Página30¶

0750¶

Calcule \(t\in\mathbb{R}\), para que o número complexo \(z=(t-2)+4i\) seja imaginário puro.

0750 - Solução

Temos:

\(\left\{\begin{array}{rcr}Re(z) & = & t-2\\ Im(z) & = & 4\end{array}\right.\)

A condição é \(t-2=0\to \boxed{t=2}\)

0749¶

Calcule o valor real de \(w\), para que o número complexo \(z=2-i(w^3-8)\) seja real.

0749 - Solução

Para que \(z\) seja real, sua parte imaginária (\(w^3-8\)) deve ser zerada; assim:

\(w^3-8=0\to w^3=8\to \boxed{w=2}\)

0748¶

Obtenha o inverso do número complexo \(z=4-3i\).

0748 - Solução

Lembrando que o inverso de um número complexo \(z\) é dado por \(\dfrac{1}{z}\); assim:

\(\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{4-3i}\times \dfrac{4+3i}{4+3i}\to \dfrac{4+3i}{4^2-i^2\cdot 3^2}\to \ldots\to \boxed{\dfrac{1}{z}=\dfrac{4}{25}+i\cdot\dfrac{3}{25}}\)

0747¶

Sendo \(z=(3+i)\cdot(1-i)\cdot i\), obtenha seu conjugado.

0747 - Solução

Primeiramente, vamos obter \(z\) de uma forma mais simples, visualmente parecido com \(z=a+bi\); após, basta-nos obter seu conjugado, algo do tipo \(\overline{z}=a-bi\). Assim:

\(z=(3+i)\cdot(1-i)\cdot i\to(3-3i+i-i^2)\cdot i\to z=(4-2i)\cdot i\to z=2+4i\therefore \boxed{\overline{z}=2-4i}\)

0746¶

Calcule o valor do número real \(t\) para que \(z=\left(\dfrac{1}{2};\,t^2-25\right)\) seja um número real.

0746 - Solução

Para que \(z\) seja um número real, sua parte imaginária deve ser zerada; assim:

\(t^2-25=0\to t^2=25\to \boxed{t=-5}\) ou \(\boxed{t=5}\)

0745¶

Resolva, em \(\mathbb{C}\), as equações:

a) \(x^3+125=0\)

b) \(x^2-8x+25=0\)

c) \(x^2-7x-8=0\)

d) \((x^2+1)(x^2+4)=0\)

0745 - Soluções

Resolvendo, em \(\mathbb{C}\), uma a uma, essas equações:

a) \(x^3+125=0\to \boxed{x=-5}\)
b) \(x^2-8x+25=0\to\ldots\) por Bhaskara, encontraremos: \(\boxed{x=4-3i}\) ou \(\boxed{x=4+3i}\)
c) \(x^2-7x-8=0\to\ldots\) por Bhaskara, encontraremos: \(\boxed{x=-1}\) ou \(\boxed{x=8}\)
d) \((x^2+1)(x^2+4)=0\) Duas possibilidades:
- d.1) \(x^2+1=0\to \boxed{x=-i}\) ou \(\boxed{x=i}\) ou
- d.2) \(x^2+4=0\to \boxed{x=-2i}\) ou \(\boxed{x=2i}\)

0744¶

Obtenha \(k\in\mathbb{R}\) para que:

a) \(z=(k-3)+4i\) seja imaginário puro;

b) \(z=-3+(k+3)\cdot i\) seja real;

c) \(z=(k^2-25)+(k+5)\cdot i\) seja imaginário puro;

d) \(z=(1-k)+(k^2-1)\cdot i\) seja um número real;

e) \(z=(1+k^2)+(k-1)\cdot i\) seja imaginário puro.

