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0675¶

Uma loja dá desconto de 20% sobre o valor que exceder $R\$~100,00$. Para uma compra de $R\$~150,00$, obtém-se um desconto de?

0675 - Solução

Veja que o desconto é apenas sobre o que exceder $R\$~100,00$. No nosso caso, como a compra é de $R\$~150,00$, o desconto de 20% será sobre $R\$~50,00$. Como sempre, recomenda-se que, no caso de porcentagens, trabalhe-se com as respectivas frações, ou, se preferir, os respectivos decimais. Vamos, aqui, adotar o trabalho através das frações, assim:

20% de 50, ou $\dfrac{20}{\cancel{100}^{\,2}}\,\,\times \,\,\cancel{50}^{\,1}\rightarrow\dfrac{20}{2}\times 1\Rightarrow 10$

Portanto, obtém-se um desconto de $\boxed{R\$\,\, 10,00}$

0674¶

Dois números inteiros positivos $a$ e $b$ estão na razão de 13 para 6. Se a diferença entre esses números é 63, quais são os valores de $a$ e $b$?

0674 - Solução

Equacionando:

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{13}{6}\rightarrow \boxed{a=\dfrac{13b}{6}}(I)$

$a-b=63\rightarrow \boxed{b=a-63}(II)$

Substituindo $(II)$ em $(I)$, assim:

$a=\dfrac{13(a-63)}{6}\rightarrow 6a=13a-819\rightarrow 7a=819\rightarrow \boxed{a=117}$

Substituindo $a=117$ na equação $(II)$:

$117-b=63\rightarrow b=117-63\rightarrow \boxed{b=54}$

0673¶

Resolva as seguintes equações do segundo grau, utilizando a fórmula quadrática (ou fórmula de Bhaskara}):

a) $(x-3)^{2}-4x=x$

b) $(x+1)^{2}-7=x$

0673 - Soluções

Resolvendo, conforme solicitações:

a) $(x-3)^{2}-4x=x\rightarrow x^{2}-6x+9-4x-x=0\rightarrow x^{2}-11x+9=0\rightarrow$

$x=\dfrac{-(-11) \pm \sqrt{ (-11)^{2} - 4\times \, 1\times \, 9 }}{2\times \, 1}\rightarrow x=\dfrac{11 \pm \sqrt{ 121 - 36}}{2}\rightarrow$

$x=\dfrac{11 \pm \sqrt{85}}{2}\rightarrow$ $\boxed{x_{1}=\dfrac{11 - \sqrt{85}}{2}}$ ou $\boxed{x_{2}=\dfrac{11 + \sqrt{85}}{2}}$

b) $(x+1)^{2}-7=x\rightarrow x^{2}+2x+1-7-x=0\rightarrow x^{2}+x-6=0\rightarrow$

$x=\dfrac{-(+1)\pm\sqrt{(+1)^{2}-4\times\,1\times\,-6 }}{2\times\,1}\rightarrow x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+24}}{2}\rightarrow$

$x=\dfrac{-1 \pm 5}{2}\rightarrow x_{1}=\dfrac{-1-5}{2}\rightarrow \boxed{x_{1}=-3}$ ou $x_{2}=\dfrac{-1+5}{2}\rightarrow \boxed{x_{2}=2}$

0672¶

Obtenha uma PG crescente e de três termos, cuja soma desses termos seja -7 e o produto seja -8.

0672 - Solução

A progressão geométrica é crescente quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede.

Isso acontece em duas situações: $\underbrace{a_{1} > 0\,\,\text{e}\,\,q > 1}$ ou $\underbrace{a_{1} < 0\,\,\text{e}\,\,0<q<1}$

A fim de facilitar os cálculos, vamos adotar os três números dessa PG como: $\boxed{\dfrac{x}{q};\,\,x;\,\,x.q}$, assim:

Soma: $\dfrac{x}{q}\,+\,x\,+\,x.q=-7\rightarrow\dfrac{x+xq+xq^{2}=-7q}{\cancel{q}}\rightarrow \boxed{x+xq+xq^{2}=-7q}(I)$

Produto: $\dfrac{x}{\cancel{q}}\times x\times x.\cancel{q}=-8\rightarrow x^{3}=-8\rightarrow \boxed{x=-2}(II)$

Substituindo $(II)$ em $(I)$, teremos:

