 y = − 3 → y = − 1
Substituindo y = − 1 y=-1 y = − 1 na primeira equação, teremos:
x + 2 ( − 1 ) = 1 → x − 2 = 1 → x = 3 x+2(-1)=1\rightarrow x-2=1\rightarrow \boxed{x=3} x + 2 ( − 1 ) = 1 → x − 2 = 1 → x = 3
Portanto, a soluçãoS S S será: S = { ( 3 ; − 1 ) } \boxed{S=\{ (3;\,-1) \}} S = {( 3 ; − 1 )}
0649
Simplifique as seguinte expressão: x 2 − 3 x − 4 x^{2}-3x-4 x 2 − 3 x − 4 dividido por 3 x + 3 3x+3 3 x + 3 , com x ≠ − 1 x\neq -1 x = − 1 .
0649 - Solução
Primeiramente, vamos fatorar tanto o dividendo, como o divisor, a fim de facilitar os cálculos subsequentes:
x 2 − 3 x − 4 = ( x − 4 ) ( x + 1 ) x^{2}-3x-4=(x-4)(x+1) x 2 − 3 x − 4 = ( x − 4 ) ( x + 1 )
3 x + 3 = 3 ( x + 1 ) 3x+3=3(x+1) 3 x + 3 = 3 ( x + 1 )
Agora, vamos iniciar a divisão, que pode ser realizada na forma fracionária, ficando mais evidente as simplificações:
x 2 − 3 x − 4 3 x + 3 → ( x − 4 ) ( x + 1 ) 3 ( x + 1 ) → x − 4 3 \dfrac{x^{2}-3x-4}{3x+3}\rightarrow \dfrac{(x-4)\cancel{(x+1)}}{3\cancel{(x+1)}}\rightarrow \boxed{\dfrac{x - 4}{3}} 3 x + 3 x 2 − 3 x − 4 → 3 ( x + 1 ) ( x − 4 ) ( x + 1 ) → 3 x − 4
0648
Obtenha o MMC e o MDC dos números 70 70 70 e 47 47 47 .
0648 - Solução
Primeiramente, devemos decompor em fatores primos, todos os números envolvidos:
70 = 2.5.7 70 = 2.5.7 70 = 2.5.7
47 = 47 47 = 47 47 = 47 (pois 47 47 47 é um número primo)
Para obter o MMC(Mínimo Múltiplo Comum) tomamos os fatores primos comuns e não comuns, com maiores expoentes:
MMC( 47 , 70 ) = 2.5.7.47 = 3290 (47, 70) = 2.5.7.47 = \boxed{3290} ( 47 , 70 ) = 2.5.7.47 = 3290
Para obter o MDC(Máximo Divisor Comum) tomamos os fatores primos comuns, com menores expoentes:
MDC( 47 , 70 ) = 1 (47, 70) = \boxed{1} ( 47 , 70 ) = 1 (será sempre um, quando não houver fatores primos comuns)
0647
Quais os dez primeiros múltiplos de 2 2 2 e de 5 5 5 ?
0647 - Solução
Lembrando que os múltiplos de qualquer número inteiro são obtidos, multiplicando-os pelos números naturais:
Apenas os dez primeiros múltiplos de dois, como pedido:
M( 2 ) = ( 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 ) (2) = (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18) ( 2 ) = ( 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 )
Apenas os dez primeiros múltiplos de cinco, como pedido:
M( 5 ) = ( 0 , 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , 30 , 35 , 40 , 45 ) (5) = (0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45) ( 5 ) = ( 0 , 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , 30 , 35 , 40 , 45 )
0646
Quais os dez primeiros múltiplos de 16 16 16 ? E de 24 24 24 ?
0646 - Solução
Lembrando que os múltiplos de qualquer número inteiro são obtidos, multiplicando-os pelos números naturais:
Apenas os dez primeiros múltiplos de dezesseis, como pedido:
M( 16 ) = ( 0 , 16 , 32 , 48 , 64 , 80 , 96 , 112 , 128 , 144 ) (16) = (0, 16, 32, 48, 64, 80, 96, 112, 128, 144) ( 16 ) = ( 0 , 16 , 32 , 48 , 64 , 80 , 96 , 112 , 128 , 144 )
Apenas os dez primeiros múltiplos de vinte e quatro, como pedido:
M( 24 ) = ( 0 , 24 , 48 , 72 , 96 , 120 , 144 , 168 , 192 , 216 ) (24) = (0, 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, 216) ( 24 ) = ( 0 , 24 , 48 , 72 , 96 , 120 , 144 , 168 , 192 , 216 )
0645
Obtenha o MMC de cada item a seguir:
a)Números 7 7 7 e 5 5 5 .
b)Números 9 9 9 e 1 1 1 .
c)Números 8 8 8 e 9 9 9 .
d)Números 3 3 3 , 6 6 6 e 9 9 9 .
e)Números 2 2 2 , 4 4 4 e 6 6 6 .
0645 - Soluções
Algumas considerações:
1)Devemos decompor em fatores primos, todos os números envolvidos;
2)Para obter o MMC(Mínimo Múltiplo Comum) tomamos os fatores comuns e não comuns, com maiores expoentes:
a)Números 7 7 7 e 5 5 5 :
7 = 7 7 = 7 7 = 7 (pois é um número primo)
5 = 5 5 = 5 5 = 5 (pois é um número primo)
M . M . C d e ( 7 , 5 ) = 7.5 = 35 \boxed{M.M.C\,de\,(7,5) = 7.5 = 35} M . M . C d e ( 7 , 5 ) = 7.5 = 35
b)Números 9 9 9 e 1 1 1 :
9 = 3 2 9 = 3^{2} 9 = 3 2
1 = 1 1 = 1 1 = 1 (pois um não é primo)
M . M . C d e ( 9 , 1 ) = 9 \boxed{M.M.C\,de\,(9,1) = 9} M . M . C d e ( 9 , 1 ) = 9
c)Números 8 8 8 e 9 9 9 :
8 = 2 3 8 = 2^{3} 8 = 2 3
9 = 3 2 9 = 3^{2} 9 = 3 2
M . M . C d e ( 8 , 9 ) = 2 3 .3 2 = 72 \boxed{M.M.C\,de\,(8,9) = 2^{3}. 3^{2} = 72} M . M . C d e ( 8 , 9 ) = 2 3 . 3 2 = 72
d)Números 3 3 3 , 6 6 6 e 9 9 9 :
3 = 3 3 = 3 3 = 3
6 = 2.3 6 = 2 . 3 6 = 2.3
9 = 3 2 9 = 3^{2} 9 = 3 2
M . M . C d e ( 3 , 6 , 9 ) = 2.3 2 = 18 \boxed{M.M.C~de~(3,6,9) = 2 . 3^{2} = 18} M . M . C d e ( 3 , 6 , 9 ) = 2. 3 2 = 18
e)Números 2 2 2 , 4 4 4 e 6 6 6 :
2 = 2 2 = 2 2 = 2
4 = 2 2 4 = 2^{2} 4 = 2 2
6 = 2.3 6 = 2 . 3 6 = 2.3
M . M . C d e ( 2 , 4 , 6 ) = 2 2 .3 = 12 \boxed{M.M.C~de~(2,4,6) = 2^{2} . 3 = 12} M . M . C d e ( 2 , 4 , 6 ) = 2 2 .3 = 12
0644
Um quadrado tem lado ( a − 2 b ) (a-2b) ( a − 2 b ) . Qual é o resultado da divisão de sua área por seu perímetro, sabendo-se que ( a − 2 b ) ≠ 0 (a-2b)\neq 0 ( a − 2 b ) = 0 ?
0644 - Solução
Vamos encontrar o perímetro e a área desse quadrado e, em seguida, a razão pedida:
Seu perímetro( P ) (P) ( P ) será P = 4 ( a − 2 b ) \boxed{P = 4(a - 2b)} P = 4 ( a − 2 b )
Sua Área( A ) (A) ( A ) será A = ( a − 2 b ) 2 \boxed{A = (a - 2b)^{2}} A = ( a − 2 b ) 2
Assim a divisão( D ) (D) ( D ) será:
D = A P → D = ( a − 2 b ) 2 4 ( a − 2 b ) → D = ( a − 2 b ) . ( a − 2 b ) 4 ( a − 2 b ) → D = a − 2 b 4 D=\dfrac{A}{P}\rightarrow D=\dfrac{(a - 2b)^{2}}{4(a - 2b)}\rightarrow D=\dfrac{(a-2b).\cancel{(a-2b)}}{4\cancel{(a-2b)}}\rightarrow \boxed{D=\dfrac{a-2b}{4}} D = P A → D = 4 ( a − 2 b ) ( a − 2 b ) 2 → D = 4 ( a − 2 b ) ( a − 2 b ) . ( a − 2 b ) → D = 4 a − 2 b
0643
Resolva cada sistema a seguir, pelo método do escalonamento:
a)
{ x + 4 y = 2 3 x − 5 y = 23 \left\{\begin{array}{rcrcrr}
x & + & 4y & = & 2 & \\
3x & - & 5y & = & 23 &
\end{array}\right. { x 3 x + − 4 y 5 y = = 2 23
b)
{ 5 x − 10 y = − 2 3 x − 6 y = − 2 \left\{\begin{array}{rcrcrr}
5x & - & 10y & = & -2 & \\
3x & - & 6y & = & -2 &
\end{array}\right. { 5 x 3 x − − 10 y 6 y = = − 2 − 2
c)
{ 2 x − 3 y = 4 − 4 x + 6 y = 8 \left\{\begin{array}{rcrcrr}
2x & - & 3y & = & 4 & \\
-4x & + & 6y & = & 8 &
\end{array}\right. { 2 x − 4 x − + 3 y 6 y = = 4 8
d)
{ x + 5 y = 10 7 x + 6 y = 12 \left\{\begin{array}{rcrcrr}
x & + & 5y & = & 10 & \\
7x & + & 6y & = & 12 &
\end{array}\right. { x 7 x + + 5 y 6 y = = 10 12
e)
{ x + 2 y + 3 z = 6 x − 3 y + 4 z = 2 2 x − y + 5 z = 6 \left\{\begin{array}{rcrcrcrr}
x & + & 2y & + & 3z & = & 6 & \\
x & - & 3y & + & 4z & = & 2 & \\
2x & - & y & + & 5z & = & 6 &
\end{array}\right. ⎩ ⎨ ⎧ x x 2 x + − − 2 y 3 y y + + + 3 z 4 z 5 z = = = 6 2 6
0643 - Soluções
Algumas Considerações:
1º) Apenas para você entender como eu faço o escalonamento: quando surgir uma notação, por exemplo: "( 3 L 1 + L 2 ) (3L_{1}+L_{2}) ( 3 L 1 + L 2 ) " significa que eu multipliquei a linha um, por três, e somei com a linha dois; e ainda, que o resultado será colocado na linha dois;
2º) Ao final de cada item, após a solução( S ) (S) ( S ) , vou colocar a classificação do sistema: S P D SPD SP D , para sistema possível e determinado; S P I SPI SP I , para sistema possível e indeterminado, ou S I SI S I , para sistema impossível.
