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0800¶

Dada a função de variável real $f$, definida por $f\Big(x\Big)=\dfrac{x+1}{x-1},\,\,x\neq 1:$

a) Determine $(fof)(x)$

b) Escreva uma expressão para $f^{-1}(x)$

0800 - Soluções

Para a função real de variável real $f$, definida por $f\Big(x\Big)=\dfrac{x+1}{x-1},\,\,x\neq 1$, teremos:

a) $(fof)(x)=\dfrac{\frac{x+1}{x-1}+1}{\frac{x+1}{x-1}-1}=\dfrac{\frac{2x}{\cancel{x-1}}}{\frac{2}{\cancel{x-1}}}\to\boxed{(fof)(x)=x}$

b) Calculando $f^{-1}(x)$:

$x=\dfrac{y+1}{y-1}\to yx-x=y+1\to yx-y=x+1\to\boxed{f^{-1}(x)=\dfrac{x+1}{x-1}}$

0799¶

Sejam as funções:

$f:\mathbb{R}-\left\{-\dfrac{4}{3}\right\}\to\mathbb{R}$, definida por $f(x)=\dfrac{2x-3}{3x+4}$

$g:\mathbb{R}-\left\{\dfrac{2}{3}\right\}\to\mathbb{R}$, definida por $g(x)=\dfrac{3+4x}{2-3x}$

Então, resolva a equação: $(fog)(x)=1-x$

0799 - Solução

Para as funções:

$f:\mathbb{R}-\left\{-\dfrac{4}{3}\right\}\to\mathbb{R}$, definida por $f(x)=\dfrac{2x-3}{3x+4}$

$g:\mathbb{R}-\left\{\dfrac{2}{3}\right\}\to\mathbb{R}$, definida por $g(x)=\dfrac{3+4x}{2-3x}$

vamos resolver a equação: $(fog)(x)=1-x$:

$\dfrac{2\cdot\frac{3+4x}{2-3x}-3}{3\cdot\frac{3+4x}{2-3x}+4}=1-x\to\dfrac{\dfrac{\cancel{6}+8x-\cancel{6}+9x}{\cancel{2-3x}}}{\dfrac{9+\cancel{12x}+8-\cancel{12x}}{\cancel{2-3x}}}=1-x\to$

$\to\dfrac{\cancel{17}x}{\cancel{17}}=1-x\to x=1-x\to\boxed{x=\dfrac{1}{2}}$

0798¶

Um motorista de táxi cobra, em cada corrida, o valor fixo de R$ 3,20 mais R$ 0,80 por quilômetro rodado.

a) Indicando por $x$ o número de quilômetros rodados e por $P$ o preço a pagar pela corrida, escreva a expressão que relaciona $P$ com $x$.

b) Determine o número máximo de quilômetros rodados para que, em uma corrida, o preço a ser pago não ultrapasse R$ 120,00.

0798 - Soluções

a) Indicando por $x$ o número de quilômetros rodados e por $P$ o preço a pagar pela corrida, escreva a expressão que relaciona $P$ com $x$:

$\boxed{P=3,20+0,80x}$

b) Determine o número máximo de quilômetros rodados para que, em uma corrida, o preço a ser pago não ultrapasse R$ 120,00:

$3,20+0,80x\leq 120,00\to 0,80x\leq 123,20\to x\leq 146$, ou seja, o máximo é de $146$Km.

0797¶

O gráfico abaixo mostra o custo de uma linha de produção de determinada peça em função do número de unidades produzidas. Sabendo-se que o preço de venda de cada peça é de R$ 5,00, determine o número mínimo de peças que precisam ser comercializadas para que haja lucro.

0797 - Solução

Observando o gráfico, podemos montar sua função, onde o número de peças produzidas é $x$ e o custo da produção é $C$: $C=1500+3x$. Já a venda(V) pode ter sua função como: $V=5x$. Para que haja lucro, o valor das vendas(V) deve ser maior que o valor dos custos(C), ou seja: $V>C$. Aplicando essa inequação às funções encontradas, teremos:

$V>C\to 5x>1500+3x\to 2x>1500\to\boxed{x>750}$.

