Página28¶

0700¶

A função inversa $f^{-1}(x)$ de uma função $f(x)$ do 1º grau passa pelos pontos $(2, 5)$ e $(3, 0)$. A raiz de $f(x)$ é:

0700 - Solução

Uma função inversa $f^{-1}(x)$ tem como domínio, todos os elementos da imagem de uma função $f(x)$ e, também, $f^{-1}(x)$ tem como imagem, todos os elementos do domínio de $f(x)$. Portanto, se o par de pontos $(2,\,5)$ e $(3,\,0)$ pertence à função inversa $f^{-1}(x)$, então o par de pontos $(5,\,2)$ e $(0,\,3)$ pertence à função $f(x)$. Assim, a partir da função genérica do 1º grau $f(x)=ax+b$ ou $y=ax+b$, com $a\in \mathbb{R}^{*}$ e $b\in \mathbb{R}$, poderemos encontrar os valores de "$a$" e "$b$", $f(x)$ e, consequentemente, sua raiz, assim:

Para $(5,\,2)\rightarrow 2=a.5+b\rightarrow 5a+b=2\,(I)$

Para $(0,\,3)\rightarrow 3=\cancel{a.0}+b\rightarrow\boxed{b=3}\,(II)$

Substituindo (II) em (I), teremos $5a+3=2\rightarrow \boxed{a=-\dfrac{1}{5}}$

Portanto $f(x)=-\dfrac{x}{5}+3$ e, para encontrar sua raiz, faremos $f(x)=0$, assim:

$-\dfrac{x}{5}+3=0\rightarrow -\dfrac{x}{5}=-3\,\,(-1)\rightarrow\dfrac{x}{5}=3\rightarrow\boxed{x=15}$

0699¶

Determine as raízes reais das seguintes funções:

a) $x^{2}+5x+6=0$

b) $x^{2}-7x+12=0$

Dados: $\boxed{x=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}}$ onde $\boxed{\Delta = b^{2}-4ac\quad}$

0699 - Soluções

Obtendo as raízes reais:

a) $x^{2}+5x+6=0\rightarrow$

$\Delta = 5^{2} - 4\times \, 1\times \, 6\rightarrow \boxed{\Delta=1}$

$\displaystyle{x = \dfrac{-5 \pm 1 }{2}}\rightarrow \boxed{x=-3}\quad \text{ou}\quad \boxed{x=-2}$

b) $x^{2}-7x+12=0\rightarrow$

$\Delta = (-7)^{2} - 4\times \, 1\times \, 12\rightarrow \boxed{\Delta=1}$

$\displaystyle{x = \dfrac{7 \pm 1 }{2}}\rightarrow \boxed{x=3}\quad \text{ou}\quad \boxed{x=4}$

0698¶

Encontre as equações gerais das retas que passam pelos pontos:

a) $A\left(-\dfrac{1}{2};\,1\right)$ e $B\left(-\dfrac{1}{3};\,\dfrac{1}{2}\right)$

b) $A\left(-3;\,-\dfrac{1}{2}\right)$ e $B\left(2;\,-3\right)$

c) $A\left(0;\,\dfrac{1}{5}\right)$ e $B\left(4;\,\dfrac{3}{5}\right)$

0698 - Soluções

A forma mais rápida de encontrar as equações de retas, dados dois pontos, é através da condição de alinhamento de pontos, ou seja, resolvendo o determinante que será construído, para cada item deste exercício:

a) $A\left(-\dfrac{1}{2};\,1\right)$ e $B\left(-\dfrac{1}{3};\,\dfrac{1}{2}\right)$

$r:\,\left| \begin{array}{lll} -\dfrac{1}{2} & 1 & 1 \\ & & \\ -\dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{2} & 1 \\ & & \\ x & y & 1 \\ \end{array}\right|=0$

Utilizando a regra de Sarrus:

$\underbrace{-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}\times 1}+\underbrace{-\dfrac{1}{3}\times y\times 1}+\underbrace{x\times 1\times 1}-\underbrace{1\times \dfrac{1}{2}\times x}-\underbrace{1\times-\dfrac{1}{3}\times 1}-\underbrace{\left(-\dfrac{1}{2}\right)\times y\times 1} =0$

$-\dfrac{1}{4}-\dfrac{y}{3}+x-\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{y}{2}=0\rightarrow \dfrac{-3-4y+12x-6x+4+6y}{\cancel{12}}=0\rightarrow$

A equação na forma geral é: $\boxed{r:\,\,6x+2y+1=0}$

b) $A\left(-3;\,-\dfrac{1}{2}\right)$ e $B\left(2;\,-3\right)$

$s:\,\left| \begin{array}{lll} -3 & -\dfrac{1}{2} & 1 \\ & & \\ 2 & -3 & 1 \\ & & \\ x & y & 1 \\ \end{array}\right|=0$

Utilizando a regra de Sarrus:

$\underbrace{-3\times -3\times 1}+\underbrace{2\times y\times 1}+\underbrace{x\times 1\times -\dfrac{1}{2}}-\underbrace{1\times -3\times x}-\underbrace{-\dfrac{1}{2}\times 2\times 1}-\underbrace{-3\times y\times 1} =0$

$9+2y-\dfrac{x}{2}+3x+1+3y=0\rightarrow \dfrac{18+4y-x+6x+2+6y=0}{\cancel{2}}=0\rightarrow$

A equação na forma geral é: $s:\,\,5x+10y+20=0\,(:5)\rightarrow \boxed{s:\,\,x+2y+4=0}$

c) $A\left( 0;\,\dfrac{1}{5}\right)$ e $B\left(4;\,\dfrac{3}{5}\right)$

$t:\,\left| \begin{array}{lll} 0 & \dfrac{1}{5} & 1 \\ & & \\ 4 & \dfrac{3}{5} & 1 \\ & & \\ x & y & 1 \\ \end{array}\right|=0$

Utilizando a regra de Sarrus:

$\underbrace{0\times\dfrac{3}{5}\times 1}+\underbrace{4\times y\times 1}+\underbrace{x\times 1\times\dfrac{1}{5}}-\underbrace{1\times\dfrac{3}{5}\times x}-\underbrace{\dfrac{1}{5}\times 4\times 1}-\underbrace{0\times y\times 1} =0$