a)
{ x + 4 y = 2 ( 3 L 1 − L 2 ) 3 x − 5 y = 23 \left\{\begin{array}{rcrcrr}
x & + & 4y & = & 2 & (3L_{1}-L_{2})\\
3x & - & 5y & = & 23 &
\end{array}\right. { x 3 x + − 4 y 5 y = = 2 23 ( 3 L 1 − L 2 )
{ x + 4 y = 2 17 y = − 17 → y = − 1 \left\{\begin{array}{rcrcrr}
x & + & 4y & = & 2 & \\
& & 17y & = & -17 & \rightarrow \boxed{y=-1}
\end{array}\right. { x + 4 y 17 y = = 2 − 17 → y = − 1
Substituindo y = − 1 \boxed{y=-1} y = − 1 na primeira equação, teremos:
x + 4. ( − 1 ) = 2 → x − 4 = 2 → x = 6 → S = { ( 6 ; − 1 ) } S P D x+4.(-1)=2\rightarrow x-4=2\rightarrow \boxed{x=6}\rightarrow \boxed{\boxed{S=\{(6;\,-1) \}}}\,\,SPD x + 4. ( − 1 ) = 2 → x − 4 = 2 → x = 6 → S = {( 6 ; − 1 )} SP D
b)
{ 5 x − 10 y = − 2 ( 3 L 1 − 5 L 2 ) 3 x − 6 y = − 2 \left\{\begin{array}{rcrcrr}
5x & - & 10y & = & -2 & (3L_{1}-5L_{2})\\
3x & - & 6y & = & -2 &
\end{array}\right. { 5 x 3 x − − 10 y 6 y = = − 2 − 2 ( 3 L 1 − 5 L 2 )
{ 5 x − 10 y = − 2 0 + 0 = 4 → S = { } S I \left\{\begin{array}{rcrcrr}
5x & - & 10y & = & -2 & \\
0 & + & 0 & = & 4 & \rightarrow \boxed{\boxed{S=\{ \}}}\,\,SI
\end{array}\right. ⎩ ⎨ ⎧ 5 x 0 − + 10 y 0 = = − 2 4 → S = { } S I
c)
{ 2 x − 3 y = 4 ( 2 L 1 + L 2 ) − 4 x + 6 y = 8 \left\{\begin{array}{rcrcrr}
2x & - & 3y & = & 4 & (2L_{1}+L_{2})\\
-4x & + & 6y & = & 8 &
\end{array}\right. { 2 x − 4 x − + 3 y 6 y = = 4 8 ( 2 L 1 + L 2 )
{ 2 x − 3 y = 4 0 + 0 = 16 → S = { } S I \left\{\begin{array}{rcrcrr}
2x & - & 3y & = & 4 & \\
0 & + & 0 & = & 16 & \rightarrow \boxed{\boxed{S=\{ \}}}\,\,SI
\end{array}\right. ⎩ ⎨ ⎧ 2 x 0 − + 3 y 0 = = 4 16 → S = { } S I
d)
{ x + 5 y = 10 ( 7 L 1 − L 2 ) 7 x + 6 y = 12 \left\{\begin{array}{rcrcrr}
x & + & 5y & = & 10 & (7L_{1}-L_{2})\\
7x & + & 6y & = & 12 &
\end{array}\right. { x 7 x + + 5 y 6 y = = 10 12 ( 7 L 1 − L 2 )
{ x + 5 y = 10 29 y = 58 → y = 2 \left\{\begin{array}{rcrcrr}
x & + & 5y & = & 10 & \\
& & 29y & = & 58 & \rightarrow \boxed{y=2}
\end{array}\right. { x + 5 y 29 y = = 10 58 → y = 2
Substituindo y = 2 \boxed{y=2} y = 2 na primeira equação, teremos:
x + 5. ( 2 ) = 10 → x + 10 = 10 → x = 0 → S = { ( 0 ; 2 ) } S P D x+5.(2)=10\rightarrow x+10=10\rightarrow \boxed{x=0}\rightarrow \boxed{\boxed{S=\{(0;\,2) \}}}\,\,SPD x + 5. ( 2 ) = 10 → x + 10 = 10 → x = 0 → S = {( 0 ; 2 )} SP D
e)
{ x + 2 y + 3 z = 6 ( L 1 − L 2 ) ( 2 L 1 − L 3 ) x − 3 y + 4 z = 2 2 x − y + 5 z = 6 \left\{\begin{array}{rcrcrcrr}
x & + & 2y & + & 3z & = & 6 & (L_{1}-L_{2})\quad (2L_{1}-L_{3})\\
x & - & 3y & + & 4z & = & 2 & \\
2x & - & y & + & 5z & = & 6 &
\end{array}\right. ⎩ ⎨ ⎧ x x 2 x + − − 2 y 3 y y + + + 3 z 4 z 5 z = = = 6 2 6 ( L 1 − L 2 ) ( 2 L 1 − L 3 )
{ x + 2 y + 3 z = 6 5 y − z = 4 ( L 2 − L 3 ) 5 y + z = 6 \left\{\begin{array}{rcrcrcrr}
x & + & 2y & + & 3z & = & 6 & \\
& & 5y & - & z & = & 4 & (L_{2}-L_{3}) \\
& & 5y & + & z & = & 6 &
\end{array}\right. ⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y 5 y 5 y + − + 3 z z z = = = 6 4 6 ( L 2 − L 3 )
{ x + 2 y + 3 z = 6 5 y − z = 4 − 2 z = − 2 → z = 1 \left\{\begin{array}{rcrcrcrr}
x & + & 2y & + & 3z & = & 6 & \\
& & 5y & - & z & = & 4 & \\
& & & - & 2z & = & -2 & \rightarrow \boxed{z=1}
\end{array}\right. ⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y 5 y + − − 3 z z 2 z = = = 6 4 − 2 → z = 1
Substituindo z = 1 \boxed{z=1} z = 1 na segunda equação(já escalonada), teremos:
5 y − 1 = 4 → 5 y = 5 → y = 1 5y-1=4\rightarrow 5y=5\rightarrow \boxed{y=1} 5 y − 1 = 4 → 5 y = 5 → y = 1
Substituindo y = 1 \boxed{y=1} y = 1 e z = 1 \boxed{z=1} z = 1 na primeira equação, teremos:
x + 2.1 + 3.1 = 6 → x + 5 = 6 → x = 1 → S = { ( 1 ; 1 ; 1 ) } S P D x+2.1+3.1=6\rightarrow x+5=6\rightarrow \boxed{x=1}\rightarrow \boxed{\boxed{S=\{(1;\,1;\,1) \}}}\,\,SPD x + 2.1 + 3.1 = 6 → x + 5 = 6 → x = 1 → S = {( 1 ; 1 ; 1 )} SP D
0642
Quanto vale o quociente entre: o sucessor do antecessor do sucessor do número − 17 -17 − 17 e, o módulo do simétrico do oposto do antecessor do número -7.
0642 - Solução
Algumas considerações:
a) Lembrando que sucessor de um número inteiro é sempre aquele que está a direita desse número e antecessor é aquele que está a esquerda, não importando o sinal;
b) Os números opostos também são denominados simétricos, isto é, números que quando representados na reta numérica possuem a mesma distância da origem;
c) (re)Lendo o texto, mas, ao contrário, resolveremos em três etapas:
1ª) Em relação ao -17:
Sucessor de -17 é -16;
Antecessor de -16(sucessor de -17) é -17;
Sucessor de -17 é -16 (este é o numerador)
2ª) Em relação ao -7:
Antecessor de -7 é -8
Oposto de -8 é +8;
Simétrico(ou oposto) de +8 é -8
Módulo de -8 é 8(este é o denominador)
3ª) A Fração(Quociente) é − 16 8 = − 2 \dfrac{-16}{8}=\boxed{-2} 8 − 16 = − 2 (resultado final)
0641
Determine m m m e n n n para que as funções, de R \mathbb{R} R em R \mathbb{R} R ,
f ( x ) = 2 x 2 + ( m − 3 ) x + 4 f(x) = 2x^{2} + ( m - 3 ) x+ 4 f ( x ) = 2 x 2 + ( m − 3 ) x + 4 e
g ( x ) = 2 x 2 − 6 x + m − n g(x) = 2x^{2} - 6x + m - n g ( x ) = 2 x 2 − 6 x + m − n , sejam iguais.
0641 - Solução
Para f ( x ) = g ( x ) f(x)=g(x) f ( x ) = g ( x ) :
2 x 2 + ( m − 3 ) x + 4 = 2 x 2 − 6 x + m − n \cancel{2x^{2}} + ( m - 3 ) x+ 4 = \cancel{2x^{2}} - 6x + m - n 2 x 2 + ( m − 3 ) x + 4 = 2 x 2 − 6 x + m − n
Comparando apenas os coeficientes, teremos:
{ m − 3 = − 6 → m = − 3 m − 3 − n = 4 → − n = 7 → n = − 7 \left\{\begin{array}{rcrcrrr}
m\,\,\, & - & 3 & = & -6 &\rightarrow \boxed{m = -3}&\\
\cancel{m}^{\,-3}\,\,\, & - & n & = & 4 &\rightarrow -n=7&\rightarrow \boxed{n=-7}
\end{array}\right. { m m − 3 − − 3 n = = − 6 4 → m = − 3 → − n = 7 → n = − 7
0640
Calcule:
a) Logaritmo de 3 na base 2, dividido por logaritmo de 27 na base 4.
b) Logaritmo de 3 na base 4, dividido por logaritmo de 27 na base 4.