Na prática, portanto, devem ser comercializadas, no mínimo, 751 peças.

0796¶

Uma calculadora apresenta, entre suas teclas, uma tecla D, que duplica o número digitado, e uma outra T, que adiciona uma unidade ao número que está no visor. Por exemplo, ao digitar 123 e apertar D, obtém-se 246. Apertando-se, em seguida, a tecla T, obtém-se 247.

a) Uma pessoa digita um número N, e, após apertar, em sequência, D, T, D e T, obtém como resultado 243. Determine N.

b) Determine o resultado obtido pela calculadora se uma pessoa digitar 125 e apertar, em sequência, D, T, D.

0796 - Soluções

a) $2\cdot(2\cdot N +1)+1=243\to 4N+2+1=243\to\boxed{N=60}$

b) $2\cdot(2\cdot 125+1)=\boxed{502}$

0795¶

A receita mensal de vendas de uma empresa (y) relaciona-se com os gastos mensais com propaganda (x) por meio de uma função do $1^{o}$ grau. Quando a empresa gasta R$ 10.000,00 por mês de propaganda sua receita naquele mês é de R$ 80.000,00; se o gasto mensal com propaganda for o dobro daquele, a receita mensal cresce 50% em relação àquela.

a) Obtenha a expressão de y em função de x.

b) Qual a receita mensal se o gasto mensal com propaganda for de R$ 30.000,00 ?

0795 - Soluções

a) Obtendo a expressão de y em função de x: Sendo esta função $y=ax+b$, vamos encontrar os valores de $a$ e $b$, através de um sistema de equações, para obtermos a expressão pedida:

$\left\{\begin{array}{rcrcrl} 10.000a & + & b & = & 80.000 & (-1)\\ 20.000a & + & b & = & 120.000 & \end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rcrcrl} -10.000a & - & \cancel{b} & = & -80.000 &\\ 20.000a & + & \cancel{b} & = & 120.000 & (+) \end{array}\right.$

$10.000a=40.000\to\boxed{a=4}$

Substituindo $a=4$ na primeira equação, teremos:

$10.000\cdot 4+b=80.000\to\boxed{b=40.000}$

Portanto a expressão é: $\boxed{y=4x+40.000}$

b) Neste caso, devemos utilizar a expressão acima, com $x=30.000$; assim:

$y=4\cdot 30.000+40.000\to\boxed{y\,=\,R\$\,160.000,00}$

0794¶

A função contínua $y=f(x)$ está definida no intervalo $[-4,\,8]$ por

$f(x)=\left\{\begin{array}{rcrcrcl} x & + & 6 & \text{se} & -4\leq x\leq 0 &&\\ ax & + & b & \text{se} & 0 < x < 4 &&\\ 2x & - & 10 & \text{se} & 4\leq x\leq 8 \end{array}\right.$

sendo $a$ e $b$ números reais.

Calcule os valores de $a$ e $b$ e esboce o gráfico da função $f(x)$ no plano cartesiano.

0794 - Soluções

A fim de calcular os valores de $a$ e $b$, tomaremos parte da função $f(x)$, ou seja, $ax+b$, cujo limite inferior é qualquer valor real maior que zero, e cujo limite superior é qualquer valor real menor que quatro; entretanto, como a função é contínua, vamos tomar o intervalo de domínio(x) $[0,\,4]$ e, como menor valor real de imagem $f(x)=x+6$, para $x=0$, ou seja, $y=6$ e, ainda, como maior valor real de imagem $f(x)=2x-10$, para $x=4$, ou seja, $y=-2$. Vamos ao sistema de equações em função de $a$ e $b$:

$\left\{\begin{array}{rcrcrl} a\cdot 0 & + & b & = & 6 &\to \boxed{b=6}\\ a\cdot 4 & + & \cancel{b}^{\,6} & = & -2 &\to\boxed{a=-2} \end{array}\right.$

