Página29¶
0725¶
Escreva a lei de recorrência para a seguinte sequência:
\(\left(\dfrac{1}{3},\,\,\dfrac{1}{9},\,\,\dfrac{1}{27},\,\,\dfrac{1}{81},\,\,\dfrac{1}{243}\,\,\right)\)
0725 - Solução
\(\left\{ \begin{array}{lcl} a_{1} & = & \dfrac{1}{3}\\ & &\\ a_{n} & = & \left( \dfrac{1}{3} \right)^n;\quad 2\leq n\leq 5\\ \end{array} \right.\)
0724¶
Interpolar 6(seis) meios aritméticos entre 10 e 45 nessa ordem.
0724 - Solução
Interpolar meios aritméticos é um termo que se refere diretamente às progressões aritméticas, portanto, se devemos interpolar seis meios, nossa PA terá, exatos, 8(oito) termos, pois 10 será \(a_{1}\) e 45 será \(a_{8}\), assim:
\((10;\underbrace{a_{2};\,a_{3};\,a_{4};\,a_{5};\,a_{6};\,a_{7};\,}_{6\,\,termos}45)\to a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r\to 45=10+(8-1)\cdot r\to\ldots\to r=5\)
Portanto, a PA é: \(\boxed{(10;\underbrace{15;\,20;\,25;\,30;\,35;\,40;}_{6\,\,termos}45)}\)
0723¶
Quantos múltiplos de 7(sete) existem entre 100(cem) e 2000(dois mil) ?
0723 - Solução
Resolvendo: \(a_{1}=105\), \(a_{n}=1995\) e a razão \(r=7\).
Aplicando na fórmula do termo geral: \(1995=105+(n-1)\cdot 7\to 1890=7n-7\to \boxed{271\,\text{múltiplos}}\)
0722¶
Quantos termos há na PA \((-7;\,-3;\,1;\ldots)\) sabendo que a soma(\(S_{n}\)) dos seus termos vale \(2.840\)?
0722 - Solução
\(a_{n}=-7+(n-1)\cdot 4\to a_{n}=-7+4n-4\to \boxed{a_{n}=4n-11}\) que aplicado à fórmula da soma:
\(2840=\dfrac{(-7+\cancel{a_{n}}^{\,4n-11})\cdot n}{2}\to 4n^2-18n-5680=0\,(:2)\to 2n^2-9n-2840=0\to \cancel{n=-35,5}\) ou \(\boxed{n=40}\)
0721¶
Resolva a equação: \((x-1)+(2x-3)+(3x-5)+\ldots+(50x-99)=25\)
0721 - Solução
Resolvendo através da fórmula da soma dos primeiros termos de uma PA:
\(25=\dfrac{(x-1)+(50x-99)\cdot 50}{2}\to x-1+50x-99=1\to 51x=101\to \boxed{x=\dfrac{101}{51}}\)
0720¶
Dada a função constante \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=2\). Faça um estudo completo dessa função.
0720 - Solução
Resolvendo através do seu gráfico:
- Trata-se de uma função constante, com domínio e contra-domínio reais, sem restrições;
- O conjunto imagem é formado por um único valor, \(2\), definido pelo ponto \((0;\,2)\);
- Para quaisquer valores reais de \(x\) a função será constantemente igual a \(2\).
0719¶
Dada a função polinomial de 1º grau \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), definida por \(g(x)=x\). Faça um estudo completo dessa função.
0719 - Solução
Resolvendo através do seu gráfico:
- Trata-se de uma função do 1º grau, especificamente, a função identidade, pois todos os valores de domínio serão também todos os valores de imagem, onde \(y=x\);
- O gráfico é uma reta oblíqua, bissetriz dos quadrantes ímpares, com ângulo de inclinação igual a \(45^{o}\) e cuja tangente vale 1(um);
- A função corta o eixo das abscissas exatamente no mesmo ponto onde corta o eixo das ordenadas e, ainda, coincidindo com o ponto de zero da função;
- A raiz, ou zero da função, ou o valor de \(x\) para \(y=0\), será \(x=0\) e, portanto:
- \(g(x)>0\), para \(x>0\);
- \(g(x)=0\), para \(x=0\);
- \(g(x)<0\), para \(x<0\).
0718¶
Dada a função polinomial de 1º grau \(h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), definida por \(h(x)=-x\). Faça um estudo completo dessa função.