$(-2)+(-2)q+(-2)q^{2}=-7q\rightarrow -2-2q-2q^{2}+7q=0\rightarrow 2q^{2}-5q+2=0$

Utilizando a fórmula quadrática (ou fórmula de Bhaskara):

$2q^{2}-5q+2=0\rightarrow q=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^{2}-4\times\,2\times\,2}}{2\times\,2}\rightarrow q=\dfrac{5\pm\sqrt{25-16}}{4}\rightarrow$

$q=\dfrac{5 \pm 3}{4}\rightarrow q_{1}=\dfrac{5 - 3}{4}\rightarrow \boxed{q_{1}=\dfrac{1}{2}}$ ou $q_{2}=\dfrac{5 + 3}{4} \rightarrow \boxed{q_{2}=2}$

Finalmente, com os valores da razão($q$) e o valor de $x$, vamos montar as PG's e verificar se são crescentes, ou não:

Na nossa PG de três termos: $\boxed{\dfrac{x}{q};\,\,x;\,\,x.q}$

Para $\underbrace{x=-2\,\,e\,\,q=2}$, a PG é: $\left(-\dfrac{2}{2};\,\,-2;\,\,(-2).2\right)= \cancel{\boxed{\left(-1;\,\,-2;\,\,-4\right)}}$

Não Serve, pois é DECRESCENTE

Para $\underbrace{x=-2\,\,e\,\,q=\dfrac{1}{2}}$, a PG é: $\left(-\dfrac{2}{\frac{1}{2}};\,\,-2;\,\,(-2).\dfrac{1}{2}\right)=\boxed{\left(-4;\,\,-2;\,\,-1\right)}$

Serve, pois é CRESCENTE!!

0671¶

Calcule "$p$" sabendo que a diferença entre as raízes da função $y=2x^{2}-(p-1)x+p+1$, é 1.

0671 - Solução

Algumas considerações:

1)Vamos adotar "$a$" e "$b$" como sendo as raízes dessa função;

2)Vamos relembrar as relações entre as raízes de uma função quadrática:

Soma: $\boxed{a+b=\dfrac{p-1}{2}}(I)$

Relação Fornecida: $\boxed{a-b=1}(II)$

Produto: $ab=\dfrac{p+1}{2}\rightarrow \boxed{2ab=p+1}(III)$

Montando um sistema com as equações $(I)\,\text{e}\,(II)$

$\left\{ \begin{array}{rcrccr} a & + & \cancel{b} & = & \dfrac{p-1}{2} & \\ a & - & \cancel{b} & = & 1 & (\text{Somando as equações, termo a termo}) \end{array} \right.$

$2a=\dfrac{p-1}{2}+1\rightarrow \ldots \boxed{4a=p+1}$

Aplicando esse resultado em $(III)$

$2ab=\underbrace{p+1}_{4a}\rightarrow 2\cancel{a}b=4\cancel{a}\rightarrow 2b=4\rightarrow \boxed{b=2}$ 1ª raiz

Encontrando, com a 1ª raiz "$2$", o valor de "$p$":

$0=2.2^{2}-(p-1).2+p+1\rightarrow 8-2p+2+p+1=0\rightarrow -p=-11\rightarrow \boxed{p=11}$

OBS:

1)O exercício já terminou, mas, se de repente, nós tivermos alguma dúvida, podemos obter a outra raiz "$a$" e encontrarmos novamente o valor de "$p$" para nos certificarmos, assim:

Com $b=2$, aplicamos em uma das equações, por exemplo, $a-b=1\rightarrow a-2=1\rightarrow \boxed{a=3}$

Encontrando, agora com a 2ª raiz "$3$", o valor de "$p$":

$0=2.3^{2}-(p-1).3+p+1\rightarrow 18-3p+3+p+1=0\rightarrow -2p=-22\rightarrow\boxed{p=11}$

2)Nesses tipos de exercícios, é muito difícil ocorrer um erro, uma vez que, dentro da própria questão, podemos aplicar a "prova real".

0670¶

O tempo que falta para o término do dia equivale a $\dfrac{5}{7}$ do tempo que dele já passou. Que horas são?

0670 - Solução

Vamos chamar de $x$" as horas que já passaram, ou seja, as horas que se quer; além disso, vamos chamar de "$a$" as horas que faltam para o término do dia. O dia tem 24 horas e, se subtrairmos dessas 24 horas, as horas que são$(x)$, teremos exatamente as horas que faltam$(a)$ para terminar esse dia. Além disso, afirmou-se que $a=\dfrac{5x}{7}$, assim:

$24-x=a\rightarrow 24-x=\dfrac{5x}{7}\rightarrow$

$7(24-x)=5x\rightarrow 7.24 -7x = 5x\rightarrow 168-7x=5x$

$5x+7x=168\rightarrow 12x=168\rightarrow \boxed{x=14h}$

Portanto, são 14 horas.

