Pular para conteúdo

Página26

0650

Resolva o sistema:

{x+2y=1xy=4\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & 2y & = & 1 &\\ x & - & y & = & 4 & \end{array}\right.

0650 - Solução

professorlopes

{x+2y=1xy=4(1)\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & 2y & = & 1 &\\ x & - & y & = & 4 & (-1) \end{array}\right.

{x+2y=1x+y=4(Somando as duas equac¸o˜es, termo a termo)\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & 2y & = & 1 &\\ -x & + & y & = & -4 & (\text{Somando as duas equações, termo a termo}) \end{array}\right.

3y=3y=13y=-3\rightarrow \boxed{y=-1}

Substituindo y=1y=-1 na primeira equação, teremos:

x+2(1)=1x2=1x=3x+2(-1)=1\rightarrow x-2=1\rightarrow \boxed{x=3}

Portanto, a soluçãoSS será: S={(3;1)}\boxed{S=\{ (3;\,-1) \}}

0649

Simplifique as seguinte expressão: x23x4x^{2}-3x-4 dividido por 3x+33x+3, com x1x\neq -1.

0649 - Solução

professorlopes

Primeiramente, vamos fatorar tanto o dividendo, como o divisor, a fim de facilitar os cálculos subsequentes:

x23x4=(x4)(x+1)x^{2}-3x-4=(x-4)(x+1)

3x+3=3(x+1)3x+3=3(x+1)

Agora, vamos iniciar a divisão, que pode ser realizada na forma fracionária, ficando mais evidente as simplificações:

x23x43x+3(x4)(x+1)3(x+1)x43\dfrac{x^{2}-3x-4}{3x+3}\rightarrow \dfrac{(x-4)\cancel{(x+1)}}{3\cancel{(x+1)}}\rightarrow \boxed{\dfrac{x - 4}{3}}

0648

Obtenha o MMC e o MDC dos números 7070 e 4747.

0648 - Solução

professorlopes

Primeiramente, devemos decompor em fatores primos, todos os números envolvidos:

70=2.5.770 = 2.5.7

47=4747 = 47 (pois 4747 é um número primo)

Para obter o MMC(Mínimo Múltiplo Comum) tomamos os fatores primos comuns e não comuns, com maiores expoentes:

MMC(47,70)=2.5.7.47=3290(47, 70) = 2.5.7.47 = \boxed{3290}

Para obter o MDC(Máximo Divisor Comum) tomamos os fatores primos comuns, com menores expoentes:

MDC(47,70)=1(47, 70) = \boxed{1} (será sempre um, quando não houver fatores primos comuns)

0647

Quais os dez primeiros múltiplos de 22 e de 55?

0647 - Solução

professorlopes

Lembrando que os múltiplos de qualquer número inteiro são obtidos, multiplicando-os pelos números naturais:

Apenas os dez primeiros múltiplos de dois, como pedido:

M(2)=(0,2,4,6,8,10,12,14,16,18)(2) = (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18)

Apenas os dez primeiros múltiplos de cinco, como pedido:

M(5)=(0,5,10,15,20,25,30,35,40,45)(5) = (0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45)

0646

Quais os dez primeiros múltiplos de 1616? E de 2424?

0646 - Solução

professorlopes

Lembrando que os múltiplos de qualquer número inteiro são obtidos, multiplicando-os pelos números naturais:

Apenas os dez primeiros múltiplos de dezesseis, como pedido:

M(16)=(0,16,32,48,64,80,96,112,128,144)(16) = (0, 16, 32, 48, 64, 80, 96, 112, 128, 144)

Apenas os dez primeiros múltiplos de vinte e quatro, como pedido:

M(24)=(0,24,48,72,96,120,144,168,192,216)(24) = (0, 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, 216)

0645

Obtenha o MMC de cada item a seguir:

a)Números 77e 55.

b)Números 99 e 11.

c)Números 88 e 99.

d)Números 33, 66 e 99.

e)Números 22, 44 e 66.

0645 - Soluções

professorlopes

Algumas considerações:

1)Devemos decompor em fatores primos, todos os números envolvidos;

2)Para obter o MMC(Mínimo Múltiplo Comum) tomamos os fatores comuns e não comuns, com maiores expoentes:

a)Números 77e 55:

7=77 = 7 (pois é um número primo)

5=55 = 5 (pois é um número primo)

M.M.Cde(7,5)=7.5=35\boxed{M.M.C\,de\,(7,5) = 7.5 = 35}


b)Números 99 e 11:

9=329 = 3^{2}

1=11 = 1 (pois um não é primo)

M.M.Cde(9,1)=9\boxed{M.M.C\,de\,(9,1) = 9}


c)Números 88 e 99:

8=238 = 2^{3}

9=329 = 3^{2}

M.M.Cde(8,9)=23.32=72\boxed{M.M.C\,de\,(8,9) = 2^{3}. 3^{2} = 72}


d)Números 33, 66 e 99:

3=33 = 3

6=2.36 = 2 . 3

9=329 = 3^{2}

M.M.C de (3,6,9)=2.32=18\boxed{M.M.C~de~(3,6,9) = 2 . 3^{2} = 18}


e)Números 22, 44 e 66:

2=22 = 2

4=224 = 2^{2}

6=2.36 = 2 . 3

M.M.C de (2,4,6)=22.3=12\boxed{M.M.C~de~(2,4,6) = 2^{2} . 3 = 12}

0644

Um quadrado tem lado (a2b)(a-2b). Qual é o resultado da divisão de sua área por seu perímetro, sabendo-se que (a2b)0(a-2b)\neq 0?

0644 - Solução

professorlopes

Vamos encontrar o perímetro e a área desse quadrado e, em seguida, a razão pedida:

Seu perímetro(P)(P) será P=4(a2b)\boxed{P = 4(a - 2b)}

Sua Área(A)(A) será A=(a2b)2\boxed{A = (a - 2b)^{2}}

Assim a divisão(D)(D) será:

D=APD=(a2b)24(a2b)D=(a2b).(a2b)4(a2b)D=a2b4D=\dfrac{A}{P}\rightarrow D=\dfrac{(a - 2b)^{2}}{4(a - 2b)}\rightarrow D=\dfrac{(a-2b).\cancel{(a-2b)}}{4\cancel{(a-2b)}}\rightarrow \boxed{D=\dfrac{a-2b}{4}}

0643

Resolva cada sistema a seguir, pelo método do escalonamento:

a)

{x+4y=23x5y=23\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & 4y & = & 2 & \\ 3x & - & 5y & = & 23 & \end{array}\right.

b)

{5x10y=23x6y=2\left\{\begin{array}{rcrcrr} 5x & - & 10y & = & -2 & \\ 3x & - & 6y & = & -2 & \end{array}\right.

c)

{2x3y=44x+6y=8\left\{\begin{array}{rcrcrr} 2x & - & 3y & = & 4 & \\ -4x & + & 6y & = & 8 & \end{array}\right.

d)

{x+5y=107x+6y=12\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & 5y & = & 10 & \\ 7x & + & 6y & = & 12 & \end{array}\right.

e)

{x+2y+3z=6x3y+4z=22xy+5z=6\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} x & + & 2y & + & 3z & = & 6 & \\ x & - & 3y & + & 4z & = & 2 & \\ 2x & - & y & + & 5z & = & 6 & \end{array}\right.