0640 - Soluções
a) Logaritmo de 3 na base 2, dividido por logaritmo de 27 na base 4:
log 2 3 log 4 27 → log 2 3 log 4 ( 2 2 ) 27 ( 3 3 ) → 2 . log 2 3 3. log 2 3 → 2 . 1 3 = 2 3 \dfrac{\log_23}{\log_427}\to\dfrac{\log_23}{\log_{\cancel{4}^{(2^2)}}\cancel{27}^{\,(3^3)}}\to2\,.\,\dfrac{\cancel{\log_23}}{3.\cancel{\log_23}}\to2\,.\,\dfrac{1}{3}=\boxed{\dfrac{2}{3}} log 4 27 log 2 3 → log 4 ( 2 2 ) 27 ( 3 3 ) log 2 3 → 2 . 3. log 2 3 log 2 3 → 2 . 3 1 = 3 2
b) Logaritmo de 3 na base 4, dividido por logaritmo de 27 base 4:
log 4 3 log 4 27 → log 4 3 log 4 3 3 → log 4 3 3. log 4 3 = 1 3 \dfrac{\text{log}_{4}3}{\text{log}_{4}27}\rightarrow \dfrac{\text{log}_{4}3}{\text{log}_{4}3^{3}}\rightarrow \dfrac{\cancel{\text{log}_{4}3}}{3.\cancel{\text{log}_{4}3}} =\boxed{\dfrac{1}{3}} log 4 27 log 4 3 → log 4 3 3 log 4 3 → 3. log 4 3 log 4 3 = 3 1
0639
Calcule os zeros das funções:
a) f ( x ) = 12 x 2 + 5 x \,f(x)=12x^{2}+5x f ( x ) = 12 x 2 + 5 x
b) g ( x ) = − 6 x 2 + 8 x + 4 \,g(x)=-6x^{2}+8x+4 g ( x ) = − 6 x 2 + 8 x + 4
0639 - Soluções
Lembrando que os zeros da função são obtidos,fazendo f ( x ) = 0 f(x)=0 f ( x ) = 0 .
a) 12 x 2 + 5 x = 0 → x ( 12 x + 5 ) = 0 → 12x^{2}+5x=0\rightarrow x(12x+5)=0\rightarrow 12 x 2 + 5 x = 0 → x ( 12 x + 5 ) = 0 →
x 1 = 0 \boxed{x_{1}=0} x 1 = 0 ou 12 x + 5 = 0 → x 2 = − 5 12 12x+5=0\rightarrow \boxed{x_{2}=-\dfrac{5}{12}} 12 x + 5 = 0 → x 2 = − 12 5
b) − 6 x 2 + 8 x + 4 = 0 ⏟ :(-2) → 3 x 2 − 4 x − 2 = 0 → \underbrace{-6x^{2}+8x+4=0}_{\text{:(-2)}}\rightarrow 3x^{2}-4x-2=0\rightarrow\,\, :(-2) − 6 x 2 + 8 x + 4 = 0 → 3 x 2 − 4 x − 2 = 0 → (Bhaskara)
x = − ( − 4 ) ± ( − 4 ) 2 − 4 × 3 × ( − 2 ) 2 × 3 → x = 4 ± 40 6 → x=\dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^{2}-4\times 3\times (-2)}}{2\times 3}\rightarrow x=\dfrac{4\pm \sqrt{40}}{6}\rightarrow x = 2 × 3 − ( − 4 ) ± ( − 4 ) 2 − 4 × 3 × ( − 2 ) → x = 6 4 ± 40 →
x = 4 ± 2 10 6 → x = 2 1 ( 2 ± 10 ) 6 3 → x = 2 ± 10 3 → x=\dfrac{4\pm 2\sqrt{10}}{6}\rightarrow x=\dfrac{\cancel{2}^{1}(2\pm \sqrt{10})}{\cancel{6}^{3}}\rightarrow x=\dfrac{2\pm\sqrt{10}}{3}\rightarrow x = 6 4 ± 2 10 → x = 6 3 2 1 ( 2 ± 10 ) → x = 3 2 ± 10 →
x 1 = 2 − 10 3 ou x 2 = 2 + 10 3 \boxed{x_{1}=\dfrac{2-\sqrt{10}}{3}}\,\,\text{ou}\,\,\boxed{x_{2}=\dfrac{2+\sqrt{10}}{3}} x 1 = 3 2 − 10 ou x 2 = 3 2 + 10
0638
Resolva o sistema de inequações, em R \mathbb{R} R :
{ 5 − 2 x < 4 x − 5 < 1 − x \left\{\begin{array}{rcrcrr}
5 & - & 2x & < & 4 &\\
x & - & 5 & < & 1-x &
\end{array}\right. { 5 x − − 2 x 5 < < 4 1 − x
0638 - Solução
{ 5 − 2 x < 4 x − 5 < 1 − x \left\{\begin{array}{rcrcrr}
5 & - & 2x & < & 4 &\\
x & - & 5 & < & 1-x &
\end{array}\right. { 5 x − − 2 x 5 < < 4 1 − x
Vamos proceder, isolando a incógnita "x x x ":
{ − 2 x < − 1 2 x < 6 \left\{\begin{array}{crcrr}
-& 2x & < & -1 &\\
& 2x & < & 6 &
\end{array}\right. { − 2 x 2 x < < − 1 6
{ x > 1 2 ( I ) x < 3 ( I I ) \left\{\begin{array}{rcrr}
x & > & \dfrac{1}{2} & (I)\\
& & & \\
x & < & 3 & (II)
\end{array}\right. ⎩ ⎨ ⎧ x x > < 2 1 3 ( I ) ( II )
A solução( S ) (S) ( S ) , será a intersecção ( I ) ∩ ( I I ) (I)\cap (II) ( I ) ∩ ( II ) , portanto:
S = { x ∈ R ∣ 1 2 < x < 3 } \boxed{S=\left\{ x\in \mathbb{R}\,|\,\,\dfrac{1}{2}\,<\,x\,<\,3 \right\}} S = { x ∈ R ∣ 2 1 < x < 3 }
0637
Resolva o seguinte problema:
Prevendo falta d'água, enchi todas as garrafas de que dispunha e coloquei-as na geladeira.
No dia seguinte utilizei 2 7 \dfrac{2}{7} 7 2 das garrafas existentes. Passados dois dias, eu já
havia consumido 3 5 \dfrac{3}{5} 5 3 do número de garrafas restantes, quando então observei que
haviam sobrado 4 4 4 (quatro) garrafas. Quantas garrafas eu enchi no início?
0637 - Solução
Algumas considerações:
a) Para equacionar essa questão, iremos montando as equações, uma a uma, a cada frase lida;
b) Vamos chamar de "x x x ", o número inicial de garrafas;
c) Equacionando e resolvendo, em quatro etapas:
1)Ao final do dia seguinte, restavam x − 2 x 7 \boxed{x-\dfrac{2x}{7}} x − 7 2 x
2)Dois dias depois, foram consumidas:
[ 3 ( x − 2 x 7 ) ] 5 \dfrac{\left[3\left(x-\dfrac{2x}{7}\right)\right]}{5} 5 [ 3 ( x − 7 2 x ) ] e restavam, ( x − 2 x 7 ) − [ 3 ( x − 2 x 7 ) ] 5 \boxed{\left(x-\dfrac{2x}{7}\right)-\dfrac{\left[3\left(x-\dfrac{2x}{7}\right)\right]}{5}} ( x − 7 2 x ) − 5 [ 3 ( x − 7 2 x ) ]
3)Portanto, a equação final é:
( x − 2 x 7 ) − [ 3 ( x − 2 x 7 ) ] 5 = 4 ( I ) \boxed{\left(x-\frac{2x}{7}\right)-\dfrac{\left[3\left(x-\dfrac{2x}{7}\right)\right]}{5}=4}(I) ( x − 7 2 x ) − 5 [ 3 ( x − 7 2 x ) ] = 4 ( I )
4)Agora, vamos resolver a equação (I) e, para isso, eu tomei o cuidado de dividir a equação nos pedaços "a a a ", "b b b " e "c c c " (veja bem que essa divisão e os nomes desses "pedaços" não influenciam nos cálculos, sendo apenas para facilitar a visualização):
( x − 2 x 7 ) ⏟ a − [ 3 ( x − 2 x 7 ) ] ⏞ b 5 ⏟ c = 4 \boxed{\underbrace{\left(x-\frac{2x}{7}\right)}_{a}-\underbrace{\dfrac{\overbrace{\left[3\left(x-\dfrac{2x}{7}\right) \right]}^{b} }{5}}_{c}=4} a ( x − 7 2 x ) − c 5 [ 3 ( x − 7 2 x ) ] b = 4
( 5 x 7 ) ⏟ a − [ 3 ( 5 x 7 ) ] ⏞ b 5 ⏟ c = 4 → ( 5 x 7 ) ⏟ a − ( 15 x 7 ) ⏞ b 5 ⏟ c = 4 → 5 x 7 ⏟ a − 15 x 35 ⏟ c = 4 → \underbrace{\left(\frac{5x}{7}\right)}_{a}-\underbrace{\dfrac{\overbrace{\left[3\left(\dfrac{5x}{7}\right)\right]}^{b}}{5}}_{c}=4\rightarrow\underbrace{\left(\frac{5x}{7}\right)}_{a}-\underbrace{\dfrac{\overbrace{\left(\dfrac{15x}{7}\right)}^{b} }{5}}_{c} =4\rightarrow\underbrace{\frac{5x}{7}}_{a}-\underbrace{\dfrac{15x}{35}}_{c}=4\rightarrow a ( 7 5 x ) − c 5 [ 3 ( 7 5 x ) ] b = 4 → a ( 7 5 x ) − c 5 ( 7 15 x ) b = 4 → a 7 5 x − c 35 15 x = 4 →
5 x 7 − 15 x 3 35 7 = 4 → 5 x 7 − 3 x 7 = 4 → 2 x 7 = 4 → 2 x = 28 → x = 14 \dfrac{5x}{7}-\dfrac{\cancel{15x}^{3}}{\cancel{35}^{7}}=4\rightarrow\dfrac{5x}{7}-\dfrac{3x}{7}=4\rightarrow \dfrac{2x}{7} =4\rightarrow2x=28\rightarrow \boxed{x=14} 7 5 x − 35 7 15 x 3 = 4 → 7 5 x − 7 3 x = 4 → 7 2 x = 4 → 2 x = 28 → x = 14
Apenas para confirmar, vamos testar o valor x = 14 \boxed{x=14} x = 14 , no texto dado:
1º) "No dia seguinte...:" 14 − ( 2 7 1 × 14 2 ) = 14 − 4 = 10 14-\left(\dfrac{2}{\cancel{7}^{1}}\,\,\times\,\cancel{14}^{2}\,\,\right)=14-4=10 14 − ( 7 1 2 × 14 2 ) = 14 − 4 = 10
2º) "Passados dois dias...:" 10 − ( 3 5 1 × 10 2 ) = 10 − 6 = 4 10-\left(\dfrac{3}{\cancel{5}^{1}}\,\,\times\cancel{10}^{2}\,\,\right)=10-6=4 10 − ( 5 1 3 × 10 2 ) = 10 − 6 = 4
OBS: Ao final, realmente havia sobrado 4 4 4 garrafas!!