Vamos à "prova real":

Tome 14, divida por 7 e obtenha 2. Tome esse 2 e multiplique por 5, terá 10. Veja que das 14h às 24h, faltam exatas 10(dez) horas.

0669¶

O gráfico da função $f(x)=ax+b$ passa pelos pontos $(-1;\,3)$ e $(2;\,7)$. Obtenha o valor de "$a$".

0669 - Solução

$\text{Para}\,\,(-1;\,3)\rightarrow a(-1)+b=3\rightarrow -a+b=3(I)$

$\text{Para}\,\,(2;\,7)\rightarrow a(2)+b=7\rightarrow 2a+b=7(II)$

Montando um sistema com as equações $(I)\,\,\text{e}\,\,(II)$, teremos:

$\left\{ \begin{array}{rcrcrr} -a & + & b & = & 3 & (-1) \\ 2a & + & b & = & 7 & \end{array} \right.\rightarrow$

$\left\{ \begin{array}{rcrcrr} a & - & \cancel{b} & = & -3 & \\ 2a & + & \cancel{b} & = & 7 & (\text{Somando as equações, termo a termo})\\ \end{array} \right.$

$3a=4\rightarrow \boxed{a=\dfrac{4}{3}}$

0668¶

Determine o ângulo central$(\alpha)$(em radianos) correspondente a um arco de circunferência de $15cm$ de comprimento, sabendo que essa circunferência tem raio de $20cm$.

0668 - Solução

A fom de obtermos o valor do ângulo central $\alpha$(rad), devemos calcular o quociente entre o comprimento$(l)$, no nosso caso $l=15cm$, pelo raio$(r)$ da circunferência, no nosso caso, $r=20cm$. Importante observar que as unidades devem ser as mesmas. Assim:

$\alpha = \dfrac{l}{r}\rightarrow \alpha = \dfrac{15}{20}\text{rad}\rightarrow \boxed{\alpha = \dfrac{3}{4}\text{rad}}$

0667¶

Resolva as equações literais, sendo "$x$" a incógnita; com as seguintes condições: $a\neq 0$, $a\neq b$; $a\neq -b$ e $b\neq 0$:

a) $\dfrac{x}{a}=\dfrac{1}{ab}-\dfrac{x}{b}$

b) $\dfrac{x}{a-b}=2-\dfrac{x}{a+b}$

c) $\dfrac{ax}{b}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{bx-1}{a}$

0667 - Soluções

a)$\,\dfrac{x}{a}=\dfrac{1}{ab}-\dfrac{x}{b}\,\,\underrightarrow{mmc(a;\,b)=ab}\,\,\,\dfrac{b.x=1-a.x}{\cancel{ab}} \rightarrow bx=1-ax\rightarrow$

$bx+ax=1\rightarrow x(a+b)=1\rightarrow \boxed{x=\dfrac{1}{a+b}}$

b)$\,\dfrac{x}{a-b}=2-\dfrac{x}{a+b}\,\,\underrightarrow{mmc[(a+b);\,(a-b)]=(a+b)(a-b)}\,\,\,$

$\dfrac{x(a+b)=2(a+b)(a-b)-x(a-b)}{\cancel{(a+b)}\cancel{(a-b)}}\rightarrow$

$x(a+b)+x(a-b)=2(a^{2}-b^{2})\rightarrow x(a+\not b+a-\not b)=2(a^{2}-b^{2})\rightarrow$

$\not 2ax=\not 2(a^{2}-b^{2})\rightarrow \boxed{x=\dfrac{a^{2}-b^{2}}{a}}$

c)$\,\dfrac{ax}{b}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{bx-1}{a}\,\,\underrightarrow{mmc(a;\,b)=ab}\,\,\,\dfrac{a.ax=a.1+b(bx-1)} {\cancel{ab}}\rightarrow$

$a^{2}x=a+b^{2}x-b\rightarrow a^{2}x-b^{2}x=a-b\rightarrow x(a^{2}-b^{2})=a-b\rightarrow$

$x=\dfrac{a-b}{a^{2}-b^{2}}\rightarrow x=\dfrac{\cancel{(a-b)}}{\cancel{(a-b)}(a+b)}\rightarrow \boxed{x=\dfrac{1}{a+b}}$

0666¶

Sendo "$a$" e "$b$" dois números reais e "$f$" uma função definida por $f(x)=a.2^{x+1}+b$, para todo "$x$" real, satisfazendo $f(-1)=8$ e $f(1)=17$. O par ordenado $(0;\,m)$ pertence a essa função. Calcule o valor de "$m$".