$0+4y+\dfrac{x}{5}-\dfrac{3x}{5}-\dfrac{4}{5}-0=0\rightarrow \dfrac{20y+x-3x-4=0}{\cancel{5}}=0\rightarrow$

A equação na forma geral é: $t:\,\,-2x+20y-4=0\,[:(-2)]\rightarrow \boxed{t:\,\,x-10y+2=0}$

0697¶

Resolva os seguintes exercícios:

a) Encontre o vértice da parábola de cada função:

a1) $f(x) = 3x^{2} + 10x + 8$

a2) $y= -2x^{2} + 14x - 6$

b) Encontre as raízes de cada função quadrática:

b1) $f(x) = -2x^{2} + 9x +5$

b2) $y = 3x^{2} - 2x - 1$

0697 - Soluções

OBS: As coordenadas do vértice(V) são dadas por $V\left(-\dfrac{b}{2a};\,\,-\dfrac{\Delta}{4a}\right)$

a) Encontrando o vértice:

a1) $f(x)=3x^{2}+10x+8\to V\left(-\dfrac{5}{3};\,\,-\dfrac{1}{3}\right)$

a2) $y=-2x^{2}+14x-6\to V\left(\dfrac{7}{2};\,\,\dfrac{37}{2}\right)$

b)Encontrando as raízes:

b1)$f(x) = -2x^{2} + 9x +5=0$ (Bhaskara)

$\displaystyle{x=\dfrac{-9\pm\sqrt{9^{2}-4\times\,(-2)\times\,5 }}{2\times\,(-2)}}\rightarrow\displaystyle{x=\dfrac{-9\pm 11}{-4}}$

$\boxed{x=-\dfrac{1}{2}}$ ou $\boxed{x=5}$

b2) $y = 3x^{2} - 2x - 1=0$ (Bhaskara)

$\displaystyle{x=\dfrac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\times\,3\times\,(-1)}}{2\times\,3}}\rightarrow\displaystyle{x=\dfrac{2\pm 4}{6}}$

$\boxed{x=-\dfrac{1}{3}}$ ou $\boxed{x=1}$

0696¶

Dada as matrizes:

$A=\left[ \begin{array}{rr} 2 & 4 \\ 1 & 2 \\ 0 & -1 \\ \end{array}\right]\quad B=\left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 3 & 1 \\ \end{array}\right]\quad \text{e}\quad C=\left[ \begin{array}{r} 2 \\ -1 \\ \end{array}\right]\quad$

Determine, caso exista:

$\begin{array}{lll} a) A_{3\times 2}\times B_{2\times 2} & b)\,B_{2\times 2}\times A_{3\times 2} & c)\,A-C\\ & &\\ d)\,B^{t}_{2\times 2}\times C_{2\times 1} & e)\,(A\times B)^{t} & f)\,B^{t}_{2\times 2}\times A^{t}_{2\times 3} \end{array}$

0696 - Soluções

a)$\boxed{A_{3\times 2}\times B_{2\times 2}}$ sim, existe, pois o número de colunas de $A$ é igual ao número de de linhas de $B$, ou seja, duas; ainda, o resultado será uma nova matriz($C$) de tamanho $(3\times2)$, assim:

$C_{3\times 2}=\left[ \begin{array}{lll} 2\times 1\,+\,4\times 3 & & 2\times 0\,+\,4\times 1 \\ 1\times 1\,+\,2\times 3 & & 1\times 0\,+\,2\times 1 \\ 0\times 1\,+\,(-1)\times 3 & & 0\times 0\,+\,(-1)\times 1 \\ \end{array}\right]\rightarrow C=\left[ \begin{array}{rrr} 14 & & 4 \\ 7 & & 2 \\ -3 & & -1 \\ \end{array}\right]$

b)$\boxed{B_{2\times 2}\times A_{3\times 2}}$ não existe, pois o número de colunas de $B$(duas) é diferente do número de linhas de $A$(três).

c)$\boxed{A-C}$ não existe, pois para a operação de subtração, as matrizes devem ter exatamente o mesmo tamanho.

d)$\boxed{B^{t}_{2\times 2}\times C_{2\times 1}}$ sim, existe, pois o número de colunas de $B^{t}$ é igual ao número de linhas de $C$, ou seja, duas; ainda$\ldots$ o resultado será uma nova matriz($D$) de tamanho $(2\times 1)$, assim:

Obtida a matriz $B^{t}$, transposta de $B$, onde, as linhas de $B$, tornaram-se colunas de $B^{t}$ e as colunas de $B$, tornaram-se linhas de $B^{t}$, vamos ao produto:

$(B^{t}\times C) = D_{2\times 1} =\left[ \begin{array}{rrr} 1 & & 3 \\ 0 & & 1 \\ \end{array}\right]. \left[ \begin{array}{r} 2 \\ -1 \\ \end{array}\right] \rightarrow \left[ \begin{array}{r} 1\times 2\,+\,3\times (-1) \\ 0\times 2\,+\,1\times (-1) \\ \end{array}\right]\rightarrow D=\left[ \begin{array}{r} -1 \\ -1 \\ \end{array}\right]$

e)$\boxed{(A\times B)^{t}}$. Lembre-se que no item "$a$" fizemos $(A\times B)=C$. Assim, basta transpor a matriz $C$, dessa forma:

$(A\times B)^{t}=C^{t}=\left[ \begin{array}{rrr} 14 & 7 & -3 \\ 4 & 2 & -1 \\ \end{array}\right]$

f)$\boxed{B^{t}_{2\times 2}\times A^{t}_{2\times 3}}$ sim, existe, pois o número de colunas de $B^{t}$ é igual ao número de de linhas de $A^{t}$, ou seja, duas; ainda, o resultado será uma nova matriz($F$) de tamanho $(2\times3)$, assim:

$F_{2\times 3}=\left[ \begin{array}{rrr} 1\times 2\,+\,3\times 4 & 1\times 1\,+\,3\times 2 & 1\times 0\,+\,3\times (-1)\\ 0\times 2\,+\,1\times 4 & 0\times 1\,+\,1\times 2 & 0\times 0\,+\,1\times (-1)\\ \end{array}\right]$

$F=\left[ \begin{array}{rrr} 14 & 7 & -3 \\ 4 & 2 & -1 \\ \end{array}\right]$

OBS: Veja que $(A\times B)^{t}=B^{t}\times A^{t}$. Esta é, na verdade, uma das propriedades das operações entre matrizes.