0718 - Solução
Resolvendo através do seu gráfico:
- Trata-se de uma função do 1º grau, do tipo linear, onde todos os valores de domínio terão todos os valores de imagem simétricos(ou opostos), pois \(y=-x\);
- O gráfico é uma reta oblíqua, bissetriz dos quadrantes pares, com ângulo de inclinação igual a \(135^{o}\) e cuja tangente vale -1(um negativo);
- A função corta o eixo das abscissas exatamente no mesmo ponto onde corta o eixo das ordenadas e, ainda, coincidindo com o ponto de zero da função;
- A raiz, ou zero da função, ou o valor de \(x\) para \(y=0\), será \(x=0\) e, portanto:
- \(h(x)>0\), para \(x<0\);
- \(h(x)=0\), para \(x=0\);
- \(h(x)<0\), para \(x>0\).
0717¶
Dada a função polinomial de 1º grau \(i:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), definida por \(i(x)=2x-4\). Faça um estudo completo dessa função.
0717 - Solução
Resolvendo através do seu gráfico:
- Trata-se de uma função do 1º grau, do tipo afim, ou seja, \(y=ax+b\), com \(a\in\mathbb{R}^{*}\) e com \(b\in\mathbb{R}^{*}\);
- O gráfico é uma reta oblíqua, cuja tangente do ângulo de inclinação vale 2(dois);
- A função corta o eixo das abscissas no ponto \((2;\,0)\) e corta o eixo das ordenadas no ponto \((0;\,-4)\);
- A raiz, ou zero da função, ou o valor de \(x\) para \(y=0\), será obtido da solução da equação \(2x-4=0\to x=2\), e, portanto, podemos classificar a função:
- \(i(x)>0\), para \(x>2\);
- \(i(x)=0\), para \(x=2\);
- \(i(x)<0\), para \(x<2\).
0716¶
Dada a função polinomial de 1º grau \(j:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), definida por \(j(x)=-2x-4\). Faça um estudo completo dessa função.
0716 - Solução
Resolvendo através do seu gráfico:
- Trata-se de uma função do 1º grau, do tipo afim, ou seja, \(y=ax+b\), com \(a\in\mathbb{R}^{*}\) e com \(b\in\mathbb{R}^{*}\);
- O gráfico é uma reta oblíqua, cuja tangente do ângulo de inclinação vale -2(dois negativo);
- A função corta o eixo das abscissas no ponto \((-2;\,0)\) e corta o eixo das ordenadas no ponto \((0;\,-4)\);
- A raiz, ou zero da função, ou o valor de \(x\) para \(y=0\), será obtido da solução da equação \(-2x-4=0\to x=-2\), e, portanto, podemos classificar a função:
- \(j(x)>0\), para \(x<-2\);
- \(j(x)=0\), para \(x=-2\);
- \(j(x)<0\), para \(x>-2\).
0715¶
Em um grande hospital, há 500 leitos e todos estão ocupados. Uma das alas desse hospital e destinada a pessoas com HIV positivo. 40% dos internados são mulheres e sabe-se que, entre elas, 10% são HIV positivo. Entre os homens internados nesse hospital, 15% são HIV positivo. Escolhido um paciente ao acaso, qual a probabilidade dele ser HIV positivo?