0666 - Solução

Utilizando os valores numéricos dados, teremos:

$f(-1)=8\rightarrow a.2^{(-1+1)}+b=8\rightarrow a.2^{0}+b=8\rightarrow a+b=8(I)$

$f(1)=17\rightarrow a.2^{1+1}+b=17\rightarrow a.2^{2}+b=17\rightarrow 4a+b=17(II)$

Montando um sistema com as duas equações $(I)$ e $(II)$:

$\left\{ \begin{array}{rcrcrr} a & + & b & = & 8 & \\ 4a & + & b & = & 17 & (-1) \end{array} \right.\rightarrow$

$\left\{ \begin{array}{rcrcrr} a & + & \cancel{b} & = & 8 & \\ -4a & - & \cancel{b} & = & -17 & (\text{Somando as equações, termo a termo}) \end{array} \right.$

$-3a=-9\rightarrow \boxed{a=3}$

Substituindo "$a=3$" na primeira equação:

$3+b=8\rightarrow \boxed{b=5}$

Portanto $\boxed{f(x)=3.2^{x+1}+5}$

Como $(0;\,m)\in\, f\,\,$, teremos que: $3.2^{0+1}+5=m\rightarrow 3.2+5=m\rightarrow 6+5=m\rightarrow \boxed{m=11}$

0665¶

Como se calcula o termo independente da expressão:

$\left[ \left( 1+\dfrac{1}{x} \right)\left( 1-\dfrac{1}{x} \right) \right]^{6}$

0665 - Solução

Primeiramente, vamos efetuar o produto $\left( 1+\dfrac{1}{x} \right)\left( 1-\dfrac{1}{x} \right)$ para, posteriormente efetuar o desenvolvimento, à sexta potência, através do Binômio de Newton.

$\underbrace{\left( 1+\dfrac{1}{x} \right)\left( 1-\dfrac{1}{x} \right)}_{\text{Produto Notável}}\rightarrow 1-\dfrac{1}{x^{2}}$

Vamos proceder o desenvolvimento, à sexta potência, utilizando o teorema binomial:

$(a-b)^{n}=\left[ a + (-b) \right]^{n}= \boxed{\sum_{i=0}^{n}\left(^{n}_{i} \right)a^{(n-i)}(-b)^{i}}$

Applicando o teorema:

$\left( 1-\dfrac{1}{x^{2}} \right)^{6}=\boxed{\sum_{i=0}^{6}\left(^{6}_{i} \right)1^{(6-i)}\left(-\dfrac{1}{x^{2}}\right)^{i}}=$

$=1-6\,.\,1\,.\,\dfrac{1}{x^{2}}+15\,.\,1\,.\,\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)^{2}-20\,.\,1\,.\,\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)^{3}+15\,.\,1\,.\,\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)^{4}-6\,.\,1\,.\,\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)^{5}+\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)^{6}$

Portanto

$\left( 1-\dfrac{1}{x^{2}} \right)^{6}=1-\dfrac{6}{x^{2}}+\dfrac{15}{x^{4}}-\dfrac{20}{x^{6}}+\dfrac{15}{x^{8}}-\dfrac{6}{x^{10}}+\dfrac{1}{x^{12}}$

...onde se vê que o termo independente é 1.

OBS: Mesmo NÃO se tratando de um polinômio, podemos aplicar normalmente o binômio de Newton.