0744 - Soluções

Obtendo os respectivos valores de \(k\in\mathbb{R}\):

a) \(z=(k-3)+4i\) seja imaginário puro: \(k-3=0\to\boxed{k=3}\)

b) \(z=-3+(k+3)\cdot i\) seja real: \(k+3=0\to\boxed{k=-3}\)

c) \(z=(k^2-25)+(k+5)\cdot i\) seja imaginário puro: \(k^2-25=0\to\boxed{k=5}\) apenas, pois,

se utilizarmos \(k=-5\), estaremos zerando também a parte imaginária.

d) \(z=(1-k)+(k^2-1)\cdot i\) seja um número real: \(z=i\cdot(k^2-k)\), assim, devemos ter:

\(k^2-k=0\to \boxed{k=0}\) ou \(\boxed{k=1}\)

e) \(z=(1+k^2)+(k-1)\cdot i\) seja imaginário puro: \(z=i\cdot(k^2+k)\), assim, devemos ter:

\(k^2+k\neq 0\to \boxed{k\neq 0}\) ou \(\boxed{k\neq -1}\)

0743¶

Resolva, em \(\mathbb{C}\), as equações:

a) \(x^2-6x+10=0\)

b) \(x^2+121=0\)

c) \(-x^2+4x-29=0\)

d) \(x^4+3x^2-4=0\)

0743 - Soluções

Resolvendo, em \(\mathbb{C}\), as seguintes equações:

a) \(x^2-6x+10=0\ldots\) por Bhaskara, teremos: \(\boxed{x=3-4i}\) ou \(\boxed{x=3+4i}\)

b) \(x^2+121=0\to x^2=-121\to\boxed{x=-11i}\) ou \(\boxed{x=11i}\)

c) \(-x^2+4x-29=0\) ou \(x^2-4x+29=0\ldots\) por Bhaskara, teremos: \(\boxed{x=2-5i}\) ou \(\boxed{x=2+5i}\)

d) \(x^4+3x^2-4=0\) Primeiramente, vamos resolver a equação intermediária, utilizando algumas incógnitas auxiliares, aqui: \(x^4=t^2\) e \(x^2=t\). Após, retornaremos às incógnitas principais; assim:

\(t^2+3t-4=0\ldots\) por Bhaskara, teremos: \(\boxed{t=-4}\) ou \(\boxed{t=1}\)

Assim:

Para \(x^2=1\to\boxed{x=-1}\) ou \(\boxed{x=1}\)

Para \(x^2=-4\to\boxed{x=-2i}\) ou \(\boxed{x=2i}\)

0742¶

Determine \(x\) e \(y\) reais de modo que \(x+(y-1)\cdot i=-4+3i\).

0742 - Solução

Determinando \(x\) e \(y\) reais, teremos, por simples comparação, o sistema linear:

\(\left\{\begin{array}{rcrcc} & & x & = & -4\to\boxed{x=-4}\\ & & & & \\ y & - & 1 & = & 3\to\boxed{y=4} \end{array} \right.\)

0741¶

Determine \(m\) e \(n\) reais de modo que \((m-3)+(n-2)\cdot i=5i\).

0741 - Solução

Determinando \(m\) e \(n\) reais, teremos, por simples comparação, o sistema linear:

\(\left\{\begin{array}{rcrcr} m & - & 3 & = & 0\to\boxed{m=3}\\ & & & & \\ n & - & 2 & = & 5\to\boxed{n=7} \end{array} \right.\)

0740¶

Determine \(m\) e \(n\) reais de modo que \((m-n+1)+(2m+n-4)\cdot i=0\).

0740 - Solução

Determinando \(m\) e \(n\) reais, teremos, por simples comparação, o sistema linear:

\(\left\{\begin{array}{rcrcr} m & - & n & = & -1\\ 2m & + & n & = & 4 \end{array} \right.\)

Somando diretamente as duas linhas: \(3m=3\to\boxed{m=1}\)

Aplicando \(m=1\) à primeira linha: \(1-n=-1\to\boxed{n=2}\)

0739¶

Sejam \(z_{1}=(x;\,3)\) e \(z_{2}=(5;\,2y)\). Determine \(x\) e \(y\) de modo que \(z_{1}+z_{2}=(3;\,4)+(4;\,-5)\).