0643 - Soluções

professorlopes

Algumas Considerações:

1º) Apenas para você entender como eu faço o escalonamento: quando surgir uma notação, por exemplo: "(3L1+L2)(3L_{1}+L_{2})" significa que eu multipliquei a linha um, por três, e somei com a linha dois; e ainda, que o resultado será colocado na linha dois;

2º) Ao final de cada item, após a solução(S)(S), vou colocar a classificação do sistema: SPDSPD, para sistema possível e determinado; SPISPI, para sistema possível e indeterminado, ou SISI, para sistema impossível.

a)

{x+4y=2(3L1L2)3x5y=23\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & 4y & = & 2 & (3L_{1}-L_{2})\\ 3x & - & 5y & = & 23 & \end{array}\right.

{x+4y=217y=17y=1\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & 4y & = & 2 & \\ & & 17y & = & -17 & \rightarrow \boxed{y=-1} \end{array}\right.

Substituindo y=1\boxed{y=-1} na primeira equação, teremos:

x+4.(1)=2x4=2x=6S={(6;1)}  SPDx+4.(-1)=2\rightarrow x-4=2\rightarrow \boxed{x=6}\rightarrow \boxed{\boxed{S=\{(6;\,-1) \}}}\,\,SPD


b)

{5x10y=2(3L15L2)3x6y=2\left\{\begin{array}{rcrcrr} 5x & - & 10y & = & -2 & (3L_{1}-5L_{2})\\ 3x & - & 6y & = & -2 & \end{array}\right.

{5x10y=20+0=4S={}  SI\left\{\begin{array}{rcrcrr} 5x & - & 10y & = & -2 & \\ 0 & + & 0 & = & 4 & \rightarrow \boxed{\boxed{S=\{ \}}}\,\,SI \end{array}\right.


c)

{2x3y=4(2L1+L2)4x+6y=8\left\{\begin{array}{rcrcrr} 2x & - & 3y & = & 4 & (2L_{1}+L_{2})\\ -4x & + & 6y & = & 8 & \end{array}\right.

{2x3y=40+0=16S={}  SI\left\{\begin{array}{rcrcrr} 2x & - & 3y & = & 4 & \\ 0 & + & 0 & = & 16 & \rightarrow \boxed{\boxed{S=\{ \}}}\,\,SI \end{array}\right.


d)

{x+5y=10(7L1L2)7x+6y=12\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & 5y & = & 10 & (7L_{1}-L_{2})\\ 7x & + & 6y & = & 12 & \end{array}\right.

{x+5y=1029y=58y=2\left\{\begin{array}{rcrcrr} x & + & 5y & = & 10 & \\ & & 29y & = & 58 & \rightarrow \boxed{y=2} \end{array}\right.

Substituindo y=2\boxed{y=2} na primeira equação, teremos:

x+5.(2)=10x+10=10x=0S={(0;2)}  SPDx+5.(2)=10\rightarrow x+10=10\rightarrow \boxed{x=0}\rightarrow \boxed{\boxed{S=\{(0;\,2) \}}}\,\,SPD


e)

{x+2y+3z=6(L1L2)(2L1L3)x3y+4z=22xy+5z=6\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} x & + & 2y & + & 3z & = & 6 & (L_{1}-L_{2})\quad (2L_{1}-L_{3})\\ x & - & 3y & + & 4z & = & 2 & \\ 2x & - & y & + & 5z & = & 6 & \end{array}\right.

{x+2y+3z=65yz=4(L2L3)5y+z=6\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} x & + & 2y & + & 3z & = & 6 & \\ & & 5y & - & z & = & 4 & (L_{2}-L_{3}) \\ & & 5y & + & z & = & 6 & \end{array}\right.

{x+2y+3z=65yz=42z=2z=1\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} x & + & 2y & + & 3z & = & 6 & \\ & & 5y & - & z & = & 4 & \\ & & & - & 2z & = & -2 & \rightarrow \boxed{z=1} \end{array}\right.

Substituindo z=1\boxed{z=1} na segunda equação(já escalonada), teremos:

5y1=45y=5y=15y-1=4\rightarrow 5y=5\rightarrow \boxed{y=1}

Substituindo y=1\boxed{y=1} e z=1\boxed{z=1} na primeira equação, teremos:

x+2.1+3.1=6x+5=6x=1S={(1;1;1)}  SPDx+2.1+3.1=6\rightarrow x+5=6\rightarrow \boxed{x=1}\rightarrow \boxed{\boxed{S=\{(1;\,1;\,1) \}}}\,\,SPD

0642

Quanto vale o quociente entre: o sucessor do antecessor do sucessor do número 17-17 e, o módulo do simétrico do oposto do antecessor do número -7.

0642 - Solução

professorlopes

Algumas considerações:

a) Lembrando que sucessor de um número inteiro é sempre aquele que está a direita desse número e antecessor é aquele que está a esquerda, não importando o sinal;

b) Os números opostos também são denominados simétricos, isto é, números que quando representados na reta numérica possuem a mesma distância da origem;

c) (re)Lendo o texto, mas, ao contrário, resolveremos em três etapas:

1ª) Em relação ao -17:

Sucessor de -17 é -16;

Antecessor de -16(sucessor de -17) é -17;

Sucessor de -17 é -16 (este é o numerador)

2ª) Em relação ao -7:

Antecessor de -7 é -8

Oposto de -8 é +8;

Simétrico(ou oposto) de +8 é -8

Módulo de -8 é 8(este é o denominador)

3ª) A Fração(Quociente) é 168=2\dfrac{-16}{8}=\boxed{-2}(resultado final)

0641

Determine mm e nn para que as funções, de R\mathbb{R} em R\mathbb{R},

f(x)=2x2+(m3)x+4f(x) = 2x^{2} + ( m - 3 ) x+ 4 e

g(x)=2x26x+mng(x) = 2x^{2} - 6x + m - n, sejam iguais.

0641 - Solução

professorlopes

Para f(x)=g(x)f(x)=g(x):

2x2+(m3)x+4=2x26x+mn\cancel{2x^{2}} + ( m - 3 ) x+ 4 = \cancel{2x^{2}} - 6x + m - n

Comparando apenas os coeficientes, teremos:

{m   3=6m=3m3   n=4n=7n=7\left\{\begin{array}{rcrcrrr} m\,\,\, & - & 3 & = & -6 &\rightarrow \boxed{m = -3}&\\ \cancel{m}^{\,-3}\,\,\, & - & n & = & 4 &\rightarrow -n=7&\rightarrow \boxed{n=-7} \end{array}\right.