0664¶

Em cada item, o ponto pertence à circunferência. Determine o valor de "$k$":

a) $(3,-3);\,\, x^{2}+y^{2}-2x-4y+k=0$

b) $(-6,-k);\,\, x^{2}+y^{2}-2x+6y-55=0$

c) $(k,1);\,\, kx^{2}+y^{2}-x+y-2=0$

d) $(k,k);\,\, (x+3)^{2}+(y+3)^{2}=0$

0664 - Soluções

a)$\,(3,-3);\,\, x^{2}+y^{2}-2x-4y+k=0\rightarrow$

$3^{2}+ (-3)^{2}-2.3-4(-3)+k=0\rightarrow 9+9-6+12+k=0\rightarrow \boxed{k=-24}$

b)$\,(-6,-k);\,\, x^{2}+y^{2}-2x+6y-55=0\rightarrow$

$(-6)^{2}+(-k)^{2}-2(-6)+6(-k)-55=0\rightarrow 36+k^{2}+12-6k-55=0\rightarrow$

$k^{2}-6k-7=0\quad\underrightarrow{\text{Bhaskara}}\quad k=\dfrac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^{2}-4\times\,1\times\,-7}}{2\times\,1}\rightarrow$

$k=\dfrac{6\pm\sqrt{ 64 }}{2}\rightarrow k=\dfrac{6\pm 8}{2}\rightarrow \boxed{k=-1}\,\,ou\,\,\boxed{k=7}$

c)$\,(k,1);\,\, kx^{2}+y^{2}-x+y-2=0\rightarrow k.k^{2}+1^{2}-k+1-2=0\rightarrow$

$k^{3}-k=0\rightarrow k(k^{2}-1)=0\rightarrow k(k+1)(k-1)=0\rightarrow$\

$\boxed{k=0}\,\,ou\,\, \boxed{k=-1}\,\,ou\,\, \boxed{k=1}$

d)$\,(k,k);\,\, (x+3)^{2}+(y+3)^{2}=0\rightarrow (k+3)^{2}+(k+3)^{2}=50\rightarrow$

$2(k+3)^{2}=50\rightarrow (k+3)^{2}=25\rightarrow k+3=\pm \sqrt{25}\rightarrow k+3=\pm 5$

$k+3=-5\rightarrow \boxed{k=-8}$ ou $k+3=5\rightarrow \boxed{k=2}$

0663¶

Se $\boxed{m=\dfrac{5-\sqrt{3}}{22}}$ e $\boxed{\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=1}$ qual o valor de "$n$"?

0663 - Solução

Primeiramente, vamos (re)escrever a expressão $\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=1$, assim:

$\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=1\rightarrow \dfrac{m+n}{mn}=1\rightarrow \boxed{m+n = mn}(I)$

Agora, vamos aplicar $m=\dfrac{5-\sqrt{3}}{22}$ em $(I)$, assim:

$\dfrac{5-\sqrt{3}}{22}+n=\dfrac{n\times(5-\sqrt{3})}{22}\rightarrow \dfrac{5-\sqrt{3}+22n}{\cancel{22}}=\dfrac{n(5-\sqrt{3})}{\cancel{22}}\rightarrow$

Façamos letras de um lado e números de outro, assim:

$22n-n(5-\sqrt{3})=-5+\sqrt{3}\quad \underrightarrow{\,\, ``n" \,\, \text{em evidência}}\quad n(22-5+\sqrt{3})=-5+\sqrt{3}\rightarrow$

$n(17+\sqrt{3})=-5+\sqrt{3}\quad \underrightarrow{\text{isolando}\,``n"}\quad n=\dfrac{-5+\sqrt{3}}{17+\sqrt{3}}\rightarrow$

Neste ponto, devemos racionalizar o denominador, multiplicando a fração toda(numerador e denominador) pelo conjugado do denominador que é $17-\sqrt{3}$, assim:

$n=\dfrac{-5+\sqrt{3}}{17+\sqrt{3}}\times \dfrac{17-\sqrt{3}}{17-\sqrt{3}}\rightarrow n=\dfrac{\overbrace{(-5+\sqrt{3})\cdot(17-\sqrt{3})}^\text{multiplicando todos por todos}}{\underbrace{(17+\sqrt{3})\cdot (17-\sqrt{3})}_{\text{aplicando produto notável}}}\rightarrow$

$n=\dfrac{-85+5\sqrt{3}+17\sqrt{3}-3}{289-3}\rightarrow n=\dfrac{-88+22\sqrt{3}}{286}\quad \underrightarrow{``22"\,\text{em evidência}}$

$n=\dfrac{\cancel{22}^{\,1}(-4+\sqrt{3})}{\cancel{286}^{\,13}}\rightarrow \boxed{n=\dfrac{-4+\sqrt{3}}{13}}$

0662¶

Resolva essas duas questões:

a) Encontre os valores de "$x$", "$y$" e "$w$":