Portanto, $a=-2$ e $b=6$

Assim, a função $f(x)$ completa, fica assim estabelecida para a construção de seu gráfico:

$f(x)=\left\{\begin{array}{rcrcrc} x & + & 6 & \text{se} & -4\leq x\leq 0 &\\ -2x & + & 6 & \text{se} & 0 < x < 4 &\\ 2x & - & 10 & \text{se} & 4\leq x\leq 8 \end{array}\right.$

0793¶

Três planos de telefonia celular são apresentados na tabela abaixo:

a) Qual é o plano mais vantajoso para alguém que utilize 25 minutos por mês?

b) A partir de quantos minutos de uso mensal o plano $A$ é mais vantajoso que os outros dois?

Plano	Custo fixo mensal	Custo adicional por minuto
A	R$ 35,00	R$ 0,50
B	R$ 20,00	R$ 0,80
C	R$ 0	R$ 1,20

0793 - Soluções

a) Qual é o plano mais vantajoso para alguém que utilize 25 minutos por mês?

A: $35+0,50\cdot 25=37,50$

B: $20+0,80\cdot 25=40,00$

C: $0+1,20\cdot 25=30,00\leftarrow$ Este é o mais vantajoso.

b) A partir de quantos minutos de uso mensal o plano $A$ é mais vantajoso que os outros dois?

A: $35+0,50\cdot x$

B: $20+0,80\cdot x$

C: $0+1,20\cdot x$

b.1) $A<B: 35+0,50\cdot x < 20+0,80\cdot x\to 0,30x>15\to x>50$, isto é, a partir de 51min.

b.2) $A<C: 35+0,50\cdot x < 1,20\cdot x\to 0,70x>35\to x>50$, isto é, a partir de 51min.

0792¶

Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela equação $h(t)=-2t^2+8t(t\geq 0)$, onde $t$ é o tempo medido em segundos e $h(t)$ é a altura em metros da bola no instante $t$. Determine, após o chute:

a) o instante em que a bola retornará ao solo.

b) a altura máxima atingida pela bola.

0792 - Soluções

Vamos determinar, após o chute:

a) o instante em que a bola retornará ao solo:

Basta-nos fazer $h(t)=0$ e resolver a equação, desconsiderando $t=0$s; assim:

$-2t^2+8t=0\to\ldots\boxed{t=4s}$

b) a altura máxima atingida pela bola:

Será obtida quando $t=2s$(metade do percurso); assim:

$h(2)=-2\cdot 2^2+8\cdot 2\to\ldots\boxed{h=8m}$

0791¶

Um míssil foi lançado acidentalmente do ponto $A$, como mostra a figura, tendo como trajetória o gráfico da função $f(x)=-x^2+70x$, onde $x$ é dado em $Km$.

Desejando destruí-lo num ponto $B$, que está a uma distância horizontal de 40Km de $A$, utiliza-se um outro míssil que se movimenta numa trajetória descrita, segundo o gráfico da função $g(x)=k\cdot x$. Determine o valor de $k$ para que efetivamente ocorra a destruição no ponto determinado.

0791 - Solução

Inicialmente, temos o ponto $B(40,\,y_{B})$. Através de $f(x)$ vamos obter $y_{B}$; assim:

$y_{B}=f(40)=-40^2+70\cdot 40=-1600+2800\to y_{B}=1200$Km.

Agora, o valor de $k$ é igual à tangente formada por $g(x)$, o ponto $A$ e o eixo das abscissas, tomado no seu sentido positivo, isto é:

$k=\dfrac{1200}{40}\to\boxed{k=30}$

0790¶

Na produção de $x$ unidades mensais de um certo produto, uma fábrica tem um custo, em reais, descrito pela função quadrática, parcialmente representada abaixo. A partir dessas informações, obtenha, em reais, o custo mínimo.