0640

Calcule:

a) Logaritmo de 3 na base 2, dividido por logaritmo de 27 na base 4.

b) Logaritmo de 3 na base 4, dividido por logaritmo de 27 na base 4.

0640 - Soluções

professorlopes

a) Logaritmo de 3 na base 2, dividido por logaritmo de 27 na base 4:

log23log427log23log4(22)27(33)2.log233.log232.13=23\dfrac{\log_23}{\log_427}\to\dfrac{\log_23}{\log_{\cancel{4}^{(2^2)}}\cancel{27}^{\,(3^3)}}\to2\,.\,\dfrac{\cancel{\log_23}}{3.\cancel{\log_23}}\to2\,.\,\dfrac{1}{3}=\boxed{\dfrac{2}{3}}


b) Logaritmo de 3 na base 4, dividido por logaritmo de 27 base 4:

log43log427log43log433log433.log43=13\dfrac{\text{log}_{4}3}{\text{log}_{4}27}\rightarrow \dfrac{\text{log}_{4}3}{\text{log}_{4}3^{3}}\rightarrow \dfrac{\cancel{\text{log}_{4}3}}{3.\cancel{\text{log}_{4}3}} =\boxed{\dfrac{1}{3}}

0639

Calcule os zeros das funções:

a)f(x)=12x2+5x\,f(x)=12x^{2}+5x

b)g(x)=6x2+8x+4\,g(x)=-6x^{2}+8x+4

0639 - Soluções

professorlopes

Lembrando que os zeros da função são obtidos,fazendo f(x)=0f(x)=0.

a) 12x2+5x=0x(12x+5)=012x^{2}+5x=0\rightarrow x(12x+5)=0\rightarrow

x1=0\boxed{x_{1}=0} ou 12x+5=0x2=51212x+5=0\rightarrow \boxed{x_{2}=-\dfrac{5}{12}}


b) 6x2+8x+4=0:(-2)3x24x2=0  \underbrace{-6x^{2}+8x+4=0}_{\text{:(-2)}}\rightarrow 3x^{2}-4x-2=0\rightarrow\,\, (Bhaskara)

x=(4)±(4)24×3×(2)2×3x=4±406x=\dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^{2}-4\times 3\times (-2)}}{2\times 3}\rightarrow x=\dfrac{4\pm \sqrt{40}}{6}\rightarrow

x=4±2106x=21(2±10)63x=2±103x=\dfrac{4\pm 2\sqrt{10}}{6}\rightarrow x=\dfrac{\cancel{2}^{1}(2\pm \sqrt{10})}{\cancel{6}^{3}}\rightarrow x=\dfrac{2\pm\sqrt{10}}{3}\rightarrow

x1=2103  ou  x2=2+103\boxed{x_{1}=\dfrac{2-\sqrt{10}}{3}}\,\,\text{ou}\,\,\boxed{x_{2}=\dfrac{2+\sqrt{10}}{3}}

0638

Resolva o sistema de inequações, em R\mathbb{R}:

{52x<4x5<1x\left\{\begin{array}{rcrcrr} 5 & - & 2x & < & 4 &\\ x & - & 5 & < & 1-x & \end{array}\right.

0638 - Solução

professorlopes

{52x<4x5<1x\left\{\begin{array}{rcrcrr} 5 & - & 2x & < & 4 &\\ x & - & 5 & < & 1-x & \end{array}\right.

Vamos proceder, isolando a incógnita "xx":

{2x<12x<6\left\{\begin{array}{crcrr} -& 2x & < & -1 &\\ & 2x & < & 6 & \end{array}\right.

{x>12(I)x<3(II)\left\{\begin{array}{rcrr} x & > & \dfrac{1}{2} & (I)\\ & & & \\ x & < & 3 & (II) \end{array}\right.

A solução(S)(S), será a intersecção (I)(II)(I)\cap (II), portanto:

S={xR  12<x<3}\boxed{S=\left\{ x\in \mathbb{R}\,|\,\,\dfrac{1}{2}\,<\,x\,<\,3 \right\}}

0637

Resolva o seguinte problema:

Prevendo falta d'água, enchi todas as garrafas de que dispunha e coloquei-as na geladeira.

No dia seguinte utilizei 27\dfrac{2}{7} das garrafas existentes. Passados dois dias, eu já

havia consumido 35\dfrac{3}{5} do número de garrafas restantes, quando então observei que

haviam sobrado 44(quatro) garrafas. Quantas garrafas eu enchi no início?

0637 - Solução

professorlopes

Algumas considerações:

a) Para equacionar essa questão, iremos montando as equações, uma a uma, a cada frase lida;

b) Vamos chamar de "xx", o número inicial de garrafas;

c) Equacionando e resolvendo, em quatro etapas:

1)Ao final do dia seguinte, restavam x2x7\boxed{x-\dfrac{2x}{7}}

2)Dois dias depois, foram consumidas:

[3(x2x7)]5\dfrac{\left[3\left(x-\dfrac{2x}{7}\right)\right]}{5} e restavam, (x2x7)[3(x2x7)]5\boxed{\left(x-\dfrac{2x}{7}\right)-\dfrac{\left[3\left(x-\dfrac{2x}{7}\right)\right]}{5}}

3)Portanto, a equação final é:

(x2x7)[3(x2x7)]5=4(I)\boxed{\left(x-\frac{2x}{7}\right)-\dfrac{\left[3\left(x-\dfrac{2x}{7}\right)\right]}{5}=4}(I)

4)Agora, vamos resolver a equação (I) e, para isso, eu tomei o cuidado de dividir a equação nos pedaços "aa", "bb" e "cc" (veja bem que essa divisão e os nomes desses "pedaços" não influenciam nos cálculos, sendo apenas para facilitar a visualização):

(x2x7)a[3(x2x7)]b5c=4\boxed{\underbrace{\left(x-\frac{2x}{7}\right)}_{a}-\underbrace{\dfrac{\overbrace{\left[3\left(x-\dfrac{2x}{7}\right) \right]}^{b} }{5}}_{c}=4}

(5x7)a[3(5x7)]b5c=4(5x7)a(15x7)b5c=45x7a15x35c=4\underbrace{\left(\frac{5x}{7}\right)}_{a}-\underbrace{\dfrac{\overbrace{\left[3\left(\dfrac{5x}{7}\right)\right]}^{b}}{5}}_{c}=4\rightarrow\underbrace{\left(\frac{5x}{7}\right)}_{a}-\underbrace{\dfrac{\overbrace{\left(\dfrac{15x}{7}\right)}^{b} }{5}}_{c} =4\rightarrow\underbrace{\frac{5x}{7}}_{a}-\underbrace{\dfrac{15x}{35}}_{c}=4\rightarrow

5x715x3357=45x73x7=42x7=42x=28x=14\dfrac{5x}{7}-\dfrac{\cancel{15x}^{3}}{\cancel{35}^{7}}=4\rightarrow\dfrac{5x}{7}-\dfrac{3x}{7}=4\rightarrow \dfrac{2x}{7} =4\rightarrow2x=28\rightarrow \boxed{x=14}

Apenas para confirmar, vamos testar o valor x=14\boxed{x=14}, no texto dado:

1º) "No dia seguinte...:" 14(271  ×142  )=144=1014-\left(\dfrac{2}{\cancel{7}^{1}}\,\,\times\,\cancel{14}^{2}\,\,\right)=14-4=10

2º) "Passados dois dias...:" 10(351  ×102  )=106=410-\left(\dfrac{3}{\cancel{5}^{1}}\,\,\times\cancel{10}^{2}\,\,\right)=10-6=4

OBS: Ao final, realmente havia sobrado 44 garrafas!!