0695¶

Resolva a seguinte equação quadrática literal, em função de "$x$", através da fórmula de Bhaskara: $x^{2} - 5abx -2a^{2}b^{2}=0$

0695 - Solução

$x=\dfrac{5ab\pm\sqrt{(-5ab)^{2}-4\times 1\times(-2a^{2}b^{2})}}{2\times 1}$

$x=\dfrac{5ab\pm\sqrt{25a^{2}b^{2}+8a^{2}b^{2}}}{2}\to x=\dfrac{5ab\pm ab\sqrt{33}}{2}$

$\boxed{x_{1}=\dfrac{ab\left(5-\sqrt{33}\right)}{2}}$

$\boxed{x_{2}=\dfrac{ab\left(5+\sqrt{33}\right)}{2}}$

0694¶

Em um trapézio isósceles de bases 4 e 9, as diagonais são bissetrizes dos menores ângulos. Determine o perímetro desse trapézio.

0694 - Solução

Primeiramente, vamos acompanhar a construção geométrica abaixo:

Veja que os lados iguais a 4(quatro) que foram incluídos na construção geométrica em cor vermelha, só puderam ser acrescidos porque foi dado que "as diagonais são bissetrizes dos menores ângulos" tornando congruentes os lados $BC=CD=DA=4$. Tendo todas as medidas, o perímetro(P) do trapézio será dado por:

$P=AB+BC+CD+DA\rightarrow P=9+4+4+4\,\,\therefore\,\,\boxed{P=21}$

0693¶

Dois números têm soma 0,9 e produto 0,2. Quais são eles?

0693 - Solução

Típica questão de sistema de equações, portanto, vamos à solução, adotando esses dois números como "$x$" e "$y$":

$\left\{ \begin{array}{lclcr} x & + & y & = & \dfrac{9}{10}\\ & & & & \\ x & \times & y & = & \dfrac{2}{10} \end{array} \right.$

Isolando "$y$" na segunda equação, ou seja, $\boxed{y=\dfrac{1}{5x}}$ e aplicando na primeira equação, teremos esta, como:

$x+\dfrac{1}{5x}=\dfrac{9}{10}$; e, desde que $x\neq 0$, podemos prosseguir

$\dfrac{10x^{2}+2=9x}{\cancel{10x}}\rightarrow \boxed{10x^{2} - 9x + 2 = 0}$

Utilizaremos a fórmula de Bhaskara, para "$a=10$"; "$b=-9$" e "$c=2$":

$\displaystyle{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{ b^{2}-4\times\,a\times\,c}}{2\times\,a}}\rightarrow\displaystyle{x=\dfrac{-(-9)\pm\sqrt{(-9)^{2}-4\times\,10\times\,2}}{2\times\,10}}\rightarrow$

$\displaystyle{x=\dfrac{9\pm 1}{20}}$, obtendo: $\boxed{x=\dfrac{2}{5}}\quad$ ou $\quad\boxed{x=\dfrac{1}{2}}$

Para cada valor "$x$", aplicado em $\boxed{y=\dfrac{1}{5x}}$, teremos o respectivo valor "$y$", formando os pares ordenados que serão as soluções finais, assim:

Para $\boxed{x=\dfrac{2}{5}}\rightarrow y=\dfrac{1}{\cancel{5}\times\frac{2}{\cancel{5}}}\rightarrow\boxed{y=\dfrac{1}{2}}$

Para $\boxed{x=\dfrac{1}{2}}\rightarrow y=\dfrac{1}{5\times\frac{1}{2}}\rightarrow\boxed{y=\dfrac{2}{5}}$

Portanto a solução(S) serão os pares ordenados:

$\boxed{S=\left\{\left(\dfrac{2}{5};\,\dfrac{1}{2} \right)\,\,\text{ou}\,\,\left(\dfrac{1}{2};\,\dfrac{2}{5}\right)\right\}}$

0692¶

Determine a soma das raízes das equações:

$(I):\quad 4(x-2) = 4 + 2(x-1)\quad$ e

$(II):\quad \dfrac{y}{3}- \dfrac{7}{3}=\dfrac{y-8}{2}$

0692 - Solução

$(I):\,4(x-2)=4+2(x-1)\rightarrow 4x-8=4+2x-2\rightarrow 2x=10\rightarrow\boxed{x=5}$

$(II):\,\dfrac{y}{3}-\dfrac{7}{3}=\dfrac{y-8}{2}\rightarrow\dfrac{2y-14=3y-24}{\cancel{6}}\rightarrow -y=-10\rightarrow\boxed{y=10}$

Portanto, para soma de (I)+(II), teremos o valor 15(quinze).

0691¶

Dos 6000 candidatos que realizaram os exercícios propostos em um concurso público, 2500 acertaram o primeiro e 3000 acertaram o segundo. Sabendo que o número de candidatos que acertou ambos os exercícios é igual à metade daqueles que erraram os dois, quantos acertaram apenas um dos dois exercícios?

0691 - Solução

Vamos analisar o diagrama a seguir, para depois, equacionarmos devidamente a questão e chegarmos à solução final:

O total de 6000 candidatos pode ser equacionado assim:

$\underbrace{2500 - x}_{\text{acertou a 1ª}}\,+\underbrace{x}_{\text{acertou ambas}}+\,\underbrace{3000 - x}_{\text{acertou a 2ª}}\,+\underbrace{2x}_{\text{errou ambas}}=\underbrace{6000}_{\text{total de candidatos}}$

$2500-\cancel{x}+x+3000-\cancel{x}+\cancel{2x}=6000\rightarrow x=6000-5500\rightarrow\boxed{x=500}$

Voltando ao diagrama e à questão, podemos separar aqueles que acertaram um dos dois exercícios, ou seja:

$\rightarrow$Apenas a 1ª questão: $2500-x\rightarrow 2500-500=\boxed{2000}$

$\rightarrow$Apenas a 2ª questão: $3000-x\rightarrow 3000-500=\boxed{2500}$

Um total de 4500 candidatos acertaram apenas um dos dois exercícios.