0790 - Solução

O custo mínimo será obtido através do vértice dessa parábola $V(x_{y};\,y_{v})$, mais precisamente, pelo valor do $y_{v}$; entretanto, devemos, anteriormente, obter a própria função quadrática que gerou o gráfico apresentado, isto é, $f(x)=ax^2+bx+c$ e, para isso, vamos montar um sistema de equações em função das incógnitas $a$, $b$ e $c$, utilizando três pontos conhecidos do gráfico, tais como: $A(0;\,900)$, $B(10;\,700)$ e $C(40;\,1300)$. De imediato, vê-se que temos $c=900$ (ponto $A$). Os demais serão conhecidos no sistema:

$\left\{\begin{array}{rcrcrcr} a.0^2 & + & b.0 & + & c & = & 900\\ a.10^2 & + & b.10 & + & 900 & = & 700\\ a.40^2 & + & b.40 & + & 900 & = & 1300 \end{array}\right.\Rightarrow$

$\left\{\begin{array}{rcrcrl} 100a & + & 10b & = & -200 & (-4)\\ 1600a & + & 40b & = & 400 & \end{array}\right.\Rightarrow$

$\left\{\begin{array}{rcrcrl} -400a & - & \cancel{40b} & = & 800 &\\ 1600a & + & \cancel{40b} & = & 400 & (+) \end{array}\right.\Rightarrow$

$1200a=1200\to\boxed{a=1}$

Substituindo $a=1$ numa das equações, teremos:

$100.1+10b=-200\to\boxed{b=-30}$

Dessa forma, $f(x)=x^2-30x+900$

O que desejamos é $y_{v}=-\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{-2700}{4}\to\boxed{y_{v}=675}$

Portanto, o custo mínimo será $\boxed{R\$\,\,675,00}$

0789¶

Sejam a parábola $p$ e a reta $r$, representadas na figura abaixo.

Determine os pontos $Q$ e $R$, interseções de $p$ e $r$.

0789 - Solução

Para determinar os pontos $Q$ e $R$, interseções de $p$ e $r$, devemos obter suas respectivas equações:

$\rightarrow$ Reta $r$: temos o ponto $A\left(-\dfrac{1}{2};\,\,0\right)$, $B(0;\,\,1)$ e a inclinação $m=tg\,\theta=\dfrac{1}{0,5}\to m=2$. Aplicados $B$ e $m$ à sua equação reduzida $r:y=mx+n$, teremos: $\boxed{r:y=2x+1}\,(I)$

$\rightarrow$ Parábola $p$: temos o vértice $V(-1;\,\,-4)$ e as raízes $x_{1}=(-3;\,\,0)$ e $x_{2}=(1;\,\,0)$. Aplicados à sua função $p:f(x)=ax^2+bx+c$, teremos o sistema:

$\left\{\begin{array}{rcrcrcr} a.(-1)^2 & + & b.(-1) & + & c & = & -4\\ a.(-3)^2 & + & b.(-3) & + & c & = & 0\\ a.(1)^2 & + & b.(1) & + & c & = & 0 \end{array}\right.\Rightarrow$

$\left\{\begin{array}{rcrcrcrl} a & - & b & + & c & = & -4 &\\ 9a & - & 3b & + & c & = & 0 &\\ a & + & b & + & c & = & 0 & \end{array}\right.\Rightarrow$

Mudando a ordem das equações, a fim de facilitar o escalonamento do sistema, teremos:

$\left\{\begin{array}{rcrcrcrl} a & + & b & + & c & = & 0& (L_{1}-L_{2})\quad (-9L_{1}+L_{3})\\ a & - & b & + & c & = & -4&\\ 9a & - & 3b & + & c & = & 0& \end{array}\right.\Rightarrow$

$\left\{\begin{array}{rcrcrcrl} a & + & b & + & c & = & 0&\\ & & 2b & & & = & 4&\to\boxed{b=2}\\ & & & & & & &\\ & & \cancel{-12b}^{\,\,(-24)} & - & 8c & = & 0&\to\boxed{c=-3}\\ \end{array}\right.$