0739 - Solução

(re)Escrevendo \(z_{1}=x+3i\) e \(z_{2}=5+2yi\), poderemos determinar \(x\) e \(y\) de modo que \(z_{1}+z_{2}=3+4i+4-5i\), ou seja \(z_{1}+z_{2}=7-i\); assim:

\(z_{1}+z_{2}=\underbrace{x+3i+5+2yi}=\underbrace{7-i}\to (x+5)+i\cdot(3+2y)=7-i\). Por comparação:

\(x+5=7\to\boxed{x=2}\) e \(3+2y=-1\to\boxed{y=-2}\)

0738¶

Efetue:

a) \((4+i)+(-1-3i)+(-2+i)\)

b) \((-7+5i)-(3-2i)\)

c) \(2+(3-i)+(-1+2i)+i\)

d) \(4i-(1-3i)-(-2+i)\)

0738 - Soluções

a) \((4+i)+(-1-3i)+(-2+i)=(4-1-2)+i\cdot(1-3+1)=1-i\)

b) \((-7+5i)-(3-2i)=(-7-3)+i\cdot(5+2)=-10+7i\)

c) \(2+(3-i)+(-1+2i)+i=(2+3-1)+i\cdot(-1+2+1)=4+2i\)

d) \(4i-(1-3i)-(-2+i)=(-1+2)+i\cdot(4+3-1)=1+6i\)

0737¶

Sejam os números complexos \(z_{1}=(-2;\,m)\) e \(z_{2}=(n;\,-3)\), com \(m\) e \(n\) reais.

a) Escreva \(z_{1}\) e \(z_{2}\) na forma algébrica.

b) Determine \(m\) e \(n\) de modo que \(z_{1}+z_{2}=-4+2i\).

0737 - Soluções

a) Forma algébrica de \(z_{1}\) e \(z_{2}\): \(z_{1}=-2+mi\) e \(z_{2}=n-3i\);

b) Determinando \(m\) e \(n\) de modo que \(z_{1}+z_{2}=-4+2i\):

\(z_{1}+z_{2}=-2+mi+n-3i=-4+2i\to (-2+n)+i\cdot(m-3)=-4+2i\). Comparando, teremos:

\(-2+n=-4\to\boxed{n=-2}\) e \(m-3=2\to\boxed{m=5}\)

0736¶

Sendo \(z_{1}=m+3i\) e \(z_{2}=2-n+i\cdot n\), determine os valores dos números reais \(m\) e \(n,\) de modo que \(z_{1}-z_{2}=0\).

0736 - Solução

Fazendo \(z_{1}-z_{2}=\underbrace{m+3i-[(2-n)+i\cdot n]}=\underbrace{0+0i}\):

\((m-2+n)+i\cdot(3+n)=0+0i\). Por simples comparação, teremos:

\(3+n=0\to\boxed{n=-3}\) e \(m-2-3=0\to\boxed{m=5}\)

0735¶

Determine os zeros reais das funções quadráticas:

\(\begin{array}{lll} \text{a)}\,\,9x^2 - 1 = 0 & \text{b)}\,\,-x^2 + 6x - 9 = 0 & \text{c)}\,\,3x^2 = 0 \end{array}\)

0735 - Solução

Para determinar os zeros (ou raízes) reais das funções quadráticas (ou do 2º grau) apresentadas nessa questão, primeiramente, tornamos "\(y = 0\)" e, após isso, utilizamos a fórmula de Bhaskara(abaixo), chegando às soluções finais:

\(\boxed{x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4\times a\times c}}{2\times a}}\)

\(\rightarrow\)a) \(9x^2 - 1 = 0\), onde \(a = 9\), \(b = 0\) e \(c = -1\)

\(x=\dfrac{-0\pm \sqrt{0^{2}-4\times 9\times (-1)}}{2\times 9}\)

\(x=\dfrac{0\pm \sqrt{36}}{18}\rightarrow x=\dfrac{0\pm 6}{18}\)

\(x_{1}=x_{2}=\dfrac{6}{18}\rightarrow x_{1}=x_{2}=\dfrac{1}{3}\)

\(\boxed{S=\left\{ \dfrac{1}{3} \right\}}\)

\(\rightarrow\)b) \(-x^2 + 6x - 9 = 0\), onde \(a = -1\), \(b = 6\) e \(c = -9\)

\(x=\dfrac{-6\pm \sqrt{6^{2}-4\times (-1)\times (-9)}}{2\times (-1)}\)

\(x=\dfrac{-6\pm \sqrt{36-36}}{-2}\rightarrow x=\dfrac{-6\pm 0}{-2}\)

\(x_{1}=x_{2}=\dfrac{-6}{-2}\rightarrow x_{1}=x_{2}=3\)

\(\boxed{S=\left\{ 3 \right\}}\)

\(\rightarrow\)c) \(3x^2 = 0\), onde \(a = 3\), \(b = 0\) e \(c = 0\)

\(x=\dfrac{0\pm \sqrt{0^{2}-4\times 3\times 0}}{2\times 3}\)

\(x_{1}=x_{2}=\dfrac{0}{6}\rightarrow x_{1}=x_{2}=0\)

\(\boxed{S=\left\{ 0 \right\}}\)

0734¶

Determine os números complexos \(z_{1}\) e \(z_{2}\), tais que \(z_{1}+z_{2}=-4+7i\) e \(z_{1}-2z_{2}=17-8i\).