0715 - Solução
De acordo com o texto, 40% dos 500 internados são mulheres, então teremos 200 mulheres, das quais 10% são soropositivas, isto é 20 mulheres. Os outros 60% dos leitos são ocupados por homens, então teremos 300 homens, dos quais 15% são soropositivos, isto é 45 homens. Daí, podemos deduzir que 65 pacientes(20mulheres + 45homens) são soropositivos. Escolhido um paciente ao acaso, a probabilidade dele ser HIV positivo é:
\(\dfrac{65}{500}\,:\,\dfrac{5}{5}=\dfrac{13}{100}\) ou \(13\%\)
0714¶
Um funil de vidro, em formato de tronco de cone e cilindro, de espessura desprezível, é utilizado para envasar frascos de remédios. Suas dimensões são indicadas na figura abaixo. Cada frasco a ser envasado possui a mesma capacidade deste funil. Sabe-se que 5L de xarope caseiro serão envasados. Determine o número mínimo de frascos necessários para o envase. (Use \(\pi\cong 3,14\))
0714 - Solução
O volume total(\(V_{t}\)), que será a soma dos volumes do cone(\(V_{co}\)) e do cilindro(\(V_{ci}\)), e que será obtido em centímetros cúbicos (\(cm^3\)), indicará o volume de cada frasco. Lembrando que cada litro(L) corresponde a 1.000\(cm^3\), teremos em 5L de xarope caseiro, exatos 5000\(cm^3\). Ao final, basta-nos dividir os 5.000\(cm^3\) de xarope caseiro, pelo volume de cada frasco(\(V_{t}\)), e teremos o número de frascos pedidos. Assim:
- Volume do Cone(\(V_{co}\)):
Raio(\(r\)): \(r=6cm\)
Altura(\(h\)): \(h=12cm\)
Área da Base Circular(\(A_{b}\)): \(A_{b}=\pi\times r^2\)
\(V_{co}=\dfrac{1}{3}\times A_{b}\times h\to V_{co}=\dfrac{1}{3}\times \pi\times r^2\times h\to\)
\(V_{co}=\dfrac{1}{\cancel{3}}\times 3,14\times \cancel{36}^{\,12}\times 12\to \boxed{V_{co}\cong 452,16cm^3}\)
- Volume do Cilindro(\(V_{ci}\))
Raio(\(r\)): \(r=1cm\)
Altura(\(h\)): \(h=10cm\)
Área da Base Circular(\(A_{b}\)): \(A_{b}=\pi\times r^2\)
\(V_{ci}=A_{b}\times h\to V_{ci}=\pi\times r^2\times h\to\)
\(V_{ci}=3,14\times 1\times 10\to \boxed{V_{ci}\cong 31,4cm^3}\)
- Volume Total(\(V_{T}\))
\(V_{T}=V_{co}+V_{ci}\to V_{T}=(452,16+31,4)cm^3\to \boxed{V_{T}\cong 483,56cm^3}\)
O número de frascos(\(n\)) será dado pela divisão:
\(n\cong\dfrac{5.000}{483,56}\to\boxed{n\cong 10,33997849284473488295}\)
Serão necessários, no mínimo, 11(onze) frascos
0713¶
O número de bactérias de uma determinada cultura pode ser modelado utilizando a função \(B(t)=800.2^{\left(\frac{t}{40}\right)}\), sendo \(B\) o número de bactérias presentes na cultura e \(t\) o tempo dado em horas a partir do início da observação. Aproximadamente, quantas horas serão necessárias para se observar 5.000 bactérias nessa cultura? (Use \(\log\,2=0,30\))
0713 - Solução
Aplicação direta da fórmula dada, onde \(B(t)=5000\) e \(t\) será o valor encontrado, em horas. Para facilitar os cálculos, utilizei \(6,25=\frac{100}{16}\):
\(5000=800\times 2^{\left(\frac{t}{40}\right)}\to 6,25=\left(\frac{t}{40}\right)\to\dfrac{100}{16}=\left(\frac{t}{40} \right)\)
Aplicando o logaritmo decimal(\(\log\)) a ambos os lados da equação, teremos:
\(\log\,\left(\dfrac{100}{16}\right)=\log\,\left(\frac{t}{40}\right)\to\log\,100-\log\,16=\dfrac{t}{40}\times\log\,2\)
\(2-1,2=\dfrac{0,3t}{40}\to 0,3t=32\to \boxed{t\cong 106,67h}\)(\(^*\))
(\(^*\))Considerando \(0,67h\cong 40,2min\): \(\boxed{t\cong106h\,\,\text{e}\,\,40min}\)
0712¶