Aplicados $b=2$ e $c=-3$ à primeira equação, teremos:

$a+2-3=0\to\boxed{a=1}$

Portanto $\boxed{p:y=x^2+2x-3}\,(II)$

$\rightarrow$ Obtendo a interseção de $r$ e $p$ ou seja, $(I)\cap(II)$:

$\underbrace{2x+1}_{r}=\underbrace{x^2+2x-3}_{p}\to x^2=4\to\boxed{x=-2}$ ou $\boxed{x=2}$

Para $x=-2$, $y=-3$ e para $x=2$, $y=5$.

Finalmente, teremos os pontos: $P(-2;\,\,-3)$ e $R(2;\,\,5)$ (respostas finais)

0788¶

Obtenha o valor da expressão: $A=\dfrac{2^{n+3}+2^{n+2}-2^{n-1}}{2^{n-2}+ 2^n}$

0788 - Solução

Obtendo o valor da expressão $A=\dfrac{2^{n+3}+2^{n+2}-2^{n-1}}{2^{n-2}+ 2^n}$:

$\to A=\dfrac{\cancel{2^n}\left(2^3+2^2-2^{-1}\right)}{\cancel{2^n}\left(2^{-2}+1\right)}\to A=\dfrac{\frac{23}{2}}{\frac{5}{4}}\to\boxed{\dfrac{46}{5}}$

0787¶

Obtenha o valor de $A=\sqrt{2^{20}+2^{23}}$.

0787 - Solução

Obtendo o valor de $A=\sqrt{2^{20}+2^{23}}$:

$A=\sqrt{2^{20}+2^{20}\cdot 2^3}\to A=\sqrt{2^{20}\cdot(1+2^3)}\to\boxed{A=2^{10}\cdot 3}$

0786¶

Sendo $M=9,84\cdot 10^{15}$ e $N=1,23\cdot 10^{16}$, mostre que $M<N$

0786 - Solução

Sendo $M=9,84\cdot 10^{15}$ e $N=1,23\cdot 10^{16}$, mostre que $M<N$.

$N=1,23\cdot 10^{16}\to N=12,3\cdot 10^{15}$, ou seja, $M<N$.

0785¶

Resolva as seguintes equações exponenciais:

a) $3^{x+2}-3^x=72$

b) $2^{x-4}=\dfrac{1}{4}$

c) $2^{2x}-2^{x+3}+16=0$

0785 - Solução

a) $3^{x+2}-3^x=72\to\ldots 3^x=3^2\to\boxed{x=2}$

b) $2^{x-4}=\dfrac{1}{4}\to 2^{x-4}=2^{-2}\to\ldots\boxed{x=2}$

c) $2^{2x}-2^{x+3}+16=0\to (2^x=y\,\,\text{e}\,\,2^{2x}=y^2)$

$y^2-8y+16=0\to\ldots\to y=4$

$2^x=y\to 2^x=4\to\boxed{x=2}$

0784¶

Resolva, em $\mathbb{R}$: $5^{x+1}+5^{x+2}=3750$

0784 - Solução

Resolvendo, em $\mathbb{R}$:

$5^{x+1}+5^{x+2}=3750\to\ldots\to 30\cdot 5^x=3750\to 5^x=125\to\boxed{x=3}$

0783¶

Seja $f(x)=3^{x-4}+3^{x-3}+3^{x-2}+3^{x-1}$. Obtenha $x$, sabendo que $f(x)=40$.