0636

Resolva a equação 5x+15x1=245^{x+1} - 5^{x-1} =24

0636 - Solução

professorlopes

5x+15x1=245.5x5x5=245^{x+1} - 5^{x-1} =24\rightarrow 5.5^{x}-\dfrac{5^{x}}{5}=24\rightarrow

5x.(515)=245x.245=245^{x}.\left( 5-\dfrac{1}{5} \right)=24\rightarrow 5^{x}.\dfrac{24}{5}=24\rightarrow

5x=5x=1 (resposta final)5^{x}=5\rightarrow \boxed{x=1}~\text{(resposta final)}

0635

Verifique qual a posição relativa entre as duas retas dadas por suas equações:

(r):y=3x(r):y=3x

(s):8x2y+5=0(s):8x-2y+5=0

0635 - Solução

professorlopes

Algumas considerações:

1)A fim de facilitar a solução, vamos adotar a forma reduzida das equações dadas:

(r):y=3x(jaˊ estaˊ na forma reduzida)  e(s):y=4x+52;\begin{array}{ll} (r): & y=3x (\text{já está na forma reduzida})\,\,\text{e}\\ (s): & y=4x+\dfrac{5}{2}; \end{array}

2)Visualmente, já é possível verificar a posição relativa dessas retas. Observe que o coeficiente angular de "rr" é 33 e o coeficiente angular de "ss" é 44. Portanto, essas retas são concorrentes, ou seja, se fizermos 3x=4x+523x=4x+\dfrac{5}{2}, podemos encontrar o ponto de intersecção:

3x=4x+52x=523x=4x+\dfrac{5}{2}\rightarrow \boxed{x=-\dfrac{5}{2}}

Substituindo o valor de "xx" encontrado em qualquer das duas equações "rr" ou "ss", encontraremos a coordenada "yy" do encontro dessas retas; assim, vamos substituir em ambas, pois o valor de "yy" encontrado deverá ser o mesmo:

(r):y=352y=152(s):y=452+52y=152\begin{array}{lll} (r): & y=3\cdot\dfrac{-5}{2} & \rightarrow\boxed{y=-\dfrac{15}{2}}\\ & & \\ (s): & y=4\cdot\dfrac{-5}{2}+\dfrac{5}{2} & \rightarrow\boxed{y=-\dfrac{15}{2}} \end{array}

Portanto, as retas rr e ss são concorrentes, e o ponto de intersecção é: (52;152)\left(-\dfrac{5}{2};\,-\dfrac{15}{2}\right)

0634

Calcule os zeros e estude a variação de sinal, de cada função real a seguir:

a) y=x2+5y= \dfrac{x}{2} + 5

b) y=3x+4y= -3x + 4

c) y=4x+2y= -4x + 2

d) y=2x2y= 2x - 2

0634 - Soluções

professorlopes

Algumas considerações:

1)Encontrar os zeros ou raízes de uma função, significa obter os valores de "xx" quando y = 0;

2)Estudar o sinal da função, significa obter os valores de "x", para que a função seja:

y<0y < 0 (negativa); y=0y = 0 (zero) e y>0y > 0 (positiva); assim:

a)y=x2+5x2+5=0x=10(zero ou raiz)a)\,y=\dfrac{x}{2}+5\rightarrow \dfrac{x}{2}+5=0\rightarrow \boxed{x=-10}\,\text{(zero ou raiz)}

Parax<10,  y<0\text{Para}\,x<-10,\,\,y<0

Parax=10,  y=0\text{Para}\,x=-10,\,\,y=0

Parax>10,  y>0\text{Para}\,x>-10,\,\,y>0


b)y=3x+43x+4=0x=43(zero ou raiz)b)\,y=-3x+4\rightarrow -3x+4=0\rightarrow\boxed{x=\dfrac{4}{3}}\,\text{(zero ou raiz)}

Parax<43,  y>0\text{Para}\,x<\dfrac{4}{3},\,\,y>0

Parax=43,  y=0\text{Para}\,x=\dfrac{4}{3},\,\,y=0

Parax>43,  y<0\text{Para}\,x>\dfrac{4}{3},\,\,y<0


c)y=4x+24x+2=0x=12(zero ou raiz)c)\,y=-4x+2\rightarrow -4x+2=0\rightarrow\boxed{x=\dfrac{1}{2}}\,\text{(zero ou raiz)}

Parax<12,  y>0\text{Para}\,x<\dfrac{1}{2},\,\,y>0

Parax=12,  y=0\text{Para}\,x=\dfrac{1}{2},\,\,y=0

Parax>12,  y<0\text{Para}\,x>\dfrac{1}{2},\,\,y<0


d)y=2x22x2=0x=1(zero ou raiz)d)\,y=2x-2\rightarrow 2x-2=0\rightarrow\boxed{x=1}\,\text{(zero ou raiz)}

Parax<1,  y<0\text{Para}\,x<1,\,\,y<0

Parax=1,  y=0\text{Para}\,x=1,\,\,y=0

Parax>1,  y>0\text{Para}\,x>1,\,\,y>0

0633

Resolva as 5(cinco) questões seguintes, referentes ao estudo de triângulos:

(1)Utilizando o cálculo dos lados dos triângulos, classifique-os em equilátero, escaleno ou isósceles:

(1a) A(1,  6)A(1,\,\,6); B(2,  3)B(2,\,\,3) e C(4,  5)C(4,\,\,5).

(1b) D(0,  0)D(0,\,\,0); E(2,  23)E(2,\,\,2\sqrt{3}) e F(4,  0)F(4,\,\,0).

(2)Determine as coordenadas do baricentro dos triângulos de vértices:

(2a) A(2,  3)A(2,\,\,3); B(5,  1)B(5,\,\,-1) e C(1,  4)C(-1,\,\,4).

(2b) D(1,  0)D(-1,\,\,0); E(2,  3)E(2,\,\,-3) e F(2,  3)F(2,\,\,3).

(3)Sabendo que A(x,y)A(x,y); B(1,8)B(-1,8) e C(3,10)C(3,-10) são vértices de um triângulo cujo baricentro é o ponto G(3,2)G(3,-2), determine as coordenadas "xx" e "yy", do vértice AA.