Pensando em montar seu próprio consultório, Natália começou a economizar desde que entrou no curso de Medicina. Ao passar no vestibular, ela ganhou R$ 5.000,00 de seus pais e os aplicou a uma taxa de 0,5% ao mês a juros compostos. Além disso, mensalmente, ela depositou R$ 100,00 à mesma taxa de juros compostos. Hoje, passados 5 anos, ou seja, 60 meses, qual o montante do rendimento dos R$ 5.000,00 e qual o valor economizado por Natália com suas aplicações mensais? (Use \(1,005^{60}=1,35\))
0712 - Solução
Dois cálculos serão realizados, assim:
1º) O montante(\(M\)) gerado pelos R$ 5.000,00, que é o capital inicial(\(C=5000\)) ao longo de 60 meses, que é o tempo(\(t=60\)) a uma taxa de 0,5% ao mês, que é a taxa(\(i=0,005\)). Os dados serão aplicados à fórmula do cálculo do montante a juros compostos:
\(\boxed{M=C\cdot(1+i)^t}\)
\(M=5000\cdot(1+0,005)^{60}\to M=5000\cdot 1,35\to\boxed{M\,=\,R\$\,6.750,00}\)
2º) O montante(\(M\)) gerado por R$ 100,00, que é o capital inicial(\(C=5000\)) ao longo de 60 meses, que é o tempo(\(t=60\)) a uma taxa de 0,5% ao mês, que é a taxa(\(i=0,005\)). Os dados serão aplicados à fórmula do cálculo do montante a juros compostos, com acréscimos periódicos:
\(\boxed{M=C\cdot\dfrac{(1+i)^t-1}{i}}\)
\(M=100\cdot\dfrac{(1+0,005)^{60}-1}{0,005}\to M=100\cdot \dfrac{1,35-1}{0,005}\to\boxed{M\,=\,R\$\,7.000,00}\)
0711¶
Uma amostra inicial de 210 elementos de certa espécie de insetos foi testada em laboratório sob a ação de certa droga. Nesse teste, constatou-se que o número \(N\) de elementos vivos dessa amostra \(t\) horas após o início do teste obedecia à relação \(N(t)=at^2+bt+c\), na qual "\(a\)", "\(b\)" e "\(c\)" são parâmetros que dependem da droga ministrada. Sabendo que, \(3h\) após o início do teste, o número de insetos era igual ao número inicial e que a amostra foi exterminada \(10h\) após o início, determine o número de insetos vivos na amostra \(8h\) após o início do teste.
0711 - Solução
Observe que a relação dada é, na realidade, uma função quadrática(do 2º grau), onde deveremos encontrar os valores das constantes "\(a\)", "\(b\)" e "\(c\)", utilizando os dados fornecidos. Após encontrarmos a função, basta-nos aplicar o valor numérico para \(t=8\) e encontrarmos o número de insetos vivos nesse instante.
\(N(0)=a\cdot0^2+b\cdot0+c=210\to \boxed{c=210}\)
\(N(3)=a\cdot3^2+b\cdot3+210=210\to \boxed{3a+b=0}\) (I)
\(N(10)=a\cdot10^2+b\cdot10+210=0\to\boxed{10a+b=-21}\) (II)
(I) e (II) formam o sistema linear, a ser escalonado:
\(\left\{ \begin{array}{rcrcrl} 3a & + & b & = & 0 & (-L_{1}+L_{2})\\ 10a & + & b & = & -21 & \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{rcrcrl} 3a & + & b & = & 0 & (-L_{1}+L_{2})\\ 7a & & & = & -21 & \rightarrow \boxed{a=-3} \end{array} \right.\)
Substituindo \(a=-3\) na primeira equação:
\(3.(-3)+b=0\to \boxed{b=9}\)
Assim, a função é: \(\boxed{N(t)=-3t^2+9t+210}\)(\(^*\))
(\(^*\))Atenção: Não divida essa função por \(3\), pois a única semelhança da função acima e a função \(y=-t^2+3t+70\), por exemplo, seriam as raízes(ou zeros).
Portanto, para \(t=8\), teremos:
\(N(8)=-3.8^2+9.8+210\to N(8)=-192+72+210\to\boxed{N(8)=90\,\,\text{insetos vivos}}\)
0710¶
A figura a seguir representa uma seringa no formato de um cilindro reto, cujo êmbolo tem \(20mm\) de diâmetro. Quando essa seringa está completamente cheia de medicamento, a altura da coluna desse medicamento tem \(10cm\). Sabendo que o conteúdo dessa seringa deve ser injetado de forma intravenosa numa vazão igual a \(12.400\,mm^3/min\), determine quanto tempo levará para que todo o conteúdo seja injetado.
- Desconsidere a quantidade de medicamento presente na parte descrita como agulha e adote \(\pi=3,1\).