0783 - Solução

$40=3^{x-4}+3^{x-3}+3^{x-2}+3^{x-1}\to$

$40=3^x\left(\dfrac{1}{3^4}+\dfrac{1}{3^3}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^1}\right)\to\ldots$

$40=3^x\cdot\dfrac{40}{81}\to\ldots\to\boxed{x=4}$

0782¶

Justificando, classifique em verdadeira ou falsa, cada afirmativa a seguir:

a) $-\left(3-\dfrac{3}{2}\right)^2=\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2$

b) $52\cdot(49!)-2\cdot(49!)=50!$

c) $\left|\sqrt{10}-4\right|=4-\sqrt{10}$

d) O quociente $\dfrac{1}{2\cdot 3^x-3\cdot 2^x}$ é impossível para $x=1$

e) $2\cdot 3^x-3\cdot 2^x=0$, para todo $x\in\mathbb{R}$

f) $0,25\cdot 10^{-3}=2,5\cdot 10^{-4}$

0782 - Soluções

Justificando, vamos classificar em verdadeira ou falsa, cada afirmativa a seguir:

a) Falsa, pois:

$-\left(3-\dfrac{3}{2}\right)^2=\ldots=-\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=-\dfrac{9}{4}$ e

$\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{9}{4}$

b) Verdadeira, pois:

$52\cdot(49!)-2\cdot(49!)=49!(52-2)=49!\cdot 50=50!$

c) Verdadeira, pois:

$\left|\sqrt{10}-4\right|=\left|4-\sqrt{10}\right|=4-\sqrt{10}$

d) Verdadeira, pois, para $x=1$, teremos:

$\dfrac{1}{2\cdot 3^1-3\cdot 2^1}=\dfrac{1}{6-6}=\dfrac{1}{0}$, impossível!!

e) Falsa, pois, apenas para $x=1$ e não para todo $x\in\mathbb{R}$, teremos:

$2\cdot 3^x-3\cdot 2^x=0\to 2\cdot 3^x=3\cdot 2^x\to\left(\dfrac{3}{2}\right)^x=\left(\dfrac{3}{2}\right)\to\boxed{x=1}$

f) Verdadeira, pois:

$0,25\cdot 10^{-3}=2,5\cdot 10^{-4}=2,5\cdot 10^{-1}\cdot 10^{-3}=2,5\cdot 10^{-4}$

0781¶

Nos reais, resolva a equação $\dfrac{2^{2x}}{3^{2x}}+1=\dfrac{13\cdot 2^{x-1}}{3^{x+1}}$

0781 - Solução

$\dfrac{2^{2x}}{3^{2x}}+1=\dfrac{13\cdot 2^{x-1}}{3^{x+1}}\to\ldots\to \left(\dfrac{2}{3}\right)^{2x}-\dfrac{13}{6}\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^x +1=0\to$

Substituindo $\left(\dfrac{2}{3}\right)^x$ por $y$, teremos:

$y^2-\dfrac{13}{6}\cdot y+1=0\to\ldots\to 6y^2-13y+6=0\to\ldots\to \boxed{y_{1}=\dfrac{2}{3}}$ ou $\boxed{y_{2}=\dfrac{3}{2}}$

Para $y=\dfrac{2}{3}\to x=1$

Para $y=\dfrac{3}{2}\to x=-1$

Portanto, a solução(S) será: $S=\left\{-1;\,\,1\right\}$

0780¶

Resolva, em $\mathbb{R}$, a equação: $2^x-2^{-x}=5\left(1-2^{-x}\right)$

0780 - Solução

Em $\mathbb{R}$, teremos:

$2^x-2^{-x}=5\left(1-2^{-x}\right)\to 2^x-\dfrac{1}{2^x}=5\left(1-\dfrac{1}{2^x}\right)$

Substituindo $2^x=y$, e, desde que $y\neq 0$, teremos:

$y-\dfrac{1}{y}=5-\dfrac{5}{y}\to y^2-5y+4=0\to\ldots\to \boxed{y_{1}=4}$ ou $\boxed{y_{2}=1}$

Assim:

$2^x=4\to\boxed{x=2}$ ou $2^x=1\to\boxed{x=0}$

0779¶

Um piscicultor construiu uma represa para criar traíras. Inicialmente, colocou 1000 traíras na represa e, por um descuido, soltou 8 lambaris. Suponha que o aumento das populações de lambaris e traíras ocorra, respectivamente, segunda as leis $L(t)=L_{0}\cdot 10^t$ e $T(t)=T_{0}\cdot 2^t$, onde $L_{0}$ é a população inicial de lambaris, $T_{0}$, a população inicial de traíras, e $t$, o número de anos que se conta a partir do ano inicial. Considerando $\log\,2=0,3$, o número de lambaris será igual ao de traíras depois de quantos anos?