0690¶

Considerando que $10^{a}=5$ e $10^{b}=3$, calcule $\text{log}\,6$, em função de "$a$" e "$b$".

0690 - Solução

Impondo "log" (logaritmo na base decimal) às igualdades dadas, teremos:

$\boxed{10^{a}=5}\quad \underrightarrow{``\text{log}"}\quad \text{log}\,(10^{a})=\text{log}\,5\rightarrow$

$a\times \overbrace{\text{log}\,10}^\text{1}=\text{log}\,5\rightarrow a=\text{log}\,\overbrace{5}^{\frac{10}{2}}\rightarrow a=\text{log}\,\left(\dfrac{10}{2}\right)\rightarrow$

$a=\overbrace{\text{log}\,10}^{1}\,-\,\text{log}\,2\rightarrow\boxed{\text{log}\,2=1-a}(I)$

$\boxed{10^{b}=3}\quad \underrightarrow{``\text{log}"}\quad \text{log}\,(10^{b})=\text{log}\,3\rightarrow$

$b\times \overbrace{\text{log}\,10}^\text{1}=\text{log}\,3\rightarrow \boxed{\text{log}\,3 = b}(II)$

Veja que podemos (re)escrever o $\text{log}\,6$ de outra maneira, pelas propriedades logarítmicas, assim:

$\text{log}\,6=\text{log}\,(2\times 3)=\boxed{\text{log}\,2\,+\,\text{log}\,3}(III)$

Finalmente, aplicamos $(I)$ e $(II)$ em $(III)$, assim:

$\boxed{\text{log}\,6 = 1-a+b}$

0689¶

As funções abaixo são equivalentes à função real $f(x)=ax^{2}+bx+c$. Determine, em cada uma delas, os valores de $a$, $b$ e $c$:

a) $f(x)= 2x^{2}$

b) $f(x)=2(x-3)^{2}+5$

c) $f(x)=(x+2)(x-3)$

d) $f(x)=(4x+7)(3x-2)$

e) $f(x)=(2x+3)(5x-1)$

0689 - Soluções

Por serem semelhantes, as funções apresentadas não estão, digamos, visualmente iguais, ao modelo apresentado. Dessa forma, o que devemos fazer é efetuar as operações existentes, assim:

a) $f(x)= 2x^{2}\rightarrow \boxed{a=2;\,\,b=0;\,\,c=0}$

b) $f(x)=2(x-3)^{2}+5\rightarrow 2(x^{2}-6x+9)+5\rightarrow$

$\rightarrow f(x)=2x^{2}-12x+23\rightarrow \boxed{a=2;\,\,b=-12;\,\,c=23}$

c) $f(x)=(x+2)(x-3)\rightarrow x^{2}-3x+2x-6\rightarrow$

$\rightarrow f(x)=x^{2}-x-6\rightarrow \boxed{a=1;\,\,b=-1;\,\,c=-6}$

d) $f(x)=(4x+7)(3x-2)\rightarrow 12x^{2}-8x+21x-14\rightarrow$

$\rightarrow f(x)=12x^{2}+13x-14\rightarrow \boxed{a=12;\,\,b=13;\,\,c=-14}$

e) $f(x)=(2x+3)(5x-1)\rightarrow 10x^{2}-2x+15x-3\rightarrow$

$\rightarrow f(x)=10x^{2}+13x-3\rightarrow \boxed{a=10;\,\,b=13;\,\,c=-3}$

0688¶

Se $\pi < x < \dfrac{3\pi}{2}$ e cotg$(x)=\dfrac{60}{11}$, determine as demais razões trigonométricas do arco "$x$".

0688 - Soluções

O arco "$x$" está no $3^{o}$ quadrante e, portanto, devemos observar cuidadosamente os sinais das razões trigonométricas, assim:

$\boxed{\text{cotg}(x)=\dfrac{60}{11}}$

$\text{tg}(x)=\dfrac{1}{\text{cotg}(x)}\rightarrow\boxed{\text{tg}(x)=\dfrac{11}{60}}$

$\text{tg}(x)=\dfrac{\text{sen}(x)}{\text{cos}(x)}=\dfrac{11}{60}\rightarrow 11\text{cos}(x)=60\text{sen}(x)\rightarrow\text{cos}(x)=\dfrac{60\text{sen}(x)}{11}\rightarrow$

$\text{cos}^{2}(x)=\dfrac{36000.\text{sen}^{2}(x)}{121}$, que será aplicado na relação abaixo:

$\text{sen}^{2}(x)+\text{cos}^{2}(x)=1\rightarrow\text{sen}^{2}(x)+\frac{36000\cdot\text{sen}^{2}(x)}{121}=1\rightarrow\frac{121\cdot\text{sen}^{2}(x)+36000.\text{sen}^{2}(x)=121}{\cancel{121}}$

$121\cdot\text{sen}^{2}(x)+36000\cdot\text{sen}^{2}(x)=121\rightarrow\text{sen}^{2}(x)=\frac{121}{3721}\rightarrow\boxed{\text{sen}(x)=-\dfrac{11}{61}}$

Sendo $\text{cos}(x)=\dfrac{60\text{sen}(x)}{11}\rightarrow\dfrac{60.\left(-\frac{11}{61}\right)}{11}\rightarrow-\dfrac{60\times\cancel{11}}{61\times \cancel{11}}\rightarrow\boxed{\text{cos}(x)=-\dfrac{60}{61}}$

$\text{sec}(x)=\dfrac{1}{\text{cos}(x)}\rightarrow \dfrac{1}{-\frac{60}{61}}\rightarrow \boxed{\text{sec}(x)=-\dfrac{61}{60}}$

$\text{cossec}(x)=\dfrac{1}{\text{sen}(x)}\rightarrow \dfrac{1}{-\frac{11}{61}}\rightarrow \boxed{\text{cossec}(x)=-\dfrac{61}{11}}$

0687¶

Seja "$f$" uma função de domínio nos reais, definida por $f(x)=-2x+m$, em que "$m$" é um número fixo. Sabendo que $f(3)=8$, determine:

a) O valor de "$m$"

b) O valor de $f(-5)$

0687 - Soluções

a) O valor de "$m$":