0710 - Solução
Primeiramente, devemos trabalhar com uma única unidade, por exemplo, podemos adotar o milímetro(\(mm\)). Dessa forma, o raio(\(r\)) do cilindro reto(seringa) é \(r=10mm\) e a altura(\(h\)) com a seringa cheia é \(h=100mm\). O volume do conteúdo da seringa será o volume do cilindro reto formado(\(V\)), que poderá ser calculado(em \(mm^3\)) pela fórmula:
\(\boxed{V=\pi\times r^2\times h}\)
Assim:
\(V=3,1\times 10^2\times 100\to V=3,1\times10^4\to \boxed{V=31.000mm^3}\)
A fim de encontrarmos o tempo(\(t\)) que levará para injetar todo o conteúdo, devemos dividir o volume total da seringa (\(V=31.000mm^3\)) pela vazão(\(12.400\,mm^3/min\)):
\(t=\dfrac{31.000\cancel{mm^3}\times min}{12.400\cancel{mm^3}}\to \boxed{t=2,5min}\)
0709¶
No sistema de coordenadas cartesianas, a reta \(r\) passa pela origem do sistema e pelo centro(\(C\)) da circunferência de equação \(2x^2+2y^2-16x-12y+18=0\). Obtenha a equação geral da reta \(s\), que é paralela à reta \(r\), e que passa pelo ponto(\(P\)) \(P(-1,\,-3)\).
0709 - Solução
Algumas considerações:
1º) Considere a circunferência \(\lambda\) de centro \(C(a,\,b)\) e raio \(r\). Um ponto \(P(x,\,y)\) pertence à \(\lambda\) se, e somente se, a distância \(PC\) é igual ao raio \(r\):
\(\boxed{P\in\lambda\Longleftrightarrow PC=r}\)
2º) Chama-se equação da circunferência aquela que é satisfeita por todo ponto \(P(x,\,y)\) pertencente à curva. Um ponto genérico \(P\in\lambda\) verifica a condição \(PC=r\). Portanto:
\(P\in\lambda\Longleftrightarrow PC=r=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r\)
obtendo-se, assim, a equação reduzida da circunferência:
\(\boxed{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}\)
Por exemplo: uma circunferência de centro \(C(3,\,4)\) e raio \(r=2\), tem sua equação reduzida \((x-3)^2+(y-4)^2=4\).
3º) Desenvolvendo a equação reduzida, teremos:
\((x^2-2ax+a^2)+(y^2-2by+b^2)=r^2\) ou seja,
\(\boxed{x^2+y^2-2ax-2by+(a^2+b^2-r^2)=0}\)
4º) Veja que a equação fornecida na questão \(2x^2+2y^2-16x-12y+18=0\) deve ser, toda ela, dividida por 2(dois), para que possamos compará-la à uma equação geral de circunferência, assim a equação será:
\(x^2+y^2\underbrace{-8}_{a=4}x\underbrace {-6}_{b=3}y+9=0\)
5º) Sabemos que a reta \(r\) passa pela origem \(O(0,\,0)\) e pelo centro da circunferência \(C(4,\,3)\). Como sabemos, a equação geral dessa reta \(r\) pode ser obtida pela imposição do seguinte determinante:
\(r:\left| \begin{array}{rrr} x & y & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 4 & 3 & 1 \end{array} \right|=0\to\ldots\to\boxed{r:-3x+4y=0}\)
que, na forma reduzida, fica: \(r:y=\dfrac{3x}{4}\) com \(m_{r}=\dfrac{3}{4}\)
6º) A reta a ser encontrada(chamei de \(s\)) é paralela à \(r\), então \(m_{s}=\dfrac{3}{4}\) e, além disso, passa pelo ponto \(K(-1, \,-3)\), assim, para encontrar essa reta \(s\), vamos utilizar a fórmula genérica \(y-y_{0}=m(x-x_{0})\):
\(s:y-(-3)=\dfrac{3}{4}[x-(-1)]\to s:y+3=\dfrac{3x}{4}+\dfrac{3}{4}\to\ldots\to\boxed{s:-3x+4y+9=0}\)
0708¶
O custo de certa quantidade de litros de um produto era R$ 30,00. Após um aumento de R$ 1,00 por litro, com os mesmos R$ 30,00, é possível comprar 5 litros a menos. De acordo com essas informações, calcule o preço de cada litro desse produto antes do aumento.