0636
Resolva a equação 5 x + 1 − 5 x − 1 = 24 5^{x+1} - 5^{x-1} =24 5 x + 1 − 5 x − 1 = 24
0636 - Solução
5 x + 1 − 5 x − 1 = 24 → 5.5 x − 5 x 5 = 24 → 5^{x+1} - 5^{x-1} =24\rightarrow 5.5^{x}-\dfrac{5^{x}}{5}=24\rightarrow 5 x + 1 − 5 x − 1 = 24 → 5. 5 x − 5 5 x = 24 →
5 x . ( 5 − 1 5 ) = 24 → 5 x . 24 5 = 24 → 5^{x}.\left( 5-\dfrac{1}{5} \right)=24\rightarrow 5^{x}.\dfrac{24}{5}=24\rightarrow 5 x . ( 5 − 5 1 ) = 24 → 5 x . 5 24 = 24 →
5 x = 5 → x = 1 (resposta final) 5^{x}=5\rightarrow \boxed{x=1}~\text{(resposta final)} 5 x = 5 → x = 1 (resposta final)
0635
Verifique qual a posição relativa entre as duas retas dadas por suas equações:
( r ) : y = 3 x (r):y=3x ( r ) : y = 3 x
( s ) : 8 x − 2 y + 5 = 0 (s):8x-2y+5=0 ( s ) : 8 x − 2 y + 5 = 0
0635 - Solução
Algumas considerações:
1)A fim de facilitar a solução, vamos adotar a forma reduzida das equações dadas:
( r ) : y = 3 x ( j a ˊ est a ˊ na forma reduzida ) e ( s ) : y = 4 x + 5 2 ; \begin{array}{ll}
(r): & y=3x (\text{já está na forma reduzida})\,\,\text{e}\\
(s): & y=4x+\dfrac{5}{2};
\end{array} ( r ) : ( s ) : y = 3 x ( j a ˊ est a ˊ na forma reduzida ) e y = 4 x + 2 5 ;
2)Visualmente, já é possível verificar a posição relativa dessas retas. Observe que o coeficiente angular de "r r r " é 3 3 3 e o coeficiente angular de "s s s " é 4 4 4 . Portanto, essas retas são concorrentes, ou seja, se fizermos 3 x = 4 x + 5 2 3x=4x+\dfrac{5}{2} 3 x = 4 x + 2 5 , podemos encontrar o ponto de intersecção:
3 x = 4 x + 5 2 → x = − 5 2 3x=4x+\dfrac{5}{2}\rightarrow \boxed{x=-\dfrac{5}{2}} 3 x = 4 x + 2 5 → x = − 2 5
Substituindo o valor de "x x x " encontrado em qualquer das duas equações "r r r " ou "s s s ", encontraremos a coordenada "y y y " do encontro dessas retas; assim, vamos substituir em ambas, pois o valor de "y y y " encontrado deverá ser o mesmo:
( r ) : y = 3 ⋅ − 5 2 → y = − 15 2 ( s ) : y = 4 ⋅ − 5 2 + 5 2 → y = − 15 2 \begin{array}{lll}
(r): & y=3\cdot\dfrac{-5}{2} & \rightarrow\boxed{y=-\dfrac{15}{2}}\\
& & \\
(s): & y=4\cdot\dfrac{-5}{2}+\dfrac{5}{2} & \rightarrow\boxed{y=-\dfrac{15}{2}}
\end{array} ( r ) : ( s ) : y = 3 ⋅ 2 − 5 y = 4 ⋅ 2 − 5 + 2 5 → y = − 2 15 → y = − 2 15
Portanto, as retas r r r e s s s são concorrentes, e o ponto de intersecção é: ( − 5 2 ; − 15 2 ) \left(-\dfrac{5}{2};\,-\dfrac{15}{2}\right) ( − 2 5 ; − 2 15 )
0634
Calcule os zeros e estude a variação de sinal, de cada função real a seguir:
a) y = x 2 + 5 y= \dfrac{x}{2} + 5 y = 2 x + 5
b) y = − 3 x + 4 y= -3x + 4 y = − 3 x + 4
c) y = − 4 x + 2 y= -4x + 2 y = − 4 x + 2
d) y = 2 x − 2 y= 2x - 2 y = 2 x − 2
0634 - Soluções
Algumas considerações:
1)Encontrar os zeros ou raízes de uma função, significa obter os valores de "x x x " quando y = 0;
2)Estudar o sinal da função, significa obter os valores de "x", para que a função seja:
y < 0 y < 0 y < 0 (negativa); y = 0 y = 0 y = 0 (zero) e y > 0 y > 0 y > 0 (positiva); assim:
a ) y = x 2 + 5 → x 2 + 5 = 0 → x = − 10 (zero ou raiz) a)\,y=\dfrac{x}{2}+5\rightarrow \dfrac{x}{2}+5=0\rightarrow \boxed{x=-10}\,\text{(zero ou raiz)} a ) y = 2 x + 5 → 2 x + 5 = 0 → x = − 10 (zero ou raiz)
Para x < − 10 , y < 0 \text{Para}\,x<-10,\,\,y<0 Para x < − 10 , y < 0
Para x = − 10 , y = 0 \text{Para}\,x=-10,\,\,y=0 Para x = − 10 , y = 0
Para x > − 10 , y > 0 \text{Para}\,x>-10,\,\,y>0 Para x > − 10 , y > 0
b ) y = − 3 x + 4 → − 3 x + 4 = 0 → x = 4 3 (zero ou raiz) b)\,y=-3x+4\rightarrow -3x+4=0\rightarrow\boxed{x=\dfrac{4}{3}}\,\text{(zero ou raiz)} b ) y = − 3 x + 4 → − 3 x + 4 = 0 → x = 3 4 (zero ou raiz)
Para x < 4 3 , y > 0 \text{Para}\,x<\dfrac{4}{3},\,\,y>0 Para x < 3 4 , y > 0
Para x = 4 3 , y = 0 \text{Para}\,x=\dfrac{4}{3},\,\,y=0 Para x = 3 4 , y = 0
Para x > 4 3 , y < 0 \text{Para}\,x>\dfrac{4}{3},\,\,y<0 Para x > 3 4 , y < 0
c ) y = − 4 x + 2 → − 4 x + 2 = 0 → x = 1 2 (zero ou raiz) c)\,y=-4x+2\rightarrow -4x+2=0\rightarrow\boxed{x=\dfrac{1}{2}}\,\text{(zero ou raiz)} c ) y = − 4 x + 2 → − 4 x + 2 = 0 → x = 2 1 (zero ou raiz)
Para x < 1 2 , y > 0 \text{Para}\,x<\dfrac{1}{2},\,\,y>0 Para x < 2 1 , y > 0
Para x = 1 2 , y = 0 \text{Para}\,x=\dfrac{1}{2},\,\,y=0 Para x = 2 1 , y = 0
Para x > 1 2 , y < 0 \text{Para}\,x>\dfrac{1}{2},\,\,y<0 Para x > 2 1 , y < 0
d ) y = 2 x − 2 → 2 x − 2 = 0 → x = 1 (zero ou raiz) d)\,y=2x-2\rightarrow 2x-2=0\rightarrow\boxed{x=1}\,\text{(zero ou raiz)} d ) y = 2 x − 2 → 2 x − 2 = 0 → x = 1 (zero ou raiz)
Para x < 1 , y < 0 \text{Para}\,x<1,\,\,y<0 Para x < 1 , y < 0
Para x = 1 , y = 0 \text{Para}\,x=1,\,\,y=0 Para x = 1 , y = 0
Para x > 1 , y > 0 \text{Para}\,x>1,\,\,y>0 Para x > 1 , y > 0
0633
Resolva as 5(cinco) questões seguintes, referentes ao estudo de triângulos:
(1)Utilizando o cálculo dos lados dos triângulos, classifique-os em equilátero, escaleno ou isósceles:
(1a) A ( 1 , 6 ) A(1,\,\,6) A ( 1 , 6 ) ; B ( 2 , 3 ) B(2,\,\,3) B ( 2 , 3 ) e C ( 4 , 5 ) C(4,\,\,5) C ( 4 , 5 ) .
(1b) D ( 0 , 0 ) D(0,\,\,0) D ( 0 , 0 ) ; E ( 2 , 2 3 ) E(2,\,\,2\sqrt{3}) E ( 2 , 2 3 ) e F ( 4 , 0 ) F(4,\,\,0) F ( 4 , 0 ) .
(2)Determine as coordenadas do baricentro dos triângulos de vértices:
(2a) A ( 2 , 3 ) A(2,\,\,3) A ( 2 , 3 ) ; B ( 5 , − 1 ) B(5,\,\,-1) B ( 5 , − 1 ) e C ( − 1 , 4 ) C(-1,\,\,4) C ( − 1 , 4 ) .
(2b) D ( − 1 , 0 ) D(-1,\,\,0) D ( − 1 , 0 ) ; E ( 2 , − 3 ) E(2,\,\,-3) E ( 2 , − 3 ) e F ( 2 , 3 ) F(2,\,\,3) F ( 2 , 3 ) .
(3)Sabendo que A ( x , y ) A(x,y) A ( x , y ) ; B ( − 1 , 8 ) B(-1,8) B ( − 1 , 8 ) e C ( 3 , − 10 ) C(3,-10) C ( 3 , − 10 ) são vértices de um triângulo cujo baricentro é o ponto G ( 3 , − 2 ) G(3,-2) G ( 3 , − 2 ) , determine as coordenadas "x x x " e "y y y ", do vértice A A A .
(4)Verifique se os pontos A ( 3 , 2 ) A(3,\,\,2) A ( 3 , 2 ) ; B ( 4 , 1 ) B(4,\,\,1) B ( 4 , 1 ) e C ( 1 , 4 ) C(1,\,\,4) C ( 1 , 4 ) são colineares.
(5)Determine o valor de "k k k " para que os pontos A ( k , 7 ) A(k,7) A ( k , 7 ) ; B ( 2 , − 3 ) B(2,-3) B ( 2 , − 3 ) e C ( k , 1 ) C(k,1) C ( k , 1 ) , sejam vértices de um triângulo.