0779 - Solução

A condição estabelecida pela questão é $L(t)=T(t)$, ou seja:

$\begin{array}{ccl} 8\cdot 10^t & = & 1000\cdot 2^t\\\\ 10^t & = & 125\cdot 2^t\\\\ \dfrac{10^t}{2^t} & = & 125\\\\ 5^t & = & 125\\\\ 5^t & = & 5^3\\\\ t & = & 3\,\text{anos} \end{array}$

0778¶

Cientistas de um certo país, preocupados com as possibilidades cada vez mais ameaçadoras de uma \textit{guerra biológica}, pesquisam uma determinada bactéria que cresce segunda a expressão $P(t)=\dfrac{256}{125}\cdot \left(\dfrac{5}{2}\right)^{t\,+\,1}$, onde $t$ representa o tempo em horas. Qual será o tempo, em horas, para se obter uma população de 3125 bactérias?

0778 - Solução

Aplicação direta da fórmula apresentada, onde $P(t)=3125$, ou seja:

$\begin{array}{ccl} 3125 & = & \dfrac{256}{125}\cdot \left(\dfrac{5}{2}\right)^{t\,+\,1}\\\\ 5^3 & = & \dfrac{2^8}{5^3}\cdot \left(\dfrac{5}{2}\right)^{t\,+\,1}\\\\ \dfrac{5^8}{2^8} & = & \left(\dfrac{5}{2}\right)^{t\,+\,1}\\\\ \left(\dfrac{5}{2}\right)^8 & = & \left(\dfrac{5}{2}\right)^{t\,+\,1}\\\\ t\,+\,1 & = & 8\\\\ t & = & 7\,\text{h} \end{array}$

0777¶

Certa substância radioativa de massa $M_{0}$, no instante $t\,=\,0$, tende a se transformar em outra substância não radioativa. Para cada instante $t\geq 0$, dado em segundos, a massa da substância radioativa restante obedece à lei $M(t)=M_{0}\cdot 3^{-2t}$. Nessas condições, qual é o tempo necessário, em segundos, para que a massa da substância radioativa seja reduzida a um terço da massa inicial?

0777 - Solução

A condição do problema é $M(t)=\dfrac{M_{0}}{3}$, ou seja:

$\begin{array}{ccl} \dfrac{\cancel{M{0}}}{3} & = & \cancel{M_{0}}\cdot 3^{-2t}\\\\ \dfrac{1}{3} & = & 3^{-2t}\\\\ 3^{-1} & = & 3^{-2t}\\\\ -2t & = & -1\\\\ t & = & 0,5\,\text{s} \end{array}$

0776¶

Num período prolongado de seca, a variação da quantidade de água de certo reservatório é da pela função:

$q(t)=q_{0}\cdot 2^{(-0,1)\,t}$

sendo $q_{0}$ a quantidade inicial de água no reservatório e $q(t)$ a quantidade de água no reservatório após $t$ meses. Em quantos meses a quantidade de água no reservatório se reduzirá à metade do que era no início?

0776 - Solução

A condição do problema é $q(t)=\dfrac{1}{2}\cdot q_{0}$, ou seja:

$\begin{array}{ccl} \dfrac{1}{2}\cdot\cancel{q_{0}} & = & \cancel{q_{0}}\cdot 2^{(-0,1)\,t}\\\\ 2^{-1} & = & 2^{(-0,1)\,t}\\\\ -0,1\,t & = & -1\\\\ t & = & 10 \end{array}$