0708 - Solução
Chamando o preço de cada litro, antes do aumento, de \(x\) e de \(y\) a quantidade de litros adquiridos com \(R\$ 30,00\), poderemos retirar do texto, duas equações:
\(x\cdot y=30\to \boxed{y=\dfrac{30}{x}\,\text{com}\,x\neq 0}\) (I)
\((x+1)\cdot(y-5)=30\to\cancel{xy}-5x+y-5=\cancel{xy}\to\boxed{-5x+y=5}\) (II)
Aplicando (I) em (II), teremos:
\(5x+\dfrac{30}{x}=5\to -5x^2-5x+30=0\,\,:(-5)\to\)
\(x^2+x-6=0\to\) Bhaskara... \(x=\dfrac{-1\pm5}{2}\to \boxed{x=2}\) ou
\(\cancel{x=-3}\) que não serve, pois não há preço negativo.
0707¶
A empresa "\(X\)" vende seus produtos de modo que o preço unitário(\(p\)) dependa da quantidade(\(q\)) de unidades vendidas. A relação de dependência entre as variáveis "\(p\)" e "\(q\)" é dada por \(p(q)=40-0,2q\).
Em relação a essa situação, classifique(e justifique) em verdadeira ou falsa, as seguintes afirmações:
- I) Para que a receita da empresa seja R$ 2.000,00 é necessário produzir e vender 100 unidades.
- II) 50 ou 150 unidades vendidas geram a mesma receita para a empresa.
- III) A receita máxima da empresa nessa situação é de R$ 2.000,00.
0707 - Solução
- I) É Verdadeira, pois:
\(p(q)=40=0,2q\)
\(p\cdot q=(40-0,2q)\cdot q\)
\(2.000=\underbrace{-0,2q^2+40q}\)
O gráfico do segundo membro é uma parábola, concavidade para baixo, e seu vértice nos indica:
1) Ponto de máximo(\(x_{v}=q_{v}\)) que, no problema, indica a quantidade máxima possível de ser produzida, para se obter uma receita máxima(\(R_{m}\));
2) Ponto máximo(\(y_{v}\)) que, no problema, indica a renda máxima \(R_{m}\).
Calculando o \(x_{v}=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-40}{-0,4}\to \boxed{q_{v}=100\,\text{unidades}}\)
- II) Verdadeira pois:
Receita para 50 unidades:
\(pq=(40-0,2q)\cdot q\to 50=(40-0,2\cdot 50)\cdot 50=\boxed{R\$\,1.500,00}\)
- III) Verdadeira pois:
Utilizando o raciocínio do item (I), vamos calcular a renda máxima \(R_{m}\), substituindo o valor do \(x_{v}=q_{v}=100\), na fórmula:
\(R_{m}=-0,2\cdot(100)^2+40\cdot(100)\to\ldots\to\boxed{R_{m}=R\$\,2.000,00}\)
0706¶
Faça um estudo completo das seguintes funções:
a) \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=x^2-5x+6\)
b) \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), definida por \(g(x)=x^2-4x+4\)
c) \(h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), definida por \(h(x)=x^2-4x+5\)
0706 - Soluções
Analisando, através de seus gráficos:
a) \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=x^2-5x+6\)
- Trata-se de uma função quadrática(ou do 2º grau), concavidade para cima, pois o coeficiente de \(x^2\) vale 1(um positivo);
- O gráfico corta o eixo das ordenadas no ponto \((0;\,6)\);
- O gráfico corta o eixo das abscissas nos pontos \((2;\,0)\) e \((3;\,0)\);
- O vértice(\(V\)) dessa função é \(V=\left(\dfrac{5}{2};\,-\dfrac{1}{4}\right)\);
- As raízes, ou zeros da função, ou os valores de \(x\) para \(y=f(x)=0\) serão \(2\) e \(3\), obtidos da solução da equação \(x^2-5x+6=0\), por quaisquer métodos conhecidos. Dessa forma, podemos classificar essa função quadrática:
- \(f(x)>0\), para \(x<2\) ou \(x>3\);
- \(f(x)=0\), para \(x=2\) ou \(x=3\);
- \(f(x)<0\), para \(2<x<3\).