0734 - Solução

Vamos adotar \(z_{1}=a+bi\) e \(z_{2}=c+di\), com \(a\in\mathbb{R}\), \(b\in\mathbb{R}\), \(c\in\mathbb{R}\) e \(d\in\mathbb{R}\). Equacionando e comparando às informações dadas, obteremos dois sistemas de equações que, resolvidos, nos farão encontrar o solicitado, assim:

\(z_{1}+z_{2}=(a+c)+(b+d)\cdot i=-4+7i\to \underbrace{a+c=-4}_{I}\) e \(\underbrace{b+d=7}_{II}\)

\(z_{1}-2z_{2}=(a-2c)+(b-2d)\cdot i=17-8i\to \underbrace{a-2c=17}_{I}\) e \(\underbrace{b-2d=-8}_{II}\)

O primeiro sistema terá os dados de (\(I\)); o segundo sistema terá os dados de (\(II\)):

\((I):\)

\(\left\{\begin{array}{rcrcrl} a & + & c & = & -4 & (2L_{1}+L_{2})\\ a & - & 2c & = & 17 & \end{array}\right.\)

\(\left\{\begin{array}{rcrcrl} a & + & c & = & -4 &\\ 3a & & & = & 9 & \boxed{a=3} \end{array}\right.\)

Substituindo \(a=3\) na primeira equação:

\(3+c=-4\to\boxed{c=-7}\)

\((II):\)

\(\left\{\begin{array}{rcrcrl} b & + & d & = & 7 & (2L_{1}+L_{2})\\ b & - & 2d & = & -8 & \end{array}\right.\)

\(\left\{\begin{array}{rcrcrl} b & + & d & = & 7 &\\ 3b & & & = & 6 & \boxed{b=2} \end{array}\right.\)

Substituindo \(b=2\) na primeira equação:

\(2+d=7\to\boxed{d=5}\)

Portanto, \(\boxed{z_{1}=3+2i}\) e \(\boxed{z_{2}=-7+5i}\)

0733¶

Determine os números reais \(m\) e \(n\) de modo que \((m+n\cdot i)\cdot(3+4\cdot i)=1-2i\).

0733 - Solução

Vamos efetuar o produto, isolar as partes real e imaginária, compará-las, montar um sistema linear em função de \(m\) e \(n\) e então, encontrar seus valores reais; assim:

\((m+n\cdot i)\cdot(3+4\cdot i)=1-2i\to\ldots\to(3m-4n)+i\cdot(4m+3n)=1-2i\)

\(\left\{\begin{array}{rcrcrl} 3m & - & 4n & = & 1 & (3L_{1}+4L_{2})\\ 4m & + & 3n & = & -2 & \end{array}\right.\)

\(\left\{\begin{array}{rcrcrl} 3m & - & 4n & = & 1 &\\ 25m & & & = & -5 & \boxed{m=-\dfrac{1}{5}} \end{array}\right.\)

Substituindo \(m=-\dfrac{1}{5}\) na primeira equação:

\(-\dfrac{3}{5}-4n=1\to\boxed{n=-\dfrac{2}{5}}\)

Prova: Substituindo os valores encontrados no produto inicial, teremos:

\(\left(-\dfrac{1}{5}-i\cdot\dfrac{2}{5}\right)\cdot(3+4i)=\underbrace{-\dfrac{3}{5}+\dfrac{8}{5}}_{=1}\underbrace {-i\cdot\dfrac{4}{5}-i\cdot\dfrac{6}{5}}_{=-2i}=\ldots=1-2i\)