(4)Verifique se os pontos A(3,  2)A(3,\,\,2); B(4,  1)B(4,\,\,1) e C(1,  4)C(1,\,\,4) são colineares.

(5)Determine o valor de "kk" para que os pontos A(k,7)A(k,7); B(2,3)B(2,-3) e C(k,1)C(k,1), sejam vértices de um triângulo.

0633 - Soluções

professorlopes

(1)Utilizando o cálculo dos lados dos triângulos, classifique-os em equilátero, escaleno ou isósceles:

OBS: Vamos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos A(xA;yA)A(x_{A};\,y_{A}) e B(xB;yB):B(x_{B};\,y_{B}):

dAB=(xAxB)2+(yAyB)2\boxed{d_{AB}=\sqrt{(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}}}

(1a) A(1,6); B(2,3) e C(4,5)Δ\rightarrow\DeltaABC é isósceles, pois AB=ACBCAB=AC\neq BC; acompanhe:

dAB=(xAxB)2+(yAyB)2dAB=(12)2+(63)2dAB=10d_{AB}=\sqrt{(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}}\rightarrow d_{AB}=\sqrt{(1-2)^{2}+(6-3)^{2}}\rightarrow \boxed{d_{AB}=\sqrt{10}}

dAC=(xAxC)2+(yAyC)2dAC=(14)2+(65)2dAC=10d_{AC}=\sqrt{(x_{A}-x_{C})^{2}+(y_{A}-y_{C})^{2}}\rightarrow d_{AC}=\sqrt{(1-4)^{2}+(6-5)^{2}}\rightarrow \boxed{d_{AC}=\sqrt{10}}

dBC=(xBxC)2+(yByC)2dBC=(24)2+(35)2dBC=8d_{BC}=\sqrt{(x_{B}-x_{C})^{2}+(y_{B}-y_{C})^{2}}\rightarrow d_{BC}=\sqrt{(2-4)^{2}+(3-5)^{2}}\rightarrow \boxed{d_{BC}=8}

(1b) D(0,0); E(2, 232\sqrt{3}) e F(4,0)Δ\rightarrow\DeltaDEF é equilátero, pois DE=DF=EFDE=DF=EF; acompanhe:

dDE=(xDxE)2+(yDyE)2dDE=(02)2+(023)2dDE=4d_{DE}=\sqrt{(x_{D}-x_{E})^{2}+(y_{D}-y_{E})^{2}}\rightarrow d_{DE}=\sqrt{(0-2)^{2}+(0-2\sqrt{3})^{2}}\rightarrow \boxed{d_{DE}=4}

dDF=(xDxF)2+(yDyF)2dDF=(04)2+(00)2dDF=4d_{DF}=\sqrt{(x_{D}-x_{F})^{2}+(y_{D}-y_{F})^{2}}\rightarrow d_{DF}=\sqrt{(0-4)^{2}+(0-0)^{2}}\rightarrow \boxed{d_{DF}=4}

dEF=(xExF)2+(yEyF)2dEF=(24)2+(230)2dEF=4d_{EF}=\sqrt{(x_{E}-x_{F})^{2}+(y_{E}-y_{F})^{2}}\rightarrow d_{EF}=\sqrt{(2-4)^{2}+(2\sqrt{3}-0)^{2}}\rightarrow \boxed{d_{EF}=4}


(2)Determine as coordenadas do baricentro dos triângulos de vértices:

OBS: O baricentro(G) é a intersecção das medianas do triângulo. As coordenadas desse baricentro são as médias aritméticas das coordenadas dos vértices desse triângulo. A fórmula para esse baricentro é:

G=(xA+xB+xC3,yA+yB+yC3)G=\left( \dfrac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}\,,\, \dfrac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3} \right)

(2a) A(2,3); B(5,-1) e C(-1,4)G=(2+513,31+43)G=(2,2)\rightarrow G=\left(\dfrac{2+5-1}{3}\,,\,\dfrac{3-1+4}{3}\right)\rightarrow\boxed{G=(2,2)}

(2b) D(-1,0); E(2,-3) e F(2,3)G=(1+2+23,03+33)G=(1,0)\rightarrow G=\left(\dfrac{-1+2+2}{3}\,,\,\dfrac{0-3+3}{3}\right)\rightarrow\boxed{G=(1,0)}


(3)Sabendo que A(x,y)A(x,y); B(1,8)B(-1,8) e C(3,10)C(3,-10) são vértices de um triângulo cujo baricentro é o ponto G(3,2)G(3,-2), determine as coordenadas "xx" e "yy", do vértice AA:

OBS: Vamos fazer a aplicação inversa do exercício anterior, partindo do baricentro e encontrando os pontos pedidos:

G=(xA+xB+xC3,yA+yB+yC3)(x1+33,y+8103)G=\left( \dfrac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}\,,\,\dfrac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}\right)\rightarrow\left(\dfrac{x-1+3}{3}\,,\,\dfrac{y+8-10}{3}\right)\rightarrow

G=(x+23,y23)=(3,2)G=\left( \dfrac{x+2}{3}\,,\,\dfrac{y-2}{3} \right)=(3,-2)\Rightarrow

x+23=3x+2=9x=7\dfrac{x+2}{3}=3\rightarrow x+2=9\rightarrow \boxed{x=7}

y23=2y2=6y=4\dfrac{y-2}{3}=-2\rightarrow y-2=-6\rightarrow \boxed{y=-4}


(4)Verifique se os pontos A(3,2)A(3,2); B(4,1)B(4,1) e C(1,4)C(1,4) são colineares:

OBS: Três pontos A(xA,yA)A(x_{A},y_{A}); B(xB,yB)B(x_{B},y_{B}) e C(xC,yc)C(x_{C},y_{c}) são colineares(estão alinhados) se, e somente se,

D=xAyA1xByB1xCyC1=0D=\left|\begin{array}{rrr} x_{A} & y_{A} & 1 \\ x_{B} & y_{B} & 1 \\ x_{C} & y_{C} & 1 \\ \end{array}\right|=0

No nosso caso:

D=321411141=0D=\left|\begin{array}{rrr} 3 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ \end{array}\right|=0

Regra de Sarrus:

D=3.1.1+4.4.1+1.1.2(1.1.1+2.4.1+3.4.1)3+16+2(1+8+12)D=3.1.1+4.4.1+1.1.2-(1.1.1+2.4.1+3.4.1)\rightarrow 3+16+2-(1+8+12)

D=2121D=0D=21-21\rightarrow \boxed{D=0}.

Portanto, os três pontos AA,BB e CC são colineares.