b) \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), definida por \(g(x)=x^2-4x+4\)
- Trata-se de uma função quadrática(ou do 2º grau), concavidade para cima, pois o coeficiente de \(x^2\) vale 1(um positivo);
- O gráfico corta o eixo das ordenadas no ponto \((0;\,4)\);
- O gráfico corta o eixo das abscissas no ponto \((2;\,0)\);
- O vértice(\(V\)) dessa função é \(V=\left(2;\,0\right)\);
- As raízes duplas, ou zeros da função, ou os valores de \(x\) para \(y=f(x)=0\) serão iguais a \(2\), obtidos da solução da equação \(x^2-4x+4=0\), por quaisquer métodos conhecidos. Dessa forma, podemos classificar essa função quadrática:
- \(g(x)>0\), para \(\forall x\neq 2\);
- \(g(x)=0\), para \(x=2\);
- \(g(x)<0\), nunca.
c) \(h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), definida por \(h(x)=x^2-4x+5\)
- Trata-se de uma função quadrática(ou do 2º grau), concavidade para cima, pois o coeficiente de \(x^2\) vale 1(um positivo);
- O gráfico corta o eixo das ordenadas no ponto \((0;\,5)\);
- O gráfico não corta o eixo das abscissas;
- O vértice(\(V\)) dessa função é \(V=\left(2;\,1\right)\);
- Não há raízes reais, ou zeros da função, ou os valores de \(x\) para \(y=f(x)=0\), pois, ao se resolver a equação \(x^2-4x+5=0\), por quaisquer métodos conhecidos, o valor do discriminante (\(\Delta\)) será negativo, isto é \(\Delta=-4\). Dessa forma, podemos classificar essa função quadrática:
- \(h(x)>0\), para \(\forall x\in\mathbb{R}\);
- \(h(x)=0\), nunca;
- \(h(x)<0\), nunca.
0705¶
Com 4 palitos, é possível formar um quadrado. A esse quadrado acrescentam-se 3 palitos para que a fileira tenha dois quadrados, utilizando-se 7 palitos. Para que essa fileira amplie o número de quadrados para 3, são utilizados 10 palitos, e para que essa fileira tenha quatro quadrados, são utilizados 13 palitos, e assim sucessivamente. Para que haja \(x\) quadrados nessa fileira, será necessário utilizar \(N\) palitos. Sabe-se, ainda, que esses palitos são comprados em caixas em 60 unidades. Classifique(justificando) em verdadeiro ou falso, cada uma das alternativas a seguir:
a) 20 quadrados, será necessária apenas uma caixa de palitos.
b) 51 quadrados, será necessário ter duas caixas de palitos.
c) 134 quadrados, será necessário ter seis caixas de palitos.
d) 180 quadrados, será necessário ter dez caixas de palitos.
e) 300 quadrados, será necessário ter quinze caixas de palitos.
0705 - Solução
Vamos trabalhar com duas progressões aritméticas:
A primeira delas é formada pelo número de quadrados, ou seja:
\(PA (1,2,3,\ldots,a_{20},\ldots,a_{51},\ldots,a_{134},\ldots,a_{180},\ldots,a_{300},\ldots,a_{n} )\), onde: \(\boxed{a_{1}=1}\) e \(\boxed{r=1}\)
A segunda progressão aritmética será formada pelo número de palitos, ou seja:
\(PA (4,7,10,\ldots,b_{20},\ldots,b_{51},\ldots,b_{134},\ldots,b_{180},\ldots,b_{300},\ldots,b_{n})\), onde: \(\boxed{b_{1}=4}\) e \(\boxed{r=3}\)
Veja que há uma correspondência entre as PA's, pois, assim como um quadrado corresponde a quatro palitos, dois quadrados correspondem a sete palitos e três quadrados correspondem a dez palitos, \(a_{20}\) irá corresponder a \(b_{20}\); \(a_{51}\) irá corresponder a \(b_{51}\); \(a_{80}\) irá corresponder a \(b_{80}\); \(a_{134}\) irá corresponder a \(b_{134}\); \(a_{180}\) irá corresponder a \(b_{180}\) e \(a_{300}\) irá corresponder a \(b_{300}\). Dessa forma, basta calcular, aos pares, cada uma das correspondências, definidas nas afirmações:
(F) a) \(a_{20}=20\)(visual) e \(b_{20}=4+(20-1)\cdot 3\to b_{20}=61\), ou seja, uma caixa mais um palito, portanto, 2(duas) caixas, no mínimo;
(F) b) \(a_{51}=51\)(visual) e \(b_{51}=4+(51-1)\cdot 3\to b_{54}=154\), ou seja, duas caixas mais 34 palitos, portanto, 3(três) caixas, no mínimo;
(F) c) \(a_{134}=134\)(visual) e \(b_{134}=4+(134-1)\cdot 3\to b_{134}=403\), ou seja, seis caixas mais 43 palitos, portanto, 7 (sete) caixas, no mínimo;
(V) d) \(a_{180}=180\)(visual) e \(b_{180}=4+(180-1)\cdot 3\to b_{180}=541\), ou seja, nove caixas mais 1 palito, portanto, 10 (dez) caixas, no mínimo;
(F) e) \(a_{300}=300\)(visual) e \(b_{300}=4+(300-1)\cdot 3\to b_{300}=901\), ou seja, quinze caixas mais 1 palito, portanto, 16 caixas, no mínimo.