0633 - Soluções
(1)Utilizando o cálculo dos lados dos triângulos, classifique-os em equilátero, escaleno ou isósceles:
OBS: Vamos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos A ( x A ; y A ) A(x_{A};\,y_{A}) A ( x A ; y A ) e B ( x B ; y B ) : B(x_{B};\,y_{B}): B ( x B ; y B ) :
d A B = ( x A − x B ) 2 + ( y A − y B ) 2 \boxed{d_{AB}=\sqrt{(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}}} d A B = ( x A − x B ) 2 + ( y A − y B ) 2
(1a) A(1,6); B(2,3) e C(4,5)→ Δ \rightarrow\Delta → Δ ABC é isósceles, pois A B = A C ≠ B C AB=AC\neq BC A B = A C = BC ; acompanhe:
d A B = ( x A − x B ) 2 + ( y A − y B ) 2 → d A B = ( 1 − 2 ) 2 + ( 6 − 3 ) 2 → d A B = 10 d_{AB}=\sqrt{(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}}\rightarrow d_{AB}=\sqrt{(1-2)^{2}+(6-3)^{2}}\rightarrow \boxed{d_{AB}=\sqrt{10}} d A B = ( x A − x B ) 2 + ( y A − y B ) 2 → d A B = ( 1 − 2 ) 2 + ( 6 − 3 ) 2 → d A B = 10
d A C = ( x A − x C ) 2 + ( y A − y C ) 2 → d A C = ( 1 − 4 ) 2 + ( 6 − 5 ) 2 → d A C = 10 d_{AC}=\sqrt{(x_{A}-x_{C})^{2}+(y_{A}-y_{C})^{2}}\rightarrow d_{AC}=\sqrt{(1-4)^{2}+(6-5)^{2}}\rightarrow \boxed{d_{AC}=\sqrt{10}} d A C = ( x A − x C ) 2 + ( y A − y C ) 2 → d A C = ( 1 − 4 ) 2 + ( 6 − 5 ) 2 → d A C = 10
d B C = ( x B − x C ) 2 + ( y B − y C ) 2 → d B C = ( 2 − 4 ) 2 + ( 3 − 5 ) 2 → d B C = 8 d_{BC}=\sqrt{(x_{B}-x_{C})^{2}+(y_{B}-y_{C})^{2}}\rightarrow d_{BC}=\sqrt{(2-4)^{2}+(3-5)^{2}}\rightarrow \boxed{d_{BC}=8} d BC = ( x B − x C ) 2 + ( y B − y C ) 2 → d BC = ( 2 − 4 ) 2 + ( 3 − 5 ) 2 → d BC = 8
(1b) D(0,0); E(2, 2 3 2\sqrt{3} 2 3 ) e F(4,0)→ Δ \rightarrow\Delta → Δ DEF é equilátero, pois D E = D F = E F DE=DF=EF D E = D F = EF ; acompanhe:
d D E = ( x D − x E ) 2 + ( y D − y E ) 2 → d D E = ( 0 − 2 ) 2 + ( 0 − 2 3 ) 2 → d D E = 4 d_{DE}=\sqrt{(x_{D}-x_{E})^{2}+(y_{D}-y_{E})^{2}}\rightarrow d_{DE}=\sqrt{(0-2)^{2}+(0-2\sqrt{3})^{2}}\rightarrow \boxed{d_{DE}=4} d D E = ( x D − x E ) 2 + ( y D − y E ) 2 → d D E = ( 0 − 2 ) 2 + ( 0 − 2 3 ) 2 → d D E = 4
d D F = ( x D − x F ) 2 + ( y D − y F ) 2 → d D F = ( 0 − 4 ) 2 + ( 0 − 0 ) 2 → d D F = 4 d_{DF}=\sqrt{(x_{D}-x_{F})^{2}+(y_{D}-y_{F})^{2}}\rightarrow d_{DF}=\sqrt{(0-4)^{2}+(0-0)^{2}}\rightarrow \boxed{d_{DF}=4} d D F = ( x D − x F ) 2 + ( y D − y F ) 2 → d D F = ( 0 − 4 ) 2 + ( 0 − 0 ) 2 → d D F = 4
d E F = ( x E − x F ) 2 + ( y E − y F ) 2 → d E F = ( 2 − 4 ) 2 + ( 2 3 − 0 ) 2 → d E F = 4 d_{EF}=\sqrt{(x_{E}-x_{F})^{2}+(y_{E}-y_{F})^{2}}\rightarrow d_{EF}=\sqrt{(2-4)^{2}+(2\sqrt{3}-0)^{2}}\rightarrow \boxed{d_{EF}=4} d EF = ( x E − x F ) 2 + ( y E − y F ) 2 → d EF = ( 2 − 4 ) 2 + ( 2 3 − 0 ) 2 → d EF = 4
(2)Determine as coordenadas do baricentro dos triângulos de vértices:
OBS: O baricentro(G) é a intersecção das medianas do triângulo. As coordenadas desse baricentro são as médias aritméticas das coordenadas dos vértices desse triângulo. A fórmula para esse baricentro é:
G = ( x A + x B + x C 3 , y A + y B + y C 3 ) G=\left( \dfrac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}\,,\, \dfrac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3} \right) G = ( 3 x A + x B + x C , 3 y A + y B + y C )
(2a) A(2,3); B(5,-1) e C(-1,4)→ G = ( 2 + 5 − 1 3 , 3 − 1 + 4 3 ) → G = ( 2 , 2 ) \rightarrow G=\left(\dfrac{2+5-1}{3}\,,\,\dfrac{3-1+4}{3}\right)\rightarrow\boxed{G=(2,2)} → G = ( 3 2 + 5 − 1 , 3 3 − 1 + 4 ) → G = ( 2 , 2 )
(2b) D(-1,0); E(2,-3) e F(2,3)→ G = ( − 1 + 2 + 2 3 , 0 − 3 + 3 3 ) → G = ( 1 , 0 ) \rightarrow G=\left(\dfrac{-1+2+2}{3}\,,\,\dfrac{0-3+3}{3}\right)\rightarrow\boxed{G=(1,0)} → G = ( 3 − 1 + 2 + 2 , 3 0 − 3 + 3 ) → G = ( 1 , 0 )
(3)Sabendo que A ( x , y ) A(x,y) A ( x , y ) ; B ( − 1 , 8 ) B(-1,8) B ( − 1 , 8 ) e C ( 3 , − 10 ) C(3,-10) C ( 3 , − 10 ) são vértices de um triângulo cujo baricentro é o ponto G ( 3 , − 2 ) G(3,-2) G ( 3 , − 2 ) , determine as coordenadas "x x x " e "y y y ", do vértice A A A :
OBS: Vamos fazer a aplicação inversa do exercício anterior, partindo do baricentro e encontrando os pontos pedidos:
G = ( x A + x B + x C 3 , y A + y B + y C 3 ) → ( x − 1 + 3 3 , y + 8 − 10 3 ) → G=\left( \dfrac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}\,,\,\dfrac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}\right)\rightarrow\left(\dfrac{x-1+3}{3}\,,\,\dfrac{y+8-10}{3}\right)\rightarrow G = ( 3 x A + x B + x C , 3 y A + y B + y C ) → ( 3 x − 1 + 3 , 3 y + 8 − 10 ) →
G = ( x + 2 3 , y − 2 3 ) = ( 3 , − 2 ) ⇒ G=\left( \dfrac{x+2}{3}\,,\,\dfrac{y-2}{3} \right)=(3,-2)\Rightarrow G = ( 3 x + 2 , 3 y − 2 ) = ( 3 , − 2 ) ⇒
x + 2 3 = 3 → x + 2 = 9 → x = 7 \dfrac{x+2}{3}=3\rightarrow x+2=9\rightarrow \boxed{x=7} 3 x + 2 = 3 → x + 2 = 9 → x = 7
y − 2 3 = − 2 → y − 2 = − 6 → y = − 4 \dfrac{y-2}{3}=-2\rightarrow y-2=-6\rightarrow \boxed{y=-4} 3 y − 2 = − 2 → y − 2 = − 6 → y = − 4
(4)Verifique se os pontos A ( 3 , 2 ) A(3,2) A ( 3 , 2 ) ; B ( 4 , 1 ) B(4,1) B ( 4 , 1 ) e C ( 1 , 4 ) C(1,4) C ( 1 , 4 ) são colineares:
OBS: Três pontos A ( x A , y A ) A(x_{A},y_{A}) A ( x A , y A ) ; B ( x B , y B ) B(x_{B},y_{B}) B ( x B , y B ) e C ( x C , y c ) C(x_{C},y_{c}) C ( x C , y c ) são colineares(estão alinhados) se, e somente se,
D = ∣ x A y A 1 x B y B 1 x C y C 1 ∣ = 0 D=\left|\begin{array}{rrr}
x_{A} & y_{A} & 1 \\
x_{B} & y_{B} & 1 \\
x_{C} & y_{C} & 1 \\
\end{array}\right|=0 D = x A x B x C y A y B y C 1 1 1 = 0
No nosso caso:
D = ∣ 3 2 1 4 1 1 1 4 1 ∣ = 0 D=\left|\begin{array}{rrr}
3 & 2 & 1 \\
4 & 1 & 1 \\
1 & 4 & 1 \\
\end{array}\right|=0 D = 3 4 1 2 1 4 1 1 1 = 0
Regra de Sarrus:
D = 3.1.1 + 4.4.1 + 1.1.2 − ( 1.1.1 + 2.4.1 + 3.4.1 ) → 3 + 16 + 2 − ( 1 + 8 + 12 ) D=3.1.1+4.4.1+1.1.2-(1.1.1+2.4.1+3.4.1)\rightarrow 3+16+2-(1+8+12) D = 3.1.1 + 4.4.1 + 1.1.2 − ( 1.1.1 + 2.4.1 + 3.4.1 ) → 3 + 16 + 2 − ( 1 + 8 + 12 )
D = 21 − 21 → D = 0 D=21-21\rightarrow \boxed{D=0} D = 21 − 21 → D = 0 .
Portanto, os três pontos A A A ,B B B e C C C são colineares.
(5)Determine o valor de "k k k " para que os pontos A ( k , 7 ) A(k,7) A ( k , 7 ) ; B ( 2 , − 3 ) B(2,-3) B ( 2 , − 3 ) e C ( k , 1 ) C(k,1) C ( k , 1 ) , sejam vértices de um triângulo:
OBS: Três pontos A ( x A , y A ) A(x_{A},y_{A}) A ( x A , y A ) ; B ( x B , y B ) B(x_{B},y_{B}) B ( x B , y B ) e C ( x C , y c ) C(x_{C},y_{c}) C ( x C , y c ) determinam um triângulo se, e somente se,
D = ∣ x A y A 1 x B y B 1 x C y C 1 ∣ ≠ 0 D=\left|\begin{array}{rrr}
x_{A} & y_{A} & 1 \\
x_{B} & y_{B} & 1 \\
x_{C} & y_{C} & 1 \\
\end{array}\right|\neq0 D = x A x B x C y A y B y C 1 1 1 = 0
No nosso caso:
D = ∣ k 7 1 2 − 3 1 k 1 1 ∣ ≠ 0 D=\left|\begin{array}{rrr}
k & 7 & 1 \\
2 & -3 & 1 \\
k & 1 & 1 \\
\end{array}\right|\neq 0 D = k 2 k 7 − 3 1 1 1 1 = 0
Regra de Sarrus:
k . ( − 3 ) .1 + 2.1.1 + k .1.7 − ( 1. ( − 3 ) . k + 7.2.1 + k .1.1 ) ≠ 0 → k.(-3).1+2.1.1+k.1.7-(1.(-3).k+7.2.1+k.1.1)\neq 0\rightarrow k . ( − 3 ) .1 + 2.1.1 + k .1.7 − ( 1. ( − 3 ) . k + 7.2.1 + k .1.1 ) = 0 →
− 3 k + 2 + 7 k − ( − 3 k + 14 + k ) ≠ 0 -3k+2+7k-(-3k+14+k)\neq 0 − 3 k + 2 + 7 k − ( − 3 k + 14 + k ) = 0
4 k + 2 + 2 k − 14 ≠ 0 → 4k+2+2k-14\neq 0\rightarrow 4 k + 2 + 2 k − 14 = 0 →
6 k − 12 ≠ 0 → 6k-12\neq 0\rightarrow 6 k − 12 = 0 →
6 k ≠ 12 → 6k\neq 12\rightarrow 6 k = 12 →
k ≠ 2 \boxed{k\neq 2} k = 2
0632
Quatro questões sobre função quadrática:
1)Determine "m m m " para que a função f ( x ) = x 2 − 3 x + m f(x)=x^{2}-3x+m f ( x ) = x 2 − 3 x + m tenha duas raízes reais e distintas:
2)Uma das raízes da equação − x 2 + p x + 3 = 0 -x^{2}+px+3=0 − x 2 + p x + 3 = 0 é igual a 2(dois):
2a) Qual o valor de "p p p "?