$f(3)=-2.(3)+m=8\rightarrow -6+m=8\rightarrow \boxed{m=14}$

b) O valor de $f(-5)$:

$f(-5)$, para, agora, $f(x)=-2x+14$:

$f(-5)=-2.(-5)+14\rightarrow f(-5)=10+14\rightarrow\boxed{f(-5)=24}$

0686¶

Resolva a equação: $\displaystyle{\sqrt{4^{x-1}}\,\cdot\,\sqrt[x+1]{8^{2x+1}}=\sqrt{512}}$

0686 - Solução

$\displaystyle{2^{\frac{\cancel{2}(x-1)}{\cancel{2}}}\,\cdot\, 2^{\frac{3(2x+1)}{x+1}}=2^{\frac{9}{2}}\rightarrow 2^{\frac{(x-1)}{1}+\frac{3(2x+1)}{x+1}}=2^{\frac{9}{2}}\rightarrow}$

$\dfrac{x-1}{1}+\dfrac{3(2x+1)}{x+1}=\dfrac{9}{2}\rightarrow\text{MMC}[1;\,2;\,(x+1)]=2(x+1)$

Atenção: Para continuarmos, o denominador "$x+1$", deve ser diferente de zero,

portanto, $x+1\neq 0\rightarrow\boxed{x\neq-1}$

$\dfrac{2(x+1)(x-1)+2.3(2x+1)=9(x+1)}{\cancel{2(x+1)}}\rightarrow$

$2x^{2}-2+12x+6=9x+9\rightarrow\boxed{2x^{2}+3x-5=0}\quad\underrightarrow{\text{Bhaskara}}$

$\displaystyle{x=\dfrac{-3\pm\sqrt{3^{2}-4\times\,2\times\,(-5)}}{2\times\,2}\rightarrow x=\dfrac{3\pm 7}{4}}$

$x=\dfrac{3-7}{4}\rightarrow \cancel{x=-1}~~$Não serve!

$x=\dfrac{3+7}{4}\rightarrow\boxed{x=\dfrac{5}{2}}$

0685¶

Resolva as equações a seguir, colocando o fator comum em evidência:

$\begin{array}{lrclr} a) & 3x^{2}+15x=0 & & b) & -2x^{2}+3x=0 \\ c) & 20y+y^{2}=0 & & d) & m^{2}-3m=0 \\ e) & 5p^{2}+30p=0 & & f) & -y^{2}+3y=0 \\ g) & 4x^{2}-6x=0 & & h) & -3x^{2}-48x=0\\ i) & x^{2}-9x=0 & & j) & 13x^{2}-45x=0\\ \end{array}$

0685 - Soluções

$\rightarrow$a) $3x^{2}+15x=0\rightarrow 3x(x+5)=0\Rightarrow$

$3x=0\rightarrow\boxed{x=0}$ ou $x+5=0\rightarrow\boxed{x=-5}$

$\rightarrow$b) $-2x^{2}+3x=0\rightarrow -x(2x-3)=0\Rightarrow$

$-x=0\rightarrow\boxed{x=0}$ ou $2x-3=0\rightarrow\boxed{x =\dfrac{3}{2}}$

$\rightarrow$c) $20y+y^{2}=0\rightarrow y(y+20)=0\Rightarrow$

$\boxed{y=0}$ ou $y+20=0\rightarrow\boxed{y=-20}$

$\rightarrow$d) $m^{2}-3m=0\rightarrow m(m-3)=0\Rightarrow$

$\boxed{m=0}$ ou $m-3=0\rightarrow\boxed{m=3}$

$\rightarrow$e) $5p^{2}+30p=0\rightarrow 5p(p+6)=0\Rightarrow$

$5p=0\rightarrow\boxed{p=0}$ ou $p+6=0\rightarrow\boxed{p=-6}$

$\rightarrow$f) $-y^{2}+3y =0\rightarrow -y(y-3)=0\Rightarrow$

$-y=0\rightarrow\boxed{y=0}$ ou $y-3=0\rightarrow\boxed{y=3}$

$\rightarrow$g) $4x^{2}-6x=0\rightarrow 2x(2x-3)=0\Rightarrow$

$2x=0\rightarrow\boxed{x=0}$ ou $2x-3=0\rightarrow\boxed{x =\dfrac{3}{2}}$

$\rightarrow$h) $-3x^{2}-48x=0\rightarrow -3x(x + 16)=0\Rightarrow$

$-3x=0\rightarrow\boxed{x = 0}$ ou $x+16=0\rightarrow\boxed{x=-16}$

$\rightarrow$i) $x^{2}-9x=0\rightarrow x(x-9)=0\Rightarrow$

$\boxed{x=0}$ ou $x-9=0\rightarrow\boxed{x=9}$

$\rightarrow$j) $13x^{2}-45x=0\rightarrow x(13x-45)=0\Rightarrow$

$\boxed{x=0}$ ou $13x-45=0\rightarrow\boxed{x=\dfrac{45}{13}}$

0684¶

Determine os zeros reais das funções quadráticas:

$\begin{array}{lll} \text{a)}\,\,2x^2 - 3x + 1 = 0 & \text{b)}\,\,-x^2 + 4x = 0 & \text{c)}\,\,x^2 + 2x + 15 = 0 \end{array}$

0684 - Soluções

Para determinar os zeros (ou raízes) reais das funções quadráticas (ou do 2º grau) apresentadas nessa questão, primeiramente, tornamos "$y = 0$" e, após isso, utilizamos a fórmula de Bhaskara (abaixo), chegando às soluções finais:

$\boxed{x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4\times a\times c}}{2\times a}}$

$\rightarrow$ a) $2x^2 - 3x + 1 = 0$, onde $a = 2$, $b = -3$ e $c = 1$

$x=\dfrac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^{2}-4\times 2\times 1}}{2\times 2}$