0704¶
Seja a função \(f\) definida por \(f(x+2)=2x^2-4x+3\). Obtenha \(f(x)\).
0704 - Solução
O que vamos fazer é aplicar a teoria da composição de funções, portanto, iremos trocar todos os "\(x\)" por "\(x-2\)", tomando o cuidado de manter TODAS as demais operações:
\(f[(x-2)+2]=2(x-2)^2-4(x-2)+3\to f(x-\cancel{2}+\cancel{2})=\)
\(=2(x^2-4x+4)-4x+8+3\to\ldots\to\boxed{f(x)=2x^2-12x+19}\)
0703¶
Dado um quadrado de vértices \(A(3;\,1)\), \(B(5;\,2)\) e \(C(4;\,4)\). Encontre as coordenadas do ponto "\(E\)", encontro das diagonais desse quadrado.
0703 - Solução
Primeiramente, vamos observar a imagem que ilustra a situação:
Na imagem, observe que o ponto "\(E\)", além de ser o ponto de encontro das duas diagonais do quadrado, também é o ponto médio, tanto do segmento \(\overline{AC}\) quanto do segmento \(\overline{BD}\). Como no segmento \(\overline{BD}\), não sabemos as coordenadas do ponto "\(D\)", então vamos utilizar o segmento \(\overline{AC}\), cujas coordenadas sabemos, e cujo ponto médio é exatamente o ponto "\(E\)"; assim:
\(E=M_{AC}=\left(\dfrac{x_{A}+x_{C}}{2};\,\dfrac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)\to\)
\(E=\left(\dfrac{3+4}{2};\,\dfrac{1+4}{2}\right)\to\)
\(\boxed{E=\left(\dfrac{7}{2};\,\dfrac{5}{2}\right)}\)
0702¶
Obtenha o domínio da função definida por: \(f(x)=\sqrt{\dfrac{x^2-4}{-x^2+3x}}\)
0702 - Solução
Como se trata de um radical, com índice par, igual a 2(dois), o radicando dever ser, obrigatoriamente, maior ou igual a zero. Além disso, o radicando é uma fração e, como sabemos, não existirá, se o denominador for igual a zero. Portanto, ao domínio não podem pertencer, nem o elemento 0(zero), nem o elemento 3(três). Agora, observe o estudo completo dos sinais dessa função, através do quadro de sinais abaixo e, visualmente, poderá concluir qual é o conjunto domínio(\(D\)) determinado:
Assim, o domínio será: \(\boxed{D=\{x\in\mathbb{R}\,/-2\leq x < 0\,\,\text{ou}\,\,2\leq x < 3\}}\)
0701¶
Sendo \(A=[-2;\,\,7[\) e \(B=]0;\,\,5]\), determine:
a) \(\complement^{B}_{A};\quad\quad\) b) \(\complement^{A}_{U}\quad\) e \(\quad\) c) \(\complement^{B}_{U}\).
0701 - Solução
a) \(\complement^{B}_{A}=A-B=\{ x\in \mathbb{R}\,|\,-2\leq x\leq 0\,\,\text{e}\,\,5<x<7\}\)
b) \(\complement^{A}_{U}=U-A=\{ x\in \mathbb{R}\,|\,x<-2\,\,\text{e}\,\,x\geq 3\}\)
c) \(\complement^{B}_{U}=U-B=\{ x\in \mathbb{R}\,|\,x\leq 0\,\,\text{e}\,\,x\geq 5\}\)