2b) Qual é a outra raiz que essa equação possui?
3)Qual é o valor de "m m m " na equação x 2 − ( m + 5 ) x + m + 1 = 0 x^{2} - (m+5)x + m + 1=0 x 2 − ( m + 5 ) x + m + 1 = 0 , para que as raízes sejam simétricas?
4)Determine as raízes de: f ( x ) = − x 2 + 3 x 2 x + 1 f(x)=\dfrac{-x^{2}+3x}{2x+1} f ( x ) = 2 x + 1 − x 2 + 3 x , com x ≠ − 1 2 x\neq -\dfrac{1}{2} x = − 2 1 .
0632 - Soluções
Da fórmula de Bhaskara sabemos que o discriminante (ou Delta) é dado por: Δ = b 2 − 4 a c \Delta=b^{2}-4ac Δ = b 2 − 4 a c . Para que uma equação quadrática (ou do segundo grau) tenha duas raízes reais e distintas, basta que Δ > 0 \Delta > 0 Δ > 0 .
1)Determine "m m m " para que a função f ( x ) = x 2 − 3 x + m f(x)=x^{2}-3x+m f ( x ) = x 2 − 3 x + m tenha duas raízes reais e distintas:
Δ = ( − 3 ) 2 − 4 × 1 × m > 0 → 9 − 4 m > 0 → − 4 m > − 9 ( − 1 ) → 4 m < 9 → m < 9 4 \Delta=(-3)^2 -4\times 1\times m > 0\rightarrow 9-4m>0\rightarrow -4m>-9\,\,(-1)\rightarrow 4m<9\rightarrow\boxed{m<\dfrac{9}{4}} Δ = ( − 3 ) 2 − 4 × 1 × m > 0 → 9 − 4 m > 0 → − 4 m > − 9 ( − 1 ) → 4 m < 9 → m < 4 9
2)Uma das raízes da equação − x 2 + p x + 3 = 0 -x^{2}+px+3=0 − x 2 + p x + 3 = 0 é igual a 2(dois):
2a) Qual o valor de "p p p "?
Substituindo "x x x " por 2 2 2 : − 2 2 + p .2 + 3 = 0 → − 4 + 2 p + 3 = 0 → 2 p = 1 → p = 1 2 -2^{2}+p.2+3=0\rightarrow -4+2p+3=0\rightarrow 2p=1\rightarrow \boxed{p=\dfrac{1}{2}} − 2 2 + p .2 + 3 = 0 → − 4 + 2 p + 3 = 0 → 2 p = 1 → p = 2 1
2b) Qual é a outra raiz que essa equação possui?
Com o valor de p = 1 2 p=\dfrac{1}{2} p = 2 1 , nossa equação será: − x 2 + x 2 + 3 = 0 ( × − 2 ) → 2 x 2 − x − 6 = 0 -x^{2}+\dfrac{x}{2}+3=0\,(\times -2)\rightarrow 2x^{2}-x-6=0 − x 2 + 2 x + 3 = 0 ( × − 2 ) → 2 x 2 − x − 6 = 0
Utilizando Bhaskara :
x = 1 ± ( − 1 ) 2 − 4 × 2 × ( − 6 ) 2 × 2 → x = 1 ± 49 4 → x = 1 ± 7 4 → x=\dfrac{1\pm\sqrt{(-1)^{2}-4\times\,2\times\,(-6) }}{2\times\,2}\rightarrow x=\dfrac{1\pm\sqrt{49}}{4}\rightarrow x=\dfrac{1\pm 7}{4}\rightarrow x = 2 × 2 1 ± ( − 1 ) 2 − 4 × 2 × ( − 6 ) → x = 4 1 ± 49 → x = 4 1 ± 7 →
x 1 = 1 + 7 4 → x 1 = 2 x_{1}=\dfrac{1+7}{4}\rightarrow \boxed{x_{1}=2} x 1 = 4 1 + 7 → x 1 = 2
x 2 = 1 − 7 4 → x 2 = − 3 2 x_{2}=\dfrac{1-7}{4}\rightarrow \boxed{x_{2}=-\dfrac{3}{2}} x 2 = 4 1 − 7 → x 2 = − 2 3
3)Qual é o valor de ``m m m '' na equação x 2 − ( m + 5 ) x + m + 1 = 0 x^{2} - (m+5)x + m + 1=0 x 2 − ( m + 5 ) x + m + 1 = 0 , para que as raízes sejam simétricas(∗ ^* ∗ )?
(∗ ^* ∗ )Chamando uma das raízes de "k k k ", a outra raiz(simétrica) será "− k -k − k "
Essa questão refere-se à relação de soma de raízes de uma equação do segundo grau; assim:
Soma: k + ( − k ) = − [ − ( m + 5 ) ] → m + 5 = 0 → m = − 5 k+(-k)=-[-(m+5)]\rightarrow m+5=0\rightarrow \boxed{m=-5} k + ( − k ) = − [ − ( m + 5 )] → m + 5 = 0 → m = − 5
4)Determine as raízes de: f ( x ) = − x 2 + 3 x 2 x + 1 f(x)=\dfrac{-x^{2}+3x}{2x+1} f ( x ) = 2 x + 1 − x 2 + 3 x , com x ≠ − 1 2 x\neq -\dfrac{1}{2} x = − 2 1 .
Encontraremos suas raízes, fazendo f ( x ) = 0 f(x)=0 f ( x ) = 0 e, para isso, basta que o numerador "− x 2 + 3 x -x^{2}+3x − x 2 + 3 x " seja zero, ou seja:
− x 2 + 3 x = 0 → − x ( x − 3 ) = 0 → -x^{2}+3x=0\rightarrow-x(x-3)=0\rightarrow − x 2 + 3 x = 0 → − x ( x − 3 ) = 0 →
− x = 0 → x = 0 -x=0\rightarrow \boxed{x=0} − x = 0 → x = 0 ou x − 3 = 0 → x = 3 x-3=0\rightarrow \boxed{x=3} x − 3 = 0 → x = 3
0631
Duas questões envolvendo números complexos:
1ª)Obtenha as raízes da seguinte equação matricial:
∣ 1 − x 2 0 1 5 3 x − 1 1 x ∣ = 0 \left|\begin{array}{ccc}
1-x & 2 & 0 \\
1 & 5 & 3 \\
x-1 & 1 & x
\end{array}\right|=0 1 − x 1 x − 1 2 5 1 0 3 x = 0
2ª)O determinante abaixo define um número complexo. Determine o módulo desse complexo.
∣ 1 i 1 i 1 i 1 + i 1 − i 0 ∣ = 0 \left|\begin{array}{ccc}
1 & i & 1 \\
i & 1 & i \\
1+i & 1-i & 0
\end{array}\right|=0 1 i 1 + i i 1 1 − i 1 i 0 = 0
0631 - Soluções
1ª)Resolvendo a equação matricial:
( 1 − x ) .5. x + 1.1.0 + ( x − 1 ) .3.2 − [ 0.5. ( x − 1 ) + 2.1. x + ( 1 − x ) .1.3 ] = 0 → (1-x).5.x + \cancel{1.1.0} + (x-1).3.2 -[\cancel{0.5.(x-1)} + 2.1.x + (1-x).1.3]=0\rightarrow ( 1 − x ) .5. x + 1.1.0 + ( x − 1 ) .3.2 − [ 0.5. ( x − 1 ) + 2.1. x + ( 1 − x ) .1.3 ] = 0 →
5 x − 5 x 2 + 6 x − 6 − 2 x − 3 + 3 x = 0 → − 5 x 2 + 12 x − 9 = 0 ( − 1 ) → 5x-5x^{2}+6x-6-2x-3+3x=0\rightarrow -5x^{2}+12x-9=0\,(-1)\rightarrow 5 x − 5 x 2 + 6 x − 6 − 2 x − 3 + 3 x = 0 → − 5 x 2 + 12 x − 9 = 0 ( − 1 ) →
5 x 2 − 12 x + 9 = 0 5x^{2}-12x+9=0 5 x 2 − 12 x + 9 = 0 \textit{Bhaskara} x = − ( − 12 ) ± ( − 12 ) 2 − 4 × 5 × 9 2 × 5 → x=\dfrac{-(-12)\pm \sqrt{(-12)^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}\rightarrow x = 2 × 5 − ( − 12 ) ± ( − 12 ) 2 − 4 × 5 × 9 →
x = 12 ± − 36 10 → x = 12 ± 6 i 10 → x=\dfrac{12\pm \sqrt{-36}}{10}\rightarrow x=\dfrac{12\pm 6i}{10}\rightarrow x = 10 12 ± − 36 → x = 10 12 ± 6 i →
x 1 = 12 − 6 i 10 → x 1 = 6 − 3 i 5 x_{1}=\dfrac{12 - 6i}{10}\rightarrow \boxed{x_{1}=\dfrac{6 - 3i}{5}} x 1 = 10 12 − 6 i → x 1 = 5 6 − 3 i
x 2 = 12 + 6 i 10 → x 2 = 6 + 3 i 5 x_{2}=\dfrac{12 + 6i}{10}\rightarrow \boxed{x_{2}=\dfrac{6 + 3i}{5}} x 2 = 10 12 + 6 i → x 2 = 5 6 + 3 i
2ª)Obtendo o módulo:
( 1.1.0 + i . ( 1 − i ) .1 + ( 1 + i ) . i . i − [ 1.1. ( 1 + i ) + i . i .0 + 1. ( 1 − i ) . i ] = 0 → (\cancel{1.1.0} + i.(1-i).1 + (1+i).i.i -[1.1.(1+i) + \cancel{i.i.0} + 1.(1-i).i]=0\rightarrow ( 1.1.0 + i . ( 1 − i ) .1 + ( 1 + i ) . i . i − [ 1.1. ( 1 + i ) + i . i .0 + 1. ( 1 − i ) . i ] = 0 →
i − i 2 + i 2 + i 3 − i − 1 − i − i + i 2 − 1 → − 2 − 2 i \cancel{i}-\cancel{i^{2}}+\cancel{i^{2}}+\cancel{i^{3}}^{\,-i}-1-\cancel{i}-i+\cancel{i^{2}}^{\,-1}\rightarrow \boxed{-2-2i} i − i 2 + i 2 + i 3 − i − 1 − i − i + i 2 − 1 → − 2 − 2 i
Para z = a + b i → ∣ z ∣ = a 2 + b 2 z=a+bi\rightarrow |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}} z = a + bi → ∣ z ∣ = a 2 + b 2 , assim, no nosso caso,
Para z = − 2 − 2 i → ∣ z ∣ = ( − 2 ) 2 + ( − 2 ) 2 → ∣ z ∣ = 8 → ∣ z ∣ = 2 2 z=-2-2i\rightarrow |z|=\sqrt{(-2)^{2}+(-2)^{2}}\rightarrow |z|=\sqrt{8}\rightarrow \boxed{|z|=2\sqrt{2}} z = − 2 − 2 i → ∣ z ∣ = ( − 2 ) 2 + ( − 2 ) 2 → ∣ z ∣ = 8 → ∣ z ∣ = 2 2
0630
Se a = 1 1 + i a=\dfrac{1}{1+i} a = 1 + i 1 , b = 1 − i 1 + i b=\dfrac{1-i}{1+i} b = 1 + i 1 − i e c = ( b − i ) 2 c=(b-i)^{2} c = ( b − i ) 2 , encontre o valor de a c a^{c} a c .