0732¶

Obtenha \(z_{1}\), \(z_{2}\) e efetue:

a) \(z_{1}=[(2+5i)\cdot(1-i)]-[(4+3i)\cdot(-2+i)]-[(6-3i)\cdot(-3+6i)]\)

b) \(z_{2}=[(4+i)\cdot(2-i)+3-i]-[(4+3i)+(1-2i)\cdot(3+i)]-[(2+i)\cdot(3-5i)]\)

c) \(z_{1}\times z_{2}\)

d) \(z_{1}^2\)

0732 - Soluções

a) \(z_{1}=\underbrace{[(2+5i)\cdot(1-i)]}_{a_{1}}-\underbrace{[(4+3i)\cdot(-2+i)]}_{a_{2}}-\underbrace{[(6-3i) \cdot(-3+6i)]}_{a_{3}}\)

\(a_{1}=(2+5i)\cdot(1-i)=2-2i+5i+5\to a_{1}=7+3i\)

\(a_{2}=(4+3i)\cdot(-2+i)=-8+4i-6i-3\to a_{2}=-11-2i\)

\(a_{3}=(6-3i)\cdot(-3+6i)=-\cancel{18}+36i-9i+\cancel{18}\to a_{3}=27i\)

\(\therefore z_{1}=7+3i-(-11-2i)-(27i)=7+3i+11+2i-27i\to \boxed{z_{1}=18-22i}\)

b) \(z_{2}=\underbrace{[(4+i)\cdot(2-i)+3-i]}_{b_{1}}-\underbrace{[(4+3i)+(1-2i)\cdot(3+i)]}_{b_{2}}-\underbrace {[(2+i)\cdot(3-5i)]}_{b_{3}}\)

\(b_{1}=(4+i)\cdot(2-i)+3-i=8-4i+2i+1+3-i\to b_{1}=12-3i\)

\(b_{2}=(4+3i)+(1-2i)\cdot(3+i)=4+3i+3+i-6i+2\to b_{2}=9-2i\)

\(b_{3}=(2+i)\cdot(3-5i)=6-10i+3i+5=11-7i\)

\(\therefore z_{2}=12-3i-9+2i-11+7i\to \boxed{z_{2}=-8+6i}\)

c) \(z_{1}\times z_{2}=(18-22i)\times(-8+6i)=-144+108i+176i+132=\boxed{-12+284i}\)

d) \(z_{1}^2=(18-22i)^2=324-792i-484\to z_{1}^2=-160-792i\)

0731¶

Dados os números complexos \(z_{1}=4-3i\), \(z_{2}=-5i\) e \(z_{3}=1+2i\), determine:

a) \(z_{1}\times z_{2}\times z_{3}\)

b) \((z_{1}\times z_{2}\times z_{3})^2\)

c) \((z_{1}\times z_{2}\times z_{3})^3\)

0731 - Soluções

a) \(z_{1}\times z_{2}\times z_{3}=(4-3i)\cdot (-5i)\cdot (1+2i)=(-15-20i)\cdot (1+2i)=\)

\(-20i+40-15-30i=\boxed {25-50i}\)

b) \((z_{1}\times z_{2}\times z_{3})^2=(25-50i)^2=625-2500i-2500=\boxed{-1875-2500i}\)

c) \((z_{1}\times z_{2}\times z_{3})^3=(-1875-2500i)\cdot(25-50i)=\)

\(-46875+93750i-62500i-125000=\)

\(\boxed{-171875+31250i}\)

0730¶

Efetue:

a) \(z_{1}=(1+i)\cdot(1-i)-(2-3i)^2+(4+i)^2\)

b) \(z_{2}=(-1-i)^2-(1+i)^5\cdot(1-i)^5-(1-i)^3\)

c) \((z_{1}\times z_{2})\)

d) \([(z_{1}+z_{2})\times (-1-2i)]\)

0730 - Soluções

a) \(z_{1}=\underbrace{(1+i)\cdot(1-i)}_{2}\underbrace{-(2-3i)^2}_{+5+12i}\underbrace{+(4+i)^2}_{+15+8i} \to\boxed{z_{1}=22+20i}\)

b) \(z_{2}=\underbrace{(-1-i)^2}_{2i}\underbrace{-(1+i)^5\cdot(1-i)^5}_{-2^5}\underbrace{-(1-i)^3}_{2+2i}=2i-32+2+2i\to\boxed{z_{2}=-30+4i}\)

c) \((z_{1}\times z_{2})=(22+20i)\times(-30+4i)=-660+88i-600i-80=\boxed{-740-512i}\)

d) \([(z_{1}+z_{2})\times (-1-2i)]=[-(-8+24i)\times(1+2i)]=(8-24i)\times(1+2i)=\)

\(8+16i-24i+48=\boxed{56-8i}\)

0729¶

Determine os números reais \(m\) e \(n\) para que \((m+n\cdot i)\cdot(2+i)=4-i\).