$x=\dfrac{3\pm \sqrt{9-8}}{4}\rightarrow x=\dfrac{3\pm 1}{4}$

$x_{1}=\dfrac{3 - 1}{4}\rightarrow x_{1}=\dfrac{1}{2}$

$x_{2}=\dfrac{3 + 1}{4}\rightarrow x_{2}=1$

$\boxed{S=\left\{ \dfrac{1}{2};\,\,1 \right\}}$

$\rightarrow$ b) $-x^2 + 4x = 0$, onde $a = -1$, $b = 4$ e $c = 0$

$x=\dfrac{-4\pm \sqrt{4^{2}-4\times (-1)\times 0}}{2\times (-1)}$

$x=\dfrac{-4\pm \sqrt{16-0}}{-2}\rightarrow x=\dfrac{-4\pm 4}{-2}$

$x_{1}=\dfrac{-4 - 4}{-2}\rightarrow x_{1}=4$

$x_{2}=\dfrac{-4 + 4}{-2}\rightarrow x_{2}=0$

$\boxed{S=\left\{ 0;\,\,4 \right\}}$

$\rightarrow$ c) $x^2 + 2x + 15 = 0$, onde $a = 1$, $b = 2$ e $c = 15$

$x=\dfrac{-2\pm \sqrt{2^{2}-4\times 1\times 15}}{2\times 1}$

$x=\dfrac{-2\pm \sqrt{4-60}}{4}\rightarrow x=\dfrac{-2\pm \sqrt{-56}}{4}$

$\Delta < 0\rightarrow \nexists \,\,x\in \mathbb{R}$

$\boxed{S=\varnothing }$

0683¶

Determine o domínio de cada função:

a) $f(x) = x$

b) $f(x) = 3x-6$

0683 - Soluções

Para essa questão, vamos supor que o conjunto universo seja o conjunto dos números reais. Domínio(D) de uma função são valores de "$x$" que devem ser utilizados(ou não) e que fazem a função existir(ou não). Nos casos abaixo, não há qualquer restrição a esses valores e, portanto, todos os valores reais formam o domínio dessas funções:

a) $f(x) = x\,\,\rightarrow \,\, \boxed{D=\{ x\in \mathbb{R}\}}$

b) $f(x) = 3x-6\,\,\rightarrow \,\, \boxed{D=\{ x\in \mathbb{R} \}}$

0682¶

Mariana dividiu entre suas filhas $R\$~900,00$. Cada filha recebeu uma quantia diferente. Se Mariana(m) der a quarta parte que recebeu a Juliana(j) e Lúcia(l) também der a terça parte a Juliana, então as três passam a ter quantias iguais. Calcule a diferença(em reais) entre as quantias recebidas por Mariana e Lúcia.

0682 - Solução

Antes da divisão, somados os três valores, o total é 9000, ou seja, $m+j+l=900$. Após a divisão, como as quantias ficam iguais, cada uma terá $R\$~300,00$. Assim:

$m - \dfrac{m}{4} = l - \dfrac{l}{3} = j + \dfrac{m}{4} + \dfrac{l}{3} = 300$

Agora, podemos encontrar o que cada uma recebeu inicialmente, lembrando que eram valores diferentes:

$m - \dfrac{m}{4} = 300\,\,\rightarrow\,\,\dfrac{4m-m=1200}{4}\,\,\rightarrow\,\,3m=1200\rightarrow \boxed{m=400}$

$l - \dfrac{l}{3} = 300\,\,\rightarrow\,\,\dfrac{3l-l=900}{3}\,\,\rightarrow\,\,2l=900\rightarrow \boxed{l=450}$

$j + \dfrac{m}{4} + \dfrac{l}{3} = 300\,\,\rightarrow j+100+150=300\rightarrow \boxed{j=50}$

Portanto, a diferença(em reais) entre as quantias recebidas por Lúcia($450$) e Mariana($400$)

é de $\boxed{\text{R}\$ 50,00}$

0681¶

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes equações logarítmicas:

$\begin{array}{ll} a)\,\,(\text{log}_{2}\,x)^{2} - 15 = 2\,\text{log}_{2}\,x & b)\,\,2\,\text{log}^{2}\,x + \text{log}\,x - 1 = 0\\ c)\,\,ln^{3}\,x = 4\,.\,ln\,x & d)\,\,\text{log}_{2}(x-2) + \text{log}_{2}\,x = 3 \\ e)\,\,2\,\text{log}_{2}(x+3) = \text{log}_{2}\,(x^{2} + 45) & f)\,\,\text{log}\,(4x-1)-\text{log}\,(x+2)=\text{log}\,x \end{array}$

0681 - Soluções

Definição de logaritmo:

$\,\text{log}_{a}\,b=x\Longleftrightarrow a^{x}=b$, onde

"$a$" é chamado de base do logaritmo e sua condição de existência é:

$a\in \mathbb{R}_{+}^{*}\,\,\,\text{e}\,\,\, a\neq 1$, isto é, $0 < a\neq 1$; e

"$b$" é chamado de logaritmando e sua condição de existência é:

$b\in \mathbb{R}_{+}^{*}\,\,\,\text{isto é,}\,\,\,b>0$.

Visto isso, vamos às resoluções:

$\rightarrow$ a) $(\text{log}_{2}\,x)^{2}-15=2\,\text{log}_{2}\,x$:

Utilizando incógnitas auxiliares, adotemos $k=\text{log}_{2}\,x\,$ e $\,k^{2}=(\text{log}_{2}\,x)^{2}$:

$k^{2}-15=2k\rightarrow\quad k^{2}-2k-15=0\Longrightarrow k=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\times 1\times(-15)}}{2\times 1}\rightarrow$

$k=\dfrac{2\pm 8}{2}\rightarrow \boxed{k=-3}\,\,\text{ou}\,\,\boxed{k=5}$

Se $k=-3\rightarrow\quad\text{log}_{2}\,x=-3\rightarrow\quad 2^{-3}=x\rightarrow\quad\boxed{x=\dfrac{1}{8}}$

Se $k=5\rightarrow\quad\text{log}_{2}\,x=5\rightarrow\quad 2^{5}=x\rightarrow\quad\boxed{x=32}$

Como ambos os valores satisfazem a condição de existência $\boxed{x>0}$

a solução final será: $\boxed{S=\left\{\dfrac{1}{8};\,\,32\right\}}$

$\rightarrow$ b) $2\,\text{log}^{2}\,x+\text{log}\,x-1=0$:

Utilizando incógnitas auxiliares, adotemos $k=\text{log}\,x\,$ e $\,k^{2}=\text{log}^{2}\,x$:

$2k^{2}+k-1=0\Longrightarrow k=\dfrac{-(1)\pm\sqrt{(1)^2-4\times 2\times(-1)}}{2\times 1}\rightarrow$

$k=\dfrac{-1\pm 3}{2}\rightarrow\boxed{k=-2}\,\,\text{ou}\,\,\boxed{k=1}$

Se $k=-2\rightarrow\quad\text{log}_{2}\,x=-2\rightarrow\quad 2^{-2}=x\rightarrow\quad\boxed{x=\dfrac{1}{4}}$

Se $k=1\rightarrow\quad\text{log}_{2}\,x=1\rightarrow\quad 2^{1}=x\rightarrow\quad\boxed{x=2}$

Como ambos os valores satisfazem a condição de existência $\boxed{x>0}$

a solução final será: $\boxed{S=\left\{\dfrac{1}{4};\,\,2\right\}}$

$\rightarrow$ c) $ln^{3}\,x=4\,\cdot\,ln\,x$:

Utilizando incógnitas auxiliares, adotemos $k=ln\,x\,$ e $\,k^{3}=ln^{3}\,x$:

$k^{3} = 4\,\cdot\,k\rightarrow k^{3}-4\,\cdot\,k=0\rightarrow k(k^{2}-4)=0\rightarrow$

$\boxed{k=0}\,\,\text{ou}\,\,k^{2}-4=0\rightarrow\boxed{k=-2}\,\,\text{ou}\,\,\boxed{k=2}$

Se $k=-2\rightarrow ln\,x=-2\rightarrow\quad\boxed{x=e^{-2}}$

Se $k=0\rightarrow ln\,x=0\rightarrow\quad\boxed{x=1}$

Se $k=2\rightarrow ln\,x=2\rightarrow\quad\boxed{x=e^{2}}$

Como todos os valores satisfazem a condição de existência $\boxed{x>0}$

a solução final será: $\boxed{S=\left\{e^{-2};\,\,1;\,\,e^{2}\right\}}$

$\rightarrow$ d) $\text{log}_{2}(x-2)+\text{log}_{2}\,x=3$:

Condição de existência $x>0\,$ e $\,x-2>0\quad\therefore\quad\boxed{x>2}$

Utilizando as propriedades dos logaritmos:

$\text{log}_{2}\,x(x-2)=3\rightarrow x^{2}-2x-8=0\rightarrow\ldots\xcancel{\boxed{x=-4}}\,\,\text{ou}\,\,\xcancel{\boxed{x=2}}$

Como nenhum dos valores satisfaz a condição de existência $\boxed{x>2}$

a solução final será: $\boxed{S=\varnothing}$

$\rightarrow$ e) $2\,\text{log}_{2}(x+3)=\text{log}_{2}\,(x^{2}+45)$:

Condição de existência: $x^{2}+45>0\rightarrow\forall\,x\in\,\mathbb{R}\,$ e $\,x+3>0\quad\therefore\quad\boxed{x>-3}$

$2\,\text{log}_{2}(x+3)=\text{log}_{2}\,(x^{2}+45)$ ou $\text{log}_{2}(x+3)^{2}-\text{log}_{2}\,(x^{2}+45)=0$

Utilizando as propriedades dos logaritmos:

$\text{log}_{2}\,\left[\dfrac{(x+3)^{2}}{x^{2}+45}\right]=0\rightarrow\dfrac{(x+3)^{2}}{x^{2} + 45}=1$.

Ora, para que a fração seja igual a $1$, basta que ocorra a igualdade

$(x+3)^{2}=x^{2}+45\rightarrow\cancel{x^{2}}+6x+9=\cancel{x^{2}}+45\rightarrow 6x=36\rightarrow\boxed{x=6}$

Como o valor satisfaz a condição de existência $\boxed{x>-3}$

a solução final será: $\boxed{S=\{6\}}$

$\rightarrow$ f) $\text{log}\,(4x-1)-\text{log}\,(x+2)=\text{log}\,x$:

Condição de existência:

$x>0$; $x+2>0\rightarrow x>-2$ e $4x-1>0\rightarrow x>\dfrac{1}{4}\quad\therefore\quad\boxed{x>\dfrac{1}{4}}$

Utilizando as propriedades dos logaritmos:

$\text{log}\,\left(\dfrac{4x-1}{x+2}\right)=\text{log}\,x\rightarrow\dfrac{4x-1}{x+2}=x\rightarrow$

$x(x+2)=4x-1\rightarrow x^{2}+2x-4x+1=0\rightarrow$

$x^{2}-2x+1=0\rightarrow(x-1)^{2}=0\rightarrow\boxed{x=1}$

Como o valor satisfaz a condição de existência $\boxed{x>\dfrac{1}{4}}$

a solução final será: $\boxed{S=\{1\}}$

0680¶

Dadas as matrizes:

$A=[a_{ij}]_{3\times 2}\,$ com $\,a_{ij}=2i-j$

$B=[b_{ij}]_{2\times 3}\,$ com $\,b_{ij}=2j-i$

$C=A\times B$

Calcule o determinante da matriz $C$.

0680 - Solução

Construindo as matrizes $A$ e $B$:

$A_{3\times 2}=\left[\begin{array}{rcr} a_{11} & & a_{12} \\ a_{21} & & a_{22} \\ a_{31} & & a_{32} \end{array}\right]\quad \therefore \quad A=\left[\begin{array}{rcr} 1 & & 0 \\ 3 & & 2 \\ 5 & & 4 \end{array}\right]$

$B_{2\times 3}=\left[\begin{array}{rcrcr} b_{11} & & b_{12} & & b_{13} \\ b_{21} & & b_{22} & & b_{23} \end{array}\right]\quad \therefore \quad B=\left[\begin{array}{rcrrc} 1 & & 3 & & 5 \\ 0 & & 2 & & 4 \end{array}\right]$

$C=A_{3\times 2}\,\,\times \,\,B_{2\times 3}$. Devemos observar que o produto dessas matrizes é possível pois o número de colunas de $A$ é igual ao número de linhas de $B$. Além disso, a matriz $C$ será quadrada de ordem $3\times 3$ que corresponde, respectivamente, ao número de linhas de $A$ e ao número de colunas de $B$, portanto $C_{3\times 3}$.