0630 - Solução
Antes de efetuar as operações pedidas, vamos (re)escrever b b b e c c c para torná-los mais simples e assim facilitarmos os cálculos posteriores:
b = 1 − i 1 + i ⋅ 1 − i 1 − i → b = ( 1 − i ) 2 2 → b = − 2 i 2 → b = − i b=\dfrac{1-i}{1+i}\,\cdot \,\dfrac{1-i}{1-i}\rightarrow\,b=\dfrac{(1-i)^{2}}{2}\rightarrow\,b=\dfrac{-\cancel{2}i}{\cancel{2}}\rightarrow \boxed{b=-i} b = 1 + i 1 − i ⋅ 1 − i 1 − i → b = 2 ( 1 − i ) 2 → b = 2 − 2 i → b = − i
c = ( b − i ) 2 → c = ( − i − i ) 2 → c = ( − 2 i ) 2 → c = − 4 c=(b-i)^{2}\rightarrow c=(-i-i)^{2}\rightarrow c=(-2i)^{2}\rightarrow \boxed{c=-4} c = ( b − i ) 2 → c = ( − i − i ) 2 → c = ( − 2 i ) 2 → c = − 4
Agora, vamos calcular: a c = ( 1 1 + i ) − 4 = ( 1 + i 1 ) 4 = [ ( 1 + i ) 2 ] 2 → a^{c}=\left(\dfrac{1}{1+i} \right)^{-4}=\left(\dfrac{1+i}{1}\right)^{4}=\left[(1+i)^{2}\right]^{2}\rightarrow a c = ( 1 + i 1 ) − 4 = ( 1 1 + i ) 4 = [ ( 1 + i ) 2 ] 2 →
a c = [ 2 i ] 2 → a c = − 4 a^{c}=[2i]^{2}\rightarrow \boxed{\boxed{a^{c}=-4}} a c = [ 2 i ] 2 → a c = − 4
Observações:
(I)Se precisar futuramente: ( 1 + i ) 2 = 1 2 + 2.1. i + i 2 − 1 → 1 + 2 i − 1 → ( 1 + i ) 2 = 2 i (1+i)^{2}= 1^{2}+2.1.i+\cancel{i^{2}}^{\,-1}\rightarrow \cancel{1}+2i-\cancel{1}\rightarrow \boxed{(1+i)^{2}=2i} ( 1 + i ) 2 = 1 2 + 2.1. i + i 2 − 1 → 1 + 2 i − 1 → ( 1 + i ) 2 = 2 i
(II)Se precisar futuramente: ( 1 − i ) 2 = 1 2 − 2.1. i + i 2 − 1 → 1 − 2 i − 1 → ( 1 − i ) 2 = − 2 i (1-i)^{2}= 1^{2}-2.1.i+\cancel{i^{2}}^{\,-1}\rightarrow \cancel{1}-2i-\cancel{1}\rightarrow\boxed{(1-i)^{2}=-2i} ( 1 − i ) 2 = 1 2 − 2.1. i + i 2 − 1 → 1 − 2 i − 1 → ( 1 − i ) 2 = − 2 i
0629
Dados os números complexos z 1 = 2 − i 2 \boxed{z_{1}=2-i\sqrt{2}} z 1 = 2 − i 2 e z 2 = i 2 \boxed{z_{2}=i\sqrt{2}} z 2 = i 2 , resolva as operações:
a) z 1 + z 2 z_{1}+z_{2} z 1 + z 2
b) z 1 − 3. z 2 z_{1}-3.z_{2} z 1 − 3. z 2
c) z 1 . z 2 z_{1}\,.\,z_{2} z 1 . z 2
d) ( z 1 ) 2 (z_{1})^{2} ( z 1 ) 2
e) z 2 z 1 \dfrac{z_{2}}{z_{1}} z 1 z 2
f) 3 z 2 \dfrac{3}{z_{2}} z 2 3
g) z 1 z 2 \dfrac{z_{1}}{z_{2}} z 2 z 1
h) 2. ∣ z 1 ∣ 2.|z_{1}| 2.∣ z 1 ∣
i) z 2 − z 1 z_{2}-z_{1} z 2 − z 1
0629 - Soluções
a) z 1 + z 2 = 2 − i 2 + i 2 = 2 \,z_{1}+z_{2}=2-\cancel{i\sqrt{2}}+\cancel{i\sqrt{2}}=\boxed{2} z 1 + z 2 = 2 − i 2 + i 2 = 2
b) z 1 − 3 ⋅ z 2 = 2 − i 2 − 3 i 2 = 2 − 4 i 2 \,z_{1}-3\cdot\,z_{2}=2-i\sqrt{2}-3i\sqrt{2}=\boxed{2-4i\sqrt{2}} z 1 − 3 ⋅ z 2 = 2 − i 2 − 3 i 2 = 2 − 4 i 2
c) z 1 ⋅ z 2 = ( 2 − i 2 ) ⋅ i 2 = 2 i 2 − 2 i 2 − 1 = 2 − 2 i 2 \,z_{1}\,\cdot\,z_{2}=(2-i\sqrt{2})\,\cdot\,i\sqrt{2}=2i\sqrt{2}-2\cancel{i^{2}}^{-1}=\boxed{2-2i\sqrt{2}} z 1 ⋅ z 2 = ( 2 − i 2 ) ⋅ i 2 = 2 i 2 − 2 i 2 − 1 = 2 − 2 i 2
d) ( z 1 ) 2 = ( 2 − i 2 ) 2 = 4 − 4 i 2 − 2 = 2 − 4 i 2 \,(z_{1})^{2}=\left( 2-i\sqrt{2} \right)^{2}=4-4i\sqrt{2}-2=\boxed{2-4i\sqrt{2}} ( z 1 ) 2 = ( 2 − i 2 ) 2 = 4 − 4 i 2 − 2 = 2 − 4 i 2
e) z 2 z 1 = i 2 2 − i 2 ⋅ 2 + i 2 2 + i 2 = i 2 ( 2 + i 2 ) 2 + 2 = 2 i 2 − 2 4 = 2 1 ( − 1 + i 2 ) 4 2 = − 1 + i 2 \,\dfrac{z_{2}}{z_{1}}=\dfrac{i\sqrt{2}}{2-i\sqrt{2}}\,\cdot\,\dfrac{2+i\sqrt{2}}{2+i\sqrt{2}}=\dfrac{i\sqrt{2}(2+i\sqrt{2})}{2+2}=\dfrac{2i\sqrt{2}-2}{4}=\dfrac{\cancel{2}^{1}(-1+i\sqrt{2})}{\cancel{4}^{2}}=\boxed{-1+i\sqrt{2}} z 1 z 2 = 2 − i 2 i 2 ⋅ 2 + i 2 2 + i 2 = 2 + 2 i 2 ( 2 + i 2 ) = 4 2 i 2 − 2 = 4 2 2 1 ( − 1 + i 2 ) = − 1 + i 2
f) 3 z 2 = 3 i 2 ⋅ i 2 i 2 = − 3 i 2 2 \,\dfrac{3}{z_{2}}=\dfrac{3}{i\sqrt{2}}\,\cdot\,\dfrac{i\sqrt{2}}{i\sqrt{2}}=\boxed{-\dfrac{3i\sqrt{2}}{2}} z 2 3 = i 2 3 ⋅ i 2 i 2 = − 2 3 i 2
g) z 1 z 2 = 2 − i 2 i 2 ⋅ i 2 i 2 = 2 + 2 i 2 − 2 = − 2 ( 1 + i 2 ) 2 = − 1 − i 2 \,\dfrac{z_{1}}{z_{2}}=\dfrac{2-i\sqrt{2}}{i\sqrt{2}}\,\cdot\,\dfrac{i\sqrt{2}}{i\sqrt{2}}=\dfrac{2+2i\sqrt{2}}{-2}=-\dfrac{\cancel{2}(1+i\sqrt{2})}{\cancel{2}}=\boxed{-1-i\sqrt{2}} z 2 z 1 = i 2 2 − i 2 ⋅ i 2 i 2 = − 2 2 + 2 i 2 = − 2 2 ( 1 + i 2 ) = − 1 − i 2
h) 2 ⋅ ∣ z 1 ∣ = 2 6 … \,2\cdot|z_{1}|=\boxed{2\sqrt{6}}\ldots 2 ⋅ ∣ z 1 ∣ = 2 6 … Cálculos, a seguir:
Calculando ∣ z 1 ∣ = 2 2 + ( − 2 ) 2 → ∣ z 1 ∣ = 6 |z_{1}|=\sqrt{2^{2}+(-\sqrt{2})^{2}}\rightarrow\boxed{|z_{1}|=\sqrt{6}} ∣ z 1 ∣ = 2 2 + ( − 2 ) 2 → ∣ z 1 ∣ = 6 . Portanto, 2 ⋅ ∣ z 1 ∣ = 2 6 2\cdot|z_{1}|=\boxed{2\sqrt{6}} 2 ⋅ ∣ z 1 ∣ = 2 6
i) z 2 − z 1 = i 2 − ( 2 − i 2 ) = − 2 + 2 i 2 \,z_{2}-z_{1}=i\sqrt{2}-(2-i\sqrt{2})=\boxed{-2+2i\sqrt{2}} z 2 − z 1 = i 2 − ( 2 − i 2 ) = − 2 + 2 i 2
0628
Calcule n [ n ! + ( n − 1 ) ! ] ( n + 1 ) ! − n ! \dfrac{n[n!+(n-1)!]}{(n+1)!-n!} ( n + 1 )! − n ! n [ n ! + ( n − 1 )!] .