0729 - Solução

Vamos efetuar o produto, igualar as partes reais e as partes imaginárias, montar e resolver o sistema linear em função de "\(m\)" e "\(n\)", encontrando-os, assim:

\((m+n\cdot i)\cdot(2+i)=4-i\to(2m-n)+(m+2n)i=4-i\)

\(\left\{\begin{array}{rcrcrl} 2m & - & n & = & 4 & (L_{1}-2L_{2})\\ m & + & 2n & = & -1 & \end{array}\right.\)

\(\left\{\begin{array}{rcrcrl} 2m & - & n & = & 4 & \\ & - & 5n & = & 6 & \to \boxed{n=-\dfrac{6}{5}} \end{array}\right.\)

Substituindo \(n=-\dfrac{6}{5}\) na segunda equação, teremos:

\(m-\dfrac{12}{5}=-1\to \boxed{m=\dfrac{7}{5}}\)

0728¶

Seja \(z=(n+i)\cdot(n+2i)\), com \(n\in\mathbb{R}\). Determine \(n\) para que \(z\) seja:

a) imaginário puro;

b) um número real.

0728 - Soluções

Efetuando o produto, poderemos visualizar as partes real e imaginária e, então vamos obter o que foi solicitado; assim:

\(z=(n+i)\cdot(n+2i)= n^2+2ni+ni-2\to \boxed{z=(n^2-2)+3ni}\)

a) \(z\) será imaginário puro, quando sua parte real for zerada, ou seja:

\(n^2-2=0\to n^2=2\to\boxed{n=-\sqrt{2}}\) ou \(\boxed{n=\sqrt{2}}\)

b) \(z\) será um número real, quando sua parte imaginária for zerada, ou seja:

\(3n=0\to\boxed{n=0}\)

0727¶

Quais são os possíveis valores reais de \(m\) e \(n\) para que \((m+n\cdot i)^2=8i\) ?

0727 - Solução

Efetuando o produto notável, chegaremos a um sistema que será resolvido, em função das variáveis solicitadas; assim:

\((m+n\cdot i)^2=8i\to m^2+2mni-n^2=8i\to\)

\(\boxed{(m^2-n^2)+2mni=0+8i}\)

\(\left\{\begin{array}{rcrcrl} m^2 & - & n^2 & = & 0 &\to \boxed{m=\pm n}\\ & & 2mn & = & 8 & \end{array}\right.\)

Para \(m=n\), teremos a segunda equação: \(2mm=8\to 2m^2=8\to m^2=4\to\)

\(\boxed{m=-2}\) e \(\boxed{n=-2}\) ou \(\boxed{m=2}\) e \(\boxed{n=2}\)
Para \(m=-n\), teremos a segunda equação: \(-2m^2=8\to m^2=-4\quad\therefore\quad \not\exists\,\,m,n\in\mathbb{R}\)

0726¶

Seja \(z_{1}\) um número complexo imaginário puro e \(z_{2}\) um número complexo cuja parte real é 3(três). Sabendo que \(z_{1}\cdot z_{2}=12-6i\), determine \(z_{1}\) e \(z_{2}\).

0726 - Solução

De acordo como enunciado, \(z_{1}=xi\), com \(x\in\mathbb{R}^{*}\) e \(z_{2}=3+yi\) com \(y\in\mathbb{R}\). Agora, vamos aplicá-los ao produto oferecido, comparar as partes reais e imaginárias e obtermos os devidos valores; assim:

\(xi\cdot(3+yi)=12-6i\to 3xi-xy=12-6i\to\)

\(\left\{\begin{array}{rcrl} 3x & = & -6 & \to\boxed{x=-2}\\ & & &\\ 2y & = & 12 & \to\boxed{y=6} \end{array}\right.\)

Portanto, \(\boxed{z_{1}=-2i}\) e \(\boxed{z_{2}=3+6i}\)