$C_{3\times 3}=\left[\begin{array}{rcrcr} c_{11} & & c_{12} & & c_{13} \\ c_{21} & & c_{22} & & c_{23} \\ c_{31} & & c_{32} & & c_{33} \end{array}\right]\quad \rightarrow \quad \left[\begin{array}{rcrcr} 1.1+0.0 & & 1.3+0.2 & & 1.5+0.4 \\ 3.1+2.0 & & 3.3+2.2 & & 3.5+2.4 \\ 5.1+4.0 & & 5.3+4.2 & & 5.5+4.4 \end{array}\right]\quad\therefore\quad$

$C_{3\times 3}=\left[\begin{array}{rcrcr} 1 & & 3 & & 5 \\ 3 & & 13 & & 23 \\ 5 & & 23 & & 41 \end{array}\right]$

Det $C=\left|\begin{array}{rcrcr} 1 & & 3 & & 5 \\ 3 & & 13 & & 23 \\ 5 & & 23 & & 41 \end{array}\right|= \underbrace{(1.13.41+3.23.5+5.23.3)}_{1223}-\underbrace{(5.13.5+3.3.41+1.23.23)}_{1223}\quad\therefore$

$\boxed{\text{Det}\,\,C = 0}$

0679¶

Resolva, pelo método de Cramer, o seguinte sistema linear:

$\left\{\begin{array}{rcrcr} 5x & - & 4y & = & 6 \\ -x & + & y & = & -1 \end{array} \right.$

0679 - Solução

Do sistema linear acima, podemos retirar os seguintes determinantes:

$D=\left|\begin{array}{rr} 5 & -4 \\ -1 & 1 \end{array}\right|=1\qquad$

$D_{x}=\left|\begin{array}{rr} 6 & -4 \\ -1 & 1 \end{array}\right| = 2\quad$ e $\quad D_{y}=\left|\begin{array}{rr} 5 & 6 \\ -1 & -1 \end{array}\right| = 1$

Por Cramer,

$x=\dfrac{D_{x}}{D}\rightarrow\boxed{x=2}\quad y=\dfrac{D_{y}}{D}\rightarrow\boxed{y=1}\quad\therefore\quad\boxed{S=\{(2;\,1)\}}$

0678¶

Resolva, em $\mathbb{R}$, a equação: $2^{x+4}-2^{x+2} + 2^{x-1}= 25$

0678 - Solução

$2^{x+4}-2^{x+2}+2^{x-1}=25\rightarrow 2^4\cdot 2^x-2^2\cdot 2^x + 2^{-1}\cdot 2^x=25\rightarrow$

$16\cdot 2^x-4\cdot 2^x-\frac{1}{2}\cdot 2^x=25\rightarrow 2^x(16-4+\frac{1}{2})=25\rightarrow$

$2^x\cdot\frac{25}{2}=25\rightarrow 2^x=\dfrac{25}{\frac{25}{2}}\rightarrow 2^x=2\rightarrow\boxed{x=1}$

0677¶

Numa indústria, 1200 operários trabalham de manhã, 1300 trabalham à tarde, 800 trabalham à noite, 600 trabalham de manhã e tarde, 500 trabalham de manhã e à noite, 400 trabalham à tarde e à noite e 200 trabalham nos três períodos. Calcule, justificando sua resposta, o numero de operários que trabalham apenas de manhã.

0677 - Solução

Depois de utilizados os diagramas de Venn, a solução é meramente visual e direta: 300 operários trabalham apenas de manhã; acompanhe:

0676¶

Determine os vértices de um triângulo, cujos lados são dados pelas seguintes retas suporte:

$\overleftrightarrow{AB}:\,3x-4y-1=0$

$\overleftrightarrow{BC}:\,x+y-5=0$

$\overleftrightarrow{AC}:\,4x-3y+1=0$

0676 - Solução

Os vértices do referido triângulo serão obtidos através da intersecção das três retas, tomadas duas a duas, ou seja, vamos resolver os três sistemas lineares originados da intersecção de:

OBS: Os três sistemas serão resolvidos através de escalonamentos

$\boxed{\overleftrightarrow{BC}\cap\overleftrightarrow{AB}}$

$\left\{ \begin{array}{rcrcrr} x & + & y & = & 5 & (4L_{1}+L_{2})\\ 3x & - & 4y & = & 1 & \end{array} \right.\rightarrow \left\{ \begin{array}{rcrcrr} x & + & y & = & 5 & \\ 7x & & & = & 21 & \rightarrow \boxed{x=3} \end{array} \right.$

Substituindo $x=3$ na primeira equação: $3+y=5\rightarrow\boxed{y=2}$

$\to$ Portanto, o 1º vértice será o par ordenado: $(3;\,2)$

$\boxed{\overleftrightarrow{BC}\cap\overleftrightarrow{AC}}$

$\left\{ \begin{array}{rcrcrr} x & + & y & = & 5 & (3L_{1}+L_{2})\\ 4x & - & 3y & = & -1 & \end{array} \right.\rightarrow \left\{ \begin{array}{rcrcrr} x & + & y & = & 5 & \\ 7x & & & = & 14 & \rightarrow \boxed{x=2} \end{array} \right.$

Substituindo $x=2$ na primeira equação: $2+y=5\rightarrow\boxed{y=3}$

$\to$ Portanto, o 2º vértice será o par ordenado: $(2;\,3)$

$\boxed{\overleftrightarrow{AB}\cap\overleftrightarrow{AC}}$

$\left\{ \begin{array}{rcrcrr} 3x & - & 4y & = & 1 & \left(-\dfrac{3}{4}L_{1}+L_{2}\right)\\ 4x & - & 3y & = & -1 & \end{array} \right.\rightarrow \left\{ \begin{array}{rcrcrr} 3x & - & 4y & = & 1 & \\ \dfrac{7}{4}x & & & = & -\dfrac{7}{4} & \rightarrow \boxed{x=-1} \end{array} \right.$

Substituindo $x=-1$ na primeira equação: $-3-4y=1\rightarrow\boxed{y=-1}$

$\to$ Portanto, o 3º vértice será o par ordenado: $(-1;\,-1)$