(5)Determine o valor de "kk" para que os pontos A(k,7)A(k,7); B(2,3)B(2,-3) e C(k,1)C(k,1), sejam vértices de um triângulo:

OBS: Três pontos A(xA,yA)A(x_{A},y_{A}); B(xB,yB)B(x_{B},y_{B}) e C(xC,yc)C(x_{C},y_{c}) determinam um triângulo se, e somente se,

D=xAyA1xByB1xCyC10D=\left|\begin{array}{rrr} x_{A} & y_{A} & 1 \\ x_{B} & y_{B} & 1 \\ x_{C} & y_{C} & 1 \\ \end{array}\right|\neq0

No nosso caso:

D=k71231k110D=\left|\begin{array}{rrr} k & 7 & 1 \\ 2 & -3 & 1 \\ k & 1 & 1 \\ \end{array}\right|\neq 0

Regra de Sarrus:

k.(3).1+2.1.1+k.1.7(1.(3).k+7.2.1+k.1.1)0k.(-3).1+2.1.1+k.1.7-(1.(-3).k+7.2.1+k.1.1)\neq 0\rightarrow

3k+2+7k(3k+14+k)0-3k+2+7k-(-3k+14+k)\neq 0

4k+2+2k1404k+2+2k-14\neq 0\rightarrow

6k1206k-12\neq 0\rightarrow

6k126k\neq 12\rightarrow

k2\boxed{k\neq 2}

0632

Quatro questões sobre função quadrática:

1)Determine "mm" para que a função f(x)=x23x+mf(x)=x^{2}-3x+m tenha duas raízes reais e distintas:

2)Uma das raízes da equação x2+px+3=0-x^{2}+px+3=0 é igual a 2(dois):

2a) Qual o valor de "pp"?

2b) Qual é a outra raiz que essa equação possui?

3)Qual é o valor de "mm" na equação x2(m+5)x+m+1=0x^{2} - (m+5)x + m + 1=0, para que as raízes sejam simétricas?

4)Determine as raízes de: f(x)=x2+3x2x+1f(x)=\dfrac{-x^{2}+3x}{2x+1}, com x12x\neq -\dfrac{1}{2}.

0632 - Soluções

professorlopes

Da fórmula de Bhaskara sabemos que o discriminante (ou Delta) é dado por: Δ=b24ac\Delta=b^{2}-4ac. Para que uma equação quadrática (ou do segundo grau) tenha duas raízes reais e distintas, basta que Δ>0\Delta > 0.

1)Determine "mm" para que a função f(x)=x23x+mf(x)=x^{2}-3x+m tenha duas raízes reais e distintas:

Δ=(3)24×1×m>094m>04m>9  (1)4m<9m<94\Delta=(-3)^2 -4\times 1\times m > 0\rightarrow 9-4m>0\rightarrow -4m>-9\,\,(-1)\rightarrow 4m<9\rightarrow\boxed{m<\dfrac{9}{4}}


2)Uma das raízes da equação x2+px+3=0-x^{2}+px+3=0 é igual a 2(dois):

2a) Qual o valor de "pp"?

Substituindo "xx" por 22: 22+p.2+3=04+2p+3=02p=1p=12-2^{2}+p.2+3=0\rightarrow -4+2p+3=0\rightarrow 2p=1\rightarrow \boxed{p=\dfrac{1}{2}}

2b) Qual é a outra raiz que essa equação possui?

Com o valor de p=12p=\dfrac{1}{2}, nossa equação será: x2+x2+3=0(×2)2x2x6=0-x^{2}+\dfrac{x}{2}+3=0\,(\times -2)\rightarrow 2x^{2}-x-6=0

Utilizando Bhaskara:

x=1±(1)24×2×(6)2×2x=1±494x=1±74x=\dfrac{1\pm\sqrt{(-1)^{2}-4\times\,2\times\,(-6) }}{2\times\,2}\rightarrow x=\dfrac{1\pm\sqrt{49}}{4}\rightarrow x=\dfrac{1\pm 7}{4}\rightarrow

x1=1+74x1=2x_{1}=\dfrac{1+7}{4}\rightarrow \boxed{x_{1}=2}

x2=174x2=32x_{2}=\dfrac{1-7}{4}\rightarrow \boxed{x_{2}=-\dfrac{3}{2}}


3)Qual é o valor de ``mm'' na equação x2(m+5)x+m+1=0x^{2} - (m+5)x + m + 1=0, para que as raízes sejam simétricas(^*)?

(^*)Chamando uma das raízes de "kk", a outra raiz(simétrica) será "k-k"

Essa questão refere-se à relação de soma de raízes de uma equação do segundo grau; assim:

Soma: k+(k)=[(m+5)]m+5=0m=5k+(-k)=-[-(m+5)]\rightarrow m+5=0\rightarrow \boxed{m=-5}


4)Determine as raízes de: f(x)=x2+3x2x+1f(x)=\dfrac{-x^{2}+3x}{2x+1}, com x12x\neq -\dfrac{1}{2}.

Encontraremos suas raízes, fazendo f(x)=0f(x)=0 e, para isso, basta que o numerador "x2+3x-x^{2}+3x" seja zero, ou seja:

x2+3x=0x(x3)=0-x^{2}+3x=0\rightarrow-x(x-3)=0\rightarrow

x=0x=0-x=0\rightarrow \boxed{x=0} ou x3=0x=3x-3=0\rightarrow \boxed{x=3}

0631

Duas questões envolvendo números complexos:

1ª)Obtenha as raízes da seguinte equação matricial:

1x20153x11x=0\left|\begin{array}{ccc} 1-x & 2 & 0 \\ 1 & 5 & 3 \\ x-1 & 1 & x \end{array}\right|=0

2ª)O determinante abaixo define um número complexo. Determine o módulo desse complexo.

1i1i1i1+i1i0=0\left|\begin{array}{ccc} 1 & i & 1 \\ i & 1 & i \\ 1+i & 1-i & 0 \end{array}\right|=0

0631 - Soluções

professorlopes

1ª)Resolvendo a equação matricial:

(1x).5.x+1.1.0+(x1).3.2[0.5.(x1)+2.1.x+(1x).1.3]=0(1-x).5.x + \cancel{1.1.0} + (x-1).3.2 -[\cancel{0.5.(x-1)} + 2.1.x + (1-x).1.3]=0\rightarrow

5x5x2+6x62x3+3x=05x2+12x9=0(1)5x-5x^{2}+6x-6-2x-3+3x=0\rightarrow -5x^{2}+12x-9=0\,(-1)\rightarrow

5x212x+9=05x^{2}-12x+9=0 \textit{Bhaskara} x=(12)±(12)24×5×92×5x=\dfrac{-(-12)\pm \sqrt{(-12)^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}\rightarrow

x=12±3610x=12±6i10x=\dfrac{12\pm \sqrt{-36}}{10}\rightarrow x=\dfrac{12\pm 6i}{10}\rightarrow

x1=126i10x1=63i5x_{1}=\dfrac{12 - 6i}{10}\rightarrow \boxed{x_{1}=\dfrac{6 - 3i}{5}}

x2=12+6i10x2=6+3i5x_{2}=\dfrac{12 + 6i}{10}\rightarrow \boxed{x_{2}=\dfrac{6 + 3i}{5}}


2ª)Obtendo o módulo:

(1.1.0+i.(1i).1+(1+i).i.i[1.1.(1+i)+i.i.0+1.(1i).i]=0(\cancel{1.1.0} + i.(1-i).1 + (1+i).i.i -[1.1.(1+i) + \cancel{i.i.0} + 1.(1-i).i]=0\rightarrow

ii2+i2+i3i1ii+i2122i\cancel{i}-\cancel{i^{2}}+\cancel{i^{2}}+\cancel{i^{3}}^{\,-i}-1-\cancel{i}-i+\cancel{i^{2}}^{\,-1}\rightarrow \boxed{-2-2i}

Para z=a+biz=a2+b2z=a+bi\rightarrow |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}, assim, no nosso caso,

Para z=22iz=(2)2+(2)2z=8z=22z=-2-2i\rightarrow |z|=\sqrt{(-2)^{2}+(-2)^{2}}\rightarrow |z|=\sqrt{8}\rightarrow \boxed{|z|=2\sqrt{2}}

0630

Se a=11+ia=\dfrac{1}{1+i}, b=1i1+ib=\dfrac{1-i}{1+i} e c=(bi)2c=(b-i)^{2}, encontre o valor de aca^{c}.

0630 - Solução

professorlopes

Antes de efetuar as operações pedidas, vamos (re)escrever bb e cc para torná-los mais simples e assim facilitarmos os cálculos posteriores:

b=1i1+i1i1ib=(1i)22b=2i2b=ib=\dfrac{1-i}{1+i}\,\cdot \,\dfrac{1-i}{1-i}\rightarrow\,b=\dfrac{(1-i)^{2}}{2}\rightarrow\,b=\dfrac{-\cancel{2}i}{\cancel{2}}\rightarrow \boxed{b=-i}

c=(bi)2c=(ii)2c=(2i)2c=4c=(b-i)^{2}\rightarrow c=(-i-i)^{2}\rightarrow c=(-2i)^{2}\rightarrow \boxed{c=-4}

Agora, vamos calcular: ac=(11+i)4=(1+i1)4=[(1+i)2]2a^{c}=\left(\dfrac{1}{1+i} \right)^{-4}=\left(\dfrac{1+i}{1}\right)^{4}=\left[(1+i)^{2}\right]^{2}\rightarrow

ac=[2i]2ac=4a^{c}=[2i]^{2}\rightarrow \boxed{\boxed{a^{c}=-4}}

Observações:

(I)Se precisar futuramente: (1+i)2=12+2.1.i+i211+2i1(1+i)2=2i(1+i)^{2}= 1^{2}+2.1.i+\cancel{i^{2}}^{\,-1}\rightarrow \cancel{1}+2i-\cancel{1}\rightarrow \boxed{(1+i)^{2}=2i}

(II)Se precisar futuramente: (1i)2=122.1.i+i2112i1(1i)2=2i(1-i)^{2}= 1^{2}-2.1.i+\cancel{i^{2}}^{\,-1}\rightarrow \cancel{1}-2i-\cancel{1}\rightarrow\boxed{(1-i)^{2}=-2i}

0629

Dados os números complexos z1=2i2\boxed{z_{1}=2-i\sqrt{2}} e z2=i2\boxed{z_{2}=i\sqrt{2}}, resolva as operações:

a) z1+z2z_{1}+z_{2}

b) z13.z2z_{1}-3.z_{2}

c) z1.z2z_{1}\,.\,z_{2}

d) (z1)2(z_{1})^{2}

e) z2z1\dfrac{z_{2}}{z_{1}}

f) 3z2\dfrac{3}{z_{2}}

g) z1z2\dfrac{z_{1}}{z_{2}}

h) 2.z12.|z_{1}|

i) z2z1z_{2}-z_{1}

0629 - Soluções

professorlopes

a)z1+z2=2i2+i2=2\,z_{1}+z_{2}=2-\cancel{i\sqrt{2}}+\cancel{i\sqrt{2}}=\boxed{2}


b)z13z2=2i23i2=24i2\,z_{1}-3\cdot\,z_{2}=2-i\sqrt{2}-3i\sqrt{2}=\boxed{2-4i\sqrt{2}}


c)z1z2=(2i2)i2=2i22i21=22i2\,z_{1}\,\cdot\,z_{2}=(2-i\sqrt{2})\,\cdot\,i\sqrt{2}=2i\sqrt{2}-2\cancel{i^{2}}^{-1}=\boxed{2-2i\sqrt{2}}


d)(z1)2=(2i2)2=44i22=24i2\,(z_{1})^{2}=\left( 2-i\sqrt{2} \right)^{2}=4-4i\sqrt{2}-2=\boxed{2-4i\sqrt{2}}


e)z2z1=i22i22+i22+i2=i2(2+i2)2+2=2i224=21(1+i2)42=1+i2\,\dfrac{z_{2}}{z_{1}}=\dfrac{i\sqrt{2}}{2-i\sqrt{2}}\,\cdot\,\dfrac{2+i\sqrt{2}}{2+i\sqrt{2}}=\dfrac{i\sqrt{2}(2+i\sqrt{2})}{2+2}=\dfrac{2i\sqrt{2}-2}{4}=\dfrac{\cancel{2}^{1}(-1+i\sqrt{2})}{\cancel{4}^{2}}=\boxed{-1+i\sqrt{2}}


f)3z2=3i2i2i2=3i22\,\dfrac{3}{z_{2}}=\dfrac{3}{i\sqrt{2}}\,\cdot\,\dfrac{i\sqrt{2}}{i\sqrt{2}}=\boxed{-\dfrac{3i\sqrt{2}}{2}}


g)z1z2=2i2i2i2i2=2+2i22=2(1+i2)2=1i2\,\dfrac{z_{1}}{z_{2}}=\dfrac{2-i\sqrt{2}}{i\sqrt{2}}\,\cdot\,\dfrac{i\sqrt{2}}{i\sqrt{2}}=\dfrac{2+2i\sqrt{2}}{-2}=-\dfrac{\cancel{2}(1+i\sqrt{2})}{\cancel{2}}=\boxed{-1-i\sqrt{2}}


h)2z1=26\,2\cdot|z_{1}|=\boxed{2\sqrt{6}}\ldots Cálculos, a seguir:

Calculando z1=22+(2)2z1=6|z_{1}|=\sqrt{2^{2}+(-\sqrt{2})^{2}}\rightarrow\boxed{|z_{1}|=\sqrt{6}}. Portanto, 2z1=262\cdot|z_{1}|=\boxed{2\sqrt{6}}


i)z2z1=i2(2i2)=2+2i2\,z_{2}-z_{1}=i\sqrt{2}-(2-i\sqrt{2})=\boxed{-2+2i\sqrt{2}}

0628

Calcule n[n!+(n1)!](n+1)!n!\dfrac{n[n!+(n-1)!]}{(n+1)!-n!}.