0628 - Solução
Vamos abrir os fatoriais até que fiquem disponíveis às simplificações:
n [ n ! + ( n − 1 ) ! ] ( n + 1 ) ! − n ! = n [ n ! + ( n − 1 ) ! ] ( n + 1 ) . n ! − n ! = n [ n ! + ( n − 1 ) ! ] n ! ( n + 1 − 1 ) = n [ n ! + ( n − 1 ) ! ] n . n ! = \dfrac{n[n!+(n-1)!]}{(n+1)!-n!}=\dfrac{n[n!+(n-1)!]}{(n+1).n!-n!}=\dfrac{n[n!+(n-1)!]}{n!(n+\cancel{1}-\cancel{1})}=\dfrac{\cancel{n}[n!+(n-1)!]}{\cancel{n}.n!}= ( n + 1 )! − n ! n [ n ! + ( n − 1 )!] = ( n + 1 ) . n ! − n ! n [ n ! + ( n − 1 )!] = n ! ( n + 1 − 1 ) n [ n ! + ( n − 1 )!] = n . n ! n [ n ! + ( n − 1 )!] =
= n ! + ( n − 1 ) ! n ! = n . ( n − 1 ) ! + ( n − 1 ) ! n ! = ( n − 1 ) ! ( n + 1 ) n ! = =\dfrac{n!+(n-1)!}{n!}=\dfrac{n.(n-1)!+(n-1)!}{n!}=\dfrac{(n-1)!(n+1)}{n!}= = n ! n ! + ( n − 1 )! = n ! n . ( n − 1 )! + ( n − 1 )! = n ! ( n − 1 )! ( n + 1 ) =
( n − 1 ) ! ( n + 1 ) n ( n − 1 ) ! = ( n − 1 ) ! ( n + 1 ) n ( n − 1 ) ! = n + 1 n , ∀ n ∈ N ∗ \dfrac{(n-1)!(n+1)}{n(n-1)!}=\dfrac{\cancel{(n-1)!}(n+1)}{n\cancel{(n-1)!}}=\boxed{\boxed{\dfrac{n+1}{n},\,\,\forall \,n\in\mathbb{N}^{*}}} n ( n − 1 )! ( n − 1 )! ( n + 1 ) = n ( n − 1 )! ( n − 1 )! ( n + 1 ) = n n + 1 , ∀ n ∈ N ∗
0627
Obtenha o ponto de intersecção entre a reta r : y = − x 2 + 3 2 r:\,\,y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{3}{2} r : y = − 2 x + 2 3 e a circunferência c : x 2 + y 2 − 4 x − 6 y − 12 = 5 c:\,\,x^{2}+y^{2}-4x-6y-12=5 c : x 2 + y 2 − 4 x − 6 y − 12 = 5 ou ( x − 2 ) 2 + ( y − 3 ) 2 = 30 (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=30 ( x − 2 ) 2 + ( y − 3 ) 2 = 30
0627 - Solução
Para fazermos a intersecção, nesse caso, basta tomar toda a equação reduzida da reta, cujo "x" já está em função de "y" e substituir em todos os valores de "y" da circunferência; assim, vamos obter as coordenadas "x" dos pares ordenados da intersecção. Após, retornamos às equações originais e encontramos as respectivas coordenadas "y" tendo os pontos de intersecção, assim:
c : x 2 + y 2 − 4 x − 6 y − 12 = 5 → c:\,\,x^{2}+y^{2}-4x-6y-12=5\rightarrow c : x 2 + y 2 − 4 x − 6 y − 12 = 5 →
x 2 + ( − x 2 + 3 2 ) 2 − 4 x − 6 ( − x 2 + 3 2 ) − 12 = 5 → x^{2}+\left(-\dfrac{x}{2}+\dfrac{3}{2} \right)^{2}-4x-6\left( -\dfrac{x}{2}+\dfrac{3}{2} \right)-12=5\rightarrow x 2 + ( − 2 x + 2 3 ) 2 − 4 x − 6 ( − 2 x + 2 3 ) − 12 = 5 →
x 2 + [ x 2 4 − 2 ( x 2 ) ( 3 2 ) + 9 4 ] − 4 x + 3 x − 9 − 12 = 5 → x^{2}+\left[ \dfrac{x^{2}}{4}-2\left( \dfrac{x}{2}\right)\left( \dfrac{3}{2} \right)+\dfrac{9}{4} \right]-4x +3x-9-12=5\rightarrow x 2 + [ 4 x 2 − 2 ( 2 x ) ( 2 3 ) + 4 9 ] − 4 x + 3 x − 9 − 12 = 5 →
x 2 + x 2 4 − 3 x 2 + 9 4 − 4 x + 3 x − 9 − 12 = 5 → x^{2}+\dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{3x}{2}+\dfrac{9}{4}-4x+3x-9-12=5\rightarrow x 2 + 4 x 2 − 2 3 x + 4 9 − 4 x + 3 x − 9 − 12 = 5 →
x 2 + x 2 4 ⏟ + 3 x − 4 x − 3 x 2 ⏟ − ( 9 + 12 + 5 − 9 4 ) ⏟ = 0 → \underbrace{x^{2}+\dfrac{x^{2}}{4}}+\underbrace{3x-4x-\dfrac{3x}{2}}-\underbrace{\left(9+12+5-\dfrac{9}{4}\right)} =0\rightarrow x 2 + 4 x 2 + 3 x − 4 x − 2 3 x − ( 9 + 12 + 5 − 4 9 ) = 0 →
5 x 2 4 − 5 x 2 − 95 4 = 0 mmc(2,4)=4 → 5 x 2 − 10 x − 95 = 0 Bhaskara → → \dfrac{5x^{2}}{4}-\dfrac{5x}{2}-\dfrac{95}{4}=0\,\,\,\underrightarrow{\text{mmc(2,4)=4}}\,\,\, 5x^{2}-10x-95=0\quad \underrightarrow{\text{Bhaskara}}\rightarrow 4 5 x 2 − 2 5 x − 4 95 = 0 mmc(2,4)=4 5 x 2 − 10 x − 95 = 0 Bhaskara →
x = − ( − 10 ) ± ( − 10 ) 2 − 4 × 5 × ( − 95 ) 2 × 5 → x = 10 ± 20 5 10 → x = \dfrac{-(-10) \pm \sqrt{ (-10)^{2} - 4\times \, 5\times \, (-95)}}{2\times \, 5}\rightarrow x = \dfrac{10 \pm 20\sqrt{5}}{10}\rightarrow x = 2 × 5 − ( − 10 ) ± ( − 10 ) 2 − 4 × 5 × ( − 95 ) → x = 10 10 ± 20 5 →
x 1 = 1 − 2 5 \boxed{x_{1}=1-2\sqrt{5}} x 1 = 1 − 2 5 ou x 2 = 1 + 2 5 \boxed{x_{2}=1+2\sqrt{5}} x 2 = 1 + 2 5
Agora, vamos encontrar os respectivos valores de "y", lançando os valores de "x" encontrados em y = − x 2 + 3 2 y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{3}{2} y = − 2 x + 2 3 , assim:
Para x 1 = 1 − 2 5 → y = − 1 − 2 5 2 + 3 2 → y = 3 − 1 + 2 5 2 → y 1 = 1 + 5 \boxed{x_{1}=1-2\sqrt{5}}\rightarrow y=-\dfrac{1-2\sqrt{5}}{2}+\dfrac{3}{2}\rightarrow y=\dfrac{3-1+2\sqrt{5}}{2} \rightarrow \boxed{y_{1}=1+\sqrt{5}} x 1 = 1 − 2 5 → y = − 2 1 − 2 5 + 2 3 → y = 2 3 − 1 + 2 5 → y 1 = 1 + 5
Para x 2 = 1 + 2 5 → y = − 1 + 2 5 2 + 3 2 → y = 3 − 1 − 2 5 2 → y 2 = 1 − 5 \boxed{x_{2}=1+2\sqrt{5}}\rightarrow y=-\dfrac{1+2\sqrt{5}}{2}+\dfrac{3}{2}\rightarrow y=\dfrac{3-1-2\sqrt{5}}{2} \rightarrow \boxed{y_{2}=1-\sqrt{5}} x 2 = 1 + 2 5 → y = − 2 1 + 2 5 + 2 3 → y = 2 3 − 1 − 2 5 → y 2 = 1 − 5
Os pontos de intersecção são: ( 1 − 2 5 ; 1 + 5 ) (1-2\sqrt{5};\,1+\sqrt{5}) ( 1 − 2 5 ; 1 + 5 ) e ( 1 + 2 5 ; 1 − 5 ) (1+2\sqrt{5};\,1-\sqrt{5}) ( 1 + 2 5 ; 1 − 5 )
A imagem a seguir ilustra graficamente a solução:
0626
Ao participar de uma maratona, um corredor fez dois percursos, o primeiro percurso de 20 km ele completou em 2 horas; o segundo percurso, de 12 km, completou em 1 hora. Analise o texto e responda as questões propostas.
a) Qual a lei de formação da função afim?
b) Em quanto tempo ele completaria um percurso de 30 km?
0626 - Soluções
a) Lei de formação da função afim :
Vamos chamar de "x x x " o tempo(em horas) e de "y y y " a distância percorrida(em quilômetros). Assim, teremos dois pontos ( 2 , 20 ) (2,\,20) ( 2 , 20 ) e ( 1 , 12 ) (1,\,12) ( 1 , 12 ) a serem aplicados em uma função afim, do tipo y = a x + b y=ax+b y = a x + b , e, montando um sistema de equações, descobriremos os valores de "a a a " (coeficiente angular) e "b b b " (coeficiente linear):
{ a .1 + b = 12 → ( multiplicando toda a primeira equa c ¸ a ˜ oo por -1 ) a .2 + b = 20 \left\{
\begin{array}{rcrcrr}
a.1 & + & b & = & 12 & \rightarrow (\text{multiplicando toda a primeira equaçãoo por -1}) \\
a.2 & + & b & = & 20 &
\end{array}
\right. { a .1 a .2 + + b b = = 12 20 → ( multiplicando toda a primeira equa c ¸ a ˜ oo por -1 )
{ − a − b = − 12 2 a + b = 20 → ( somando as duas equa c ¸ o ˜ es, termo a termo ) \left\{
\begin{array}{rcrcrr}
-a & - & \cancel{b} & = & -12 & \\
2a & + & \cancel{b} & = & 20 & \rightarrow (\text{somando as duas equações, termo a termo})
\end{array}
\right. { − a 2 a − + b b = = − 12 20 → ( somando as duas equa c ¸ o ˜ es, termo a termo )
a = 8 \boxed{a=8} a = 8 Substituindo na primeira equação: 8 + b = 12 → b = 4 8+b=12\rightarrow\boxed{b=4} 8 + b = 12 → b = 4
Portanto a função afim é: y = 8 x + 4 \boxed{y=8x+4} y = 8 x + 4
b) Em quanto tempo ele completaria um percurso de 30 km :
Substituindo "y y y " por 30 30 30 , teremos: 30 = 8 x + 4 → 8 x = 26 → x = 3 , 25 h 30=8x+4\rightarrow 8x=26\rightarrow \boxed{x=3,25h} 30 = 8 x + 4 → 8 x = 26 → x = 3 , 25 h ou x = 3 h 15 m i n \boxed{x=3h\,15min} x = 3 h 15 min