$x=\sqrt{0,15\sqrt{230-\sqrt[3]{125}}}+\sqrt[3]{0,36.0,6}-1,222\ldots$

$y=\left( \sqrt{3}-1 \right) . \left( \sqrt{3}+1 \right)$

$w=\dfrac{-4}{\left( 1-\sqrt{5} \right)}$

b) Calcule a expressão:

$90x-36y+w-\sqrt{5}$

0662 - Soluções

a) $x=\sqrt{0,15\sqrt{230-\sqrt[3]{125}}}+\sqrt[3]{0,36.0,6}-1,222\ldots \rightarrow$

$x=\sqrt{0,15\sqrt{230-5}}+\sqrt[\not 3]{(0,6)^{\not 3}}-1\dfrac{2}{9}\rightarrow$

$x=\sqrt{0,15\sqrt{225}}+0,6-\dfrac{11}{9} \rightarrow x=\sqrt{0,15.15}+\dfrac{6}{10}-\dfrac{11}{9}\rightarrow$

$x=\sqrt{2,25}+\dfrac{3}{5}-\dfrac{11}{9}\rightarrow x=1,5+\dfrac{3}{5}-\dfrac{11}{9}\rightarrow$

$x=\dfrac{15}{10}+\dfrac{3}{5}-\dfrac{11}{9}\rightarrow x=\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{5}-\dfrac{11}{9}\rightarrow$

$x=\dfrac{45.3+18.3-10.11}{90}\rightarrow$

$x=\dfrac{135+54-110}{90}\rightarrow \boxed{x=\dfrac{79}{90}}$

$y=\left( \sqrt{3}-1 \right) . \left( \sqrt{3}+1 \right)\rightarrow y=3-1\rightarrow \boxed{y=2}$

$w=\dfrac{-4}{\left( 1-\sqrt{5} \right)}\,\,\text{ou}\,\,w=\dfrac{4}{\sqrt{5}-1}\quad \underrightarrow{\text {racionalizando...}}\quad w=\dfrac{4}{\sqrt{5}-1}.\dfrac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1}\rightarrow$

$w=\dfrac{4.(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1).(\sqrt{5}+1)}\rightarrow w=\dfrac{\not 4.(\sqrt{5}+1)}{\not 4}\rightarrow \boxed{w=\sqrt{5}+1}$

b) $90x-36y+w-\sqrt{5}\rightarrow \cancel{90}.\dfrac{79}{\cancel{90}}-36.2+\cancel{\sqrt{5}}+1-\cancel{\sqrt{5}}\rightarrow 79-72+1=\boxed{8}$

0661¶

Calcule os zeros da função $f(x)=2x^{2}-4x+5$

0661 - Solução

$2x^{2}-4x+5=0\,\,\underrightarrow{\text{Bhaskara}}\,\,x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^{2}-4\times\,2\times\,5}}{2\times\,2}\rightarrow$

$x =\dfrac{4\pm\sqrt{16-40}}{4}\rightarrow x=\dfrac{4\pm\sqrt{-24}}{4}\rightarrow x=\dfrac{4\pm 2i\sqrt{6}}{4}\rightarrow$

$\boxed{x_{1}=\dfrac{2-i\sqrt{6}}{2}}$ ou $\boxed{x_{2}=\dfrac{2+i\sqrt{6}}{2}}$

0660¶

Na parábola $y = 2x^{2} - (m-3)x + 5$, o vértice tem abscissa 1. A ordenada do vértice é:

0660 - Solução

Para uma equação genérica de parábola do tipo $y = ax^2{} + bx + c$, temos, para seu vértice($V$):

$V=\left(-\dfrac{b}{2a};\,\,-\dfrac{\Delta}{4a}\right),\,\text{onde}\,\,\,\Delta=b^{2}-4ac$

Assim, vamos à solução:

Para $y=2x^{2}-(m-3)x + 5$, teremos:

$a=2;\,\,b=-(m-3);\,\,c=5$

$\Delta=[-(m-3)]^{2}-4\times 2\times 5\rightarrow \Delta=m^{2}-6m-31$

$V=\left(-\dfrac{-(m-3)}{4};\,\,-\dfrac{m^{2}-6m-31}{8}\right)$

Se a abscissa do vértice$(x_{v})$ é 1:

$-\dfrac{-(m-3)}{4}=1\rightarrow m-3=4\rightarrow \boxed{m=7}$

Aplicando $m=7$ à ordenada do vértice$(y_{v})$, teremos:

$y_{v}=-\dfrac{m^{2}-6m-31}{8}\rightarrow -\dfrac{7^{2}-6.7-31}{8}\rightarrow -\dfrac{-24}{8}\rightarrow \boxed{y_{v}=3}$

Observação: A probabilidade de erro nessas questões é mínima, pois, com o valor de $m=7$, podemos aplicá-lo à equação inicial dada e, posteriormente, obter todos seus dados, comprovando as soluções alcançadas, assim:

Para $y=2x^{2}-4x+5$:

$a=2;\,\,b=-4;\,\,c=5$

$\Delta = (-4)^{2}-4\times 2\times 5\rightarrow 16-40\rightarrow \Delta = -24$

$V=\left( -\dfrac{-(m-3)}{4};\,\,-\dfrac{m^{2}-6m-31}{8} \right)\rightarrow V=(1;\,\,3)$

0659¶

Um terreno retangular tem $144m$ de perímetro. O comprimento do terreno tem o triplo de sua largura. Determine a área desse terreno.

0659 - Solução

Observemos a imagem a seguir e, posteriormente, a solução:

Como foi dado, o perímetro(p) é igual a $144m$ que, equacionado, será:

$p=2x+6x=144\rightarrow 8x=144\rightarrow \boxed{x= 18m}$

Portanto, o terreno mede $18m$ de largura por $54m$ de comprimento.

Assim, sua área(A), em $m^{2}$, será:

$A=18\times 54\rightarrow \boxed{A=972m^{2}}$

0658¶

Depois de perder um processo na justiça, o terreno retangular de uma empresa perdeu $\dfrac{2}{9}$ de sua largura e $\dfrac{1}{5}$ de seu comprimento, passando assim a ter $242,76m^{2}$ de área. Sabendo que, antes de perder o processo, o terreno tinha $25,5m$ de comprimento, é correto afirmar que sua largura, em metros, antes do processo, era de:

0658 - Solução

1º) Vamos chamar de "$x$" o que se pede, ou seja, a largura do terreno, em metros, antes do processo. Assim, a largura original "$x$" perdeu $\dfrac{2x}{9}$ e ficou a "nova" largura de $\dfrac{7x}{9}$;

2º)O comprimento tinha originalmente(conforme dado) $25,5m$ e perdeu $\dfrac{1}{5}$, ou seja, perdeu $5,1m$ e ficou com o "novo" comprimento de $20,4m$;

3º)A "nova" área, de $242,76m^{2}$, pode ser calculada pela fórmula da área de um retângulo, que é: o produto da "nova" largura, isto é, $\dfrac{7x}{9}m$, pelo "novo" comprimento, isto é, $20,4m$, ou seja,

$242,76=\dfrac{7x}{9}\times 20,4\rightarrow \dfrac{242,76}{20,4}=\dfrac{7x}{9}\quad \rightarrow \quad \dfrac{7x}{9}=11,9\rightarrow$

$7x=11,9\times 9\rightarrow 7x= 107,1\rightarrow x=\dfrac{107,1}{7}\quad \rightarrow \quad \boxed{x=15,3m}$

0657¶

Resolva, em $\mathbb{R}$, a equação abaixo:

$\left| \begin{array}{rrr} x & 3 & 1 \\ 1 & 5 & 2 \\ 0 & 2 & x \end{array} \right|=0$

0657 - Solução

Vamos utilizar o método de Sarrus a fim de calcular o determinante. Ao final, teremos a equação a ser resolvida, assim:

$\underbrace{x\times 5\times x}\,+\,\underbrace{1\times 2\times 1}\,+\,\underbrace{0\times 2\times 3}\,-\,\underbrace{1\times 5\times 0}\,-\,\underbrace{3\times 1\times x}\,-\,\underbrace{x\times 2\times 2}=0$

$5x^{2}+2-3x-4x=0\rightarrow 5x^{2}-7x+2=0\quad \underrightarrow{\text{Bhaskara}}$

$\displaystyle{x=\dfrac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^{2}-4\times\,5\times\,2}}{2\times\,5}}\rightarrow$

$\displaystyle{x =\dfrac{7\pm\sqrt{49-40}}{10}}\rightarrow\displaystyle{x=\dfrac{7\pm 3}{10}}\rightarrow$

$\boxed{x=\dfrac{2}{5}}$ ou $\boxed{x=1}$

0656¶

Em uma Companhia Aérea, a lista de preços é a seguinte:

Primeira Classe: $R\$~500,00$

Classe Turística: $R\$~180,00$

Em um voo viajaram 200 pessoas, e a companhia aérea faturou $R\$~45.600,00$. Quantos passageiros viajaram de primeira classe? E turística?