0628 - Solução

professorlopes

Vamos abrir os fatoriais até que fiquem disponíveis às simplificações:

n[n!+(n1)!](n+1)!n!=n[n!+(n1)!](n+1).n!n!=n[n!+(n1)!]n!(n+11)=n[n!+(n1)!]n.n!=\dfrac{n[n!+(n-1)!]}{(n+1)!-n!}=\dfrac{n[n!+(n-1)!]}{(n+1).n!-n!}=\dfrac{n[n!+(n-1)!]}{n!(n+\cancel{1}-\cancel{1})}=\dfrac{\cancel{n}[n!+(n-1)!]}{\cancel{n}.n!}=

=n!+(n1)!n!=n.(n1)!+(n1)!n!=(n1)!(n+1)n!==\dfrac{n!+(n-1)!}{n!}=\dfrac{n.(n-1)!+(n-1)!}{n!}=\dfrac{(n-1)!(n+1)}{n!}=

(n1)!(n+1)n(n1)!=(n1)!(n+1)n(n1)!=n+1n,  nN\dfrac{(n-1)!(n+1)}{n(n-1)!}=\dfrac{\cancel{(n-1)!}(n+1)}{n\cancel{(n-1)!}}=\boxed{\boxed{\dfrac{n+1}{n},\,\,\forall \,n\in\mathbb{N}^{*}}}

0627

Obtenha o ponto de intersecção entre a reta r:  y=x2+32r:\,\,y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{3}{2} e a circunferência c:  x2+y24x6y12=5c:\,\,x^{2}+y^{2}-4x-6y-12=5 ou (x2)2+(y3)2=30(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=30

0627 - Solução

professorlopes

Para fazermos a intersecção, nesse caso, basta tomar toda a equação reduzida da reta, cujo "x" já está em função de "y" e substituir em todos os valores de "y" da circunferência; assim, vamos obter as coordenadas "x" dos pares ordenados da intersecção. Após, retornamos às equações originais e encontramos as respectivas coordenadas "y" tendo os pontos de intersecção, assim:

c:  x2+y24x6y12=5c:\,\,x^{2}+y^{2}-4x-6y-12=5\rightarrow

x2+(x2+32)24x6(x2+32)12=5x^{2}+\left(-\dfrac{x}{2}+\dfrac{3}{2} \right)^{2}-4x-6\left( -\dfrac{x}{2}+\dfrac{3}{2} \right)-12=5\rightarrow

x2+[x242(x2)(32)+94]4x+3x912=5x^{2}+\left[ \dfrac{x^{2}}{4}-2\left( \dfrac{x}{2}\right)\left( \dfrac{3}{2} \right)+\dfrac{9}{4} \right]-4x +3x-9-12=5\rightarrow

x2+x243x2+944x+3x912=5x^{2}+\dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{3x}{2}+\dfrac{9}{4}-4x+3x-9-12=5\rightarrow

x2+x24+3x4x3x2(9+12+594)=0\underbrace{x^{2}+\dfrac{x^{2}}{4}}+\underbrace{3x-4x-\dfrac{3x}{2}}-\underbrace{\left(9+12+5-\dfrac{9}{4}\right)} =0\rightarrow

5x245x2954=0   mmc(2,4)=4   5x210x95=0Bhaskara\dfrac{5x^{2}}{4}-\dfrac{5x}{2}-\dfrac{95}{4}=0\,\,\,\underrightarrow{\text{mmc(2,4)=4}}\,\,\, 5x^{2}-10x-95=0\quad \underrightarrow{\text{Bhaskara}}\rightarrow

x=(10)±(10)24×5×(95)2×5x=10±20510x = \dfrac{-(-10) \pm \sqrt{ (-10)^{2} - 4\times \, 5\times \, (-95)}}{2\times \, 5}\rightarrow x = \dfrac{10 \pm 20\sqrt{5}}{10}\rightarrow

x1=125\boxed{x_{1}=1-2\sqrt{5}} ou x2=1+25\boxed{x_{2}=1+2\sqrt{5}}

Agora, vamos encontrar os respectivos valores de "y", lançando os valores de "x" encontrados em y=x2+32y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{3}{2}, assim:

Para x1=125y=1252+32y=31+252y1=1+5\boxed{x_{1}=1-2\sqrt{5}}\rightarrow y=-\dfrac{1-2\sqrt{5}}{2}+\dfrac{3}{2}\rightarrow y=\dfrac{3-1+2\sqrt{5}}{2} \rightarrow \boxed{y_{1}=1+\sqrt{5}}

Para x2=1+25y=1+252+32y=31252y2=15\boxed{x_{2}=1+2\sqrt{5}}\rightarrow y=-\dfrac{1+2\sqrt{5}}{2}+\dfrac{3}{2}\rightarrow y=\dfrac{3-1-2\sqrt{5}}{2} \rightarrow \boxed{y_{2}=1-\sqrt{5}}

Os pontos de intersecção são: (125;1+5)(1-2\sqrt{5};\,1+\sqrt{5}) e (1+25;15)(1+2\sqrt{5};\,1-\sqrt{5})

A imagem a seguir ilustra graficamente a solução:

Ex074Sol

0626

Ao participar de uma maratona, um corredor fez dois percursos, o primeiro percurso de 20 km ele completou em 2 horas; o segundo percurso, de 12 km, completou em 1 hora. Analise o texto e responda as questões propostas.

a) Qual a lei de formação da função afim?

b) Em quanto tempo ele completaria um percurso de 30 km?

0626 - Soluções

professorlopes

a) Lei de formação da função afim:

Vamos chamar de "xx" o tempo(em horas) e de "yy" a distância percorrida(em quilômetros). Assim, teremos dois pontos (2,20)(2,\,20) e (1,12)(1,\,12) a serem aplicados em uma função afim, do tipo y=ax+by=ax+b, e, montando um sistema de equações, descobriremos os valores de "aa" (coeficiente angular) e "bb" (coeficiente linear):

{a.1+b=12(multiplicando toda a primeira equac¸a˜oo por -1)a.2+b=20\left\{ \begin{array}{rcrcrr} a.1 & + & b & = & 12 & \rightarrow (\text{multiplicando toda a primeira equaçãoo por -1}) \\ a.2 & + & b & = & 20 & \end{array} \right.

{ab=122a+b=20(somando as duas equac¸o˜es, termo a termo)\left\{ \begin{array}{rcrcrr} -a & - & \cancel{b} & = & -12 & \\ 2a & + & \cancel{b} & = & 20 & \rightarrow (\text{somando as duas equações, termo a termo}) \end{array} \right.

a=8\boxed{a=8} Substituindo na primeira equação: 8+b=12b=48+b=12\rightarrow\boxed{b=4}

Portanto a função afim é: y=8x+4\boxed{y=8x+4}


b) Em quanto tempo ele completaria um percurso de 30 km:

Substituindo "yy" por 3030, teremos: 30=8x+48x=26x=3,25h30=8x+4\rightarrow 8x=26\rightarrow \boxed{x=3,25h} ou x=3h15min\boxed{x=3h\,15min}