0656 - Soluções

Vamos adotar:

"P" para o número de passageiros que viajaram em primeira classe e

"T" para o número de passageiros que viajaram em classe turística.

Agora, podemos equacionar os dados da questão, assim:

$\left\{ \begin{array}{rcrcrr} P & + & T & = & 200 & (-180)\\ 500P & + & 180T & = & 45600 & \end{array} \right. \rightarrow$

$\left\{ \begin{array}{rcrcrr} -180P & - & \cancel{180T} & = & -36000 & \\ 500P & + & \cancel{180T} & = & 45600 & (+)\\ \hline 320P & & & = & 9600 & \end{array} \right.$

Resolvendo para "P": $320P=9600\rightarrow \boxed{P=30}$

Substituindo "$P=30$" na primeira equação:

$30 + T = 200\rightarrow \boxed{T = 170}$

Portanto, 30 passageiros viajaram de primeira classe e 170 viajaram na classe turística.

0655¶

Qual o maior número natural que divide $110$ e $108$ ao mesmo tempo.

0655 - Solução

Este exercício trata de encontrar o maior divisor comum (MDC) entre os números dados. O que se faz é decompor ambos os valores e, das decomposições, tomam-se os fatores comuns com menores expoentes, assim:

$110 = 2\times 5\times 11$

$108 = 2\times 2\times 3\times 3\times 3 = 2^{2}\times 3^{3}$

Portanto o MDC(110,108) é 2(dois).

0654¶

Qual é o número que devemos adicionar a:

a)$-10$ para obter $+4$

b)$-15$ para obter $-3$

c)$+7$ para obter $-8$

d)$-6$ para obter $-12$

0654 - Soluções

Vamos às resoluções:

a)$-10$ para obter $+4\rightarrow +(+14)$

b)$-15$ para obter $-3\rightarrow +(+12)$

c)$+7$ para obter $-8\rightarrow +(-15)$

d)$-6$ para obter $-12\rightarrow +(-6)$

0653¶

Calcule a seguinte expressão numérica: $[(-4)^{2}+(-1)^{5}+4\cdot(-10)]$

0653 - Solução

Vamos ao cálculo solicitado:

$\underbrace{[(-4)^{2}+(-1)^{5}+4\cdot(-10)]}:\underbrace{(-40+15)}+\underbrace{\sqrt{36}}-\underbrace{\sqrt{49}}=$

$\underbrace{(16 - 1 - 40) : -25} + 6 - 7 =$

$\underbrace{-25 : -25} + 6 - 7\rightarrow 1 + 6 - 7=0$(zero)

0652¶

Calcule, se possível, ou simplifique:

$\sqrt{240}$

$\sqrt{3000}$

$\sqrt{125}$

$\sqrt{81}$

$\sqrt{149}$

0652 - Soluções

Calculando e/ou simplificando:

$\sqrt{240} = \sqrt{2^{4}\times 3\times 5} = \boxed{4\sqrt{15}}$

$\sqrt{3000} = \sqrt{2^{2}\times 3\times 5^{2}} = \boxed{10\sqrt{3}}$

$\sqrt{125} = \sqrt{5^{3}} = \boxed{5\sqrt{5}}$

$\sqrt{81} = \sqrt{9^{2}} = \boxed{9}$

$\sqrt{149} = \sqrt{149}$, pois 149 é um número primo.

0651¶

Em um edifício, a conta de água é dividida proporcionalmente entre a quantidade de apartamentos, pois o prédio não possui registros individuais, respeitando a proporção por metro quadrado. Assim, um apartamento com o dobro do tamanho recebe o dobro do valor de conta. O edifício possui 20 apartamentos com 80 metros quadrados e 30 apartamentos com 40 metros quadrados. Sabendo-se que a conta de água gira em torno de $R\$~4.200,00$, quanto custa a conta de água para cada apartamento de 40 metros quadrados?

0651 - Solução

$C$= Custo da conta de água para cada apartamento de $40m^{2}$

$(30\times C)+(20\times 2C)=4200\rightarrow 30C+40C=4200\rightarrow$

$70C=4200\rightarrow C=\dfrac{4200}{70}\rightarrow \boxed{C = R\$\, 60,00}$